等腰三角形、直角三角形、勾股定理共24页文档
等腰三角形勾股定理公式表
等腰三角形勾股定理公式表
摘要：
1.等腰三角形的定义和性质
2.勾股定理的定义和公式
3.等腰三角形勾股定理公式的推导
4.等腰三角形勾股定理公式的应用
正文：
一、等腰三角形的定义和性质
等腰三角形是指有两条边相等的三角形，这两条相等的边被称为腰，另一条边被称为底。
等腰三角形有两个顶角相等，底边上的高也是腰的中线。
二、勾股定理的定义和公式
勾股定理，也叫毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。
公式表示为：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b 为直角边，c 为斜边。
三、等腰三角形勾股定理公式的推导
在等腰三角形中，我们可以通过作高将等腰三角形分为两个直角三角形。
由于这两个直角三角形共有一个直角边和斜边，我们可以分别应用勾股定理，然后将两个公式相加，得到等腰三角形勾股定理公式：(a^2 + b^2) / 4 + (a^2 + b^2) = c^2。
化简后得到：(a^2 + b^2) / 2 = c^2。
四、等腰三角形勾股定理公式的应用
等腰三角形勾股定理公式在解决许多与等腰三角形相关的问题时非常有
用，例如计算等腰三角形的面积、计算等腰三角形的高、证明等腰三角形的性质等。
例如，当我们知道等腰三角形的底和高时，我们可以使用勾股定理公式计算等腰三角形的面积。
假设底为b，高为h，则根据勾股定理公式，我们可以得到腰长a = sqrt(b^2 + h^2) / 2。
然后，我们可以使用海伦公式计算三角形的面积：A = sqrt[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)]，其中s 为半周长，即s = (a + b + c) / 2。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
直角三角形的勾股定理 → 等腰三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理→ 等腰三角形的
勾股定理
直角三角形的勾股定理是一个数学定理，用来计算直角三角形的边长关系。
根据这个定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
定理表述如下：
对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为 a 和 b，斜边的长度为 c，则有
c^2 = a^2 + b^2
这个定理可以帮助我们计算直角三角形的边长，只要知道两个直角边的长度，就可以求出斜边的长度。
另外，当直角三角形的两个直角边长度相等时，我们就可以得到等腰直角三角形的勾股定理。
对于一个等腰直角三角形，设直角边的长度为 a，斜边的长度
为 c，则有
c^2 = 2*a^2
等腰直角三角形的勾股定理可以帮助我们计算等腰直角三角形
的斜边长度，只要知道直角边的长度，就可以求出斜边的长度。
这两个定理是数学中非常重要的基本定理，广泛应用于各个领域，特别是几何学和物理学中。
总结起来，直角三角形的勾股定理是用来计算直角三角形的边
长关系，而等腰三角形的勾股定理是直角三角形的一种特殊情况。
掌握这些定理可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
参考资料：。
小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算
小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算直角三角形和等腰三角形是小学数学中常见的几何图形，它们有着独特的特点和计算方法。
在本文中，我们将对直角三角形和等腰三角形进行归纳和理解，并探讨如何进行计算。
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（即90度）。
直角三角形的特点是：直角三角形的斜边是其他两条边的最长边，而其他两条边分别称为直角边。
直角三角形常见的计算方法有勾股定理和三角函数。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果一个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么有勾股定理的关系式：a² + b² = c²。
利用勾股定理，我们可以通过已知两个边求解第三个边的长度。
例如，假设一个直角三角形的一个直角边为3，另一个直角边为4，我们可以通过勾股定理计算斜边的长度。
根据关系式：3² + 4² = c²，计算得到c² = 9 + 16 = 25，再开平方根得到c = 5。
因此，这个直角三角形的斜边长度为5。
除了勾股定理，三角函数也可以用来计算直角三角形的边长比例和角度大小。
在直角三角形中，我们常用到的三角函数有正弦、余弦和正切。
具体来说，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别表示：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边其中，θ代表直角三角形的一个锐角，对边、邻边和斜边分别表示与该角相对的边、邻边和斜边的长度。
通过利用三角函数的定义，我们可以计算出直角三角形中各边的长度和角度的大小。
除了直角三角形，等腰三角形也是小学数学中常见的几何图形。
等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的特点是：等腰三角形的底边和两条等腰边的夹角相等，且顶角为顶点的角度。
对于等腰三角形的计算，我们通常需要知道的是等腰边的长度和顶角的大小。
等腰三角形可以通过以下计算方法进行求解。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
第12讲 等腰三角形,直角三角形,及尺规作图
对应训练
4．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1= π，S2=2π，则S3是．
分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以 ，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．
A． B．2C． D．4
思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
对应训练
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
角的平分线：
1、性质：角平分线上的点到得距离相等
2、判定：到角两边距离相等的
【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合
A．3B．2C． D．1
2．B
分析：连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
考点三：角的平分线
例3如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2
．
思路分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．
初二数学--勾股定理讲义
初二数学 勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一:勾股定理(1)对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为ａ、ｂ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2）结论:①有一个角是３0°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是４5°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(３)勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例１：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1)在R ｔ△AB Ｃ中,∠C=90°①若a=５，ｂ=１2，则c=____＿_____＿； ②若a ＝1５,c=25，则b ＝_＿_＿_＿＿____; ③若c=61,b=60,则ａ=＿_________;④若a ∶b=3∶４，c ＝10则Rt △ＡBC 的面积是=＿___＿___。
(2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>１)，那么它的斜边长是( ） A 、2nﻩB 、ｎ+1ﻩC 、ｎ2-1ﻩD 、1n 2+（3)在R ｔ△A ＢC 中,a,b,ｃ为三边长，则下列关系中正确的是( )Ａ．222a b c += B ． 222a cb +=Ｃ. 222c b a += Ｄ．以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为３和4,则第三边长的平方是（ )A 、25ﻩﻩB 、14ﻩC 、７ﻩ ﻩD 、7或２5例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
勾股定理等腰直角三角形公式
勾股定理等腰直角三角形公式等腰三角形勾股定理公式是a²+b²=c²但由于等腰三角形的两个腰相等，a等于b，因此可以写成a²+b²=c²。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理等腰直角三角形公式a²+b²=c²勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径r，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径r就为√2+1，所以r:r=1:（√2+1）。
等腰直角三角形的判定方法方法一：根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：三边比例为的三角形是等腰直角三角形。
证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。
方法三：底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
方法四：有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
勾股定理的公式基本公式在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a2+b2=c2。
完全公式a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点五 线段垂直平分线的性质和判定 1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的 垂直平分线 上．
2
2
∴ME＝MD，
∴△MED 为等腰三角形．
(2)∵ ME＝1AB＝ MA， ∴∠ MAE＝∠ MEA， 2
∴∠BME＝2∠MAE.同理 MD＝1AB＝MA， 2
∴∠ MAD＝∠ MDA，∴∠ BMD＝ 2∠ MAD， ∴ ∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝ 2∠ DAC．
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA＝PB，M， N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN ＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( )
【点拨】∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE，△AED 的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE
＋AD＝AB＋AD，∵AB＝3，AD＝1，∴△AED 的周
长＝3＋1＝4.故选 C． 【答案】 C
方法总结： 等腰三角形有两个性质：(1)“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；(2)“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于 90°、计算线段长度和角的 大小等．
( D) A．2 个 C．4 个
B．3 个 D．5 个
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为
25°，则该三角形的一个底角为( C )
等腰三角形和勾股定理
等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见，底角只能是锐角。
（2）性质①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
②等边对等角。
③三线合一（顶角）。
（3）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2、等边三角形（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
（2）性质①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
➢ 典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．AFBCDE练习1、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.举一反三：练习1、如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ． （1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数； （3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．练习2、等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．练习3、等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．B ABO EFCBDAB F 练习1、如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ， 则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
等腰三角形,直角三角形和勾股定理
【励智教育】VIP 专属一对一个性化专业辅导（教案）学员姓名 年 级 授课科目 授课教师授课日期授课时段教学课题 等腰三角形、直角三角形、勾股定理教学目标 1、等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理 2、直角三角形，勾股定理及逆定理教学重点 等腰三角形的性质和判定、直角三角形的性质教学难点线段垂直平分线、角平分线的性质和逆定理；勾股定理及逆定理教学过程及内容：§3.3 等腰三角形一、知识要点等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.二、课前演练1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 .2．如图1，在△ABC 中，AB=AC=32cm ，DE 是AB 的垂直平分线， 分别交AB 、AC 于点D 、E.(1)若∠C=700，则∠CBE= °，∠BEC= °. (2)若BC=21cm ，则△BCE 的周长是 cm.3. 如右图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC 、AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A ．BC=2BEB ．∠A =∠EDAC ．BC=2AD D ．BD⊥AC 4．如右图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA=PB ．下列确定P 点的方法正确的是( ) A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点 三、例题分析例1 如图，△ABC 中，AB=AC ，角平分线BD 、CE 相交于点O. （1）OB 与OC 相等吗？请说明你的理由；（2）若连接AO ，并延长AO 交BC 于点F.你有哪些发现？请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程.AB C DE(第2题图) C AD BE (第3题图) A B C P (第4题图) OAB CDE例2 (2011日照)如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点， ∠CAD=∠CBD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．四、巩固练习1. 在△ABC 中，∠C=90，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD 是△ABC 的角平分线,AC=10,DC=6.则D 到BC 的距离为___ .3．如图2，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD ∥BC ；(3)直线PC 与AB 垂直；(4)四边形ABCD 是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A.(1)(2)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3) (4)D. (1)(3)(4) 5．(2011乐山)如图，在直角△ABC 中，∠C=90°,∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．900B •A C1080 B •AC B •B •AC360A C45(1) (2)(3)(4)M EDBAC图1 图2PDAB CE DBAC6. 如图，AD 是△ABC 的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC 沿直线AD 折叠后，点C 落在C ′的位置上，求BC ′的长.§3.4 直角三角形和勾股定理一、 知识要点直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。
等腰三角形勾股定理关系
等腰三角形勾股定理关系等腰三角形勾股定理是指在一个等腰三角形中，底边的一半作为直角边的长度，顶角的一半作为斜边的长度。
这一定理的关系可以用直角三角形的勾股定理来证明。
设等腰三角形底边为AB，底角为C，顶角为D，高线AM与BN交于点O，可知AO=BO=OM=ON，设AO=BO=OM=ON= x，AB=y。
则tan(C/2)=x/y，又由于tan(D/2)=(2x)/(AB)，因为D/2=C/2+90度，所以tan(D/2)=cot(C/2)，所以cot(C/2)=(2x)/(AB)，代入公式之后得到：x^2 + y^2 = 4x^2/(1-cosC) --（1）又因为等腰三角形中，有一个角等于底角，设不等于底角的角为E，则cosC=cos(A/2+E)=sinA/(2sin(A/2))代入公式中得到：x^2 + y^2 = 4x^2sin^2(A/2)/sinA --（2）又因为在一个直角三角形中，有勾股定理a^2+b^2=c^2成立，设等腰三角形的直角边为a，斜边为c，则a=xsin(A/2),c=2xsin(A/2)/sinA代入公式中得到：a^2 +(a^2y^2)/(4x^2sin^2(A/2)/(sinA))^2=a^2 + (c^2-a^2)/4simplify之后得到a^2y^2/(4x^2sin^2(A/2)/sin^2A)^2=(3c^2-a^2)/(4sin^2A)代入公式之后可以得到：a^2y^2/4=x^2(3sin^2B-sin^2A)即等腰三角形中勾股定理的关系为：a^2(y^2-4x^2(3sin^2B-sin^2A))/4=0因此，等腰三角形勾股定理的关系为y^2=4x^2(3sin^2B-sin^2A)。
通过这一定理，我们可以快速计算出等腰三角形中的一些重要的数学问题，比如说，如果有一个等腰直角三角形，它的斜边长为10个单位，那么它的底边长为多少呢？我们可以通过勾股定理得到底边长为7.07个单位。
等腰三角形、直角三角形
等腰三角形、直角三角形重点：1、等腰三角形的性质和判定方法。
2、直角三角形的性质与判定，锐角三角函数及解直角三角形。
难点：数学思想的渗透及知识的综合运用能力的提升。
考点一：等腰三角形 1．性质（1）⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩两腰相等两底角相等（等边对等角）等腰三角形三线合一轴对称图形（2）等边三角形 → 三边相等，三角相等，有三条对称轴 2.判定⎫⇒⎬⎭两边相等的三角形等腰三角形两角相等的三角形 ⎫⎪⇒⎬⎪︒⎭三边相等的三角形三角相等的三角形等边三角形有一个角是60的等腰三角形例1：如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，BF ⊥AE 于点F.求证:BP=2PF【随堂练习】1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A ．80° B ．50° C ．40°D ．20°2.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B ．25或32 C ．32 D ．193.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94.如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上， 且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（ ） A ．60° B ．45° C ．40° D ．30°E第4题5.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边 形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ．180° B ．220° C ．240° D ．3006.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ）A 、70°B 、55°或70°C 、40°或70°D 、40°7.等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___. 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．9.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是△ABC 的角平分线，延长AC 到E ，使得CE=CD ． 求证：AD=ED ．10. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ⑵选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形AEBCO D第5题11.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．12.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.⑴写出点O 到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.⑵若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的猜想.考点二：直角三角形 1．性质（1）R t △的两个锐角互余。
有关三角形的所有定理
有关三角形的所有定理三角形是初中数学中的基础概念之一，它有许多重要的定理。
下面我们来逐一了解这些定理。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。
等腰三角形的性质有：1.等腰三角形的两底角相等，即底边上的两个角相等。
2.等腰三角形的顶角所对的两条边相等，即顶角两边相等。
三、直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形的性质有：1.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的。
2.直角边上的高是直角三角形的一个重要特征，它是斜边上的垂线，可以用勾股定理求出。
3.直角三角形的两个直角边上的中线等于斜边的一半。
四、等边三角形的性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。
等边三角形的性质有：1.等边三角形的三个角都是60度。
2.等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线均相等。
五、勾股定理勾股定理是三角形中最为重要的定理之一，它可以用来求解直角三角形的边长。
勾股定理是指：直角三角形的斜边平方等于直角边平方和。
即a²+b²=c²，其中c为斜边，a、b为直角边。
六、正弦定理正弦定理是三角函数中的一个重要定理，它可以用来求解三角形的边长和角度。
正弦定理是指：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三边的长度，A、B、C 为对应的角度。
七、余弦定理余弦定理是三角函数中的另一个重要定理，它也可以用来求解三角形的边长和角度。
余弦定理是指：在任意三角形ABC中，有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c为三边的长度，A、B、C为对应的角度。
八、海伦公式海伦公式是求解三角形面积的公式，它可以用于任意三角形。
勾股定理_精品文档
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2 a2
早在公元3世纪，我国数 学家赵爽就用左边的图形验证 了“勾股定理”。
在北京召开的2002年国际 数学家大会（TCM－2002）的 会标，其图案正是“弦图”， 它标志着中国古代的数学成就.
赵爽的“弦图”
思考:你能验证吗？
(a
+
b)(b
+
a)
=
1 2
c2 +
2(
1 2
ab )
ac
1 2
a2
+
ab
1
+2
b2
=
1 2
c2
+ ab
a2 + b2 = c2
c b
∟
证 法 4：毕达哥拉斯证法
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
你还想知道勾股定理的其它证法吗？ 请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你 再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮 了。
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的
道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德
在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念
他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证
法称为“总统”证法。
∟
b
1 2
数学家毕达哥拉斯的故事
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
第九册等腰直角三角形
第九册等腰直角三角形简介等腰直角三角形是指一个三角形的两条边长度相等，并且与这两边夹角相对的边为直角的三角形。
在数学中，等腰直角三角形具有一些特殊的性质和应用。
本文档将介绍第九册中关于等腰直角三角形的相关知识点，包括定义、性质和相关定理等。
定义等腰直角三角形是指一个三角形的两条边长度相等，并且与这两边夹角相对的边为直角的三角形。
在等腰直角三角形中，我们通常将两个等边称为腰，将直角所在的边称为底边，直角所在的顶点称为顶点。
腰的长度可以用小写字母a表示，底边的长度可以用小写字母b表示。
性质等腰直角三角形具有以下性质：1.两条腰相等：在等腰直角三角形中，两条腰的长度是相等的，即a=a。
2.直角边的长度：等腰直角三角形的直角边长度可以通过勾股定理计算，即$b = \\sqrt{2}a$。
3.顶点角：等腰直角三角形的顶点角为 $45^\\circ$，可以通过三角函数计算$\\sin \\theta = \\cos \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$。
4.底角：等腰直角三角形的底角为 $45^\\circ$。
相关定理等腰直角三角形有一些相关的定理，下面介绍其中两个常用的定理。
定理一：腰长平方等于底长乘以腰长在等腰直角三角形中，腰长的平方等于底长乘以腰长，即a2=ab。
证明：根据勾股定理可知，直角边的长度为 $b = \\sqrt{2}a$。
将 $b = \\sqrt{2}a$ 带入腰长平方等于底长乘以腰长的公式中，得到：$a^2 = a(\\sqrt{2}a)$化简得到：$a^2 = \\sqrt{2}a^2$两边同时除以a，得到：$a = \\sqrt{2}$所以，腰长平方等于底长乘以腰长的定理成立。
定理二：腰长等于底边的一半在等腰直角三角形中，腰长等于底边的一半，即 $a = \\frac{b}{2}$。
证明：根据勾股定理可知，直角边的长度为 $b = \\sqrt{2}a$。