2020高考数学文科大一轮复习第七章 立体几何__课时作业 (3)

课时作业44直线、平面垂直的判定及其性质第一次作业基础巩固练一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.2．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(B) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B 正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．3．(2019·安徽池州联考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是(C)A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：根据线面垂直的判定可知，当m⊥α，m∥n，n⊂β时可得n⊥α，则α⊥β，所以A不符合题意；根据面面平行的性质可知，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥β，故m∥n，所以B不符合题意；根据面面平行的性质可知，m，n可能平行或异面，所以C符合题意；根据面面垂直的性质可知，若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β，所以D不符合题意．故选C.4. (2019·贵阳监测考试)如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC 的条件是(B)A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.5．(2019·福建宁德质检)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论错误的是(D)A．BD∥平面CB1D1B．异面直线AD与CB1所成的角为45°C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1与平面ABCD所成的角为30°解析：因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD ∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1＝45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D.6．(2019·福建泉州质检)如图，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(D)解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，满足题意．对于选项D中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EF∥BB1，故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝2，即∠B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直，故选D.7．三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(A)①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．②B．①③C．①④D．②④解析：对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE 与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.二、填空题8．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有AB，BC，AC；与AP垂直的直线有AB.解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.9．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为②④.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m 平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，则β内与α、β的交线平行的直线都与m垂直，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．10．(2019·广东七校联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E 为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为④.①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.解析：因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，则折叠时，D点在平面BCE上的射影的轨迹为O1O2(如图)．因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故①不符合；只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB 重合时，才有BE⊥CD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故②不符合；折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故③不符合；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，AD⊥BE，所以在折起过程中，AD⊥平面BED能成立，故④符合．三、解答题11．(2019·昆明市调研测试)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，平面P AB⊥平面ABC，P A＝PB，点D在PC上，且BD⊥平面P AC.(1)证明：P A⊥平面PBC；(2)若AB BC ＝6，求三棱锥D -P AB 与三棱锥D -ABC 的体积比． 解：(1)证明：因为BD ⊥平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，所以BD ⊥P A ， 因为∠ABC ＝90°，所以CB ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，所以CB ⊥平面P AB ，又P A ⊂平面P AB ，所以CB ⊥P A ，又CB ∩BD ＝B ，所以P A ⊥平面PBC .(2)因为三棱锥D -P AB 的体积V D -P AB ＝V A -PBD ＝13S △PBD ×P A ＝16×BD ×PD ×P A ，三棱锥D -ABC 的体积V D -ABC ＝V A -BCD ＝13S △BCD ×P A ＝16×BD ×CD ×P A ，所以V D -P AB V D -ABC＝PD CD . 设AB ＝2，BC ＝6，因为P A ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥PB ，又P A ＝PB ，所以PB ＝2，在Rt △PBC 中，PC ＝BC 2＋PB 2＝22，又BD ⊥平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC ，所以CD ＝BC 2PC ＝322，PD ＝22，所以PD CD ＝13，即三棱锥D -P AB 与三棱锥D -ABC 的体积比为13.12．(2019·河南郑州质检)在如图所示的五面体EF -ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离．解：(1)证明：如图，取BD 中点O ，连接OM ，OE ，因为O ，M 分别为BD ，BC 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD .因为四边形ABCD 为菱形，所以CD ∥AB .又EF ∥AB ，所以CD ∥EF .又AB ＝CD ＝2，所以EF ＝12CD .所以OM 綊EF ，所以四边形OMFE 为平行四边形，所以FM ∥OE . 又OE ⊂平面BDE ，FM ⊄平面BDE ，所以FM ∥平面BDE .(2)由(1)知FM ∥平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离．如图，取AD 的中点H ，连接EH ，BH ，EM ，DM .因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ， 所以EH ⊥AD ，BH ⊥AD .因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH ⊥BH .因为EH ＝BH ＝3，所以BE ＝ 6.所以S △BDE ＝12×6×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝152. 设F 到平面BDE 的距离为h ， 又因为S △BDM ＝12S △BCD ＝12×12×2×2×sin60°＝32，所以由V 三棱锥E -BDM ＝V 三棱锥M -BDE ，得13×3×32＝13×152h ，解得h ＝155.即F 到平面BDE 的距离为155.第二次作业 高考·模拟解答题体验1．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACE ；(2)设P A ＝1，AD ＝3，PC ＝PD ，求三棱锥P -ACE 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE . 在△PBD 中，PE ＝DE ，BO ＝DO ，所以PB ∥OE . 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB ∥平面ACE . (2)由题意得AC ＝AD ，所以V P -ACE ＝12V P -ACD ＝14V P -ABCD ＝14×13S ▱ABCD ·P A ＝14×13[2×34×(3)2]×1＝38.2．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 解：(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ， 故平面AMD ⊥平面BMC .(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.3. (2018·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB. 所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.4. (2019·南宁市摸底联考)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ； (2)求几何体ADEBC 的体积．解：(1)证明：取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN ，如图，G ，F 分别是EC 和BD 的中点，∴GM ∥BE ，且GM ＝12BE ， NF ∥DA ，且NF ＝12DA . 又∵四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴GM ∥NF 且GM ＝NF .∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC . (2)连接CN ，∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB ， 又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED .易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12， ∵C -ABED 是四棱锥，∴V C -ABED＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.5．(2018·天津卷)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .(2)如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND.又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt △DAM 中，AM ＝1， 故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC . 在Rt △DAN 中，AN ＝1， 故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1， 可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.(3)连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.6．(2019·湖北八校联考)如图，直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′.(1)当D 为AB 的中点时，求证：A ′B ⊥CE ；(2)当D 在线段AB 上运动时(不含端点)，求三棱锥A ′-CDE 体积的最小值．解：(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴E 为B ′B 的中点，∵三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，AA ′＝AB ＝6， ∴四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B ，∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，由题意得平面ABB ′A ′⊥平面ABC ，且平面ABB ′A ′∩平面ABC ＝AB ，∴CD ⊥平面ABB ′A ′，又A ′B ⊂平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE ， ∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE . (2)设AD ＝x (0<x <6)，则BE ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x ，由已知可得点C 到平面A ′DE 的距离即△ABC 的边AB 上的高h ，且h ＝AC 2－(AB 2)2＝4，∴三棱锥A ′-CDE 的体积 V A ′-CDE ＝V C -A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A ′－S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h ＝13[36－3x －12(6－x )x －3(6－x )]·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0<x <6)，∴当x ＝3，即D 为AB 的中点时，V A ′-CDE 取得最小值，最小值为18.。