2.2.1函数的概念----北师大版

二、新知探究
1.函数:一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果
按某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意一 个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，这样的对应叫做从 A到 B 的一
y f ( x), x A 函数，记作：
(1)自变量： x (2)函数值：与 x 对应的 y 2.定义域:所有自变量 x的值组成的集合 A .
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集 合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
4、已学函数的定义域和值域
函数
正比例 函数 反比例 函数 一次函数
对应法则
例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
(1) ( 2) 1 f ( x) x2 f ( x) 3x 2 1 x 1 2 x
⑴
(3 ) f ( x) ⑵
分析：函数的定义域通常由实际背景确定，如前面
所述三个实例.如果只给出解析式，而没有指明它的 定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有 意义的实数的集合.
x叫自变量，y叫因变量.
2、请问：我们在初中学过哪些函数？
正比例函数：y kx(k 0)
k 反比例函数：y (k 0) x
一次函数：y kx b(k 0)
二次函数：y ax bx c(a 0)
2
3、请同学们考虑以下两个问题：
(1) y 1是函数吗？ x2 （ 2 ）y x与y 是同一个函数吗？ x
② 任意的 x A,存在唯一的 y B与之对应 (2)函数中有几个要素，哪几个？
y f ( x)
三要素： 定义域
对应法则
值域
二、新知探究
探究问题2：
两个函数相同需满足的条件是什么？ 例4.下列函数中哪个与函数 y x 相等？并说明理由.
(1) y ( x )
2
(3) y x
2
(2) y x x2 (4) y x
3
3
两个函数相同的条件： 两函数的三要素相同或者 两函数的定义域和对应法则相同
探究问题3：
(1)f(x)一定表示解析式吗？函数符号y= f(x)表示f与x 的乘积吗？f(2)表示什么意思？ f(x)表示自变量为x，对应关系为f的函数；f(2) 表示自变量为2时的函数值. (2)函数的值域C={y|y=f(x),x∈A}的含义？定义域和 对应关系能确定一个函数吗？ (3)自变量一定得用x表示吗？对应关系呢？
定义 域
值域
y kx( k 0)
R
R
{ y | y 0}
k y ( k 0) {x | x 0} x
y kx b ( k 0)
2
R R
R
4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a 4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a
y ax bx c 二次函数 (a 0)
• 变式1：已知函数f(x)的定义域为(2,5]，求函 数f(x+3)的定义域。 • 变式2：已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2]，求 函数f(x)的定义域。
• 解：(1) 因为f(x)的定义域为(2,5]，所以2<x+3≤5， 得-1<x≤2。所以函数f(x+3)的定义域为(-1,2]。
（2）因为f(x+3)的定义域为(-1,2]，所以-1<x≤2， 得2<x+3≤5，所以f(x)的定义域为(2,5]。
• 1.已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，求函 数f(2x+1)的定义域。 • 2.已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求 函数f(x)的定义域。
• 1.已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1)，求 f(1-3x)的定义域。 2 f ( x 1) • 2.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求 的定义域。 • 3.若函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],求 F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。
(2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧 层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积 从1979~2001年的变化情况： 根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集
A ={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是
数集B ={S|0≤S≤26}.并且，对于数集A中的每一个时刻t， 按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞 面积S和它对应.
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高 低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以 来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
时间 （年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔 系数 （%）
53.8
52.9
求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集) (5)如果是实际问题，是使实际问题有意义的实数的集合
求下列函数的定义域 （1）
1 f (x) x | x |
（2）
f ( x)
1 1 1 x 4 x2 x 1
（4）
f (x)
（5） f (x) 1 x x 3 1
例2 已知函数f ( x) 3x 5 x 2,
2
求f (3), f ( 2 ), f (a 1).
1 • 例6.已知函数 f ( x) 5 x x2
（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。 • 注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5 与f(x)的定义域相同。原因是我们在求f(x+3)的表达 式时是用“x+3”整个代替f(x)表达式中的“x”。
3、区间的概念
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b) (3)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]
显然，仅用初中函数的概念很难 回答这些问题。因此，需要从新的高 度认识函数。
下面先看几个实例：
(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的 射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单 位:s)变化的规律是 h h=130t-5t2
(*)
845 26s
t
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}, 炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}. 从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t， 按照对应关系(*)，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。
3.值域:所有函数值 f ( x)的值组成的集合 f ( x) | x A
例1.观察下列几组从A到B的对应,指出哪些对应 是函数?哪些不是? 是函数的指出其定义域与值域.
1 2 3 4 A 1 2 3 4 A a b b d (1) 是 B a b b d (4)不是 B 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A a b b d (2) 是 B a b b d (5)不是B 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A
练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相 等的函数，并说明理由？
(1) f ( x) ( x 1) ,
0
g ( x) 1
2 2
(2) f ( x) x; (3) f ( x) x ;
2
g ( x) x
g ( x) ( x 1) g ( x) x
2
(4) f ( x) x ;
函数的概念（一）
【学习目标】
1.使学生理解函数的概念，明确函数的定 义域、值域和对应法则三个要素；理解区 间的概念； 2.能用集合与对应的语言刻画函数，体会 对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.通过实例领悟构成函数的三要素；会求 一些简单函数的定义域.
一、复习引入
初中函数定义：
在某一变化过程中，对于两个变量x、y， 在一定范围内的每一个确定的x的值都有唯 一的一个y的值与之对应，则称y是x的函数，
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
请你仿照（1）（2）描述上表中恩格尔系数r和时间t（年） 的关系.
食物支出 恩格尔系数 总支出
知识探究
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作 f：A→B.
a
(3) 是 B a b c d e (6) 是 B