高考数学一轮复习 AB小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第三节+圆的方程
[解析] , 或 .当 时，原方程为 , ，没有意义，不符合题意；当 时，原方程为 , ，表示一个圆，满足题意.故 .
关键能力·突破
考点一 圆的方程
1. （2022黑龙江哈尔滨哈三中高三联考）已知圆的圆心为点 ，一条直径的两个端点分别在 轴和 轴上，则此圆的方程是( )
若圆过 ， ， 三点，则 解得 所以圆的方程为 ，即 .
方法感悟求圆的方程的两种方法1.直接法：通过研究圆的性质，求得圆的圆心和半径，进而求得其方程.
2.待定系数法：根据题意选择圆的方程的形式（标准形式或一般形式），利用条件列出关于 ， ， （或 ， ， ）的方程组，解出 ， ， （或 ， ， ） ，代入标准方程（或一般方程）即可.
[解析] 原方程可化为 ,表示以 为圆心, 为半径的圆. 可看作直线 在 轴上的截距,当直线 与圆相切时,纵截距 取得最大值或最小值,此时 ,解得率,设 ,即 .当直线 与圆相切时,斜率 取得最大值或最小值,此时 ,解得 ，所以 的最大值为 .
选择圆的方程的形式的关键:若已知圆上三点，则选用圆的一般方程;若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.
考点二 与圆有关的最值问题
例1
（1） 若点 是圆 上的一个动点，点 , 为两个定点，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 易知 , ,又 ,当且仅当 时取等号， ，即 的最大值为 .
迁移应用
1. （2021河北衡水中学模拟）若实数 、 满足条件 ，则 的取值范围是( )
×
（3） 表示以 为圆心， 为半径的圆.( )
×
（4） 圆 的圆心是 .( )
×
（5） 若点 在圆 外，则 .( )
√
2. （2022安徽合肥高三模拟）圆 的圆心坐标和半径分别为( )
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程课件
√ √
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2， －2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的 轨迹方程．
【教师备用】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边 形MONP，求点P的轨迹．
位置关系
几何法
判断方法 代数法
点M(x0，y0)在圆A内 |MA|<r
<
<
点M(x0，y0)在圆A上 |MA|＝r
＝
＝
点M(x0，y0)在圆A外 |MA|>r
>
>
点拨 求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC， AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐 标和半径．
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下 题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题 中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结 论．
【教师备用】 拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称 之为阿波罗尼斯圆．
第八章 解析几何 第3课时 圆的方程
考点一 圆的方程 1．圆的定义及方程
定义 标准方程
平面定上点到____的距离等于_定___长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt
设动点P的坐标为(x，y)， 因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|， 所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴 的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02
2025高考数学一轮复习-2.1.2-圆的一般方程【课件】
[跟进训练] 2．已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程． [解] 圆心 C－D2 ，－E2， ∵圆心在直线 x＋y－1＝0 上， ∴－D2 －E2－1＝0， 即 D＋E＝－2.①
又∵半径长 r＝ D2＋2E2－12＝ 2， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， 又∵圆心在第二象限，∴－D2 ＜0，即 D＞0. 则DE＝＝－2，4. 故圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
＋Ey0＋F>0．
()
[解析] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<23时才表示圆． (4) 正 确 ． 因 为 点 M(x0 ， y0) 在 圆 外 ， 所 以 x0＋D2 2 ＋ y0＋E2 2 >D2＋E42－4F，即 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
方程
条件
图形
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋
F＝0
D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F＞0
表示一个点－D2 ，－E2
表
示
以
－D2 ，－E2
为
圆
心
，
以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
么？
方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什
[提示] A＝C≠0，B＝0 且 D2＋E2－4F＞0.
(2)圆心坐标和半径． [解] (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。
由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。
利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。
如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。
新教材高中数学课后素养落实十五2 3 2圆的一般方程含解析新人教B版选择性必修第一册
课后素养落实(十五) 圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B ．⎝⎛⎭⎫12，－1 C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－1 D 〖将圆的方程化为标准方程，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－12，－1．〗 2．方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线 D ．不存在 A 〖方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．〗3．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的圆过原点且圆心在直线y ＝x 上的条件是( ) A ．D ＝E ＝0，F ≠0 B ．D ＝F ＝0，E ≠0 C ．D ＝E ≠0，F ≠0D ．D ＝E ≠0，F ＝0D 〖∵圆过原点，∴F ＝0，又圆心在y ＝x 上，∴D ＝E ≠0．〗4．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )A ．32π B ．34πC ．3πD ．不存在B 〖所给圆的半径为r ＝1＋(m －1)2－2m 22＝12－(m ＋1)2＋3，所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π．〗 5．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D 〖圆心⎝⎛⎭⎫a ，－32b 在第三象限，则a ＜0，b ＞0．直线x ＋ay ＋b ＝0的斜率k ＝－1a ＞0，在x 轴上的截距为－b ＜0，故直线过一、二、三象限，故选D ．〗二、填空题6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线Dx ＋Ey ＋2F ＋8＝0对称，则该圆的半径为________．2 〖圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 由题意有－D 22－E 22＋2F ＋8＝0，则D 2＋E 2－4F ＝16．∴圆的半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝12×4＝2．〗7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________．－2 〖由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线 x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a2代入直线方程得 －1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，解得a ＝－2．〗 8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．5 〖由题意，得直线l 恒过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5．〗三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．〖解〗 圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上， 所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0，即D >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．10．已知关于x ，y 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．〖解〗 (1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， 整理得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， 由题意知5－m ＞0，解得m ＜5．(2)设直线x ＋2y －4＝0与圆：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，整理得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，则y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，又OM ⊥ON (O 为坐标原点)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则(4－2y 1)·(4－2y 2)＋y 1y 2＝0，解得m ＝85．故m 的值为85．1．(多选题)已知圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，则下列说法正确的是( ) A ．圆M 的圆心为(4，－3) B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8 C ．圆M 的半径为25D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6ABD 〖圆M 的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x ＝0，则y 2＋6y ＝0，∴|y 1－y 2|＝6；令y ＝0，x 2－8x ＝0，|x 1－x 2|＝8．〗2．已知点A (－1，1)和圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0，一束光线从点A 出发经过x 轴反射到圆周上的最短路程是( )A ．6B ．8C ．10D ．12B 〖易知点A 在圆C 外，找出点A (－1，1)关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，则最短路程为|CA ′|－r ．又圆的方程可化为(x －5)2＋(y －7)2＝4，则圆心C (5，7)，半径r ＝2， 则|CA ′|－r ＝(5＋1)2＋(7＋1)2－2＝10－2＝8．故所求的最短路程为8．〗3．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m ＝________，圆的面积为________．－3 8π 〖设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m >0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C (2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1， 即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m －2＋1＝－4， ∴m ＝－3，符合m <1的条件． r ＝1216＋4－4×(－3)＝22，∴圆的面积为πr 2＝π×(22)2＝8π．〗4．已知点A (－2，0)，B (0，2)，若点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．3－2 〖如图所示，△ABC 的面积最小时，点C 到直线AB 的距离最短，该最短距离其实就是圆心到直线AB 的距离减去圆的半径．直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，|AB |＝22，x 2＋y 2－2x ＝0可化为(x －1)2＋y 2＝1，易知该圆的圆心为(1，0)，半径为1，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝32＝322，故△ABC 面积的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－2．〗在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两条坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．〖解〗 (1)显然b ≠0，否则二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个非零的不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b ＞0且b ≠0，即b ＜1且b ≠0．所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0得x ＝－1±1－b ．于是二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0．(3)圆C 必过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0 (*)．为使(*)式对所有满足b ＜1且b ≠0的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验，知点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点．。
高考数学一轮复习 圆的标准方程、圆的一般式方程2
2008高考数学一轮复习圆的标准方程、圆的一般式方程【复习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.能判断点和圆的位置关系；会由圆的方程和直线方程讨论圆与直线的位置相关性质，会由圆的方程讨论两圆的位置关系；3.会求圆的切线方程。
【重点难点】建立数形结合的概念，(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法求一般方程，掌握直线和圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质，掌握用代数方法研究几何问题的方法并解决相应的具体问题。
【知识结构】【基础知识】【课前预习】1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点(3，b)；（3）经过点P(5，1)，圆心在点O(8，-3)．（4）圆心在x 轴上且过点O(-1，1)和D(1，3)的圆的方程 （5）求以O(1，3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程 2. x 2+y 2-x+y+F=0表示一个圆，则实数F 的取值范围是3. 经过圆C ：x 2+y 2 =1上一点（1,2）的切线方程4.过原点与x 轴、y 轴的交点分别是（a,0）、(0，b)（ab ≠0）的圆的方程为5. “a=b ”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2”相切的 （ ） (A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件 （C ）充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件6.设直线l 过点（-2，0），且与圆相切，则l 的斜率是 （ ）(A) ±1 (B) ±12（C (D) 【例题分析】【例1】求以C(-1，2)为圆心，且和直线l:2x-3y-5=0相切的圆的方程．【例2】当M(x 0，y 0)在(x-a)2+(y-b)2=r 2上时，求过M(x 0，y 0)，圆的切线方程。
【例3】经过点A(3，2)、圆心在直线y=2x 上且和直线y=2x+5相切的圆的方程【例4】(1) 已知直线x-y+b=0与圆x 2+y 2=8相切，求b 的值．（2）求圆心在x 轴上且过点O(-1，1)和D(1，3)的圆的方程．（3） 点M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9上，则M 点到直线3x+4y-2=0的最短距离为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．2（4）圆0104422=---+y x y x 上的点到直x +y －14=0的距离的最大值与最小值的差是（ ）A ．36B ．18C ．62D ．52【例5】(1)圆的弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．(2) 求过点M（2，x2+y2=4相切的直线方程.（3）求过点M（-3，1）且与圆x2+y2-4x-8y+18=0相切的直线方程.【例6】求与x轴相切于电（2，0）且在y轴上截取的弦长是4的圆的方程.【例7】（1）已知定点A（0，0）和圆x2+y2=1上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（2）已知定点A（1，1）和圆（x-2）2+（y+1）2=4上的动点，求线段的中点的轨迹方程.【例8】求满足下列条件的圆的方程：（1）求过点M（4，-1）且与已知圆C：x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B（1，2）的圆的方程．（2）求圆C：x2+y2-2y-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程．（3）求与直线x+y-2=0和圆C：x2+y2—12x-12y-54=0都相切的半径最小的圆的方程．【例9】圆M的圆心在直线l1：x-y-1=0上，且和直线l2:4x+3y+14=0相切，又截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆M的方程.【例10】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得.PM 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.[分析]：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝NPN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程.[解析]:以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ）则（x+2）2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ） [评析]:本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等。
高考数学一轮总复习第9章解析几何第3节圆的方程课件文
2．已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．
第九章 解析几何
第三节 圆的方程
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
求圆的方程，与圆有关的轨
迹问题、最值问题是考查的热
掌握圆的几何要素，掌握圆 点．题型主要以选择题、填空题
的标准方程与一般方程.
为主，要求相对较低，但内容很
(3)已知圆 M 与直线 x－y＝0 及 x－y＋4＝0 都相切，且圆心在直线 y＝－x＋2 上， 则圆 M 的标准方程为____________．
[解析] (1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点 A(2，1)，所以(2 －a)2＋12＝4，解得 a＝2± 3，所以所求圆的方程为(x－2± 3)2＋y2＝4.
考点 求圆的方程
【例】 (1)圆心在 x 轴上来自半径长为 2，且过点 A(2，1)的圆的方程是( )
A．(x－2－ 3)2＋y2＝4
B．(x－2＋ 3)2＋y2＝4
C．(x－2± 3)2＋y2＝4
D．(x－2)2＋(y－1)2＝4
(2)(一题多解)(2018 年天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2， 0)的圆的方程为____________．
高考数学一轮复习教材基础练第八章平面解析几何第三节圆的方程直线与圆及圆与圆的位置关系教学课件
2.求过圆外一点 的切线方程的方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
知识点96：直线与圆的位置关系
教材素材变式
【变式探究】[多选][2021新高考Ⅱ卷]已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
教材素材变式
7. 在平面直角坐标系xOy中,已知第一象限内的点A在直线l:y=2x上,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD,则圆C的半径等于 .
教材素材变式
第3步:求结果所以圆C的半径r=|AB|==.解法二 由解法一知D(1,2),连接BD,易知BD⊥l,又AB⊥CD,所以△ABD为等腰直角三角形,则|AB|=|BD|=2,所以圆C的半径为.
教材素材变式
3. 由直线x-y+4=0上一点向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线长的最小值为A. B.3 C.2 D.2-1
教材素材变式
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为 .
知识点95：圆的方程
2.点与圆的位置关系圆的标准方程为 ，圆心 的坐标为 ,半径为 ，设 的坐标为 .
高考数学一轮复习 AB小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程 试题
第三节 圆的标准方程和一般方程A 组1．若圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，若圆与两坐标无公共点，即⎩⎨⎧k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2.2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2010年广东汕头调研)已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D内的弧长为________．答案：π4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的距离等于半径的22倍．由于圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3. 6．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求． (2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公共点为M 1，M 2， 易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或y ＝－4.B 组1．(2010年福州质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.2．(2010年扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2009年高考上海卷改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝252－12＝46，四边形ABCD 的面积为20 6.6．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O (0,0)，又∵△ABP 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆．其直径d ＝OP ＝25，∴半径r ＝ 5.而圆心C 为(2,1)，∴外接圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.7．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－|x |－|y |＝0，O 为坐标原点，则PO 的取值范围是______．解析：方程x 2＋y 2－|x |－|y |＝0可化为(|x |－12)2＋(|y |－12)2＝12.所以动点P (x ，y )的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO 的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2010年安徽合肥质检)曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析：曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 方程为x －y －1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.答案：(x －12)2＋(y ＋12)2＝12 9．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，若对满足条件的x 、y ，不等式yx －3＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤yx －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，若存在？求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a .由题意得|a 2－a2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.(2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt△ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 距离的平方和的最大值和最小值．解：如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和为d ，则d ＝PA 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100 ＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x . ∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． (2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此，圆C 过定点．。
【精品】高考数学一轮复习通用版第三节 圆与方程
第三节圆与方程1．圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0) 圆心：(a ，b )，半径：r一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是________．解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0，即(0＋a )2＋(0＋1)2＞2a ，所以原点在圆外．答案：原点在圆外2．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12AB ＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏]若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋12－4m ＞0，1＋(－1)2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12考点一 圆的方程 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·东台中学检测)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，则(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝102．(2018·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为____________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的标准方程为____________． 解析：因为AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)，所以A (0,2)，B (2,0)，AB ＝(0－2)2＋(2－0)2＝2 2. 所以点A ，B 的中点为(1,1)，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24．(2019·盐城中学测试) 圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)． (1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 所以圆心为(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以直线AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得半径r ＝10， 因此所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·涞水月考)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求yx 的最大值与最小值．解：方程(x －3)2＋(y －3)2＝6表示以(3,3)为圆心，6为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值， 此时|3k －3|k 2＋1＝6，解得k ＝3±2 2. 所以yx 的最大值为3＋22，最小值为3－2 2. 角度二：截距型最值问题2．(2018·东海高级中学测试)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________．解析：令b ＝2x －y ，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值． 由|2×2＋1－b |5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5. 答案：5＋ 53．(2019·启东模拟)已知非负实数x ，y 满足x ≠y ，且x 2＋y 2x ＋y ≤4，则S ＝y －2x 的最小值是________．解析：由x 2＋y 2x ＋y ≤4，得x 2＋y 2≤4(x ＋y )，移项配方得(x －2)2＋(y －2)2≤8，此不等式表示以C (2,2)为圆心，以22为半径的圆及其内部在第一象限与x 轴、y 轴正半轴的部分(除去y ＝x )．将S ＝y －2x 变形为y ＝2x ＋S ，当直线l ：y ＝2x ＋S 与圆相切于第一象限时，S 取得最小值，由圆的切线性质，圆心C (2,2)到l 的距离等于半径长，即|2＋S |5＝22，解得S ＝－2－210(S ＝－2＋210舍去)．故S ＝y －2x 的最小值是－2－210.答案：－2－210 角度三：距离型最值问题4．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[通法在握]与圆有关的最值问题的3种常见转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]1．(2019·淮安检测)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝1，则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r ＝1.因为x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(3－0)2＝13，所以x 2＋y 2的最小值为(13－1)2＝14－213.答案：14－2132．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,0)，B (1,0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．解析：设C (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S △ABC ＝12×2×|y |≤22，即△ABC 的面积的最大值是2 2.答案：2 2考点三 圆的方程的简单应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·扬州调研)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)因为圆M 的方程可化为(x 2＋y 2＋3y )－(3＋y )a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3y ＝0，3＋y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)． [由题悟法]圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析，也可利用方程中x ，y 的取值范围来确定有关函数的值或范围．[即时应用]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的取值范围．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且P Q ―→·M Q ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 所以P Q ―→·M Q ―→的取值范围为[－4,0]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为________． 答案：x 2＋y 2＝92．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0上任意一点，点Q (2a ，a＋3)(a ∈R )，则线段P Q 长度的最小值为________．解析：圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0，即 (x ＋1)2＋y 2 ＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q (2a ，a ＋3)到圆心(－1，0)的距离d ＝(2a ＋1)2＋(a ＋3)2＝5a 2＋10a ＋10＝5(a ＋1)2＋5，所以当a ＝－1时，d 取得最小值为5，故线段P Q 长度的最小值为5－1. 答案：5－13．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________． 解析：由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2得，a 2＋b 2＝2. 所以点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2. 答案：24．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心， 又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝15．(2019·兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x ＝2与直线x ＋y ＝4的交点的圆的标准方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)．又点(2,0)在圆上，所以半径r ＝2，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝46．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则P Q 的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为M Q ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡调研)设两条直线x ＋y －2＝0,3x －y －2＝0的交点为M ，若点M 在圆 (x －m )2＋y 2＝5内，则实数m 的取值范围为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则M (1,1)，由交点M 在圆(x －m )2＋y 2＝5的内部，可得(1－m )2＋1＜5，解得－1＜m ＜3. 故实数m 的取值范围为(－1,3)． 答案：(－1,3)2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为kx －y ＋1－2k ＝0，当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值，由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. 答案：33，－333．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝24．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：根据题意，设圆C 的圆心为(m ，－2m )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)2＋(－2m ＋1)2＝r 2，|m －2m －1|2＝r ，解得m ＝1，r ＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝25．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m ＝________.解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：－16．在平面直角坐标系xOy 内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π48．(2018·滨海中学检测)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在点Q ，使得∠CP Q ＝30°，则正数a 的取值范围是________．解析：由圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2，得圆心为C (a ，a )，半径r ＝2a ， ∴CP ＝a 2＋(a －2)2，设过P 的一条切线与圆的切点是T ， 则CT ＝2a ，当Q 为切点时，∠CP Q 最大． ∵圆C 上存在点Q 使得∠CP Q ＝30°， ∴CTCP ≥sin 30°，即2a a 2＋(a －2)2≥12，整理可得3a 2＋2a －2≥0，解得a ≥7－13或a ≤－7－13(舍去)．又点 P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴a 2＋(2－a )2＞2a 2，解得a ＜1.故正数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，19．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径CD ＝410， 所以PA ＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得，16－210≤t ≤16＋210， 所以所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率k ，所以直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线M Q 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宁海中学模拟)如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么ba 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝m x ＋1＋1的图象恒过点(－1,2)，代入直线2ax －by ＋14＝0，可得－2a －2b ＋14＝0，即a ＋b ＝7.∵定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25.设b a ＝t ，则b ＝at ，代入a ＋b ＝7，可得a ＝71＋t ，b ＝7t 1＋t，代入a 2＋b 2≤25，可得()1＋t 2×⎝⎛⎭⎫71＋t 2≤25，∴12t 2－25t ＋12≤0，∴34≤t ≤43.故b a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，43. 答案：⎣⎡⎦⎤34，432．(2018·启东中学检测)已知点A (0,2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________．解析：圆M 的方程可化为(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2.圆心为M (a ，a )，半径为2a .当A ，M ，T 三点共线时，∠MAT ＝0°最小，当AT 与圆M 相切时，∠MAT 最大．圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，只需要当∠MAT 最大时，满足45°≤∠MAT ＜90°即可．MA ＝(a －0)2＋(a －2)2＝2a 2－4a ＋4，此时直线AT 与圆M 相切，所以sin ∠MAT ＝MT MA ＝2a 2a 2－4a ＋4. 因为45°≤∠MAT ＜90°，所以22≤sin ∠MAT ＜1， 所以22≤2a 2a 2－4a ＋4＜1， 解得3－1≤a ＜1.答案：[3－1,1)3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1)以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1 m 为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为F (33，0)，M (0,3)都在圆上，所以⎩⎨⎧ (33)2＋b 2＝r 2，02＋(3－b )2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD 交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得11＋(y ＋3)2＝36，解得y ＝2或y ＝－8(舍去)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF )－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．答：车辆的限制高度为3.5 m.。
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程 (2)
C'1(2,-3)(图略),
所以|PC1|+|PC2|=|PC'1|+|PC2|≥|C'1C2|=5√2,即
所以A(2,0)或A(6,0).因为A在直线x-y-4=0的左上方,所以A(2,0),所以
C(2,4),r=4,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.
故选D.
(2)(方法1)根据题意,设圆心E的坐标为(a,0)(a>0),半径为r,则圆E的标准方
程为(x-a)2+y2=r2(a>0).
2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × )
3
1 + + = 0,
= -2,
4 + 2 + = 0,解得 = 0, 所以圆 E 的一般方程为 x2+y2-3x-1=0,
2
1- + = 0,
= -1,
即
3 2
2 25
- 4 +y =16.
方法总结求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)(2021浙江温州一中月考)以直线ax-y-3-a=0(a∈R)过的定点
(θ 为参数),即
-7 = 2√2sin
= 2 + 2√2cos,
2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第三讲 圆的方程学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第三讲圆的方程学案（含解析）新人教版班级：科目：第三讲圆的方程知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一圆的定义及方程知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b）2＝r2,点M（x0，y0)，(1）（x0－a)2＋（y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；（2）（x0－a)2＋(y0－b）2__＞__r2⇔点在圆外；（3)（x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2⇔点在圆内．错误!错误!错误!错误!1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．2．圆心在任一弦的垂直平分线上．3．两圆相切时,切点与两圆心三点共线．4．以A(x1，y1），B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1）(x－x2）＋(y－y1)（y－y2）＝0（公式推导:设圆上任一点P(x，y)，则有k P A·k PB＝－1，由斜率公式代入整理即可)．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）(1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（√)（2)已知点A(x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1）（y－y2）＝0．（√）(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×）(4）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y错误!＋Dx＋Ey＋F＞0．(√）（5)方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝t2（t∈R)表示圆心为(a，b），半径为t的圆．(×）题组二走进教材2．（必修2P124A组T4）圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B（1，3),则圆C的方程为__（x－2)2＋y2＝10__．［解析]设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1,1）和B（1，3)在圆C上,∴｜CA|＝|CB|,即错误!＝错误!,解得a＝2,∴圆心为C（2，0),半径｜CA|＝错误!＝错误!，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10．3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为（C）A．（x－2）2＋（y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．（x－2)2＋(y＋1）2＝9 D．（x＋2)2＋（y－1)2＝9［解析]因为圆心(2,－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝错误!＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为（x－2）2＋(y＋1）2＝9．故选C．题组三走向高考4．（2019·北京高考）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为__（x－1)2＋y2＝4__．［解析］∵抛物线的方程为y2＝4x,∴其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1．又∵圆与直线l相切,∴圆的半径r＝2，故圆的方程为（x－1)2＋y2＝4．5．（2020·高考全国Ⅱ）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]设圆心为P（x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴,y轴都相切,∴|x0|＝｜y0|＝r,又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋（r－1）2＝r2,解得r＝1或r＝5．①r＝1时，圆心P(1,1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝错误!＝错误!；②r＝5时,圆心P（5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝错误!＝错误!．故选B．考点突破·互动探究考点一求圆的方程——自主练透例1 (1）(2021·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上,则圆M的方程为（C）A．(x＋3）2＋（y－1)2＝1 B．(x－3）2＋（y＋1)2＝1C．(x＋3）2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1）2＝1（2）（2021·重庆一中、湖北鄂州期中）圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（B)A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0(3）（2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0)，(1,1)，(2，0）的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．(4）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,错误!)在圆C上，且圆心到直线2x－y ＝0的距离为错误!，则圆C的方程为__（x－2）2＋y2＝9__．[解析](1)由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离错误!＝2的一半，∴r＝1，设圆心的坐标为（a，－a－4)，则错误!＝错误!解得a＝－3，∴圆心坐标为（－3,－1），∴圆M的方程为（x＋3)2＋（y＋1)2＝1，故选C．另解：与两平行直线距离相等的直线方程为3x－4y＋5＝0,由错误!,得圆心坐标为（－3,－1),又两平行线间距离为错误!＝2，∴圆M的半径r＝1，∴圆M的方程为（x＋3)2＋（y＋1）2＝1．故选C．(2)设圆心C(a，0)(a＞0）,由题意知错误!＝2，解得a＝2，故圆C的方程为（x－2）2＋y2＝22,即x2＋y2－4x＝0,故选B．(3）设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．分别代入（0,0)，（1，1），（2,0)三点，得错误!解得错误!故圆的方程为x2＋y2－2x＝0．（4）设圆C的圆心坐标为（a,0），a＞0，半径为r,则错误!＝错误!．∵a＞0，∴a＝2．∴r2＝(2－0)2＋（0－错误!）2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．名师点拨求圆的方程的两种方法（1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2）待定系数法:①若已知条件与圆心(a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．〔变式训练1〕（1)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（A）A．（x－2）2＋（y－1）2＝1 B．（x－2)2＋（y＋1)2＝1C．（x＋2）2＋（y－1)2＝1 D．（x－3）2＋(y－1）2＝1（2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3),B(－2，－5)的圆的方程为__（x＋1)2＋(y＋2)2＝10__．[解析]（1)由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为（a,1)(a＞0)，又圆与直线4x －3y＝0相切，∴错误!＝1，解得a＝2或a＝－错误!(舍去）．∴圆的标准方程为（x－2）2＋(y－1)2＝1．故选A．(2）AB的中点为H(0,－4），且k AB＝错误!＝错误!,∴AB中垂线方程为y＋4＝－2x,即2x＋y＋4＝0．由错误!得圆心C（－1，－2)，∴r2＝AC2＝10．故所求圆的方程为（x＋1）2＋(y＋2)2＝10．考点二与圆有关的最值问题-—多维探究角度1斜率型最值例2 已知点P（x,y)在圆x2＋(y－1）2＝1上运动，则错误!的最大值与最小值分别为__错误!，－错误!__．［解析］设y－1x－2＝k，则k表示点P(x,y）与点（2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．由错误!＝1,解得k＝±错误!,故填错误!，－错误!．角度2截距型最值例3(2021·海南海口模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0），则m＝3x＋y 的取值范围是(B)A．（－2错误!,4) B．［－2错误!，4]C．［－4,4］D．［－4，23][解析］x2＋y2＝4（y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分,如图所示，直线错误!x＋y－m ＝0的斜率为－错误!，在y轴上的截距为m；当直线错误!x＋y－m＝0过点(－2,0）时，m＝－23．设圆心(0,0）到直线错误!x＋y－m＝0的距离为d，则错误!即错误!解得m∈[－2错误!，4]．角度3与距离有关的最值例4（2021·陕西西安一中质检）P是圆M：x2＋（y－3)2＝4上的动点，则P到直线l：错误!x－y－3＝0的最短距离为(D)A．5 B．3C．2 D．1［解析］如图，过M作MA⊥l于A,当P在线段MA上时,|P A|为最短距离,|MA|＝错误!＝3，｜P A|＝|MA｜－2＝1．［引申]本例中若P（x，y),则（1）（x＋3)2＋（y＋1)2的最大值为__49__，最小值为__9__．（2）|x－2y－2｜的取值范围为__［8－2错误!，8＋2错误!]__．［解析］（1）（x＋3）2＋(y＋1)2表示圆上的点到点N(－3，－1）距离的平方，由｜MN｜＝错误!＝5知圆上的点到N的距离的最大值为7,最小值为3,故(x＋3）2＋(y＋1)2的最大值为49,最小值为9．（2)｜x－2y－2|表示圆上的点到直线l1：x－2y－2＝0距离的错误!倍，又圆心M（0，3)到直线l1的距离为错误!＝错误!，∴圆M上的点到直线l2距离的取值范围为错误!．故｜x－2y－2｜的取值范围为［8－2错误!,8＋2错误!]．名师点拨与圆有关的最值问题的常见解法(1）形如μ＝错误!形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如（x－a）2＋(y－b）2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(4)圆上的点到定点（定直线）距离的最大值与最小值为圆心到定点（定直线)距离与半径的和与差．〔变式训练2〕已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：（1)（角度1）错误!的最大值和最小值；（2）(角度2）y－x的最大值和最小值；（3）（角度3）x2＋y2的最大值和最小值．[解析]（1）如图,方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点C(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设错误!＝k,即y＝kx，则圆心（2，0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值．由错误!＝错误!，解得k2＝3，所以k max＝错误!，k min＝－错误!．（2)解法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时错误!＝错误!,解得b＝－2±错误!．所以y－x的最大值为－2＋错误!，最小值为－2－错误!．解法二：设圆的参数方程为错误!(0≤θ＜2π），则y－x＝错误!sin θ－错误!cos θ－2＝错误!sin错误!－2，当θ＝错误!π时，取最大值错误!－2,当θ＝错误!π时,取最小值－错误!－2．（3）解法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是（2＋错误!)2＝7＋4错误!．x2＋y2的最小值是(2－3）2＝7－4错误!．解法二：由（2）中的参数方程可得：x2＋y2＝（2＋错误!cos θ)2＋（错误!sin θ)2＝7＋4错误!cosθ从而得x2＋y2的最大值为7＋4错误!，最小值为7－4错误!．考点三，与圆有关的轨迹问题——师生共研例5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0），B（1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．（1)求线段AP中点的轨迹方程；(2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．［解析］(1）设AP的中点为M（x，y)，由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2）2＋（2y）2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1．（2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，｜PN｜＝|BN｜，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP|2＝|ON｜2＋｜PN|2＝|ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．名师点拨求与圆有关的轨迹方程的方法错误!-错误!｜错误!—错误!|几何法—错误!｜错误!错误!〔变式训练3〕（2021·河北衡水中学调研）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1,0)，B(3,0）．求: (1）直角顶点C的轨迹方程；（2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解析］（1）解法一：设C（x,y)，因为A，B，C三点不共线,所以y≠0．因为AC⊥BC,所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1,k BC＝错误!,所以错误!·错误!＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0）．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0),由直角三角形的性质知|CD｜＝错误!｜AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4（y≠0）．(2）设M（x，y），C(x0,y0），因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝错误!，y＝错误!，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0），将x0＝2x－3,y0＝2y代入得（2x－4)2＋(2y)2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2)2＋y2＝1(y≠0）．名师讲坛·素养提升对称思想在圆中的应用例6 （1)一条光线从点（－2,－3）射出，经y 轴反射后与圆（x ＋3）2＋(y －2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ D ）A ．－53或－错误! B ．－错误!或－错误! C ．－错误!或－错误! D ．－错误!或－错误!（2）已知A （0，2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则｜P A |＋｜PQ ｜的最小值是__2错误!__．[解析] (1）圆（x ＋3)2＋（y －2)2＝1的圆心为C (－3，2）,半径r ＝1．如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3）．由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点B ．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0．由反射光线与圆相切可得错误!＝1，即|5k ＋5｜＝错误!,整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4）(4k ＋3)＝0,解得k ＝－错误!或k ＝－错误!，故选D ．（2)圆C 的方程可化为(x －2）2＋（y －1）2＝5，其圆心C (2，1）关于直线l :x ＋y ＋2＝0的对称点为C ′（－3，－4)，|P A ｜＋｜PQ ｜的最小值为｜AC ′｜－错误!＝错误!－错误!＝2错误!．[引申］本例（1）中入射光线所在直线的方程为__4x －3y －1＝0或3x －4y －6＝0__．名师点拨]1．光的反射问题一般化为轴对称解决．2．求解形如|PM|＋｜PN｜(其中M，N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:(1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．3．定点到圆上动点距离的最大（小）值为定点到圆心的距离加(减）半径；圆上的点到定直线距离的最大（小）值为圆心到直线的距离加（减)半径．〔变式训练4〕已知圆C1:(x－2)2＋（y－3)2＝1,圆C2：（x－3)2＋(y－4）2＝9,M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM|＋|PN｜的最小值为(A)A．5错误!－4 B．错误!－1C．6－2错误!D．错误!［解析］C1（2，3)关于x轴的对称点为C3（2，－3），又｜C2C3｜＝(2－3)2＋(－3－4)2＝52，∴|PM｜＋|PN｜的最小值为5错误!－3－1＝5错误!－4．故选A．。
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高考数学一轮复习 AB 小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程A 组1．若圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，若圆与两坐标无公共点，即⎩⎨⎧k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2.2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 3．(2010年广东汕头调研)已知D是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，则圆x2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案：π4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的距离等于半径的22倍．由于圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3. 6．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则|QM |＝错误!＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公共点为M 1，M 2，易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或y ＝－4.B 组1．(2010年福州质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y－1)2＝2.2．(2010年扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2009年高考上海卷改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 4．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝252－12＝46，四边形ABCD 的面积为20 6.6．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O (0,0)，又∵△ABP 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆．其直径d ＝OP ＝25，∴半径r ＝ 5.而圆心C 为(2,1)，∴外接圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.7．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－|x |－|y |＝0，O 为坐标原点，则PO 的取值范围是______．解析：方程x 2＋y 2－|x |－|y |＝0可化为(|x |－12)2＋(|y |－12)2＝12. 所以动点P (x ，y )的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO 的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2010年安徽合肥质检)曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析：曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 方程为x －y －1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.答案：(x －12)2＋(y ＋12)2＝129．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，若对满足条件的x 、y ，不等式yx －3＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤yx －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，若存在？求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a .由题意得|a 2－a2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.(2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a2＝52，解得a ＝10，此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt△ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 距离的平方和的最大值和最小值．解：如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和为d ，则d ＝PA 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x . ∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]． ∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此，圆C 过定点．。