21。2二次根式的除法学
21.2.3 二次根式的除法(课件)华东师大版数学九年级上册 - 副本
二次根式 化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次
的化简
根式或整式
21.2.3 二次根式的除法
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续表
考
点
(1）①若被开方数是一个整数，一般将被开方
清
单 二 把一
个二 数写成一个平方数与另一个数的积的形式；②
解
读 次 次根 若被开方数是带分数或小数，则把带分数化为
根 式化
为最 假分数，把小数化为分数；③若被开方数是多
析
式）及留在根号内的数（式）的符号，要保证它们都是非
负数，符号为负的字母因式移出时，要加“-”，不能确定
正负的字母要加绝对值符号，从而使二次根式有意义.
21.2.3 二次根式的除法
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方 ■方法：“作商法”比较二次根式的大小
法
作商法：a，b
都是正数，若
＞1，则
a＞b；若
技
巧
点 =1，则 a=b；若 ＜1，则 a＜b.
考
点
清
单
解
读
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［解题思路］
选项
A
分析
0.7 不是整数
B
判断
不是
=3
不是
不是整数
不是
C
D
7 是整数且不能再开方
［答案］D
是
21.2.3 二次根式的除法
考
点
清
单
解
读
■考点四
定义
依据
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分母有理化
把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化
分式的基本性质和二次根式的性质 =|a| ，
（a≠0，b≠0，a，b 同号）
21.2二次根式的乘除法
a a a a = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0） b b b b
难点：二次根式乘除法法则的运用。 知识点 1.二次根式的乘法 例 1．计算 （1） 4 × 9 =_______， 4 9 =______； （2） 16 × 25 =_______， 16 25 =________． 正运算：分析：直接利用 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解： 4 × 9 _=____ 4 9 ， 16 × 25 __=___ 16 25 ， 100 × 36 ____=____
25．若 x，y 是实数，且 y
x 1 1 x
|1 y | 1 ，求 的值。 2 y 1
九年级数学第二十一章二次根式测试题（B）
时间：45 分钟
一、选择题（每小题 2 分，共 20 分） 1． （2005·湖北襄樊）下列说法正确的是（ ） A．若 a 2 a ，则 a<0 C． a 4 b 8 a 2 b 4 2．二次根式 A． 3 2
解：(1) 12xy ·
知识点 3 二次根式的除法 2．填空
9 16 16 9 （1） 16 =________， 16 =_________； （2） 36 =________， 36 =________； 4 36 36 4 （3） 16 =________， 16 =_________； （4） 81 =________， 81 =________． 9 16 4 36 16 36 9 4 规律： 16 ______ 16 ； 36 ______ 36 ； 16 _______ 16 ； 81 _______ 81 ． a a a a = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0） b b b b
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
21.2 二次根式的乘除
2 2
有什么 规律？
1 1 ? 3 4
2
1 12
1 1 ? 9 16
1 = 144
1 骣 ÷ 1 ç ÷ = ç ÷ ç12 桫 12
探究
2´ 3 ___ 6
2. 填空：
2´
5 ___ 10
归纳
4´
25 =
4´ 25
算术平方根的积
= 各个被开方数积的算术平方根
a 求 2a b
4a b 11
b 1 的值。 a b
1 b 4a 3 0 3
解：要想原等式有意义，必须满足： 1 4a b 11 0 a 4
1 b 4a 3 0 3
b 12
将 a、b 代入
a b 2a （ b a
理解最简二次根式的概念，并运用它化简
【过程与方法】
利用具体数据探究，不完全归纳法得出二 次根式的乘（除）法规律。 使用逆向思维，得出二次根式乘（除）法 规律的逆向等式。 分析结果，抓住它们的共同点，给出最简 二次根式的概念。
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。
逆向等式：
ab =
a
b （a≥0，b≥0）
可以进行二次根式的化简。
例题
（1）
计算：
3´
12 =
1 = 72
3 12 =
1 288 = 72
化简：
36 = 6
（2） 288 ´
4= 2
例题
（1）
225 = 15 15 = 15
15= ( 15) = 15
2
16 ， b2 ， c2 ，
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。
二次根式的除法
二次根式的除法
二次根式是数学中一个很重要的概念，其概念提出并用于解决一些复杂的数学问题。
在计算机和数学中，二次根式用于求解两个变量的关系，这在解决大型复杂系统中有着重要的应用。
二次根式的除法是一种在数学上将一个复杂的二次表达式拆分
成多个单独的部分的运算方法。
它是通过将二次根式中的各个变量加以分解，将它们化简成多个单独的因子，从而得到根式的运算结果的方法。
二次根式的除法的运算步骤如下：
1.将根式中的各个变量加以分解，化简成多个单独的因子；
2.将每个因子对应的常数除以另一个因子对应的常数；
3.计算出每个因子所对应的积，然后将它们相加获得运算结果；
4.将结果放入根式中，得到最终结果。
二次根式的除法是一种非常有用的数学运算方法，它可以帮助人们快速有效地求解二次表达式中各个变量的关系，对于解决一些大型复杂系统中的问题也有着良好的应用。
另外，它不仅可以用于求解二次根式，还可以用于求解一般的多项式表达式，具有非常广泛的应用。
综上所述，二次根式的除法是一种有效的数学运算方法，可以用于求解二次根式以及一般的多项式表达式，具有广泛的应用价值。
- 1 -。
21.2《二次根式的乘除》2课件
5
D.
50
2.计算： (1) 18
8
5 21 (2) 7 10
2
3a 12b (3) 5 21a
( 4)
1000 m 150 m
3
融会贯通
2.化简: (1)15
12 2 45
1 7 3 4 5 10
2 ( 2) 3 40
1 1 (4)2 1 5 2 6
融会贯通
B 能力训练
举一反三
例3：计算
解：
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
1 解法1..
3 3 15 15 15 3 5 5 25 5 5 5 5 25
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果要求：
(1)分母中不含有二次根式.
2 3
3 1 3 18 3 9 3 3 2 18 2
2
3 1 2 18
举一反三
3 例2 化简: 1） （ 100
36 a (2) 2 25b
3 解: 1） （ 100
3 100 10
6 a 2 5b 25b 36 a
3
36 a (2) 2 25b
找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上.
A C
解:∵AB2=AC2+BC2 AC 2 BC 2 ∴AB
2.52 6 2
B
5 2 2
36
169 4 13 2 6.5(cm)
答：AB的长为6.5cm.
趁热打铁
练习1: (1) 18 2
72 ( 2) 6
b b (3) 2a 6a (4) 2 5 20 a
21.2 二次根式的乘除(课件)华师大版数学九年级上册
＝31x
6xy
C.
(
1 4
)2－(
1 5
)2＝210
D. 94x＝23xx
知4－练
感悟新知
例 7 去掉下列各式分母中的根号：
知4－练
(1) 3 ；(2) 3
12；(3) 32
2 ； (4) 2ab
3＋ 3－
2. 2
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进
行变形 .
感悟新知
解：(1)
3＝ 3
3× 3×
2(
5－ 2
3)＝
5－
3.
感悟新知
知识点 5 最简二次根式
知5－讲
1. 定义 二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中 所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次 根式称为最简二次根式 .
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 . 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式 .
(2) (－14)×(－112)；
(－14)×(－112)＝ 14×112＝ 2×72×42＝ 2× 72× 42＝ 7×4× 2＝28 2；
感悟新知
(3) 200a5b4c5；
知2－练
解： 200a5b4c5＝ 2×102·(a2)2·a·(b2)2·(c2)2·c
＝ 2× 102· (a2)2· (b2)2· (c2)2· ac＝10a2b2c2 2ac；
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
华师大版-数学-九年级上册-21.2二次根式的乘除法(3)教案
教学内容21.2二次根式的乘除法（3）序号教学时间教具知识技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化最简二次根式．过程方法：学生自主学习，小组合作，交流，探究，教师指导情感态度：培养良好的解题习惯。
重点难点重点：最简二次根式的运用．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学流程教学内容教法学法设计复检导入预习1．计算（1）35，（2）3227，（3）82a本节课我们来学习有关最简二次根式的知识。
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含（）；2．被开方数中不含能开得尽方的（）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例1．判断下列二次根式是否是最简二次根式？1．32.12 3.ab4.ba2 5.53例1．(1)5312; (2) 2442x y x y; (3) 238x y学生回答教师指导。
教师直接引入，引起学生注意学生自主预习小组讨论教师指导、并做点拨。
教学目标内容要求教学流程教学内容教法学法设计展示巩固总结反馈作业学生展示预习问题将下列二次根式化成最简二次根式1．24 2. 32 3.214.ba2 5.ba3本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．化简：1．36 2.12 3.ba2 4.53完成练习册小组长展示，其他组长补充。
教师指导。
教师结合例题引导学生完成。
学生独立完成教师巡视指导，小组长评价。
教学反思。
《二次根式》第三课时
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和. 三、课堂训练 完成课本练习. 补充： 1. x 1 x 1 成立，求 x 的取值范围.
x 1 x 1
2.找出下列根式中的最简二次根式
x 3
8x
6x 2
x2 y2
0.1
3.判断下列等式是否成立
教学内容：21.2 二次根式的乘除（第 2 课时） 教 学 目 标 知识 技能 1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算. 2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式. 3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二 次根式 1.经历观察、比较、习，达成目标 1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一 步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双 向性得到商的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法. 类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.
16 9 4 3
3 2 3 2
2
5 6 9
5
4
1 2 2
1 2
四、小结归纳 1.二次根式除法公式的双向运用； 2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 3.最简二次根式概念 五、作业设计 必做：习题 21.2 P12：2、3（3） 、5、6、7 （4）
选做：P13：8、9、10
附：板书设计 一．复习引入 二．探究新知 (一)二次根式除法法则 (二)商的算术平方根性 （三）最简二次根式概念 教后反思： 三.课堂训练 四.小结归纳 五.作业设计
留白： （供心得体会与反思）
授课时间：_____年_____月____日
21.2 3.二次根式的除法 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级上册
【解析】(1)上述解答过程中,从第②步开始出现了错误,
答案:②
(2)正确的解答过程如下:
1
1
1
1× 3
3
= = =
= .
12 12 2 3 2 3× 3 6
【重点3】最简二次根式(模型观念)
【典例3】(教材再开发·P8最简二次根式概念拓展)下列各式中,最简二次根式是
( B )
×× · ··
=
=
.
×
【举一反三】
阅读材料,并回答问题:小君在学习二次根式时,化简
解:
=
1
4 3
1
的过程如下:
12
1
1
= …第①步;
12 12
…第②步;
1×4 3
=
…第③步;
4 3× 3
=
3
…第④步.
3
(1)上述解答过程中,从第_______步开始出现了错误(填序号);
3.二次根式的除法
课时学习目标
素养目标达成
1.了解最简二次根式的概念
抽象能力、模型观念
2.理解二次根式的除法运算法则及其逆运用
抽象能力、模型观念
3.会运用法则进行二次根式的除法运算
运算能力
4.会运用商的算术平方根进行二次根式的化简
运算能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
6−
D.
D)
1
5
2
3.(4分·运算能力)计算: 72÷ 6=_________.
4.(4分·运算能力)把
1
1 化为最简二次根式是
九年级数学上册21.2二次根式的乘除法(第1课时)教案华东师大版
二次根式的乘除法第一课时教学内容a·b＝ab（a≥0，b≥0）,反之ab=a·b（a≥0,b≥0）及其运用．教学目标理解a·b＝ab（a≥0,b≥0)，ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0)并运用它进行计算；•利用逆向思维,得出ab=a·b（a≥0,b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a·b＝ab(a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．关键：要讲清ab（a〈0,b〈0)=ba⨯，如(2)(3)--⨯--或-⨯-=(2)(3)⨯=2×3．(2)(3)-⨯-=23教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探—-解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空(1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=_______，1625⨯=________．(31003610036⨯．参考上面的结果,用“〉、<或＝”填空．4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3)5×6______30，(4）4×5______20，（5）7×10______70．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：(1）被开方数都是正数；（2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）合探1。
21.2 二次根式的乘除 华师大版九年级数学上册教案
21.2 二次根式的乘除1.二次根式的乘法※教学目标※【知识与技能】1.掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算.2.培养学生的合情推理能力.【过程与方法】1.在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.2.体会用类比思想研究二次根式的乘法，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】会进行简单的二次根式乘法运算.【教学难点】二次根式乘法的应用.※教学过程※一、复习引入计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？；.二、探索新知二次根式的乘法1.参考上面的结果，用“>”“<”或“=”填空.2.根据上面的探究，下列式子是否也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.以上式子从运算角度看是什么运算？结果是什么？你能说出二次根式的乘法法则吗？字母表达式是怎样的？3.二次根式的乘法法则这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.注意：a、b必须都是非负数，上式才能成立.在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数.三、掌握新知【例1】计算：解：四、巩固练习1.下列各等式成立的是( )2.计算：答案：五、归纳小结本节课应掌握：及其运用.※课后作业※计算：2.积的算术平方根※教学目标※【知识与技能】1.掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式.2.培养学生的合情推理能力.【过程与方法】在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.※教学过程※一、复习引入上节课学习了二次根式的乘法：反过来，可以得到积的算术平方根的性质.二、探索新知这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.【例1】化简，使被开方数不含完全平方的因数.分析：利用直接化简即可.解：注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因数开出来，从而将二次根式化简.三、巩固练习1.化简：2.计算：3.计算：答案：四、应用拓展1.化简：2.自由落体的公式为为重力加速度，它的值为,若物体下落的高度为720m,则下落的时间是.五、归纳小结本节课应掌握：及其应用.※课后作业※1.若的结果是.2.成立的条件是.3.已知a、b为实数，且满足的值.3.二次根式的除法※教学目标※【知识与技能】1.会进行简单二次根式的除法运算.2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式的乘法的基础上进行总结类比，得出除法的运算法则.2.引导学生从特殊到一般的方法以及类比的方法，解决数学问题.【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的.【教学重点】简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式.※教学过程※一、复习引入问题1：上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？问题2：是否也有二次根式的除法法则呢？问题3：两个二次根式相除，应该怎样进行呢？二、探索新知1.二次根式的除法（1）计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？(2)总结二次根式除法法则注意：因为b在分母上，分母不能为零，所以b只能大于零.（3）和积的算术平方根类似，把这个式子反过来得到商的算术平方根：【例1】计算解：题（2）的另一解法:【例2】化使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.解：2.最简二次根式最简二次根式有如下两个特点：①被开方数不含分母；②被开方数中所有因式的幂的指数都小于2.【例3】化简：解：(2)分母有理化数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.三、巩固练习1.化简：2.计算：答案：四、应用拓展1.化简：2.计算：3.阅读下列内容，并完成以下各题.数学上将这种把分母变成有理数（式）的过程称为“分母有理化”，其中分别称为有理化因式.的有理化因式是的有理化因式是.（2）进行分母有理化.五、归纳小结本节课要掌握：1.及其运用；2.最简二次根式的定义及应用.※课后作业※1.教材第9页练习第3题.2.教材习题21.2第3题.3.计算：。
《二次根式的除法》 知识清单
《二次根式的除法》知识清单一、二次根式的除法法则1、法则内容二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即：＄＼sqrt{a}÷＼sqrt{b} ＝＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝（a\geq 0, b ＞ 0)＄2、法则推导假设存在两个二次根式$＼sqrt{a}＄和$＼sqrt{b}＄（＄a\geq 0$，＄b ＞ 0$），我们可以将其写成分数形式：＄＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＄为了将其化简，我们可以将分子分母同时乘以$＼sqrt{b}＄，得到：＄＼frac{＼sqrt{a}＼times\sqrt{b}｝｛＼sqrt{b}＼times\sqrt{b}｝＝＼frac{＼sqrt{ab}｝｛b}＄因为$b ＞ 0$，所以可以将上式写为：＄＼sqrt{＼frac{ab}｛b^2}｝＝＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＄3、法则应用例如，计算$＼sqrt{18}÷＼sqrt{2}＄＼＼begin{align}＼sqrt{18}÷＼sqrt{2}＆＝＼sqrt{＼frac{18}｛2}｝＼＼＆＝＼sqrt{9}＼＼＆＝3＼end{align}＼再比如，计算$＼sqrt{＼frac{4}｛9}｝÷＼sqrt{＼frac{1}｛3}｝＄＼＼begin{align}＼sqrt{＼frac{4}｛9}｝÷＼sqrt{＼frac{1}｛3}｝＆＝＼sqrt{＼frac{4}｛9}＼div\frac{1}｛3}｝＼＼＆＝＼sqrt{＼frac{4}｛9}＼times3}＼＼＆＝＼sqrt{＼frac{4}｛3}｝＼＼＆＝＼frac{2}｛＼sqrt{3}｝＼＼＆＝＼frac{2\sqrt{3}｝｛3}＼end{align}＼二、二次根式除法的化简1、被开方数为整数的化简当被开方数为整数时，先将其分解因数，然后将能开得尽方的因数移到根号外。
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21.2二次根式的除法
【学习目标】
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
【学习重点、难点】
重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式化简。
一、自学展示
1、计算：（1）38×（-46）（2）3
6
12ab
ab⨯
2、填空：（1
=____
；规律：
（2
；
（3
=____
；
（4
．
二、合作探究
一般地，对二次根式的除法规定：
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
1、计算：（1
（2（3（4
2、
化简：（1（2
（3
（4
注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
笑一笑：阿杰走过墓地，听到敲击声，很是害怕，见到一个人摸墓碑，才放心。
问：先生你在干吗?
2、最简二次根式的条件：
（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
（3）被开方数中不含有开方开得尽的因数或因式
三、质疑导学
阅读下列运算过程：
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化
”。
利用上述方法化简：
(1)
３
=_____ ___ (４
=___
___
四、学习检测：
1、选择题
（1
的结果是（）．
A
．
． C．
．
（2
的结果是（） A．
-
3
B．．．
2、计算：
（1）
48
2
（2）
x
x
8
23
（3）
16
1
4
1
÷（4
3、用两种方法计算：
（1（2）
3
4
6
五、布置作业：P11练习1、2、3
3
==
5
==
2
7
2
77
笑一笑：阿杰走过墓地，听到敲击声，很是害怕，见到一个人摸墓碑，才放心。
问：先生你在干吗?。