2019数学人教a版选修4-4优化练习：第二讲 二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程 word版含解析
2019数学人教A版选修4-4优化练习：第二讲 一 第二课时 圆的参数方程 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－1，y ＝sin θ＋1(θ为参数)的普通方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1解析：由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －1，两式平方再相加，可得(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，故选C.答案：C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是( ) A ．直线B ．点C ．圆D ．椭圆解析：将参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．答案：C3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是( ) A ．0B ．10C ．0或10D ．无解解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r ＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d ＝|m －5|5＝1，解得m ＝0或m ＝10. 答案：C4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得：(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.答案：A5．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k ＝( ) A.33 B ．－33 C ．±33D. 3 解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以曲线C 是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C 与直线l 有唯一的公共点，即圆C 与直线l 相切，则圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2k －0|k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝±33. 答案：C6．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32. ∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)，(1，－3)7．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________. 解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或θ＝5π6. 答案：π6或5π68．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ， 得x 2＋y 2＝(3sin θ＋4cos θ)2＋(4sin θ－3cos θ)2＝25(sin 2 θ＋cos 2 θ)＝25，所以圆的半径为5.答案：59．圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α－4Ry sin α＋3R 2＝0(R ＞0)．(1)求该圆的圆心坐标以及半径；(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹．解析：(1)依题意，得圆M 的方程为(x －2R cos α)2＋(y －2R sin α)2＝R 2，故圆心坐标为M (2R cos α，2R sin α)，半径为R .(2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2R cos α，y ＝2R sin α(其中α为参数)， 两式平方相加，得x 2＋y 2＝4R 2.所以，圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．10．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝2x ＋y 的最值．解析：由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆， 设x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，∴S ＝2x ＋y ＝2＋4cos θ－2＋2sin θ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，∴－25≤S ≤2 5.∴S 的最大值为25，最小值为－2 5.[B 组 能力提升]1．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，而l 的方程为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010. 又∵71010<3，141010>3，∴有2个点． 答案：B2．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ，即为圆(x －2)2＋y 2＝1. 直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1， 即|2－b |2<1，∴2－2<b <2＋ 2. 答案：D3．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ为所求． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ 4．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ＜2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．解析：当θ＝43π时，x ＝2＋4cos 43π＝0， y ＝－3＋4sin 43π＝－33， ∴点P 的坐标是(0，－33)．答案：(0，－33)5．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 的中点．(1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解析：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ. (2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝6＋2cosθ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧ x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．。
2019-2020学年人教A版高中数学选修4-4练习：第2讲参数方程二圆锥曲线的参数方程 Word版含答案
二 圆锥曲线的参数方程一、基础达标 1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 24＝1 B.x 2＋y 22＝1C.y 2＋x 24＝1D.y 2＋x 24＝1解析 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.答案 A2.方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一部分解析 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]，∴曲线应为双曲线的一部分.答案 D3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C4.当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线D.线段解析 设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ，即x 2＝sin θ－cos θ，y 3＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得x 24＋y 29＝2，是椭圆.答案 B5.实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案 56.抛物线y ＝x 2－2x t的顶点轨迹的普通方程为________.解析 抛物线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t 2－1t 2，∴其顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－1t 2，记M (x ，y )为所求轨迹上任意一点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝－1t 2，消去t 得y ＝－x 2(x ≠0).答案 y ＝－x 2(x ≠0)7.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？ 解 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t ，2t 2).设P (x ，y )，则M 是OP 中点.∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A.RB.(0，＋∞)C.(0，1)D.[0，1)解析 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m ＜1. 答案 D9.圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________.解析 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0) 10.设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0. 答案 ρcos 2θ－sin θ＝011.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.解 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0，4).因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上.(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.解 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a ＞b ＞0，0≤θ＜2π.由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b .设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2cos 2θ＋⎝⎛⎭⎪⎫b sin θ－322＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋12b 2＋4b 2＋3，如果12b ＞1即b ＜12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322，由此得b ＝7－32＞12，与b ＜12矛盾.因此必有12b ≤1成立，于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12到点P 的距离都是7.。
高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲二2.-3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程-含答案
2．～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程[对应学生用书P25]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2. (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ.2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2ptt ∈R . (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[对应学生用书P25][例1] (1)双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t1＋cos 2t化为普通方程是________．[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去t .[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α化为y 236－x 212＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝36＋12＝43，故焦点坐标是(0，±43)． (2)由y ＝1－cos 2t1＋cos 2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±43)；(2)y ＝x 2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上；如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上．1．如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1， 故P 到它左焦点的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 2＋x 2＝6.则|AB |＝________.解析：化为普通方程是：x ＝y 24即y 2＝4x ，∴p ＝2. ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8[例2] 连结原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨] 由条件可知，M 点是线段OP 的中点，利用中点坐标公式，求出点P 的轨迹方程，再判断曲线类型．[解] 设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2用中点公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.变形为y 0＝14x 20，即P 点的轨迹方程为x 2＝4y . 表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．3．设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1和F 2为两个焦点，证明：|F 1P |·|F 2P |＝|OP |2.。
高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第二讲 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程 Word版含答案
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt，t ∈R ． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在y 轴上．3．若抛物线的参数方程表示为⎩⎨⎧x ＝2ptan 2α，y ＝2p tan α.则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2 得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，则B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2，∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1， ∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin （θ－φ）|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(广东高考)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎨⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EF A 中，|EF |＝2|F A |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3（sin 2θ＋cos 2θ）cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t2y ＝4t得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －2－t，y ＝2t＋2－t (t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得： x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4， 即y 2－x 2＝4.又注意到2t >0，2t ＋2－t ≥22t ·2－t ＝2，即y ≥2.可见与以上参数方程等价的普通方程为： y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 二、填空题5．(陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，则焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，则x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，则中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β) ＝－a （sec α－sec β）b （tan α－tan β）[x －a 2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a (sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2. ∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴k AP ＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
新人教A版选修4高中数学第2章参数方程二第二课时双曲线抛物线的参数方程课件
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 a b π 3π 数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)且 φ≠ ，φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 2t， 4．抛物线 2 y ＝ 1 － 4 t
(t 为参数)在 x 轴上截得的弦长是________．
1 1 1 解析：令 y＝0，得 t＝± .当 t＝ 时，x＝2；当 t＝－ 时，x＝－2，∴抛物线与 x 轴 2 2 2 交于点(2,0)，(－2,0)，即弦长是 4.
2 x ＝ 2 pt ， 1．(1)已知抛物线的参数方程为 y＝2pt
(t 为参数)，其中 p＞0，焦点为 F，准线
为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3， 则 p＝________.
x＝2tan φ， (2)双曲线 y＝2sec φ
x＝2 3tan (1)将 y＝6sec α
α，
y2 x2 化为 － ＝1， 36 12
可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，± 4 3)． 1－cos 2t 2sin2t 2 (2)由 y＝ ＝ 2 ＝tan t， 1＋cos 2t 2cos t 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程．
x＝btan φ， y＝asec φ. 的参数方程是_____________ x＝asec φ， y＝btan φ 规定参 的参数方程是___________
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
数学人教A版选修4-4课后导练 第二讲二圆锥曲线的参数
课后导练基础达标1.点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,则x+y 的最大值是( )A.3+5B.5+5C.5D.3解析:由于点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,有⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin 1,cos 22y x (φ为参数).∴x +y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y 的最大值为3+5. 答案:A 2.参数方程⎩⎨⎧∙=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( )解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得x 2=1+2sinθcosθ=1+2y. ∴y=21x 2-21, 且x=sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)∈［2,2-］ 答案:C3.在椭圆42x +y 2=1上求一点P,使点P 到直线x-y+4=0的距离最小.解:∵点P 在椭圆42x +y 2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有d=⇒-+=+-2sin cos 242|4sin cos 2|ϕϕϕϕd=2)sin(54θϕ--.当φ-θ=2π时,d 最小=21024254-=-. 这时P(51,54-).4.直线y=2x-21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是____________. 解析:曲线方程消去参数得y=1-2x 2与y=2x-21联立得4x 2+4x-3=0. ∴x 1=21,x 2=23-. ∵-1≤x≤1,∴x=21,y=21. 答案:(21,21)5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d 的最小值为( )A.225 B.229 C.22D.0 解析:d=2|5)3cos(4|2|5sin 32cos 2|-+=--πθθθ,∵-9≤4cos(θ+3π)-5≤-1, ∴d 的最小值为2221=. 答案:C6.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A 、B 两点,在椭圆上求一点P,使△ABP 的面积最大.分析:因为A 、B 为两定点,AB 为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解:设椭圆C 上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l 和定椭圆C 截得的弦长为定长,又设P 到直线l 的距离为d,则d=515|1)sin 22(2cos 31|=++-++θθ|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+23π-α,k ∈Z 时,d 有最大值,这时△ABP 的面积最大. ∵sinθ=sin(2kπ+23π-α)=-cosα=54-,cosθ=-sinα=53-,∴P(54-,518-)为所求.综合运用7.已知抛物线y 2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称,求p 的取值范围. 分析:利用抛物线的参数方程,设点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p 的不等式.解:设抛物线上两点A 、B 的坐标分别为(2px 12、2px 1),(2px 22,2px 2)且关于直线x+y-1=0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++.1)(2)(2,1)()(212212212221x x p x x p x x p x x p由第二个方程可得x 1+x 2=1,代入第一个方程得x 12+x 22=pp-1>0, 故0<p<1.又由)2(2212221x x x x +>+2,得pp -1>21, 即0<p<32为所求. 8.点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动,点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动,求PQ 的最大值与最小值,及相应的点Q 的坐标.解:设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q 2=(2cosα)2+(sinα-2)2 =4cos 2α+sin 2α-4sinα+4=-3(sinα+32)2+8+34. 故当sinα=32-时,O′Q 2取最大值为328,O′Q=3212.当sinα=1,O′Q 2取最小值为1,O′Q=1. 又圆的半径为21, 故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212, P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21.PQ 取最大值时,si nα=32-,cosα=±941-=±35,Q 的坐标为(32,352-)或(32,352--); PQ 取最小值时,sinα=1,cosα=0,点Q 的坐标为(0,1).9.(1)求椭圆2222by a x +=1的内接矩形的最大面积;(2)已知矩形ABCD 中,点C 坐标为(4,4),A 点在曲线x 2+y 2=9(x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 两边始终分别平行于x 、y 坐标轴,求矩形ABCD 面积最小时点A 的坐标.解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosθ,bsinθ),则有S 内接矩形=4S 矩形AOBP =4·acosθ·bsinθ=2absin2θ. ∵θ∈［0,2π］, ∴2θ∈［0,π］.∴S 内接矩形的最大值为2ab.(2)如图所示,设A(x,y),又设矩形ABCD 的面积为S,则有S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y)+xy. ∵A(x,y)在曲线x 2+y 2=9上, ∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=9.∴xy=29)(2-+y x .∴S=16-4(x+y)+29)(2-+y x =21［(x+y)-4］2+27.又∵x=3cosθ,y=3sinθ(0<θ<2π), ∴x+y=3(cosθ+sinθ)=23sin(θ+4π). ∵4π<θ+4π<43π,∴3<x+y≤23. ∴当x+y=4时,S 有最小值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=⎪⎩⎪⎨⎧=-=∙=+.224,224,272916,4 y x y x y x 得 ∴A 点坐标为(224,224-+)或(224,224+-).拓展探究10.已知直线l 过坐标原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,若点A(-1,0)、B(0,8)关于l 的对称点都在C 上,求直线l 和抛物线C 的方程.分析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试. 解:设A 、B 关于直线l 的对称点分别为A 1、B 1,由对称性知∠A 1OB 1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A 1(2pt 12,2pt 1)(t 1<0),B 1(2pt 22,2pt 2),又OA 1=OA=1,OB 1=OB=8,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.64)2()2(,1)2()2(2222221221pt pt pt pt两式相除得21412242t t tt ++=64.又∵211,111t k t k OB OA ==,OA 1⊥OB 1, ∴11O B O A k k ∙=-1,即t 1·t 2=-1. 则可将t 2=11t -代入上式,得t 16=641,t 1=-21.故有2p=554. ∴A 1(552,55-).∴251,2511+=-=t AA k k . 故所求直线l 的方程为y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
解：设 A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)， 则以 OA 为直径的圆的方程为 x2＋y2－2pt21x－2pt1y＝0， 以 OB 为直径的圆的方程为 x2＋y2－2pt22x－2pt2y＝0，
即 t1，t2 为方程 2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0 的两根， －（x2＋y2）
归纳升华 若点 M 在抛物线 y2＝2px(p>0)上，可根据其参数方 程设 M(2pt2，2pt)，从而把与抛物线上的点的坐标有关的 问题转化为与参数 t 有关的问题．
[变式训练] 已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过顶点的两 弦 OA⊥OB 于 O，求分别以 OA，OB 为直径的两圆的另 一交点 Q 的轨迹．
x＝asec θ， 的参数方程为__y_＝__b_t_a_n_θ_____
θ为参数，θ∈[0，2π）且θ≠π2，θ≠32π.
温馨提示 参数 θ 是点 M 所对应的圆的半径的旋转 角(称为点 M 的离心角)，而不是 OM 的旋转角．
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
审题指导：利用抛物线的参数方程，将△AOB 的面
积用其参数表示，再利用均值不等式求最值．
新课标人教版高中数学选修4-4第二讲第二节双曲线与抛物线的参数方程练习题2
帰时訓练10 珥曲绻与抠物缉的赛数方穩1■■ '- 4- -. *■ 1D.抛物线的一部分、这部分过点(-141». ti 知勵纯的壽?敕方榨沖『 “ \t 为壽#O,点A.B 虑曲纯匕时应的翕数分團为“和乩若巧十1円搭 亦=0*则帆El 零于C >&2扒气一岭〉B. 2^<^+tz)二"填空题⑴2+临1抄如为曇數)的渐近线的方耦为____________ .y "■ &ec <p +8. _____________________________________________ 抛物线疋一罕的顶点敕迹的普遹方程为__________________________________________________________ ・R. . - , , . 5 , , ■朿小■1| J ■■ ― V r ,JF1峙—»木 _________________________________ <r 为雾数川>0片则曲线C 的普通方程为 _____________________________ ・HE 设M 为拋物线工上的动点*结定点M s (-l t 0),点F 分的比为2 T’卿点尸的轨迹方 程基 *一“选择题4嬴E 怡甦蠶数)的像点坐标是(®帚3饰n 0扎(-5*0)監已知某条曲线的藝数方理为B. <5.0)L=^(a+-i), '1 / 1 \C.a 是裁数儿则该曲纯A.銭段Ia 双曲线为参数)的两然点坐标遷( t=5sec aA*【0,—4庙〉8 fe武；七：- ■ ' * -1/ -'，二u®W )*(o ，Q氏圆U 双曲純BM —必 屈 0)D.W;TW ；4.点F(bO)到曲线严T t 参数坨田上的点的最短距离为( =2; /：■■-A.0B.1.…. ^ ..-9亠十a cos y+sm@为参数，且0<tf<2K )«示( )尸評】+血冊■，' •弘■'. ■ . . '■^ 打 .1•J■..■ 「” ■ T. ”" ''■ >i-,1- g >A. 抛物线的一部分，这部分过点(l.y)1Ai S *. J 8 4J' " ' : "P - ■,「：. ..'* -B, 取曲銭的一支•这支过点(嗨)“——"bf)U 双曲线的一支，谊支过点>■1C, 2小一奇工双曲线 ，已知曲鰻C 的蠢数方程为三、解答题口设M为抛物线= 上的动点.定点M( —1沱片点P为线段M“M的币点，求点P的轨迹方程.12.已知圆O1 ’云+6 —2尸弓1上〜点P •与双曲线护一y = 1上一点Q,求F,Q两点距离的最小值*13.如图，址P为筹轴双曲线才一b = l上的一点，耳，F,是两个焦点，* r1:'圧明訂尸鬥I • \PF i\^\OP\\ ,厂，-参考答案：•,…• I丰 7 -■ ■;"课时训练e 双曲钱与抛物线的参数方程一*选探题*#_ ¥；'小.品出/⑴为秦#o,3tan 8：・00惟曲践是中心在廉点，洪轴在足轴上的取曲一'•-j IB.'i线皿=4/士 3.丄=,.・•.:■;■■ W ::::・;-..:、:Ac J=!a :1 + 6e ~25*i ・'・「=5・ 二它苗氷点坐标曲(士队0人■卜■r.• ■*■；(“十寺卜 > =■ ■-. . •两真枷加得工+』・"，®cos 2 务十昂讨-|'T F2CQ 3 y-sin 1 + sin ff t斗申'i ' a ■iti d-*k 、：,卓亠? ..j ・・； J] f T"1_•■■ •「・y -三F#且x>0.»表示抛杨线的J 邯分.bC 僅申由JT 严2曲丰苍=2pf 訂 ’• L ___JA JT , — J ；2—2p<(；—+^)((] —E J=-Q 则有 i AB|f |凶一”X V y r = 2^1* t T yi•启―■*I —2, h ; !|J V S ；{3. A 4, B 5. A 解析：lan a=^—seej2^3 6 ：,iij sec 1 or —： n ；得若— —h —6£<2^>! ' 36 12 * i "I W . i .AAA y 轴上，且』=□"+卅=48$■易痔戒曲践的駄点坐标是(0.-473),(0M#),r. _ 2 ■>^r 1 ■；f ：. ■.. Us --解析疽B=a —m+y =(严一M+*严=広十1尸a H- !，- ..■■■- .i「 ；丁疋R 匸逛.二1 J解析；苗養数汙程密JC'= !：■• i-r ■ 4 r ? • / -*. J :- S ,-二*填空题 ；'it ： ■ ■厂：「G ■/丁」—士*（工一21解箭’艰曲裁,的歌数才祂花为普通芳1 ' - II芒；；、"程菊b 一竺产=4取塾线的中占在段小几鶯点在 直线 X = 2 ±,<a=l f 6*-3f咒漸近議去段初=士专9一2匚 -;解析：拠畅蛭曲程可化为丿（比一+）；■ .■ /.'-> 上’：'■■/'；<：-7二其顶点弟（+，-*） d© MQ ：心）寿册求轨逵上（ 1 •;仃■姜旷得卅（上梓Oh9. +6 t# 析：国论 J ：所必 卅+ g = E 十丄=寻*E u I ・fet 曲歧C 时普通污程为3工*一，十或土①f1軌"=可工+不，解柝；血囲*母M （2iS2O J J Cx^>,V 点P 分M a M 的比为 2 < U」•FR2 " 3 .4消去参it 冇得，■百方粒三JMf ,、； 、 （. ■ ^ ;用11■解:设点 M （竝■ $•人壶F （』■$）■令 恥=则 竝=・. - B¥=2凡得抛勵减的舉數方輕为 $'列‘"为參 2 L 严如J 1 ■|r B - E■［亠 卡 」 I事 r ； •:, A如，即动点JVf （2i\2d,定点 H （-1JO ）\曲申甜 童■卜=寺（-1+2产），—_JL 十儿 标公却彳 印f2十八仃为(W十口七T 一一 Z1十20+2X2(工十g A ■ -4,和为卩松的轨徒…”■-T：U=X家数）是F点妁轨迹的泰數才萩•其化为普通方軽痈, i _T r<i.I I " 「二］—I " . +、：i .衬=H+豆. —，£*. =■■'・• * •@解：设Q（沁佻Urn £?）t A RtAOiQP 中・|0屮| =1, IOP| + |PQ"|QQ|「「' ^ X IO|Q|r ==1sec I（?+,（tan ' ■--:-,=Ktan:&+1）4-（tan1 ff— 4tan。
高中数学人教A版选修4-4同步辅导与检测第二讲 二 第三课时 抛物线的参数方程
过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两
点，求线段MN的中点的轨迹方程． 分析：本题有多种解法，下面选取两种较典型方法．
2 x＝8t ， 解析：解法一：设抛物线的参数方程为 y＝8t 2 数)，可设 M(8t2 ， 8 t ) ， N (8 t 1 1 2，8t2)， 8t2－8t1 1 则 kMN＝ 2 . 2＝ 8t2－8t1 t1＋t2 又设 MN 的中点为 P(x，y)， 2 8 t2 ＋ 8 t 1 2 x ＝ ， 2
y1－y2 8 ∴ ＝ .=k x1－x2 y1＋y2 MN 设线段 MN 的中点为 P(x，y)， ∴y1＋y2＝2y. y 由 kPA＝ ， x－1 y1－y2 8 4 又 kMN＝ ＝ ＝ ， x1－x2 y1＋y2 y y 4 ∴ ＝ ，即 y2＝4(x－1)． x－1 y ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
1．点
2 x ＝ t ， P(1,0)到曲线 y＝2t
(其中参数 t∈R)上的点的最 C. 2 D．2
短距离为( B ) A．0
2．若曲线 (t 为参数)上异于原点的不同两点 2 y＝2pt M1，M2 所对应的参数分别是 t1，t2，则弦 M1M2 所在直线的斜 率是( A ) 1 1 A．t1＋t2 B．t1－t2 C. D. t1＋t2 t1－t2
二 圆锥曲线的参数方程
第三课时 抛物线的参数方程
1．弄清曲线参数方程的概念． 2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程． 3．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法． 4.利用抛物线的参数方程求最值和有关点的轨迹.
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________，准线方程是 ________． 抛物线x2＝2y的焦点坐标为________，准线方程是 ________． 2 x 2 pt , 2．抛物线y2＝2px(p＞o)的参数方程为 (t为参数). y 2 pt （t∈R）.
2019最新高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲二2
2019最新高中数学人教A 版选修4-4学案：第二讲二21．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线－＝1的参数方程是规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠.(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线－＝1的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝btan φ，y ＝asec φ.2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px 的参数方程为t∈R.(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[(2)将方程化为普通方程是________．[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去t.[解析] (1)将化为－＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝＝4，故焦点坐标是(0，±4)．(2)由y ＝＝＝tan2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x2，即为所求方程．[答案] (1)(0，±4)；(2)y ＝x2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上；如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上．1．如果双曲线(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，故P 到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.答案：10或62．过抛物线(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x2＋x2＝6.则|AB|＝________.解析：化为普通方程是：x ＝即y2＝4x ，∴p＝2.∴|AB|＝x1＋x2＋p ＝8.答案：8[例OM 到P点，使|OM|＝|MP|，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨] 由条件可知，M 点是线段OP 的中点，利用中点坐标公式，求出点P 的轨迹方程，再判断曲线类型．[解] 设M(x 、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为用中点公式得⎩⎨⎧ x0＝4t ，y0＝4t2.变形为y0＝x ，即P 点的轨迹方程为x2＝4y.表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引。
2019年人教A版选修4-4高中数学过关习题第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 及答案
第二讲 参数方程二、圆锥曲线的参数方程第2课时 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24，y ＝t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数) 解析：逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 答案：D2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：因为x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4， 且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2， 所以表示双曲线的右支． 答案：B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2[来源:学_科_网Z_X_X_K]C.1t 1＋t 2D.1t 1－t 2[来源:] 解析：依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22)， 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝（t 1＋t 2）（t 1－t 2）t 1－t 2＝t 1＋t 2.答案：A4．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解析：设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1. 答案：B5．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5，[来源:] 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ，[来源:Z 。
2019秋 金版学案 数学·选修4-4(人教A版)练习：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程第2课时 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝t 24，y ＝t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数) 解析：逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 答案：D2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t ，y ＝e t－e －t (t 为参数)的图形是( )A ．双曲线左支B ．双曲线右支C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：因为x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4， 且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2， 所以表示双曲线的右支． 答案：B3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p >0)，点A ，B在曲线上对应的参数分别为t 1和t 2，若t 1＋t 2＝0，则|AB |等于( )A ．2p (t 1－t 2)B ．2p (t 21＋t 22)C ．2p |t 1－t 2|D ．2p (t 1－t 2)2解析：因为x 1＝2pt 21，x 2＝2pt 22，所以x 1－x 2＝2p (t 21－t 22)＝2p (t 1＋t 2)·(t 1－t 2)＝0，所以|AB |＝|y 2－y 1|，又因为y 1＝2pt 1，y 2＝2pt 2，所以|y 2－y 1|＝2p |t 1－t 2|.答案：C4．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C.2 D ．2解析：设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1. 答案：B5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．[0，1)解析：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.答案：D 二、填空题6．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2的顶点坐标为________．解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x 轴，且a ＝3，故顶点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0)7．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y 2－x23＝1，此时a ＝1，b ＝3，设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±33.所以α＝30°或150°. 答案：30°或150°8．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝0 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .所以消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝⎛⎭⎪⎫12，－1.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2.又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以k AP ＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2）， 则y2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14＝4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．B 级 能力提升1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则 x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 答案：A2．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)3．求点P (0，1)到双曲线x 2－y 2＝4的最小距离．解：设双曲线x 2－y 2＝4上任一点坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫2cos φ，2tan φ，则|PM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos φ2＋(2tan φ－1)2＝4(1＋tan 2 φ)＋4tan 2 φ－4tan φ＋1 ＝8tan 2 φ－4tan φ＋5＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ－142＋92.则当tan φ＝14时，|PM |2min ＝92.所以|PM |min ＝322，即点P 到双曲线的最小距离为322.。
2019-2020年数学人教A版选修4-4优化课件：第二讲 二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程
(t 为参数)表示的曲线的焦距为________．
解析：把参数方程平方化为
x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2， ∴x2－y2＝4 化为标准方程为x42－y42＝1， 这是等轴双曲线 a2＝b2＝4， ∴c2＝a2＋b2＝8，∴焦距 2c＝2×2 物线xy＝＝14－t，4t2 (t 为参数)在 x 轴上截得的弦长是________． 解析：令 y＝0，得 t＝±12.当 t＝12时，x＝2；当 t＝－12时，x＝－2，∴抛物线与 x 轴 交于点(2,0)，(－2,0)，即弦长是 4. 答案：4
所以 y2M＝6p，所以 E－p2，± 6p，Fp2，0， 所以p2＋3＝ p2＋6p， 所以 p2＋4p－12＝0，解得 p＝2(负值舍去)．
(2)由xy＝＝22steacn
φ， φ
(φ 为参数)化为普通方程为
y42－x42＝1，
∴离心率 e＝ 2，焦点坐标为(0，±2 2)． 答案：(1)2
为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，
则 p＝________.
(2)双曲线xy＝＝22steacn
φ， φ
(φ 为参数)的离心率是________，焦点坐标是________．
解析：(1)根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是 y2＝2px，把 M 的横坐标 带入方程．
又圆心 C(0,2)，则
|CQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3，
当 tan θ＝1，即 θ＝π4时， |CQ|2 取最小值 3，此时有|CQ|min＝ 3. 又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝ 3－1.
四川省2019春人教版数学选修4-4课后练 2.1 曲线的参数方程 2.1.2 课后 Word版含答案
第二讲 2.1 2.1.2一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( C )A ．x 2＝yB ．y 2＝xC ．x 2＝y (0≤y ≤2)D ．以上都不对解析：将x ＝sin θ＋cos θ两边平方得x 2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋sin 2θ＝y . 而y ＝1＋sin 2θ∈[0,2]，故选C ．2．(2016·湖北武汉期末)与参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( D )A ．x 22＋y 28＝1B ．x 22＋y 28＝1(0≤x ≤1)C ．x 22＋y 28＝1(0≤y ≤2)D ．x 22＋y 28＝1(0≤x ≤2，0≤y ≤22)解析：x 2＝1＋t ，y 24＝1－t ，故x 2＋y 24＝2，而－1≤t ≤1，得0≤x ≤2，0≤y ≤2 2.故选D ．3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为 ( D )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点解析：x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1， 又x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D ．4．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( A )A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．－π6或－5π6解析：直线l 的普通方程为tan θ·x －y ＝0，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 所以圆心(4,0)到直线l 的距离d ＝|4tan θ|tan 2θ＋1＝2，解得 tan θ＝±33，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝π6或θ＝5π6，故选A ．5．(2016·湖北黄冈中学期末)已知0＜r 2＜2＋1，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)与曲线C 2：x 2＋y 2＝r 22的位置关系是( B )A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含解析：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，两圆心之间的距离||C 1C 2＝12＋(－1)2＝2，所以r 1－r 2＜||C 1C 2＜r 1＋r 2，故选B ．6．下列参数方程(t 为参数)中，与x 2－4y ＝0表示同一曲线的是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t4B ．⎩⎨⎧x ＝1ty ＝14tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝cos 2tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：A 化为普通方程是x 2－4y ＝0，但有x ≥0限制．B 化为普通方程是x 2－4y ＝0，但有x >0的限制，而原方程无限制．C 化为普通方程是x 2－4y ＝0，但有x ∈[－2,2]的限制，原方程无限制．D 化为普通方程是x 2－4y ＝0，x ∈R 与原方程等价．故选D ． 二、填空题7．参数方程⎩⎨⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)表示的曲线的焦点坐标是(10,0)，(－10,0)．解析：∵⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4，∴⎝⎛⎭⎫x 32－⎝⎛⎭⎫y42＝4， ∴x 236－y 264＝1.故它的焦点坐标是(10,0)，(－10,0)． 8．(2016·江西九江一中检测)直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝2(e t －e －t )(t 为参数)的普通方程为x 24－y 216＝1(x ≥2)．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y 2＝(e t －e －t )⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝2e t ，x －y 2＝2e －t ⇒⎝⎛⎭⎫x ＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y2＝4. 三、解答题10．以过点A (0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．解析：设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上不同于点A (0,4)和(0，－4)的任意一点，则y －4x －0＝k (k ≠0)，所以y ＝kx ＋4(k ≠0)．将y ＝kx ＋4代入4x 2＋y 2＝16，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0，k 为参数)．当k ＝0时，A (0,4)在曲线4x 2＋y 2＝16上；当k 不存在时，即点M 为(0，－4)，在曲线4x 2＋y 2＝16上．故所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2(k 为参数)．11．(2016·湖北团风中学期末)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求||AB 的最小值．解析：消掉参数θ，得到关于x ，y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2表示的是以原点为圆心的单位圆，两圆心之间的距离||C 1C 2＝3，所以||AB 的最小值为||C 1C 2－r 1－r 2＝3－1－1＝1.12．(2016·重庆高三质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解析：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.。
第二课时双曲线、抛物线的参数方程-人教A版高中数学选修4-4优化练习
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1， 所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C. 答案：C2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t－e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t－(e 2t －2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支． 答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，则点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案：B4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2,0)为端点的射线 C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，y ＝12⎝⎛⎭⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果． 答案：C6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数得： y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)， 直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0. 因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， 由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案： 28．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)的离心率e 1＝a 2＋b 2a，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率e 2＝a 2＋b 2b ，∴e 1＋e 2＝a 2＋b 2(a ＋b )ab ≥22abab ＝2 2.当且仅当a ＝b 时取等号，所以最小值为2 2. 答案：2 29．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，所以|MN |＝ (2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2|＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4p 2.故M ，N 两点间的距离为4p 2.10.如图所示，O 是直角坐标系的原点，A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，A ，B 在什么位置时△AOB 的面积最小？最小值是多少？解析：根据题意，设点A ，B 的坐标分别为A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)(t 1≠t 2，且t 1t 2≠0)，则|OA |＝ (2pt 21)2＋(2pt 1)2＝2p |t 1|t 21＋1， |OB |＝(2pt 22)2＋(2pt 2)2＝2p |t 2|t 22＋1.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即2pt 21·2pt 22＋2pt 1·2pt 2＝0，所以t 1·t 2＝－1. 又因△AOB 的面积为： S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·2p |t 1|t 21＋1·2p |t 2|t 22＋1 ＝2p 2|t 1t 2|(t 21＋1)(t 22＋1) ＝2p 2t 21＋t 22＋2＝2p 2t 21＋1t 21＋2≥2p 22＋2＝4p 2. 当且仅当t 21＝1t 21，即t 1＝1，t 2＝－1或t 1＝－1，t 2＝1时，等号成立． 所以A ，B 的坐标分别为(2p,2p )，(2p ，－2p )或(2p ，－2p )，(2p,2p )时，△AOB 的面积最小，最小值为4p 2.[B 组 能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16 (y ≠0)． 答案：A2．参数方程⎩⎨⎧x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ)(0＜θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫1，12 B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫－1，12解析：∵x 2＝(cos θ2＋sin θ2)2＝1＋sin θ＝2y ，∴方程x 2＝2y 表示抛物线．又∵x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4， 且0＜θ＜2π， ∴0≤x ≤ 2，故选B. 答案：B3．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t ，关于直线x ＋y －2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．解析：抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 的普通方程为y 2＝x ，是以x 轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x ＋y －2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x ＝2，且开口方向向下，所以焦点变为⎝⎛⎭⎫2，2－14，即⎝⎛⎭⎫2，74.答案：⎝⎛⎭⎫2，74 4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，可得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)，整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 答案：635.如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ.① 将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ. 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tan φ.② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2.设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤ 4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.6．已知曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ.(1)当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？(2)当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为⎩⎨⎧2xe t ＋e －t＝cos θ，2ye t－e－t＝sin θ.平方相加消去θ，得x 2⎝⎛⎭⎫e t ＋e －t 22＋y 2⎝⎛⎭⎫e t －e －t 22＝1.②因为(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C 为椭圆．(2)将方程①化为⎩⎨⎧2xcos θ＝e t ＋e－t，2ysin θ＝e t－e－t.平方相减消去t ，得x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.③所以方程③的曲线为双曲线，即C 为双曲线． (3)在方程②中⎝⎛⎭⎫e t＋e －t22－⎝⎛⎭⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．。
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[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．若点P(3，m)在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧ x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF|
等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1， 所以|PF|为P(3，m)到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C.
答案：C
2．方程⎩⎨⎧ x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( )
A ．双曲线左支
B ．双曲线右支
C ．双曲线上支
D ．双曲线下支 解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.
∴表示双曲线的右支．
答案：B
3．点P(1,0)到曲线⎩⎨⎧ x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是
( )
A ．0
B ．1 C. 2
D ．2 解析：方程⎩⎨⎧ x ＝t 2，y ＝2t 表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M(x ，
y)是抛物线上任意一点，则点M(x ，y)到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.
答案：B
4．若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ
(θ为参数)，则曲线C 上的
点的轨迹是( )
A ．直线x ＋2y －2＝0
B ．以(2,0)为端点的射线
C ．圆(x －1)2＋y 2＝1
D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D
5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，则该
曲线是( )
A ．线段
B ．圆
C ．双曲线
D ．圆的一部分 解析：将所给参数方程的两式平方后相减，
得x 2－y 2＝1.
并且由|x|＝12⎪
⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果．
答案：C
6．已知动圆方程x 2＋y 2
－xsin 2θ＋22·ysin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12sin 2θ，
y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4. 即⎩⎨⎧ x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数得：。