2016-2017学年甘肃省武威二中高三(上)第三次诊断数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年甘肃省武威二中高三（上）第三次诊断数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x≤5}D．{x|﹣3＜x≤5} 2．（5分）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．3．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．34．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．（5分）函数f（x）=log2x与g（x）=（）x﹣1在同一直角坐标系中的图象是（）A． B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．359．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b310．（5分）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）11．（5分）函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），则f（x）是（）A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数12．（5分）将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，则M﹣N=．14．（5分）已知α为第三象限的角，，则=．15．（5分）在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则•=．16．（5分）已知：A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围．三、解答题.17．（10分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣6}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．18．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值．20．（12分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？21．（12分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点Q为直线OP 上一动点．（Ⅰ）当，求的坐标；（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．2016-2017学年甘肃省武威二中高三（上）第三次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M ∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x≤5}D．{x|﹣3＜x≤5}【分析】由题意已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜5}，故选B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．4．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以k=y′|x=﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）（2016秋•凉州区校级月考）函数f（x）=log2x与g（x）=（）x﹣1在同一直角坐标系中的图象是（）A． B．C．D．【分析】判断对数函数的图象，判断指数函数的图象，然后推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=log2x是增函数经过（1，0）点，所以A不正确；g（x）=（）x﹣1在是减函数，经过（0，2）所以B、C不正确；故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，掌握基本函数的图象与性质是解题的关键．6．（5分）（2009•黑龙江）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．8．（5分）（2010•大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C【点评】本题主要考查等差数列的性质．9．（5分）（2011•大纲版）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．10．（5分）（2016•晋中模拟）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x﹣2=0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则有1•x=2•（﹣2），即x=﹣4，即=（﹣4，﹣2），则+=（﹣2，﹣1），故选A．【点评】本题考查向量平行的判断，解题的关键是熟练掌握平面向量共线（平行）的坐标表示，以及进行正确的运算．11．（5分）（2011•济南一模）函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），则f（x）是（）A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数【分析】根据对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），知f（2+x）=f[1+（1+x）]=﹣f（1+x）=f（x），f（2﹣x）=f[1+（1﹣x）]=﹣f（1﹣x）=f（﹣x），故f（x）为偶函数，反之易得函数f（x）不可能为奇函数，即可得答案．【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x）∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=﹣f（1+x）=f（x），f（2﹣x）=f[1+（1﹣x）]=﹣f（1﹣x）=f（﹣x）∴f（x）=f（﹣x）故f（x）为偶函数又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数，函数f（x）在定义域R上不是常数函数∴函数f（x）不可能为奇函数故选B【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，还有变量整体代入法，属于基础题．12．（5分）（2015•南昌校级二模）将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．【分析】由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．【解答】解：横坐标伸长到原来的3倍则函数变为y=sin（2x+）（x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x；考察选项不难发现就是函数的一个对称中心坐标．故选D【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的伸缩、平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•凉州区校级月考）定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，则M﹣N={1，7，9} ．【分析】直接利用新定义，求出M﹣N即可．【解答】解：因为定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，所以M﹣N={1，7，9}．故答案为：{1，7，9}．【点评】本题是新定义题目，考查学生分析问题解决问题的能力．14．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知α为第三象限的角，，则=．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．15．（5分）（2016秋•凉州区校级月考）在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则•=﹣19．【分析】运用余弦定理可得cosB，再由向量的数量积的定义，注意向量的夹角为钝角，计算即可的所求值．【解答】解：在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，由余弦定理可得cosB===，可得•=﹣||•||•cosB=﹣7×5×=﹣19．故答案为：﹣19．【点评】本题考查向量的数量积的定义，注意向量的夹角为钝角，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）（2015春•莆田校级期中）已知：A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围（2，+∞）．【分析】先通过解绝对值不等式化简集合A；将“若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A”转化为A⊂B，利用集合的包含关系求出m的范围．【解答】解：A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}要使x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A即A⊆B∴m+1＞3解得m＞2故答案为（2，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法、考查数学中的等价转化能力、集合的包含关系．三、解答题.17．（10分）（2016秋•凉州区校级月考）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣6}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．【分析】（1）先求出A={x|﹣2≤x≤5}，若B⊆A，则：B=∅时，m+1＞2m﹣6，即m＜7；B≠∅时，无解，即得m的取值范围；（2）若A⊆B，则m应满足，解该不等式组即得m的取值范围．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤5}；（1）∵B⊆A；∴①若B=∅，则m+1＞2m﹣6，即m＜7，此时满足B⊆A；②若B≠∅，则，无解．由①②得，m的取值范围是（﹣∞，7）；（2）若A⊆B，则，解得3≤m≤4；∴m的取值范围是[3，4]．【点评】考查解一元二次不等式，子集、空集的概念，以及描述法表示集合．18．（12分）（2016春•铜仁市校级期末）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）通过a n2+2a n=4S n+3与a n+12+2a n+1=4S n+1+3作差可知a n+1﹣a n=2，进而可知数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知a n=2n+1，裂项可知b n=（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：（I）∵a n2+2a n=4S n+3，∴a n+12+2an+1=4S n+1+3，两式相减得：a n+12﹣an2+2an+1﹣2a n=4a n+1，整理得：a n+12﹣an2=2（an+1+a n），又∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，又∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=3或a1=﹣1（舍），∴数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和为：（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=•．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2013•忻府区校级一模）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积为0，建立方程，即可求A的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得bc=2与条件联立，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥，∴cosA+cosA﹣1=0，∴cosA=，∵A为△ABC内角，∴A=60°（Ⅱ）∵a=，A=60°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA∵b+c=3，∴3=9﹣3bc，bc=2∴，解得或【点评】本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．20．（12分）（2016秋•凉州区校级月考）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？【分析】（1）利用y=S ABCD﹣2（S△AEH +S△BEF），化简即得结论；（2）通过（1）可知y=﹣2x2+（a+2）x的图象为开口向下、对称轴是的抛物线，比较与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论．【解答】解：（1）依题意，，，∴，由题意，解得：0＜x≤2，∴y=﹣2x2+（a+2）x，其中0＜x≤2；（2）∵y=﹣2x2+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是，∴y=﹣2x2+（a+2）x在上递增，在上递减，若，即a＜6，则时，y取最大值；若，即a≥6，则y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，故当x=2时，y取最大值2a﹣4；综上所述：若a＜6，则时绿地面积取最大值；若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a﹣4．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）（2012秋•城关区校级期中）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点Q为直线OP上一动点．（Ⅰ）当，求的坐标；（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标．【分析】（Ⅰ）由可设OP所在直线方程，点Q在直线OP上，设出Q点的坐标，用一个字母表示，然后把点的坐标代入即可求解；（Ⅱ）把化为含有Q点的坐标的二次函数，借助于二次函数求最值．【解答】解：（Ⅰ）由P（2，1）知，直线OP的方程为，所以可设Q（2t，t），因为，所以，所以（1﹣2t，7﹣t）•（2，1）=0，所以（1﹣2t）×2+（7﹣t）×1=0，解得：．所以的坐标是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为t∈R，所以当t=2时，取得最小值，此时的坐标是（4，2）．【点评】本题考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查了二次函数求最值的方法，考查了计算能力，是基础题．22．（12分）（2015秋•会宁县校级期末）已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时，=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得，令φ（x）=，则φ′（x）=﹣．由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+alnx，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时，=．当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：由上表可知，函数f （x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．（Ⅱ）由g （x）=x2+alnx+，得．若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥在[1，+∞）上恒成立．令φ（x）=，则φ′（x）=﹣．当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=﹣﹣4x＜0，∴φ（x）=在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）max=φ（1）=0．∴a≥0．∴a的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．。