2019届九年级数学下册自主复习18圆练习新版新人教版

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人教版九年级数学下圆同步练习含答案

24．1.1　圆知识点1　圆的定义1．圆的形成定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于________的点的集合．2．下列条件中，能确定圆的是( )A．以已知点O为圆心B．以1 cm长为半径C．经过已知点A，且半径为2 cmD．以点O为圆心，1 cm长为半径3．如图24－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是( )图24－1－1A．(0，1) B．(0，－1)C．(1，0) D．(－1，0)4．如图24－1－2所示，若BD，CE都是△ABC的高．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．图24－1－2知识点2　与圆有关的概念5．如图24－1－3所示，在⊙O中，________是直径，________是弦，劣弧有________，优弧有________．图24－1－36．如图24－1－4，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数是( )图24－1－4A．2 B．3 C．4 D．57．下列命题中是真命题的有( )①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦．A．2个B．3个C．4个D．5个8．若圆的半径为3，则弦AB的长度的取值范围是__________．9．已知：如图24－1－5，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：AD＝BC.图24－1－510．已知：如图24－1－6，在⊙O中，AB为弦，C，D两点在弦AB上，且AC＝BD.求证：△OAC≌△OBD.图24－1－611．如图24－1－7，AB 是⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，AD ∥OC ，∠DAB ＝60°，连接AC ，则∠DAC 等于( )图24－1－7A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图24－1－8所示，AB ，MN 是⊙O 中两条互相垂直的直径，点P 在上，且AM ︵不与点A ，M 重合，过点P 作AB ，MN 的垂线，垂足分别是D ，C.当点P 在上移动时，AM ︵矩形PCOD 的形状、大小随之变化，则PC 2＋PD 2的值( )图24－1－8A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．不变D ．不能确定13．如图24－1－9，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM.若⊙O 的半径为2，OP ＝4，则线段OM 的最小值是( )图24－1－9A ．0B ．1C ．2D ．314．如图24－1－10，在Rt △ABC 中，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，∠BCD ＝40°，则∠A ＝________°.图24－1－1015．如图24－1－11，C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，且CO ⊥AB ，在OC 两侧分别作矩形OGHI 和正方形ODEF ，且点I ，F 在OC 上，点H ，E 在半圆上，可证：IG ＝FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG ＝FD.请回答：小云所作的两条线段分别是________和________．图24－1－1116．⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是关于x 的方程x 2－ax ＋＝0的两个14根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2019的值为________．17．如图24－1－12所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE＝BF，请你指出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．图24－1－1218．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O 上，且OP⊥PQ.(1)如图24－1－13①，当PQ∥AB时，求PQ的长；(2)如图24－1－13②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．图24－1－13教师详解详析1．一周　定长r2．D [解析] ∵圆心和半径都确定后才可以确定圆，只有D 选项中具备这两个条件，∴D 选项正确．3．B [解析] ∵圆的半径都相等，∴OB ＝OA ＝1，∴点B 的坐标是(0，－1)．故选B .4．证明：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 都是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别是Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ，∴B ，C ，D ，E 四点在以点F 为圆心，BF 的长为半径的圆上．5．AD AD ，AC ，　，AC ︵ CD ︵ ADC ︵ CAD ︵6．B [解析] 图中的弦有AB ，BC ，CE ，共3条．7．A [解析] 等弧是完全重合的弧，故①③错误；直径把圆分成两条相等的弧，即两个半圆，故②错误；半径相等的圆可以完全重合，是等圆，故④正确；直径是圆中最长的弦，故⑤正确．故选A .8．0＜AB ≤69．证明：∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴OA ＝OB.∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点，∴OC ＝OD.在△AOD 和△BOC 中，∵{OA ＝OB ，∠O ＝∠O ，OD ＝OC ，)∴△AOD ≌△BOC(SAS )，∴AD ＝BC.10．证明：∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B.在△OAC 和△OBD 中，∵{OA ＝OB ，∠A ＝∠B ，AC ＝BD ，)∴△OAC ≌△OBD(SAS )．11．B [解析] ∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO.∵AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠CAO.∵∠DAB ＝60°，∴∠DAC ＝∠DAB ＝30°.1212．C [解析] 连接OP.∵四边形PCOD 是矩形，∴PC ＝OD ，∴PC 2＋PD 2＝OD 2＋PD 2＝OP 2，为一定值．故选C .13．B [解析] 设OP 与⊙O 交于点N ，连接MN ，OQ ，如图．∵OP ＝4，ON ＝2，∴N 是OP 的中点．又∵M 是PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN ＝OQ ＝×2＝1，1212∴点M 在以点N 为圆心，1为半径的圆上，∴当点M 在ON 上时，OM 的值最小，最小值为1.故选B .14．20　[解析] ∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB.∵∠B ＋∠CDB ＋∠BCD ＝180°，∴∠B ＝(180°－∠BCD)＝(180°－40°)＝70°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°1212－∠B ＝20°.15．OH OE [解析] 连接OH ，OE ，如图所示．∵在矩形OGHI 和正方形ODEF 中，IG ＝OH ，OE ＝FD ，又∵OH ＝OE ，∴IG ＝FD.16．1　[解析] ∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2，即方程x 2－ax ＋＝0有两个相等的实14数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝a 2－4×＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.14又∵r 1＝r 2>0，a ＝r 1＋r 2，∴a ＝1，∴a 2019＝12019＝1.17．解：OE ＝OF.证明：连接OA ，OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B.又∵AE ＝BF ，∴△OAE ≌△OBF ，∴OE ＝OF.18．解：(1)连接OQ.∵PQ ∥AB ，PQ ⊥OP ，∴OP ⊥AB.∵AB ＝6，∴OB ＝3.∵∠ABC ＝30°，∴PB ＝2OP.在Rt △PBO 中，由勾股定理，得PB 2＝OP 2＋OB 2.设OP ＝x ，则PB ＝2x ，则(2x)2＝x 2＋32，解得x ＝(负值已舍去)，∴OP ＝.33在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ ＝＝＝.OQ 2－OP 232－（3）26(2)连接OQ ，由勾股定理得PQ ＝＝.OQ 2－OP 29－OP 2要使PQ 取最大值，需OP 取最小值，此时OP ⊥BC.∵∠ABC ＝30°，∴OP ＝OB ＝，1232此时PQ 最大值＝＝ .9－94323。

近年届九年级数学下册自主复习19相似图形练习新人教版(2021年整理)

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19。

相似图形（九下第二十七章）知识回顾1．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线)所得对应线段成比例．2．相似三角形的对应边、对应高、对应周长比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方．3．相似三角形的判定方法有：(1）两角对应相等,两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似;（3）三边对应成比例，两三角形相似；(4）平行于三角形一边的直线和其他的两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(5)斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似．4．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，位似图形的对应边分别平行或在同一条直线上．如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或－k．达标练习1．(普陀区二模)如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（B）A．BC∶EF＝1∶1B．BC∶AB＝1∶2C．AD∶CF＝2∶3D．BE∶CF＝2∶32．下列各组图形不一定相似的是(D）A．两个等边三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．两个正方形D．各有一个角是45°的两个等腰三角形3．（甘南中考)如图，在▱ABCD中，E是AB的中点,CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为错误!，则下列结论中正确的是（B)A．m＝5B．m＝45C．m＝35D．m＝104．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，所拍摄的2 m外的景物的宽CD为（D）A．12 mB．3 mC。

九年级下册数学《圆》专项练习题含答案解析

九年级下册数学《圆》专项练习题1、已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是A．相离B．外切C．相交D．内切2、如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=A．150°B．75°C．60°D．15°3、用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于A．3 B．C．2 D．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=A．5 B．C．D．65、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是A．AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA6、如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是A．米2B．米2C．米2D．米27、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=A．28°B．42°C．56°D．84°8、已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是A．2 B．3 C．6 D．129、如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为A．B．C．D．10、若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是A．l=2r B．l=3r C．l=r D．11、如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．B．C．D．12、下列说法错误的是A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B．与互为倒数C．若a＞|b|，则a＞bD．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半13、如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°14、将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为A．B．C．D．15、如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．16、如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为A．B．C．D．17、如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是A．35° B．140° C．70°D．70°或140°18、已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm219、如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于A．4 B．3.5 C．3 D．2.520、用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm21、如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O 于点E，则AE的长为 .22、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为厘米．23、如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A=°．24、已知正方体的棱长为3，以它的下底面的外接圆为底、上底面对角线的交点为顶点构造一个圆锥体，那么这个圆锥体的体积是（π=3.14）．25、已知扇形的半径是30cm，圆心角是60°，则该扇形的弧长为cm（结果保留π）．26、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）27、高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是．28、如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是．29、如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为．30、如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB 的长度为（结果保留π）．31、如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．32、如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为．33、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．34、如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB= °.35、如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）36、已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是．37、已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．38、点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度．按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为秒．39、如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝ º．40、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=．41、如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．42、如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？43、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠BAD；AD⊥ CD，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)若⊙O的直径为5，CD＝2．求AC的长．44、（本题满分12分）如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D。

九年级圆几何综合单元复习练习(Word版含答案)

九年级圆几何综合单元复习练习(Word版含答案)一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．【解析】试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，∵t=5，∴AP=2×5=10．∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=5．∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，∴EF==5，∴PQ=EF=5．∵AC∥EF，∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．又∵∠QHA=∠FDE=90°，∴△AHQ∽△EDF，∴．∵AQ=EF=5，∴AH=ED=4．∵AE=12-4=8，∴HE=8-4=4，∴AH=EH，∴AQ=EQ，∴PQ=EQ，∴平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．∵EF∥AC，∴△DEM∽△DAQ，∴，∴，解得t=；②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图③，则有∠HQD=∠HDQ=45°，∴QH=DH．∵△AHQ∽△EDF（已证），∴，∴，∴QH=，AH=，∴DH=QH=．∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，∴++t=12，∴t=5；Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图④，同理可得DH=QH=，AH=．∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，∴-+t=12，∴t=10．综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB ⊥BD ；BD 是切线（2），AB 是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F 是BC 的中点；，BF=4；在直角三角形OBF 中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似3．如图，点A 在直线l 上，点Q 沿着直线l 以3厘米/秒的速度由点A 向右运动，以AQ 为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=34，点C 在点Q 右侧，CQ=1厘米，过点C 作直线m⊥l，过△ABQ 的外接圆圆心O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF=13CD ，以DE 、DF 为邻边作矩形DEGF ．设运动时间为t 秒．（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ；（2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值．【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为35或3．【解析】试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2DF=t 3；（2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()22211·t 13326S DF DE t t ⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=12时，矩形DEGF 的最大面积为16；（3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=-=或,解得335t t ==或.4．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r (r ＞1)，点P 是圆内与圆心C 不重合的点，⊙C 的“完美点”的定义如下：过圆心C 的任意直线CP 与⊙C 交于点A ，B ，若满足|PA ﹣PB |＝2，则称点P 为⊙C 的“完美点”，如图点P 为⊙C 的一个“完美点”． (1)当⊙O 的半径为2时 ①点M (32，0) ⊙O 的“完美点”，点(﹣3，﹣12) ⊙O 的“完美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O 的“完美点”P 在直线y ＝34x 上，求PO 的长及点P 的坐标； (2)设圆心C 的坐标为(s ，t )，且在直线y ＝﹣2x +1上，⊙C 半径为r ，若y 轴上存在⊙C 的“完美点”，求t 的取值范围．【答案】(1)①不是，是；②PO 的长为1，点P 的坐标为(45，35)或(﹣45，﹣35)；(2)t 的取值范围为﹣1≤t ≤3．【解析】【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP 的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC 与y 轴的位置关系即可得出结论. 【详解】解：(1)①∵点M (32，0)， ∴设⊙O 与x 轴的交点为A ，B ， ∵⊙O 的半径为2， ∴取A (﹣2，0)，B (2，0)，∴|MA﹣MB|＝|(32+2)﹣(2﹣32)|＝3≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点(﹣3，﹣12)是⊙O的“完美点”．故答案为不是，是．②如图1，根据题意，|PA﹣PB|＝2，∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，∴OP＝1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴43,55 OQ PQ==．∴P(43,55)．若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35)．综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43,55)或（43,55--）)．(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．∴CP＝1．∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(12，0)，∴OF＝12，OD＝1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴OD OF DE CE=，∴112 DE=，∴DE＝2，∴OE＝3，t的最大值为3，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．同理可得t的最小值为﹣1．综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.5．如图，PA，PB分别与O相切于点A和点B，点C为弧AB上一点，连接PC并延长交O于点F，D为弧AF上的一点，连接BD交FC于点E，连接AD，且2180APB PEB∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】（1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径， ∴OA AP ⊥，OB BP ⊥， ∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒， ∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠， ∴2180P ADB ∠+∠=︒， ∵2180P PEB ∠+∠=︒， ∴ADB PEB ∠=∠， ∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒， ∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线， ∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒， ∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠， ∴APE BPK ∠=∠， ∴APE BPK ∆∆≌， ∴45K AEP ∠=∠=︒， ∴AEP PEB ∠=∠， ∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒， ∴DE AE =， ∵OA 、OD 为半径， ∴OA OD =， ∵OE OE =， ∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒， ∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，OP ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，7PE ==在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =．【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．6．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是81313+，最小值是81313-．【解析】【分析】（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短．在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP =-=-=．当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．（3）△ACF 的面积有最大和最小值．如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=， ∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1，∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，AC ===∴sinBC BAC AC ∠===在Rt △ACH 中，sin 3GH AG BAC =•∠==∴111F H GH GF =-=-，∴△ACF 面积有最小值是：11127(1)22132AC F H -•=⨯-=；∴四边形ADCF 面积最小值是：27812722--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵221F H GH GF =+=+，∴△ACF 面积有最大值是2111)22AC F H •=⨯+=；∴四边形ADCF 面积最大值是27812722+++=综上所述，四边形ADCF 面积最大值是812+，最小值是812- 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22m AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DP AO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可. ②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EP EBF EB EB ∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可.【详解】（1）2222DP m AO =+=+，8BP AB AP m =-=-（2）情况1：与AC 相切时，Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒∴2AO OH =∴22m m +=解得4m =情况2：与BC 相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒∴3cos 2ON B OB ==即3282mm =- 解得32348m =-（3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒，∴3cos30cos302FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===．在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP ==∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==，故1212235311353326F F AC AF CF =--=-=， 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒． ∴tan EF EP EBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ．在2Rt F BC 中，2222225357522BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.8．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到2x，然后依据S△BHG=122，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE．（2）连接OB、OC．∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．∴∠BAO=∠CAO．∵∠BAC=2∠CAE，∴∠BAO=∠CAE．在△ABF和△ACE中，ABF ACEAB ACBAF CAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（3）连接HG、BM．∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，∴AG⊥BC，BG=CG．∵BH=DH，∴HG是△BCD的中位线．∴HG∥CD．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．∴HO=OF．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°， ∴∠OGH=∠OHG ．∴OH=OG ．∴OF=OG ．∵OM=OC ，∴四边形MFCG 是平行四边形．又∵MC 是圆O 的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB 是矩形．∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF ∥BC ，∴△MFH ∽△CBH ． ∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ．在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ， ∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ， ∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x=． ∴．∴S△BHG=12BH•HG=12×2x•2x=42，解得：x=2．∴HB=4，GH=22．由勾股定理可知：BG=26．∴MF=26．∴MN=NF=6．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，∴13131010 AH aAG a==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．（1）求AC的长；（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）4105EF=；（3）03CE≤<或58CE<≤．【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC于点G，由cos45B=，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：在Rt △ABG 中，AB=5，4cos 5BG B AB ==， ∴BG=4，∴AG=3，∴844CG =-=，∴点G 是BC 的中点，在Rt △ACG 中，22345AC =+=；（2）当点E 与点G 重合时，AE 与圆C 相切，过点F 作FH ⊥CE ，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB ，∴4cos cos 5CH B ACB CF =∠==， ∴CH=3.2，在Rt △CFH 中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt △EFH 中，由勾股定理，得 224100.8 2.45EF =+=；（3）根据题意，圆C 与线段AD 没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C 与AD 相离时，则CE<AE ，∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．。

2018-2019人教版数学九年级下第24章圆单元单元检测题含答案

（第5题图）2018-2019人教版数学九年级下第24章圆单元单元检测题含答案九年级数学复习单元检测题内容：圆的基础知识、与圆有关的位置关系、圆的有关计算一、选择题（每小题4分，共24分）在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知⊙O 的半径是6cm,点O 到同一平面内直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 2.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC ＝50°，则∠AOC 的度数为 A ．120° B ．100° C ．50° D ．25°3.如图在△ABC 中,∠B =90°, ∠A =30°，AC =4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A B C ''的位置，且A 、C 、B ′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为A. B. 8cm C.163cm π D. 83cm π4. 如图，ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ADC =54°，连接AE ，则∠AEB 的度数为A.126°B. 54°C. 30°D. 36° 5.如图，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 交于点C ，CD ⊥OA ，垂足为D ，则sin ∠AOB 的值等于 A ．CD B ．OA C ．OD D ．AB6.用半径为3cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为A. 2πcm B . 1cm C . πcm D . 1.5cm7. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点G ，直线EF 与 ⊙O 相切于点D ，则下列结论中不一定正确的是 A . AG=BG B .AB//EFB′A′CBA（第3题图）AOB C（第2题图）（第4题图）ABCO（第13题图）（第14题图）C .AD//BCD .∠ABC=∠ADC8. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A ．6， B． 3 C ．6，3 D．，二、填空题（每小题4分，共24分）请把答案填写在题中横线上.9.一条弦把圆分成2:3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为_________.10.已知圆锥母线长为5cm ，底面直径为4cm ，则侧面展开图的圆心角度数是_________.11.Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3cm ，BC =4cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r的值为_________.12.钟表的轴心到分针针尖的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针尖转过的弧长是_________________cm . 13.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点（不与A 、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC ＝1，则AB ＝__________．14. 如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E . B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为32，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本题共5小题，共44分）15.（7分）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度AB =3m ，弓形的高EF =1m.现计划安装玻璃，请帮工程师求出⌒AB所在圆O 的半径.16. （7分）如图△ABC中，∠B= 60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，OP交⊙O于点D.（1）求证：AP=AC（2）若AC=3，求PC的长.（第16题图）17.（10分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求BC的长．18.（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE ，与AC 的延长线交于点D ，作AE ⊥AC 交DE 于点E . （1）求证：∠BAD =∠E ；（2）若⊙O 的半径为5，AC =8，求BE 的长.19.（10分）如图，BC 是⊙O 的直径， A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ,AE 的延长线与BC 的延长线交于点P . （1）求证：AP 是⊙O 的切线；（2）若OC =CP ，AB =6，求CD 的长.（第18题图）答案内容：圆的基础知识、与圆有关的位置关系、圆的有关计算一、选择题：1.A.2.B.3.D4.D5.A6.B7.C8.B 二、填空题：9.72°或108° 10. 144° 11.2.4 12. 203π 13.14. 32233π-. 三、解答题：15. 解：设⊙O 的半径为r ,则OF =r -1.由垂径定理，得BF =12AB =1.5,OF ⊥AB , 由OF 2 +BF 2= OB 2，得(r -1)2+1.52 = r 2, 解得r =138.答：⌒AB 所在圆O 的半径为138.16.(1)连结OA, ∵60B ∠=︒,AP 为切线，∴ OA ⊥ AP, ∠AOC=120°, 又∵OA=OC, ∴∠ ACP=30°∠ P= 30°, ∴ AP=AC (2)先求OC=3,再证明△ OAC ∽△ APC ,PC AC =APOC,得PC=33. 17. （1）证明：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠DCB ＋∠BAD ＝180°， ∵∠BAD ＝105°，∴∠DCB ＝180°－105°＝75°． ∵∠DBC ＝75°，∴∠DCB ＝∠DBC ＝75°．∴BD ＝CD ．（2）解：∵∠DCB ＝∠DBC ＝75°，∴∠BDC ＝30°．由圆周角定理，得，的度数为：60°，故BC ＝180n R π＝603180π⨯＝π．答：BC 的长为π．18.解：证明：（1）∵⊙O 与DE 相切于点B ，AB 为⊙O 直径，∴∠ABE =90°. ∴∠BAE +∠E =90°.又∵∠DAE =90°， ∴∠BAD +∠BAE =90°. ∴∠BAD =∠E . （2）解；连接BC .'∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB =90°.∵AC =8，AB =2×5=10，∴BC 又∵∠BCA =∠ABE =90°，∠BAD =∠E ， ∴△ABC ∽△EAB . ∴AC EB =BC AB . ∴8EB =610 ∴BE =403. 19.解：（1）证明：连接AO ，AC .∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC =90°∴∠CAD =90° ∵点E 是CD 的中点，∴CE= CE= AE 在等腰△EAC 中，∠ECA = ∠EAC ∵OA =OC ∴∠OAC = ∠OCA ∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ∴∠ECA + ∠OAC = 90° ∴∠EAC + ∠OAC = 90° ∴OA ⊥AP ，∴AP 是⊙O 的切线（2）由（1）知OA ⊥AP在Rt △OAP 中，∵∠OAP = 90°, OC = CP = OA 即OP = 2OA ， ∴1sin 2OA P OP ∠==，∴错误！未找到引用源。

2019届九年级数学下册自主复习18圆练习新版新人教版练习

圆练习（新版）新人教版练习2019届九年级数学下册自主复习18知识回顾．垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．直径所对的圆周角是直角4.90°的圆周角所对的弦是直径．?P在⊙O内r，点P到圆心的距离OP＝d，则点5．点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为＞r．；点P在⊙O外?drd<r；点P在⊙O上?d＝．直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于圆的半径，直线与圆相离；圆心到直线的6距离等于圆的半径，直线与圆相切；圆心到直线的距离小于圆的半径，直线与圆相交． 7．切线垂直于过切点的半径．经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线． 8．过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，这个点与圆心的连线平分两切线的夹角．．一个三角形的外接圆只有一个，圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点．三角形9的内切圆也只有一个，圆心为内心，是三角形三个内角平分线的交点．2rnπn πr ＝．．弧长公式为l＝，扇形面积公式：S10扇形360180 11．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆柱的侧面展开图是一个矩形．达标练习的位置关O3 cm，则点A与⊙，点O的半径为5 cmA到圆心O的距离OA＝．1(湘西中考)⊙(B)系为 B．点A在圆内．点AA在圆上D．无法确定 C．点A在圆外(B)OB的长是4，OC＝1，则＝中，2．如图，在⊙OOC垂直弦AB于点C，AB3 A.5 B.15 C.17D.，则这个正三角形的边长是(A) ．已知正三角形的外接圆半径为23A．23 B.3 C．3 D．24．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为(C)A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为(C)1 / 5．A．40° B．50°D ．75°C．65°6．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(C)A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能7．用半径为3 cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(D) A．2π cm B．1.5 cmC．π cm D．1 cm8．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(C)1111A.π B.π－ C. D.42241π＋29．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝20°．10．如图所示，O是△ABC的内心，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝20°.11．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为55°．2 /5．)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．孝感中考12．()(要求保留作图痕迹，不写作法(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；︵ 80 m，求所在圆的半径．20 m，AB＝(2)若AB的中点C到弦AB的距离为为所求．解：(1)如图，点O ，AB于D，AB，OC，OC交(2)连接OA︵的中点，C为AB∵AB. ⊥∴OC140 m.＝AB＝＝∴ADBD 2 的半径为r m，设⊙O20)m.＝(r－OD＝OC－CDr m则OA＝，222 AD，中，OA＝OD＋△在RtOAD222 50，40，解得r＝(r∴r＝－20)＋50 m.即所在圆的半径是︵ BC的中点．求证：30°，D为O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝．如图，13AB是⊙ BC；(1)AB＝ BOCD是菱形．(2)四边形是⊙O的切线，AB证明：(1)∵. °＝60°AOB＝90°－3090∴∠OBA＝°，∠OCB. OBC＝∠∵OB＝OC，∴∠，OCBAOB＝∠OBC＋∠∵∠BC. ＝°＝∠A.∴AB∴∠OCB＝30M.交ODBC于点(2)连接︵是BC的中点，∵DBC.OD垂直平分∴°，中，∠OCM＝30Rt∵在△OMCDM. ＝OM2OM∴OC＝＝OD.∴与BC相互垂直平分．OD∴ BOCD∴四边形是菱形．3 / 5．的度，劣弧AB，于点COC＝CP＝2，弦AB⊥OC14．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙OPB. 120°，连接数为 BC的长；(1)求 O的切线．(2)求证：PB是⊙OB.连接解：(1) ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，.∴∠COB＝60°又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形．2.∴BC＝OC＝CPB. ＝∠，∴∠CBPBC＝OC＝CP(2)证明：∵. °＝60OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB∵△. °＝30＋∠CPB，∴∠CBP又∵∠OCB＝∠CBPBP. OB⊥OBC＝90°，即∴∠OBP＝∠CBP ＋∠的切线．上，∴PB是⊙OO∵点B在⊙，，连接OA，OBO15．(沈阳中考)如图，四边形ABCD是⊙的内接四边形，∠ABC＝2∠DE. 与AC 相交于点OBOC，AC，求∠OCA的度数；(1))结果保留πAOBCOB＝3∠，OC＝和根号23，求图中阴影部分面积．((2)若∠是⊙O的内接四边形，解：(1)∵四边形ABCD. ＝180°∴∠ABC＋∠D D，∵∠ABC＝2∠. 180°∴2∠D＋∠D＝. °.∴∠AOC＝2∠D＝120∴∠D＝60°. OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°∵OA ＝∵∠AOB，COB＝3∠(2). °120∠AOB ＝AOC∴∠＝∠AOB ＋3. °AOB＝30∴∠.＝90°∴∠COB3＝×23·tan30°＝23OCEOCOCRt在△OCE中，＝32，∴OE＝·tan∠＝2. 311 ，2OC＝S∴ OE·＝×3×23＝2OEC△222 2×（3）π90.＝S＝π3OBC扇形3604 / 5．2－3. π＝ S －＝S∴S3OEC△扇形阴影OBC5 / 5．。

初中数学九年级下册圆练习题(含答案)

九年级数学下册第3 章《圆》章末检测试题一．选择题（共12小题）1．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．故选：D．2．如图，A，B，C，D是⊙O上四点，==，∠E=30°，则∠DBE的度数是（）A．17.5°B．22.4°C．22.5°D．23°【解答】解：∵==，∴CD=BC，=，∴∠ECB=∠EBC，∠CDB=∠CBD，∵∠E=30°，∴∠C=∠EBC=（180°﹣∠E）=75°，∴∠CBD=（180°﹣∠C）=52.5°，∴∠DBE=75°﹣52.5°=22.5°，故选：C．3．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．4．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（）A．50°B．45°C．140°D．130°【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°，∵∠D+∠A=180°，∴∠D=180°﹣50°=130°．故选：D．5．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长交⊙O于点D，∠D=30°，则∠BAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=30°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=60°，故选：D．6．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）【解答】解：2017÷8=252…1，即第2017秒点P所在位置如图：过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO=90°，∵OP=1，∠POM=45°，∴PM=OM=1×sin45°=，即此时P点的坐标是（，），故选：A．7．已知正方形的边长是10厘米，则阴影部分的面积为（）A．25π﹣50B．50π﹣50C．25π﹣25D．50π﹣25【解答】解：把阴影部分分成两部分，分别放到①、②组成一个阴影图形，用半径10厘米的扇形减去一个直角边为10厘米的等腰直角三角形即可求出阴影部分的面积．阴影部分面积=π×102÷4﹣×10×10=25π﹣50（平方厘米）答：阴影部分的面积是（25π﹣50）平方厘米．故选：A．8．如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是（）A．B．5C．D．3【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′==5，∴MN=．最大故选：A．9．如图，在⊙O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA=AB，则∠ACB=（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠ACB=30°，故选：B．10．如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°【解答】设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=，故选：D．11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°【解答】解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；∵∠A=30°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD﹣∠A=40°；故选：C．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．2【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在R△DMC中，DM2=CD2+CM2，t∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，∴NM=，∴DM=3=，故选：A．二．填空题（共8小题）13．如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为120 度．【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，∴OA=AB，∵OA=OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，故答案为120．= ．14．如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影【解答】解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，∵AB是直径，∴CE=DE=CD=，又∵∠CDB=30°∴∠COE=60°，∴OE=1，OC=2，∴BE=1，∴S△BED =S△OEC，∴S阴影=S扇形BOC==．故答案是：．15．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA= 30°．【解答】解：∵点C是半径OA的中点，∴OC=OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO=30°，∴∠DOA=60°，∴∠DFA=30°，故答案为：30°16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点A在圆外，点B在圆内，r的范围是，故答案为：．17．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，则边AB扫过的面积（图中阴影部分）是9π．【解答】解：∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴边AB扫过的面积=﹣=9π，故答案为：9π．18．如图，直线AB分别交x轴，y轴于点A（﹣4，0），B（0，3），点C为y轴上的点，若以点C为圆心，CO长为半径的圆与直线AB相切时，则点C的坐标为（0，）或（0，﹣12）．【解答】解：设C（0，t），作CH⊥AB于H，如图，AB==5，∵以点C为圆心，CO长为半径的圆与直线AB相切，∴CH=OC，当t＞3时，BC=t﹣3，CH=t，∵∠CBH=∠ABC，∴△BHC∽△BOA，∴CH：OA=BC：BA，即t：4=（t﹣3）：5，解得t=﹣12（舍去）当0＜t＜3时，BC=3﹣t，CH=t，同样证明△BHC∽△BOA，∴CH：OA=BC：BA，即t：4=（3﹣t）：5，解得t=，当t＜0时，BC=3﹣t，CH=﹣t，同样证明△BHC∽△BOA，∴CH：OA=BC：BA，即﹣t：4=（3﹣t）：5，解得t=﹣12，综上所述，C点坐标为（0，）或（0，﹣12）．故答案为（0，）或（0，﹣12）．19．如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB 交于点C，则∠ACO= 81 度．【解答】解：∵OA=，OB=，AB=2，∴OA2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．20．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，现将此矩形绕点C顺时针旋转90°得到新的矩形A′B′CD′，则边AD扫过的面积（阴影部分）是7π（结果保留π）【解答】解：连接AC 、AC′，根据勾股定理，得AC==10，故可得S 扇形CAA '==25π，S 扇形CDD '==18π，则阴影部分的面积=S 扇形CAA '﹣S 扇形CDD '=25π﹣18π=7π．故答案为7π．三．解答题（共7小题）21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以边AB 为直径的⊙O 经过点C ，E 是⊙O 上的一点，且∠BEC=45°．（1）试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BE=8cm ，sin ∠BCE=，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）相切．理由如下：连接OC，如图，∵∠BEC=45°，∴∠BOC=90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠OCD=∠BOC=90°，∴OC⊥CD．∴CD为⊙O的切线；（2）连接AE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠EAB=∠BCE，sin∠B CE=，∴sin∠EAB=，∴=，∵BE=8，∴AB=10，∴AO=AB=5，∴⊙O的半径为5 cm．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE 交AC于点E，且∠A=∠AD E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．【解答】（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∵∠ADE=∠A，∴∠ADE+∠BDO=90°，∴∠ODE=90°．∴DE是⊙O的切线；（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，∴AE=DE．∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．∴EC是⊙O的切线．∴DE=EC．∴AE=EC，又∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC=．23．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG 与DC的延长线交于点F．（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．【解答】（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE=EC=4，在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，∴R2=（R﹣2）2+42，解得R=5．（2）证明：连接AD，∵弦CD⊥AB∴=，∴∠ADC=∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC=∠FGC，∴∠FGC=∠AGD．24．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵直线CE与⊙O相切于点C，∴OC⊥CE，∵AD⊥CE，∴OC∥AD，∴∠1=∠3，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵AB=4，B为OE的中点，∴OC=2，OB=BE=2，在Rt△OCE中，∵OC=OE，∴∠E=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OCF中，∵∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=．25．如图，△ABC内接于半⊙O，AB为直径，弦AD平分∠CAB，DE切⊙O于点D．（1）求证：DE∥BC（2）若AD=BC，⊙O半径为2，求∠CAD与围成区域的面积．【解答】（1）证明：连接OD．∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAB，∴=，∴OD⊥BC，∴DE∥BC．（2）∵AD=BC，∴=，∴=，∵=，∴==，∴∠COD=∠BOD=60°，∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO=∠DOB=60°，∴CD∥AB，∴S△ACD =S△COD，∴∠CAD与围成区域的面积=扇形OCD的面积==π．26．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O 恰好与CD相切．（1）求证：AD+BC=CD；（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin∠DCF．【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，∵以AB为直径作⊙O与CD相切，∴点H为切点，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD和BC都与⊙O相切，∴DA=DH，CB=CH，∴AD+BC=DH+CH=CD；（2）解：∵AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴∠F=45°，∵AF∥BC，∴∠FCB=45°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴BE=BC，作DG⊥BC于G，如图，易得四边形ABGD为矩形，设AE=AF=x，AD=y，则BE=BC=3x，∴CD=y+3x，DG=4x，CG=CB﹣BG=3x﹣y，在Rt△DGC中，∵DG2+CG2=CD2，∴（4x）2+（3x﹣y）2=（y+3x）2，∴y=x，∴CD=x+3x=x，DF=x+x=x，作DK⊥CF于K，如图，则△KDF为等腰直角三角形，∴DK=DF=x，在Rt△CDK中，sin∠DCK===，即sin∠DCF=．27．如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B 在⊙O上，且∠CAB=30°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为cm 时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为cm 时，四边形ADCB为矩形．【解答】解：（1）如图连接OB、BC．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC，∵PC=OA=OC，∴BC=CO=CP，∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB是⊙O的切线．（2）①的长为cm时，四边形ADPB是菱形．∵四边形ADPB是菱形，∠ADB=△ACB=60°，∴∠COD=2∠CAD=60°，∴的长==cm．②当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD=120°，∴的长==cm．故答案为cm，cm；。

部编数学九年级下册专题18阿氏圆小题(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题18 阿氏圆小题1．如图，在ABC D 中，90A Ð=°，4AB AC ==，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则12PB PC +的最小值等于( )A ．4B ．CD 【解答】解：在AB 上截取1AQ =，连接AP ，PQ ，CQ ，Q 点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，\12AP AB =，2AP =Q ，1AQ =，\12AQ AP =，PAQ BAP Ð=ÐQ ，APQ ABP \D D ∽，12PQ PB \=，\12PB PC PC PQ CQ +=+…，在Rt ACQ D 中，4AC =，1AQ =，QB \==，\12PB PC +故选：C ．2．如图，已知菱形ABCD 的边长为8，60B Ð=°，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为【解答】解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得2BG =，连接PG ，DG ，过点D 作DH BC ^交BC 的延长线于H ．4PB =Q ，2BG =，8BC =，2PB BG BC \=×，\PB BC BG PB=，PBG CBP Ð=ÐQ ，PBG CBP \D D ∽，\12PG PB PC BC ==，12PG PC \=，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，8AB CD BC ===，60DCH ABC \Ð=Ð=°，在Rt CDH D 中，cos604CH CD =×°=，sin 60DH CD =×°=6410GH CG CH \=+=+=，DG \===，12PD PC PD PG DG -=-Q …，12PD PC \-…，12PD PC \-的最大值为3．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作B e ，点P 是B e上一动点，连接PD 、PC ，则12PD PC +的最小值为 5　．【解答】解：如图，在BC 上取一点T ，使得1BT =，连接PB ，PT ，DT ．Q 四边形ABCD 是正方形，90DCT \Ð=°，4CD =Q ，3CT =，5DT \===，2PB =Q ，1BT =，4BC =，2PB BT BC \=×，\PB BC BT PB=，PBT PBC Ð=ÐQ ，PBT CBP \D D ∽，\12PT PB PC CB ==，12PT PC \=，152PD PC PD PT DT +=+=Q …，12PD PC \+的最小值为5，故答案为：5．4．如图，扇形AOB 中，90AOB Ð=°，6OA =，C 是OA 的中点，D 是OB 上一点，5OD =，P 是¶AB 上一动点，则12PC PD +的最小值为【解答】解：如图，延长OA 使AE OB =，连接EC ，EP ，OP ，6AO OB ==Q ，C 分别是OA 的中点，12OE \=，6OP =，3OC AC ==，\12OP OC OE OP ==，且COP EOP Ð=ÐOPE OCP\D D ∽\12PC OP PE OE ==，2EP PC \=，111(2)()222PC PD PC PD PD PE \+=+=+，\当点E ，点P ，点D 三点共线时，12PC PD +的值最小，13DE ===Q ，13PD PE DE \+=…，PD PE \+的最小值为13，12PC PD \+的值最小值为132．故答案为：132．5．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A ，(4,0)B ，P 是第一象限内一动点，2OP =，连接AP 、BP ，则12BP AP +的最小值是【解答】解：如图，取点(0,1)T ，连接PT ，BT ．(0,1)T Q ，(0,4)A ，(4,0)B ，1OT \=，4OA =，4OB =，2OP =Q ，2OP OT OA \=×，\OP OA OT OP=，POT AOP Ð=ÐQ ，POT AOP \D D ∽，\12PT OP PA OA ==，12PT PA \=，12PB PA PB PT \+=+，BT ==QPB PT \+12BP AP \+12BP PB \+．6．如图，在O e 中，点A 、点B 在O e 上，90AOB Ð=°，6OA =，点C 在OA 上，且2OC AC =，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则2CM DM +的最小值为【解答】解：延长OB 到T ，使得BT OB =，连接MT ，CT ．6OM =Q ，3OD DB ==，12OT =，2OM OD OT \=×，\OM OT OD OM=，MOD TOM Ð=ÐQ ，MOD TOM \D D ∽，\12DM OM MT OT ==，2MT DM \=，2CM DM CM MT CT +=+Q …，又Q 在Rt OCT D 中，90COT Ð=°，4OC =，12OT =，CT \===，2CM DM \+…2CM DM \+的最小值为\答案为7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，则PB +的最小值为【解答】解：设O e 半径为r ，122OP r BC ===，OB ==，取OB 的中点I ，连接PI ，OI IB \===，，\OP OB OI OP=，O Ð是公共角，BOP POI \D D ∽，\PI OI PB OP ==PI \=，AP AP PI \=+，\当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +最小，作IE AB ^于E ，45ABO Ð=°Q ，1IE BE \===，3AE AB BE \=-=，AI \==，AP PB \最小值AI ==，Q )PB PA +=+，\PB +==．故答案是8．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C e ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C e 上一个动点，则13PA PB +的最小值为【解答】解：在AC 上截取1CQ =，连接CP ，PQ ，BQ ，9AC =Q ，3CP =，\13CP AC =，3CP =Q ，1CQ =，\13CQ CP =，ACP PCQ \D D ∽，13PQ AP \=，\13PA PB PQ PB BQ +=+…，\当B 、Q 、P 三点共线时，13PA PB +的值最小，在Rt BCQ D 中，4BC =，1CQ =，QB \=，\13PA PB +9．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为【解答】解：如图，在CB 上取一点F ，使得12CF =，连接PF ，AF ．90DCE Ð=°Q ，4DE =，DP PE =，122PC DE \==，Q14CF CP =，14CP CB =，\CF CP CP CB=，PCF BCP Ð=ÐQ ，PCF BCP \D D ∽，\14PF CF PB CP ==，14PF PB \=，14PA PB PA PF \+=+，PA PF AF +Q …，AF ===，14PA PB \+…，14PA PB \+，．10．如图，在ABC D 中，6BC =，60BAC Ð=°，则2AB AC +的最大值为【解答】解：122()2AB AC AB AC +=+Q ，\求2AB AC +的最大值就是求12()2AB AC +的最大值，过C 作CE AB ^于E ，延长EA 到P ，使得AP AE =，60BAC Ð=°Q ，12EA AC AP \==，12AB AC AB AP \+=+，EC =Q ，2PE AE =，由勾股定理得：PC =，sin CE P CP \===，P \Ð为定值，6BC =Q 是定值，\点P 在CBP D 的外接圆上，AB AP BP +=Q ，\当BP 为直径时，AB AP +最大，即BP ¢，sin sin BC P P BP ¢\===¢，解得BP ¢=AB AP \+=，22()AB AC AB AP \+=+=，故答案为：．11．如图，O e 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O e 半径为3，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点P 在弧MN 上移动，连接PA ，PB ，则3PA PB +的最小值为．【解答】解：如图，在y 轴上取点(0,9)H ，连接BH ，Q 点(0,1)A ，点(2,0)B ，点(0,9)H ，1AO \=，2OB =，9OH =，Q 1339OA OP OP OH===，AOP POH Ð=Ð，AOP POH \D D ∽，\13AP OP HP OH ==，3HP AP \=，3PA PB PH PB \+=+，\当点P 在BH 上时，3PA PB +有最小值为HB 的长，BH \===，．12．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PA k k PB=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC D 中，4CB =，2AB AC =，则ABC D 面积的最大值为【解答】解：以A 为顶点，AC 为边，在ABC D 外部作CAP ABC Ð=Ð，AP 与BC 的延长线交于点P ，CAP ABC Ð=ÐQ ，BPA APC Ð=Ð，2AB AC =，APC BPA \D D ∽，12AP CP AC BP AP AB ===，2BP AP \=，12CP AP =，4BP CP BC -==Q ，1242AP AP \-=，解得：83AP =，163BP \=，43CP =，即点P 为定点，\点A 的轨迹为以点P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点1A ，此时点1A 到BC 的距离最大，即ABC D 的面积最大，11181642233ABC S BC A P D =×=´´=．故答案为：163．13．如图所示，60ACB Ð=°，半径为2的圆O 内切于ACB Ð．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于ACB Ð的两边，垂足为M 、N ，则2PM PN +的取值范围为 626PM PN -++…　．【解答】解：作MH NP ^于H ，作MF BC ^于F ，PM AC ^Q ，PN CB ^，90PMC PNC \Ð=Ð=°，360120MPN PMC PNC C \Ð=°-Ð-Ð-Ð=°，18060MPH MPN \Ð=°-Ð=°，1cos cos602HP PM MPH PM PM \=×Ð=×°=，12PN PM PN HP NH \+=+=，MF NH =Q ，\当MP 与O e 相切时，MF 取得最大和最小，如图1，连接OP ，OG ，可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP \==，在Rt COG D 中，tan 60CG OG =×°=，2CM CG GM \=+=+，在Rt CMF D 中，cos (23MF CM C =×=+=，3HN MF \==+，122()262PM PN PM PN HN +=+==+如图2，由上知：CG =，2MG =，2CM \=，2)3HM \=-=-122()262PM PN PM PN HN \+=+==-，626PM PN \-++…．三．解答题（共2小题）14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，OAB D 的顶点O ，A ，B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上．()OE I OB （Ⅱ）¶DE是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ¢，旋转角为(090)a a °<<°连接E A ¢，E B ¢，当23E A E B ¢¢+的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E ¢，并简要说明点E ¢的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（1）由题意2OE =，3OB =，\23OE OB =，故答案为：23．（2）如图，取格点K ，T ，连接KT 交OB 于H ，连接AH 交¶DE于E ¢，连接BE ¢，点E ¢即为所求．故答案为：通过取格点K 、T ，使得:2:3OH OD =，构造相似三角形将23E B ¢转化为E H ¢，利用两点之间线段最短即可解决问题．15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PA k k PB=>且1)k ¹的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得::OM OP OP OD k==；第二步：证明kPD PM=；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD上取点M，使得::OM OP OP OD k==，又POD MOPÐ=ÐQ，POM DOP\D D∽．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABCD中，90ACBÐ=°，4AC=，3BC=，D为ABCD内一动点，满足2CD=，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD+的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得::OM OP OP OD k==，又POD MOPÐ=ÐQ，POM DOP\D D∽．:MP PD k\=，MP kPD\=，PC kPD PC MP\+=+，当PC kPD+取最小值时，PC MP+有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM===．（2）4AC m==Q，23CDBC=，在CB上取一点M，使得2433CM CD==，\23AD BD +=．。

人教版九年级数学下册圆测试习题及答案【新】

近年届九年级数学下册章末复习(二)圆练习湘教版(2021年整理)

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章末复习(二）圆分点突破知识点1 垂径定理1．当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）,那么该圆的半径为错误!__cm。

知识点2 圆心角与圆周角2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B）A．40°，80°B．50°，100°C．50°,80°D．40°，100°3．如图,已知点A，B，C在⊙O上，∠A＝∠B＝19°,则∠AOB的度数是(D)A．68°B．66°C．78°D．76°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.（1）若∠CBD＝39°,求∠BAD的度数；（2)求证:∠1＝∠2。

解：(1)∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°。

∵∠BAC＝∠CDB＝39°,∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°。

（2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE。

而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.知识点3 三角形的外接圆与内切圆5．已知△ABC的三边长分别为3，4，5，则△ABC的外接圆、内切圆半径的长分别为2.5，1．6．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为(C)A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°知识点4 点、直线和圆的位置关系7．在△ABC中,已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10,以点C为圆心，分别以5，5错误!和8为半径作圆，那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是相离、相切、相交．8．（2017·济宁）如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是错误!的中点，过点D作DE ⊥AC,交AC的延长线于点E。

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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）圆与三角函数1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．3．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．4．如图，在矩形ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．5．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．6． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．7．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在 CD的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．9．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC 为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．10．如图，已知在△ ABP 中， C 是 BP 边上一点，∠ PAC=∠PBA，⊙ O 是△ ABC的外接圆，AD 是⊙ O 的直径，且交 BP于点 E．（1）求证： PA是⊙ O 的切线；（2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF交 AB 于点 G，若 AG?AB=12，求 AC的长；（3）在满足（ 2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙ O 的半径及 sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙ O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB交⊙ O 于点E．（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图 2，过点 E 作⊙ O 的切线，交 AC的延长线于点 F．①若 CF=CD时，求 sin∠CAB的值；②若 CF=aCD（a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，以 BC为直径的⊙ O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC的中点，连接 MH．（1）求证： MH 为⊙ O 的切线．（2）若 MH=，tan∠ ABC=，求⊙ O的半径．（3）在（ 2）的条件下分别过点 A、 B 作⊙ O 的切线，两切线交于点 D，AD 与⊙ O 相切于 N 点，过 N 点作 NQ⊥BC，垂足为 E，且交⊙ O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度．13．如图，⊙ O 的半径 r=25，四边形 ABCD内接于圆⊙ O，AC⊥ BD 于点 H，P 为 CA延长线上的一点，且∠ PDA=∠ ABD．（1）试判断 PD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tan∠ ADB= ，PA=AH，求 BD的长；（3）在（ 2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图， PA为⊙ O 的切线， A 为切点，直线 PO 交⊙ O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙ O 与点 B，延长 BO 与⊙ O 交与点 C，连接 AC，BF．（1）求证： PB与⊙ O 相切；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ ACB的值．15．如图，在⊙ O 中，弦 AB 与弦 CD相交于点 G， OA⊥ CD于点 E，过点 B 的直线与 CD的延长线交于点 F，AC∥BF．（1）若∠ FGB=∠ FBG，求证： BF 是⊙ O 的切线；（2）若 tan∠ F= ，CD=a，请用 a 表示⊙ O 的半径；（3）求证： GF2﹣GB2=DF?GF．16．如图，在⊙ O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC上， AM 的延长线交⊙ O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠ 1=∠2，连结 CB与 DG 交于点 N．（1）求证： CF是⊙ O 的切线；（2）求证：△ ACM∽△ DCN；（3）若点 M 是 CO的中点，⊙ O 的半径为 4，cos∠BOC= ，求 BN 的长．17．如图所示，在 Rt△ABC与 Rt△OCD中，∠ ACB=∠DCO=90°，O 为 AB 的中点．（1）求证：∠ B=∠ACD．2．（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC=AB?BE（i）若 tan∠ACD= ， BC=10，求 CE的长；（i i ）试判定 CD与以 A 为圆心、 AE 为半径的⊙ A 的位置关系，并请说明理由．18．如图， AB 为⊙ O 的直径，直线 CD 切⊙ O 于点 M，BE⊥ CD于点 E．（1）求证：∠ BME=∠ MAB；（2）求证： BM2=BE?AB；（3）若 BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 M 是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙ O 的半径 r 的长度；（2）求 sin∠CMD；（3）直线 BM 交直线 CD于点 E，直线 MH 交⊙ O 于点 N，连接 BN 交 CE于点 F，求 HE?HF 的值．20．已知 AB、CD 是⊙ O 的两条弦，直线 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，连接 AC，过点 B 作BF⊥AC，垂足为 F，直线 BF交直线 CD于点 M ．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AD，AM， BD，求证： AD=AM；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 外时，连接 AD，AM，求证： AD=AM；（3）如图 3，当点 E 在⊙ O 外时，∠ABF的平分线与 AC交于点 H，若 tan ∠C= ，求 tan∠ABH 的值．2018 年 01 月 10 日金博初数 2 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25 小题）1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．【分析】（ 1）由圆周角定理和已知条件证出∠ ODB=∠ ABC，再证出∠ ABC+∠ DBF=90°，即∠ OBD=90°，即可得出 BD 是⊙ O 的切线；（2）连接 AC，由垂径定理得出，得出∠ CAE=∠ECB，再由公共角∠ CEA=∠HEC，证明△CEH∽△ AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接 BE，由圆周角定理得出∠ AEB=90°，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出 EA，得出 BE=CE=6，由（ 2）的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可．【解答】（ 1）证明：∵∠ ODB=∠AEC，∠ AEC=∠ABC，∴∠ ODB=∠ ABC，∵OF⊥ BC，∴∠ BFD=90°，∴∠ ODB+∠ DBF=90°，∴∠ ABC+∠DBF=90°，即∠ OBD=90°，∴BD⊥ OB，∴BD 是⊙ O 的切线；（2）证明：连接 AC，如图 1 所示：∵OF⊥ BC，∴，∴∠ CAE=∠ECB，∵∠ CEA=∠HEC，∴△ CEH∽△ AEC，∴，∴2CE =EH?EA；（3）解：连接 BE，如图 2 所示：∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AEB=90°，∵⊙ O 的半径为 5，sin∠BAE= ，∴AB=10， BE=AB?sin∠ BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵2CE =EH?EA，∴EH= =，在 Rt△ BEH中， BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（ 2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．【分析】（ 1）首先根据 OF∥AC， OA=OC，判断出∠ BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ BOF≌△ COF，推得∠ OCF=∠OBF=90°，再根据点 C 在⊙ O 上，即可判断出 FC 是⊙ O 的切线．（2）延长 AC、 BF交点为 M ．由△ BOF≌△ COF可知： BF=CF然后再证明： FM=CF，从而得到BF=MF，因为 DC∥BM，所以△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为 cos∠AOC= ，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以 EG=．由（2）可知△ AEG∽△ ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ ABF中，由勾股定理可求得 AF=3r．然后再证明△ CFH∽△ AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（ 1）证明：∵ OF∥ AC，∴∠ BOF=∠OAC，∠ COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠ BOF=∠COF，在△ BOF和△ COF中，，∴△ BOF≌△ COF，∴∠ OCF=∠OBF=90°，又∵点 C 在⊙ O 上，∴FC是⊙ O 的切线．（2）如下图：延长 AC、BF 交点为 M．由（ 1）可知：△ BOF≌△ COF，∴∠ OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥ OF，∴∠ M=∠OFB，∠ MCF=∠ CFO．∴∠ M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥ BM，∴△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM．∴，．∴又∵ BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵c os∠AOC= ，∴OE= ，AE= ．在 Rt△ EOC中， EC==．在 Rt△ AEC中， AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△ AEG∽△ ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在 Rt△ ABF中， AF===3r．∵CF是⊙ O 的切线， AC为弦，∴∠ HCF=∠HAC．又∵∠ CFH=∠ AFC，∴△ CFH∽△ AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3 ．已知：⊙ O上两个定点A ， B和两个动点 C ， D ， AC 与BD 交于点E．（1）如图 1，求证： EA?EC=EB?ED；（2）如图 2，若=，AD是⊙ O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图 3，若 AC⊥BD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图 2，连接 CD，OB 交 AC 于点 F 由 B 是弧 AC 的中点得到∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△ CBF∽△ ABD．即可得到结论；（3）如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF 得到 AF 为⊙ O 的直径于是得到∠ ADF=90°，过 O 作 OH⊥AD 于 H，根据三角形的中位线定理得到 DF=2OH=4，通过△ ABE∽△ ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（ 1）证明：∵∠ EAD=∠EBC，∠ BCE=∠ADE，∴△ AED∽△ BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）证明：如图 2，连接 CD， OB 交 AC于点 F∵B 是弧 AC 的中点，∴∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且 AF=CF=0.5AC．又∵ AD 为⊙ O 直径，∴∠ ABD=90°，又∠ CFB=90°．∴△ CBF∽△ DAB．∴，故 CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；（3）解：如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF，∴AF 为⊙ O 的直径，∴∠ ADF=90°，过O 作 OH⊥AD 于 H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥ BD，∴∠ AEB=∠ADF=90°，∵∠ ABD=∠ F，∴△ ABE∽△ ADF，∴∠ 1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．【分析】（1）先由 OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠ D=∠CBD，由 OB=OD，根据等边对等角得出∠ D=∠ OBD，等量代换得到∠ CBD=∠ OBD，即 BD 平分∠ ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ CFB+∠CBF=90°．再由 PF=PB，根据等边对等角得出∠ PBF=∠CFB，而由（ 1）知∠ OBD=∠ CBF，等量代换得到∠PBF+∠ OBD=90°，即∠ OBP=90°，根据切线的判定定理得出 PB是⊙ O 的切线；（ 3）连结AD．在 Rt△ ABC 中，由cos∠ABC= = =，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由 OD∥ BC，得出△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么 DE=OD﹣ OE=2，然后在 Rt△ ADE中根据勾股定理求出 AD==2．【解答】（ 1）证明：∵ OD∥ BC，∴∠ D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠ D=∠OBD，∴∠ CBD=∠OBD，∴BD 平分∠ ABC；（2）证明：∵⊙ O 是以 AB为直径的△ ABC的外接圆，∴∠ ACB=90°，∴∠ CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠ PBF=∠CFB，由（ 1）知∠ OBD=∠CBF，∴∠ PBF+∠OBD=90°，∴∠ OBP=90°，∴PB 是⊙ O 的切线；（3）解：连结 AD．∵在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AB=10，∴c os∠ABC= = = ，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，∴= =，= =，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（ 2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图 1，△ ABC 内接于⊙ O，∠ BAC 的平分线交⊙ O 于点 D，交 BC 于点 E（BE＞ EC），且BD=2 ．过点 D 作 DF∥BC，交 AB 的延长线于点 F．（1）求证： DF 为⊙ O 的切线；（2）若∠ BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结 OD，如图 1，由角平分线定义得∠ BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥ BC，由于BC∥EF，则 OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙ O 的切线；（2）连结 OB， OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，先证明△ OBD为等边三角形得到∠ODB=60°， OB=BD=2，易得∠ BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到 PD= BD=，PB= PD=3，接着在 Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于 OP⊥BC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用△ BDE∽△ ACE，通过相似比可得到 AE=，再证明△ ABE∽△ AFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分△ BDF=S﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣ S△BOD）进行计算；（3）连结 CD，如图 2，由= 可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，由 = 得到 CD=BD=2，先证明△ BFD∽△ CDA，利用相似比得到 xy=4，再证明△ FDB∽△ FAD，利用相似比得到 16﹣4y=xy，则 16﹣4y=4，然后解方程易得 BF=3．【解答】证明：（1）连结 OD，如图 1，∵AD 平分∠ BAC交⊙ O 于 D，∴∠ BAD=∠ CAD，∴= ，∴OD⊥BC，∵BC∥ EF，∴OD⊥DF，∴DF 为⊙ O 的切线；（2）连结 OB，连结 OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，∵∠ BAC=60°，AD 平分∠ BAC，∴∠ BAD=30°，∴∠ BOD=2∠BAD=60°，∴△ OBD 为等边三角形，∴∠ ODB=60°，OB=BD=2，∴∠ BDF=30°，∵BC∥ DF，∴∠ DBP=30°，在Rt△ DBP中， PD= BD= ，PB= PD=3，在Rt△ DEP中，∵ PD= ，DE= ，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△ BDE∽△ ACE，∴AE： BE=CE：DE，即 AE：5=1：，∴AE=∵BE∥ DF，∴△ ABE∽△ AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△ BDH中， BH= BD= ，∴S 阴影部分 =S△BDF﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣S△BOD）= ?12? ﹣+ ?（2）2=9 ﹣2π；（3）连结 CD，如图 2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵= ，∴CD=BD=2，∵∠ F=∠ABC=∠ADC，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC，∴△ BFD∽△ CDA，∴=，即=，∴x y=4，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC=∠ FAD，而∠ DFB=∠AFD，∴△ FDB∽△ FAD，∴=，即=，整理得 16﹣ 4y=xy，∴16﹣ 4y=4，解得 y=3，即 BF的长为 3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形 ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．【分析】（ 1）连接 OE．欲证直线 CE与⊙ O 相切，只需证明∠ CEO=90°，即 OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC 中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知 DE=1；方法一、在 Rt△COE中，利用勾股定理可以求得222，即2CO=OE+CE=r +3，从而易得r 的；方法二、点 O 作 OM⊥AE 于点 M ，在 Rt△AMO 中，根据三角函数的定可以求得r 的．【解答】解：（1）直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 1 分）理由如下：∵四形 ABCD是矩形，∴BC∥ AD，∠ ACB=∠DAC；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴∠ DAC=∠DCE；接 OE，∠ DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠ DCE+∠DEC=90°∴∠ AE0+∠DEC=90°∴∠ OEC=90°，即 OE⊥ CE．又 OE是⊙ O 的半径，∴直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 5 分）（2）∵ tan∠ACB= =，BC=2，∴AB=BC?tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴t an ∠DCE=tan∠ACB= ，∴D E=DC?tan∠DCE=1；方法一：在 Rt△CDE中， CE==，222，即2接 OE，⊙ O 的半径 r，在 Rt△COE中， CO =OE+CE=r +3解得： r=方法二： AE=AD DE=1，点 O 作 OM⊥AE 于点 M ， AM= AE=在 Rt△ AMO 中， OA==÷=⋯（9分）【点】本考了的合：的切垂直于切点的半径；利用勾股定理算段的．7．如，在 Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，AC 的垂直平分分与 AC，BC 及 AB 的延相于点 D， E，F，且 BF=BC，⊙ O 是△ BEF的外接，∠ EBF的平分交 EF于点 G，交⊙ O 于点H，接 BD， FH．（1）求：△ ABC≌△ EBF；（2）判断 BD 与⊙ O 的位置关系，并明理由；（3）若 AB=1，求 HG?HB的．【分析】（ 1）由垂直的定义可得∠ EBF=∠ ADF=90°，于是得到∠ C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB 证得∠ DBO=90°，即可得到 BD 与⊙ O 相切；（3）如图 2，连接 CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于 DF垂直平分 AC，得到 AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得 BF=，有勾股定理解出EF=，推出△ EHF 是等腰直角三角形，求得HF= EF=，通过△ BHF∽△ FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（ 1）证明：∵∠ ABC=90°，∴∠ EBF=90°，∵DF⊥ AC，∴∠ ADF=90°，∴∠ C+∠A=∠ A+∠AFD=90°，∴∠ C=∠BFE，在△ ABC与△ EBF中，，∴△ ABC≌△ EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB证明如下：∵ OB=OF，∴∠ OBF=∠OFB，∵∠ ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠ C=∠DBC，∵∠ C=∠BFE，∴∠ DBC=∠OBF，∵∠ CBO+∠ OBF=90°，∴∠ DBC+∠CBO=90°，∴∠ DBO=90°，∴BD 与⊙ O 相切；（3）解：如图 2，连接 CF，HE，∵∠ CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF 垂直平分 AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ ABC≌△ EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH 平分∠ CBF，∴，∴EH=FH，∴△ EHF是等腰直角三角形，∴HF= EF=，∵∠ EFH=∠HBF=45°，∠ BHF=∠ BHF，∴△ BHF∽△ FHG，∴，∴HG?HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出 AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出 AB=AC，即可得出∠ E=∠ C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠ AFD=180°﹣∠ E，进而得出∠ BDF=∠ C+∠ CFD，即可得出答案；（3）根据 cosB= ，得出 AB 的长，即可求出 AE 的长，再判断△ AEG∽△ DEA，求出 EG?ED 的值．【解答】（ 1）证明：连接 AD，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∵CD=BD，∴AD 垂直平分 BC，∴AB=AC，∴∠ B=∠C，又∵∠ B=∠E，∴∠ E=∠C；（2）解：∵四边形 AEDF是⊙ O 的内接四边形，∴∠ AFD=180°﹣∠ E，又∵∠ CFD=180°﹣∠ AFD，∴∠ CFD=∠E=55°，又∵∠ E=∠C=55°，∴∠ BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接 OE，∵∠ CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ ABD中， cosB= ，BD=4，∴AB=6，∵E 是的中点，AB是⊙ O的直径，∴∠ AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E 是的中点，∴∠ ADE=∠EAB，∴△ AEG∽△ DEA，∴=，即 EG?ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出 AE， AB 的长是解题关键．9． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．【分析】（ 1）利用圆内接四边形的性质得出∠ D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠ GBE=∠EBC，进而求出即可；（ 2）首先得出∠ D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△ BGE（ASA），则 CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出 CO的长，再求出tan∠ ABH= = =，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（ 1）证明：如图 1，∵四边形 ABCD内接于⊙ O，∴∠ D+∠ABC=180°，∵∠ ABC+∠EBC=180°，∴∠ D=∠EBC，∵GF⊥ AD， AE⊥DG，∴∠ A+∠ABF=90°，∠ A+∠D=90°，∴∠ ABF=∠D，∵∠ ABF=∠GBE，∴∠ GBE=∠EBC，即BE平分∠ GBC；（2）证明：如图 2，连接 CB，∵AB⊥ CD， BF⊥AD，∴∠ D+∠BAD=90°，∠ ABG+∠ BAD=90°，∴∠ D=∠ABG，∵∠ D=∠ABC，∴∠ ABC=∠ABG，∵AB⊥ CD，∴∠ CEB=∠GEB=90°，在△ BCE和△ BGE中，∴△ BCE≌△ BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥ CG，∴AC=AG；（3）解：如图 3，连接 CO并延长交⊙ O 于 M，连接 AM，∵CM 是⊙ O 的直径，∴∠ MAC=90°，∵∠ M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴= ，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO= ，过点 H 作 HN⊥AB，垂足为点 N，∵t anD= ， AE⊥DE，∴t an ∠BAD= ，∴= ，设NH=3a，则 AN=4a，∴AH==5a，∵HB 平分∠ ABF，NH⊥AB，HF⊥ BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠ BAF= = = ，∴AB==10a，∴NB=6a，∴t an ∠ABH= = = ，过点 O 作 OP⊥AB 垂足为点 P，∴PB= AB=5a， tan∠ABH= =，∴OP= a，∵OB=OC= ， OP2+PB2=OB2，∴25a2+ a2=，∴解得： a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出 tan∠ ABH= = 是解题关键．10．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP 是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在CD 的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（ 1）连结 OP，先由 EP=EG，证出∠ EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠ EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结 OG，由 BG2=BF?BO，得出△ BFG∽△ BGO，得出∠ BGO=∠ BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结 AC、 BC、OG，由 sinB=，求出OG，由（2）得出∠ B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD长度．【解答】（ 1）证明：连结 OP，∵EP=EG，∴∠ EPG=∠EGP，又∵∠ EGP=∠ BGF，∴∠ EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠ OPB=∠OBP，∵CD⊥ AB，∴∠ BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠ EPG+∠OPB=90°，∴直线 EP为⊙ O 的切线；（2）证明：如图，连结OG， OP，∵BG2=BF?BO，∴= ，∴△ BFG∽△ BGO，∴∠ BGO=∠ BFG=90°，由垂径定理知： BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵s inB= ，∴= ，∵OB=r=3，∴OG=，由（ 2）得∠ EPG+∠OPB=90°，∠B+∠ BGF=∠ OGF+∠BGF=90°，∴∠ B=∠OGF，∴s in∠ OGF= =∴OF=1，∴BF=BO﹣ OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△ BCA中，2，CF=BF?FA∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．【分析】（ 1）由于题目没有说明直线 AB 与⊙ O 有交点，所以过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，然后证明 OC=OF即可；（2）连接 CE，先求证∠ ACE=∠ODC，然后可知△ ACE∽△ ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2，所以可求出AE 和AC的长度，由（）可知，△∽△，=AE?AD1OFB ABC 所以，然后利用勾股定理即可求得AB 的长度．【解答】（ 1）如图，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，∵AO 平分∠ CAB，OC⊥ AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）如图，连接 CE，∵ED 是⊙ O 的直径，∴∠ ECD=90°，∴∠ ECO+∠OCD=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACE+∠ECO=90°，∴∠ ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠ OCD=∠ ODC，∴∠ ACE=∠ODC，∵∠ CAE=∠CAE，∴△ ACE∽△ ADC，∴，∵t an ∠D= ，∴ = ，∴ = ；（3）由（ 2）可知：=，∴设 AE=x， AC=2x，∵△ ACE∽△ ADC，∴，∴AC2=AE?AD，∴（ 2x）2=x（ x+6），解得： x=2 或 x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（ 1）可知： AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠ B=∠B，∴△ OFB∽△ ACB，∴= ，设BF=a，∴BC= ，∴BO=BC﹣ OC=﹣3，在Rt△ BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得： a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ ACE∽△ ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（ 2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+ ∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出 tan∠ABD 的值．【解答】（ 1）解：∵对角线AC 为⊙ O 的直径，∴∠ ADC=90°，∴∠ EDC=90°；（2）证明：连接 DO，∵∠ EDC=90°，F 是 EC的中点，∴DF=FC，∴∠ FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ OCD=∠ ODC，∵∠ OCF=90°，∴∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙ O 的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则 AC=2，由AC2=AD× AE∴20=AD（ AD+1）∴AD=4 或﹣ 5（舍去）∵DC2=AC2﹣ AD2∴DC=2，∴t an ∠ABD=tan∠ACD= =2；方法二：如图所示：可得∠ ABD=∠ ACD，∵∠ E+∠DCE=90°，∠ DCA+∠DCE=90°，∴∠ DCA=∠ E，又∵∠ ADC=∠CDE=90°，∴△ CDE∽△ ADC，∴= ，∴DC2=AD?DE∵AC=2DE，∴设 DE=x，则 AC=2x，则AC2﹣AD2=AD?DE，期（ 2 x）2﹣AD2=AD?x，整理得： AD2+AD?x﹣ 20x2=0，解得： AD=4x或﹣ 5x（负数舍去），则 DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD= = =2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出 AD，DC的长是解题关键．。

中考数学复习同步练习18 圆4

中考数学复习同步练习（17）（圆）4一、选择题：1．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（）A 、R=2rB 、R=rC 、R=3rD 、R=4r2．如图，圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积是（）A 、60πcm 2B 、45πcm 2C 、30πcm 2D 、15πcm 23．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A 、1：2B 、2：1C 、1：4D 、4：14．（06江阴）将直径为64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）A 、815cmB 、817cmC 、163cmD 、16cm5．弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（）A 、π︒360 B 、π︒180 C 、π︒90 D 、︒606．（08孝感）Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆 A ， B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A 、254πB 、258πC 、2516π 、2532π7．在半径为12的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于（）A 、242cm πB 、122cm πC 、102cm πD 、52cm π8．在半径为1的⊙O 中，120º的圆心角所对的弧长是（）A 、3π B 、32π C 、π D 、23π 9．已知扇形的半径是12cm ，圆心角是60°，则扇形的弧长是（） A 、24cm π B 、12cm π C 、4cm π D 、2cm π10．如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 平移的距离为（）A 、cm π900B 、cm π300C 、cm π60D 、cm π20A BCA B C A 'C ' A B C D E F11．如图，一块边长为8cm 的正三角形木板ABC ，在水平桌面上绕点B 按顺时针方向旋转至⊿A ′BC ′的位置时，顶点C 从开始到结束所经过的路径长为(点A 、B 、C ′在同一直线上) （）A 、cm π16B 、cm π38C 、cm π364D 、cm π316 12．如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中、、、…圆心依次按A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是（） A 、π8 B 、π6 C 、π4 D 、π213．在半径为6cm 的圆中，长为2cm 的弧所对的圆周角的度数为（）A 、30°B 、100°C 、120°D 、130°14．如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R ，则它的弧长增加（）A 、360Rπ B 、R π180 C 、R π360 D 、180R π 15．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为（）A 、35πB 、1035+πC 、65πD 、1065+π 二、填空题：16．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm ，则扇形的弧长是_______cm ，扇形的面积是________cm 2； 17题 18题17．如图，两个同心圆中，大圆的半径OA= 4cm ，∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积是_____ _cm 2；18．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是_______cm 2； 19题 20题19．如图，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=______；20．如图，把直角三角形 ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC= 3 ，则顶点A 运动到 A″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）； 21．（08厦门）如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为r 米，圆心角均为90，则铺上的草地共有平方米；22．如图，⊙O 1的半径O 1A 是⊙O 2的直径，⊙O 1的半径O 1C交⊙O 2于点B ，则和的长度的大小关系为；⌒AC ⌒AB DE EF。

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18.圆(九上第二十四章)
知识回顾
1．垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4．直径所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径．
5．点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则点P 在⊙O 内⇔d<r ；点P 在⊙O 上⇔d ＝r ；点P 在⊙O 外⇔d ＞r ．
6．直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于圆的半径，直线与圆相离；圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆相切；圆心到直线的距离小于圆的半径，直线与圆相交．
7．切线垂直于过切点的半径．经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线． 8．过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，这个点与圆心的连线平分两切线的夹角．
9．一个三角形的外接圆只有一个，圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的内切圆也只有一个，圆心为内心，是三角形三个内角平分线的交点． 10．弧长公式为l ＝n πr 180，扇形面积公式：S 扇形＝n πr2
360
．
11．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆柱的侧面展开图是一个矩形．
达标练习
1．(湘西中考)⊙O 的半径为5 cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝3 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系为(B) A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定
2．如图，在⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点C ，AB ＝4，OC ＝1，则OB 的长是(B)
A. 3
B. 5
C.15
D.17
3．已知正三角形的外接圆半径为2，则这个正三角形的边长是(A)
A ．2 3 B. 3 C ．3 D ．2
4．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，那么该输水管的半径为(C) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm
5．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO ＝40°，则∠OCB 的度数为(C) A ．40° B ．50° C ．65° D ．75°
6．(张家界中考)如图，∠O ＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是(C)
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．以上三种情况均有可能
7．用半径为3 cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(D) A ．2π cm B ．1.5 cm C ．π cm D ．1 cm
8．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB ＝90°，以AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(C) A.1
4
π
B.π－1
2
C.1
2
D.14π＋12
9．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝20°．
10．如图所示，O 是△ABC 的内心，若∠BOC ＝100°，则∠BAC ＝20°.
11．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，若∠P ＝70°，则∠C 的大小为55°．
12．(孝感中考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)
(2)若AB ︵
的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求所在圆的半径．
解：(1)如图，点O 为所求．
(2)连接OA ，AB ，OC ，OC 交AB 于D ， ∵C 为AB ︵
的中点， ∴OC ⊥AB.
∴AD ＝BD ＝1
2
AB ＝40 m.
设⊙O 的半径为r m ，
则OA ＝r m ，OD ＝OC －CD ＝(r －20)m.
在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2
， ∴r 2＝(r －20)2＋402
，解得r ＝50，即所在圆的半径是50 m.
13．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心在AC 上，∠A ＝30°，D 为BC ︵
的中点．求证： (1)AB ＝BC ；
(2)四边形BOCD 是菱形．
证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠OBA ＝90°，∠AOB ＝90°－30°＝60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∵∠AOB ＝∠OBC ＋∠OCB ，
∴∠OCB ＝30°＝∠A.∴AB ＝BC. (2)连接OD 交BC 于点M. ∵D 是BC ︵
的中点，
∴OD 垂直平分BC.
∵在Rt △OMC 中，∠OCM ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝OD.∴OM ＝DM. ∴OD 与BC 相互垂直平分． ∴四边形BOCD 是菱形．
14．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB.
(1)求BC 的长；
(2)求证：PB 是⊙O 的切线．
解：(1)连接OB.
∵弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°， ∴∠COB ＝60°.
又∵OC ＝OB ，∴△OBC 是正三角形． ∴BC ＝OC ＝2.
(2)证明：∵BC ＝OC ＝CP ，∴∠CBP ＝∠CPB. ∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝60°. 又∵∠OCB ＝∠CBP ＋∠CPB ，∴∠CBP ＝30°. ∴∠OBP ＝∠CBP ＋∠OBC ＝90°，即OB ⊥BP. ∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．
15．(沈阳中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝2∠D ，连接OA ，OB ，OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E.
(1)求∠OCA 的度数；
(2)若∠COB ＝3∠AOB ，OC ＝23，求图中阴影部分面积．(结果保留π和根号)
解：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC ＋∠D ＝180°. ∵∠ABC ＝2∠D ， ∴2∠D ＋∠D ＝180°.
∴∠D ＝60°.∴∠AOC ＝2∠D ＝120°. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°. (2)∵∠COB ＝3∠AOB ，
∴∠AOC ＝∠AOB ＋3∠AOB ＝120°. ∴∠AOB ＝30°. ∴∠COB ＝90°.
在Rt △OCE 中，OC ＝23，∴OE ＝OC ·tan ∠OCE ＝23·tan30°＝23×3
3
＝2. ∴S △OEC ＝12OE ·OC ＝1
2×2×23＝23，
S 扇形OBC ＝90π×（23）2
360＝3π.
∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △OEC ＝3π－2 3.。