二次曲线的若干优美性质——2018年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考

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高三数学-2018年高考数学试题评析(全国卷) 精品

2018年高考数学试题评析（全国卷）今年文、理试卷难度区分较为明显。

粗略统计，今年的文理试卷，选择题有2道不一样，填空3道题不一样，解答题5题不一样。

也就是说，共有10道题不一样，理科难度明显高于文科，但文科的应用题目却较多。

试卷前面76分的选择题、填空题，学生失分应该不多，其总体难度要比去年简单些，因为去年瓦盖屋面积计算、网络题目运算这两道题目较新颖，难住了不少考生，而今年没有这类难度特别集中的题目。

后面的6道主观题总体难度要高于去年，但该难度是分解到各题目中的，不像去年的20题和22题那样难度集中。

前面两题还比较简单，但后面的4题比较难，特别是文科最后一题考查学生数学应用思想，让学生用数学方法解决实际问题，有一定难度。

理科最后一题，第一问是搭个解题的台阶，要求考生熟悉一下递推思想，而第二问分两小问，主要考查学生推理分析，此题得分率估计比较低，应是全卷最难的一题。

整张试卷主要考查以下数学思想：分类讨论思想———如理科的19题、21题、22题等；数形结合思想———如文科1、4、5、7、10、11、14、16、17、20、21等题；函数方程思想———如文科的4、6、9、10等题；转化思想———如立体几何的题目就和代数进行转化。

试题没有偏题、怪题，比如理科试卷的18题，图形考生都见过，只不过是命题方式变化了一下。

中等学生应该得100分左右，成绩好些的学生应该得到120分左右。

理工农医类●选择题、填空题点评今年的选择题、填空题起点较低。

16道题，无论涉及的知识内容，还是题目设问方式，既基础又常规。

理科客观试题没采用以往的多个命题构建组合命题或开放式命题的试题，相对文字长度缩减了，学生得分绝对比率势必可观。

细细品味客观试题，发现题目虽小，但入口仍较宽，不同策略所花时间有较大区别。

比如第6题，2√M＝{x｜x＝k/2＋1/4，k∈z}，N＝{x｜x＝k/4＋1/2，k∈z}。

如果采用剩余类分类思想，思维繁琐；如果变k/2＋1/4＝2k＋1/4，变k/4＋1/2＝k＋2/4，只需注意到2k＋1为奇数，而k＋2仍为整数即可快速作答。

2018-2018高考全国卷I理科数学试卷评析-范文word版 (5页)

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高考全国卷I理科数学试卷评析试卷主体稳定，但有变化201X年高考课标全国卷I同以往一样，全面考查双基，突出考查主干，贴切教学实际，以支撑数学学科知识体系的主干内容为考点来挑选合理背景。

如必做题部分对函数与导数，三角函数与解三角形，立体几何，解析几何，数列，概率统计等内容，这充分体现了高考对主干知识的重视程度。

同时试卷重视数学知识的应用，而且背景来自于学生所能理解的生活现实与社会现实，如12题、19题以生产生活为命题背景，从实际中抽象出数学问题，将数学知识与实际问题相结合，考查考生的阅读理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值与人文特色，体现了新课标的教育理念。

如第2题，以中国古代的八卦为背景出题，体现了中国传统文化的博大精深。

但纵观试卷也会发现有2处明显变化，一是在今年的考纲中明确说明不再考查几何选讲部分，于是选做题少了一道，但可以发现对于学生几何能力的考查并没有减弱，如第16题在考查空间几何的同时蕴含平面几何知识思想;二是立体几何题目和统计题目交换了顺序，也体现了试卷出题者对于数学在统计上的应用有更多的想法。

突出选拔性，有区分度学而思高考研究中心认为，试卷在注重基础的同时，也充分考查学生对数学的综合分析能力，逻辑推理能力，创新意识，尤其重视运算能力的考查，使得试卷有较好的区分度，凸显试卷选拔功能。

如第12题，以数列为知识背景，考查了学生分析问题解决问题的能力，第16题以立体几何为知识背景，是一个很创新的题目，对于学生分析题目，提取条件，抽象出具体的数学模型来解决问题都有很高的要求。

2018年全国卷1理科数学试题详细解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学解析人李跃华注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（）A ．{}0=<AB x x B ．A B =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅【答案】A【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<∴{}0A B x x =<，{}1A B x x =<，选A2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248=故选B3. 设有下面四个命题（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ，【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b-==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d624d =4d =∴ 选C5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯==对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15， ∴2x 的系数为151530+=故选C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯故选B8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶故选D9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号即AB DE +最小值为16，故选A11. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<< D ．325y x z <<【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.ln33ln 22x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<，故选D12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后第n 组的和为122112nn -=--n 组总共的和为()2122212n nn n --=---若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ ()2log 3k n =+→295n k ==，则()2912954402N ⨯+=+=故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年全国二卷立体几何（文理）详解

2018年全国二卷立体几何（文理）详解各位铁子门，欢迎大家再次来到孙老师的鹏哥谈数学！上两节课带着大家分析了2018年全国一卷、三卷的立体几何解答题，大家有怎么样的感受？此时，你的内心有没有一点点涟漪浮起？……12分的解答题，简直是弱爆了，竟然只考……面面垂直、空间角……其实吧，所谓命题专家也就这点能耐了！……不信，你再看2018年的全国二卷之立体几何…………竟然……线面垂直、空间角……（据说葛大爷葛军退役后，江湖再无哭泣，人间宁静安详……）来看看二卷的这道题，心细的伙伴们有没有发现，我们二卷的立体几何经常考棱锥（文理科一样样），不信，你看………16年五棱锥（菱形对折）、17年四棱锥、18年三棱锥…….……额……19年要考谁？能考谁？来来来，孙老师偷偷告诉你……（哈哈，我总是低调不了，总是这么傲娇，我想总有一天会死得很惨，哈哈哈）我们先看18年二卷理科的这道题（孙老师忍不住想告诉你，18年理科这道题的题号发生了调整，干翻了解析几何老二的宝座，跑到了第20题，这是疏忽还是有意，各位童鞋们怎么看，哈哈哈！）：（1）线面垂直……我不想多做解释了，实在记不起来，回头看我的前一篇帖子2018年全国一卷理科数学立体几何详解我还是忍不住想再说一遍，老师嘛，传道受业解惑也！……如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直……当然，我们需要先尝试找到边角关系，中点是突破口，等腰三角形是关键，勾股定理是核心，判定定理算锤子，于是乎……（2）空间角之线面角……还要再重复吗？no……你已成仙，再不晓得就自己挂掉吧！（童话里都是骗人的.......忽然想到了成龙大哥，金喜善.......年代久远，尔等可能不知道，历史人物......）建系……我们再看18年二卷文科的这道题：……立体几何，同样的三棱锥，长相神似理科，两个问题…………线面垂直、点面距……额，文科的特点来了，都说文科感性，理科理性，扯什么淡，有证据吗？我也会写诗，我也能抒情，原谅一个理工直男的表白吧！哈哈，我都说了些什么？嗯…….算了吧，不作践自己了！孙老师也是重情之人，脸皮薄，容易脸红，本来脸黑，一红就更黑了……（哈哈哈）点面距…..？什么东西？……垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离!那么，我们怎么解决点面距的问题？（三个方法，随便你爱那个，只要能放电就行！）（1）找点投影法求点面距（告诉你，这个基本帮不了什么你忙，所以，别多想……）（2）等体积法求点面距（学马克思的小伙伴们，注意啦！这个是需要你记住的，重要的事情孙老师历来只说一遍，这次孙老师说三遍三遍啊，什么概念？不想死就必须记下！）（3）空间向量法求点面距（哈哈哈，文科生不太能理解，专属理科生，万能的！重要性你懂得！）我们看这道题：（1）线面垂直……（2）点面距……等体积法（文科嘛！也只能这样了，局限性……）。

2018年高考全国I、II卷数学深度解析立足基础知识学习是关键

2018年高考全国I、II卷数学深度解析立足基础知识学习是关键2018年全国高考Ⅰ卷数学试题依照《高中数学课程标准》与《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》进行命题。

以“立德树人、服务选拔、引导教学”为核心，考查“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”。

注重“基础性、综合性、应用性、创新性”。

突出“四基、四能、三会、六素养”。

即：①四基是指数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；②四能是指发现问题的能力,提出问题的能力,分析问题的能力,解决问题的能力；③三会是指会说、会辩、会用；④六个数学核心素养是指数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。

因此，高考命题中逐渐由“以能力立意命题”的指导思想过渡到“以素养立意命题”。

2018年的试题具有以下特征：一、重理性思维考查，彰显选拔性。

在注重基础知识的同时，还必须考查学生的综合分析能力，逻辑推理能力，解决实际问题的能力，运算能力等。

一份好的试卷应该有较好的区分度，彰显试卷选拔功能。

如理科第12题，考查空间想象能力，截面运动到相应的位置面积才会最大；理科第16题，用普通的三角函数的凑、配就难于解决，利用导数解题也必须有较强的解决问题的能力；理科第20题的解决，就必须有清晰的思路，首先必须读懂题意，阅读理解能力的欠缺是该题的最大障碍，这是对人文素养的考查！阅读能力欠佳的学生，就难于理解题意。

当然，概率统计知识的合理运用也体现了该题的选拔功能；理科第21题，作为整套试卷中的压轴题，以导数知识为基础，考查函数的思想，方程的思想，韦达定理虽然是最基础的知识，想得到且会运用，区分度也就在这里体现出来！今年的压轴题不设难度较大的第三问，高考在选拔功能方面降低了内容的难度，加强了思维的广度和宽度。

二、重视应用性考查，增强实践性。

广泛的应用性是数学的基本属性，数学已成为人们日常生活不可或缺的重要方面，科学技术的进步更离不开数学。

一道高考解析几何解答题的解法探究

一道高考解析几何解答题的解法探究作者：袁海军来源：《广东教育·高中》2018年第07期2018年高考全国I卷理数第19题是一道解析几何题，背景是直线与椭圆的位置关系，重点考查有关圆锥曲线的定值问题. 此题的难度是近三年最简单的，位置也由以往的第20题往前移了一位变成第19题，成为考生重点得分的中档题，可能是为了更好的迎接新高考改革所作的铺垫.引例：（2018年高考全国I卷理数第19题）设椭圆C ∶ +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：（1）由已知得F（1，0），l的方程为x=1，联立椭圆方程可得，点A的坐标为（1，）或（1，-）.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.第一小问考生基本没有什么问题，轻松地拿到这一块的分数.以下就第二小问提供几种解法：解法1：（代数法）（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=.将y=k（x-1）代入+y2=1得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0.所以，x1+x2=，x1x2=.2kx1x2-3k（x1+x2）+4k==0.从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.综上，∠OMA=∠OMB.点评：此法也是解析几何常见的解题套路——“联立方程、代入消元、韦达定理和判别式”.但在求解中要注意三点：（1）需要分类讨论直线斜率两种特殊情形；（2）代入消元时要有整体思想，无需求出x1，x2具体的值；（3）在证明目标时需作相应的等价转化——将要证明的两个角相等转化到两直线的倾斜角互补，即两直线斜率之和为零.解法2：（几何法）利用圆锥曲线第二定义：易得点M是椭圆的准线与x轴的交点，设点A、B分别到准线的距离记为d1=|AP|，d2=|BQ|，则依题意得：====？圯？驻APM～？驻BQM，∴=.所以？驻ABM在中，MO是∠AMB的内角平分线，即∠OMA=∠OMB.点评：此法纯几何法，简单地运用了椭圆的第二定义，首先转化到证明两个三角形相似，后转化到内角平分线定理的应用.证明过程非常巧妙，步骤简洁明了，但现行的教材对圆锥曲线的第二定义只作阅读了解，没有作理解和掌握的层次要求，因此对于考生来说显然超出其能力要求.如果本题作为一道小题来讲，它考查了直线和椭圆的一个定值问题，也就是一个二级结论，接下来我们可以作进一步的探讨，导出它的一般结论.示例：设椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（，0），设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.证明：设直线方程为x=ty+c，A（x1，y1），B（x2，y2）.由+=1，x=ty+c？圯（a2+b2t2）y2+（2b2tc）y+b2c2-a2b2=0，∴y1+y2=-，y1y2=.所以直线MA，MB的斜率之和为：kMA+kMB=+===0.由此本题导出了一个关于椭圆的焦点弦和准线相关斜率之和为定值的结论.现在我们仅就椭圆焦点弦的性质及定值问题作一些补充和推广.在平时考试常见的有哪些具体的结论呢？结论（1）设P点是椭圆C ∶ +=1（a>b>0）上异于长轴端点的任一点，为F1，F2，为其焦点，记∠F1PF2=？兹，则（1）|PF1| |PF2|=.（2）S=b2tan.证明：（1）由余弦定理：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos？兹=（2c）2？圯（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1| |PF2|（cos？兹+1）？圯4a2=4c2+2|PF1||PF2|（cos？兹+1）？圯|PF1||PF2|=.（2）∵|PF1||PF2|==，S=|PF1||PF2|sin？兹=b2tan.结论（2）设A，B是椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为线段AB的中点，则kOMkAB=-.证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则有+=1，+=1作差得：+=0？圯+=0？圯kAB==-=-=-？圯kAB·kOM=-.结论（3）过椭圆C ∶ +=1（a>b>0）上任一点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，则直线BC有定向且kBC=（常数）.证明：设直线AB：y-y0=k（x-x0）即y=kx+y0-kx0，y=kx+y0-kx0，+=1？圯（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2 [（y0-kx0）2-b2]=0？圯x0+xB=？圯xB=？圯B（，）.同理C（，），∴ kBC==.结论（4）设已知椭圆C ∶ +=1（a>b>0），O为坐标原点，P，Q为椭圆上两动点，有且OP⊥OQ.则（1）+=+；（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为；（3）S？驻OPQ的最小值是.证明：（1）设P（acos？兹，bsin？兹），Q（acos？渍，bsin？渍），∵·=a2cos？兹 cos？渍+b2sin？兹 sin？渍=0？圯tan？兹 tan？渍=-+======+.（2）∵（|OP|2+|OQ|2）（+）≥（1+12）=4，当且仅当 |OP|+|OQ|时取“=”，∴|OP|2+|OQ|2≥4÷（+）=.（3）+==+=.4=|OP|2|OQ|2=（|OP|2+|OQ|2）（）≥4（）2？圯S？驻OPQ≥.∴ Smin=.真题再现：（2018年高考全国卷III文20）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点.线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.（1）证明：k（2）设F为C的右焦点，F为C上一点，且++=.证明：2||=||+||.解法1：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1.两式相减，并由=k得+. k=0.由题设知=1，=m，于是k=-（m>0）.又由点M（1，m）（m>0）在椭圆内，即+0），可得0故k=-（2）由题意得F（1，0）.设P（x3，y3），则（x3-1，y3）+（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（0，0）.由（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m注意：此题第2小问也可以由++=直接推出F为？驻PAB的重心，即得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m解法2：（1）由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x-1）+m（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=k（x-1）+m，+=1？圯（3+4k2）x2+（8mk-8k2）x+4（m-k）2-12=0.解得x1+x2==2？圯k=-（m>0）.又由点M（1，m）（m>0）在椭圆内，即+0），可得0（2）由题意得F（1，0）.设P（x3，y3），则（x3-1，y3）+（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（0，0）.由（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1，由椭圆焦半径公式得：||=a-ex1=2-，||=a-ex2=2-，||=2-=.||+||=2-+2-=4-（）=3.故2||=||+||.点评：本题主要考查了中点弦问题，常用方法点差法和判别式法.注意两种的区别，如点差法需设出弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，将两式相减直接转化为直线的斜率，借用中点公式即可求出斜率.而判别式法是联立直线与圆锥曲线方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求解，这一步要求考生有较好运算能力.至于第2小问考查了向量的坐标运算，方向明确，如果运用椭圆的第二定义就更为简洁明了.巩固练习：1. 已知椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t 等于__________.2. 已知F1，F2是椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且·=，若△PF1F2的面积为9，则b=________.3. 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为 .4. 已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是__________.5. 直线l与椭圆？祝：+=1相交于P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则以O点为圆心且与直线l相切的圆方程为 .参考答案：1. 2； 2. 3； 3. 2； 4. x+2y-8=0； 5. x2+y2=.【本文为福建省第三批高中数学课程基地校建设项目《“三教”教学培育数学核心素养的探索与实践》研究成果之一】责任编辑徐国坚。

2018年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨

2018年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨作者：严运华来源：《广东教育·综合》2018年第10期2018年全国高考数学I卷文科第20题为：设抛物线C：y2=2x，点A（2， 0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点.（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN.2018年全国高考数学I卷理科第19题为：设椭圆C： +y2=1的右焦点为F，过F的直线l 与C交于A，B两点，点M的坐标为（2， 0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设点O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.以上两道试题，无论题设条件，还是问题结论，都具有极大的相似性，只是曲线的形状不同. 两道试题蕴含的本质如何？有怎样的联系？对于上述文科卷试题的第二个问题，可分别抽象出一般结论：命题1：设抛物线C：y2=2px，点A（2p， 0），B（-2p， 0），过点A的直线l与C交于M，N两点. 则直线BN、BM与x轴成等角.证明：显然，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x=ty+2p，联立抛物线方程得y2-2pty-4p2=0，设M（x1， y1），N（x2， y2），则y1+y2=2pt，y1y2=-4p2，设直线BM和直线BN的斜率分别为kBM，kBN，则kBM+kBN= + =，而x1=ty1+2p，x2=ty2+2p，代入上式得kBM+kBN= ，将y1+y2=2pt，y1y2=-4p2代入上式得kBM+kBN=0，则∠ABM=∠ABN；故直线BN、BM与x轴成等角.若发现A，B两点的横坐标之和为零，可得出以下一般结论：命题2：设抛物线C：y2=2px，点A（m， 0），B（-m， 0）（m≠0），过点A的直线l与C交于M，N两点. 则直线BN、BM与x轴成等角.证明：显然，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为，x=ty+m，联立抛物线方程得y2-2pty-2pm=0，设M（x1， y1），N（x2， y2），则y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，设直线BM和直线BN的斜率分别为kBM，kBN，则kBM+kBN= + =，而x1=ty1+m，x2=ty2+m，代入上式得kBM+kBN= ，将y1+y2=2pt，y1y2=-2pm代入上式得kBM+kBN=0，则∠ABM=∠ABN，故直线BN、BM与x轴成等角.对于其他形式的抛物线，亦有类似结论：命题3：设抛物线C：x2=2py，点 A（0， m），B（0， -m）（m≠0），过点A的直线l 与C交于M，N两点. 则直线BN、BM与y轴成等角.证明过程类似，此处不再详述.对于今年全国高考数学理科卷第19题的第二个问题，发现点M恰好是椭圆准线与x轴的交点，于是可以得出如下结论：命题4：过椭圆C： + =1的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，点M（， 0）. 其中c 为C： + =1的焦半距，则直线MA、MB与x轴成等角.证明：当直线l与x轴重合时，结论显然成立；当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=my+c，联立椭圆方程得（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1+y2=- ，y1y2=- ，设直线MA和MB的斜率分别为kMA， kMB，则kMA+kMB= + =，因此kMA+kMB= ，将y1+y2=- ，y1y2=- ，代入上式得kBM+kAM=0，故直线MA、MB与x轴成等角.再探究发现：点F和点M的横坐标之积为a2，于是可将命题3进一步拓展为：命题5：设椭圆C： + =1，过点 N（n， 0）的直线l与C交于A，B两点，点M（m，0）. 且mn=a2，设O为坐标原点，则直线MA、MB与x轴成等角.证明：当直线l与x轴重合时，结论显然成立；当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=ty+n，联立椭圆方程得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b2n2-a2b2=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1+y2=- ，y1y2=- ，设直线MA和MB的斜率分别为kMA， kMB，则kMA+kMB= + =，因此kMA+kMB= ，由y1+y2=- ，y1y2= 得2ty1y2+（n-m）（y1+y2）= - = ，又mn=a2，代入上式得kMA+kMB=0，故直线MA、MB与x轴成等角.将椭圆的相关结论推广到双曲线，则有：命题6：设双曲线C： - =1，过点N（n， 0）的直线l与C交于A、B两点，点M（m，0）. 且mn=a2，则直线MA与MB与x轴成等角.证明方法与命题5类似，此处不再详述.将命题2、命题5、命题6整合后可统一成如下命题：命题7：设M、N是圆锥曲线C的一对“等角点”，过点N的直线l与C交于A，B两点，则直线MA与MB与x成等角.若圆锥曲线C为抛物线y2=2px，则两“等角点”的坐标分别为 M（m， 0），N（n， 0），其中m+n=0，且m≠0.若圆锥曲线C为椭圆 + =1或双曲线 - =1，则两“等角点”的坐标分别为M（m， 0），N （n， 0），其中mn=a2.显然，2018年高考数学的两道解析几何试题就是命题7的具体呈现形式. 近年全国高考数学常以上述结论为背景命题，如2015年全国高考数学理科试题第20题：在直角坐标系xOy中，曲线C：y= 与直线y=kx+a（a>0）交于M，N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.这其中的第二个问题，就是命题3的特例.由此可见，2018年高考数学文科卷、理科卷的两道解析几何的源头相同，有着相同的根，只是呈现的形式不同. 文科卷试题以抛物线为背景，运算过程较简洁；理科卷的试题以椭圆为背景，运算过程比抛物线稍复杂. 通过设置的位置和运算过程的繁简程度来实现文科与理科数学的区别. 事实上，不仅是解析几何试题有此特点，其他内容如函数试题等也是按此思路来命题.注：本文是广东省教育科研“十三五”规划课题“高中数学核心素养的培养及评价研究”（课题批准号：2017YQJK023）的阶段性成果.责任编辑罗峰。

把握研究方法深化思维方式——从2018年高考全国卷再探解析几何“怎么教”的问题

中学数
在高考的命题中，上述研究方法中有两个地方是可以切人命
分省命题极大地促进了圆锥曲线性质的研究，而极点极题的，即坐标化过程以及代数运算过程，也即 “几何对象
考试国家题库、国家英语能力等级量表等构成的支撑体系基
（２）设。为坐标原点，证明：／ＯＭＡ＝０ＭＢ．
本建立，整个考试更具科学性、公平性和权威性．３Ｊ题库命题，
题目２（２０１８年高考全国Ｉ卷文科第２０题）设抛物线除了科学性、公平性和权威性外，还有较强的稳定性和延续
Ｃ：Ｙ：２ｘ，点Ａ（２，０），Ｂ（一２，０），过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交性，这也就是为什么每年面对高考试题，总感觉似曾相识．地
于Ｍ，Ⅳ 两点．
方分省命题，由于不是题库命题，因而容易受到参与命题专
（１）当２与轴垂直时，求直线ＢＭ的方程；
范罔；２０１７年第一问聚焦点的几何性质与椭圆的几何性质，的全国卷理第２６题就是极点极线性质的一个直接应用，而
第二问则是借助代数方法研究直线恒过定点问题；２０１８年相２００１年和２００６年的全国卷解析几何解答题都做了进一步眭
２０１８年第９期（上）
家个人研究倾向的影响，每年的变化都比较大，试卷整体质
ｆ２１证明：ＡＢＭ＝ＡＢＮ．
量难以保证，风格也不稳定，因此在全国卷高考复习的教学
２０１８年高考解析几何试题的文理科命题严格遵循考纲中如果能够结合教育部号试中心命制的几套试题，特别是课

2018年全国二卷数学卷面分析2018619

2018年全国二卷数学卷面分析2018.6.19第一部分：卷面中的问题（一）填空题：13-16题1.学生习惯性的按竖行写，14，15两道题的答案答错位置；2.卷面处理的不够干净，如前面的“-”号没擦干净，导致丢分；3.导数的几何意义不够清楚，很多同学把8π写成了8；（二）17.数列1.审题不够仔细，丢掉了S n的表达式；2.除了常规的两种方法之外，个别同学求导数，理论上不可取3.计算错误失分很多，书写没有逻辑，跳跃性很大，导致不能得满分；（三）18.概率1.计算能力弱，第一问中的具体的数值计算错误很多；2.不能正确解释散点图与回归直线之间的位置关系；（四）19.解析几何1.数学概念不清导致丢分很多；2.计算能力弱；3.数形结合的意识不强；k>这一条件，后面还在讨论的k的正负问题；4.审题不够仔细，题目已给定0（五）20.立体几何：1.对线面垂直的定理记忆不清，往往用一组直线垂直来证明线面垂直；2.理科求解法向量和文科求面积、体积时计算错误很多；3.立体几何中利用平面几何知识解决问题的意识不强，比如勾股定理、相似形、三角形的四心等；4.文科个别学生对等体积转换的方法不够熟练，转换不够强恰当，导致不得分；(六)21.导数：1.导数公式记忆不清，导致整道题不得分；2.导数与单调区间的关系写错如导数为正得到了减区间，导致失分；3.文科第二问是证明，评卷中有些同学逆向思维，采用分析的方法也是可以借鉴的；利用极限思想求函数值域得分也比较高；（七）二选一22.极坐标与参数方程1.直线参数方程中的t的几何意义不清楚；2.直线参数方程化成普通方程过程中，用代入消元的方法时没有对斜率k 是否存在进行讨论；23.不等式选讲1.零点分段法解不等式不够熟练，主要是不能准确找到零点；2.不会利用绝对三角不等式求最值；3.利用函数解决不等式问题的意识不强，函数思想渗透不够；第二部分：教学建议(根据卷面情况结合个人教学实际，提几点建议，不妥之处请指正)1.综合整套试卷，单纯计算失分的总和在30-40分之间，比如数列，解析几何，立体几何等；狠抓计算能力的培养，平时课堂教学中要求每个学生要有规范的草稿本，利用好课堂上的零散时间；甚至可以一周安排一节课，以高考计算中的重点题型为背景进行专门的计算能力培养；2.由于概念不清，失分情况也比较严重，比如解析几何中有关概念，零点的概念，统计学的有关概念；建议平时的教学中重视概念教学，要求学生理解并记忆重点概念，可以用填空的形式进行课堂测试，引起学生的重视；3.由于公式记忆不清，定理使用不熟练失分较多，比如导数公式、立体几何中垂直的有关的记忆，绝对三角不等式等，可以利用每节课课前的两到三分钟专门记忆公式，日积月累达到清楚记忆；4.由于书写不严谨，没有逻辑性，跳跃性大在试卷中失分也比较严重，比如数列中书写不严谨，立体几何证明逻辑混乱，计算时关键的公式没写出来，选修4-5中零点分段书写没有条理等，建议课堂教学中老师板书要起到一定的示范作用，并且可以通过学生的作业展示，分享交流使学生有一个较为统一的书写标准；5.回归课本，重视课本中例题的示范作用，如2018年试卷中解析几何、选做中的不等式都可以用课本中例题的方法来解；6.在平时教学中要留适当的时间组织学生讨论，通过讨论培养学生分析问题、解决问题的能力，不要一味的讲题、做题；7.将数学建模融入平时的教学中，关注每章的开篇中的文字和图片，重视每章最后一节的实际问题教学，不能走马观花，甚至不讲；8.课堂上留给学生适当的时间，让学生用语言表达自己的观点，培养学生的语言表达能力，比如2018年的概率题需要学生有较强的语言表达能力；理科各题分数情况统计表：2274/62653/722361/591857/4.9310/0.85154/13.6310/0.85798/15.31730/4.5682/1.827/0.0767/0.2350/7955/213/0.03文科各题分数情况统计表：919/43676/1692/0.44365/19183/0.088409/36.6795/3919/44/0.0246/0.21025/20532/2.336/0.015。

2018 年全国Ⅱ卷解析几何例析

整体来看，三年的考题既有轨迹方程的求法，也有圆锥曲线定义与性质的考查，均考查了直线和圆锥曲线的位置关系。
一、解析几何考点分析与得分情况
表2 近三年全国Ⅱ卷解析几何均分、难度系数
题号
2018 2017 2016 19 20 20
平均分
5.456 3.378 1.860
难度系数
0.455 0.282 0.150
从 2016 年到 2018 年以来，解析几何解答题的位置在靠前，整体均分上升。
一、解析几何考点分析与得分情况
表3 2018 年全国Ⅱ卷解答题均分
题号 2018
内容
平均分
19
20
解析几何
立体几何
5.456
7.648
注：以上数据均来自重庆市教育科学研究院
在均分上升的情况下，位于 19 题的解析几何的均分低于 20 题的立体几何。
纠错提升
规范提分之
2018 年全国Ⅱ卷解析几何例析
2019 年 3 月 7 日
一、解析几何考点分析与得分情况
表1 近三年全国Ⅱ卷解析几何考点情况
全国卷Ⅱ 2018
2017 2016
(1) 抛物线的定义及几何性质 (2) 直线与抛物线、圆的位置关系
(1) 轨迹方程的求法 (2) 直线与椭圆的位置关系(结合平面向量) (1) 椭圆的定义与几何性质 (2) 直线与椭圆的位置关系
真题呈现
2 个条件
由抛物线定义知：
规范解答过程，勿忘下结论
y P
m
A
我们有如下结论：
m θ
O Q n B
n
F
x
知二，求二
纠错提升
1、有关直线和抛物线的弦长问题，要注意直线是否经过抛物线的焦点。 2、求解方程时，要明确：

2018年高考全国Ⅰ卷立体几何解答题评析与备考建议

（一）试题解答与点评
ＤＣＺＢＣ．因为ＡＣ、Ｂｃ平面ＡＢＣ，且ＡＣｎ＝Ｃ．所以ＤＣ￣平面ＡＢＣ．又因为ＤＣＣ平面ＡＣＤ，所以平面ＡＤＪ＿平面ＢＣ．
（１）的解法三（通过兜圄证ＤＣ￣平面ＡＢＣ来证线面垂直）由已知ＺＡＣＭ＝９０。，可得ＢＡＺＡＣ．又Ｂ上ＡＤ，Ａ、ＡＤｃ平面Ｄ，且ＣｎＤ＝Ａ，所以Ｂ上平面ＡＤ．于是ＡＢ￣ＣＤ．又因为ＣＤ上ＡＣ，ＡＣｎＡＢ：Ａ，所以ＤＣ￣平面ＡＢＣ．因为Ｄｃ平面ＡＣＤ，所以平面
（２）的解法一（直接作图法）如图３，过点Ｑ作ＱＥＬＡＣ，垂足为Ｅ．因为
一：…
（２）Ｑ为线段ＡＤ ห้องสมุดไป่ตู้ 一点，Ｐ为线段ＢＣ上一点，且Ｂ尸＝ＤＯ！＝ＤＡ，求三棱锥Ｑ —ＡＢＰ的体积．
０
（１）的解法一（通过证ＡＢ￣平面ＡＣＤ来证面面垂直）巾已知吖＝９０。，可得ＢＡ上Ａ．又ＡＢ上Ｄ，、ＡＤｃ平面Ｄ，且ＡＣｎＡＤ＝Ａ，所以』４Ｂ＿Ｌ平面ＡＤ．义Ａ＿Ｂ［平面ＢＧ｜，所以平面ＡＤ上平面．
ＤＣＺＡＣ，ＡＡＣＤ为直角三角形，故ＤＡ＝３．
平面ＡＢＣ，平面ＡＣＤｎ平面ＡＢＣ＝ＡＣ，ＣＤＬＡＣ，所
连接ＤＢ，如图２，已知ＡＢＪ＿ＤＡ，可得ＤＢ＝ｘ／ＤＡ２＋ＡＢ２＝３～，又由、
以ＤＣＬ平面ＡＢＣ．于是，三棱锥Ｑ — ＡＢＰ的体积

2018年高考全国数学Ⅰ卷评析

2018年高考全国数学Ⅰ卷评析作者：许少华来源：《广东教育·高中》2018年第07期2018年全国高考数学（I）卷分文、理两卷，共性是观点明确、特点突出.都有一批求新、求稳、突出重点的好题.既考查了考生在高中阶段所学知识的掌握程度，又考查了考生进入高校继续学习的数学潜能. 都是融知识、能力、素质于一体的优秀试卷，对今后的教学起着重要的导向作用. 广东考生考后的基本情况是：文科平均分为66分，比去年多了10分左右.理科平均分为78分，比去年多了5分左右，无论文、理都比去年平均分高了. 分数提高的原因是试题难度较去年有所下降、更适合广东的考生了. 也因为难度下降，考后大部分考生的心情都很好，直接或间接的影响了家长与老师，从而带动了整个社会对本次试卷的评价较好，下面我从一位教师的角度来和大家一起分享一下本套试卷.1. 试卷的几大特点1. 1基础题重在考查基础知识与基本方法. 统观全卷，基础题分值约占70分，这些基础题真正做到了考查基础知识与基本方法，看看理科第2题会解一元二次不等式及求补集运算即可.第4题等差数列的前项和公式与通项公式，也仅需要会这些基本公式的应用即可.第5、6、7、8题虽然都有点“小弯弯”，但稍有基础的考生都很快会发现思路，并立即产生正确答案.这些小题很基础、运算量也较小，且排列在试卷的较前的位置，给很多考生较大的信心与鼓励，使顺利完成全卷奠定的良好的基础.1. 2部分试题涉及的知识面广，思路和方法灵活多样. 如理科第12、16题，文科的第12题等. 理科第12题“每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求面截正方体所得截面面积的最大值”，显然，这是一个由动态到静态的过程，在这个过程中寻求最值，但平面在哪里？让我们最易认识的位置在什么时刻？只有找到了这些，也许才能更好的求解它. 理科第16题存在多种求解方法，条条道路通“罗马”，而你仅需要一条，这一条路你遇到了吗？1. 3加强数学思想的考查，数学思想是数学的精髓，对数学解题具有指导作用. 本卷中主要考查的数学思想有：数形结合思想，如理科的第2、6、7、9、13题.分类讨论思想，如第15、21的第一问. 特殊化思想，如第8题. 化归思想，如第10、12题.转化思想，如第18、19、20题等.文科最为典型的是第12题用数形结合思想先画图，结合图形再分类，两种数学思想交相辉映，恰到好处的产生结论.第21题转化思想的运用，使不等式的证明逐步转化，慢慢地将一个隐含的、不易证明的不等式问题转化为一个明朗、清晰的不等式.数学思想、方法的合理选择，可以看出考生思维的灵活性，把数学思想方法置于数学试题之中可以很快的抓住问题的本质，准确的将问题转化，从而顺利地进行求解.1. 4精巧试题层出不穷，亮点随处可见. 一套优秀试卷绝非是试题难度很大的试卷，本次试题无论是理科还是文科难度都不算大，但试题的设计却十分精巧.看看理科的第3、4、5、7、7、8、10、11、12、14、16.再看看文科的第2、3、5、6、8、9、10、12、16等.这些试题绝不是送分，绝不可能“一望而解”，很多考生可能会有似曾相识的感觉，那是平时“刷题”的结果. 但更有“清新”之意，这些题知识点是旧的，但背景、试题形式都是新的，用现今流行的说法是“原创”，它们的大量出现，增加的试题的信度.1. 5加强对算运算的合理性与科学性的考查. 2018年高考考纲明确指出：运算能力包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. 理科第16题，表面上看是一道三角函数的最值问题，动手做一做才发现：远没有那么简单. 不仅要分析的合理、准确，更要方法科学、得当. 第18题无论是用传统的立几方法还是用空间向量，其中合理与科学的运算是必不可少的.理科第19题与文科第20题都是解析几何试题，特别是第二问求解，对运算的合理性与科学性要求较高，不然，过程比较麻烦，也许还会出现“心有余而力不足”的尴尬情境，加强这方面的考查，也许是今后一个时期的重点，值得我们关注.1. 6 注重知识的交汇性. 关注知识的内在联系和综合，在知识网络的交汇点处设计试题，是高考命题改革与发展的基本要求，本套试卷较准确的突出了这一要求. 理科第5题函数的奇偶性与导数、切线等结合.第8题解析几何与平面向量交汇. 第18题是立体几何与空间向量的交汇.第20题是排列、组合、概率与导数的应用联系在一起等. 第21题是函数与不等式等结合.交汇性试题是考查知识综合应用及考生的综合能力的主要题型，正常情况下高考的解答题都要具有交汇的特点.选择题与填空题中的部分试题也会注重这一要求.1. 7热点、重点内容的考查. 函数是贯穿中学数学的一条主线，作为中学数学的主干知识、重点内容，在此次考试中被淋漓尽致的体现出来. 理科第5、9、16、21都是实实在在的函数，总分27分. 文科呢：第6、8、12、13、21题，总分32分. 可以说，重点，就是重点，高考命题一定会重视的.另一个古老的热点问题：应用性与数学文化试题，理科体现的较为充分，看看第3题、第10题、第15题及第20题，可以说要易有易、要难有难，无论你是哪个层次，都有对你“口味”的试题，或者说它也在悄悄的量你的“身高”.1. 7 个别试题是陈题，经过简单改编产生. 为了比较方便，我会把原题与考题分别给出：理科第19题“设椭圆C ∶ +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程.（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.”2015年全国I卷理科第20题“在直角坐标系xOy中，曲线C ∶ y=与直线y=kx+a（a>0）交与M，N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由”，稍作对比即可发现这两题关键的第二问很相似.理科第21题“已知函数f（x）=-x+alnx.（1）讨论f（x）的单调性. （2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：在追求原创的今天，如何解释这个问题呢？也许命题者深知“刷题之苦”，在此处故意漏下一笔也让刷题者“会心”一次. 但你可知道，在高考竞争如此激烈的情况下，你这一漏把“公平”给漏掉了，让未刷到此题的考生人多么恼火吗？也让那些苦苦设计知识点、线、面综合试题，以求全方位覆盖的老师感到多么失望. 不是陈题不可用，是要进行较大改编后再用，毕竟高考不是一般性考试.上述是本次试题的大致特点，下面我们一齐来欣赏一下具体试题.2. 好题赏析2. 1. 易错题理科第3题：某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半分析与评本题注意到“增加了一倍”后，很快会发现60%2. 2. 知识点交汇型理科第5题：设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A. y=-2xB. y=-xC. y=2xD. y=x分析与评注意到奇函数，则奇次方的系数一定为零，立得a=1，于是有f ′（x）=3x+1，得f ′（0）=1，从而得答案D. 本题将函数的奇偶性与导数的应用结合，虽不难，但首先确定a 的值成了关键.文科第12题：设函数f（x）=2-x，x≤01，x>0则满足f（x+1）A. （-∞，-1]B. （0，+∞）C. （-1，0）D. （-∞，0）分析与评注意x>0时，f（x）=1于是x+1>0，2x>0，即x>0时，f（x+1）< f（2x）无解.那么，由x+12x？圯x2x？圯x本题设计相当好，把函数的单调性与常函数的特征联系在一起，稍有粗心便会出错.2. 3. 数形结合理科第9题：已知函数f（x）ex，x≤0lnx，x>0g（x）=f（x）+x+a. 若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）分析与评由f（x）+x+a=0？圯f（x）=-x-a分别作出f（x）与y=-x-a的图像，如右图，可以看出：y=-x-a当过点（1，0）时，恰有两个交点，此时直线y=-x-a向上平移只有一个交点，向下平移时有两个交点，于是，由-a≤1？圯a≥-1.本题考查函数零点与数形结合思想，试题不难，但小巧精干.2. 4. 和谐型理科第8题：设抛物线C ∶ y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=（）A. 5B. 6C. 7D. 8解法1 由于过点（-2， 0）且斜率为的直线方程为y=（x+2）.由y=（x+2），y2=4x？圯x=1，y=2或x=4，y=4，抛物线C ∶ y2=4x的焦点为（1，0），于是·=（0，2）·（3，4）=8. 故选D.解法1 设M（x1，y1），N（x2，y2），由y=（x+2），y2=4x？圯x2-5x+4=0，则x1+x2=5，x1x2=4.那么·=（x1-1，y1）·（x2-1，y2）=（x1-1）·（x2-1）+（x1+2）·（x2+2）=x1x2-（x1+x2）+=8. 故选D.本题考查圆锥曲线与平面向量的基本运算，解法一属于常规方法，我常把此类解法称之为“强行突破”，显然，在这里是成功的. 解法二是利用根与系数关系进行转化，这是解析几何中的基本技能之一，它很多时候可以绕过复杂、繁冗的运算而直奔结论.两种方法的繁简程度相似，只要你动手了，走哪条路都可以产生结果，因此，我说本题是和谐型试题.2. 5. 文化背景型理科第10题：下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3分析与评设△ABC的两直角边分别为b，c，则区域I的面积为bc. 区域II的面积为（b）2？仔+（c）2？仔-[（）2 ？仔 -bc]=bc，于是可选A. 数学文化是近年走进数学试卷的，由于数学文化深刻的揭示数学的发生、发展的过程，全面的展示数学美的方方面面，因此，它不仅会牢牢的守住这块阵地，还有拓展阵地可能，这点必须引起我们的重视.2. 6. 抽象型理科第12题：已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A. B. C. D.分析与评“每条棱所在直线与平面α所成的角都相等”该平面α在哪里？可以作出来吗？2016年全国I卷文、理第11题：“平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为”可以作出直线m、n所成的角吗？可以说这两题有异曲同工之妙，都是很抽象，想象起来很困难，作图又很难下手.抓本质是关键，其实，只要抓住过一个顶点的三条棱，就抓住了所有的正方体的所有棱，于是，就是以一个顶点这顶点，以过该顶点的三条棱为侧棱的正三棱锥，这样问题一下就解决了.2. 7综合创新性试题理科第20题：某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p （0（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0 .（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX.（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？分析与评（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f（p）=C2 20 p2（1-p）18. 因此，f′（p）=C2 20 [2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2C2 20 p（1-p）17（1-10p）.令f′（p）=0，得p=0.1. 当p∈（0， 0.1）时，f′（p）>0；当p∈（0.1， 1）时，f′（p）所以f（p）的最大值点为p0=0.1.（2）由（1）知，p=0.1.（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y∽B（180， 0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y. 所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.本题改变了前两年的命题风格，变得“温柔”许多，无论是题意理解还是具体计算，可以说没难为考生的意思. 但本题确实是一道好题、是一道创新力度较大的题. 将概率与导数结合真的是很少见，而在这里见了，让人感到惊喜：改革没有模式、创新不具一格.2. 8一题多解型一题多解对开拓思路、启迪思维有重要作用. 能多解者，一定是基础娴熟、技能全面. 教学中我们提倡一题多解，要求对问题多角度分析、全方位把控.请看看指挥棒的指向吧！理科第16题：已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是_____________.解法一由f（x）=2sinx+sin2x，得f′（x）=2cosx+2cos2x=4（cosx-）（cosx+1）.由f′（x）≥0？圯cosx≥？圯2k？仔-≤x≤2k？仔+（k∈Z）.由f′（x）≤0？圯cosx≤？圯2k？仔+≤x≤2k？仔+（k∈Z）.于是，当x=2k？仔-时，f（x）取得最小值且fmin（x）=-.解法二由 |f（x）|=|2sinx+sin2x|=|2sinx（1+cosx）|=|8sincos3|=≤=.从而-≤f（x）≤，故f（x）的最小值为-.解法三由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx）=·（1+）=，令t=tan，则f（x）=.设g（t）=？圯g′（t）=，易知t∈（-∞， -）时，g（t）递减；t∈（-，）时，g（t）递增；t∈（，+∞）时，g（t）递减.由于g（-）==-，故f（x）的最小值为-.解法四由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），则f 2 （x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cosx）（1+cosx）3.令t=cosx （-1≤t≤1），则g（t）=4（1-t）（1+t）3 （-1≤t≤1）.由g′（t）=4（1+t）2（2-4t），显然，当t∈（-1，）时，g（t）为增函数，t∈（， 1）时，g（t）为减函数，所以当t=时，gmax（t）= g（）=；当t=±1时，gmin（t）=g（±1）=0.因此，f 2 （x）≤？圯-≤f（x）≤，得f（x）的最小值为-.解法五由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），得：f 2 （x）=×（3-3cosx）（1+cosx）3≤×[]4.解法六由于y=sinx在（0，？仔）上是凸函数.于是f（x）=2sinx+sin2x=sin（？仔-x）+sin（？仔-x）+sin2x≤3sin=3sin=，当且仅当？仔-x=2x即x=时，取得最大值. 又因为f（x）是奇函数，得f （x）的最小值为-.3. 对2019年高考复习的启发过去的，就让它过去吧！总结过去，是为了更好地开创未来.看看2018年试题、想2019年备考我建议从以下几个方面入手：3. 1抓基础，无论你是按章节复习还是按知识块复习，理清知识脉络、掌握知识产生的顺序，从概念、定义、定理到性质了然于心，不留死角.3. 2 抓基本方法与常规技能，每一章节或每一知识块中的基本方法与常规技能都是确定的，什么方法针对什么问题、什么技能解决什么问题？做到心中有数，当我们面对常规问题时，可以做到快速“精准打击”.3. 3注重思想方法，强化解题过程.根据考查的能力类型与能力要求的层次，我们必须注重数学思想方法.要在基本数学思想方法（如：函数思想、数形结合思想、分类思想及化归思想）的传授上很下功夫.强化解题过程，特别关注解题过程中的思维能力、运算能力.3. 4以逻辑思维能力为核心，结合运算能力、推理能力与分析能力的特点.强化结合运算能力、推理能力与分析能力，特别关注“怎样想”，同时，一定保证当知道“怎么算”以后能产生正确答案；从图形的观察、分析、变换、抽象入手，培养学生的想象能力、抽象能力及提取解题信息的能力.3. 5关注高考的新动向、新变化，使复习具有针对性与有效性.该降低难度的一定要降低，绝不追求难与偏.3. 6抓定期回顾、注重再复习. 我们的复习很多时候是在和遗忘作斗争，事实上，如果我们的记忆真的很好，高二结束就完全可以参加高考且成绩一定不差. 对于一些典型问题、特殊方法我们做过或是用过之后，一定要定期复习，保证它真正成为你的.好了，该停笔了. 望你成为2019年的高考的福星、真正的高考幸运儿. 责任编辑徐国坚。

2018年高考全国Ⅰ卷理科数学试题分析

2018年高考全国Ⅰ卷理科数学试题分析2018年高考数学全国卷命题严格按照《考试大纲》的基本要求，立足于学科主干知识，突出学科能力的考查，同时注重数学应用，关注创新意识，渗透数学文化。

试卷整体难度较2017年略有降低，重视基础知识，试题内容灵活，设问新颖，稳中求新.1.注重基础，聚焦主干内容2018年高考数学试题，注重基础知识的考查，试题以容易题与中档题为主，其中容易题与中档题为主，同时注重通性通法的考查；聚焦高中数学主干知识，围绕主干内容加强对基本概念、基本思想方法和关键能力的考查，回归教材，以此引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学。

2.以能力立意，考查数学应用在一如既往重视基础知识和基本技能的同时，注重考查逻辑推理能力、应用能力、运算能力、空间想象能力、创新能力，强调对数学本质的理解。

试题从学科整体意义和数学素养的高度立意，重视通性通法，淡化特殊技巧，加强针对性，有效检测考生对数学知识中所蕴涵的数学思想方法的掌握程度。

第9、16、21题考查了函数与方程的思想，第7、9、10、16题考查了数形结合的思想，第21题考查了分类讨论思想。

试卷对结合生活实际的试题，考查学生从数学的角度对数据进行处理分析，突出数学思想方法的理解和运用。

如第3题，第15题，第20题，结合实际背景考查，考查学生的阅读理解能力，数学建模思想，分析问题、解决问题的能力，从数学模型解决生活生产中的实际问题。

第10题考查数学文化，第10题从古希腊数学家研究几何图形入手，借助几何概型弘扬传统数学文化。

3.适度创新，增加高考的新颖性创新是高考的生命线，今年高考在整体稳定的情况下，作出了一些变化：今年高考没有考查算法及程序框图、二项式定理，而增加了一道统计题及一道排列组合题；解答题中将统计与概率解答题与解析几何解答题位置互换。

在新课程改革全面推进的过程中，今年高考将没有考查到算法，也是预料之中，因为新课标将算法内容删去，而增加一道统计中的饼状图，增加数学试卷的应用性，更加体现高考的趋势。

2018年高考全国Ⅰ卷物理试题分析

2018年高考全国Ⅰ卷物理试题分析2018年高考试题落实了物理考试大纲的考核要求，经过一年的时间，前年的选考动量部分与必考部分充分融合。

近一步完善了完整物理体系，深化了内容改革，引导学生对于物理学科素养的培养。

试卷关注基本知识、基本技能考查，突出对学科能力考查，体现了物理学科素养。

一、落实考试大纲，考点实现融合2017年的高考物理卷必考部分由于要照顾新加入的知识，因此用了不少的篇幅去单独的考查3-5部分，对整个试卷知识结构造成了较大的冲击。

2018的高考卷知识考点就将3-5的知识与其他知识相融合。

24题能量观点和动量观点的完美结合；25题带电粒子在组合场的运动，其中选取的粒子也不在是千篇一律的（一个粒子质量为m、电量为q）虚构例子，二十选取了3-5中经常出现的原子核。

如此展现了一个完整的物理体系，实现了高中物理知识的融合，让学生脱离认识到所学习的物理模型只是一个模型，它是一类具有相同特征物体的缩影。

二、注重双基、加强能力测试14题考查匀变速直线运功动能与其他物理量的关系，是对基本概念的考查；16题考查矢量合成的平行四边形法则，属于高中物理的基本方法；15题是将分析的结果用物理图像表示，属于对基本技能的考查。

18、19、21三道选择题都对学生的推理能力和分析综合能力要求较高。

实验题23题对学生的实验能力考查的很到位。

整套试卷注重对双基考查，侧重提升学生的物理学科能力。

三、引用世界最新物理发现，培养学生物理学科素养20题选取最新探测出引力波为背景，选取高中学习的天体运动进行考查，这只是引力波中的冰山一角。

引力波是20世纪初，爱因斯坦创立相对论以后，根据当时的物理规律作出的预测，经过将近一个世纪的时间，他预言的引力波终于被探测出来。

考查的万有引力内容虽然对于引力波事件显得微不足道，但是却将物理的魅力展现的淋漓尽致。

由此来激发学生对物理的兴趣，培养学生的物理学科素养。

四、理论结合实际，展现物理的学科魅力14题以高铁启动这一现象背景考查匀变速运动中各个物理量之间的联系，让学生形成以物理的眼光看问题的习惯。

平凡题中考功力细节问处重导向——研读2018年高考数学卷全国卷Ⅰ有感

用数学知识解决问题能力的一种重要形式，而统计取间接信息（构成收入值）。试题具有实际生活背
概率内容来源于生活，具有丰富的生活背景，因此景，体现了数学源于生活的思想，体现了对 “在实统计与概率已成为高考应用题的不二选择。全国卷际问题情境中利用统计知识解决问题 ” 能力的重
法并重，知识与能力共存。试卷整体结构稳定，且情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收
不乏创新之处，不论是试题顺序的调整，还是试题入构成比例。得到如下饼图（见图１、２）：
产生活实际等密切相关的问题情境，考查考生灵活
分析：例１给出两张新农村建设前后农村的经
更是得到了充分的肯定，高考是我国选拔人才的主济收入构成比例饼图，要求考生能分别从两张饼图
要机制与重要依据，数学应用题便成为考查学生运获取直接信息（构成比例值），并经过简单计算获
据相当重要的位置。但考后的座谈会上，考生认为克拉底所研究的几何图形，
这一模块并不容易得分，尤其是第２０题，很多考此图由三个＿ｇ－圆构成，三个

二次曲线极点极线的定义与性质及其在高中解析几何问题中的应用

二次曲线极点极线的定义与性质及其在高中解析几何问题中的应用摘要：二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景。

本文通过对数道典型例题解析，阐述二次曲线极点极线的定义与性质，及其在高中解析几何问题，尤其是圆锥曲线定点定值问题中的应用。

关键字：二次曲线，极点极线，圆锥曲线，定点定值问题二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景。

下面以椭圆为例，引出二次曲线极点极线定义与若干性质。

已知椭圆，称点和直线为椭圆的一对极点极线，为的极线，为的极点。

①切线性质：若点在椭圆上，则椭圆在点处的切线就是的极线（与椭圆相切）；若点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则就是的极线（与椭圆相交）；若点在椭圆内，过点作任意直线交椭圆于两点，过分别为作椭圆的两条切线交于点，则点的轨迹就是的极线（与相离）；确定直线的极点可逆用上述方法。

②对偶性质：点的极线上任一点的极线必过；反之，过直线的极点的任一直线的极点必在上。

③焦点－准线性质：椭圆焦点及其对应准线为一对极点极线；椭圆的右准线上的一点对应的极线经过右焦点，且有。

④中点弦性质：以为中点的弦与的极线斜率相同。

⑤自极三角形性质：过点作两直线分别交椭圆于四点，即，设，，则形成三对极点极线：，，，称为椭圆的一个自极三角形。

⑥调和性质：过点作直线交椭圆于两点，交的极线于点，则有。

自极三角形射影性质上述定义及性质可推广至任意二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）：已知二次曲线，称点和直线为曲线的一对极点极线，为的极线，为的极点。

如：抛物线的一对极点极线是和。

例1（2010湖北文15）已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围是________，直线与椭圆的公共点的个数是________．解析：该题第二空中，点和直线恰为已知椭圆的一对极点极线，条件告诉我们点在椭圆内，故由性质①我们可以马上判断出直线与椭圆相离，即公共点个数为0。

18年高考数学

18年高考数学近年来，高考数学一直是考生关注的焦点。

在2018年的高考数学试卷中，考查了不少知识点，题型多样，涉及的内容丰富多样。

下面就我对2018年高考数学试卷的总结以及对一些题目的思考，进行一些简要的分析。

2018年高考数学试卷整体难度适中，难易程度相对平衡。

在选择题中，既有基础知识的考查，也有思维能力和解题技巧的考察，要求考生具备扎实的基础知识和较好的解题思路。

这样的题目设计既能考查考生对知识点的掌握程度，又能培养考生的综合运用能力。

值得注意的是，2018年高考数学试卷中的一些题目，不再强调思维定式和机械解题方法。

例如第一卷选择题第4题，本题考查了均值和中位数的关系，考生需要通过分析题目中给出的条件，灵活运用知识点进行推导和解题。

这类题目测试了考生对知识的理解和灵活运用能力。

另外，在第二卷的解答题中，也出现了一些应用题和思维题，要求考生具备较强的问题转化和解决问题的能力。

2018年高考数学试卷中的一些题目，考验了考生的思维能力和创新能力。

例如第一卷的选择题第9题，考察了数列的递推关系，要求考生通过分析已知的递推关系和求和公式，推导出数列的通项公式。

这类题目需要考生运用所学的数学知识来进行思考和推导，提高了考生的综合运用能力。

2018年高考数学试卷中的一些题目，考查了对数学实际应用的理解和应用能力。

例如第二卷解答题第13题，考察了空间中直线与平面的相交问题，要求考生能够在现实情景中找出数学问题，并加以分析和解决。

这类题目培养了考生的应用能力和实际问题解决能力，对培养学生的综合素质具有重要意义。

总的来说，2018年高考数学试卷在考查知识点的同时，也注重考查考生的综合能力和应用能力。

试题涉及的内容丰富多样，题型多样化，反映了数学与实际生活的紧密联系。

通过对2018年高考数学试卷的分析和思考，我们可以理解到数学的重要性和应用价值，同时也需要我们在学习过程中不断提高解题的能力和思维的灵活性。

希望广大考生在备战高考数学科目时，能够充分理解题意，运用所学知识灵活解题，提升解题能力，以取得理想的成绩。

二次曲线的若干优美性质r——2018年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考

二次曲线的若干优美性质r——2018年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考杨瑞强【摘要】2018年全国数学高考卷Ⅰ(文、理科)的解析几何试题是两道经典的试题,试题言简意赅,立意深刻,结论优美,值得深入研究.文章从3个疑惑出发,推广两道试题的结论,从而得出一般二次曲线的若干优美性质.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2018(000)009【总页数】4页(P47-48,封3-封4)【关键词】二次曲线;推广;优美性质【作者】杨瑞强【作者单位】黄石市第一中学,湖北黄石 435000【正文语种】中文【中图分类】O123.12018年全国数学高考卷Ⅰ(文、理科)的解析几何试题有一个共同特点：已知定点P(m,0)是圆锥曲线C:F(x,y)=0内一点，过点P的动直线与圆锥曲线C相交于点A，B,则存在点Q,使得∠AQP=∠BQP.1 试题呈现例1 设椭圆的右焦点为F，过点F的直线l与C交于点A，B，点M的坐标为(2,0).1)当l⊥x轴时，求直线AM的方程；2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.(2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第19题)例2 设抛物线C:y2=2x，点A(2,0)，B(-2,0)，过点A的直线l与C交于点M，N.1)当l⊥x轴时，求直线BM的方程；2)证明：∠ABM=∠ABN.(2018年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第20题)2 引发思考上述两道试题的第2)小题难度都不大，例1的第2)小题只需要证明kMA+kMB=0，即可知直线MA，MB的倾斜角互补，从而∠OMA=∠OMB；例2的第2)小题只需要证明kBM+kBN=0，即可知直线BM，BN的倾斜角互补，从而∠ABM=∠ABN.具体解答过程此处略.尽管圆锥曲线的模型不同，但是有着类似的结论，值得我们深入思考.例1和例2的第2)小题解答后，笔者产生了3个疑惑(以例1为例):1)如何知道存在使等角恒成立的定点M呢?如果要求点M的坐标，那么该怎么办?2)既然椭圆和抛物线有类似结论，那么圆和双曲线是否也有类似的结论？能否得到圆、椭圆、双曲线和抛物线的一般性结论？3)上述两道高考试题中的直线经过的定点都在曲线内部，如果定点在曲线外部，那么结论又如何？3 结论推广图1事实上，如果能够解决第一个疑惑，那么其他两个疑惑就迎刃而解了.实质上，如图1，设椭圆上的点A关于x轴对称的点为A′，则使∠OMA=∠OMB的点M就是动直线A′B恒过的定点，从而要证明动直线A′B经过定点M，只需通过求动直线A′B的方程就能确定点M的坐标了(详细过程参照下面定理2的证明).圆、椭圆、双曲线和抛物线都是对称的二次曲线，很多时候它们有着相同的性质.下面，我们带着上述3个疑惑进行探究，试着将此结论向圆、椭圆、双曲线和抛物线进行推广.图2 图3定理1 如图2和图3，已知⊙O:x2+y2=r2，过定点P(m,0)(其中m≠0且m≠r)的直线l与⊙O相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为A′，则直线A′B过定点证明设A(x1,y1)，B(x2,y2),点A关于x轴的对称点为A′(x1,-y1)，设直线AB：x=ky+m，则直线A′B的方程为(x2-x1)(y+y1)=(y2+y1)(x-x1).令y=0，得由得(k2+1)y2+2kmy+m2-r2=0，依题意有Δ>0，则从而因此直线A′B过定点推论1 如图4，已知⊙O:x2+y2=r2，过定点P(m,0)(其中0<|m|<r)的直线l与⊙O相交于点A,B，则存在定点使得∠AQP=∠BQP.证明设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x0,0),直线AB:x=ky+m，则∠AQP=∠BQP等价于于是由得(k2+1)y2+2kmy+m2-r2=0，依题意有Δ>0，则从而故存在定点使得∠AQP=∠BQP.图4 图5推论2 如图5，已知⊙O:x2+y2=r2，过定点P(m,0)(其中|m|>r)的直线l与⊙O 相交于点A,B，则存在定点使得∠AQP+∠BQP=180°.证明同推论1，这里不再赘述.值得说明的是：当定点P(m,0)在⊙O内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在⊙O 外时，∠AQP+∠BQP=180°.定理2[1] 如图6和图7，已知椭圆(其中a>b>0)，过定点P(m,0)(其中m≠0且|m|≠a)的直线l与椭圆C相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为A′，则直线A′B过定点图6 图7推论3[2] 如图8，已知椭圆(其中a>b>0)，过定点P(m,0)(其中0<|m|<a)的直线l与椭圆C相交于点A,B，则存在定点使得∠AQP=∠BQP.图8 图9推论4 如图9，已知椭圆(其中a>b>0)，过定点P(m,0)(其中|m|>a)的直线l与椭圆C相交于点A,B，则存在定点使得∠AQP+∠BQP=180°.证明同推论1，这里不再赘述.值得说明的是：当定点P(m,0)在椭圆C内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在椭圆C外时，∠AQP+∠BQP=180°.定理3 已知双曲线(其中a>0,b>0)，过定点P(m,0)(其中m≠0且|m|≠a)的直线l 与双曲线C相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为A′，则直线A′B过定点在这里，双曲线C的方程可以改写为与椭圆C的方程对比，发现只需将定理2推导过程中的b2换成-b2，便可证得此定理.推论5 已知双曲线(其中a>0,b>0)，过定点P(m,0)(其中|m|>a)的直线l与双曲线C的一支相交于点A,B，则存在定点使得∠AQP=∠BQP.推论6 已知双曲线(其中a>0,b>0)，过定点P(m,0)(其中0<|m|<a)的直线l与双曲线C的一支相交于点A,B，则存在定点使得∠AQP+∠BQP=180°.推论5和推论6的证明可仿照推论1、推论3，此处不再赘述.值得说明的是：当定点P(m,0)在双曲线C内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在双曲线C外时，∠AQP+∠BQP=180°.定理4 已知抛物线C:y2=2px(其中p>0)，过定点P(m,0)(其中m≠0)的动直线l 与抛物线C相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为A′，则直线A′B过定点Q(-m,0).证明设A(x1,y1)，B(x2,y2),点A关于x的对称点为A′(x1,-y1)，设直线AB:x=ky+m，则直线A′B的方程为(x2-x1)(y+y1)=(y2+y1)(x-x1)，令y=0，得由得y2-2pky-2pm=0，其中Δ=4p2k2+8pm>0，则y1y2=-2pm, y1+y2=2pk,从而因此直线A′B过定点Q(-m,0).推论7 已知抛物线C:y2=2px(其中p>0)，过定点P(m,0)的动直线l与抛物线C相交于点A,B，则存在点Q(-m,0)，使得∠AQP=∠BQP.推论8 已知抛物线C:y2=2px(其中p>0)，过定点P(m,0)(其中m<0)的动直线l与抛物线C相交于点A,B，则存在点Q(-m,0)，使得∠AQP+∠BQP=180°.推论7和推论8的证明可仿照推论1、推论3，此处不再赘述.值得说明的是：当定点P(m,0)在抛物线C内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在抛物线C外时，∠AQP+∠BQP=180°.下面给出一般性结论：定理5[3] 已知二次曲线Γ:Ax2+By2+Dx+F=0(其中A2+B2≠0,2Am+D≠0)，过定点P(m,0)的动直线与二次曲线Γ相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为A′，则直线A′B过定点推论9 若点P(m,0)是二次曲线Γ:Ax2+By2+Dx+F=0(其中A2+B2≠0,2Am+D≠0)内一定点，过点P的动直线与二次曲线Γ相交于点A,B，则存在点使得∠AQP=∠BQP.推论10 若点P(m,0)是二次曲线Γ:Ax2+By2+Dx+F=0(其中A2+B2≠0,2Am+D≠0)外一定点，过点P的动直线与二次曲线Γ相交于点A,B，则存在点使得∠AQP+∠BQP=180°.推论9和推论10的证明同上.值得说明的是：当定点P(m,0)在二次曲线Γ内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在二次曲线Γ外时，∠AQP+∠BQP=180°.参考文献【相关文献】[1] 张必平.一个定点问题的研究性学习[J].数学通报，2007(1)：51-53.[2] 杨瑞强.一道高考解析几何试题结论的推广[J].中学数学研究，2016(3):14-15.[3] 陈重阳.由一道考题引出一类二次曲线的等角性质[J].中学教研(数学),2011(2)：30-31.。

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二次曲线的若干优美性质∗２０１８年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考Ә杨瑞强㊀㊀(黄石市第一中学ꎬ湖北黄石㊀４３５０００)㊀㊀摘㊀要:２０１８年全国数学高考卷Ⅰ(文㊁理科)的解析几何试题是两道经典的试题ꎬ试题言简意赅ꎬ立意深刻ꎬ结论优美ꎬ值得深入研究.文章从３个疑惑出发ꎬ推广两道试题的结论ꎬ从而得出一般二次曲线的若干优美性质.关键词:二次曲线ꎻ推广ꎻ优美性质中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００４７￣０４㊀㊀２０１８年全国数学高考卷Ⅰ(文㊁理科)的解析几何试题有一个共同特点:已知定点Ｐ(ｍꎬ０)是圆锥曲线Ｃ:Ｆ(ｘꎬｙ)＝０内一点ꎬ过点Ｐ的动直线与圆锥曲线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.１㊀试题呈现例１㊀设椭圆Ｃ:ｘ２２＋ｙ２＝１的右焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与Ｃ交于点ＡꎬＢꎬ点Ｍ的坐标为(２ꎬ０).１)当ｌʅｘ轴时ꎬ求直线ＡＭ的方程ꎻ２)设Ｏ为坐标原点ꎬ证明:øＯＭＡ＝øＯＭＢ.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第１９题)例２㊀设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ点Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(－２ꎬ０)ꎬ过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交于点ＭꎬＮ.１)当ｌʅｘ轴时ꎬ求直线ＢＭ的方程ꎻ２)证明:øＡＢＭ＝øＡＢＮ.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第２０题)２㊀引发思考上述两道试题的第２)小题难度都不大ꎬ例１的第２)小题只需要证明ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝０ꎬ即可知直线㊀㊀ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１＝３(２ｘ２＋１)－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ２ｘ２＋１＝３－ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１ꎬ则ｇ(－ｘ)＝(－ｘ)２ｓｉｎ(－３ｘ)－６(－ｘ)２(－ｘ)２＋１＝－ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１＝－ｇ(ｘ)ꎬ所以函数ｇ(ｘ)为奇函数.设ｇ(ｘ)的最大值和最小值分别为Ｍᶄꎬｍᶄꎬ则Ｍᶄ＋ｍᶄ＝０.设函数ｆ(ｘ)的最大值为Ｍꎬ最小值为ｍꎬ则Ｍ＋ｍ＝(３－Ｍᶄ)＋(３－ｍᶄ)＝６－(Ｍᶄ＋ｍᶄ)＝６.点评㊀破解此类题的关键:一是巧妙变形ꎬ对所给函数的解析式进行适当变形ꎻ二是巧构函数ꎬ根据函数的解析式所具有的明显特征ꎬ巧妙构造函数ꎻ三是活用性质ꎬ即活用奇函数的性质ꎬ奇函数的图像关于原点对称ꎬ即可轻松求出最值.从以上３个角度可窥:对典型高考题从不同角度进行变式探究ꎬ是深化知识㊁提升能力的重要途径.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学(必修４)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１６.７４２０１８年第９期中学教研(数学)∗收文日期:２０１８￣０６￣１２ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０８作者简介:杨瑞强(１９７９－)ꎬ男ꎬ湖北黄冈人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.ＭＡꎬＭＢ的倾斜角互补ꎬ从而øＯＭＡ＝øＯＭＢꎻ例２的第２)小题只需要证明ｋＢＭ＋ｋＢＮ＝０ꎬ即可知直线ＢＭꎬＢＮ的倾斜角互补ꎬ从而øＡＢＭ＝øＡＢＮ.具体解答过程此处略.尽管圆锥曲线的模型不同ꎬ但是有着类似的结论ꎬ值得我们深入思考.例１和例２的第２)小题解答后ꎬ笔者产生了３个疑惑(以例１为例):１)如何知道存在使等角恒成立的定点Ｍ呢?如果要求点Ｍ的坐标ꎬ那么该怎么办?２)既然椭圆和抛物线有类似结论ꎬ那么圆和双曲线是否也有类似的结论?能否得到圆㊁椭圆㊁双曲线和抛物线的一般性结论?３)上述两道高考试题中的直线经过的定点都在曲线内部ꎬ如果定点在曲线外部ꎬ那么结论又如何?３㊀结论推广图１事实上ꎬ如果能够解决第一个疑惑ꎬ那么其他两个疑惑就迎刃而解了.实质上ꎬ如图１ꎬ设椭圆Ｃ:ｘ２２＋ｙ２＝１上的点Ａ关于ｘ轴对称的点为Ａᶄꎬ则使øＯＭＡ＝øＯＭＢ的点Ｍ就是动直线ＡᶄＢ恒过的定点ꎬ从而要证明动直线ＡᶄＢ经过定点Ｍꎬ只需通过求动直线ＡᶄＢ的方程就能确定点Ｍ的坐标了(详细过程参照下面定理２的证明).圆㊁椭圆㊁双曲线和抛物线都是对称的二次曲线ꎬ很多时候它们有着相同的性质.下面ꎬ我们带着上述３个疑惑进行探究ꎬ试着将此结论向圆㊁椭圆㊁双曲线和抛物线进行推广.图２图３定理１㊀如图２和图３ꎬ已知☉Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝ｒ２ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中ｍʂ０且ｍʂｒ)的直线ｌ与☉Ｏ相交于点ＡꎬＢꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点为Ａᶄꎬ则直线ＡᶄＢ过定点Ｑｒ２ｍꎬ０æèçöø÷.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点为Ａᶄ(ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬ设直线ＡＢ:ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬ则直线ＡᶄＢ的方程为(ｘ２－ｘ１)(ｙ＋ｙ１)＝(ｙ２＋ｙ１)(ｘ－ｘ１).令ｙ＝０ꎬ得ｘＱ＝ｘ２－ｘ１ｙ２＋ｙ１ｙ１＋ｘ１＝ｙ１ｘ２＋ｙ２ｘ１ｙ１＋ｙ２＝ｙ２(ｋｙ１＋ｍ)＋ｙ１(ｋｙ２＋ｍ)ｙ１＋ｙ２＝２ｋｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｍ.由ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬｘ２＋ｙ２＝ｒ２ꎬ{得(ｋ２＋１)ｙ２＋２ｋｍｙ＋ｍ２－ｒ２＝０ꎬ依题意有Δ>０ꎬ则ｙ１ｙ２＝ｍ２－ｒ２ｋ２＋１ꎬ㊀ｙ１＋ｙ２＝－２ｋｍｋ２＋１ꎬ从而㊀ｘＱ＝２ｋｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｍ＝２ｋｍ２－ｒ２ｋ２＋１－２ｋｍｋ２＋１＋ｍ＝ｒ２ｍꎬ因此直线ＡᶄＢ过定点Ｑｒ２ｍꎬ０æèçöø÷.推论１㊀如图４ꎬ已知☉Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝ｒ２ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中０<｜ｍ｜<ｒ)的直线ｌ与☉Ｏ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在定点Ｑｒ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｘ０ꎬ０)ꎬ直线ＡＢ:ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬ则øＡＱＰ＝øＢＱＰ等价于ｋＡＱ＋ｋＢＱ＝ｙ１ｘ１－ｘ０＋ｙ２ｘ２－ｘ０＝０ꎬ于是㊀ｘ０＝ｘ２－ｘ１ｙ２＋ｙ１ｙ１＋ｘ１＝ｙ１ｘ２＋ｙ２ｘ１ｙ１＋ｙ２＝ｙ２(ｋｙ１＋ｍ)＋ｙ１(ｋｙ２＋ｍ)ｙ１＋ｙ２＝２ｋｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｍ.由ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬｘ２＋ｙ２＝ｒ２ꎬ{得８４中学教研(数学)２０１８年第９期(ｋ２＋１)ｙ２＋２ｋｍｙ＋ｍ２－ｒ２＝０ꎬ依题意有Δ>０ꎬ则ｙ１ｙ２＝ｍ２－ｒ２ｋ２＋１ꎬ㊀ｙ１＋ｙ２＝－２ｋｍｋ２＋１ꎬ从而㊀ｘ０＝２ｋｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｍ＝２ｋｍ２－ｒ２ｋ２＋１－２ｋｍｋ２＋１＋ｍ＝ｒ２ｍꎬ故存在定点Ｑｒ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.图４图５推论２㊀如图５ꎬ已知☉Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝ｒ２ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中｜ｍ｜>ｒ)的直线ｌ与☉Ｏ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在定点Ｑｒ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.证明同推论１ꎬ这里不再赘述.值得说明的是:当定点Ｐ(ｍꎬ０)在☉Ｏ内时ꎬøＡＱＰ＝øＢＱＰꎻ当定点Ｐ(ｍꎬ０)在☉Ｏ外时ꎬøＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.定理２[１]㊀如图６和图７ꎬ已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中ｍʂ０且｜ｍ｜ʂａ)的直线ｌ与椭圆Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点为Ａᶄꎬ则直线ＡᶄＢ过定点Ｑａ２ｍꎬ０æèçöø÷.图６图７推论３[２]㊀如图８ꎬ已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中０<｜ｍ｜<ａ)的直线ｌ与椭圆Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在定点Ｑａ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.图８图９推论４㊀如图９ꎬ已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中｜ｍ｜>ａ)的直线ｌ与椭圆Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在定点Ｑａ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.证明同推论１ꎬ这里不再赘述.值得说明的是:当定点Ｐ(ｍꎬ０)在椭圆Ｃ内时ꎬøＡＱＰ＝øＢＱＰꎻ当定点Ｐ(ｍꎬ０)在椭圆Ｃ外时ꎬøＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.定理３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中ｍʂ０且｜ｍ｜ʂａ)的直线ｌ与双曲线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点为Ａᶄꎬ则直线ＡᶄＢ过定点Ｑａ２ｍꎬ０æèçöø÷.在这里ꎬ双曲线Ｃ的方程可以改写为ｘ２ａ２＋ｙ２－ｂ２＝１ꎬ与椭圆Ｃ的方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１对比ꎬ发现只需将定理２推导过程中的ｂ２换成－ｂ２ꎬ便可证得此定理.推论５㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中｜ｍ｜>ａ)的直线ｌ与双曲线Ｃ的一支相交于点ＡꎬＢꎬ则存在定点Ｑａ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.推论６㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中０<｜ｍ｜<ａ)的直线ｌ与双曲线Ｃ的一支相交于点ＡꎬＢꎬ则存在定点２０１８年第９期中学教研(数学)Ｑａ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.推论５和推论６的证明可仿照推论１㊁推论３ꎬ此处不再赘述.值得说明的是:当定点Ｐ(ｍꎬ０)在双曲线Ｃ内时ꎬøＡＱＰ＝øＢＱＰꎻ当定点Ｐ(ｍꎬ０)在双曲线Ｃ外时ꎬøＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.定理４㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(其中ｐ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中ｍʂ０)的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点为Ａᶄꎬ则直线ＡᶄＢ过定点Ｑ(－ｍꎬ０).证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ点Ａ关于ｘ的对称点为Ａᶄ(ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬ设直线ＡＢ:ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬ则直线ＡᶄＢ的方程为(ｘ２－ｘ１)(ｙ＋ｙ１)＝(ｙ２＋ｙ１)(ｘ－ｘ１)ꎬ令ｙ＝０ꎬ得ｘＱ＝ｘ２－ｘ１ｙ２＋ｙ１ｙ１＋ｘ１＝ｙ１ｘ２＋ｙ２ｘ１ｙ１＋ｙ２＝ｙ２(ｋｙ１＋ｍ)＋ｙ１(ｋｙ２＋ｍ)ｙ１＋ｙ２＝２ｋｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｍ.由ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬｙ２＝２ｐｘꎬ{得ｙ２－２ｐｋｙ－２ｐｍ＝０ꎬ其中Δ＝４ｐ２ｋ２＋８ｐｍ>０ꎬ则ｙ１ｙ２＝－２ｐｍꎬ㊀ｙ１＋ｙ２＝２ｐｋꎬ从而㊀ｘＱ＝２ｋｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｍ＝２ｋ (－２ｐｍ)２ｐｋ＋ｍ＝－ｍꎬ因此直线ＡᶄＢ过定点Ｑ(－ｍꎬ０).推论７㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(其中ｐ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑ(－ｍꎬ０)ꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.推论８㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(其中ｐ>０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)(其中ｍ<０)的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑ(－ｍꎬ０)ꎬ使得øＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.推论７和推论８的证明可仿照推论１㊁推论３ꎬ此处不再赘述.值得说明的是:当定点Ｐ(ｍꎬ０)在抛物线Ｃ内时ꎬøＡＱＰ＝øＢＱＰꎻ当定点Ｐ(ｍꎬ０)在抛物线Ｃ外时ꎬøＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.下面给出一般性结论:定理５[３]㊀已知二次曲线Γ:Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｄｘ＋Ｆ＝０(其中Ａ２＋Ｂ２ʂ０ꎬ２Ａｍ＋Ｄʂ０)ꎬ过定点Ｐ(ｍꎬ０)的动直线与二次曲线Γ相交于点ＡꎬＢꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点为Ａᶄꎬ则直线ＡᶄＢ过定点Ｑ－Ｄｍ＋２Ｆ２Ａｍ＋Ｄꎬ０æèçöø÷.推论９㊀若点Ｐ(ｍꎬ０)是二次曲线Γ:Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｄｘ＋Ｆ＝０(其中Ａ２＋Ｂ２ʂ０ꎬ２Ａｍ＋Ｄʂ０)内一定点ꎬ过点Ｐ的动直线与二次曲线Γ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑ－Ｄｍ＋２Ｆ２Ａｍ＋Ｄꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.推论１０㊀若点Ｐ(ｍꎬ０)是二次曲线Γ:Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｄｘ＋Ｆ＝０(其中Ａ２＋Ｂ２ʂ０ꎬ２Ａｍ＋Ｄʂ０)外一定点ꎬ过点Ｐ的动直线与二次曲线Γ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑ－Ｄｍ＋２Ｆ２Ａｍ＋Ｄꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.推论９和推论１０的证明同上.值得说明的是:当定点Ｐ(ｍꎬ０)在二次曲线Γ内时ꎬøＡＱＰ＝øＢＱＰꎻ当定点Ｐ(ｍꎬ０)在二次曲线Γ外时ꎬøＡＱＰ＋øＢＱＰ＝１８０ʎ.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀张必平.一个定点问题的研究性学习[Ｊ].数学通报ꎬ２００７(１):５１￣５３.[２]㊀杨瑞强.一道高考解析几何试题结论的推广[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０１６(３):１４￣１５.[３]㊀陈重阳.由一道考题引出一类二次曲线的等角性质[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１１(２):３０￣３１.中国标准连续出版物号:ＩＳＳＮ１００３－６４０７ＣＮ３３－１０６９/Ｇ４㊀㊀邮发代号㊀３２－１７㊀㊀字数㊀１０００００㊀㊀定价㊀５.００元。