第10篇 基础回扣练推理证明、算法、复数

基础回扣练——推理证明、算法、复数(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2013·北京卷)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限． 答案 A2．(2013·辽宁卷)复数z ＝1i －1的模为( )．A.12 B ．22 C. 2 D ．2解析 z ＝1i －1＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案 B3．(2014·宝鸡模拟)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i，则a ＋b ＝( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．－2解析 由已知得a i ＋i 2＝b ＋(2＋i)，即－1＋a i ＝(b ＋2)＋i ，∴⎩⎨⎧ b ＋2＝－1，a ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴a ＋b ＝1－3＝－2. 答案 D4．(2014·景德镇模拟)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( )．A ．－ 3B ．3iC ．±3iD ．±3解析设z＝a＋b i(a，b∈R)，由题意知a＝1，∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±3.答案 D5．(2014·青岛一模)某算法框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x 值为()．A．15 B．31C．62 D．63解析第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.此时不满足条件，输出x＝31.答案 B6．(2014·南充月考)执行如图所示的算法框图，则输出n的值为()．A ．6B ．5C ．4D ．3解析 第一次循环，n ＝1，S ＝1＋2＝3；第二次循环，n ＝2，S ＝2×3＋2＝8；第三次循环，n ＝3，S ＝3×8＋2＝26；第四次循环，n ＝4，S ＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n ＝4. 答案 C7.(2014·绍兴模拟)已知某算法框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是 ( )．A ．y ＝x 3B ．y ＝x 13C ．y ＝3xD ．y ＝3－x解析 由程序框图可知，当输入的x 的值为5时， 第一次运行，x ＝5－2＝3； 第二次运行，x ＝3－2＝1； 第三次运行，x ＝1－2＝－1，此时x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13，只有C 中的函数y ＝3x 符合要求．8.(2014·广元二诊)某算法的算法框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为()．A．k≤6？B．k＞4?C．k＞5？D．k≤5?解析当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B.答案 B9．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()．A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．10．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )．A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. 答案 A 二、填空题11．(2014·九江模拟)已知i 是虚数单位，则21＋i＝________. 解析 21＋i ＝1－i.答案 1－i12．(2014·西安中学模拟)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a ＝________. 解析1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i ，由题意知：2－a5＝0，∴a ＝2. 答案 213．(2013·浙江卷)若某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析 第一步：S ＝1＋12＝32，k ＝2； 第二步：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三步：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四步：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5，结束循环．输出S ＝95.答案 9514．(2014·安康中学模拟)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值为________．解析第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1；第二次：n＝162＝8，k＝2；第三次：n＝82＝4，k＝3；第四次：n＝42＝2，k＝4；第五次：n＝22＝1，k＝5，此时满足条件，输出k＝5.答案 515．(2013·陕西卷)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．解析 观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)216．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.答案 127 三、解答题17．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立．(1)求a 2的取值范围；(2)判断数列{a n }能否为等比数列，并说明理由． 解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]． (2)数列{a n }不能为等比数列． 用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1. 因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立， 所以对任意n ∈N *，都有1＋1n ≥q n .① 因为q ＞1，所以存在n 0∈N *， 使得当n ≥n 0时，q n ＞2. 因为1＋1n ≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n ，与①矛盾，故假设不成立．18．(2014·福州质检)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，①sin(α－β)＝sin αcos β－cos αs in β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得sin A＋sin B＝2sin A＋B2cosA－B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝－2sin A＋B2sinA－B2；(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试判断△ABC的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)解(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得cos A－cos B＝－2sin A＋B2sinA－B2.(2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B ＝1－1＋2sin2C，所以sin2A＋sin2C＝sin2B.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．。