立体及其表面交线

圆球表面上取点
取特殊位置点 ——点属于圆法
取一般位置点 ——辅助平行圆法
作业
P48 P49
6.2 平面与立体相交
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线围成的图形——截断面。
截交线的性质：
⒈ 是一封闭的图形； 2.是截平面与立体表面 的共有线； 3. 截交线的形状取决于被截立 体的形状、大小及截平面与立 体的相对位置。
圆锥表面上取点
1）取特殊位置点 ——点属于直线法
(
)
圆锥表面上取点
2）取一般位置点 ——辅助素线法 ——辅助平行圆法
(k")
圆球体摆放位置
圆 球 面 上 三 个 特 殊 位置圆：
A——最大正平圆 B——最大侧平圆 C——最大水平圆
圆球体投影分析
最大正平圆A
最大侧平圆B 最大水平圆C
圆球体作图步骤
三棱锥表面取点
S

s
s
A B
C
k
a a b
n
k ( n )
c a(c) c b
V
s k n b
同样采用平面上取 点法。
归纳：
在平面立体表面上取点方法：
1、点在棱线或顶底面边线上——点属于直线法 2、点在特殊位置表平面上——充分利用表平面 积聚性投影 3、点在一般位置表平面上——在平面上取点的 一般方法
积聚性法 求得一投影 求得其余投影
辅助平面法
求得三投影
圆锥与圆球相贯：
辅助平面法
求得三投影
例11 补全正面投影
3 2
●
● ●
●
● ●
这是一个多体相 贯的例子，首先分析 它是由哪些基本体组 成的，这些基本体是 如何相贯的，然后分 别进行相贯线的分析 与作图。
●
1
●
三面共点
● ●
●
注意：图中存在一 个三面共点，相贯 线汇交于这一点。
全贯
互贯
两平面立体相贯——平平相贯线
相贯线性质：
1.封闭性：为封闭的平面多边形或空间多边形；
2.共有性：两平面立体表面的共有线。
求相贯线方法：
每一段可看作是平面立体的棱面作为截平面截切对方 平面立体表面产生的截交线段。
截交线法 ——求平面立体截交线
平面立体与曲面立体相贯
——平曲相贯线 相贯线性质： 1.封闭性：为封闭的空间多边形。 2.共有性：两平面立体表面的共有线。 求相贯线方法：
求相贯线方法： 积聚性法→侧面投影
在圆锥面上取点法→其余两投影
由例7引申： 1. 圆柱圆锥正交，贯入幷贯出——两条相贯线
由例7引申：
2. 轴线正交的圆柱与圆锥相贯线的趋势
例8 求圆柱和半圆球相贯的相贯线
求相贯线方法：
积聚性法→水平投影
圆球表面取点方法→ 正面投影
例9 求圆台与半圆球相贯的相贯线
求相贯线方法：
积聚性法 √ 辅助平面法 √ 辅助球面法
例1 求两正交圆柱的相贯线
求相贯线的方法 ——积聚性法
利用积聚性，知两 投影，通过已知两 投影求得第三投影。
作图步骤： ☆ 作特殊点 ☆ 作一般点 ☆ 光滑连接 ☆ 补画应有轮廓
两正交圆柱的相贯线简化画法
相贯线投影的 非圆曲线形 状较小时， 可采用此简化 画法。
●
● ● ● ● ● ● ●
●
●
●
●
作图步骤 1.画基本体 2.画缺口：截交线 3.补画应有轮廓线
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下 侧面投影为 圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45°时。
例2 完成被截切圆柱体的水平和侧面投影。
作图步骤：
1）画基本体； 2）画缺口： 截交线 截断面之间的交线段 3）补画应有轮廓线
每一段可看作是平面立体的棱面作为截平面截切曲面立体 表面，产生的截交线段。
截交线法——求曲面体截交线
例1：补全正面投影
例2：补全正面投影
● ● ●
● ● ●
● ● ●
两曲面立体相贯
相贯线性质：
1.封闭性： 一般 — 封闭的空间曲线 特殊 — 封闭的平面曲线 个别 — 不封闭的空间曲线 2.共有性： 为两曲面体表面的共有线。
圆锥体表面的截交线——5种基本情况
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平 面与圆锥面的交线有五种形状。
圆
椭圆
抛物线
双曲线
两相交直线
例1 圆锥被正平面截切，补全正面投影。
● ●
e′
●
E
C
●
D B
c′ d′
●
a′
b′
A
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
例2 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三投影。
例3 画全三面投影
例 求作顶尖的水平投影
● ●
●
●●
●
●
●
● ●
● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成的 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转 体的截交线，并依次将其连接。
●
●
●
6.3 立体与立体相交
相贯线：
两立体相贯即相交，在立体
表面产生的交线
相贯类型：
全贯 互贯
相贯线类型：
平平相贯线 平曲相贯线 曲曲相贯线
五棱柱摆放位置 投影分析
五棱柱作图步骤：
画底面和顶面的投影 画五条棱线的投影 判别可见性
棱柱表面取点
V 由于棱柱的表面都 是平面，所以在棱柱的 表面上取点与在平面上 取点的方法相同。
a
(
a b) ( b)
( b )
( )
三棱锥摆放位置 投影分析
三棱锥作图步骤
画底面的投影 画锥顶的投影 画三条棱线的投影
例3 画全被截切圆柱体三面投影
例4 完成被截切圆柱体的水平和侧面投影。
●
×
●
例5 完成被截切圆柱筒的侧面投影。
●
源自文库
●
●
●
分析、比较
例6 完成被截切圆柱筒的水平投影。
● ● ● ●
例7 完成被截切圆柱筒的水平投影。
分析、比较
例8 画全被截切圆柱筒三面投影。
作业
P55 P56 P59
圆柱体摆放位置 投影分析
认识圆柱面 上四个特殊位置：
最左、最右素线 最前、最后素线
圆柱体作图步骤：
1.画轴线、中心线； 2.画底面和顶面的投影；
3.画圆柱面的投影
圆柱面上取点
( )
( )
( )
圆锥体摆放位置及投影分析
认识圆锥面上 四个特殊位置：
最左、最右素线 最前、最后素线
圆锥体作图步骤
画轴线、中心线； 画底面的投影； 画锥顶； 画圆锥面.
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
截交线 缺口= 截断面之间的交线 3）后补画应有轮廓线
强调：
检查各截断面的投 影是否符合“平面 的投影特性”
例4 求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
1(2)
2
●
1
●
2 1
例4 求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
作业
P50 P51 P52
平面与曲面立体相交
求曲面立体截交线的方法：
→在曲面立体表面上取点
1.若截交线（线段）的投影为直线、圆、圆弧→直接 作图； 2.若截交线（线段）的投影为非圆曲线→求一系列点（特 殊点和一般点）。
圆柱体表面的截交线——3种基本情况
圆柱体表面截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
垂直 圆
倾斜
平行
椭圆
两平行直线
例1 完成被截切圆柱体的水平和侧面投影。
例3 画全截切后圆锥体的三面投影
例4 画全截切后圆锥体的三面投影
平面与圆球体相交-——1种基本情况
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例5 完成圆球截切后的水平投影
例6 求半球体截切后的水平和侧面投影
复合回转体表面的截交线
注意：
1、相贯线投影 的非圆曲线 需要求作
2、相贯处大圆 柱的特殊素线 不画出
由例1引申出： 两圆柱正交，贯入幷贯出——两条相贯线
例2 求两正交圆柱和圆孔的相贯线
例3 画出两轴线正交的圆柱孔的相贯线
归纳并 引申：
1. 两圆柱面正交，产生的相贯线 的形状和作图方法完全一致。
◆一内一外圆柱 面正交 ◆两内圆柱 面交
求相贯线方法：
辅助平面法
s
☆ 辅助平面法作图步骤：
P
◆ 作辅助平面与相贯的两立体都相交 ◆ 分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的截交线 ◆ 求出两组截交线的交点（即相贯线上的点）
☆ 辅助平面的选择原则：
1. 使辅助平面与两回转体表面的交线的投影简单 易画，例如直线或圆。
2.一般选择投影面平行面。
例9 求圆台与半圆球相贯的相贯线
第6章 立体及其表面的交线
主要内容：
1. 立体的投影 2.平面与立体相交求交线 3.两立体相交求交线
6.1 立体的投影
画立体的投影图 在立体表面取点
立体概述
常见的立体 平面立体 基本立体
曲面立体
摆放位置原则
为看图方便、画图简单，使立体上尽可能 多的线面成为特殊位置的线面
投影规律
1.立体上点的正面投影与水平投影的连线是 竖直方向上的一条直线； 2.立体上点的正面投影与侧面投影的连线是 水平方向上的一条直线； 3.立体上任两几何元素 之间的前后相对位置 距离 在水平投影和侧面投影上都得到反映。
◆两外圆柱 面正交
2. 两圆柱直径的变化对相贯线的影响
曲相 线贯 （线 椭为 圆两 ）条 平 面
相贯线沿小圆柱面轴线 凸向 大圆柱面轴线
例5 求两圆柱垂直交叉相贯的相贯线 ——积聚性法
例6
求圆柱和圆锥垂直交叉相贯的相贯线
求相贯线方法：
积聚性法→正面投影， 圆锥面上取点法→求其余投影
例7 求两轴线正交圆柱和圆锥的相贯线
画中心线； 画三特殊位 置圆——
最大正平圆 最大水平圆 最大侧平圆！！
圆球表面上取点
1）取特殊位置点 ——点属于圆法
圆球表面上取点
2)取一般位置点 ——辅助平行圆法
圆环摆放位置及投影分析
最小水平圆 最大水平圆 最左、最右素线圆 最上、最下水平圆 内环面 外环面 内环面
外环面
圆环体作图步骤
画中心线、轴线 画母线圆圆心轨迹 画最左、最右素线圆 画转向线： 最上、最下水平圆 最小、最大水平圆 判别可见性，图线加粗
例10 圆柱与圆锥相贯，求其相贯线。
● ● ● ● ●
● ● ●
解题步骤：
●
●
● ●
●
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求 一般点 ★ 光滑连线
求相贯线方法：辅助平面法
归纳求曲曲相贯线方法
圆柱与圆柱相贯：
积聚性法 求得两投影
在圆锥、圆球表面 取点法 已知点的两投影 求第三投影法
求得第三投影
圆柱与圆锥、圆球相贯：
● ●
1
●
2
Ⅳ Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
3
●
3
4
3
●
●
● ●
1
2
1）先画基本体； 2）再画缺口： 一个截平面：缺口=截交线 3）后补画应有轮廓线
作图步骤：
检查各截断面的投影是否符 合“平面的投影特性”
强调：
例2 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3 完成带缺口三棱锥的水平和侧面投影。 作图步骤：
1）先画基本体； 2）再画缺口： 多个截平面截切：
平面与平面立体相交
1个截平面截切→截交线为平面多边形 多个截平面截切→截交线为空间多边形
→截交线多边形的每段边线→交线段的端点→端点为平 面立体表面上的点，所以求平面立体截交线的方法： →在平面立体表面上取点
例1 三棱锥被正垂面所截，求截交线。
例2 求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
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