高中一年级数学必修一函数与方程

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高一必修一数学第三章函数与方程知识点

高一必修一数学第三章函数与方程知识点
在数学中，一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系，符号通常为f(x)。

小编准备了高一必修一数学第三章函数与方程知识点，具体请看以下内容。

函数与方程知识点
函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
1 (代数法)求方程的实数根;
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数 .
(1)△0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
(2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一
个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
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高中数学必修一第十四讲函数与方程

第十四讲函数与方程1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7B ．72C ．－72D ．－7类型二零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－9且a ≠0B ．a >－9C ．a <－9D ．a >0或a <0类型三函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．类型四二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．练习2: 用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)1、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或13、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.55、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【巩固练习】：一、基础训练题：1．作出下列幂函数的大致图像（1）43-=x y （2）72x y = （3）83x y = （4）53x y =2．函数12(0.58)xy -=-的定义域是．3.设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定4.若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；5.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定6.方程0lg =+x x 根的个数为（）A ．无穷多B ．3C ．1D ．07.函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（）A ．41B ．1-C ．4D ．4-8. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为（）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 9.函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--- 10. 设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点11. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 12.若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．13.已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.二、能力提高题： 1.解不等式3232)23()32(--+<-x x2.已知函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．3. 若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －12)4.若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是____ ____．5.若1>>b a ，10<<c ，则（）A.c c b a <B.cc ba ab < C.c b c a a b log log < D.c c b a log log <6.已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题：①函数=y [])(x g f 有且仅有6个零点 ②函数[])(x f g y =有且仅有3个零点 ③函数[])(x f f y =有且仅有5个零点 ④函数[])(x g g y =有且仅有4个零点其中正确的命题是．基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2)(x f y =)(x g y =]2,2[-C ．1，12D ．－1，－123．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0,f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－4672f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．8．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02x >0，若f (－4)＝2,f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 10. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．。

最新版教材高中数学必修一知识讲解_函数与方程_基础

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）．归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．（2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k =0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c =0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c =0，且0ba>．要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-．（1）解方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负．【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x +3=0或x +1=0或x ―2=0，所以x =―3或x =―1或x =2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2.若一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2，那么函数2()g x ax bx =+的零点是．【思路点拨】由题意可知，2a +b =0，即b =－2a ；代入并令g （x ）=0解得x =0或12x =．【答案】0，12【解析】∵一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2， ∴2a +b =0，即b =－2a ；∴令22()2(12)0g x ax bx ax ax ax x =+=-=-=，解得，x =0或12x =；故答案为：0，12．【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系．举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；（3）[]2()log (2),1,3f x x x x =+-∈．【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．（3）2222(1)log 31log 210,(3)log 53log 830f f =->-==-<-=，∴(1)(3)0f f ⋅<，故2()log (2)f x x x =+-在区间[]1,3上存在零点．【高清课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4．已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】（1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-．（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根；（3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a =0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意；当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a af <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解．所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.（2016 河南许昌月考）已知函数32()231f x x x x =--+．（1）求证：f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）若f （x ）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f （x ）=0的一个近似解（精确到0.1）．【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案．【答案】（1）略；（2）1.3【解析】（1）证明：∵32()231f x x x x =--+， ∴f （1）=－1＜0，f （2）=7＞0， ∴f （1）·f （2）=－7＜0且32()231f x x x x =--+在（1，2）内连续，所以f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）由（1）知32()231f x x x x =--+在（1，2）内存在零点，由表知，f （1）=―1，f （1.5）=1，∴f （1）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1，1.5）上，∵f （1.25）=―0.40625，∴f （1.25）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.5）上， ∵f （1.375）=0.18359，∴f （1.25）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.375）上；∵f （1.3125）=－0.31818，∴f （1.3125）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.375）上， ∵f （1.34375）=0.01581，∴f （1.3125）·f （1.34375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.34375）上，由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，所以f （x ）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．举一反三：【高清课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】设()338xf x x =+-，用二分法求方程338xx +-在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定【思路点拨】由已知“方程3380xx +-=在x ∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，它们异号．【答案】B【解析】∵f （1.5）•f （1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B ．【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y =f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f （a ）f （b ）＜0，则函数y =f （x ）在区间（a ，b ）上有零点．类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】（1）3200；（2）11% 【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P (1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P =3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x )4=3200（0＜x ＜1）4观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：考点必考知识必备【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y =x (15－2x )2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y =x (15－2x )2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5．（2）原问题可转化为当y =150时，求方程x (15―2x )2=150的近似解．设g (x )=x (15―2x )2―150，由于g (0)·g (1)＜0且g (4)·g (5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。

必修一数学知识点归纳

一、函数与方程1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。

2. 函数的表示方法：函数可以用表达式、表格、图像等方式表示。

3. 函数的性质：函数具有单值性、连续性、可导性等性质。

4. 函数的分类：根据函数的定义域和值域的不同，可以将函数分为常数函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

5. 函数的运算：函数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。

6. 函数的复合：两个或多个函数可以组合成一个新的函数，称为函数的复合。

7. 函数的反函数：如果一个函数的输入和输出可以互换，那么这个函数就是其自身的反函数。

8. 方程与不等式：方程是含有未知数的等式，不等式是含有未知数的大于或小于关系的式子。

9. 一元一次方程：只含有一个未知数的一次方程，可以通过移项、消去法等方法求解。

10. 一元二次方程：只含有一个未知数的二次方程，可以通过配方法、公式法等方法求解。

11. 一元一次不等式：只含有一个未知数的一次不等式，可以通过移项、消去法等方法求解。

12. 一元二次不等式：只含有一个未知数的二次不等式，可以通过配方法、判别式法等方法求解。

二、数与式1. 数的概念：数是用来表示数量的符号，包括整数、分数、小数等。

2. 整数的概念：整数是没有小数部分的数，包括正整数、负整数和零。

3. 整数的性质：整数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律等性质。

4. 整数的运算：整数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。

5. 分数的概念：分数是表示部分数量的数，包括真分数、假分数和带分数。

6. 分数的性质：分数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律等性质。

7. 分数的运算：分数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。

8. 小数的概念：小数是表示部分数量的数，包括有限小数和无限小数。

9. 小数的性质：小数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律等性质。

10. 小数的运算：小数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。

高一数学函数与方程的基本性质总结

高一数学函数与方程的基本性质总结函数与方程是高中数学中的重要概念，它们在数学和其他学科的研究中都具有广泛的应用。

本文将对高一数学中函数与方程的基本性质进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。

一、函数的定义和性质函数可以看作是两个集合之间的一种特殊关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用公式或图形表示，常见的函数形式包括代数函数、三角函数等。

1. 函数的定义：函数由定义域、值域和对应关系三部分组成。

定义域是指函数输入的所有可能值的集合，值域是指函数输出的所有可能值的集合。

对应关系表示输入和输出之间的关系。

2. 函数的性质：- 单射：如果不同的输入对应不同的输出，即函数的每个输出对应唯一的输入，这个函数就是单射函数。

- 满射：如果函数的值域等于其真值域，即函数的所有输出都能找到对应的输入，这个函数就是满射函数。

- 双射：如果一个函数既是单射又是满射，即每个输出都对应唯一的输入，且所有的输出都能找到对应的输入，这个函数就是双射函数。

二、方程的定义和性质方程是含有未知数的等式，通过解方程可以求出未知数的值。

方程是数学和实际问题中常见的工具，深入理解方程的性质对解题非常重要。

1. 方程的定义：方程是等式的一种特殊形式，它将一个或多个未知数与已知数之间的关系表示为等式。

解方程就是要找到使等式成立的未知数的值。

2. 方程的性质：- 根：方程成立的解称为方程的根。

一元方程的根是使方程成立的未知数的值。

多元方程有多个未知数，其根是使其成立的未知数值组成的组合。

- 方程等价变形：通过等价变形可以从一个方程推导出另一个与之等价的方程，等价变形不改变方程的根。

- 方程的解集：方程的解的全体称为方程的解集，解集是使方程成立的所有根组成的集合。

三、函数与方程的关系函数与方程密切相关，函数可以用方程来表示，而方程中的未知数的取值也可以看作函数的输入。

1. 方程表示函数关系：给定函数的定义域和对应关系，可以通过方程来表示这种函数关系。

高中数学一年级教案：函数与方程

高中数学一年级教案：函数与方程函数与方程一、引言数学是一门重要的学科，它在不同阶段有着不同的内容和要求。

高中数学作为数学学科的一个重要阶段，在培养学生数学思维能力和解决实际问题的能力方面起着关键性的作用。

本教案将重点介绍高中数学一年级关于函数与方程的教学内容及方法。

二、函数1. 函数定义与表达式（1）函数概念：函数是一个对应关系，将自变量映射到唯一的因变量上。

（2）函数符号：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

（3）解析式表示：常见的解析式表示有多项式、指数、对数等形式。

2. 函数图象（1）坐标系：建立笛卡尔坐标系来描述函数图象。

（2）坐标系原点到曲线距离：垂直距离称为纵坐标或函数值，水平距离称为横坐标或自变量。

（3）基本图象：线性函数、二次函数等基本图象。

三、方程1. 方程定义与类型（1）方程概念：含有未知数的等式称为方程，通过求解来确定未知数的值。

（2）一元方程：只含有一个未知数的方程。

（3）二元方程：含有两个未知数的方程。

2. 解方程的方法（1）常系数一次方程求解：通过分步骤将常系数一次方程转化并用逆运算求解。

（2）二次方程求解：通过配方法、公式法或图象法来求解二次方程。

（3）绝对值方程求解：根据绝对值的性质，将绝对值移项并分类讨论。

（4）分式方程求解：通过等价变形和通分来将分式方程转换为整式的形式进行求解。

四、教学实施1. 教学目标本课教育主要培养学生的函数与方程的基本概念，建立起正确的思想方式，掌握分析和应用函数与解决相关问题的能力，同时提升学生在推理判断、问题解决中使用数学知识与技巧的能力。

具体目标包括：- 了解函数定义与表达方式；- 理解函数图象及其特点；- 理解方程概念及不同类型；- 掌握一些简单函数和一元常系数一次方程组、二次三种类型；各种类型教材所作相关题完全胜任。

2. 教学方法（1）启发式教学法：通过提出问题、引导学生发现规律并进行讨论分析，激发学生的兴趣与思考能力。

高中教育数学必修第一册人教B版《3.2 函数与方程、不等式之间的关系》教学课件

方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内
无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3 函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为(
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
状元随笔由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.
题型2 确定函数零点的个数
例2 已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
则下列说法正确的是(
)
x
y
1
123.56
2
21.45
3
－7.82
)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
状元随笔利用f(a)f(b)＜0求零
点区间．
答案：C
解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)
＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2，3)．
故 x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．
(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
答案：一个
解析：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的
图象，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个

人教版高中数学必修一《函数与方程》ppt课件

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题型二函数零点所在区间的判断【例 2】函数 f(x)＝lg x－9x的零点所在的大致区间是( )． A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9) D．(9,10) [思路探索] 将各选项中区间的端点分别代入 f(x)＝lg x－9x，看是否满足 f(a)·f(b)＜0.
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由图可知函数 y＝ln x，y＝－x＋3 的图象只有一个交点，即函数 f(x)＝x－3＋ln x 只有一个零点．(12 分)
法二因为 f(3)＝ln 3＞0，f(2)＝－1＋ln 2＝1n2e＜0，所以 f(3)·f(2) ＜0，说明函数 f(x)＝x－3＋ln x 在区间(2,3)内有零点．(6 分) 又 f(x)＝x－3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．(12 分)
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规律方法求函数的零点就是求相应方程的实数根，目前能求根的常见方程有一元一次方程、一元二次方程、指数式方程、对数式方程及高次方程．一般可以借助求根公式、因式分解或指数、对数的相关知识解决，求出方程的根，从而得到函数的零点．
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2．函数零点与方程根的关系方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔函数 y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．

函数与方程课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

y=f(x)至少有一个零点.
(1)你能举几个例子说明函数零点存在定理的两个条件，为什么缺一不
可吗？
（2）如果函数()在区间(a,b)内存在零点能得出①y=f(x)在闭区间
[a,b]上的图象是连续曲线,②f(a)·f(b)<0,这两个结论吗？
例题1
求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出f(x)的图象（如下图）
y
14
12
10
8
6
4
2
0
－2
－4
－6
.
..
.
.
.
.
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
x
如图可知这个函数在区间(2,3)内有仅有一个零点。
问题
办法一
不画图，可否得到本题结论？
f(x)=lnx+2x－6
寻找函数值符号的变化规律，用计算器或计算机
作出x、f(x)的对应值表。
x
1
f（x）－4
2
3
1 ||
(
2
2
≤ 1),
若关于 x 的方
- + 4-2( > 1),
程 a=f(x)恰有两个不同实根,则实数 a 的取值范围是( B ).
A. -∞,
C.(1,2)
1
2
∪[1,2)
B. 0,
1
2
D.[1,2)
∪[1,2)
x 2
例 3 (2022·广西玉林一模)函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实
2.根据函数零点的概念思考：函数的零点、对应方程的根、函
数图象与x轴的交点三者之间有什么关系？

高一数学课学习函数与方程的基本概念

高一数学课学习函数与方程的基本概念函数与方程是高中数学中的重要概念，对建立数学思维和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍高一数学课学习函数与方程的基本概念，并探讨其在数学学习中的应用。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，其中每一个自变量对应唯一一个因变量。

在数学中，函数通常用符号表示，如y=f(x)。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系等要素。

定义域是x的取值范围，值域是所有可能的y 值。

函数通过对应关系描述自变量和因变量之间的关系。

函数的性质主要包括奇偶性、单调性和周期性。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

单调函数表示在定义域内，自变量的增加（或减少）导致因变量的增加（或减少）。

周期性函数表示在某一固定的间隔内，自变量的变化导致因变量的重复，如正弦函数和余弦函数。

二、方程的基本概念方程是数学中常见的等式，其中包含未知数和已知数以及运算符号。

在高一数学课上，我们主要学习线性方程和二次方程。

线性方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为常数。

二次方程则是一次方程的平方，表示为ax^2+bx+c=0。

解方程是求出方程中的未知数，使得等式成立。

解方程的基本方法包括移项、合并同类项和因式分解等。

通过运用这些方法，我们能够有效地解决实际问题，如求未知数的值或寻找满足条件的数值。

三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。

以函数为基础，我们可以对自然界中许多现象进行建模和分析。

例如，人口增长、物体运动和金融利息等问题都可以通过函数来描述和解决。

方程的应用更为广泛。

我们可以通过方程来解决几何问题、经济问题和物理问题等。

在几何中，我们可以通过方程来求解图形的坐标和距离。

在经济学中，方程可以用于描述供需关系和市场均衡状态。

在物理学中，方程可以用于描述物体的运动和力学关系。

四、数学学习的重要性数学学习不仅仅是为了应对考试，更重要的是培养数学思维和解决问题的能力。

函数与方程作为数学的重要基础，对于学习其他数学分支和应用科学都有很大的帮助。

高中一年级数学应用题讲解函数与方程

高中一年级数学应用题讲解函数与方程数学是一门抽象而又实用的学科，它在各个领域都得到了广泛的应用。

在高中一年级的数学学习中，函数与方程是一个重要的内容。

本文将针对高中一年级的数学应用题，围绕函数与方程的知识进行讲解，以帮助同学们更好地理解和应用相关概念。

一、函数的概念及应用函数是数学中一种非常常见且重要的概念。

简而言之，函数就是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值上。

在实际生活中，我们可以将函数看作是一种“规则”或“操作”，通过给定的输入，得到对应的输出。

例如，我们可以定义一个函数f(x)，表示一个物体在水平方向上的位移。

假设物体的初始位移为0，那么在给定时间t后，物体的位移可以用函数f(t)表示。

如果我们知道物体的速度v，那么函数f(t)可以表示为f(t) = vt，其中v为常数。

在高中一年级的数学应用题中，函数通常被用于描述和解决各种实际问题。

我们可以通过建立函数模型来分析和解决这些问题。

接下来，我们将通过一些具体的例子来说明函数的应用。

例题1：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求该车行驶了t小时后的位移。

解析：根据题目，我们可以列出函数模型f(t) = 60t，其中t为时间（单位：小时），f(t)为位移（单位：公里）。

通过这个函数模型，我们可以很方便地计算出任意时间段内汽车行驶的位移。

例如，如果我们想要知道汽车行驶2小时后的位移，我们只需将t的值代入函数模型，即可得到f(2) = 60 * 2 = 120公里。

因此，汽车在行驶2小时后的位移为120公里。

例题2：一家商店打折促销，打折后的价格为原价的80%，求购买商品的折扣价格。

解析：假设商品的原价格为p，折扣后的价格为f(p)。

根据题目，我们可以建立函数模型f(p) = 80% * p = 0.8p。

通过这个函数模型，我们可以很方便地计算出任意原价商品的折扣价格。

例如，如果商品原价为100元，我们只需将p的值代入函数模型，即可得到f(100) = 0.8 * 100 = 80元。

高一数学必修1函数与方程知识要点

高一数学函数与方程知识要点函数的零点(1)定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.二二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系三二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1、函数的零点不是点：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.2、对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)、f(x)在[a，b]上连续;(2)、f(a)·f(b)<0;(3)、在(a，b)内存在零点.这是零点存在的一个充分条件，但不必要.3、对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.四判断函数零点个数的常用方法1、解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.。

人教版数学高一-人教版高一数学必修一复习函数与方程

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.5函数与方程重难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．考纲要求：①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．经典例题：研究方程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．当堂练习：1．如果抛物线f(x)= x 2+bx+c 的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（）A ． (-1,3)B ．[-1,3]C ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ． (,1][3,)-∞-⋃+∞2．已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m ，n 是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n 的大小关系可能是（）A ． m<a<b<nB ．a<m<n<bC ．a<m<b<nD ．m<a<n<b3．对于任意k ∈［－1,1］,函数f (x )=x 2+(k －4)x －2k +4的值恒大于零，则x 的取值范围是A ．x <0B ．x >4C ．x <1或x >3D ．x <14．设方程2x+2x =10的根为β,则β∈（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．如果把函数y =f (x )在x =a 及x =b 之间的一段图象近似的看作直线的一段，设a ≤c ≤b ，那么f (c )的近似值可表示为（）A ．1[()()]2f a f b + B C.f (a )+[()()]c af b f a b a --- D.f (a )－[()()]c af b f a b a ---6．关于x 的一元二次方程x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是．7．当a 时，关于x 的一元二次方程 x 2+4x+2a-12=0两个根在区间[-3,0]中．8．若关于x 的方程4x +a ·2x +4=0有实数解，则实数a 的取值范围是___________．9．设x 1,x 2 分别是log 2x=4-x 和2x +x=4的实根,则x 1+x 2= ．10．已知32()f x x bx cx d =+++,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根；其中正确的命题题号是．11．关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．12．已知二次函数f(x)=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1,*a N ∈．（1）求函数f(x)的图象与x 轴相交所截得的弦长；（2）若a 依次取1,2,3,4,---,n,时, 函数f(x)的图象与x 轴相交所截得n 条弦长分别为123,,,,n l l l l 求123n l l l l ++++的值．13．已知二次函数2()(),,,f x ax bx c g x bx a b c R =++=-∈和一次函数其中且满足,a b c >> (1)0f =．（1）证明：函数()()f x g x 与的图象交于不同的两点A ，B ；（2）若函数()()()[2,3]F x f x g x =-在上的最小值为9，最大值为21，试求b a ,的值；（3）求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围．14．讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．。

函数与方程课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

答案：2 ≤ ≤
解：方程的两根为： =
5
2
2± 42 −16
2
= ± 2 − 4
要使得两根均大于1，只需要小根 − 2 − 4 > 1即可
解得： 2 ≤ ≤
5
2
4
拓展提高
拓展提高
已知二次函数 = 2 − 2 + 4，求下列条件下实数的取值范围。
（1）一个零点大于1，一个零点小于1；
（4）若f a ∙ f b = 0，则a或b是零点。
新知探究|二、计算函数零点的二分法
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路
发生了故障。这是10km长的线路，在该线路上有200多个电线杆。
想一想：维修工人应怎样最合理的迅速查出故障所在地呢？
新知探究|二、计算函数零点的二分法
待查
∆= 0

1
2
>0

∆< 0
1,2
函数
= 2 + +
− ± ∆
=
2
图象开口向上，
与轴有两个交点
−
=
2
图象开口向上，
与轴有一个交点
1,2
无解
图象开口向上，
与轴没有交点
新知探究|一、方程的根与函数的零点
方程
2 + + = 0

= 2 + +
∴ >0
∴ = −3 < 0

1
2

典型例题
2、证明函数 = 2|| − 2恰有两个零点。
证明：由题意可画出函数图象如图：

−1
−1