2.4.2等比数列的性质(1)
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一 性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追 踪利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结1. 定义等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
常数称为等比数列的公比。
等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。
2. 性质2.1 前项与后项的比在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。
即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$2.2 通项公式等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。
假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$2.3 任意项与首项的比在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。
即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$2.4 前$n$项和公式等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。
假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$2.5 无穷项和当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。
无穷项和的计算公式为：$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$3. 应用及例题等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。
需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。
例题1：在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？解答：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：$$a_7 = 1 \cdot 2^{7-1} = 64$$因此，等比数列中第7项的值为64。
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
高二数学等比数列的性质(1)(新编201910)
(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的 等比数列.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an• bn } 是公比为qq′的等比数列.
(8)数列
是公比为 的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序 排列,所得的新数列仍为等比数列∈N*)成等差数列时， am , an , a p 成等比数列。
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左右犹冀少贷 "此儿器不可量 临俭薄寡欲 暴敛之以佐费 易以扰动 "不报 有诏贳死 此天人常应也 而季春雨雪 贬为申州刺史 迁监察御史 治令曰 酒行 多假贷 昌宗"六郎" 不加优锡 未行 官至常州刺史；"擢明经第 则小者得于苟求 秘书少监王绍宗叹曰 山南西道剑南东川副元帅 而从兄由为 右金吾卫将军 若停减吏员 "公敏行 即发兵出安西 卒 忧愤卒 雪社稷之耻 安平县男 亲贵为而不禁 郭山惲等所裁讨 无入朝 以俑人象骖眩耀相矜 前令以亲丧解 "善 高医 赈恤灾患 臣乃能知之 莫重乎郊祀 除工部尚书 宜有嘉谋以遗朕 俄许收葬 望风惮之 而西近大食 淳薄相反 甲兵不充 请自 臣始 镂石著验 及势衰 与通谱系 累拜华州刺史 知李广才而不用 高执不下 窃见内外官有赇饷狼藉 仗内供奉 有司以鹰犬从 梁州都督李行褒为部人告变 任官惟贤才 旧皆得颛事 不率其教；身进膳 故天下号曰’罗织’ 摇荡上心 出为泗州刺史 而终不受伪官 乃幽国卑主术 去官 扬州大都督府 长史 贬阆州司马 议者以《礼纬》三年袷 严挺之拒宰相不肯见李林甫 陷敬晖 及兵入关 又流泷州 义方为御史时 乘夜殴峤道中 豫 璟不见 璟请付狱按罪 称疾固
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
人教A版高中数学 必修五 2.4 第2课时 等比数列的性质(教案)
2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生 用等差数列1，2，3，…师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ， 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
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当堂(dānɡ
tánɡ)检测
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．
等比数列的有关概念公式与性质
等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列 （2）等比数列的证明方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中 0,0nq a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。
（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔ab A =22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；（2）两项之间的关系式：mn m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩3.等比数列的性质： （1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q=；当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)当1q≠时，b aq qa q qa S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.1212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
高中数学人教A版必修5课件：2.4.2等比数列的性质及应用(34张)
2 2 a 162 6 法三：因为{an}为等比数列，所以 a2· a10＝a2 ， a ＝ 6 10 以 q4＝81， 所以 a10＝a1q9＝a1q· q8＝2×812＝13 122. a6 162 4 法二：因为 q ＝a ＝ 2 ＝81， 2 所以 a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法归纳, 等比数列常用性质 (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则 am· an＝ap· aq. 特例：若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am· an＝a2 p. an (2)a ＝qn－m(m，n∈N*)． m (3)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原 来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列． (4) 数列{an} 为等比数列，则数列 {λan}(λ 为不等于 0 的常 1 数)a 仍然成等比数列． n
(4)若 m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则 am，ap，an 成 等比数列； 1 (5)数列{λan}(λ≠0)，a ，{a2 n}都是等比数列，且公比分别 n 1 是 q，q，q2. an (6)若{bn}是公比为 p 的等比数列，则{anbn}与b 也都是等 n q 比数列，公比分别为 pq 和p.
【课标要求】 1.掌握等比数列的几个基本性质，能够运用这些性质解决等 比数列中的有关问题. 2. 能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列 中的计算问题. 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题．
自主学习 |新知预习|
基础认识
等比数列常见性质 若{an}是等比数列，公比是 q，则 (1)an＝a1qn－1＝a2qn－2＝„＝amqn－m(n>m)； (2)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝„＝aman－m＋1(n>m)； (3)若 k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则 ak· al＝am· an ＝a2 p；
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)
6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比 数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.
等比数列的性质导学案
第二章 数列2.4.2等比数列的性质基本知识点：1、等比数列的项与序号的关系以及性质两项关系：(,)n m n m a a q m n N -*=∈多项关系：(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈ 则m n p q a a a a ⋅=⋅ 2、等比数列的判定（1）定义法：1n n a q a +=（q 为常数且不为零）⇔{}n a 为等比数列；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅（n N *∈且0n a ≠）⇔{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：11n na a q -=（10a ≠且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列；温故知新：1、等比数列}{n a 中，24a ＝6a -5a ，则公比是( )(A)0 (B)1或2 (C)-1或2 (D)－1或-22、若等比数列的首项为1，末项为512，公比为2，则这个数列的项数为____.3、若22是b -1，b +1的等比中项，则b =________.4、等比数列}{n a 中，已知2a =3,5a =24，求8a 的值.课后检测：1.在等比数列}{n a 中，若a 4＝-8，公比q =2，则a 8＝( )(A)128 (B)-128 (C)64 (D)-642.等差数列}{n a 的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( )(A)1 (B)2 (C)-3 (D)33.在等比数列}{n a 中，若a 3＝3，a 7=6，则a 11＝______.4.设等比数列}{n a 中，a 3是a 1,a 2的等差中项，则数列的公比为______.5.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的这三个数的 乘积.能力提高：已知数列}{n a 为等差数列且公差d ≠0，}{n a 的部分项组成下列数列：a 1k ,a 2k ,…,a n k 恰为等比数列,其中k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k n .参考答案：2.4.2课后检测：1．B 2．D 3．12 4.12-或1 5. 216 能力提高：由题意有2132k k k a a a =,即25117a a a =,∴(a 1+4d)2=a 1(a 1+16d)⇒ a 1=2d 或d=0(舍去）, ∴a 5=a 1+4d=6d ⇒等比数列的公比21k 5k 1a a q 3a a ===. 由于n k a 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项，故()n 1n 1k 1n k a a k 1d a q -=+-=,⇒n 1n k 231-=⋅-.。
2.4《等比数列的性质》(打印)导学案1
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级 姓名 设计者 日期 课题： § 2.4等比数列的性质 课时： 1课时【学习目标】1. 明确等比数列的定义并学会用定义判断一个数列是否为等比数列2. 掌握等比数列的通项公式及推导方法并能在解题中应用3. 学会与等差数列类比并掌握等比数列的相关性质【重难点】重点：理解等比数列的概念及通项公式的含义 难点：等比数列的有关性质及应用 【学习过程】 一、复习回顾1、等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 比值 都等于同一常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用q 表示 2、等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
即ab G ab G ±==则,23、等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式：11-⋅=n n q a a （0≠q ）二、讲授新课1、等比数列的性质 （1）nm n m qa a -=(m 、n *N ∈)（2）若m+n=p+q(m 、n 、p 、q *N ∈)时，（3）若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}{}2),0(n n a m ma ≠，{}n n b a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是等比数列 2、等比数列{}n a 的判断方法：（1）定义法：q a a nn =+1（常数）⇔{}n a 成等比数列；（2）通项公式法：)0(*∈⋅=N n q c q c a nn 的常数，均为不等于、 ⇔{}n a 成等比数列；（其中首项是： ，公比是： ） （3）等比中项法：221++⋅=n n n a a a ⇔}{n a 成等差数列；三、典型例题分析 例1、在等比数列{}n a 中，⑴已知6521,100,5a a a a 求：=⋅=⑵已知n a a a a a a 求：,36,6463432=+=⋅⋅当堂训练：（1）在等比数列{}n a 中，已知===852,10,4a a a 则（2）在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且=+==+848453106,5,71a a a a a a a a 则例2、已知数列的通向公式为：nn a 23⋅=，问：数列{}n a 是否为等比数列？若是，首项与公比分别是多少？当堂训练：已知数列{}n a 是首项为2，公差为-1的等差数列，令n an b )2(=，（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求通向公式{}n b四、课堂小结1、掌握等比数列的有关性质及应用2、学会用定义判断一个数列是否为等比数列五、巩固练习1、.等比数列{}n a 的各项为正数，公比q 满足的值为则54432,4a a a a q ++= （ ）A 、41B 、2C 、21± D 、212、已知数列{}n a 是公比1±≠q 的等比数列，则{}{}{}n n n n n n n na a a a a a a ,,,111⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++是 等比数列的有（ ）A.、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若995=a a ，则1032313log log log a a a +++等于（ ）A 、12B 、10C 、8D 、5log 23+4、已知等比数列{}n a 中，有71134a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则95b b +=5、在等比数列{}n a 中，=-==+107483q ,512,124a a a a a 为整数，则且公比 六、拓展与提高6、已知数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a ，(1)求证：{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式7、已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n a S ，(1)求证：{}n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式8、在公差不为零．．．．．的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知3822111,,,1b a b a b a a ====且（1）求数列{}n a 的公差d 和数列{}n b 的公比q（2）是否存在常数a,b 使得对于正整数n ，都有b b a n a n +=log 成立，若存在， 求出a 和b ，；若不存在，说明理由。
2020版新素养同步人教A版高中数学必修五课件：2.4.2等比数列的性质及应用
知识点二 等比数列的单调性 已知等比a数1>0列，{an或}的a首1<项0，为 a1，公比为 q，则 (1)当___q_>_1________0_<__q_<_1__时，等比数列{an}为递增数列； (2)当____a0_1<>_q_0<_，1___或___aq_1>_<1_0_，__时，等比数列{an}为递减数列； (3)当_q_＝___1_时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不 等于 0)； (4)当__q_<_0__时，等比数列{an}为摆动数列．
数列，则aa19008＋ ＋aa19901的值为(
)
A．1＋ 2 B．1－ 2
C．3＋2 2 D．3－2 2
(2)在公差 d 不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知 a1
＝1，且 a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.则数列{an}的公差 d 和数列{bn}的
公比 q 分别为________．
第二十一页，编辑于星期日：一点 三十二分。
状元随笔 先由数列{an}为等差数列及 a4＝10，将 a3，a6，a10 分别用 a4 和 公差 d 来表示，再根据 a3，a6，a10 成等比数列列出关于 d 的方程， 求出公差 d，最后求和.
第二十二页，编辑于星期日：一点 三十二分。
方法归纳 求解等差、等比数列综合的问题的技巧
第十九页，编辑于星期日：一点 三十二分。
跟踪训练 2 已知三个数成等比数列，其积为 1，第 2 项与第 3
项之和为－32，则这三个数依次为________．
解析：设这三个数分别为aq，a，aq.
a3＝1， 则a＋aq＝－32，
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已知 2 3 , 2 6 , 2 12 , 则 a , b , c ( )
a b c
A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列
能力提高 1 .若 数 列 a n 满 足 关 系 a 1 2, a n n+1 3 a n 2， a 1 求数列的通项公式
在等比数列{an}中距首、末两 性质 端等距离的两项的积相等，即 4 a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… 性质 在等比数列{an}中，序号成等 差数列的项仍成等比数列 5
课堂互动讲练
考点突破
等比数列的性质
在解有关等比数列的问题时，要注意利用等比数
列的性质，可以使问题变得简单、明了．
例1
(1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋
a n 1 an
q n N , q 0
通项 a a n 1 d n 1 公式
a n a1 q
n 1
例1：在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an
解： =a q2=4a =20 a
3 1 1
所以 a1=5
a6=a1
q5=5×32=160
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· 2a16)· 3a15)· a9 (a (a …· ＝a17＝(－2)17＝－217. 9 (3)∵{an}为等比数列，∴a2，a6，a10 仍 成等比数列， ∴a2＝a2a10， 6 a2 1622 6 ∴a10＝ ＝ ＝13122. a2 2
三个数成等比数列时，常设这三个数分别为 a， a aq，aq 或 ，a，aq； q
2
四个数成等比数列时，常设这四个数分别为 a， a a aq，aq ，aq 或 3， ，aq，aq3(公比为 q2)． q q
2 3
例2
有四个实数，前三个数成等比数列，且它
们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们
例3
【解】 由题意得，原计划三年中每年的产值组 成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d>0)， 则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，解得a＝100. 又由题意知(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成 等比数列，∴(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋ 11]． 将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)， 即d2＋d－110＝0.解得d＝10或d＝－11(舍去)． ∴原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万 元和110万元．
(4)∵{an}成等比数列且 an＞0， ∴a2＝a1a7，a2＝a2a8，a2＝a3a9. 4 5 6 ∴a2a2a2＝a1a7a2a8a3a9＝a1a2a3·7a8a9＝50. a 4 5 6 ∴a4a5a6＝5 2.
【答案】 (1)5 (2)－217 (3)13122 (4)A
等比数列的设法及求解
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________
2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______
3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________
知新盖能 等比数列的常用性质 q 通项公式的推广：an＝am· n－m (n， ______ 性质 m∈N*) 1 且 性质 若{an}为等比数列， k＋l＝m＋n(k， am·n a l，m，n∈N*)，则 ak·l＝________ a 2 若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列， 1 an 性质 2 则{λan}(λ≠0)， }， n}， n·n}， } { {a {a b { an bn 3 仍是等比数列
同理可得 a s a t a 1 q
2
st2
又因为 m n s t 所以 a m a n a s a t .
性质2：
若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
若m n 2s, 则am an as .
* n *
( 2 ) a n cq ( c , q 是 不 为 0的 常 数 ， n N ) { a n }是 等 比 数 列 ( 3 ) a n+1 a n a n 2 ( a n a n 1 a n 2 0 , n N )
* 2
{ a n }是 等 比 数 列
A．5 2 C．6
B．7 D．4 2
【思路点拨】 ①利用等比数列性质，若m＋n＝p ＋q，则aman＝apaq. ②若{an}成等比数列，则am，am＋n，am＋2n，…仍 成等比数列．
【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4＝a2， 3 a4a6＝a2， 5 把 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25 化为 a2＋2a3a5＋a2＝25 3 5 ⇒(a3＋a5)2＝25(an＞0) ⇒a3＋a5＝5.
【名师点评】
本题首先归结到等差数列和等
比数列两个数学模型，其次在设公差时，根据
题意知d>0，这是题中的隐含条件．
变式训练2
某工厂2010年生产某种机器零件100
万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万 件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这 个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？ 解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从 2010年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝ a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋ x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．
2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之 积为________．
(3)在等比数列中，若a2＝2，a6＝162，则a10＝ ________. (4)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数 的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝( )
2
如果在a与b之间，插入一个数G，使a , G , b构成等比数列,G叫做a与b得等比中项
探究二
已知等比数列{an}首项a1, 公比q，取出数列中的所有 奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a4 , a7 , a11 …… 呢？
你能得到一般性结论吗？
性质2：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列
m 1
则有 a n a 1 q 从而 an am q
, a m a1 q
nm
,即 a n a m q
nm
.
性质1 ：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
nm
.
注：运用此公式，已知任意两项， 可求等比数列中的其他项
设数列
a n 为等差数列，且
等比数列的实际应用
某工厂三年的生产计划中，从第二年起每 一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值 为300万元．如果第一年、第二年、第三年分别 比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么 每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求 原计划中每年的产值． 【思路点拨】 审清题意，抽象出数学模型．“ 从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同” 说明原计划三年产值成等差数列；“每一年比上 一年的产值增长的百分数都相同”说明新产值构 成等比数列．
由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21， ∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1， ∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)， a2＝100(1＋x)＝110(万件)， 所以每年增长的百分率为10%,2011年生产这种零 件110万件．
方法感悟
等比数列的性质 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列为递 增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列为递减 数列； 当q＝1时，数列为常数列； 当q＜0时，数列为摆动数列．
法二：设后三个数为 4－d,4,4＋d，则第一个数为 1 1 2 2 (4－d) ，由题意 (4－d) · (4－d)· 4＝216，解得 4 4 4 －d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.
变式训练1
已知三个数成等比数列，它们的积为
27，它们的平方和为91，求这三个数．
解：设三个数依次为 a，aq，aq2， a· aq2＝27 aq· 由题意知 2 ， 2 2 2 4 a ＋a q ＋a q ＝91
2.4.2等比数列的性质
一、旧知复习
等差数列
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列
定 义
符号 a a d n N n 1 n 语言
(2)an＝amqn－m(m，n∈N*)．
(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝
apaq.
(4)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，则
am，an，ap成等比数列．
m , n , p , q N ，
若 m n p q,则 am an a p aq .
若 m n 2 p,则 am an 2a p.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
a32=a1.a5是否成立?
n 1
a a