高考数学一轮复习 AB小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程

高考数学一轮复习 AB 小练习 第十五章解析几何第三节圆的

标准方程和一般方程

A 组

1．若圆x 2

＋y 2

－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________．

解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2

－1，若

圆与两坐标无公共点，即⎩⎨⎧

k 2－1<|k |

k 2

－1<1

，解得1

2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．

解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)

2

＝1，解得x 0＝2或x 0＝－1

2(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2

＋(y －1)2

＝1. 3．(2010年广东汕头调研)已知D

是由不等式组⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －2y ≥0

2x ＋y ≥0，所确定的平面区域，则圆x

2

＋y 2

＝4在区域D 内的弧长为________．

答案：π

4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2

＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．

解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2

＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2

关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧

b －1a ＋1＝－1，

a －12－

b ＋1

2－1＝0，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝2，

b ＝－2，

圆C 2的半径为

1，∴圆C 2的方程为(x －2)2

＋(y ＋2)2

＝1.

5．(原创题)圆x 2＋y 2

－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________．

解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的距离等于半径的2

2倍．由于圆的标准方

程为(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝5－c ，即2＝

2

2

×5－c ，解得c ＝－3. 6．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.

(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；

(2)若点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．

解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，

则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2

，

化简可得(x －5)2＋y 2

＝16即为所求．

(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则|QM |＝错误!＝

|CQ |2

－16，

当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|

2＝42，

此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公共点为M 1，M 2，

易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或y ＝－4.

B 组

1．(2010年福州质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________________．

解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心

坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2

＋(y

－1)2

＝2.

2．(2010年扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．

解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12

，又OA ＝a 2＋b 2

，∴以

O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2

)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.

3．(2009年高考上海卷改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2

＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．

解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02

＝4，连线中点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，

代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 4．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2

＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.

解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2

＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1.

5．已知圆的方程为x 2＋y 2

－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．

解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r ＝10，

最短弦BD ＝252－12

＝46，四边形ABCD 的面积为20 6.

6．过圆x 2＋y 2

＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程是____________________．

解析：∵圆心为O (0,0)，又∵△ABP 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆．其直径d ＝OP ＝25，∴半径r ＝ 5.

而圆心C 为(2,1)，∴外接圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2

＝5.

7．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2

－|x |－|y |＝0，O 为坐标原点，则PO 的取值范围是______．

解析：方程x 2＋y 2

－|x |－|y |＝0可化为(|x |－12

)2＋(|y |－

12)2＝12

. 所以动点P (x ，y )的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO 的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．

8．(2010年安徽合肥质检)曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．

解析：曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 方程为x －y －1＝0，与坐标轴围成的三

角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.答案：(x －12

)

2

＋(y ＋12)2＝12

9．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2

＝1，若对满足条件的x 、y ，不等式

y

x －3

＋c ≥0恒成立，则