高教五版高数(经济类)复合函数和隐函数的偏导数随堂讲义
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经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
19
2017年4月14日星期五
定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
2017年4月14日星期五
这性质叫做全微分形式不变性.
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
隐函数的偏导数课件
约束条件下的最优化
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可 以将微分方程转化为代数方程组，从 而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳 定性，例如判断系统是否会趋于稳定 或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计 算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步 骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求 解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏 导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研 究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来 可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某 个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个 二元函数。
隐函数与偏导数的应用
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可 以将微分方程转化为代数方程组，从 而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳 定性，例如判断系统是否会趋于稳定 或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计 算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步 骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求 解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏 导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研 究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来 可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某 个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个 二元函数。
隐函数与偏导数的应用
高教五版高数(经济类)高阶导数随堂讲义
24 x , x 0 f ( x) 12 x , x 0
不存在 .
2
2 x3 0 (0) lim f 0 x x 0 4x3 0 (0) lim f 0 x x 0 2 6 x 又 f (0) lim 0 x x 0 12 x 2 (0) lim 0 f x x 0
v
y
( 20)
(k )
0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
2 e
20 2 x
x
2
20 19 18 2 x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
19 2 x
2017年4月15日星期六
15
内容小 结 1. 复习基本求导法则与导数公式
2. 高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (3) 间接法 (2) 利用归纳法
若 为自然数 ，则 n
( n 1)
y
(n)
( x ) n! ,
n (n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
2017年4月15日星期六
11
例6 设 解:
(n) y .（补充题） y e sin bx ( a , b 为常数 ) , 求
ax
y ae a x sin bx be a x cos bx e a x ( a sin b x b cos b x )
n
3
(3)
x y 1 x
解:
y
2017年4月15日星期六
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
18
2. 设
f ( x) 3x x x ,
2
3
2
求使
不存在 .
2
2 x3 0 (0) lim f 0 x x 0 4x3 0 (0) lim f 0 x x 0 2 6 x 又 f (0) lim 0 x x 0 12 x 2 (0) lim 0 f x x 0
v
y
( 20)
(k )
0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
2 e
20 2 x
x
2
20 19 18 2 x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
19 2 x
2017年4月15日星期六
15
内容小 结 1. 复习基本求导法则与导数公式
2. 高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (3) 间接法 (2) 利用归纳法
若 为自然数 ，则 n
( n 1)
y
(n)
( x ) n! ,
n (n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
2017年4月15日星期六
11
例6 设 解:
(n) y .（补充题） y e sin bx ( a , b 为常数 ) , 求
ax
y ae a x sin bx be a x cos bx e a x ( a sin b x b cos b x )
n
3
(3)
x y 1 x
解:
y
2017年4月15日星期六
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
18
2. 设
f ( x) 3x x x ,
2
3
2
求使
复合函数及隐函数求导
2x x2 y2
z y
z u
u y
z v
v y
eu ln v
x
eu 1 v
2y
xe xy
ln( x2
y2)
2y x2 y2
说明：
1. 在定理1中,对 z f (u,v) 若u ( x),v ( x)，
则复合函数z f [ ( x), ( x)]是x的函数，
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zuf f,22f12yf
2 2 f u v
u
x
简单表示为 z v
x
此时z对x的导数称为全导数，
且有 dz z du z dv dx u dx v dx
例2 求y (sin x)cos x的导数 dy . dx
解 令 u sin x, v cos x 则 y uv，
dy dx
y u
du dx
y v
解 z z u F (u) 2 x x u x
u
x y
2xF( x2 y2 )
zy
y
z
y
z u f u y y
F (u)(2 y) 1
1 2 yF( x2 y2 )
3. 定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的情形 例如，设z f (u,v, w)具有连续偏导数，
xy
例4 设u x2 y2 z2 , x s2 t 2 , y s2 t 2 , s
演示文稿复合函数与隐函数的偏导数
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析 在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
高数-复合函数和隐函数的求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x
z y
z u
u y
z v
v . y
称为标准法则或 2 2 法则
这个公式的特征：
⑴函数 z f [u(x, y),v(x, y)]有两个自变量 x 和 y
复合函数求导法则
先回忆一下一元复合函数的微分法则
若y f (u)而u ( x)可导 则复合函数
y f [( x)] 对 x 的导数为 dy dy du
dx du dx
这一节我们将把这一求导法则推广到多元 函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和 隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元 函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用 的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函 数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数
如 z f ( x2 y2, xy) 它是由 z f (u,v)
及u x2 y2,v xy 复合而成的
由于 f 没有具体给出 在求 z , z 时
x y
一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法。
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合 函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
《隐函数的偏导数》课件
03
在工程学中，偏导数可以用来 优化设计，例如机械设计、建 筑设计等。
未来研究方向
01
02
随着科学技术的不断发展，偏导数的研究也在不断深入。未来，偏导 数可能会在更广泛的领域得到应用，例如人工智能、机器学习等。
未来研究的方向可能包括如何更好地理解偏导数的性质和行为，如何 将偏导数的理论应用到实际问题中，以及如何将偏导数与其他数学工 具相结合，以更好地解决实际问题。
THANKS
隐函数的偏导数可以用来求解函数的 极值问题。
详细描述
通过求解偏导数等于0的点，可以找 到函数可能的极值点，再进一步分析 这些点的函数值来确定是否为极值点 。
04
实际应用举例
经济模型中的应用
隐函数的偏导数在经济模型中有着广泛的应用，例如在研究供需关系、价格形成机制、成本最小化等 问题时，需要用到隐函数的偏导数来求解最优化问题。
《隐函数的偏导数》ppt课件
目录
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数在几何上的意义 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
03
隐函数
如果一个函数$y$在某种条件下，只能通 过另一个函数$x$来表示，则称$y$为隐 函数。
举例
$z = f(x, y)$，当$z = 0$时，$y$就是关 于$x$的隐函数。
链式法则的应用
链式法则在计算复合函数的导数时非常有用，特别是当内层 函数和外层函数都比较复杂时。通过链式法则，我们可以将 复合函数的导数分解为两个步骤：先对内层函数求导，再对 外层函数求导，然后将两个导数相乘。
隐函数求导法则
隐函数求导法则
对于一个由$y=f(x)$定义的隐函数，其导数可以通过对等式两边同时对$x$求导得到。具体来说，如 果$y=f(x)$，则$frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}f(x)$。
高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数
复杂函数 求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求 在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数
高数第五版2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数+资料
(t )
即
d2 dx
y
2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
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例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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在方程
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
复合函数与隐函数的偏导数
1 z 1 z z
x
x
y y
y2 .
提示 引入中间变量,
令t x2 y2 ,则 z y
f (t)
t, y 为中间变量, x,Байду номын сангаасy 为自变量.
都在点( x, y)处具有三对 个中x和 间变y的量偏 两个导自数变,量复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在,
且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
u
x
z
v
z y
z u u y
(cos x)1sin x [ln cos x tan 2 x]
6
多元复合函数的求导法则
两个中间变量
两个自变量
2. z f (u, v), u ( x, y), v ( x, y)的情形.
复合函数为 z f [ ( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
5
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x求)sin x , dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数,
可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二
令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
x
v
vuv1 ( sin x) uv ln u(cos x)
z v v y
z w
w y
w
y
10
多元复合函数的求导法则
高教五版高数经济类空间曲面及其方程多元函数随堂讲解.ppt
自由向量:
与起点无关的向量.
起点为原点的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
零向量:
模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2 ,
或 a ,
*
*
规定: 零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,
则称 a 与 b 平行,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例9 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面）
(旋转单叶双曲面）
*
*
5、二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)
（a、b、c 是正数）
*
*
内容小结
1. 空间曲面
三元方程
球面
旋转曲面
如, 曲线
与起点无关的向量.
起点为原点的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
零向量:
模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2 ,
或 a ,
*
*
规定: 零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,
则称 a 与 b 平行,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例9 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面）
(旋转单叶双曲面）
*
*
5、二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)
（a、b、c 是正数）
*
*
内容小结
1. 空间曲面
三元方程
球面
旋转曲面
如, 曲线
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.3 隐函数及参数方程确定的函数的导数
4
=
3
方法二.
=
2
2
所以
=
∙
=
32
= −
=
−3 2
1
′
′
= − ∙
( ) = − ∙
4
− 2
=
=
=
2
2
3
却不是这样．例如，方程 + 3 − 10 = 0也表示一个函数．像这样函数与自变量
的关系由二元方程(, ) = 0所确定的函数，我们称为隐函数．例如下面方程都表
示隐函数：(1) 2 + 2 − 4 = 0 ； (2) + + = 0； (3) − + − 6 = 0等．
即
′ =
) .
( ∙ − ∙
三、参数方程所确定的函数的导数
在解析几何中参数方程
= ()
ቊ
= ()
可以确定一个以 为自变量， 为因变量的函数.
设 = ()在某区间内单调，从而有反函数 = −1 ().因此，由
2 3
3 3+1
( − 2) .
1 1
+
3 −2
,
1 1
)
3 −2
,
+
1
−1
3 + 1 2 ( − 2)(
1
3
+
,
2
3+1
+
1 1
)
3 −2
.
形如 = () () 的函数叫做幂指函数.它的特征是：底数与
=
3
方法二.
=
2
2
所以
=
∙
=
32
= −
=
−3 2
1
′
′
= − ∙
( ) = − ∙
4
− 2
=
=
=
2
2
3
却不是这样．例如，方程 + 3 − 10 = 0也表示一个函数．像这样函数与自变量
的关系由二元方程(, ) = 0所确定的函数，我们称为隐函数．例如下面方程都表
示隐函数：(1) 2 + 2 − 4 = 0 ； (2) + + = 0； (3) − + − 6 = 0等．
即
′ =
) .
( ∙ − ∙
三、参数方程所确定的函数的导数
在解析几何中参数方程
= ()
ቊ
= ()
可以确定一个以 为自变量， 为因变量的函数.
设 = ()在某区间内单调，从而有反函数 = −1 ().因此，由
2 3
3 3+1
( − 2) .
1 1
+
3 −2
,
1 1
)
3 −2
,
+
1
−1
3 + 1 2 ( − 2)(
1
3
+
,
2
3+1
+
1 1
)
3 −2
.
形如 = () () 的函数叫做幂指函数.它的特征是：底数与
高教五版高数(经济类)函数随堂讲解
函数的二个基本要素是
（2）对应法则 f
注意：定义域与对应法则决定了值域. 为此，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，
则为同一函数， 否则，就是不同的函数.
2021/1/25
18
函数的定义域
函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是在实 际问题中，根据实际意义确定.
例如，在球的体积V 与半径 R 的函数关系V 4 πR3 中， 3
A B
B A
A\B AB
有时我们所研究的集合A，B都是
集合的I 子集，此时，称集合为全集 或基本集， 称I \ A 为的余集或补集，
IAAC记作 NhomakorabeaAC .
2021/1/25
7
4. 集合的运算规律
设A 、B 、C 为任意3个集合，则集合的交、并、余运算满足下列 运算规律：
交换律 结合律 分配律
对偶律
2021/1/25
19
函数的表示方法 解析法 、图象法 、列表法
常见的函数有我们中学数学里学过的常函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数、反三角函数等.
下面再举几个函数的例子：
例1 取整函数
设 x 为任一实数，不超过 x 的
最大整数称为 x 的整数部分，
记作[x] .例如,
1 3
0
，
3 ， 1 1 ， 3.5 4 .
y
在区间 I 上是 单调增加的 ;
若 f(x1)f(x2)， 称 f (x)
在区间I 上是 单调减少的 .
O
2021/1/25
y f (x)
f (x2 )
f ( x1)
x
I
y f (x)
f ( x1) f (x2 )
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y y y f xy e fu xe fuu e fuy xe f xu y
2017年4月15日星期六
10
例5 设
求
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w , . x x z
解: 令
w
则
w f (u , v ) w f 2 y z x
2ln x sin x
dz z du z dv 2u v 1 2e e 2u v (1) cos x dx u dx v dx x 2ln x sin x 2 e ( cos x). x
2017年4月15日星期六
8
z z 例 2 设 z (3x y ) ,求 , . x y v 2 2 解 设 u 3x y ， v 4 x 2 y ，则 z u ，可得 u v u v z z v v 1 6 x, 2 y, 4, 2. v u , u ln u ， x x y y u v z 则 v u v 1 6 x u v ln u 4 x
第六章
第三节 复合函数和隐函数的偏导数
一、复合函数的偏导数 二、隐函数的偏导数 三、小结与思考练习
2017年4月15日星期六
1
复习引入
一元复合函数
求导法则
微分法则
推广
多元复合函数的求导法则和微分法则
2017年4月15日星期六
2
一、复合函数பைடு நூலகம்偏导数
定理1 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数
2017年4月15日星期六
14
内容小 结 1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 例如, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
u
; 1
2
x y v x y
2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u ( u , v ) d u f v (u , v ) d v
所以,
z z 1 e z y x xe z y x dz dx dy dx dy . z yx x y 1 xe
2017年4月15日星期六
22
内容小 结
1. 隐函数存在定理
2. 隐函数 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式
满足
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
2017年4月15日星期六
20
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
Fx z x Fz
同样可得
0
2017年4月15日星期六
21
例6 设 z f ( x, y) 是由方程 z y x xe 所确定的二元函数,求 dz .
z f (u , v )
且有链式法则
z
u
证: 设 t 取增量△t , 有增量△u ,△v , 则相应中间变量
v
t
t
z z z u v o ( ) u v
2017年4月15日星期六
3
o( ) 2 2 ( ( u ) ( v) ) t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
t z f ( t, t ) 2 z du z dv dz 1 0 1 0 1 0 u d t v d t dt 2
2017年4月15日星期六
5
推广:
设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u , v, w) ,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
w x z
2
x y zx y z
( x y z, x y z ) y z f2
x y f12
y f 2 x y 2 z f 22
x y f 22
, 为简便起见 引入记号 f11 y( x z ) f12
2017年4月15日星期六
例如，
(uv) (uv) d(uv) du dv vdu udv. u v
以上其余两个公式的证明类似. 利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算 更简便.
2017年4月15日星期六
13
x 例 6 求u 2 的全微分及偏导数. 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2)dx xd(2 2 2 22 2) 2 ( x y z x y z ( x y z )d x x d( x y z ) ( x y z )d x x d( x y z ) 解： du d u d u＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2) 2 ( x y z ( x y z ) (x y z )
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
2017年4月15日星期六
z
u v
x
y x
y
6
又如, z f ( x, v ) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
u ( t ) , v ( t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z
u v w
t t t
z f (u , v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
z 续偏导数，求 . x y z u y f u f x e f u f x ， 解 x x
2
2 z u u y y fuy ) f xu f xy e fu e ( fuu xy y y
2 2 4 x 2 y
6x(4x 2 y)(3x2 y 2 )4 x2 y1 4(3x2 y2 )4 x2 y ln(3x2 y2 ).
z v 1 v v u 2 y u ln u 2 y
2 y(4x 2 y)(3x y )
2
课后练习
2017年4月15日星期六
习题6－3
15
二、隐函数的偏导数
本节讨论 :
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 及求导方法问题 .
2017年4月15日星期六
研究其连续性、可微性
17
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月15日星期六
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
课后练习
思考练习
2017年4月15日星期六
习题6－3
1. 设
求
23
解法1:
•
•
•
2017年4月15日星期六
24
解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
d z f1 dx d y dz f 2 y z dx xz d y x y d z
11
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
2017年4月15日星期六
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
2017年4月15日星期六
2 4 x 2 y 1
2(3x y )
2
2 4 x2 y
ln(3x y ).
2 2
9
例 3 设 z xy u ,其中 u ( x, y) 具有二阶连续偏 导数，求 z x , zxx , zxy . u 2u 2u z 解 ， z ， z . x y xx xy 1 2 x x xy y 例 4 设 z f (u, x, y) , u xe , 其中 f 具有二阶连
u 2 xz u y 2 z 2 x 2 u u vdu udv 2 xy d(uv) udv vdu , d 22 2 (v 0). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v z ( x y z ) x ( x y z ) y ( x y z )
o( )
z
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
( 全导数公式 )
2017年4月15日星期六
4
说明:
若定理中 则定理结论不一定成立.
偏导数连续减弱为
偏导数存在,
2017年4月15日星期六
10
例5 设
求
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w , . x x z
解: 令
w
则
w f (u , v ) w f 2 y z x
2ln x sin x
dz z du z dv 2u v 1 2e e 2u v (1) cos x dx u dx v dx x 2ln x sin x 2 e ( cos x). x
2017年4月15日星期六
8
z z 例 2 设 z (3x y ) ,求 , . x y v 2 2 解 设 u 3x y ， v 4 x 2 y ，则 z u ，可得 u v u v z z v v 1 6 x, 2 y, 4, 2. v u , u ln u ， x x y y u v z 则 v u v 1 6 x u v ln u 4 x
第六章
第三节 复合函数和隐函数的偏导数
一、复合函数的偏导数 二、隐函数的偏导数 三、小结与思考练习
2017年4月15日星期六
1
复习引入
一元复合函数
求导法则
微分法则
推广
多元复合函数的求导法则和微分法则
2017年4月15日星期六
2
一、复合函数பைடு நூலகம்偏导数
定理1 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数
2017年4月15日星期六
14
内容小 结 1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 例如, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
u
; 1
2
x y v x y
2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u ( u , v ) d u f v (u , v ) d v
所以,
z z 1 e z y x xe z y x dz dx dy dx dy . z yx x y 1 xe
2017年4月15日星期六
22
内容小 结
1. 隐函数存在定理
2. 隐函数 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式
满足
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
2017年4月15日星期六
20
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
Fx z x Fz
同样可得
0
2017年4月15日星期六
21
例6 设 z f ( x, y) 是由方程 z y x xe 所确定的二元函数,求 dz .
z f (u , v )
且有链式法则
z
u
证: 设 t 取增量△t , 有增量△u ,△v , 则相应中间变量
v
t
t
z z z u v o ( ) u v
2017年4月15日星期六
3
o( ) 2 2 ( ( u ) ( v) ) t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
t z f ( t, t ) 2 z du z dv dz 1 0 1 0 1 0 u d t v d t dt 2
2017年4月15日星期六
5
推广:
设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u , v, w) ,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
w x z
2
x y zx y z
( x y z, x y z ) y z f2
x y f12
y f 2 x y 2 z f 22
x y f 22
, 为简便起见 引入记号 f11 y( x z ) f12
2017年4月15日星期六
例如，
(uv) (uv) d(uv) du dv vdu udv. u v
以上其余两个公式的证明类似. 利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算 更简便.
2017年4月15日星期六
13
x 例 6 求u 2 的全微分及偏导数. 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2)dx xd(2 2 2 22 2) 2 ( x y z x y z ( x y z )d x x d( x y z ) ( x y z )d x x d( x y z ) 解： du d u d u＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2) 2 ( x y z ( x y z ) (x y z )
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
2017年4月15日星期六
z
u v
x
y x
y
6
又如, z f ( x, v ) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
u ( t ) , v ( t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z
u v w
t t t
z f (u , v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
z 续偏导数，求 . x y z u y f u f x e f u f x ， 解 x x
2
2 z u u y y fuy ) f xu f xy e fu e ( fuu xy y y
2 2 4 x 2 y
6x(4x 2 y)(3x2 y 2 )4 x2 y1 4(3x2 y2 )4 x2 y ln(3x2 y2 ).
z v 1 v v u 2 y u ln u 2 y
2 y(4x 2 y)(3x y )
2
课后练习
2017年4月15日星期六
习题6－3
15
二、隐函数的偏导数
本节讨论 :
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 及求导方法问题 .
2017年4月15日星期六
研究其连续性、可微性
17
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月15日星期六
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
课后练习
思考练习
2017年4月15日星期六
习题6－3
1. 设
求
23
解法1:
•
•
•
2017年4月15日星期六
24
解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
d z f1 dx d y dz f 2 y z dx xz d y x y d z
11
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
2017年4月15日星期六
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
2017年4月15日星期六
2 4 x 2 y 1
2(3x y )
2
2 4 x2 y
ln(3x y ).
2 2
9
例 3 设 z xy u ,其中 u ( x, y) 具有二阶连续偏 导数，求 z x , zxx , zxy . u 2u 2u z 解 ， z ， z . x y xx xy 1 2 x x xy y 例 4 设 z f (u, x, y) , u xe , 其中 f 具有二阶连
u 2 xz u y 2 z 2 x 2 u u vdu udv 2 xy d(uv) udv vdu , d 22 2 (v 0). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v z ( x y z ) x ( x y z ) y ( x y z )
o( )
z
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
( 全导数公式 )
2017年4月15日星期六
4
说明:
若定理中 则定理结论不一定成立.
偏导数连续减弱为
偏导数存在,