高考数学复习点拨 两点两线及其关系
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两点两线及其关系
抛物线的焦点，顶点、准线、对称轴是抛物线的四个基本几何元素，我们称之为抛物线的两点（焦点和项点）两线（准线和对称轴）．这四个元素之间有着内在的联系，如：焦点和顶点的连线就是对称轴，并且与准线垂直；由焦点到准线的垂线段的中点就是顶点等，利用这些关系可以解决很多抛物线的问题，尤其是顶点不在坐标原点，焦点不在对称轴上的抛物线．以下举例说明．
例1已知抛物线的焦点是(11)
F，，准线方程是20
x y
++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．
解：设()
P x y
，是抛物线上的任意一点，
=．
整理，得222880
x y xy x y
+---=，此即为所求抛物线的方程．
抛物线的对称轴应是过焦点(11)
F，且与准线20
x y
++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x
=．
设对称轴与准线的交点为M，可求得(11)
M--
，，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)
，．
例2抛物线的顶点坐标是(10)
A，，准线l的方程是220
x y
--=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．
解：依题意，抛物线的对称轴方程为220
x y
+-=．
设对称轴和准线的交点是M，可以求得
62
55
M
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点坐标为
42
55
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，．
再设()
P x y
，是抛物线上的任一点，
化简整理得22
444120
x y xy x y
++--=，即为所求抛物线的方程．。