2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析

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江苏专版2019版高考数学文一轮复习学案：第七章不等式

第七章不等式(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a ，b ∈R ，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈R ，a －b ＜0⇔a ＜b a ，b ∈R .(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b a ∈R ，b ＞0 ，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b ＞0 ，a b ＜1⇔a ＜b a ∈R ，b ＞0 .2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.(2)有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则：①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)．②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0).[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是________． (2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)M ＞N (2)＜[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法[例2] ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．(2)下列命题：①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac ＞bc ，则a ＞b ； ③若a c 2＜b c2，则a ＜b ；④若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d . 其中正确命题的序号是________．(3)(2018²兴化八校联考)“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的________条件．[解析] (1)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴②错误；∵ac 2＜b c2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，③正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知④错误．(3)x 1＞3，x 2＞3⇒x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412＞6，x 1x 2＝10＞9，但x 1＜3.故“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的充分不必要条件．[答案] (1)[5,10] (2)③ (3)充分不必要 [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________．解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：A ≥B2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的序号是________． ①－n ＜m ＜n ＜－m ；②－n ＜m ＜－m ＜n ；③m ＜－n ＜－m ＜n ；④m ＜－n ＜n ＜－m . 解析：法一：(特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各不等式中检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．答案：④3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是________．解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴ad ＋b c ＝ac ＋bd cd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.答案：34.[考点二]设a ，b 是实数，则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的________条件．解析：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，若a ＞b ＞1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ab －1 ab ＞0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b成立，但a ＞b ＞1不成立，所以必要性不成立．答案：充分不必要突破点(二) 一元二次不等式)1．三个“二次”之间的关系(1)不等式ax2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)不等式ax2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.[例1] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2 x ＋1 ＞0，x －3 x ＋2 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a ＜1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a ＞1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝ x －2 ³ －1 ＋x 2－4x ＋4＞0，g 1 ＝ x －2 ＋x 2－4x ＋4＞0，解得x ＜1或x ＞3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1.[考点一](2018²常州月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是________．解析：当x ≤32时，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；当x ＞32时，原不等式化为x 2＞(3－2x )2，解得32＜x ＜3. 综上，x ＜－3或1＜x ＜3.答案：(－∞，－3)∪(1,3)2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于________．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－33.[考点二²考法一 ](2018²无锡期初测试)定义在R 上的运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：∵(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )(1－x －y )＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，324.[考点二²考法二 ]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4,3]5.[考点二²考法三 ]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，当|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0.令f (a )＝(x－3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＞0，f 1 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)1．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的序号有________． ①1a ＜1b；②|a |＞|b |；③a ＋b ＜2ab ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.解析：∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，且|a |＞|b |，a ＋b ＞2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b. 答案：①②④2．(2018²启东中学月考)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4³2k ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，2x 2－7x ＋6＞0的解集是________．解析：∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3.又∵2x 2－7x ＋6＞0，∴(x －2)(2x －3)＞0，∴x ＜32或x ＞2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) 4．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13³12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a ＞0，即为－2x 2＋2x ＋12＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1＞0得x ＞1，即B ＝{x |x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．答案：{x |1＜x ≤2}2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的序号是________． ①ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；②a c ＞bc⇒a ＞b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1b ；④⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b . 解析：当ac 2＞bc 2时，c 2＞0，所以a ＞b ，故①正确；当c ＜0时，a c ＞bc⇒a ＜b ，故②错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0，a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0，a ＞b ，故④错误，③正确．答案：①③3．已知a ＞0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝aa ＋1，则m ，n 的大小关系是________．解析：由题易知m ＞0，n ＞0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝aa (a －1)，当a ＞1时，a (a －1)＞0，所以a a (a －1)＞a 0＝1，即m ＞n ；当0＜a ＜1时，a (a －1)＜0，所以a a (a －1)＞a 0＝1，即m ＞n .综上，对任意的a ＞0，a ≠1，都有m ＞n .答案：m ＞n4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － a ＋1 ≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x ＜－1或x ＞3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a ＞0，即a ＜－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.答案：[－4，＋∞)5．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：由Δ＝a 2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 6．(2018²无锡中学模拟)在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：327．(2018²姜堰中学月考)若关于x 的不等式(2x －1)2＜kx 2的解集中整数恰好有2个，则实数k 的取值范围是________．解析：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1＜0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k ＞0，且有4－k ＞0，故0＜k ＜4.又原不等式的解集为12＋k ＜x ＜12－k ，且14＜12＋k ＜12，则1,2一定为所求的整数解，所以2＜12－k ≤3，得k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，259.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤94，2598．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2018²盐城中学月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ x －1 2－3 x －1 ，x －1≤0，x －1 2－3 x －1 ，x －1＞0，即f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f (x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.答案：(4，＋∞) 二、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1³3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3. 12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x ＞0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.以上简称为“直线定界，特殊点定域”.1. 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．[解析]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12³(2－1)³2＝1.[答案] 1 [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.[答案] (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ [易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π³⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.答案：4π2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |²|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m＝1或m ＝－3(舍去)．答案：13.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12³2³(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[例1] (1)(2017²山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y的最大值是________．(2)(2017²全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y ＝－x 2＋z2进行平移，显然当该直线过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，即A (－3,4)，所以z max ＝－3＋8＝5.(2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2³(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.[答案] (1)5 (2)－15 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (1)(2018²无锡期初测试)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤－x ＋3，y ≥2x则yx －2的取值范围是________．(2)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．[解析] (1)画出可行域如图所示，y x －2等价于点(x ，y )到点(2,0)连线的斜率，又k AB ＝－2，k BO ＝0，从而y x －2∈[－2,0]．(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.[答案] (1)[－2,0] (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝ac²y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线的斜率的a c 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2²|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值.线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] 2 [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017²全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－52.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －－1表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－－1＝1.答案：13.[考点一](2018²银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3.答案：－34.[考点三](2018²苏州月考)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为2，则2a ＋3b的最小值为________．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，而2a ＋3b(2a ＋3b )＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥25.答案：255.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤[典例] A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100³60＋900³100＝216 000(元)． [答案] 216 000 [方法技巧]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.答案：132．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300³3＋400³2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 7003．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3³2＋4³3＝18.答案：184．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x 万元，y 万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得x＝4，y ＝6，此时z ＝1³4＋0.5³6＝7(万元) ∵ 7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值． ∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12³83³1＝43. 答案：432．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2³1＝2.答案：23．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫322＝92. 答案：924．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3³2－2＝4.答案：45．(2018²常州月考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的最大值为________．解析：令z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，平移函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，可知当函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋z 的图象经过点A 时z取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A (1,1)，所以x ＝y ＝1时，y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x取最大值12. 答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018²东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a ＞－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a )³1＝2，解得a ＝3.答案：32．(2018²江苏八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是________．解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6³3＋2＝20.答案：203．(2017²浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)4．(2018²安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x的取值范围为________．解析：作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，25．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝ 2＋1 2＋－2－1 2＝3 2.答案：3 26．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综上可得－4＜a ＜2.答案：(－4,2)7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1.答案：18．(2018²如东中学月考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域如图所示，由1≤ax ＋y ≤4得，a ≥0，且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a ≥1,2a ＋1≤4，故a 取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0表示的平面区域如图所示，因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4表示平面区域内的点与点A (4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为k AB ＝－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137，即x ＋y －6x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137 10．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5²5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 二、解答题11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．12．(2017²天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：。

2019届一轮复习苏教版（理）第七章不等式学案

第七章⎪⎪⎪不等式第一节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程a x 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠－b 2aR一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[小题体验]1．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________．答案：∅2．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．答案：[－4,2]3．若不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx 2＋ax ＋c ＜0的解集是________．解析：因为不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，所以a ＞0，且对应方程ax 2－bx ＋c ＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ca ＝－2×3，ba ＝－2＋3，即c a ＝－6，ba＝1，所以b ＞0，且a b ＝1，cb＝－6，所以不等式bx 2＋ax ＋c ＜0可化为x 2＋x －6＜0，解得－3＜x ＜2，所以该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． [小题纠偏]1．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1.由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)2．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立，当a －2≠0，即a ≠2时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2. 综上所述，－2<a ≤2. 答案：(－2,2]考点一一元二次不等式的解法 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，所以－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，所以x >0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．(2018·南通中学检测)不等式－3x 2＋6x >2的解集为________．解析：将不等式－3x 2＋6x >2转化为3x 2－6x ＋2<0，所以不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－33<x <1＋33.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－33<x <1＋33 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4.解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a . 解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案：(2,3)2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 考点三一元二次不等式恒成立问题 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数范围1．(2018·南通中学测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a ≠0)，若对任意实数x ，不等式2x ≤f (x )≤12(x ＋1)2恒成立．(1)求f (1)的值；(2)求a 的取值范围．解：(1)令x ＝1，由2x ≤f (x )≤12(x ＋1)2，可得2≤f (1)≤2，所以f (1)＝2.(2)由f (1)＝2，可得a ＋b ＋c ＝2，即b ＝2－(a ＋c )，因为对一切实数x ，f (x )－2x ≥0恒成立，所以ax 2＋(b －2)x ＋c ≥0(a ≠0)对一切实数x 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(b －2)2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a ＋c )2－4ac ≤0. 可得(a －c )2≤0，但(a －c )2≥0，即有a ＝c ＞0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋a ，f (x )≤12(x ＋1)2恒成立，即⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋(b －1)x ＋⎝⎛⎭⎫a －12≤0恒成立，所以a －12＜0，且Δ＝(b －1)2－4⎝⎛⎭⎫a －122≤0，由b －1＝1－2a ，即有Δ＝0成立．综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.所以b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法(1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )>0，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )<0[演练冲关]1．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：(1,2]2．(2017·靖江中学期末)若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．答案：[0,4]3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：[－1,4]4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：(0,2)5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a .答案：⎝⎛⎭⎫a ，1a 6．(2018·如东中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．解析：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0；① 当x >0时，－x ＋2≥x 2，解得0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．答案：[－1,1]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝________.解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－32．(2018·清河中学检测)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤0，x 2－9≥0或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}3．(2018·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1，所以－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________．解析：由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a 5，而正整数解是1,2,3,4，则4≤ a5<5，所以80≤a <125. 答案：[80,125)5．(2017·南通基地密卷)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，故cx 2＋bx ＋a ≤0，即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，故不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－1，15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.所以a >4或a <－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．(2018·海门检测)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．解析：由题意f (x )>0的解集为⎣⎡⎦⎤－1，13，不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13，解得x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为(－∞，－ln 3)．答案：(－∞，－ln 3)8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )的图象恒在x 轴上方，所以不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立． ①当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式可化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式可化为3>0，满足题意． ②当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0，解得1<a <19.综上可得a 的取值范围是[1,19)．答案：[1,19)9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)因为f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，所以f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，所以原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.所以原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2018·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·江浦中学检测)若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：22．(2018·扬州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.解得－32＜ a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.答案：(－1,0)3．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R. (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以 ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a(x＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题体验]1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是________．解析：由题意可得(2×1＋3＋m )[2×(－4)－2＋m ]<0，即(m ＋5)(m －10)<0，所以－5<m <10.答案：(－5,10)2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为______．解析：平面区域的边界线方程为x 1＋y1＝1，即x ＋y －1＝0.所以平面区域满足不等式是x＋y －1>0.答案：x ＋y －1>03．(2018·南京高三年级学情调研)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则z ＝3x －2y的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当z ＝3x －2y 经过点A (4,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×4－2×3＝6.答案：61．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5.答案：52．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0.答案：0考点一二元一次不等式(组)表示平面区域 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k ＝________.解析：先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1. 答案：12．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a ＝______.解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．答案：－13．(2018·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，所以可行域D 的面积为12×2×43＝43.答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(如“题组练透”第2题易忽视边界)(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二求目标函数的最值 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2018·苏北四市一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，令z ＝3x ＋2y ，则y ＝－32x ＋z 2，故当目标函数z ＝3x ＋2y 经过点A (1，0)时，z 取得最大值，故z max ＝3.答案：32．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5. 答案：－5角度二：求非线性目标函数的最值 3．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．答案：[1,4]角度三：线性规划中的参数问题4．(2018·苏州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，所以当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 答案：55．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，32. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32 [通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为________．解析：画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝⎛⎭⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125.答案：⎣⎡⎦⎤0，125 2．(2018·连云港质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k ＝________.解析：不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3.答案：±33．(2018·无锡质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率，所以当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－12考点三线性规划的实际应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时W max ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，求租金最少多少元？解：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．故租金最少为36 800元．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·南京、盐城一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线y ＝x ，则当目标函数y ＝x －z 过点C (1,4)时，z min ＝－3.答案：－32．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于______．解析：平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.所以S △ABC ＝12×83×1＝43.答案：433．(2018·泰州中学高三学情调研)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则z ＝yx 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝yx 表示过平面区域的点(x ，y )与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A 时斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，得A (1,3)，显然直线过点A (1,3)时，z 取得最大值，z max ＝3.答案：34．(2018·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3.由图可知，当直线y ＝－23x ＋z 3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23.答案：235．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 6．(2018·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8.答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·苏州期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥4，则目标函数z ＝2x －y 的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移直线2x －y ＝0，当直线过点A 时，z ＝2x －y 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，得A (3,1)，所以z max ＝5.答案：52．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π.答案：4π3．若M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为________．解析：平面区域M 如图中△OAB 所示，扫过M 中的那部分区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形，故所求面积S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74. 答案：744．(2018·湖南东部六校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a ＝______.解析：如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14.答案：145．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元植面积(单位：亩)分别为________．解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．答案：30,206．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－(x 2＋y 2)的最大值为________．解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数z ＝5－(x 2＋y 2)的最大值，即求x 2＋y 2的最小值．由几何意义知就是求可行域内的点P (x ，y )到原点距离的最小值．易知点O 到直线x ＋y －3＝0的距离最短，为322，所以z max ＝5－⎝⎛⎭⎫3222＝12.答案：127．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无数多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my取得最小值，则m 的值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝x ＋my 与直线AB 重合时，有无数多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.答案：18．(2018·启东中学测试)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y －1≤0，x －a ≥0，若⎪⎪⎪⎪y x －2≤12恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，yx －2表示区域内的点(x ，y )与定点A (2,0)连线的斜率k ，由图易知BC 与y轴重合时，|k |≤k AC ＝12，此时a ＝0，当BC 向右移动时，|k |≤k AC <12，此时a ≤1，综上，a∈[0,1]．答案：[0,1]9．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x －2y 的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值．解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，平移直线u ＝x －2y 可知，直线过C 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值．所以u min ＝－3－2×2＝－7， u max ＝－1－2×(－6)＝11. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －(－5)，求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率k 的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，点C 的坐标为(－3,2)，所以k max ＝k MC ＝2－0－3－(－5)＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－(－5)＝－32，所以y x ＋5的最大值是1，最小值是－32.10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·南通调研)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.若z ＝x 2＋y 2，则z 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得C (1,1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y －25＝0，x －4y ＋3＝0得B (5,2)．z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2,29]．答案：[2,29]2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：因为x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，作出可行域如图所示，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章第四节基本不等式含解析

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第七章不等式7.2

§7.2 一元二次不等式及其解法考情考向分析以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，则难度较高．1．“三个二次”的关系2.常用结论(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．知识拓展(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(√)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(√) 题组二教材改编2．[P77练习T6(2)]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 3．[P80习题T7]若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案－14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.题组三易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1.5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－xx ＋1≤0，那么集合A ∩(∁U B )＝________. 答案 [－1,3]解析因为A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x ≥4}，故∁U B ＝{x |－1≤x <4}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．6．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎭⎫－2，65 解析当a 2－4＝0时，a ＝±2.若a ＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a ＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a ≠±2时，要使不等式的解集为空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－2，65.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式典例求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.命题点2 含参不等式典例解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a <－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．跟踪训练解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )．解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．答案 (－3,0)解析 ∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. (2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是________．答案 [0,4)解析对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4. 命题点2 在给定区间上的恒成立问题典例设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题典例对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意，知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0. 解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2≤－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．题型三一元二次不等式的应用典例甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意，得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a 2＋c . ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )恒成立．令g (x )＝－(x 2＋2x )，则g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}1．(2015·江苏)不等式22x x －<4的解集为________．答案 {x |－1<x <2}解析 ∵22x x －<4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.2．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B ＝________.答案 (－1,1)解析依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．答案 [－1,1]解析方法一当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图所示，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,4]解析由题意知，当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为________．答案 12元到16元之间解析设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．答案 [－4,3]解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．答案 1±52 解析若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是____________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a 解析原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a. ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a . 9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析原不等式等价于，(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m －2＝0，即m ＝2时，对任意x ，不等式都成立；②当m －2<0，即m <2时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，解得－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2]．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________．答案 {x |－ln 2<x <ln 3}解析依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．解因为(a ＋b )x ＋2a －3b <0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34，所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b＝－34，解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0，等价于bx 2＋(4b －2)x ＋3b －2>0，即x 2＋⎝⎛⎭⎫4－2b x ＋3－2b<0，即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋3－2b <0. 因为－3＋2b<－1，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3＋2b <x <－1.13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析方法一 ∵x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)>0，即25＋5a －2>0，解得a >－235. 方法二由x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，可得a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,5]上有解．又f (x )＝2x－x 在x ∈[1,5]上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝－235，只需a >－235. 14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________．答案 [－8,4]解析因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是________．答案 8解析作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，得－a －a 2＋4b 22<f (x ) <－a ＋a 2＋4b 22，若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当2<x <4时，－8<f (x )<0，所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8.16．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，0]解析因为不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知，当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．。

近年高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划练习理(2021年整理)

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§7。

3 二元一次不等式(组）与简单的线性规划考纲解读分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题.2。

能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，耗费的人力、物力资源最少等。

3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题，分值约为5分，属中低档题.五年高考考点一平面区域问题1。

(2016山东，4,5分）若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( ）A.4 B。

9 C。

10 D.12答案C2。

(2016浙江,3,5分)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。

由区域中的点在直线x+y—2=0上的投影构成的线段记为AB，则｜AB|=（）A。

2 B.4 C.3 D。

6答案C3.（2014课标Ⅰ,9，5分）不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀（x，y)∈D,x+2y≥-2，p2：∃（x,y)∈D,x+2y≥2,p3：∀(x,y)∈D,x+2y≤3，p4：∃(x,y）∈D,x+2y≤—1.其中的真命题是( )A。

p2,p3B。

p1，p2 C.p1，p4 D.p1，p3答案B4.(2015课标Ⅰ，15，5分)若x,y满足约束条件则的最大值为。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第七章不等式课时跟踪检测(三十一)一元二次不等式及其解法文

课时跟踪检测（三十一）一元二次不等式及其解法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：(1,2]2．(2017·靖江中学期末)若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．答案：[0,4]3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：[－1,4]4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：(0,2)5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a.答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a6．(2018·如东中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．解析：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0；① 当x >0时，－x ＋2≥x 2，解得0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．答案：[－1,1]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝________.解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－32．(2018·清河中学检测)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x 2－9≥0或x2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x ＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}3．(2018·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1，所以－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________．解析：由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5，而正整数解是1,2,3,4，则4≤ a5<5，所以80≤a <125.答案：[80,125)5．(2017·南通基地密卷)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，故cx 2＋bx ＋a ≤0，即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，故不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，15.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，156．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.所以a >4或a <－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．(2018·海门检测)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．解析：由题意f (x )>0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13，不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13，解得x <－ln 3，即f (e x)>0的解集为(－∞，－ln 3)．答案：(－∞，－ln 3)8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )的图象恒在x 轴上方，所以不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立． ①当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1. 若a ＝－5，不等式可化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式可化为3>0，满足题意． ②当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，a －2－a 2＋4a －，解得1<a <19.综上可得a 的取值范围是[1,19)．答案：[1,19)9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)因为f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，所以f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，所以原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.所以原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2018·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·江浦中学检测)若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：22．(2018·扬州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.解得－32＜ a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x＜0.答案：(－1,0)3．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R. (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以 ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。

[推荐学习]2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章第二节一元二次不等式及其解法 Wor

一、填空题1．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于________．解析：由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.答案：－32．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________．解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0<x <240，所以150≤x <240，即最低产量是150台．答案：150台3．不等式2－x x －1≥0的解集是________．解析：2－x x －1≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x －2)≤0x ≠1，所以不等式2－x x －1≥0的解集为(1,2]．答案：(1,2]4．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－x )(1＋y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则实数a 的范围是________．解析：由题知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(1－x ＋a )(1＋x ＋a )＝(1＋a )2－x 2<1恒成立，即x 2>(1＋a )2－1恒成立，故只要(1＋a )2－1<0恒成立，即a 2＋2a <0，解得－2<a <0. 答案：－2<a <05．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2 (x >0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为________．解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b 2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．答案：[－3，－1]∪(0，＋∞)6．若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x >1，则ln x >0，于是2ax －1≥0，即a ≥(12x )max ，所以a ≥12；若0<x <1，则ln x <0，于是2ax －1≤0，即a ≤(12x )min ，所以a ≤12.综上所述，a ＝12.答案：127．命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴有公共点．若命题“p 或q ”为真命题，而命题“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由命题p ，得x 1x 2＝a 2－6a <0，即0<a <6；由命题q ，得Δ＝(a －3)2－4≥0，即a ≥5或a ≤1；根据题意，可知命题p 与命题q 一真一假，当命题p 真且命题q 假时，a ∈(1,5)；当命题q 真且命题p 假时，a ∈(－∞，0]∪[6，＋∞)，综上，a ∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)．答案：(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)8．若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是________．解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b >0即可，解得b <0或b >34. 答案：(－∞，0)∪(34，＋∞)9．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析：由已知得x 2＋12x ≥(12)n 对任意n ∈N *在(－∞，λ]上恒成立．∵(12)n ≤12，n ∈N *； ∴x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立．解不等式x 2＋12x ≥12得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立．答案：(－∞，－1]二、解答题10．已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R ，(1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R)．解析：(1)f (x )＝a (x ＋12a )2－1＋4a 24aa ≥0时不合题意．当a <0时，x ＝－12a ，f (x )有最大值且－1＋4a 24a ＝178.解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0.①当a ＝0时，x >1；②a >0时，x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，无解；④当－12<a <0时，1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，－1－1a <x <1.11．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)<0，记f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0，解得x 的取值范围为－1＋72<x <1＋32. 12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)．令x ＝6t ，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)，∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.而323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张．。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第七章不等式第二节二元一次不等式(组) 与简单的线性规

x＋3y－2≥0
表示的平面区域的面
积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
可知 S△ABC＝12×2×(2＋2)＝4.
答案：4
4.[考点二]若满足条件xx－＋yy≥ －02， ≤0， y≥a
的整点(x，y)恰有 9 个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为________．
线性规划中的参数问题
[例 3] 已知 x，y 满足约束条件xx－＋yy≥≤02，， y≥0.
的最大值为 4，则 a＝________.
若 z＝ax＋y
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则最优解为 x＝1，y＝1 或 x＝2，y＝0，经检验知 x＝2，y＝0 符合题意，∴2a＋0＝4，此时 a＝2.
由y2＝x＋0，y＝2，得 B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中 a 的取值范围是 0＜a≤1 或 a≥43.
[答案] (0,1]∪43，＋∞
[易错提醒] 此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．
[例 1]
2x＋y－6≤0，不等式组x＋y－3≥0，
y≤2
表示的平面区域的
面积为________．
2x＋y－6≤0， [解析] 不等式组x＋y－3≥0，表
y≤2
示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC
的面积即所求．求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，B(2,2)，
B(1－m,1＋m)，C2－34m，2＋32m， D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第七章不等

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，难度中低档．1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) 题组二教材改编2．[P86练习T2]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋12>0，2x ＋y －4<0，y >0所表示的平面区域的面积是________．答案 10解析画出不等式组表示的平面区域(图略)，它是一个底边为5，高为4的三角形区域，其面积S ＝12×5×4＝10.3．[P94习题T7]若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为________．答案 1解析根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1. 题组三易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是________．(填序号) ①(0,0)；②(－1,1)；③(－1,3)；④(2，－3)．答案 ③解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合． 5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max ＝(2)2×1＋2＝4.6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题典例在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为________．答案 1解析对于集合B ，令m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则x ＝m ＋n 2，y ＝m －n 2，由于(x ，y )∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＋m －n2≤1，m ＋n2≥0，m －n 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0，因此平面区域B 的面积即为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0所对应的平面区域如图阴影部分的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为2×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝1.命题点2 含参数的平面区域问题典例若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是________．答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．思维升华 (1)求平面区域的面积①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________．答案 [2,5]解析直线y ＝kx －2上存在M 内的点，即直线与平面区域M 有公共点，作出平面区域M ，注意到直线y ＝kx －2经过定点P (0，－2)，求得直线l 1：x －y ＝0和l 2：x ＋y ＝4的交点A (2,2)及l 2和l 3：x ＝1的交点B (1,3)，则k P A ＝2，k PB ＝5，由题意可得k 的取值范围是[2,5]．题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值典例 (2017·全国Ⅱ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．答案－15解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15. 命题点2 求非线性目标函数的最值典例若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．答案 10解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.命题点3 求参数值或取值范围典例 (2018届江苏徐州一中质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点A ⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围为________．答案 (－1,1)解析由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥0，画出此约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，因为z 仅在点A ⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以－1<－a <1，故实数a 的取值范围是(－1,1)．思维升华根据目标函数的最值求解参数主要考虑两点： (1)根据约束条件画出平面区域．(2)分析约束条件中的相应直线的斜率与目标函数对应直线斜率之间的大小关系，正确确定目标函数取得最值时的最优解．跟踪训练 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－13 解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因为点D (2,3)与点B (8,1)连线的斜率为－13且C 的坐标为(2，－2)，故由图知，z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.答案 2解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a .当0<k ≤1，即－1≤a <0时，无选项满足此范围；当k >1，即a <－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z ＝0，不合题意；当－1≤k <0，即0<a ≤1时，无选项满足此范围；当k <－1，即a >1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z ＝2a ＋0＝4，得a ＝2. 题型三线性规划的实际应用问题典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 216 000解析设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤a 表示的平面区域内的整点有且只有3个，则实数a 的取值范围是________．答案 [11,13)解析当x ＝1，y ＝1时，4x ＋3y ＝7；当x ＝1，y ＝2时，4x ＋3y ＝10；当x ＝1，y ＝3时，4x ＋3y ＝13；当x ＝2，y ＝1时，4x ＋3y ＝11；不存在正整数x ，y ，使4x ＋3y ＝12，∴11≤a <13.2．(2017·天津改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 3解析画出可行域，如图中阴影所示．由目标函数z ＝x ＋y ，结合图象易知y ＝－x ＋z 过(0,3)点时z 取得最大值，即z max ＝0＋3＝3.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．答案 1解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．答案 2 800解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．(2017届苏北四市一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．答案 3解析作出不等式组所表示的平面区域(如图)，令z ＝3x ＋2y ，则y ＝－32x ＋z2，故当目标函数经过点C (1,0)时，取得最大值，故z max ＝3.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．8．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B两点，则AB 的最小值是________．答案 4解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝12＋32＝10，此时AB min ＝214－10＝4.9．(2017·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案－1解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1.10．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．答案 3解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫12，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (1,1)．设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3.11．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)．∴m 的最大值为1.12．若点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内，则m 2＋n 2的取值范围是__________．答案 [1,4]解析由点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ≤2，n －m ≤2，n ≥1，画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)，则m 2＋n 2表示区域上的点到原点的距离的平方，所以1≤m 2＋n 2≤4.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________．答案－75解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min＝1－125＝－75. 14．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤t ，x ≥π6，y ≥0，其中t >π2，若sin(x ＋y )的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎤5π6，7π6解析作出可行域如图阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫π6，t －π2时，z 取得最大值t －π3.即π6≤x ＋y ≤t －π3，当x ＋y ＝π2时，sin(x ＋y )＝1. 当x ＋y ＝π6或5π6时，sin(x ＋y )＝12.所以π2≤t －π3≤5π6，解得5π6≤t ≤7π6.15．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y >x ，y <2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围为________．答案 (－2，1]解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y >x ，y <2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)，设θ＝∠POx ，则x x 2＋y 2＝cos θ，yx 2＋y 2＝sin θ. θ∈⎣⎡⎭⎫π2，54π，∴x ＋y x 2＋y 2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵θ∈⎣⎡⎭⎫π2，54π，∴θ＋π4∈⎣⎡⎭⎫34π，32π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－1，22.∴x ＋y x 2＋y 2∈(－2，1]． 16．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤45，13解析已知不等式组所表示的平面区域如图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2,3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.。

(江苏专用)高考数学一轮复习第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理-

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③.3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________．答案 2解析因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22，其面积为12×AB ×AC ＝2.4．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析用表格列出各数据A B 总数产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________________________________________________________________．答案 73解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值X 围为________．(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－－11－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·某某)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值X 围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值X 围．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的X 围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值X 围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值X 围是(1,5]．引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值X 围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值X 围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值．解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝________. 答案 12解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2) x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．答案 (1)1 (2)2或－1解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝1＋t ＋1×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 题型三线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·某某改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防X]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z＝x ＋6y 的最大值为________．答案 18解析画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是______________．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值X 围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．答案 2 800解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________．答案 1解析作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值X 围是__________．答案 [－53，5)解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值X 围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：ab (万吨)c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．答案2513解析因为a >0，b >0，所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值X 围是__________．答案 (－103，－2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3>0，f 1>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________．答案55解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案π2解析平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．答案 1 解析 ∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1的最小值为32， ∴y ＋1x ＋1的最小值为14，而y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0， ∴可行域如图中阴影部分所示，∴(y ＋1x ＋1)min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14，∴a ＝1.16．(2015·某某)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．答案 3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。

2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第七章第3节二元一次不等式组与简单的线性规划问题

核心考点互动探究
考点一|二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例 1】画出下列不等式或不等式组表示的平面区域． (1)3x＋2y＋6>0； x<3， 2y≥x， (2) 3x＋2y≥6， 3y<x＋9.
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x－y＋4≥0， 5 ．不等式组 x＋y≥0， x≤3 所表示的平面区域的面积是
________ ． 25 解析：直线 x－y＋4＝0 与直线 x＋y＝0 的交点为 A(－2,2)．直
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4．点 P(a,4)在不等式 3x＋y－3>0 表示的平面区域内且到直线
(1,4)或(11,4) ． x－2y＋2＝0 的距离等于 5，则点 P 的坐标为_____________
1 解析：∵3a＋4－3>0⇒a>－， 3 |a－8＋2| 2 2＝ 5⇒a＝1 或 a＝11. 1 ＋－2
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x＋y≥2， 3．已知实数 x，y 满足x－y≤2， 0≤y≤3， ________．
则 z＝2x－y 的最大值是
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2x－y＋1≥0 2 ．不等式组 x－2y－1≤0 x＋y≤1

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第七章第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题

一、填空题1．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，12)，C (2，－1)．作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：52．在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得(x －1)2＋y 2的最小值为|1－2×0＋1|12＋(－2)2＝255.答案：2553．若x 、y 满足 ⎩⎨⎧x ＋y ≥6x ≤4y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 答案：34．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)． ∴|PO |min ＝2，|PO |max ＝10. 答案：2105．现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，则挑选出男女同学总数和的最大值为________．解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：126．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 是常数)所表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，C (－2,2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝12(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)．答案：17．不等式⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时取等号．答案：328．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)．对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤39．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．答案：[3,6] 二、解答题10．若{(x ，y )|⎩⎨⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的范围．解析：设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴|PO |＝5，即m ≥5.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率． (1)求a ＋b ＋c ； (2)求ba 的取值范围．解析：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝－1.(2)由c ＝－1－a －b ，∴f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎨⎧g (0)>0g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>02a ＋b ＋3<0，作出可行域如图所示．而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，∴k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－12)． 12．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析：将已知数据列成下表：设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126.∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥07－x ≥08－y ≥0x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤120≤x ≤70≤y ≤8x ＋y ≥7，目标函数为z ＝x －2y ＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0，y ＝8时总运费最小．安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第七章第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析

一、填空题1．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，12)，C (2，－1)．作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：52．在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得(x －1)2＋y 2的最小值为|1－2×0＋1|12＋(－2)2＝255.答案：2553．若x 、y 满足 ⎩⎨⎧x ＋y ≥6x ≤4y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 答案：34．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)． ∴|PO |min ＝2，|PO |max ＝10. 答案：2105．现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，则挑选出男女同学总数和的最大值为________．解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：126．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 是常数)所表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，C (－2,2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝12(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)．答案：17．不等式⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.于是，kSk －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时取等号．答案：328．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)．对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤39．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．答案：[3,6] 二、解答题10．若{(x ，y )|⎩⎨⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的范围．解析：设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴|PO |＝5，即m ≥5.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率． (1)求a ＋b ＋c ； (2)求ba 的取值范围．解析：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝－1.(2)由c ＝－1－a －b ，∴f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎨⎧g (0)>0g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>02a ＋b ＋3<0，作出可行域如图所示．而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，∴k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－12)． 12．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析：将已知数据列成下表：设仓库A 运给甲、乙商店的货物分别为x 吨，y 吨，则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126.∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥07－x ≥08－y ≥0x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤120≤x ≤70≤y ≤8x ＋y ≥7，目标函数为z ＝x －2y ＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0，y ＝8时总运费最小．安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．。

近年高考数学一轮复习第七章不等式课时达标检测(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(2

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课时达标检测(三十三）二元一次不等式（组) 与简单的线性规划问题［练基础小题——强化运算能力］1．不等式组错误!所表示的平面区域的面积等于________．解析:平面区域如图中阴影部分所示．解错误!得A（1,1)，易得B（0，4)，C错误!，｜BC|＝4－错误!＝错误!.∴S△ABC＝错误!×错误!×1＝错误!。

答案:错误!2．若x，y满足错误!则z＝x＋2y的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域,如图所示．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即z max＝0＋2×1＝2。

答案：23．若x,y满足约束条件错误!则（x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P（－2，－3）到直线x＋y＋2＝0的距离为错误!＝错误!,所以(x＋2）2＋（y＋3）2的最小值为错误!2＝错误!。

答案：错误!4．设变量x,y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2，2)时，z取得最大值,即z max＝3×2－2＝4。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章第四节基本不等式

一、填空题1．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3[x ＋(1－x )2]2＝34，此时x ＝1－x ，∴x ＝12. 答案：122．已知x ，y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为________．解析：依题意，得x 2x ＋y ＋yx ＋2y ＝x 2＋4xy ＋y 22x 2＋5xy ＋2y 2 ＝x 2＋52xy ＋y 2＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32·12x 2＋5xy ＋2y 2xy＝12＋32·12x y ＋2y x ＋5≤12＋32×19 ＝12＋16＝23，当且仅当x ＝y 时取等号．答案：233．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”．答案：44．不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2.答案：[－2，＋∞)5．当x 2－2x <8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________．解析：由x 2－2x <8，得－2<x <4.设x ＋2＝t ，则t ∈(0,6)． y ＝(t －2)2－(t －2)－5t ＝t 2－5t ＋1t ＝t ＋1t －5 ≥2t ·1t －5＝－3.当且仅当t ＝1时取“＝”．答案：－36．x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz 的最小值是________．解析：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz ，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．答案：37．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．解析：由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4. 答案：－48．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋nt ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为________．解析：因(s ＋t )(m s ＋n t )＝m ＋n ＋tm s ＋snt ≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4，从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点( 1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝09．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解析：设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．答案：12 二、解答题10．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解析：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎨⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1，(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0，∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.11．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin (A ＋C )，3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2 B2－1)，且向量m 、n 共线． (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析：(1)∵m ∥n ，∴2sin (A ＋C )(2cos 2 B2－1)－3cos 2B ＝0.又∵A ＋C ＝π－B ，∴2sin B cos B ＝3cos 2B ，即sin 2B ＝3cos 2B . ∴tan 2B ＝3，又∵△ABC 是锐角三角形，∴0<B <π2， ∴0＜2B ＜π，∴2B ＝π3，故B ＝π6.(2)由(1)知：B ＝π6，且b ＝1，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－3ac ＝1. ∴1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即(2－3)ac ≤1， ∴ac ≤12－3＝2＋3，当且仅当a ＝c ＝6＋22时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2＋34. ∴△ABC 的面积最大值为2＋34.12．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①保护罩的容积大于0.5立方米，罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体的费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．(1)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)与保护罩的容积V (单位：立方米)之间的函数关系式；(2)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)的最小值；(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状，且保护罩的底面(不计厚度)正方形的边长不得少于1. 1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩的底面积的最小值(可能用到的数据：8.25≈2.87，结果保留一位小数)．解析：(1)依据题意，当保护罩的容积等于V 时，需支付的保险费用为kV (其中k 为比例系数，k >0)，且当V ＝2时，kV ＝8，所以k ＝16，所以y ＝1·(V －0.5)＋16V ＝V ＋16V －0.5(V >0.5)． (2)y ＝V ＋16V －0.5≥7.5，并且仅当V ＝16V ，即V ＝4时等号成立，所以，博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元．(3)设S (单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式：V ＋16V －0.5≤8，V ＝2S ，代入整理得4S 2－17S ＋16≤0，解得1.41≈8.5－8.254≤S ≤8.5＋8.254≈2.84. 又底面正方形的面积最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保护罩的底面积的最小值是1.4平方米．。

配套K122019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第七章第一节不等关系与不等式 Word版含解

一、填空题1．设a >0，b >0，则以下不等式中，不恒成立的是________．①(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 ②b ＋2a ＋2>b a③a ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b④a a b b ≥a b b a 解析：对于答案②，当a b a 不成立．(可取特殊值验证) 答案：②2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是________．①b －a >0 ②a 3＋b 2<0③b ＋a >0 ④a 2－b 2<0解析：由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a 0，于是选③.答案：③3．若x <0且a x >b x >1，则下列不等式成立的是________．①01b >1，得0<a 0才成立，已知条件不能保证a ＋b >0，故①不恒成立；ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0，在a <b 的条件下，只有当ab <0才成立，已知条件不能保证，故②不恒成立；1ab 2<1a 2b ⇔1ab 2－1a 2b <0⇔a－ba2b2<0⇔a－b<0⇔a<b，故③恒成立；若ba<ab⇔b2－a2ab<0⇔(b＋a)(b－a)ab<0，在a<b条件下，只有当a＋bab<0才能成立，这个不等式不是恒成立的，故④不恒成立；a3b2<a2b3⇔a2b2(a－b)<0⇔a－b<0⇔a<b，故⑤恒成立．能够恒成立的不等式的序号是③⑤.故填③⑤.答案：③⑤5．“a>b且c>d”是“a＋c>b＋d”的________条件．解析：由不等式性质可得充分性成立，但必要性不成立，如a＝1，c＝6，b＝4，d＝2.答案：充分不必要6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则________先到教室．解析：设步行速度与跑步速度分别为v1，v2显然v1<v2，总路程为2s，则甲用时间为sv1＋sv2，乙用时间为4sv1＋v2，而sv1＋sv2－4sv1＋v2＝s(v1＋v2)2－4s v1v2v1v2(v1＋v2)＝s(v1－v2)2v1v2(v1＋v2)>0，故sv1＋sv2>4sv1＋v2，故乙先到教室．答案：乙7．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)8．下列四个不等式：①a <0x >0，且x ＋y ＝1则x ，y,2xy ，x ＋y 2的大小关系为________．解析：∵y >x >0，x ＋y ＝1，取特殊值x ＝14，y ＝34，∴x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y .答案：x <2xy <x ＋y 2<y二、解答题10．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，求f (3)的范围．解析：设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋c f (2)＝4a ＋c ⇒⎩⎨⎧ a ＝f (2)－f (1)3，c ＝4f (1)－f (2)3.f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f (1)－f (2)3＝8f (2)－5f (1)3. ∵1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，∴5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32，14≤8f (2)－5f (1)≤27.∴143≤8f (2)－5f (1)3≤9，即143≤f (3)≤9.11．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f (α)＋f (β)＋f (γ)的值与0的关系．解析：由α＋β>0，得α>－β.∵f (x )在R 上是单调减函数，∴f (α)<f (－β)．又∵f (x )为奇函数，∴f (α)<－f (β)，∴f (α)＋f (β)<0，同理f (β)＋f (γ)<0，f (γ)＋f (α)<0，∴f (α)＋f (β)＋f (γ)<0.12．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解析：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x>3，解得x >403>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x 1<x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)>0，所以60×800－2 000a >0，得a <24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。

2019版高考一轮复习文数(苏教版)练习：第七章第二节一元二次不等式及其解法

一、填空题1．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于________．解析：由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.答案：－32．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________．解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0<x <240，所以150≤x <240，即最低产量是150台．答案：150台3．不等式2－x x －1≥0的解集是________．解析：2－x x －1≥0等价于⎩⎨⎧ (x －1)(x －2)≤0x ≠1，所以不等式2－x x －1≥0的解集为(1,2]．答案：(1,2]4．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－x )(1＋y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则实数a 的范围是________．解析：由题知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(1－x ＋a )(1＋x ＋a )＝(1＋a )2－x 2<1恒成立，即x 2>(1＋a )2－1恒成立，故只要(1＋a )2－1<0恒成立，即a 2＋2a <0，解得－2<a <0. 答案：－2<a <05．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为________．解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b 2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．答案：[－3，－1]∪(0，＋∞)6．若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x >1，则ln x >0，于是2ax－1≥0，即a ≥(12x )max ，所以a ≥12；若0<x <1，则ln x <0，于是2ax －1≤0，即a ≤(12x )min ，所以a ≤12.综上所述，a ＝12.答案：127．命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴有公共点．若命题“p 或q ”为真命题，而命题“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由命题p ，得x 1x 2＝a 2－6a <0，即0<a <6；由命题q ，得Δ＝(a －3)2－4≥0，即a ≥5或a ≤1；根据题意，可知命题p 与命题q 一真一假，当命题p 真且命题q 假时，a ∈(1,5)；当命题q 真且命题p 假时，a ∈(－∞，0]∪[6，＋∞)，综上，a ∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)．答案：(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)8．若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是________．解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b >0即可，解得b <0或b >34.答案：(－∞，0)∪(34，＋∞)9．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析：由已知得x 2＋12x ≥(12)n 对任意n ∈N *在(－∞，λ]上恒成立．∵(12)n ≤12，n ∈N *；∴x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立．解不等式x 2＋12x ≥12得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立．答案：(－∞，－1]二、解答题10．已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R ，(1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R)．解析：(1)f (x )＝a (x ＋12a )2－1＋4a 24aa ≥0时不合题意．当a <0时，x ＝－12a ，f (x )有最大值且－1＋4a 24a ＝178.解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0.①当a ＝0时，x >1；②a >0时，x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，无解；④当－12<a <0时，1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，－1－1a <x <1.11．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)<0，记f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．根据题意得⎩⎨⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0，解得x 的取值范围为－1＋72<x <1＋32.12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)．令x ＝6t ，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)，∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.而323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张．。

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一、填空题
1．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
y ≤x ，
x ＋y ≥1，
x ≤2，
则z 的最大值为
________．
解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，1
2)，C (2，－1)．作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：5
2．在约束条件⎩⎨⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤2
2y －x ≥1
下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．
解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所
求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，
可求得(x －1)2＋y 2的最小值为 |1－2×0＋1|12＋(－2)2＝25
5.
答案：255
3．若x 、y 满足 ⎩⎨⎧
x ＋y ≥6
x ≤4
y ≤4
，则z ＝y －1
x －1
的最大值是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包
括边界)．z ＝y －1
x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连
线的斜率．由图可知z ＝
y －1
x －1
的最大值为k AB ＝3.
答案：3
4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧
x ＋y ≤4，
y ≥x ，
x ≥1，
点O 为坐标原点，那么|PO |的
最小值等于________，最大值等于________．
解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)． ∴|PO |min ＝2， |PO |max ＝10. 答案：2
10
5．现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条
件⎩⎨⎧
x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，
则挑选出男女同学总数和的最大值为
________．
解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：12
6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，
x ≤a (a 是常数)
所表示的平面区域的面积
是9，那么实数a 的值为________．
解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；
当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，C (－2, 2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距
离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝1
2(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得
a ＝1或a ＝－5(舍去)．答案：1
7．不等式⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≥0，
y ≤－kx ＋4k
(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则
kS
k －1
的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝1
2×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.
于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8
k －1，即k ＝2
时取等号．答案：32
8．设不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象
上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．
由⎩⎨⎧
x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)．
对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤3
9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧
y ≥1，
y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，
若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围
是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．
解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所
示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩
⎨⎧
y ＝x ＋1，
y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(2,3)，此
时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎨
⎧
y ＝x ＋2，
y ＝2x －1，
可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．答案：[3,6] 二、解答题
10．若{(x ，y )|⎩⎨⎧
x －2y ＋5≥03－x ≥0
x ＋y ≥0
}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的范围．
解析：设A ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧
x －2y ＋5≥0
3－x ≥0
x ＋y ≥0
}，B ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由 ⎩
⎨⎧
x －2y ＋5＝03－x ＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝3y ＝4，即P (3,4)，
∴|PO |＝5，即m ≥5.
11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率． (1)求a ＋b ＋c ；
(2)求b
a 的取值范围．
解析：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝－1.
(2)由c ＝－1－a －b ，∴f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，
从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎨⎧ g (0)>0g (1)<0，即⎩⎨⎧
a ＋
b ＋1>02a ＋b ＋3<0，
作出可行域如图所示．而b a ＝b －0
a －0
表示可行域中的点(a ，b )与原
点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－1
2，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，∴k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－1
2)．
12．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析：将已知数据列成下表：
设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，
从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，
于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y
＋126.
∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
12－x －y ≥0
7－x ≥0
8－y ≥0
x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0
，即⎩⎨⎧
x ＋y ≤12
0≤x ≤7
0≤y ≤8
x ＋y ≥7
，
目标函数为z ＝x －2y ＋126.
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0， y ＝8时总运费最小．
安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．。

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