高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(五)平面向量
高中数学平面向量解题技巧
高中数学平面向量解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到向量的表示、运算、共线性、垂直性等方面的内容。
在解题过程中，掌握一些解题技巧可以帮助学生更好地理解和应用平面向量，提高解题效率。
本文将介绍几个常见的平面向量解题技巧，并通过具体题目来说明其应用。
一、向量的表示和运算在解题过程中，正确地表示和运算向量是非常重要的。
首先，我们需要清楚向量的表示方法。
通常，我们用一个有向线段来表示一个向量，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
其次，我们需要掌握向量的运算法则，包括向量的加法和数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
例如，考虑以下题目：已知向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$，求$\vec{a}+\vec{b}$和$2\vec{a}-3\vec{b}$。
解答：根据向量的加法和数乘法则，我们可以得到：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+(-1)\\3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}$$2\vec{a}-3\vec{b}=2\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3\\6-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-6\end{pmatrix}$通过这个例子，我们可以看到，正确地表示和运算向量可以帮助我们快速得到结果。
高考数学必胜秘诀在哪――概念,方法,题型,易误点及应试技巧总结五,平面向量
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||A B A B ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b = 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABC D 是平行四边形。
（4）若ABC D 是平行四边形，则AB DC = 。
（5）若,a bb c == ，则a c = 。
（6）若/,/a bb c ，则//a c。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧和方法平面向量高中数学经典解题技巧:平面向量一、向量的有关概念及运算解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点:(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
(2)正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻(3)用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
a=(m,n)bp,q),(例1:(2010?山东高考理科?,12)定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的，，ab,,mqnp令?，下面说法错误的是( ),abababba,0A.若与共线，则? B.??2222)，,,()abab,(),a,(ab)bab,RC.对任意的,，有?? D. (?【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.,,,mqnp0ababba,,pnqma【规范解答】选B，若与共线，则有?，故A正确;因为? ,，而?,b,,mqnpabba，所以有?? ，故选项B错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策:解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧:与平面向量数量积有关的问题ababxxyyab,,,,，,00,其中、1(解决垂直问题:均为非零向量。
这一条件不能忽视。
1212222AxyBxyABxxyy(,),(,),||()()则,,，,||aaa,2(求长度问题:，特别地。
112212123(求夹角问题:求两非零向量夹角的依据abxxyy，1212cos(,).ab,, 2222||||abxyxy，，1122uuuruuurABAC,例2:1.(2010?湖南高考理科?,4)在RtABC,中，，C=90?AC=4，则等于( )A、-16B、-8C、8D、16 【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理. 【思路点拨】由于，C=90，因此选向量CA，CB为基底.uuuruuur2ABAC,【规范解答】选D .=(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离(长度).ccabab2. (2010?广东高考文科?,5)若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)?=30，则x= ( )A(6 B(5 C(4 D(3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.8ab,【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.(8)(6,3)(3,)abcx,,,,,,,8(1,1)(2,5)(6,3)8ab,【规范解答】选C. ，所以x,4,3018330，,xC. 即:，解得: ，故选.三、向量与三角函数的综合例3(在直角坐标系, xOy中,已知向量a,(,1,2),又点A(8,0),B(ksin,t)(0,,.t,R).,,2AB,a,且|OA|,|AB|,求向量OB (I)若;k,4,且tsin,取最大值为4时,求OA,OB.AB与向量a (II)若向量共线，当AB,(ksin,,8,t),？AB,a,？,ksin,，8，2t,0【解析】(1) …………2分22？|OA|,|AB|,？64,(ksin,,8)，t又,,4016540165，,,,kksinsin,,,,,,55,或解得 (4)分 ,,8585,,tt,,,,,55,,4016585，4016585,或…………6分？,OB(,)OB,,(,)5555AB与向量a共线,？t,,2ksin,，16 (II) ………………8分4322 tsin(2ksin16)sin2k(sin)？,,,,，,,,,,，kk4432 …………10分又k4,01,sin时,tsin取最大值为,？,,？,,,kkk32, 由,4,得k,8,此时,,OB,(4,8),k6,,,,OAOB(8,0)(4,8)32 ………………12分注:向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。
2024年高考数学无敌答题技巧总结
2024年高考数学无敌答题技巧总结
2024年的高考数学无敌答题技巧总结如下：
1. 系统学习：高考数学的知识点庞大，要系统地学习各个知识点，理清每个知识点之间的联系和应用。
2. 理解概念：掌握数学的基本概念是打好基础的关键。
要能够理解并运用各种概念，例如函数、方程等。
3. 做足典型例题：通过做大量的典型例题，可以更好地理解、掌握各个知识点的运用方式，并能帮助培养解题的思维逻辑。
4. 掌握解题方法：熟悉并掌握各种解题方法，包括几何解题方法、代数解题方法等。
通过多种方法解题，可以提高解题的灵活性和准确性。
5. 强化题型：掌握各个题型的解题思路和解题技巧，例如选择题、填空题、解答题等。
在备考过程中，经常练习各个题型，增加对不同题型的熟悉度和应对能力。
6. 注重思维训练：高考数学注重思维能力的发展。
要注重培养逻辑思维、分析问题的能力，在解题过程中多动脑筋，提高解题的速度和正确率。
7. 勤于总结：在备考过程中，要及时总结解题的经验和技巧，形成自己的解题方法和思维模式。
同时，及时纠正自己在解题中的错误，不断提升解题能力。
8. 精确计算：高考数学中，计算的准确性至关重要。
要注意计算细节，减少粗心错误的发生。
可以通过多次练习来提高计算的准确性和速度。
总之，要在备考过程中注重系统学习、理解概念、做足典型例题、掌握解题方法、强化题型、思维训练、总结经验、精确计算等方面进行全面提升，才能在2024年的高考数学中发挥出无敌的答题技巧。
高考数学必胜秘诀在哪
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§圆锥曲线1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；b5E2RGbCAP 双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．p1EanqFDPw 如<1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是( > A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF<28=表示的曲线是_____ 2.圆锥曲线的标准方程<标准方程是指中心<顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：<1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x <0a b >>）⇔{cos sin xa yb ϕϕ==<参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1<0a b >>）．方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？<ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）．如<1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____<2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___<2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1<0,0a b >>）．方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？<ABC ≠0，且A ，B 异号）．如<1）双曲线的焦距与实轴长之比等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______<2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，焦距与实轴长之比2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______<3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->．3.圆锥曲线焦点位置的判断<首先化成标准方程，然后再判断）： （1） 椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．如已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__<2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；<3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向．特别提醒：<1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；DXDiTa9E3d <2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+． 4.圆锥曲线的几何性质：<1）椭圆<以12222=+by a x <0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心<0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；RTCrpUDGiT 如<1）若椭圆1522=+my x 的焦距与长轴之比为510=e ，则m 的值是__（2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值 为__<2）双曲线<以22221x y a b-=<0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心<0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④两条渐近线：by x a=±．5PCzVD7HxA 如<1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的焦距与实轴长之比等于______<2）双曲线221ax by -=，则:a b =<3）设双曲线12222=-by a x <a>0,b>0）中，焦距与实轴长之比e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________jLBHrnAILg <3）抛物线<以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点<0,0）；④准线：一条准线2px =-；xHAQX74J0X 如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________ 5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x <0a b >>）的关系：（1） 点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；<2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；<3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：<1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；LDAYtRyKfE 0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．Zzz6ZB2Ltk 如<1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______dvzfvkwMI1<2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______<3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条<2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；<3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离．特别提醒：<1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；rqyn14ZNXI <2）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；EmxvxOtOco ②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；SixE2yXPq5③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；<3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．如<1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______<2）过点(0,2>与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______<3）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条<4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______6ewMyirQFL <5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp11_______ <6）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于> kavU42VRUs <7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离. <8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点． ①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？ ②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？ 7、焦半径<圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）如<1）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；<2）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____<3）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______<4）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______8、焦点三角形<椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为S ，则在椭圆12222=+by a x 中， y6v3ALoS89①θ＝)12arccos(212-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θm ax＝222arccos a c b -；②20tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线22221x y a b -=的焦点三角形有：①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 21221θθb r r S ==． 如<1）短轴长为5，焦距与长轴之比为32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________M2ub6vSTnP <2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为<3）椭圆22194x y +=的焦点为F1、F2，点P 为椭圆上的动点，当错误!·错误!<0时，点P 的横坐标的取值范围是0YujCfmUCw <4）双曲线的虚轴长为4，焦距与实轴之比为26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________eUts8ZQVRd <5）已知双曲线的焦距与实轴之比为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程.sQsAEJkW5T 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： <1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；<2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；<3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；<4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线． G MsIasNXkA 10、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+，TIrRGchYzg 若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y y -．如<1）过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A<x1，y1），B<x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______7EqZcWLZNX <2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______lzq7IGf02E 11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－22y a x b ； 在双曲线22221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=py ． 如<1）如果椭圆221369x y +=弦被点A<4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是<2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的焦距与实轴之比为_______zvpgeqJ1hk<3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称.特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！12．你了解下列结论吗？<1）双曲线12222=-by ax 的渐近线方程为02222=-by a x ；<2）以x a b y ±=为渐近线<即与双曲线12222=-by a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-by a x 为参数，λ≠0）．如与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______<3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；<4）椭圆、双曲线的通径<过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a，焦准距<焦点到相应准线的距离）为2b c，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；NrpoJac3v1<5）通径是所有焦点弦<过焦点的弦）中最短的弦；<6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②221212,4p x x y y p ==-<7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p .13．动点轨迹方程：<1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； <2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0>和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．1nowfTG4KI 如线段AB 过x 轴正半轴上一点M<m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为fjnFLDa5Zo ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1>由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为<2）点M 与点F(4,0>的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______(3> 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；tfnNhnE6e5如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量<参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）．HbmVN777sL 如<1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹．V7l4jRB8Hs <2）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____<3）过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化．83lcPA59W9如已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F1<－c ，0）、F2<c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF mZkklkzaaP <1）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a F +=||1；（2） 求点T 的轨迹C 的方程；<3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F1MF2的面积S=.2b 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.AVktR43bpw ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.ORjBnOwcEd ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式>、“方程与函数性质”化解读几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.2MiJTy0dTT ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解读几何与向量综合时可能出现的向量内容：<1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；<2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点。
高考数学必胜秘诀在哪
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三、数 列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n Nn =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（3）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）A B C D2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
（2）等差数列的通项：（1）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤） （3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+中，（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、1210,S S S L 都小于0，1112,S S L 都大于0 B 、1219,S S S L 都小于0，2021,S S L 都大于0 C 、125,S S S L 都小于0，67,S S L 都大于0 D 、1220,S S S L 都小于0，2122,S S L 都大于0 （答：B ）(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n aa 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。
高考数学必胜秘诀在哪？——概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十五、高考数学填空题的解题策略数学填空题在前几年江苏高考中题量一直为4题，从去年开始增加到6题，今年虽然保持不变，仍为6题，但分值增加，由原来的每题4分增加到每题5分，在高考数学试卷中占分达到了20%。
它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是"正确、合理、迅速"。
为此在解填空题时要做到：快--运算要快，力戒小题大作；稳--变形要稳，不可操之过急；全--答案要全，力避残缺不齐；活--解题要活，不要生搬硬套；细--审题要细，不能粗心大意。
（一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
例1、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。
3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
高中数学平面向量及其应用的解题技巧
高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。
一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。
向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。
二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。
解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。
2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。
例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。
3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。
解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。
三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。
解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。
如何解决高考数学中的平面向量题
如何解决高考数学中的平面向量题高考数学中的平面向量题是一个常见且复杂的考点，对于许多学生来说，解决这类问题常常是一项挑战。
然而，只要我们能够掌握一些基本的解题技巧和方法，就能够轻松解决这些题目。
本文将介绍一些解决高考数学中平面向量题的方法，希望对广大考生有所帮助。
一、理解平面向量的基本概念在解决平面向量题之前，首先需要理解平面向量的一些基本概念，包括向量的表示方法、向量的运算法则以及向量的性质等。
只有对这些基本概念有了深入的理解，才能更好地解决相关的题目。
二、掌握平面向量的坐标表示方法在解题过程中，平面向量的坐标表示方法是一个非常重要的工具。
对于给定的平面向量，可以将其分解为两个分量，分别表示在x轴和y 轴上的投影。
利用这种表示方法，可以简化平面向量的运算，进而解决相关的题目。
三、了解平面向量的运算法则平面向量具有加法、减法和数量乘法等运算法则。
掌握这些运算法则是求解平面向量问题的关键。
需要熟练掌握向量的加法减法运算法则，以及数量乘法的运算规律。
通过灵活运用这些法则，可以大大简化解题的过程。
四、熟练掌握平面向量的性质平面向量具有一些独特的性质，如平行四边形定理、三角形面积公式等。
对这些性质的熟悉和理解，对于解决相关题目至关重要。
例如，利用平行四边形定理，可以推导出两个向量平行的条件；而利用三角形面积公式，可以计算两个向量构成的三角形的面积。
通过应用这些性质，可以更加高效地解答相关问题。
五、多加练习，熟悉各种题型解决高考数学中的平面向量题，需要进行大量的练习，熟悉各种题型。
只有通过不断地练习，才能够在考试中熟练灵活地应用解题方法，提高解题的速度和准确性。
建议考生多做真题和模拟题，尽可能涵盖各个难度层次的题目，从而全面提高解题能力。
六、培养逻辑思维和分析问题的能力解决平面向量题需要良好的逻辑思维和分析问题的能力。
在处理复杂的向量运算时，需要思考运算的顺序和方法，找到合适的转化和计算方式。
通过培养逻辑思维和分析问题的能力，可以更加迅速地捕捉到解题的关键点，提高解题的效率。
高考必胜高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试
④型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）
（7）不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。
8.四种命题及其相互关系。若原命题是"若p则q"，则逆命题为"若q则p"；否命题为"若﹁p 则﹁q" ；逆否命题为"若﹁q 则﹁p"。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有"或"、"且"命题的否命题时，要注意"非或即且，非且即或"；（3）要注意区别"否命题"与"命题的否定"：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系""判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）"在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角"的否命题为 （答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根。
高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
二、函 数
1.映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是 A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象 C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合，映射满足条件"对任意的，是奇数"，这样的映射有____个（答：12）；（5）设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}）.
高考数学如何解决复杂的平面向量问题
高考数学如何解决复杂的平面向量问题平面向量作为高考数学的重要内容之一，经常出现在试卷中。
但是对于一些复杂的平面向量问题，很多同学可能会感到头疼。
本文将介绍一些解决复杂平面向量问题的方法和技巧，希望能够帮助大家更好地应对高考数学考试。
一、基本概念回顾在解决复杂的平面向量问题之前，我们首先需要回顾一些基本概念。
平面向量具有大小和方向两个方面的特点，通常用有向线段来表示。
记作$\vec{a}$，表示向量$\overrightarrow{AB}$，其中A为起点，B为终点。
平面向量有加法和数乘两种运算，向量的加法满足三角形法则，即$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$，其中$\vec{c}$为以$\vec{a}$和$\vec{b}$为边的三角形第三边的向量。
二、平面向量的表示方法解决复杂的平面向量问题，首先要熟练掌握平面向量的表示方法。
常见的平面向量的表示方法有坐标表示法和基本单位向量表示法。
1. 坐标表示法坐标表示法是指用向量在坐标系中的投影表示向量。
例如，向量$\vec{a}$的坐标表示法为$(a_1, a_2)$，其中$a_1$为向量在x轴上的投影，$a_2$为向量在y轴上的投影。
2. 基本单位向量表示法基本单位向量表示法是指将向量表示为标准基向量的线性组合。
平面直角坐标系中，常用的基本单位向量有$\vec{i}$和$\vec{j}$，分别表示x轴和y轴的正方向。
通过学习和掌握这两种表示方法，我们可以更加灵活地处理平面向量问题。
三、解决复杂平面向量问题的方法和技巧在解决复杂平面向量问题时，可以采用以下方法和技巧：1. 使用向量的性质和运算法则对于平面向量问题，我们可以利用向量的性质和运算法则来简化问题。
例如，利用向量的共线性质，我们可以判断三个向量是否共线；利用向量的数量积，我们可以求出两个向量的夹角等。
2. 利用平行四边形法则和三角形法则利用平行四边形法则和三角形法则是解决平面向量问题的常用方法。
数学必胜秘诀高考数学技巧总结
数学必胜秘诀高考数学技巧总结数学必胜秘诀：高考数学技巧总结在高考中，数学是很多学生头疼的科目之一。
但是，只要我们熟悉一些高考数学的技巧和方法，就能够更加游刃有余地应对各种数学题型。
本文将总结一些数学必胜秘诀，帮助考生在高考中取得好成绩。
一、理清思路，弄清题意在做数学题目时，首先要理清思路，弄清题意，准确理解题目所要求的内容。
有时候，题目中会有一些复杂的描述，我们需要通过仔细阅读和思考来抓住题目的关键信息，帮助我们解决问题。
在理解题目的基础上，我们可以尝试画图、列式子等方式来辅助解题，提高解题效率。
二、熟练掌握基本公式和定理在高考数学中，有一些基本的公式和定理是经常会用到的，考生需要熟练掌握它们。
比如，勾股定理、同角三角函数的基本关系等。
熟练掌握这些公式和定理，可以在解题过程中快速应用，节省时间，提高准确性。
三、借助图形解题图形在解决数学问题中起着重要作用。
在解题过程中，我们可以尝试将问题转化为几何图形，利用几何性质来帮助解题。
例如，在解决几何问题时，可以根据图形的特点，利用相似三角形的性质推导出所需的结果。
借助图形解题不仅能够提高我们的直观理解能力，还能够降低解题的难度。
四、灵活运用代数方法代数方法在解决数学问题中也是非常重要的。
通过将问题转化为代数表达式，我们可以应用代数运算的规律和性质来解题。
例如，在解决函数方程的问题时，我们可以通过构造函数式，运用函数的性质得出答案。
运用代数方法，我们可以将复杂的数学问题简化，提高解题的效率。
五、注意关键概念和特殊点在高考数学中，有一些关键概念和特殊点是经常会涉及到的。
考生需要特别关注这些内容，理解其定义和性质，掌握其应用方法。
例如，对于一元二次方程，我们应该熟悉其中的顶点、判别式等概念，了解其与方程解的关系。
掌握这些关键概念和特殊点，可以帮助我们更好地理解和解决数学题目。
六、刻意练习，提高技巧在数学学习过程中，刻意练习是非常重要的一环。
通过反复做题，我们可以熟悉题目的解法和思路，提高解题的技巧和速度。
掌握高考数学中的向量运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的向量运算技巧有哪些关键点向量运算是高考数学中的重要内容之一，掌握其中的技巧对于提高解题效率和正确率至关重要。
以下是我总结的几个掌握高考数学中的向量运算技巧的关键点。
一、向量的基本概念在学习向量运算之前，我们首先需要了解向量的基本概念。
向量由大小和方向组成，通常用有向线段来表示，记作→AB。
向量的起点为A，终点为B，可以用坐标表示，如→AB = (x2-x1, y2-y1)。
除了坐标表示，向量还可以用字母表示，如→a、→b等。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，对于两个向量→a和→b，它们的和向量→c可用以下公式表示：→c = →a + →b加法的几何解释是将两个向量首尾相连，新的向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以转化成向量的加法。
具体而言，对于向量→a和→b，它们的差向量→c可用以下公式表示：→c = →a - →b减法的几何解释是从第一个向量的起点出发，朝第二个向量的终点的相反方向行走得到新的向量的终点。
四、数量积与向量积在向量运算中，还存在数量积和向量积两种重要的运算。
数量积也称为点乘，用符号·表示。
对于两个向量→a = (a1, a2)和→b = (b1, b2)，它们的数量积可以用以下公式表示：→a·→b = a1b1 + a2b2其中，a1、a2为向量→a的坐标，b1、b2为向量→b的坐标。
数量积的结果是一个标量。
向量积也称为叉乘，用符号×表示。
对于两个向量→a = (a1, a2)和→b = (b1, b2)，它们的向量积可以用以下公式表示：→a×→b = a1b2 - a2b1其中，a1、a2为向量→a的坐标，b1、b2为向量→b的坐标。
向量积的结果是一个新的向量。
高考数学突破140 掌握规律 攻克平面向量的破解技巧.doc
高考数学突破140 掌握规律攻克平面向量的破解技巧【考纲解读】掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件.【命题规律】平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.【学法导航】1．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．2．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．3．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【高频考点突破】考点1 平面向量的线性运算【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得λ1，λ2的值．考点2 平面向量的数量积【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.考点3 平面向量和三角函数的综合问题【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．。
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(五)平面向量
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结（五）平面向量 ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量确实是有向线段，什么缘故？（向量能够平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
高中数学经典解题技巧及方法计划：平面向量
.高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这局部的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的根本概念性问题，同学们应该先把根本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及根本概念1〕了解向量的实际背景。
2〕理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
3〕理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算1〕掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
2〕掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
3〕了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的根本定理及坐标表示1〕了解平面向量的根本定理及其意义。
2〕掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
3〕会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
4〕理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积1〕理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
2〕了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
3〕掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
4〕能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直（关系。
向量的应用1〕会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2〕会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
..好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的 解题技巧。
一、向量的有关概念及运算 考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其根本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
高考数学复习点拨：平面向量要点归纳
平面向量要点归纳由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，因此，在中学数学教材中的的地位也越来越重要，也成为近几年全国高考命题的重点和热点，以下是对平面向量中有关知识要点的归纳整理，供同学们参考．一、基本概念与运算1．要注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，这两者缺一不可．由于方向不能比较大小，因而“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．2．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．3．向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，一定要注意向量的方向．4．两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法．（1）当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向不同于a b ，的方向，且a b a b +<+；（2）当向量a b ，方向相同时，a b +的方向与a （或b ）的方向相同，且a b a b +=+；（3）当向量a b ，方向相反且()a b b a >>时，a b +的方向与()a b 的方向相同，且()a b a b a b b a +=-+=-．5．对于向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：（1）数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由a λ·确定．（2）要特别注意0a =0·，而不是00a =·．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如a a λλ+-，都无法进行．（4）向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：()a a a λμλμ+=+和()a b a b λλλ+=+，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．（5）判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．二、基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量1e 和2e ，平面内的任何一向量a 都可以用向量12e e ，表示为1122a e e λλ=+，并且这种表示是惟一的，即若11221122e e e e λλμμ+=+，则必有11λμ=，22λμ=．这样，平面向量本定理不仅把几何问题转化为只含有12λλ，的代数运算，而且为利用待定系数法解题，提供了理论基础.2．在利用平面向量基本定量时，一定要注意不共线这个条件.3．平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.直角坐标系中与x 、 y 轴方向相同的单位向量是一组正交基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量α，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得x α=i +y j ．于是，平面内的任一向量α都可由x ，y 惟一确定，而有序数对()x y ，正好是向量α的坐标，这样使得平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示.在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合.很多几何问题，如共线、共点等较难问题的证明，就都可以转化为代数运算的论证，同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法.4．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标，如：若平面上有点1122()()A x y B x y ，，，，则2121()AB x x y y =--u u u r ，．一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.5．要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示（1）若=a 11()x y ，，b =22()x y ，，则向量a 与b 共线的条件为12210-=x y x y ．（2）若非零向量=a 11()x y ，，b =22()x y ，，则向量a 与b 垂直的条件为12120x x y y +=．（3）要注意a 与b 共线的条件适合任何向量，而垂直的条件只是适合两非零向量，另外，（1）（2）两命题都是可逆的．三、平面向量的数量积1． 平面向量a 与b 的数量积cos ab a b θ=·是数量，而不是向量，它的值是两个向量的模 与两个向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是0πθ≤≤．2． 平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的，在学习平面向量的数量的 积时，要注意以下几点：（1） 由a ≠0，且0a b =·不能推出b =0，因为对任何一个与a 垂直的非零向量b ，都有 0a b =·．（2） 由a b b c =··不能推出a c =，例如，当a =0且b c ⊥时，a b b c =··，但不能推出a c =． （3） 平面向量的数量积不满足结合律，即()a b c ·与()a b c ·不一定相等，因为前者表示与c共线的向量，后者表示与a共线的向量，而c与a不一定共线．（4）由a b，为非零向量时，a=，cosa ba bθ=·及0a b a b=⇔⊥·，可知平面向量的数量积可用来处理有关长度、角度、垂直等等问题．3．四、平面向量的应用1．向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，根据平面向量基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论．一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．2．平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离）、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量的语言和方法来表述和解决几何中的一些问题．3．用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．。
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�2 a ；当 a 与 b 反 � � � � � � 向时， a • b ＝－ a b ；当 θ 为锐角时， a • b ＞0，且 a、 b 不同向， a ⋅ b > 0 是 θ 为锐角 � � � � 的必要非充分条件；当 θ 为钝角时， a • b ＜0，且 a、 b 不反向， a ⋅ b < 0 是 θ 为钝角的必
→ → → → → 12 | b |= 5 ，且 a⋅ b = 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为______（答： ） 5 � （4） a • b 的几何意义 ：数量积 a • b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。
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（5）向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为 θ ，则：
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Байду номын сангаас
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②向量的减法：用“三角形法则” ：设 AB = a, AC = b, 那么a − b = AB − AC = CA ， 1） 由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 如（ 如（1 ��� � ��� � ���� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���� ���� 化简：① AB + BC + CD = ___；② AB − AD − DC = ____；③ ( AB − CD) − ( AC − BD) = _____ （答： ① AD ； ② CB ； ③0 ） ； （ 2） 若正方形 ABCD 的边长为 1， AB = a, BC = b, AC = c ， 则 | a + b + c | ＝ _____ （ 答 ： 2 2 ） ； （ 3 ） 若 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 满 足
D. e1 = (2, −3), e2 = ( , − ) （答：B） ； （3）已知 AD, BE 分别是 ∆ABC 的边 BC , AC 上的中
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点 D 在 BC 边上，且 CD = 2 DB ， CD = r AB + s AC ，则 r + s 的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度和方向规 定如下： (1) λ a = λ a , ( 2 ) 当 λ >0 时， λ a 的方向与 a 的方向相同，当 λ <0 时， λ a 的 方向与 a 的方向相反，当 λ ＝0 时， λ a = 0 ，注意： λ a ≠0。
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△ABC 中， | AB |= 3 ， | AC |= 4 ， | BC |= 5 ，则 AB⋅ BC = _________（答：－9） ； （2） � � � � � � � � � 1 � 1 � � π 已知 a = (1, ), b = (0, − ), c = a + kb , d = a − b ， c 与 d 的夹角为 ，则 k 等于____（答：1） ； 2 2 4 （3）已知 a = 2, b = 5, aib = −3 ，则 a + b 等于____（答： 23 ） ； （4）已知 a, b 是两个非 零向量，且 a = b = a − b ，则 a与a + b 的夹角为____（答： 30� ） （3） b 在 a 上的投影为 | b | cos θ ，它是一个实数，但不一定大于 0。如已知 | a |= 3 ，
� � � � ka + b = 3 a − kb , 其中k > 0 ，①用 � � a 与 b 的夹角 θ 的大小（答：
6、向量的运算： （1）几何运算： ①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的
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向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则” ：设 AB = a, BC = b ，那么向量 AC 叫 做 a 与 b 的和，即 a + b = AB + BC = AC ；
当θ ＝
π 时， a ， b 垂直。 2
（ 2 ） 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为 θ ，我们把数量 � � � � | a || b | cos θ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a • b ，即 a • b ＝ a b cos θ 。 ，不再是一个向量。如（1） 规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数 注意数量积是一个实数，
� � � � a = (cos x,sin x ), b = (cos y ,sin y ), a 与 b 之间有关系式 � � � � k 表 示 a ⋅b ； ② 求 a ⋅b 的 最 小 值 ， 并 求 此 时 � � k2 +1 1 ① a ⋅b = (k > 0) ；②最小值为 ， θ = 60� ） 4k 2
高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
五、平面向量
1、向量有关概念 ： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如已知 A（1,2） ， B （4,2） ，则把向量 AB 按向量 a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答： （3,0） ） （2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向是任意的 ； （3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ��� � AB )； � ± ��� | AB | （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； ） （5）平行向量（也叫共线向量 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量， 记 作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量 不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个 向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！ （因为有 0 )；④三 点 A、B、C 共线 ⇔ AB、 AC 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是－ a 。 � � � � 如下列命题： （1）若 a = b ，则 a = b 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相 ��� � ���� 同，终点相同。 （3）若 AB = DC ，则 ABCD 是平行四边形。 （4）若 ABCD 是平行四边形， � � � � � � � � ��� � ���� � � � � 则 AB = DC 。 （5） 若 a = b, b = c ， 则a =c 。 （6） 若 a // b, b // c ， 则 a // c 。 其中正确的是_______ （答： （4） （5） ） 2、向量的表示方法 ： （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点 在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等； （ 3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为 基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x, y ) ，称 ( x, y ) 为向量 a 的坐标， a ＝ ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐 标相同。 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 3. 3.平面向量的基本定理 1）若 a = (1,1), b = 内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ 1 、 λ 2 ，使 a= λ1 e1＋ λ2 e2。如（ 如（1 � � 1� 3� ； （2）下列向量组中，能作为平面内所有 (1, −1), c = (−1, 2) ，则 c = ______（答： a − b ） 向量基底的是 A. e1 = (0,0), e2 = (1, −2) B. e1 = (−1, 2), e2 = (5,7) C. e1 = (3,5), e2 = (6,10)
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���� ��� � 3 4 � � ���� � ��� � � ��� � 2� 4� 线,且 AD = a, BE = b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____ （答： a + b ） ； （ 4） 已知 ∆ABC 中， 3 3
→ → →
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a = (λ ,2λ ) ， b = (3λ ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是______（答：
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ 4 1 1 3 ； （ 2） 已知 ∆OFQ 的面积为 S ， 且 OF ⋅ FQ = 1 ， 若 <S< ， λ < − 或λ > 0且λ ≠ ） 3 3 2 2 ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ π π 则 OF , FQ 夹 角 θ 的 取 值 范 围 是 _________ （ 答 ： ( , ) ）；（ 3 ） 已 知 4 3
��� � ��� � ���� C (7,10) ，若 AP = AB + λ AC (λ ∈ R) ，则当 λ ＝____时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 � 1 1 ��� π π （答： ） ； （2）已知 A(2,3), B (1, 4), 且 AB = (sin x,cos y ) ， x, y ∈ ( − , ) ，则 x + y = 2 2 2 2 �� � �� � �� � π π （答： 或 − ） ； （3）已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 = (3, 4), F2 = (2, −5), F3 = (3,1) ，则 6 2 �� �� � �� � �� � 合力 F = F1 + F2 + F3 的终点坐标是 （答： （9,1） ）