【高考一轮】2018课标版文科数学一轮复习 9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程 夯基提能作业本(含答案)
中学数学中考高考数学复习总结第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程.
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[思维路径] ①由于 A，B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑 设截距式方程xa＋by＝1，且 a＞0，b＞0，可得4a＋1b＝1； ②S△AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a＋1b＝1，可采用“1”的代 换及基本不等式求解； ③|OA|＋|OB|最小，即 a＋b 最小，思路同第(1)问．
2．避免 2 类失误 (1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第 2 题) (2)由直线的斜率 k 求倾斜角 α 的范围时，要对应正切函数 的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第 1 题) 3．记牢倾斜角 α 与斜率 k 的关系 当 α∈0，π2且由 0 增大到π2α≠π2时，k 的值由 0 增大到 ＋∞. 当 α∈π2，π时，k 也是关于 α 的单调函数，当 α 在此区 间内由π2α≠π2增大到 π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于 0(k≠0)．
解：设直线 l：xa＋by＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
(1)4a＋1b＝1≥2
4a·1b＝
4 ，所以 ab
ab≥16，
当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立，
所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小，
此时直线 l 的方程为x8＋2y＝1，即 x＋4y－8＝0.
[冲关演练]
1．直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为 10，则直线 l
的方程是
()
A．3x＋y＋4＝0
B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－3y－4＝0
解析：由题设知，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为
一轮复习：直线的倾斜角、斜率与直线的方程
授课主题直线的倾斜角、斜率与直线的方程教学目标1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 4．掌握两点间的距离公式．教学内容1． 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点间的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2． 直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3． 直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4． 直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方程 局限性 点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为ky －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ，纵截距为by ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 2≠x 1，y 2≠y 1) 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0平面直角坐标系内的直线都适用题型一 直线的倾斜角与斜率例1、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．方法点拨：数形结合，由斜率公式求得k P A ，k PB . 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．【冲关针对训练】已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案 －23≤m ≤12解析 如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.题型二 直线方程的求法又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4. 此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2. 此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. 方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 【冲关针对训练】已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k )， 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示． 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时取“＝”)．一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3 C.2π3 D.3π4答案 DA ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. 9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2. 故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13. 12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：1112 ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.方法与技巧1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．1． 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D 解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.13。
高三数学一轮复习(名师微博+考点详解+易错矫正)直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理
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考点二 求直线的方程
[例 2] 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点 A(－1，－3)，且倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜角 的 2 倍．
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解析：(1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 若 a＝0，即直线 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线 l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设直线 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵直线 l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5， ∴直线 l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－43(x －1)，即 4x＋3y－13＝0.
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(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为2xa＋ay＝1，将 (－5,2)代入所设方程，解得 a＝－12，
此时，直线方程为 x＋2y＋1＝0. 当直线过原点时，斜率 k＝－25，直线方程为 y＝－25x， 即 2x＋5y＝0， 综上可知，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0.
____；
□ (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 14
____；
□ (3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为 15
____________；
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□ (4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，方程为 16
[试题] (2012·温州第一次适应性测试)当直线 y＝kx 与曲
高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
2018届高三数学一轮复习： 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识点看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合考查．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13 B.－13C.－32 D.23B[设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋72＝1，y＋12＝－1，∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝－3－17＋5＝－13.]3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y ＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________．3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0. 当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －ya ＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值范围是________． (2)(2017·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为 tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.] [规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15 B.k ＞1或k ＜12 C ．k ＞15或k ＜1D.k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为 y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2).2分若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， 因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a ＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0. 综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.12分法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3).2分令y＝0，得x＝3－2k；令x＝0，得y＝2－3k.5分所以3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23.8分所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2]求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．[解]由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，2分则所求直线的倾斜角为2α.5分∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.8分又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.12分A，B 两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．【导学号：01772284】[解](1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，3分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.5分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，7分所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4.10分当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12分 [规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎨⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分 ∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)． 易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分则S 四边形OBAC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小.12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时，易忽视判定B 是否为0.当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB .。
高考数学一轮复习课件：直线的倾斜角、斜率与直线的方程
两条直线的交点求解
直线方程：ax+by+c=0 交点坐标：(x, y) 交点求解：联立两个直线方程，解出x和y 特殊情况：两条直线平行或重合，无交点
直线与点的位置关系判定
添加标题
直线与点的位置关系：直线与点有三种位置关系，即点在直线上、点在直线外、点在直线上但 不在直线上。
添加标题
直线与点的位置关系判定方法：根据直线的倾斜角、斜率与直线的方程，可以判断点与直线的 位置关系。
要应用。
直线方程在日常生活中的应用
交通规划：计算两点间的最短距离，规划最佳路线 建筑设计：计算建筑物的高度、角度等参数 体育赛事：计算运动员的跑步速度、投掷距离等 商业分析：预测市场趋势，分析消费者行为
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汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
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地理：计算地球表面的坡度
经济：预测股票价格走势
直线方程的求解方法
直线方程求解的基本步骤
确定直线方程的类型：点斜式、斜截式、两点式等 确定直线方程中的未知数：x、y 利用已知条件求解直线方程中的未知数 验证直线方程的合理性：代入已知点，看方程是否成立
求解直线方程的常见方法
点斜式：已知直线上的两点坐标，利用两点的斜率求解
确定直线的位置和方向：通过直线方程可以确定直线在平面上的位置和方向，从而解决 几何问题。
计算线段长度：通过直线方程可以计算线段的长度，从而解决几何问题。
计算角度：通过直线方程可以计算角度，从而解决几何问题。
计算面积和体积：通过直线方程可以计算面积和体积，从而解决几何问题。
直线方程在解析几何中的应用
斜率与倾斜角之间存在一 一对应关系
直线的方程
直线方程的基本形式
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
2-1
A( ,0),B(0,1-2k).
∵直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,
∴
2-1
> 0,
解得 k<0.
1-2 > 0,
∴|MA|·|MB|=
1
2
+ 1 ·√4 + 4 2 =
k<0,即 k=-1 时,等号成立.
(4)已知△ABC的顶点A(2,3),边AC,AB的中线方程分别为x-3y=0,5x+6y14=0,求直线BC的方程.
解 (1)当直线过原点时,方程为
当直线 l
3
y= x,即
2
不过原点时,设直线方程为
−
3x-2y=0.
=1.
将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.
+2
上,则 2
−
32-5
=0,解得
4
c=4,所以点 C 的坐标为
(4,-1).
直线 BC 的斜率为
-1-0 1
k= 4-0 =-4,因此直线
BC 的方程为
1
y=-4x,即
x+4y=0.
规律方法 求直线方程的两种方法
考点三
直线方程的综合应用
例题已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B
3
故直线
1
l 的斜率的取值范围是[ , √3].
3
引申探究2(变条件变结论)若将本题组(2)中的B(0, √3 )改为B(2,-1),其他条
9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
3
,所以α=30°.
3
(2)若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°.(
√
)
提示:(2)因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,则其斜率不存在,故其倾斜角为
90°.
(3)若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4).(
√
)
提示:(3)因为直线过定点(1,2),且斜率为tan 45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式
x y
+ =1
a b
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)
平面内所有直线
微点拨
1.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在两种情
况讨论,否则会造成失误.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个
= ,解得k=12.
4−2
5−4
2.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围为(
A.(0,1]
B.(-∞,1]
C.(-2,1]
D.[1,+∞)
2 −1
【解析】选B.kl=
=1-m2≤1,故直线l的斜率的取值范围为(-∞,1].
1−2
)
3.直线2xcos α-y-3=0(α∈
ππ
ππ
由于θ∈[0,π),所以θ∈[ , ],即倾斜角的变化范围是[ , ].
4 3
4 3
)
考点二 求直线的方程
2018年高考数学文一轮复习资料 专题42 直线的倾斜角与
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是∪已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．2.【2016高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C:错误！未找到引用源。
（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2错误！未找到引用源。
. （I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明错误！未找到引用源。
为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ)22142x y+=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB.同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++.所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++， 22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111(6).44ABy y k k k x x k k -+===+-由00,0m x >>，可知k>0，所以16k k +≥k =时取得.=，即7m =，符号题意.所以直线AB的斜率的最小值为2.3.【2016高考天津文数】（设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）1．（2014·福建卷）已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0【答案】D【解析】由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.2．（2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解析】解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )．由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 3．（2014·重庆卷） 如图15，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23. 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329. 4．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎤0，π31．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32 B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1答案 D2．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π答案 B解析 f ′(x )＝a (x －1)2＋ 3 (a >0)，∴k ≥ 3. 切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.3.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.4．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足 ( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝0答案 D解析 由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－ab ＝－1.即a ＝b ，故应选D.5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A. 3B ．－ 3C ．0D ．1＋ 3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是．答案解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是．12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程．。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程真题演练集训 理 新人教A
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直线的方程真题演练集训理新人教A版［2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a（a＞0）交于M,N两点．(1）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN?说明理由．解：(1)由题设，可得M（2错误!，a）,N(－2错误!,a)或M（－2错误!，a),N(2错误!，a)．又y′＝错误!，故y＝错误!在x＝2错误!处的导数值为错误!，则C在点(2错误!，a）处的切线方程为y－a＝a(x－2a),即错误!x－y－a＝0；y＝错误!在x＝－2错误!处的导数值为－错误!，则C在点(－2错误!,a)处的切线方程为y－a ＝－错误!（x＋2错误!）,即错误!x＋y＋a＝0。
故所求切线方程为ax－y－a＝0和错误!x＋y＋a＝0。
（2）存在符合题意的点．证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2。
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k,x1x2＝－4a。
从而k1＋k2＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!。
2018高考一轮数学(课件)第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
[规律方法] 1.截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时， 一定要注意“截距为 0”的情况，以防漏解．
2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法 要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的 适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则1a＋1b＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，3 分
当且仅当 a＝b＝2 时取等号，此时直线 l 的方程为 x＋y－2＝0.5 分
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2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般 地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择 截距式．
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 三十四 分。
高三一轮总复习 [变式训练 3] 已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0＜a
高三一轮总复习
法二：易知 M(3,2)，由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0，则直线 l 的 方程为 y－2＝k(x－3).2 分
令 y＝0，得 x＝3－2k；令 x＝0，得 y＝2－3k.6 分 所以 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23.10 分 所以直线 l 的方程为 y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.14 分
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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A组基础题组
1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )
A. B. C.- D.-
2.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为( )
A.4x-3y-3=0
B.3x-4y-3=0
C.3x-4y-4=0
D.4x-3y-4=0
3.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
A.1
B.-1
C.-2或-1
D.-2或1
4.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
A.ab>0,bc<0
B.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0
D.ab<0,bc<0
5.两直线-=a与-=a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
6.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为.
7.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
8.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当线段AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
B组提升题组
9.(2016江西南昌模拟)直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( )
A.(1,-3)
B.(4,3)
C.(3,1)
D.(2,3)
10.(2016上海青浦二模)a=是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为( )
A.y-1=3(x-3)
B.y-1=-3(x-3)
C.y-3=3(x-1)
D.y-3=-3(x-1)
12.直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△OAB的面积为12,则直线l的方程为 .
13.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是.
14.已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为.
15.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m 的取值范围是.
16.直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点.
(1)当|PA|·|PB|最小时,求l的方程;
(2)当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.
答案全解全析
A组基础题组
1.A 设直线l的斜率为k,则k=-=.
2.D 由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tan α=,所以直线l的斜率k=tan 2α===,所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),即4x-3y-4=0.
3.D 由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=.∴=a+2,解得a=-2或a=1.
4.A 由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-x-.易知-<0且->0,故ab>0,bc<0.
5.B 直线方程-=a可化为y=x-na,直线-=a可化为y=x-ma,由此可知两条直线的斜率同号.
6.答案4x+3y=0或x+y+1=0
解析①若直线过原点,则k=-,所以y=-x,即4x+3y=0.
②若直线不过原点,设+=1,即x+y=a.则a=3+(-4)=-1,
所以直线的方程为x+y+1=0.综上,直线的方程为4x+3y=0或x+y+1=0.
7.解析(1)直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得直线BC的方程为=,即x+2y-4=0. (2)设BC边的中点D的坐标为(m,n),则m==0,n==2.
BC边的中线AD所在直线过A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为+=1,即2x-3y+6=0.
(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-,则BC边的垂直平分线DE的斜率k2=2.
由(2)知,点D的坐标为(0,2).由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
8.解析由题意可得k OA=tan 45°=1,k OB=tan(180°-30°)=-,所以射线OA:y=x(x≥0),射线
OB:y=-x(x≥0).设A(m,m),B(-n,n),则线段AB的中点C的坐标为,
由点C在直线y=x上,且A、P、B三点共线得解得m=,所以A(,).
又P(1,0),所以k AB=k AP==,所以l AB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
B组提升题组
9.C2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1),故选C.
10.A 由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直得(a+1)(a-1)+3a×(a+1)=0,解得a=或a=-1.∴“a=”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的充分而不必要条件.
故选A.
11.D 因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以k AB=-k OA=-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1).
12.答案2x+3y-12=0解析解法一:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
则有+=1,且ab=12.解得a=6,b=4.所以所求直线l的方程为+=1,即2x+3y-12=0.
解法二:设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),令x=0,得y=2-3k,则2-3k>0;令y=0,得x=3-,则3->0. 所以S△OAB=(2-3k)=12,解得k=-.故所求直线l的方程为y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0.
13.答案x+2y-3=0解析当直线AB与l 1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以k AB==2,所以两平行直线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
的斜率k1==a.当a≠0时,l2的斜率k2==.
14.答案1或0解析l
因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a=1;当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y
轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.综上可知,实数a的值为1或0.
15.答案解析如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),
当m≠0时,k QA=,k PA=-2,k l=-,∴-≤-2或-≥,解得0<m≤或-≤m<0;当m=0时,直线l的方程为x=0,与线段PQ有交点,∴实数m的取值范围为-≤m≤.
16.解析依题意知l的斜率存在,且斜率为负.设l的方程为y-4=k(x-1)(k<0).令y=0,可得x=1-,则
A,令x=0,可得y=4-k,则B(0,4-k).(1)|PA|·|PB|=·=-(1+k2)=-4≥8(k<0),当且仅当=k,即k=-1时,|PA|·|PB|取最小值,这时l的方程为x+y-5=0.
(2)|OA|+|OB|=+(4-k)=5-≥9(k<0),当且仅当k=,即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值,这时l的方程为2x+y-6=0。