广东高考文科数学历年试题分类汇编(几何证明选讲)
广东省各地高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 几何证明选讲
几何证明选讲1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ． 答案：22、（广州市2014届高三1月调研测试）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M．若OC =1OM =，则MN 的长为 答案：13、（增城市2014届高三上学期调研）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= 答案：834、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末） 如图，过点C 作ABC 的外接圆O 的切线交BA 的延长线 于点D .若CD = 2AB AC ==，则BC = .答案：A图2FAE BCDFAEDBC5、（惠州市2014届高三第三次调研考）如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且2DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 答案：276、（珠海市2014届高三上学期期末）如右图，AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，若3OB =，5OC =，则CD =答案：47、（揭阳市2014届高三学业水平考试）如图（3），已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切圆O 于D ，CD=4，AB=3BC ， 则圆O 的半径长是 ． 答案：38、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ， 则圆O 的半径=R答案：39、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）如图3，在ABC ∆中，90o ACB ∠=，CE AB ⊥于点E ,以AE 为直径的圆与AC 交于点D ，若24BE AE ==，3CD =，则______AC =ODCBA答案：8 310、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC 的延长线上，AD是圆O的切线，若∠OAC＝60°，AC＝1，则AD的长为＿＿＿＿答案：311、（汕尾市2014届高中毕业生第二次综合测试）已知AB为半圆O的直径，4AB=，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD CD⊥于D，交半圆O于点E，1DE=，则BC的长为答案：2。
广东高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：1、球的体积公式34π3V R =，其中，R 为球的半径； 2、锥体体积公式13V sh =，其中s 为底面积，h 为高；3、一组数据1234n x x x x x ，，，，，的标准差；s =x 是这组数据的平均数．一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．设i 是虚数单位．则复数34ii+=（ ） A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，根据2i 1-=对其进行化简. 【参考答案】D 【试题解析】34i (34i)(i)43i i i (i)++⨯-==-⨯-． 2．设集合{123456}U =，，，，，，{135}M =，，．则U M =ð （ ） A ．{246}，， B ．{135}，， C ．{124}，， D ． U 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】A【试题解析】U 中除M 以外的元素所构成的集合.3．向量(12)AB =，，向量(34)BC =，，则AC = （ ）A ．(46)，B ．(46)--，C ．(22)--，D ．(22)， 【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算. 【参考答案】A【试题解析】(12)(34)(46)AC AB BC =+=+=，，，． 4．下列函数是偶函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．3y x = C ．e xy = D ．y =【测量目标】函数奇偶性的判断.【考查方式】根据12,x x x x ==-时12,y y 之间的关系进行判断.若12y y =，则为偶函数；若12y y =-，则为奇函数；否则既不是奇函数，也不是偶函数. 【参考答案】D【试题解析】选项A 、B 为奇函数，选项C 既不是奇函数，也不是偶函数．5．已知变量不等式组的解法.满足约束条件1110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩，，，………则2z x y =+的最小值为 （ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一组不等式，利用图象法求出z 的最小值. 【参考答案】C【试题解析】在平面直角坐标系中画出不等式范围图象，再画出直线22x zy -=+，求出z 2x y =+的最小值5-. （步骤1）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+，可化为直线1122y x z =-+， （步骤2） 第5题图则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值， （步骤3）min 12(2)5z =-+⨯-=-. （步骤4）6．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =则AC = （ ）A．．【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出两角一边，利用正弦定理求出另一边. 【参考答案】B【试题解析】根据正弦定理：sin sin BC ACA B=，得sin sin BC B AC A ⋅=== 第7题7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ） A ．72π B ．48π C ．30π D ．24π 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【参考答案】C【试题解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积23114π34π330π323V V V =+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体．8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，则弦A B 的长等于 （ ）A ．．．1【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的方程，求弦长AB . 【参考答案】B【试题解析】∵圆心(00)，到直线3450x y +-=的距离为1d ==，∴AB ===.9．执行如图所示程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 第9题图 （ ）A ．105B ．16C ．15D ．1 【测量目标】流程图.【考查方式】给出程序框图，输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】13515s =⨯⨯=． 10．对任意两个非零平面向量α和β，定义∙=∙αβαβββ．若两个非零平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角ππ(,)42θ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则a b = （ ） A ．52 B ．32 C ．1 D ．12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出两平面向量之间的关系，求值. 【参考答案】D 【试题解析】2cos cos θθ⋅∙==∙a b a a b a b =b b b b， 2cos cos θθ⋅∙==∙b a b b a b a =a a a a， a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取π3θ=，则a b 和b a 是整数，则1==a b b a，则=a b 12． 二、填空题：本大题共5小题，考生答4小题，每小题5分，满分20分．11．函数y =的定义域为 ． 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由分母定义和根式定义求出其定义域. 【参考答案】[1,0)(0,)-+∞【试题解析】10100x x x x +⎧⇒-≠⎨≠⎩且……，即函数y =的定义域为[)()1,00,-+∞．12．等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = ． 【测量目标】等比数列.【考查方式】由等比数列的性质求解. 【参考答案】14【试题解析】224312a a a ==，则24135314a a a a ==． 13．由正整数组成的一组数据1234x x x x ，，，，其平均数和中位数都是2，且标准差为1，则这组数据为 ．（从小到大排列）【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出样本数字特征，进而求解总体数字. 【参考答案】1,1,3,3 【试题解析】不妨设1234x x x x 剟?，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，∴43x …，则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，（θ为参数，π02θ剟）和=1=x y ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，，（t 为参数）．则曲线1c 和2c 交点坐标为 ．【测量目标】参数方程与普通方程的互化.【考查方式】将曲线的参数方程转化为普通方程，求其交点坐标. 【参考答案】(2,1)【试题解析】由x y θθ⎧⎪⇒⎨⎪⎩曲线1C 的方程为225x y +=（0x 剟），由=12=2x y ⎧-⎪⎪⇒⎨⎪-⎪⎩曲线2C 的方程为1y x =-，2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去）， 则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1)．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，直线PB 与圆O 相切于B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠，若AD m =，AC n =，则=AB . 【测量目标】圆的切线的判定与性质定理.【考查方式】由线、圆相切关系，求圆内切三角形的边长AB .【试题解析】∵直线PB 与圆O 相切于B ，∴P B A A CB ∠=∠，（步骤1） 第15题图 ∵PBA DBA ∠=∠，∴ACB DBA ∠=∠， （步骤2） ∵BAD CAB ∠=∠，∴ABD △∽ACB △， （步骤3） ∴AD AB AB AC=，∴2AB AD AC mn =⋅=， （步骤4）∴AB =．（步骤5）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分） 已知函数π()cos()46xf x A =+，x ∈R，且π()3f =（1）求A 的值；（2）设α，π[0]2β∈，，4π30(4)317f α+=-，2π8(4)35f β-=，求cos()αβ+的值． 【测量目标】三角函数、三角恒等变换.【考查方式】由函数解析式，直接求解.【试题解析】（1）∵ππππ()cos()cos 312642f A A A =+===2A =．（步骤1） （2）由（1）知π()2cos()46x f x =+∵4ππ30(4)2cos()2sin 3217f ααα+=+=-=-，∴15sin 17α=，（步骤2） ∵2π8(4)2cos 35f ββ-==，∴4cos 5β=，（步骤3） ∵ π[0]2αβ,∈，，∴8cos 17α==，3sin 5β==，（步骤4）∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-841531317517585=⨯-⨯=-．（步骤5）17．（本题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩频率分布直方图，如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．第17题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】由频率分布直方图，求未知数a 的值，样本数据的平均数及某一样本数据. 【试题解析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积之和等于1， ∴(0.020.030.04)101a a ++++⨯=，∴0.005a =．（步骤1） （2）∵在区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的概率分别为0.05，0.4，0.3，0.2，0.05． ∴这100名学生语文成绩的平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（步骤2） （3）∵语文成绩在这些分数段的人数人别为5,40,30,20,5,∴数学成绩在前四段分数段的人数人别为5,20,40,25,(步骤3) ∴数学成绩在[50,90)之外的人数为10人．（步骤4）18．（本题满分13分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC上的点，且12DF AB =，PH 为PAD △中AD 边上的高． （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．【测量目标】点、线、面之间的位置关系，三棱锥的体积.【考查方式】给出线面垂直，线线平行，线线相等，线线成比例等关系，线段长度，求证线面垂直，三棱锥的体积.【试题解析】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ， 第18题图ABAD A =，∴PB 中点，到平面BCF 的距离 第18题图 ABPA AP =∥QD ，∴ 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n n =-∈*N ，．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【测量目标】数列的通项公式与前n 项和.【考查方式】由前n 项和的等式关系，直接求解.【试题解析】（1）当1n =时，21121T S =-，∵111a S T ==，∴21121a a =-，∴11a =， （步骤1）(2)当2n …时，2211(22(1)]n n n n n S T T S n S n --=-=---)-[12()21n n S S n -=--+221n a n =-+， （步骤2）∵当n ≤2时，11(22122(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+)-[ （步骤3）∴122n n a a -=+， （步骤4） ∴122(2)n n a a -+=+， （步骤5）∴数列{2}n a +是以123a +=为首项，2为公比的等比数列， （步骤6）∴1232n n a -+=⋅，∴1322n n a -=⋅-， （步骤7） ∵1111322a -==⋅-，∴1322n n a -=⋅-，n ∈*N ． （步骤8）20．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1(10)F -，，且点(01)P ，在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆、抛物线的位置关系.【考查方式】由椭圆的焦点坐标及点P 直接解得椭圆标准方程，直线方程分别与椭圆方程、抛物线方程联立，求解.【试题解析】（1）∵椭圆1C 的左焦点1(10)F -，，∴1c =， （步骤1） ∵点(01)P ，在1C 上，∴2222011a b+=，∴1b =， （步骤2） ∴2222a b c =+=， （步骤3）∴椭圆1C 的方程为2212x y +=． （步骤4） （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， （步骤5） ∵直线l 与椭圆1C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=， （步骤6） 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=， （步骤7） ∵直线l 与抛物线2C 相切，∴222(24)40km k m ∆=--= （步骤8） 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （步骤9）∴直线l的方程为2y x =或2y x =--（步骤10）21．（本题满分14分）设01a <<，集合{}0A x x =∈>R ，2{23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =．（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【测量目标】集合的基本运算，函数的极值点.【考查方式】给出两集合，利用图象法求其交集，并求在此区间内某已知函数的极值点. 【试题解析】（1）方程223(1)60x a x a -++=， ∵229(1)489309a a a a ∆=+-=-+23(3103)3(31)(3)a a a a =-+=--，又01a <<， ∴当103a <…时，0∆…， （步骤1）∴223(1)60x a x a -++=有两个根13(1)4a x +-=，23(1)4a x ++=， （步骤2）∴(()B =-∞+∞ （步骤3）∴(0,D A B ==()+∞， （步骤4）∴当113a <<时，0∆<， （步骤5） ∴223(1)60x a x a -++>一定成立， （步骤6）∴ (,)B =-∞+∞， （步骤7）∴ (0,)D AB ==+∞． （步骤8）∴当103a <…时，3(1)(0,4a D +=3(1)()4a ++∞；（步骤9）当113a <<时，(0,)D =+∞． （步骤10） （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =， （步骤11）① 当103a <…时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ （步骤12） ∵3222()23(1)6(3)0f a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310f a a a =-++=-…∴1201a x x <<<…， （步骤13） ∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤14）∴()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点； （步骤15）② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤16） ∴()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =； （步骤17） 综上所述，当103a <…时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =． （步骤18）。
广东历届高考文科题分章汇编(统计、推理与证明)
三、统计、推理与证明（2012文）由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1， 则这组数据为__________。
（从小到大排列）（2011文）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．（2011理）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．假设儿子的身高与父亲的身高有关，则该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ．（2010文）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出 有 线性相关关系.（2009文）某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1 200编号,并按编号顺序平均分为40组(1 5号,6 10号, ,196 200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人.（2008文）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .（2008理）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．12（2007文）下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x bˆˆ+ (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）（2006）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.（2005）设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f ＝_____________；当ｎ＞４时， ()f n ＝_____________．（用n 表示）（2004）由图（1）有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由图（2）有体积关系：P A B C P ABCV V '''--＝ .（2003）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则（2002）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ .BAPB ’A ’图1BAPB ’A ’ CC ’ 图21、1、3、3 0.5、0.53 185 13、y=x-337 ， 20 。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
广东文科数学立体几何历届高考题集锦.
广东文科数学历届立体几何高考题集锦2011年广东文科数学9. 如图 1-3,某几何体的正视图(主视图 ,侧视图(左视图和俯视图分别是等边三角形等腰三角形和菱形,则该几何体体积为A. 4B.4C.32D.218. (本小题 13分如图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的 ., , , , ' ', , ' ' A A B B CD CD DE DE ''分别为的中点,' '1122, , , O O O O 分别是, ' ' , , C D C D D ED E的中点 . (1 2:', ', , O A O B 证明四点共面;(2 ' ' '111' ' ', O ' ' G AA AOH H AO =设为的中点,延长到使得 , 证明 :'2' ' . BO HBG ⊥平面2012年广东文科数学7. 某几何体的三视图如图 1所示,它的体积为( A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π图 1正视图俯视图侧视图PABCFE图 518. (本小题满分 13分如图 5所示, 在四棱锥 P ABCD -中, AB ⊥平面 PAD , //AB CD , PD AD =, E 是PB 的中点, F 是 CD 上的点且 12DF AB=, PH 为△ PAD 中 AD 边上的高 . (1证明:PH ⊥平面 ABCD ;(2若 1PH =, AD =, 1FC =,求三棱锥 E BCF -的体积;(3证明:EF ⊥平面 PAB .解:(1证明:因为 AB ⊥平面 PAD所以 PH AB ⊥因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高所以 PH AD ⊥因为 ABAD A =所以 PH ⊥平面 ABCD(2连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 因为 E 是 PB 的中点,所以 //EG PH 因为 PH ⊥平面 ABCD所以 EG ⊥平面 ABCD则 1122EG PH ==111332E BC FB C FV S E G F C A D -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=(3证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 因为 E 是 PB 的中点,所以 1//2ME AB =因为 1//2DF AB =所以 //ME DF =所以四边形 MEDF 是平行四边形所以 //EF MD 因为 PD AD = 所以 MD PA ⊥因为 AB ⊥平面 PADPABCEM所以 MD AB ⊥因为 PAAB A =所以 MD ⊥平面 PAB 所以 EF ⊥平面 PAB2013年广东文科数学6. 某三棱锥的三视图如图 2所示,则该三棱锥的体积是(A. 16B. 13C. 23D. 18. 设 l 为直线, , αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若//, //l l αβ,则//αβ,则//αβ B. 若, l l αβ⊥⊥,则//αβ C. 若, //l l αβ⊥,则//αβ D. 若, //l αβα⊥,则l β⊥18. (本题满分 14分如图 4,在边长为 1的等边三角形 ABC 中, D,E, 分别为AB,AC 上的点, AD=AE, F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图 5所示的三棱锥 A-BCF,其中 2BC =。
几何证明选讲(全国卷文科)
几何证明选讲（2011-2015全国卷文科）（一）新课标卷1.（2011.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．2.（2012.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明： (Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBDFGDE AB C（二）全国Ⅰ卷1.（2013.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
2.（2014.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线=.与DC的延长线交于点E，且CB CE∠=∠；（I）证明：D E=，（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB MC ∆为等边三角形.证明：ABC3.（2015.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E . （I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线； （II ）若3OACE = ，求ACB ∠的大小.（三）全国Ⅱ卷1.（2013.全国2卷22）(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF ,B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)若DB=BE=EA,求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值2.（2014.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明: （I ）BE=EC ；（II ）AD ·DE=2PB 2。
近十年 广东高考文科数学试卷以及答案分析
近十年广东高考文科数学试卷以及答案分析2004年全国普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量a=（3，1），b=（x，–3），且，则x=A．－3 B．－1 C．1 D．（）2．已知则（）A．C．．．．设函数在x=2处连续,则a=A．4．（）1 2B．．11 D．43（）的值为C．A．－1 B．0 1 2D．1（）5．函数f(x)f（x）是（（A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．.周期为的奇函数6．一台X型号自动机床在一小时（）A．0.1536 B．0.1808 C．0.5632 D．0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）A．2 322B．74 C．65D．5 6（）（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= 8．若双曲线A．6 B．8 C．1 D．4cos2x9．当时,函数的最小值是（）A．4B．1 C．2 2D．1 4110．变量x、y满足下列条件：则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是A．( 4.5 ,3 ) B．( 3,6 ) C．( 9, 2 )11．若f（x）则（（）D．( 6, 4 ) （）4A．f（）>f(0)>f(1)C．f（1）>f(0)>f(-1) B．f（0）>f(1)>f(-1) D．f（0）>f(-1)>f(1)12．如右下图,定圆半径为( b ,c ), 则直线ax+by+c=0与直线x–y+1=0的交点在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分)13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是(用分数作答)214．已知复数z与(z +2)-8i 均是纯虚数,则z = .15．由图(1)有面积关系，则由(2) 有体积关系图(1)图(2)16．函数f（x））（的反函数f三、解答题(共6小题,74分17．(12分)已知，，成公比为2的等比数列，），且，，也成等比数列. 求，，的值.2D18．如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.A19．(12分)设函数f（x）且EB= C1，(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;(2) 点P (x0, y0 ) (0< x0 <1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).20．(12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)321．(12分)设函数f（x）（），(1) 当m为何值时,f（x）；(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0. 其中常数m为整数. 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.222．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，D三等分线段AB．求直线的方程.4 、C2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案二、填空题：（13）（14）－三、解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列即解得或12当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，当时或所以或33333318．解：（I）以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有其中222取则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量与平面CDE垂直,与AA1所成的角为二面角的平面角0122563（II）设EC1与FD1所成角为β，则．证明：（I）故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和即故即（II）0<x<1时，曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：即∴切线与x轴、y轴正向的交点为x0和故所求三角形面积听表达式为：20．解：如图，yPACoBx以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340³4=1360 22x由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，上，6故双曲线方程为x2用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,即故答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心680m处. 021．（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且令f’得’当x∈(-m,1-m)时,f （x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)’当x∈(1-m, +∞)时,f （x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续减函数.当整数时与异号,由所给定理知，存在唯一的使而当整数m>1时，上述不等式也可用数学归纳法证明类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的使故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。
考点52 几何证明选讲
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考点52 几何证明选讲一、填空题1.(2013·天津高考理科·T13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长为 .【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算.【解析】因为AE 与圆相切于点A,所以AE 2=EB ·(EB+BD),即62=EB ·(EB+5),所以BE=4,根据切线的性质有∠BAE=∠ACB,又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠BAE,所以AE ∥BC,因为BD ∥AC,所以四边形ACBE 为平行四边形,所以AC=BE=4,BC=AE=6.设CF=x,由BD ∥AC 得=AC CF BDBF,即456=-xx,解得x=83,即CF=83. 【答案】83.2. （2013·湖南高考理科·Ｔ11）0中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【解题指南】本题要利用相交弦定理:PA ·PB=PD ·PC 和解弦心三角形22)21(CD r d -=【解析】由相交弦定理PC PD PB PA ∙=∙得4=PC ，所以弦长5=CD ，故圆心O 到弦CD 的距离为234257)21(22=-=-CD OC .【答案】23. 3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .【解题指南】先通过A C ∠=∠及线线平行同位角相等，找出三角形相似,再由比例线段求得答案.【解析】..//BAD PED C A PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠且所以因为.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPD PA PE APE EPD 所以4. (2013·北京高考理科·T11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D.若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .【解题指南】利用切割线定理求出PD,再在Rt △PBA 中利用勾股定理求出AB. 【解析】由于PD ∶DB=9∶16,设PD=9a,DB=16a,根据切割线定理有PA 2=PD ·PB,有a=15,所以PD=95,在Rt △PBA 中,有AB=4. 【答案】95 4. 5. （2013·湖北高考理科·Ｔ15）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB=3AD,则EOCE的值为【解题指南】先用半径表示,再求比值. 【解析】设半径为R ，AB=3AD=2R. AD=23R ,OD=13R,3R =3cos ,3RC R ==228cos ,339CE CD C R R === 所以EO=R ―CE ―R ―81,99R R =898.19RCE EO R== 【答案】8.6. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）如图, 弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .【解题指南】先通过圆周角相等及线段平行同位角相等得出,∽APE EPD ∆∆再由比例线段求得答案.【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠且在圆中所以因为.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 【答案】.67.（2013·广东高考理科·Ｔ15）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6，ED=2，则BC=______.【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先作ABD ∆的中位线OC 再计算. 【解析】设BC x =，连接OC ，因为,BC CD AC BD =⊥，ABD ∆是等腰三角形，,6,2,4BC CD x AB AD ED AE ======，在ACD ∆中，CE AD ⊥，则22222CE AC AE AD DE =-=-，即2236164x x --=-，解得x =【答案】8.（2013·广东高考文科·Ｔ15）如图，在矩形ABCD 中，AB 3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先利用射影定理再结合余弦定理计算. 【解析】3,30,AB BC AC ACB AC BE ==∠=⊥，BEC ∆是直角三角形，由射影定理2,BC AC EC EC =⋅=ECD ∆中，由余弦定理可得222212cos 604ED EC CD EC CD =+-⋅=，即ED =. 9. （2013·天津高考文科·Ｔ13）如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .【解题指南】 首先利用圆的性质，得出角的关系，再分别在△ABE 与△ABD 中利用正弦定理求解.【解析】设∠=BAE α，因为AE 与圆相切于点A ，所以,∠=∠BAE ADB 又因为AB = AD ，所以∠=∠=ABD ADB α，因为AB //DC ,所以∠=∠=ABD CDB α,所以2∠=∠=ABE ADC α.在△ABE 中，由正弦定理得sin sin =∠BE ABBAE E ，即45sin sin(3)=-απα，解得3cos .4=α在△ABD中，由正弦定理得sin sin =∠∠BD AB BAD ADB ，即5sin(2)sin =-BD παα，解得15.2=BD【答案】152. 10. （2013·重庆高考理科·Ｔ14）如图，在△ABC 中，090C ∠=，060A ∠=，20AB =，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为【解题指南】 直接根据圆的切线及直角三角形的相关性质进行求解【解析】由题意知AB 是圆的直径,设圆心为O ,连接OC ,因为CD 是圆的切线,则CDOC ⊥又因为BD ⊥CD ,所以BD OC //.因为 60,=∠=A OC OA ,所以30,60=∠=∠OCB ACO ,因为20=AB ,所以310=BC ,因为BD OC //,所以30=∠CBD 所以15=BD ,又因为AB 是圆的直径, 点E 在圆上, 20=AB 且 60=∠ABD ,所以10=BE ,故51015=-=-=BE BD DE【答案】5. 二、解答题11. （2013·辽宁高考文科·Ｔ22）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ22）相同 如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于E , AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F，连接,AE BE .证明： ()I FEB CEB ∠=∠;()II 2.EF AD BC =⋅【解题指南】 借助等量代换，证明相等关系；利用全等三角形的对应边，角相等.【证明】()I 由直线CD 与O 相切于E ,得EAB CEB ∠=∠ 由AB 为O 的直径，得AE EB ⊥，从而2EAB EBF π∠+∠=又EF 垂直AB 于F ，得2FEB EBF π∠+∠=，从而FEB CEB ∠=∠()II 由BC 垂直CD 于C ，得BC CE ⊥又EF 垂直AB 于F EF AB ⇒⊥，FEB CEB ∠=∠，BE 为公共边， 所以Rt BCE ∆≌Rt BFE ∆，所以BC BF = 同理可证，Rt ADE ∆≌Rt AFE ∆，所以AD AF = 又在Rt AEB △中, EF AB ⊥,所以2.EF AF BF =⋅ 综上，2.EF AD BC =⋅12. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ22）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ22）相同如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
广东高考文科数学试题及答案详细解析选择、填空、解答全解全析
绝密★启用前试卷种类：B2021年一般高等学校招生全国一致考试〔广东卷〕数学〔文科〕分析版V 1Sh，此中S 为锥体的底面积， h为锥体的高．参照公式：锥体体积公式3n(x i x)(y i y)bi1nx )2线性回归方程ybxa中系数计算公式i1(x i ，ay bx ，样本数据x 1,x 2,1[(x 1x )2 (x 2x )2(x n x)2],xn 的标准差，n此中x，y表示样本均值．n 是正整数，那么a nb n (a b)(a n1 a n2b ab n2 b n1)．一、选择题：本大题共10小题，每题 5分，总分值 50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设复数z 知足iz1，此中i为虚数单位，那么A ．i B．iC．1D．1ii【分析】z(i)2．会合A{(x,y)|x,y 为实数，且x 221}，B{(x,y)|x,y 为实数，且xy1}，那么AB的元素个数为A ．4B．3C ．2D ．1【分析】会合A 表示由圆21表示直线 y x 上全部点的会合，∵直上全部点构成的会合，会合线过园内点〔0,0〕，∴直线与圆有两个交点，故答案为C .3．向量a(1,2),b (1,0),c(3,4)．假定为实数，(ab )∥c，那么1A ．4B．2C．1D．2【分析】ab (1,2)，由(ab )∥c ，得64(1)0，解得1，故答案为B 。
2第1页共14页1l g(1x )f (x)4．函数1x的定义域是A ．(,1)B．(1,)C．(1,1)(1,)D．(,)1x0且x1，那么f(x)的定义域是(1,1)(1,)，故答案【分析】要使函数存心义，那么xx110为C。
5．不等式2x2x10的解集是(1,1)B．(1,)C．(,1)(2,)(,1)(1,)A．2D．2【分析】2x2x10(x1)(2x1)0x1或x1，那么不等式的解集为(,1)(1,)，22故答案为D。
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——15.几何证明选讲
（2015·22）解析：（Ⅰ）由于 ABC 是等腰三角形，AD BC ，所以 AD 是 CAB 的平分线，又因为⊙O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AE AF ，故 AD EF ，从而 EF // BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， AE AF ， AD EF ，故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上. 连结 OE, OM ，则 OE AE，由 AG 等于 ⊙O 的半径得
AO 2OE ，所以 OAE 30 ，因此 ABC 和 AEF 都是等边三角形. 因 为 AE 2 3 ， 所 以 A O4 , O E. 2 因 为
O M
2O ,E
1
D
M，所以3 OMD 1N.
于是 AD 5, AB 10
3
.
所
2
3
以四边形 EBCF 的面积为 1 (10 3 )2 3 1 (2 3)2 3 16 3 .
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B、C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.
证明：（Ⅰ）BE = EC； （Ⅱ）AD·DE = 2PB2.
（2013·22）如图， CD 为△ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D ， E ， F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC AE DC AF ，B、E、F、C 四 点共圆.
2 3 22
23
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B、C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.
证明：（Ⅰ）BE = EC； （Ⅱ）AD·DE = 2PB2.
广东省13大市高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--几何证明选讲(选修4-1) Word版含答案.pdf
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 几何证明选讲 1、（东莞市2013届高三上学期期末）如图，四边形ABCD内接于 ，AB为的直径，直线MN切于D， ，则 ． 答案： 2、（佛山市2013届高三上学期期末）如图，是平行四边形的边的中点，直线过点分别交于点．若，则． 答案：1：4 3、（广州市2013届高三上学期期末） 如图2，已知是⊙的一条弦，点为上一点， ，交⊙于，若，， 则的长是 . 答案： 4、（惠州市2013届高三上学期期末）如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于．作的平行线与圆交于点,与相交于点，，，，则线段的长为 ．故，又，故，故，由切割线定理，，故。
5、（江门市2013届高三上学期期末）如图5，是梯形的中位线， 记梯形的面积为，梯形的面积为，若 ，则 ， ． 答案：（2分），（3分）． 6、（茂名市2013届高三上学期期末）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB 延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC， 若∠CPA＝30°，PC＝_____________ 答案：3 7、（汕头市2013届高三上学期期末）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，于点D，且AD=3DB，设，则填设半径为r，则，由得，从而 故已知圆割线交圆于两点，割线经过圆心，已知,,;则圆的半径是 ． 9、（湛江市2013届高三上学期期末）如图圆上的劣弧所对的弦长CD＝，弦AB是线段CD的垂直平分线，AB＝2，则线段AC的长度为＿＿＿＿ 答案： 10、（肇庆市2013届高三上学期期末）如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D, . 解析:4 ∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC. 而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴D=. 11、（珠海市2013届高三上学期期末）（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 . 图5 l M E D C B A F 第15题图。
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——15.几何证明选讲
ABCD E FG15．几何证明选讲一、解答题（2016·22）【选修4-1：几何证明选讲】如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（2015·22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=23，求四边形EBCF 的面积.（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.（2013·22）如图，CD 为ABC △外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.（2012·22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .（2011·22）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根. （Ⅰ）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；（Ⅱ）若∠A =90º，且m =4，n =6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径.F GDE ABCAB CD E FG15．几何证明选讲（逐题解析版）（2016·22）【选修4-1：几何证明选讲】如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.22. 证明：（Ⅰ）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，DF CF DG BC =，∵DE DG =，CD BC =，∴DF CFDG BC =，∴GDF BCF △∽△，∴CFB DFG ∠=∠，∴GFB GFC CFB ∠=∠+∠90GFC DFG DFC =∠+∠=∠=︒， ∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（2015·22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=23，求四边形EBCF 的面积.（2015·22）解析：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB∠的平分线，又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥，从而//EF BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上. 连结,OE OM ，则OE AE ⊥，由AG 等于⊙O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=o，因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形.因为23AE =，所以4,2AO OE ==. 因为12,32OM OE DM MN ====，所以1OD =. 于是5,AD =1033AB =. 所以四边形EBCF 的面积为221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=.（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.（2014·22）解析：（Ⅰ）∵PC =2P A ，PD =DC ，∴P A =PD ，△P AD 为等腰三角形. 连接AB ，则∠P AB = ∠DEB =β，∠BCE =∠BAE =α，∵∠P AB +∠BCE =∠P AB +∠BAD =∠P AD =∠PDA =∠DEB +∠DBE ，∴β+α=β+∠DBE ，即α=∠DBE ，亦即∠BCE =∠DBE ，所以BE =EC .（Ⅱ）∵AD ·DE =BD ·DC ，P A 2=PB ·PC ，PD =DC =P A ， ∴BD ·DC =(P A -PB ) ·P A =PB ·PC -PB ·P A =PB ·(PC -P A )， ∴PB ·P A =PB ·2PB =2PB 2.（2013·22）如图，CD 为ABC △外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.（2013·22）解析：（Ⅰ）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A，由题设知BC DCFA EA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.（2012·22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .（2012·22）解析：（Ⅰ） ∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，∴DE //BC . ∵CF //AB ，DF //BC ，∴CF //BD 且CF =BD ，∵又D 为AB 的中点，∴CF //AD 且CF =AD ，∴CD =AF . ∵CF //AB ，∴BC =AF ，∴CD =BC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB =CF =BD ，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC ，∴△BCD ∽△GBD .（2011·22）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根.（Ⅰ）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；FGDE ABCDE AB C（Ⅱ）若∠A =90º，且m =4，n =6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径.（2011·22）解析：（Ⅰ）连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ，即ABAEAC AD，又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ，所以C 、B 、D 、E 四点共圆.（Ⅱ）m =4，n =6，方程x 2-14x +mn =0的两根为2，12. 即AD =2，AB =12，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G 、F 作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点H ，连结D 、H ，因为C 、B 、D 、E 四点共圆，所以圆心为H ，半径为DH . 由于∠A =90º，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF =AG =5，DF =5，故半径为52.。
广东省韶关市高考数学备考复习(文科)专题十六：几何证明选讲
广东省韶关市高考数学备考复习（文科）专题十六：几何证明选讲姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）图中的同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB=6，则圆环的面积为（）A . 9πB . 8πC . 4πD . π2. （2分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A . 4cmB . 5cmC . 6cmD . 8cm3. （2分）如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=6， PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=（）A . 4B . 3C . 5D . 64. （2分）如图,PA为☉O的切线,A为切点,已知PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为（）A .B .C .D .5. （2分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E，若AB=8，DC=4，则DE=（）A .B . 2C .D .6. （2分）如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于（）A . 14°B . 38°C . 52°D . 76°7. （2分）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=（）A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°8. （2分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A . 4B .C .D .9. （2分）如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线BD=12米，现想用篱笆围成四边形EFGH的场地，则需用的篱笆总长度是（）A . 12米B . 24米C . 36米D . 48米10. （2分）如图，在直角梯形ABCD中．上底AD=，下底BC=，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上选取一点P，使△PA D和△PBC相似，这样的点P（）A . 不存在B . 有1个C . 有2个D . 有3个11. （2分）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于占E，则（）A . AD•AB=CD2B . CE•CB=AD•ABC . CE•CB=AD•DBD . CE•EB=CD212. （2分）如图，已知l1∥l2 ， AF：FB=2：5，BC：CD=4：1，则=（）A . 2B . 3C . 4D . 513. （2分）已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD=5，BC=10，则DE=（）A .B .C . 2D . 314. （2分）如图，已知AB是半径为5的圆O的弦，过点A，B的切线交于点P，若AB=6，则PA等于（）A .B .C .D .15. （2分）如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A . 3对B . 4对C . 5对D . 6对二、综合题 (共5题；共55分)16. （10分）如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．17. （15分）如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.（1）求证:圆心O在AD上;（2）求证:CD=CG;（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.18. （10分）如图，在⊙O直径AB的延长线上任取一点C，过点C做直线CE与⊙O交于点D、E，在⊙O上取一点F，使=，连接DF，交AB于G．（1）求证：E、D、G、O四点共圆；（2）若CB=OB，求的值．19. （10分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．20. （10分） (2016高二下·宝坻期末) 如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且 = ，若PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求AD•DE的值．三、填空题 (共6题；共6分)21. （1分）(2016·天津模拟) 如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在圆上，在△ABC和△ACD中，∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB=6，EC=6 ，则BC的长为________．22. （1分） (2016高二下·五指山期末) 如图，△ABC中，边AC上一点F分AC为 = ，BF上一点G 分BF为 = ，AG的延长线与BC交于点E，则BE：EC=________23. （1分）如图：已知PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，若PB=4，PD=3，AD=5，则DC=________．24. （1分）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE 的长为________25. （1分） (2015高一上·莆田期末) 如图，在同一地平面上，有一枝竖直地面的竹杆AB和球O，竹杆的长度和球的直径都是3米，一束太阳光照到竹杆AB留下背影AC长为4米，则该太阳光同时照到球O留下背影DE长为________米．26. （1分）(2014·广东理) 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=________．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、综合题 (共5题；共55分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、三、填空题 (共6题；共6分) 21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、。
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广东高考文科数学历年试题分类汇编-几何证明选讲
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 5分
5分
5分
5分
5分
5分
5分
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(2007年高考广东卷第15小题）如图4所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则
DAC ∠=
30︒
．
(2008年高考广东卷第15小题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2。
AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R = 3________
(2009年高考广东卷第15小题），点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，
30ACB ∠=o
，则圆O 的面积等于 . 【答案】16π
【解析】连结AO,OB,因为 30ACB ∠=o
,所以60AOB ∠=o
,AOB ∆为等边三
角形,故圆O 的半径4r OA AB ===,圆O 的面积2
16S r ππ==.
(2010年高考广东卷第15小题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，
AB =AD =a ，CD =
2a ，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF = 2
a
.
(2011年高考广东卷第15小题）如图，在梯形ABCD 中，//,AB CD 4,2,,3//AB CD E F AD BC
EF EF AB ===分别为，上的点，且，，
则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为
5
7
．
(2012年高考广东卷第15小题）（几何证明选讲选做题）
如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，
DBA PBA ∠=∠，若,AD m AC n ==，则AB= ．mn
A
D
C
B
O
l
图4
F
D C
B
A E
图3
O
A
B
C
P
D
·
(2013年高考广东卷第15小题）（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形
ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则
ED =______
21
2
_____；
(2014年高考广东卷第15小题）（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，
AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长
的周长
.
【答案】3
【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，因此CDF AEF ∆∆，
由于2EB AE =，所以1133AE AB CD =
=，因此3CD AE =，故3CDF CD
AEF AE
∆==∆的周长的周长。
图1
F
E
D
C
B
A。