抽象函数的定义域
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
抽象函数定义域的四种类型
抽象函数定义域的四种类型抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。
下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。
一、已知的定义域，求’I I的定义域，其解法是：若的定义域为段二匕丄？，则"」I中从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。
例1.设函数"■的定义域为，则（1）函数的定义域为_____________ 。
（2）函数八的定义域为_________________ 。
解：（1）由已知有L -■■-■，解得故的定义域为一：’「（2）由已知，得2 2 '--■■，解得1 ' ■- ■'故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域，求的定义域。
其解法是：若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。
例2.已知函数' -的定义域为—I，则一：' 1的定义域为________ 。
解：由H S，得:■ I < . 'I所以二…：二1，故填-■:三、已知. 山勺定义域，求’'烏的定义域。
其解法是：可先由- 1定义域求得的定义域，再由：…的定义域求得「〔叭》的定义域。
例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是（）A. ■B. ' - 1C. ' ：；-D. '「解：先求•二的定义域Tg + D的定义域是[-乙3]..-2 < x< 3：.1<X+1 <4 , 即卩：的定义域是一乙1再求一…：：丨的定义域v-1 < 2x - 1 <40<x<-2/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是: 先求出各个函数的定义域，再求交集。
抽象函数的定义域
抽象函数的定义域抽象函数的定义域：在同一对应法则f下，括号内的式子的取值范围是相同的，当然也不要忘记括号内的函数表达式也是可能存在有意义的条件（基本函数）。
1、代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。
抽象函数没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数，简单说就是只有名字和框架，没有具体实现内容的函数，一般形式为y=fx且无法用数字和字母表示出来的函数。
如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称，如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b，由f(x)=f(2-x)，得f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称。
2、x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，所有横坐标的数值构成的集合就是函数的定义域。
一般形式为y=fx且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
抽象函数是具体函数的一次变形：f(a+b)=f(a)+f(b)是一次函数的抽象发f(x)=kxf(a-b)=f(a)-f(b)是一次函数的抽象发f(x)=kx，抽象函数问题是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。
解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。
3、f是对应法则的代表，它可以由fx的解析式决定，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx就叫做奇函数，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么函数fx就叫做偶函数，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有fx=0，那么函数fx既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
已知函数f(u)，且u=h(x)，定义域是使函数有意义的自变量x的取值范围，对于复合函数必须注意层次，形象一点，f为父函数，h为子函数,，首先要让h(x)有意义。
抽象函数定义域的求法例题
抽象函数定义域的求法例题抽象函数的定义域1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域为构成复合函数，内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域。
因此，可以求出f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。
2.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若f[g(x)]的定义域为(a,b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。
3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域先由f[g(x)]的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域。
4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1：已知函数f(x)的定义域为[-15,∞)，求f(3x-5)的定义域。
由f(x)的定义域为[-15,∞)，得到-1≤3x-5≤5，解得-4/3≤x≤10/3.因此，函数f(3x-5)的定义域为[-4/3,10/3]。
例2：函数f(x)的定义域是[0,2]，则g(x)=1/f(2-x)的定义域是（）。
先求f(2-x)的定义域为[0,2]，再求1/f(2-x)的定义域为(0,1]。
因此，选项B是正确答案。
例3：若f(x)的定义域为[-3,5]，求ϕ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域。
由f(x)的定义域为[-3,5]，可得到-3≤-x≤5和-3≤2x+5≤5.解得-4≤x≤3/2.因此，函数ϕ(x)的定义域为[-4,3/2]。
抽象函数的奇偶性_单调性问题
练习：函数f(x)对任意 a, b R， 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时，都有f(x)>1, 求证：f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明 例4：函数f(x)的定义域为全体实数，且f(Байду номын сангаас)不 恒等于0，若对任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。
练习：函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒 为0，若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证：f(x)为偶函数。
（2）已知函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。 一般地，若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围（即函数g(x)的值域）。
例2：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求 函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明 例3：已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当x>0时，都有f(x)<0. 求证：f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
（1）已知函数f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 一般地，若f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取 值范围，即不等式 a g ( x) b 的解集。 例1： 已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
函数的三要素(定义域、值域、对应法则)
函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。
下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17， 所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0， 解得－32≤x ＜2，且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________． 答案 [－4,0)∪(0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)． （3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点 求函数的解析式题点 待定系数法求函数解析式解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)， 即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析 令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟 已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练 已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例 求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x >12，所以x －12>0， 所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号． 所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。
函数定义域的求法整理整理详细版
函数定义域的求法整理(整理详细版) 函数定义域的求法是数学中一个重要的主题。
函数的定义域是函数中自变量的取值范围，它是函数能够正确运算的基础。
下面是求函数定义域的一些常见方法和步骤：一、理解基本的求定义域的方法1.常见初等函数的定义域：对于一些常见的初等函数，如二次函数、反比例函数、正比例函数等，我们需要了解它们的定义域是如何求解的。
例如，对于二次函数 f(x) = x^2，它的定义域是实数集。
2.抽象函数的定义域：对于较为抽象的函数，我们需要根据函数的解析式和性质来确定其定义域。
例如，对于函数 f(x) = 1/x，它的定义域是除了0以外的所有实数。
二、求定义域的步骤1.确定函数的类型：首先需要确定所给函数的类型，如一次函数、二次函数、对数函数等，这将有助于我们确定定义域的求解方法。
2.观察解析式：解析式是求函数定义域的关键。
我们需要观察解析式中有哪些部分，如常数、幂函数、指数函数、三角函数等。
3.根据解析式和性质确定定义域：根据所给函数的解析式和性质来确定定义域。
例如，对于幂函数 f(x) = x^a，当 a > 0 时，它的定义域是所有正实数；当 a < 0 时，它的定义域是所有负实数。
4.注意特殊情况：在确定函数的定义域时，需要注意一些特殊情况。
例如，对于含有开方的函数，它的定义域可能是大于等于0的实数或者复数。
5.特殊符号：有时候解析式中会出现特殊符号，如对数符号、平方根符号等，这些符号会对定义域产生影响。
需要了解这些符号的定义域。
6.根据实际应用确定定义域：在某些情况下，函数的定义域可能需要根据实际应用来确定。
例如，对于三角函数的定义域，通常取一切实数；但是对于某些特定的函数，如正弦函数和余弦函数的变种，它们的定义域可能只取一段区间。
7.训练方法和思维：除了掌握求定义域的基本步骤，还需要通过大量的训练来提高解题的速度和准确性，并逐渐形成科学合理的思维方式。
通过对各种题型进行分类整理，深入分析问题中的知识点和求解方法。
抽象函数的定义域课件
掌握抽象函数定义域的特性，如域的纯粹性、域的依赖性等。
抽象函数定义域的求法
学会如何根据函数的解析式和上下文信息，求出抽象函数的定义域。
对于抽象函数定义域的应用的展望
数学学科中的应用
了解抽象函数定义域在数学学科 中的应用，如代数、分析、拓扑等。
其他学科中的应用
探讨抽象函数定义域在其他学科中 的应用，如物理、例函数是指形如$y=cx$的函数，此时函数的定义域通常为全体实数。
03
确定根式函数的定义域
根式函数是指形如$y=√x$的函数，此时函数的定义域通常为非负实数。
抽象函数定义域的应用
在数学建模中的应用
数学建模中的抽象函数定义域通常用来描述变量 之间的函数关系，帮助我们更好地理解问题的本 质和规律。
之间的关系。
通过定义域，我们可以确定算法 的输入和输出范围，从而更好地
理解和设计算法。
此外，抽象函数定义域在算法设 计中还可以帮助我们更好地理解 算法的复杂度和效率，以及优化
算法的性能。
总结与展望
对于抽象函数定义域的理解和掌握
定义域的基本概念
了解定义域是什么，如何确定定义域，以及定义域在函数中的重 要性。
限制定义域在确定函数性质和 运算规则时具有重要作用。
抽象函数定义域的求法
根据函数的性质求定义域
01 确定性
函数中的映射关系应明确，不能含糊不清。
02 互异性
函数的定义域中的每一个元素，在函数的值域中 只能对应一个元素。
03 任意性
函数中的对应关系可以在定义域的任意子集上进行。
根据实际应用求定义域
抽象函数的特性
01 非具体性
抽象函数没有具体的解析表达式，不能通过解析 表达式来表达函数关系。
2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义
抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
13用抽象函数的定义域和值域
1 x ） ⑧则函数f (( ) ) 的定义域为 [-1，+∞ ； 1 2 ⑨则函数f(log x)的定义域为 ；[ , 2]
2
2
⑩则函数
f (log 1
2
x)的定义域为
.
1 [ , 2] 4
练习
2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为[0，4] ；
1 2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数 y f ( x 2) 的定义域。 解析：∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3]， 1 2 x 2x 1 0 0 x x ∴-2≤x≤3， , , 1 3x 1 3x 0 0 ∴-1≤x+1≤4， x x
2
练习
3.已知 f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x )的定义域； (2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
解 ∵f(x)的定义域为[0,4]，
2
2
(1)有 0≤x ≤4，∴－2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[－2,2]． 0≤x＋1≤4， (2)有 ∴1≤x≤3. 0≤x－1≤4， 故 f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
练习
1 1 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求 y f ( x ) f ( x ) 定义域。 3 3
1 2 , 3 3
典型例题 例2 若函数y=f(2x)的定义域为 [1, 2]，则函数f(log2x)的定义域为 解：∵函数y=f(2x)的定义域为[1, 2]， 。
(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．
抽象函数的定义域
代入法求抽象函数的定义域：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例1若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为。
分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。
解：依题意知：2log 212≤≤x解之，得42≤≤x例2.若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________. 解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数f(满足23,∴4≤x ≤9.∴f(的定义域为[4,9].例3已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()23f x +;(2)2y =分析：x 的函数f(x 2)是由u=x 2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x 2＜2求x 的取值范围 解：(1)由0＜x 2＜2，得练习题：1、若函数)2(x f y =的定义域为[]2,1，则)(x f 的定义域为。
2、函数f(x)的定义域为(-1,4),则函数f(x+1)的定义域为____________________ 。
3、函数f(2x+1)的定义域为(-1,4),则函数f(x)的定义域为____________________ 。
4、函数f(x)的定义域为(-1,4),则函数f(lg(x+1))的定义域为____________________ 。
5、f(x 2)的定义域为(1,4),则函数f(x+1)的定义域为____________________。
6、已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y++=的定义域为（） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]-D ．[1,2]-7、若函数y =f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )=21f x x ()-的定义域是 ( )A. [0,1] B . [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)8、若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4]9、(1) 已知函数(23)f x -的定义域是(-1, 4), 求函数(13)f x -的定义域；(2) 已知函数2(log )f x 的定义域是1[,8]32，求函数2(6)f x -的定义域。
抽象函数ppt课件
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
f (x) 的定义域．
例 2 已知函数 f (x2 2x 2) 的定义域为0，3，求函数 f (x) 的定义域．
解：由 0≤ x ≤3，得1≤ x2 2x 2≤5 ． 令 u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f (u) ，1≤u ≤5 ．
故 f (x) 的定义域为1，5 ．
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性及图象问题。
一、抽象函数定义域
1．已知 f (x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域
其解法是：若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x) 中，a ≤ g(x) ≤b ，从中解得 x
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
谢谢！
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
的取值范围即为 f g(x) 的定义域．
例 1.已知函数 f (x) 的定义域为1，5，求 f (3x 5) 的定义域．
高中数学-抽象函数
抽象函数是指没有明确给出具体的函数 表达式，只是给出一些特殊条件的函数
问题一、抽象函数的定义域
若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x)中， a ≤ g(x) ≤b ， 从中解得 x 的取值范围即为 f g(x)的定义域．
若 f g(x)的定义域为 m≤ x ≤n ，
则由 m≤ x ≤n 确定的 g(x) 的来自围即为 f (x) 的定义域．
问题二、抽象函数的函数值
例 2.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______.
问题三、抽象函数的奇偶性
问题四、抽象函数的单调性
例 4.定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对任意实数 m,n ， 总有 f (m n) f (m) f (n) ，且当 x 0 时， 0 f (x) 1． （1）试求 f (0) 的值； （2）判断 f (x) 的单调性并证明你的结论； （3）试举出一个满足条件的函数 f (x) ．
天津高考抽象函数知识点
天津高考抽象函数知识点抽象函数是天津高考中的一个重要知识点，作为数学的一个基础概念，它对于学生的数学思维和问题解决能力有着深远的影响。
本文将从抽象函数的定义、性质以及在高考中的应用等方面进行论述和分析。
一、抽象函数的定义抽象函数是指一种将输入映射为输出的数学关系，它的具体定义可通过函数表达式、图像、数据等形式来表示。
在数学中，抽象函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
抽象函数的定义域、值域以及各种性质是对应学习者所要掌握的基本内容。
二、抽象函数的性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域是指函数的输入值的集合，而值域则是函数输出值的集合。
在考试中，学生需要根据具体问题对抽象函数的定义域和值域进行判断和求解，注意排除不存在的值。
2. 奇偶性：抽象函数的奇偶性是指函数在自变量变为负数时是否保持不变。
对于奇函数，有f(-x)=-f(x)，即绕原点对称；对于偶函数，有f(-x)=f(x)，即轴对称。
3. 单调性：抽象函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的性质。
单调函数可以分为递增和递减两种，可以通过导数的正负性来判断函数的单调性。
4. 极值与最值：抽象函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。
为求得函数的极值和最值，需利用函数的导数和二次函数的特性进行分析。
三、抽象函数在高考中的应用1. 函数组成：抽象函数可以通过一系列的函数组成，从而形成新的函数。
高考中许多关于函数的复合、迭代以及函数方程的题目都需要运用抽象函数的概念和性质来解决。
2. 函数图像：抽象函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示，其中包括函数的关键点、拐点、渐近线等信息。
在高考中，图像分析是一个重要的解题方法，学生需要根据图像的特点来解答相关问题。
3. 函数方程的解：抽象函数也常常用于求解函数方程。
通过对函数的定义域、值域等性质的分析，可以得到函数方程的解集及其特点。
抽象函数定义域地求法
抽象函数的定义域总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。