匀速圆周运动 向心加速度
圆周运动的向心加速度公式
圆周运动的向心加速度公式
圆周运动的向心加速度公式：
a向=v^2/r=ω^2r=4π^2r/T^2=4π^2f^2r=vω=F向/m。
a向=rω^2。
加速度（Acceleration）是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值Δv/Δt，是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用a表示，单位是m/s2。
加速度是矢量，它的方向是物体速度变化（量）的方向，与合外力的方向相同。
质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”。
它是一种最常见的曲线运动。
例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。
圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动（如：竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动）。
在圆周运动中，最常见和最简单的是匀速圆周运动（因为速度是矢量，所以匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动）。
圆周运动法向加速度公式
圆周运动中的法向加速度（也称为向心加速度）是指向圆心方向的加速度，其作用是改变物体速度的方向，而不是大小。
对于匀速圆周运动，物体的速度大小保持不变，但方向在不断改变。
法向加速度的公式是：
\[ a_n = \frac{v^2}{r} \]
其中：
- \( a_n \) 是法向加速度（向心加速度）。
- \( v \) 是物体沿圆周运动的线速度。
- \( r \) 是圆周运动的半径。
对于非匀速圆周运动，物体的速度大小在变化，此时法向加速度的计算稍微复杂一些，需要使用角速度\( \omega \)（角速度是物体转过的角度与时间的比值）：
\[ a_n = \omega^2 r \]
或者，如果角速度\( \omega \) 与时间的关系是变化的，即角加速度\( \alpha \)（角加速度是角速度对时间的导数）存在时，法向加速度也可以表示为：
\[ a_n = (v \cdot \alpha) \]
这里\( v \cdot \alpha \) 表示线速度与角加速度的点积，只有在角加速度与线速度方向不同时，才会有非零的法向加速度分量。
如果角加速度与线速度方向相同，那么它实际上会影响线速度的大小，而不是方向。
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
)．
解析 物体做变加速曲线运动，合力不为零， A错．物体做速度大小变化的圆周运动，合力 不指向圆心，合力沿半径方向的分力等于向 心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变 大，即除在最低点外，物体的速度方向与合 外力的方向夹角为锐角，合力与速度不垂直， B、C错，D对． 答案 D
对向心力的理解 1．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率 沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在 乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦 力分别为f甲和f乙，以下说法正确的是 ( )． A．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙 C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关
意义：描述线速度方向改变的快慢． 向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动 (1) 物体做匀速圆周运动时，向心加速度就 是物体运动的合加速度．
(2)物体做非匀速圆周运动时， 合加速度必有一个沿切线方向 的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就 v2 是向心加速度，此时向心加速度仍然满足：an＝ r ＝rω2. 由上述分析可知，物体做圆周运动的加速度不一定指向圆 心，向心加速度只是物体实际加速度的一个分量，只有做匀 速圆周运动的加速度才一定指向圆心； 但向心加速度方向是 v2 始终指向圆心的，其大小表达式 an＝ r ＝rω2 适用于所有圆 周运动，式中的 v 指某个瞬间的瞬时速度大小，an 即指那个 瞬间的瞬时向心加速度大小．
v2 (2)大小：Fn＝man＝m r ＝m ω2r ＝m ωv ．
(3)方向：总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心 力是变力．
向心加速度 (1) 定义：做匀速圆周运动的物体的加速度 指向圆心．这个加速度称为向心加速度． (2) 物 理 意 义 ： 描 述 线 速 度 方 向 改 变 的 快 慢．
圆周运动 向心加速度
点运动到B点。尝 试用v 、r 写出向 心加速度的表达 式。
Δv v
v
A
B
v
Δθ A
B
Δθ
O
A
变速圆周运动的加速度a还始终指向圆心吗？ 为什么？
a a aτ 向心加速度an：改变线速度的方向
no
切向加速度aτ：改变线速度的大小
匀速圆周运动有切向加速度吗？
匀速圆周运动中切向加速度为零，只 有向心加速度，即：a = an;其合外力必 须指向圆心。
题4［2019•福建师大附中高一期末］荡秋千是儿童喜爱的一项体育
运动，当秋千荡到最高点时，小孩B的加速度方向是图中的（ ）
A.a方向
B.b方向
C.c方向
D.d方向
题5 如图所示，轻绳的一端系一小球，另一端固 定于O点，在O点的正下方P点钉一颗钉子，使悬 线拉紧与竖直方向成一角度θ，然D 后由静止释放 小球，当悬线碰到钉子时（ ） A.小球的瞬时速度突然变大 B.小球的角速度突然变小 C.绳上拉力突然变小 D.小球的加速度突然变大
常考题型
题组一 对向心加速度的理解
题1 ［2019•云南玉溪一中高一检测］下列关于向心加速度的C说 法中正确的是（ ） A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B.向心加速度表示角速度变化的快慢 C.匀速圆周运动的向心加速度大小不变 D.只要是圆周运动，其加速度都是不变的
【解析】 圆周运动有两种情形：一是匀速圆周运动，二是非匀速圆周运动。在 匀速圆周运动中，加速度的方向指向圆心，叫向心加速度（大小不变，方向时刻 改变）；非匀速圆周运动中加速度可以分解为向心加速度和切向加速度。圆周运 动中的加速度是反映速度变化快慢的物理量，故选项C正确。
高中物理 必修第二册 第六章 3 向心加速度
核心素 养目标
1.理解向心加速度的概念。 2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能够运用关系式求解
有关问题。 3.知道向心加速度是向心力产生的，它们之间的关系遵循牛顿第二定律。
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1 新知预览·抓必备 高效学习 夯基固本 目录
不恒定，因此匀速圆周运动有变化的加速度，不是匀变速运动，故A、C错
误，B、D正确。
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要点二 向心加速度公式的理解与应用
1．向心加速度的大小 根据牛顿第二定律 F＝ma 和向心力表达式 Fn＝mvr2 ，可得向心加速度 的大小 an＝vr2 或 an＝ω2r。
|特别提醒| (1)表达式 an＝vr2 、an＝ω2r 中各物理量是同一时刻的量，即它们是瞬时对应关系。 (2)表达式 an＝vr2 、an＝ω2r 不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
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2．对向心加速度表达式的理解 (1)不同形式的表达式
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(2)向心加速度与半径的关系 ①当线速度一定时，根据 an＝vr2 可知，向心加速度 an 与运动半径 r 成反比，如
图甲所示。 ②当角速度一定时，根据an＝ω2r，可知向心加速度an与运动半径r成正比，如
图乙所示。
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|特别提醒| (1)匀速圆周运动的合力方向时刻指向圆心，加速度是时刻变化的，不是匀变
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2 素养浸润·提能力 互动探究 重难突破 目录
要点一 向心加速度概念的理解
如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(漫画)，小球连接细绳的另一端在 水平面内做匀速圆周运动，请思考：
(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化， 变化的原因是什么？ 提示：变化。向心加速度的作用。 (2)向心加速度改变物体的速度大小吗？ 提示：向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
匀速圆周运动向心加速度公式推导方法
三 、利用开普勒第三定律 、万有 引力定 律和牛顿第二定律推导 向心加速度
质量 为 。的人造地球 卫星 以速 率 在 半
径 为 厂的近 圆轨道 上绕地球 运 行 , 运 行 周 期
为 乙 地球质量为 从
根据开普勒第三定律 尹 尸
为常
量
根据万有 引力 定律 户 改姚才广
对于 圆周运动 的物体有 介 二
湖南中学物理
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匀速 圆周运 动 向心加速度公式推导方法
张智 庄浪县紫荆 中学 , 甘肃 平凉
质 点做匀速 圆周运动 , 受力方 向与运动 方 向垂直 , 有 向心加速度 。为 了加深对 向心 加速度 概念 的理解 , 掌握 向心加速度 的大小 与质点运 动速度大小和运动半径 的关系 , 现 用三种方法推 导 向心加速度 的计算 公式
根据 牛顿第 二 定律
二
由以上各式可知 酬光丫 二’·沪 厂
即 二萨厂 。
设在很短 的时间 内 , 小球沿 圆周从 到 可分解为沿切线 方 向的匀速直线运 动和沿 方 向初速度 为零 的匀加速直线运 动 如图 一
故有 『尹 模型
设在很短 的时间 内 , 小球沿 圆周从 运动到 可分解 为沿 切线 方 向的匀速直 线运动和沿 方 向的初速 度 为零 的匀加速 直线运动 如 图
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张 智 匀速 圆周运动向心加速度公 式推导方法
一 厂 山个
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由于 时 间 “ 良短 , 即 趋近 于
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由 △ 。 △ 可知
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当 趋近于零时 , 由匀速 圆周运 动 定义和加速度 定义可 知
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故有 沪
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△刁
故有 萨 尸
匀速圆周运动的特点和计算
匀速圆周运动的特点和计算匀速圆周运动是指物体在圆周路径上以恒定速度运动的现象。
它具有以下特点：1.速度大小恒定：在匀速圆周运动中，物体沿圆周路径的速度大小保持不变。
2.速度方向变化：虽然速度大小不变，但物体在圆周路径上运动时，速度方向不断变化，始终指向圆心。
3.向心加速度：匀速圆周运动中，物体受到一个指向圆心的向心加速度，其大小为a=v²/r，其中v为速度大小，r为圆周半径。
4.向心力：向心加速度是由向心力引起的，其大小为F=m*a，其中m为物体的质量。
5.周期性：匀速圆周运动的物体每隔一定时间会回到起点，这个时间称为周期，用T表示。
6.角速度：匀速圆周运动的物体在单位时间内转过的角度称为角速度，用ω表示。
其大小为ω=2π/T。
匀速圆周运动的计算公式如下：1.线速度v与角速度ω、半径r的关系：v=ω*r。
2.向心加速度a与速度v、半径r的关系：a=v²/r。
3.向心力F与质量m、向心加速度a的关系：F=m*a。
4.周期T与角速度ω的关系：T=2π/ω。
5.角速度ω与频率f的关系：ω=2π*f，其中频率f是单位时间内圆周运动的次数。
以上是匀速圆周运动的特点和计算方法的详细介绍，希望能对您有所帮助。
习题及方法：一辆自行车以6m/s的速度在圆形路径上匀速运动，圆形路径的半径为6m，求自行车的向心加速度和向心力。
根据向心加速度公式a=v²/r，将速度v=6m/s和半径r=6m代入，得到向心加速度a=6²/6=6m/s²。
根据向心力公式F=m a，需要知道自行车的质量m，假设自行车质量为m=10kg，将向心加速度a=6m/s²和质量m=10kg代入，得到向心力F=106=60N。
一个物体在半径为5m的圆形路径上做匀速圆周运动，角速度为ω=4π/s，求物体的线速度和周期。
根据线速度公式v=ωr，将角速度ω=4π/s和半径r=5m代入，得到线速度v=4π5=20πm/s。
匀速圆周运动的向心力和向心加速度
ω
m
M
3、一端固定在光滑水平面上O点的细线，A,B,C处各处拴着 一端固定在光滑水平面上O点的细线，A,B,C处各处拴着 质量同的小球，如图所示，现将它们排成一直线， 质量相同的小球，如图所示，现将它们排成一直线，并使细线 拉直，让它们在桌面上绕O点做圆周运动，如果增大转速， 拉直，让它们在桌面上绕O点做圆周运动，如果增大转速， 细线将先在OA、AB、BC段线中的 断掉。 细线将先在OA、AB、BC段线中的 断掉。
二、向心力的大小： 向心力的大小：
铝球 钢球
钢球 钢球 钢球 钢球
二、向心力的大小： 向心力的大小：
1、当ω和r一定时，F与m成正比。 2 2、当m与r一定时，F与ω 成正比。 3、当ω与m一定时，F与r成正比。
三、向心加速度 1、定义：做圆周运动的物体，由向心力的作用产生的 定义：做圆周运动的物体， 加速度叫向心加速度。 加速度叫向心加速度。
A B
θ
二、变速圆周运动的向心力
的绳子， 的拉力时即被拉断， 例：一根长为0.8m的绳子，当受到 一根长为 的绳子 当受到7.84N的拉力时即被拉断，若在此绳的一 的拉力时即被拉断 端拴一个质量为0.4kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆 的物体， 端拴一个质量为 的物体 周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。 周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角 速度和线速度各是多大。 速度和线速度各是多大。
二、解决匀速圆周运动问题的方法和步骤
（1）明确研究对象，对其受力分析。 明确研究对象，对其受力分析。 （2）分析运动情况，即圆周平面、圆心、半径。 分析运动情况，即圆周平面、圆心、半径。 （3）以向心加速度为正方向，求出合力的表达式。 以向心加速度为正方向，求出合力的表达式。 （4）应用向心力公式建立方程并求解
人教版高一物理必修第二册第六章《圆周运动》向心加速度
这[例个题力2]可能长沿为什L的么细方线向，?一端拴一质量为m的小球，一端固定于O点.
[这例个题力1]可自能行沿车什的么小方齿向轮?A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，如图所示。
小质球点在 做水匀平速面圆内周做运匀动速，圆从周A运运动动到(这B，种线运速动度通从常v被A变称成为v“B圆，锥速摆度运的动变”化)，量如Δ图v，甲如所何示表. 示？
Δv vA vB
B
O
A
当自Δt 行取车值正不常断骑变行小时，AΔ、v 的B、方C向三与轮v边A的缘方上向的关点系的如向何心变加化速？度的大小如何比较？
当Δt 取值不断变小，Δv 的方向与v 的方向关系如何变化？ 受质到点指 做向匀太速阳圆的周引运力动作，用从A运动到B，线速度从vA变成vB，速度的变化量Δv，如何表示？
Δv 当你Δ能t足画够出小Δt，时v间A内，速vB度的变夹化角量θ 就Δv足吗够？小。
v [所例求题加2]速度长a为是Lt的A时细刻线的，瞬一时端加拴速一度质吗量？为得m的小球，一端固定于O点.
A 质此点时做θ 所匀对速的圆弦周长运和动弧，长从近A运似动相到等B。，线速度从vA变成vB，速度的变化量Δv，如何表示？
看，向心加速度与半径成正比；
匀速圆周运动的实质是什么?
当Δt足够小，Δv=v∙θ
受到指向太阳的引力作用
当Δt足够小，vA，vB的夹角θ 就足够小。
从公式
看，向心加速度与半径成反比；
从公式
看，向心加速度与半径成正比；
地球受到什么力的作用?
质点做匀速圆周运动，从A运动到B，线速度从vA变成vB，速度的变化量Δv，如何表示？
变速曲线运动 运动状态改变 这个力可能沿什么方向?
质点做匀速圆周运动，从A运动到B，线速度从vA变成vB，速度的变化量Δv，如何表示？
2023年新教材高中物理向心加速度讲义新人教版必修第二册
3．向心加速度(1)知道向心加速度的概念．(2)会用矢量图表示速度变化量与速度间的关系．(3)能运用数学方法，结合加速度定义式推导向心加速度的公式．一、匀速圆周运动的加速度方向1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，把它叫作向心加速度(centripetal acceleration)．2．方向：向心加速度的方向沿半径指向圆心，即向心加速度的方向与速度方向垂直． 导学：向心加速度与周期、转速、线速度、角速度关系的推导 由线速度与周期的关系v ＝2πππ代入a ＝π2π得a ＝4π2π2r ．由T ＝1π(n 取r/s)代入a ＝4π2ππ2得a ＝4π2n 2r ． 由v ＝ωr 代入a ＝π2π得a ＝π2π＝v ·ππ＝ωv ．二、匀速圆周运动的加速度大小1．推导：向心加速度与向心力的关系符合牛顿第二定律，则有：F n ＝ma n ＝m π2π＝mω2r ． 2．向心加速度公式：a n ＝________＝________．3．作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小． 拓展：速度变化量的矢量图从同一点作出v A 和v B 的矢量，从v A 末端指向v B 末端的矢量，即Δv知识点一 向心加速度的方向及意义导学探究(1)图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？(2)做匀速圆周运动的加速度方向如何确定？你的依据是什么？探究总结1．向心加速度的方向特点：(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直．(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变．所以一切圆周运动都是变加速曲线运动．2．匀速圆周运动中的“变”与“不变”：(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变；线速度、加速度这两个矢量的大小不变．(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变．3．物理意义：向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢．典例示范【例1】下列关于向心加速度的说法中正确的是( )A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B．匀速圆周运动的向心加速度是不变的C．匀速圆周运动的向心加速度大小不变D．只要是圆周运动，其加速度都是不变的练1 荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，如图所示，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的( )A．a方向B．b方向C．c方向D．d方向练2 (多选)关于匀速圆周运动和向心加速度，下列说法正确的是( )A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度C．做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D．匀速圆周运动的向心加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，时刻发生变化，所以匀速圆周运动不是匀变速运动知识点二向心加速度公式的理解与应用探究总结1．向心加速度公式，②a n＝ω2r．(1)基本公式：①a n＝π2πr，②a n＝4π2n2r．(2)拓展公式：①a n＝4π2π22．对向心加速度大小与半径关系的理解(1)当r一定时，a n∝v2，a n∝ω2．．(2)当v一定时，a n∝1π(3)当ω一定时，a n∝r．3．向心加速度与半径的关系：典例示范题型一对向心加速度公式的理解【例2】(多选)如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，由图像可知( )A．甲球运动时，线速度大小保持不变B．甲球运动时，角速度大小保持不变C．乙球运动时，线速度大小保持不变D．乙球运动时，角速度大小保持不变题型二向心加速度公式的应用【例3】飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为R＝240 m的圆周运动，飞行员的质量m＝60 kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360 km/h，试计算：(1)此时飞机的向心加速度a的大小；(2)此时飞行员对座椅的压力F N是多大．(g取10 m/s2)题型三传动装置中向心加速度的分析【例4】如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处半径关系为r A>r B＝r C，则这三点的向心加速度a A、a B、a C之间的关系是( )A．a A＝a B＝a C B．a C>a A>a BC．a C<a A<a B D．a C＝a B>a A思维方法：分析此类问题要“看”“找”“选”练3 如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )A．线速度之比为1∶4B．角速度之比为4∶1C．向心加速度之比为8∶1D．向心加速度之比为1∶8练4 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )A．线速度大小之比为4∶3B．角速度大小之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．向心加速度大小之比为1∶21．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )A．向心加速度越大，物体速率变化越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量2．转篮球是一项需要技巧的活动，如图所示，让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方．下列判断正确的是( )A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处B．篮球上各点的向心力是由手指提供的C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大3．如图所示，一个凹形桥模拟器固定在水平地面上，其凹形轨道是半径为0.4 m的半圆，且在半圆最低点装有一个压力传感器(图中未画出)．一质量为0.4 kg的玩具小车经过凹形轨道最低点时，传感器的示数为8 N，则此时小车的(g取10 m/s2)( )A．速度大小为1 m/sB．速度大小为4 m/sC．向心加速度大小为10 m/s2D．向心加速度大小为20 m/s24．如图所示，甲、乙、丙、丁四个可视为质点的小物体放置在匀速转动的水平转盘上，与转轴的距离分别为4r、2r、2r、r，甲、丙位于转盘的边缘处，两转盘边缘接触，靠摩擦传递动力，转盘与转盘之间、物体与盘面之间均未发生相对滑动，则向心加速度最大的是( )A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径R B＝4R A、R C＝8R A．当自行车正常骑行时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比a A∶a B∶a C等于( )A．1∶1∶8B．4∶1∶4C．4∶1∶32D．1∶2∶43．向心加速度预习填空二、2．π2πw2r知识点精讲知识点一提示：(1)小球与运动员都具有加速度．(2)做匀速圆周运动的物体加速度方向与合力方向相同，依据是牛顿第二定律．【例1】【解析】圆周运动有两种情形：一是匀速圆周运动，二是非匀速圆周运动．在匀速圆周运动中，加速度的方向指向圆心，叫向心加速度，其大小不变，方向时刻改变；非匀速圆周运动中加速度可以分解为向心加速度和切向加速度，向心加速度改变线速度的方向，切向加速度改变线速度的大小．故选项C正确．【答案】 C练 1 解析：当秋千荡到最高点时，小孩的速度为零，沿半径方向的向心加速度为零，加速度方向沿圆弧的切线方向，即图中的b方向，B正确．答案：B练2 解析：做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度，且向心加速度大小不变，方向时刻指向圆心，向心加速度不恒定，因此匀速圆周运动不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确．答案：BD知识点二【例2】 【解析】 A 对，B 错：由a ＝π2π知，v 不变时，a 与R 成反比，图像为双曲线的一支．C 错，D 对：由a ＝ω2R 知，ω不变时，a 与R 成正比，图像为过原点的倾斜直线．【答案】 AD【例3】 【解析】 (1)v ＝360 km/h ＝100 m/s 则a ＝π2π＝1002240 m/s 2＝1253 m/s 2．(2)对飞行员进行受力分析，则飞行员在最低点受重力和座椅的支持力，向心力由二力的合力提供．所以F N －mg ＝ma 得F N ＝mg ＋ma代入数据得F N ＝3 100 N根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力大小也为3 100 N ． 【答案】 (1)1253m/s 2(2)3 100 N【例4】 【解析】 A 、B 两点通过同一条皮带传动，线速度大小相等，即v A ＝v B ，由于r A >r B ，根据a ＝v 2r 可知a A <a B ；A 、C 两点绕同一转轴转动，有ωA ＝ωC ，由于r A >r C ，根据a＝ω2r 可知a C <a A ，所以a C <a A <a B ，故选项C 正确，A 、B 、D 错误．【答案】 C练3 解析：A 错：由题意知v a ＝v 3，v 2＝v c ，又轮2与轮3同轴传动，角速度相同，v 2＝2v 3，所以v a ∶v c ＝1∶2．B 错：角速度之比为ππππ＝ππππ∶ππππ＝14．C 错，D 对：设轮4的半径为r ，则a a ＝ππ2ππ＝(0.5v c )22r＝ππ28π＝18a c ，即a a ∶a c ＝1∶8．答案：D练4 解析：由圆周运动公式有，通过的路程s ＝Rθ＝vt ，转过的角度θ＝ωt ，已知在相同的时间内，通过的路程之比是4∶3，转过的角度之比是3∶2，则A 、B 的线速度大小之比是4∶3，角速度大小之比是3∶2，则选项A 正确，B 错误；由R ＝s θ，得半径之比为ππππ＝ππππ·ππππ＝43×23＝8∶9，由向心加速度a ＝ω2R ，得向心加速度大小之比为ππππ＝ωA2ωB2·R A R B ＝3222×89＝2∶1，选项C 、D 错误．答案：A随堂练习1．解析：A错：在匀速圆周运动中，速率不变．B错：向心加速度的大小可用a n＝π2π或a n＝ω2r表示，当v一定时，a n与r成反比；当ω一定时，a n与r成正比．可见a n与r的比例关系是有条件的．C对：向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直．D错：在匀速圆周运动中，向心加速度的大小恒定，但方向始终指向圆心，即其方向时刻变化，所以向心加速度不是恒量．答案：C2．解析：A错：篮球上的各点做圆周运动的圆心在篮球的轴线上，类似于地球的自转轴．B错：手指并没有与篮球上别的点接触，不可能提供所有点的向心力．C对：篮球上各点做圆周运动的周期相等，角速度相等．D错：篮球上各点离转轴越近，由a＝rω2可知，做圆周运动的向心加速度越小．答案：C3．解析：当小车经过最低点时，受到的支持力与重力的合力提供向心力，则F N－mg＝mπ2π，代入数据得v＝2 m/s，向心加速度a n＝π2π＝10 m/s2．答案：C4．解析：先根据a n＝ω2r分析同一转盘上两物体的向心加速度关系，再根据a n＝π2π分析不同转盘上两物体的向心加速度关系．所以选项C正确．答案：C5．解析：A、B的线速度大小相等，R A∶R B＝1∶4，根据a＝π2π知，a A∶a B＝4∶1．A、C 的角速度大小相等，R A∶R C＝1∶8，根据a＝ω2r知，a A∶a C＝1∶8，所以a A∶a B∶a C＝4∶1∶32．答案：C。
关于匀速圆周运动向心加速度的公式
关于匀速圆周运动向心加速度的公式
向心加速度的大小的计算公式：a＝V2/R=ω2R=(2π/T)2R。
式中V 是瞬时速度的大小，r是半径。
这个计算公式只是各量的大小之间的关系。
如果是“匀速圆周运动”，线速度的大小不变，半径不变，得向心加速度的大小也不变。
如果是“非匀速圆周运动”，线速度的大小是变化的，所以向心加速度的大小也会变化。
加速度是表示速度变化快慢的物理量，由于速度是矢量，因此不仅包含速度大小的改变引起的特例：直线运动a=(v o-v t)/t。
还包含速度方向改变引起的特例：匀速圆周运动a=ωv。
ω、v分别表示方向变化快慢的物理量（角速度）、线速度。
公式推导：a=ωv=Δθv/t=Δl/rt=v2/r。
其中Δθ、v、t、Δl、r分别表示方向改变的角度、线速度、方向改变所用的时间、方向改变角度所对应的弧长、匀速圆周运动的半径。
匀速圆周运动方向时刻在变化，因此公式要带瞬时速度。
速度、加速度、向心力都是矢量，方向不可忽视！切记！这也是都为瞬时（即时）性的原因。
匀速圆周运动的向心力和向心加速度
r
O
G
如图,质量为m 的小球在水平面做 半径为r的匀速圆周运动。
向心力的大小与哪些因素有关呢？
观察现象：向心力演示器原理.MPG
多因素问题的研究方法？
研究方法:
控制变量法
1.保持r、ω一定,改变m
研究：F与m的关系
R和角速度相同.MPG
2.保持r、m一定,改变ω
研究：F与ω 的关系
M和R相同,F与角速度的关系.MPG
向心力不是特殊的力, 是由沿半径指向圆心的力充当的.
O
转盘匀速转动，物体 相对于转盘静止。摩擦力和
合力充当向心力.MPG
线系小球在光滑水 平面上做匀速圆周运动。
绳的拉力充当向心力.MPG
向心力的分析方法？
向心力不是特殊的力, 是由沿半 径指向圆心的力或合力充当的.
y y FT
θ
θ
θ
x F合 x O
2
立体问题？---平面化
匀速圆周运动
∆θ
一、从运动学运动描述的角度看：
1.描述质点沿圆周运动的快慢 ----线速度 二、从动力学运动状态变化原因角度看： 2.描述质点完成圆周运动快慢 ---角速度
3.描述质点匀速圆周运动速度方向变化的快慢
---向心加速度
如图,质量为m 的小球用长为L的细线悬挂，在水 平面做匀速圆周运动时，细线与竖直方向夹角是θ。 你能求出哪些物理量？
F合
a向 = v2/r =rω2 =vω
③物理意义
O
.
F合
F合 F合 F合
向心加速度是描述的是物体做圆周运动时， 速度方向变化快慢的物理量。
如图，传动装置不打滑时，求： A、B、C三点的加速度之比？
理论推导：向心加速度的大小和方向
(完整版)匀速圆周运动的向心力和向心加速度
匀速圆周运动的向心力和向心加速度教学目标1。
知识与技能⑴知道匀速圆周运动向心力、向心加速度的概念⑵掌握匀速圆周运动的向心力、向心加速度的计算公式⑶掌握实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系的实验原理、仪器与步骤 ⑷知道匀速圆周运动的向心力、向心加速度在一般的圆周运动中也适用 2。
过程与方法⑴通过实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系，得出计算向心力的计算公式⑵通过实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系，进一步熟悉控制变量法在物理实验探究中的重要性⑶通过速度的合成的方法推导匀速圆周运动向心加速度的计算公式，进一步掌握极限思维在物理学中的应用3。
情感态度与价值观⑴通过实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系，培养学生探究物理规律的兴趣⑵通过速度合成求解匀速圆周运动向心加速度的计算公式,培养学生微圆法、极限思想方法在物理学中的应用，进一步树立利用数学知识理论解决物理问题的思维品质教学重难点教学重点:1。
实验探究匀速圆周运动向心力的因素之间的关系2。
利用速度合成求向心加速度教学难点:利用速度合成求向心加速度课时安排2课时授课类型新授课教学过程✓ 导入师：同学们，上一节我们共同研究了匀速圆周运动。
那么是什么原因导致物体做匀速圆周运动呢?在上一节的描述匀速圆周运动的物理量上对匀速圆周运动做了运动学上的分析,那么匀速圆周运动在动力学上又有怎样的规律呢？带着这些疑问,我们共同来学习本节内容。
✓ 新课开讲在第二章第一节的《圆周运动》中，我们说匀速圆周运动的速度是时刻在变化着得，“匀速"指的是“匀速率”。
既然速度在时刻变化，也就是说匀速圆周运动具有加速度，所受合力不为零；同时匀速圆周运动属于特殊的曲线运动，根据物体做曲线运动的条件，我们还能知道匀速圆周运动物体的合外力与线速度的方向不在一条直线上。
那么匀速圆周运动的合外力是怎样的呢?我们先来看下面的事例。
如图1所示，当使物体在绳的作用下在光滑水平面做匀速圆周运动时，我们的手会受到1图FGN2图竖直方向水平方向绳子一个沿绳子方向指向物体的拉力.根据牛顿第三定律可知，物体也受到绳子一个沿绳子方向指向手的拉力。
向心加速度(自整理)
03 向心加速度的来源
牛顿第二定律
总结词
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积。在圆周运动中，向心加速度的大小与物体受 到的向心力成正比，与物体的质量成反比。
详细描述
当物体沿着圆周路径运动时，由于向心力的作用，物体具有向着圆心的加速度，即向心加速度。根据牛顿第二定 律，向心加速度的大小与物体受到的向心力成正比，与物体的质量成反比。这意味着质量越大的物体，在相同向 心力作用下产生的向心加速度越小；反之，质量越小的物体产生的向心加速度越大。
火箭发射的向心加速度
总结词
描述火箭发射过程中产生的向心加速度及其对火箭和 载荷的影响。
详细描述
火箭发射时，为了克服地球引力，需要产生巨大的向 心加速度。火箭发动机产生的推力通过火箭箭体的反 作用力使火箭获得向心加速度。随着火箭不断加速上 升，向心加速度也不断增大。对于载人火箭，为了保 护航天员免受火箭加速时过大的载荷影响，需要采取 一定的防护措施。同时，火箭的向心加速度也会对载 荷产生影响，需要进行相应的力学设计和试验验证。
当物体做匀速圆周运动时，向心加速 度的大小不变，方向始终指向圆心。
公式
向心加速度的公式为：a = v²/r，其中 a为向心加速度，v为线速度，r为半径。
当线速度v的大小和方向都发生变化时 ，向心加速度的大小也会发生变化。
单位
向心加速度的单位是米/秒²（m/s²）， 与一般加速度的单位相同。
在国际单位制中，向心加速度的单位 也可以表示为重力加速度g（约为 9.81 m/s²）的倍数。
圆周运动
总结词
圆周运动是指物体沿着圆形路径的运动。在圆周运动中，物体受到指向圆心的向心力作用，产生向心 加速度。
详细描述
高中物理精品试题：第5节 向心加速度
第5节向心加速度[核心素养与考试要求]核心素养考试要求物理观念科学思维必考加试1.知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度。
2.知道向心加速度的表达式，并会用来进行简单的计算。
能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式进行计算。
d d[要点梳理]1.圆周运动的速度方向不断变化，一定是变速运动，必定有加速度。
2.向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
3.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。
4.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。
5.圆周运动的性质：不论向心加速度a n的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。
[针对训练]1.如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中正确的是()解析做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。
答案 B[要点梳理] 1.向心加速度公式(1)基本公式：①a n＝v2r，②a n＝ω2r。
(2)拓展公式：①a n＝4π2T2r②a n＝ωv③a n＝4π2n2r④a n＝4π2f2r2.向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化的快慢。
3.向心加速度的公式适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。
4.注意：(1)在选用物理公式解题时，一定要理解公式的含义，明确各物理量的意义。
(2)由a n＝v2r知：r一定时，a n∝v2；v一定时，a n∝1r；a n一定时，r∝v2；(3)由a n＝rω2知：r一定时，a n∝ω2；ω一定时，a n∝r；a n一定时，r∝1ω2。
[典例精析]【例1】图1为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中表示质点P的图象是双曲线的一支，表示质点Q的图象是过原点的一条直线。
教科版高中物理必修第二册第二章第2节匀速圆周运动的向心力和向心加速度
如何寻找向心力？
讨论交流
用细绳连接一个软木塞，拉住绳的一端，让软木塞尽量做 匀速圆周运动。分别改变转动的快慢、细绳的长短做几次实验.
思考：向心力的大小与哪些因素有关？
向心力的大小与m、r、 ω有关.
二、向心力的大小
方案一
【实验探究】探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系
⑴在小球质量m和旋转半径r不变的条件下， 改变角速度ω，多次体验手的拉力；
2.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物
体一起运动，物体所受向心力是（B ）
A.重力 B.弹力
C.静摩擦力 D.滑动摩擦力
3.如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的２倍，A是大轮
边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1 的距离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、B、C三点的角
4.作用效果: 只改变v的方向,不改变V的大小。 为什么？
V
F
OO F
F
V
V
因为在运动方向上所受的合外力为0，这个方向 上的加速度也为0，所以速度大小不变，只改变速度 方向。
温故知新
①F合与v的夹角为锐角时,物体做加速运动； ②F合与v的夹角为钝角时,物体做减速运动； ③当合外力与速度的夹角始终为90°时,合外力只改变
⑵在小球质量m和角速度ω不变的条件下， 改变旋转半径r，多次体验手的拉力；
⑶在旋转半径r和角速度ω不变的条件下， 改变小球质量m，多次体验手的拉力；
【体验交流】
⑴角速度ω越大，手的拉力越大； ⑵旋转半径r越大，手的拉力越大； ⑶小球质量m越大，手的拉力越大。
方案二
【实验探究】探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系
匀速圆周运动的向心力和向心加速度
05
匀速圆周运动实例分析
圆锥摆运动分析
03
圆锥摆的构成
向心力的来源
向心加速度的计算
圆锥摆由一根不可伸长的细线和一个小球 组成，细线的一端固定，另一端悬挂小球 ，使小球在水平面内做匀速圆周运动。
向心力由细线的拉力提供，拉力沿细线方 向指向圆心，大小等于小球的质量与向心 加速度的乘积。
向心加速度的大小等于小球做匀速圆周运 动的线速度的平方除以细线的长度，方向 始终指向圆心。
水平面内圆周运动分析
01
运动轨迹
水平面内圆周运动的轨迹是一 个圆，圆心位于水平面上。
02
向心力的来源
向心力由物体受到的合外力提 供，合外力指向圆心，大小等 于物体的质量与向心加速度的
乘积。
03
向心加速度的计算
向心加速度的大小等于物体做 匀速圆周运动的线速度的平方 除以圆的半径，方向始终指向
圆心。
竖直平面内圆周运动分析
当角速度一定时，线速度与半径成正比；当线速度一定时， 角速度与半径成反比。
向心力与线速度、角速度关系
向心力（F）与线速度（v）和角速度（ω）之间的关系可 以用公式 F = mvω 或 F = mω²r 表示，其中 m 是物体的 质量。
当角速度或线速度增大时，向心力也相应增大；反之，当 角速度或线速度减小时，向心力也减小。
匀速圆周运动的向心力和向 心加速度
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目录
• 匀速圆周运动基本概念 • 向心力概念及性质 • 向心加速度概念及性质 • 匀速圆周运动中物理量关系 • 匀速圆周运动实例分析 • 实验：验证匀速圆周运动规律
01
匀速圆周运动基本概念
定义与特点
定义
质点沿圆周运动，如果在任意相 等的时间里通过的圆弧长度都相 等，这种运动就叫做“匀速圆周 运动”。
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教学内容：1．匀速圆周运动2．向心加速度
重点讲解：一、匀速圆周运动：
质点绕圆周运动，若其在任意相等时间内通过的弧长 都相等，则质点的运动就是匀速圆周运动。
描述质点 做匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度和周期
1．线速度：矢量
大小：v=t s ∆∆=T
r π2，单位：米/秒 方向：质点在某一点的速度方向就在这一点的切线上。
2．角速度：
ω=t
∆∆φ=T π2，单位：弧度/秒 弧度是表示角度大小的一个量，什么是1弧度呢？对于一个半径为r 的圆，弧长等于半径r 的一段圆弧所对的圆心角就是1弧度。
3600角对应的弧长是2πr ，其所对的圆心角就2π弧度。
可以看到，以半径为量度单位去量度圆弧，得到的结果就是以弧度为单位的角度，即φ=r
s ，s 是弧长，则φ就是以弧度为单位的角。
3．周期T ：质点转一周需要的时间
转数n 是指单位时间内，质点转动的圈数。
可见，转数与周期之间存在倒数关系，即n=T 1。
4．线速度、角速度、周期三者间的关系
v=ωr=T π2·r 质点做匀速圆周运动时，在不同时刻（不同位置）的线速度的方向是不同的，所以匀速圆周运动中质点的速度不恒定，因此，匀速圆周运动不是真正意义上的匀速运动，而只是速率保持不变的匀速率圆周运动。
质点做匀速圆周运动的过程中，除了线速度的大小（速率）不变，角速度与周期也是恒定不变的物理量。
二、向心加速度a n ：
1．向心加速度的方向：质点做匀速圆周运动时，它在任一点的加速度都是沿着半径指向圆心。
既然向心加速度的方向是沿着半径指向圆心，所以任一时刻，向心加速度与线速度的方向总是相互垂直的，因而质点做匀速圆周运动的过程中，速率保持不变。
2．向心加速度的大小：
a n =r v 2=ω2r=224T
r π=ωv 由于质点作匀速圆周运动的过程中，T 是不变的，所以质点的向心加
速度的大小是恒定不变的。
那么匀速圆周运动的向心加速度a n 是不是恒定不变的呢？由于质点在某一点的向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，所以运动过程中加速度的方向是不断变化的，因而加速度并不是恒定不变的。
所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动。
3．向心加速度a n =r
v 2这个公式不但适用于匀速圆周运动，也同样适用于变速圆周运动。
例题讲解：
例1．如图所示，一皮带不打滑的皮带传
动装置，A 、B 两点是轮缘上的点，C 是O 2B
连线中点上的一点。
大轮与小轮的半径之比为2：1，试分析A 、B 、C 三点线速度、角速度、周期三者间的关系。
分析：先来看线速度间的关系：可以先寻找两者间的关系，然后再将第三者与两者中的一个相比。
那么先寻找哪两者间的关系呢？那就看哪两者的关系最容易确定。
A 、B 、C 三者中，A 、B 都是轮边缘上的点，所以具有相同的线速度。
∴v A ：v B =1：1。
再寻找v C 与v A 或v B 间的关系。
由于C 与B 在同一个轮子上，所以C 、B 具有相同角速度，根据v=ωr 可以确定v B ：v C =2：1。
因此v A ：v B ：v C =2：2：1。
再来看看角速度间的关系：B 、C 两点在一个轮上，所以它们具有相同的角速度，即ωA ：ωB =1：1，而A 、B 两点具有相同的线速度，∴ωA ：ωB =2：1，∴ωA ：ωB ：ωC =2：1：1。
根据角速度与周期的关系，ω=T
π2，可得到T A ：T B ：T C =1：2：2。
例2、上题中，A 、B 、C 三点向心加速度的关系如何？
若从a n =r
v 2入手，∵v A ：v B ：v C =2：2：1，r A ：r B ：r C =1：2：1 ∴a n =r v 2=4：2：1同理，也可以利用a n =ω2r ，或a n =224T
πr 来找出向心加速度的关系，结果是一样的。
更简单的考虑方法是利用a n =ωv ，因为ω与v 的关系已经求出，所以可以直接求出加速度的关系。