必修④ 第二章 平面向量 导学案(第1稿)

中山市东升高中高一年级校本教材开发小组编印数学导学案2008～2009 学年第二学期模块： 必 修④章节： 第二章 平面向量班级： 姓名：中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进1§2.1 平面向量的实际背景及基本概念⑴学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析， 了解向量的实际 背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.学习过程 一、课前准备（预习教材 82 P ～ 84P ，找出疑惑之处） 复习 1： 位置是日常生活中我们提到较多的一个词，在几何中常用点表示位置，研究如何用一点的位置 确定另外一点的位置，请同学们以学校（点 A ）为 参照点，用图形确定出自己家的位置.复习 2：力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量. 二、新课导学※ 学习探究新知 1：向量的概念数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector ）.数量和向量的异同点有哪些？试试 1：下列物理量：①质量；②速度；③位移； ④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不 是向量的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常 常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不 同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能， 该 如何表示呢？新知 2：向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向 表示向量的方向.如下图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方 向.⑵以A 为起点，B 为终点的有向线段记作ABuuu r（注：起点在前，终点在后）. 已知AB uuu r ，线段AB的长度也叫做有向线段 AB uuu r 的长度，也称为模，记作 AB uuu r .有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如a r ，b r ，c r，L 表示. 反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量” 的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？新知 3：两个特殊的向量 零向量（zero vector ）：长度为0的向量； 单位向量(unit vector)：长度等于1的向量.平行向量(parallel vectors)：方向相同或相反的非零向量. 若向量a r ，b r 平行，记作： // a b r r .规定： ①零向量与任一向量平行， 即对任意向量a r ， 都有0//a r r.②零向量的方向不确定，是任意的.试试 2：下列说法中正确的有（ ）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 ※典型例题例 1 在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下 列向量：⑴ 3 OA = uuu r，点A 在点O 的正北方向； ⑵ 22 OB = uuu r ，点B 在点O 南偏东60 o方向.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量2例 2 如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出 A 地至B 、C 两地的实际距离.（精确 到1km ）.※ 动手试试练 1. 画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大 小为 2N 的力和一个水平向左、大小为 4N 的 力.(1cm 长表示1N ) 练 2. 某同学向北走了2km ，又向东走了1km ，则 该同学走过的路程是多少？位移的长度是多少？ 并选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.三、总结提升 ※ 学习小结1. 向量的相关概念；2. 向量的两种表示法；3. 两 个特殊的向量，尤其要注意零向量的方向. ※ 知识拓展向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多 物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强 度等都是向量．大约公元前 350年前，古希腊著名 学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个 力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得 到． “向量”一词来自力学、解析几何中的有向线 段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家 牛顿．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列各量中不是向量的是（ ）. A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 2. 下列说法正确的是（ ）.A ．向量 AB uuu r 与向量BA uuu r的长度不等B ．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C ．零向量没有方向D ．任一向量与零向量平行3. 某人南行100 米，后向东行 100 米，则这时他位 移的方向是（ ）.A ．东偏南30 oB ．南偏东30oC ．东偏南45 oD ．南偏东25 o4. 物理中的作用力与反作用力 一对平行向 量.（是或不是）5. 已知腰为2， 底边为 3 的等边 ABC D ，则底边BC 上的中线向量AD uuu r 的模 AD uuu r为 .课后作业1. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后 改变方向向西偏北60 o走了400m 到达C 点，最后 又改变方向，向东走了200m 到达D 点，⑴作出向量AB uuu r 、BC uuu r 、CD uuu r（1cm 表示200m ）；⑵求DA uuu r的模.2. 在正方体 '''' ABCD A B C D - 中，与 AB uuu r 平行的向量有哪些？中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进3§2.1 平面向量的实际背景及基本概念⑵学习目标在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向 量和共线向量的概念.学习过程一、课前准备 （预习教材 84 P ～ 86 P ，找出疑惑之处）复习 1：向量是 的量； 数量是 的量； 有向线段是 的线段，它的三要素 是 ， ， ； 零向量是 的向量； 单位向量是 的向量； 平行向量是 的非零向量. 复习 2：下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行； ③向量就是有向线段；④非零向量a r 的单位向量是 aarr .二、新课导学 ※ 学习探究新知 4：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 （equal vector ），如下图， 用有向线段表示的向量a r与b r 相等，记作：ab = r r .思考：任意两个相等的非零向量，是否可用同一条 有向线段来表示？与有向线段的起点有关吗？新知 5：平行向量和共线向量同学们知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a r 、b r 、c r是平行向量，则可记为 //// a b c r r r. 因为任一组平行向量都可以移动到同一 条直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).试试：下列说法中正确的是①若 // a b r r ，则a b = r r ；②若 a b = r r ，则a b = r r； ③若 a b = r r ，则 // a b rr； ④若a b = r r ，则 a b = r r . ※ 典型例题例 1 如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD uuu r ，OE uuu r ，OF uuu r 相等的向量.变式：与AB uuu r相等的向量有哪些？例 2 如下图所示，D 、E 、F 分别是正 ABC D 的 各边中点，则在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 六个 点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量 DE uuu r平行的向量.注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性. ABCEFD2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量4※ 动手试试练 1. 在四边形ABCD 中，AB DC = uuu r uuu r，则相等的向量是( ) . A. AD uuu r 与CB uuu r C. AC uuu r 与BD uuu r B.OB uuu r 与OD uuu r D.AO uuu r 与OC uuu r 练 2. 判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数； ②若两个向量平行，则两个向量相等；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相 等； ④温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ⑤物理中的作用力与反作用力是一对共线向量；三、总结提升 ※ 学习小结①相等向量的概念；②平行向量也称为共线向量.※ 知识拓展本章中所提到的向量都是自由向量，所谓自由 向量就是在不改变长度和方向的前提下，向量可以 在空间自由移动，所以在此基础上理解共线向量就 是平行向量概念较容易.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中，正确的是（ ）.A. a b = r r Þ a b = r rB. a b > r r Þ a b> r r C.a b = r r Þ // a b r r D. 0 a = r Þ 0 a = r2. 若 AB AD = uuu r uuu r ， 且BA CD = uuu r uuu r ， 则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3. 一木块放在桌面上，木块所受重力为G ，桌面所 受压力为 1 G ，则G 与 1 G 之间的关系为（ ）. A.大小不等，方向相同 B.大小相等，方向不同 C.大小相等，方向相同 D.大小不等，方向不同4. B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点 为起点和终点，最多可以写出 个互不相同的 向量.5. 下列命题中，说法正确的有①若a b = r r ，b c = r r ，则a c = r r ；②若 // a b r r ， // b c r r ，则 // a c r r ；③若 a b = r r ，则 a b = r r 或 a b =- r r；④若 AB DC = uuu r uuu r ，则 A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点. 课后作业1. 四边形ABCD 和 ABDE 都是平行四边形.⑴与向量ED uuu r相等的向量有哪些？⑵若 3 AB = uuu r ，则向量EC uuu r的模等于多少？2. 一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进 1m ，逆时针方向转变a 度，继续按直线向前行进1m ，再逆时针方向转变a 度， 按直线向前行进1m ， 按此方向继续操作下去. ⑴按1:100比例作图说明当 45 a = o时，操作几次时 赛车的位移为零？⑵按此法操作使赛车能回到出发点，a 应满足什么条件？请写出其中两个. A B C D OABCD E ABCD中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进5§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义学习目标1. 掌握向量加法的概念， 结合物理学中的相关知识 理解向量加法的意义；2. 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 3. 理解向量加法的运算律.学习过程（预习教材 89 P ～ 94 P ，找出疑惑之处） 一、课前准备复习 1：下列说法正确的有①向量可以用有向线段来表示；②两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相 同；③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；④向量AB uuu r 与向量CD uuu r是共线向量， 则点 A ， B ， C ， D 必在同一条直线上；⑤若 AB DC = uuu r uuu r，则 A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点.复习 2：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖 废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力 和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.二、新课导学 ※ 学习探究问题：在复习 2 中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，重力和 拉力的合力是一对大小相等，方向相反的力.如图，已知非零向量a r 、b r，在平面内任取一 点 A ，做AB a = uuu rr ，BC b = uuu r r ，则向量AC uuu r 叫做a r 与br 的和，记作：a b + r r ，即a b AB BC AC +=+= r r uuu r uuu r uuu r.新知 1：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这 种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.自学90 P 的向量加法的平行四边形法则，想想两个 法则有没有共通的地方？ 规定：零向量与向量a r 的加法： 00 a a a +=+= r r r r r※ 典型例题例 1 已知向量a r 、b r ，求作向量a b + r r.小结 1： 在使用三角形法则特别要注意 “首尾相接” ， 即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合.变式：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？ 小结 2：当a r ，b r不共线时， a b a b +<+ r r r r ；当a r ，b r同向时， a b a b +=+ r r r r ；当a r ，b r反向时， a b a b +=- r r r r （或 b a - r r ）.思考：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？新知 2：向量加法的交换律和结合律： a b b a +=+ r r r r ；( ) ( )a b c a b c ++=++ r r r r r r例 2 一架飞机向北飞行 400km ， 然后改变方向向东 飞行 300km ， 求飞机飞行的路程及两次位移的合成.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量6※ 动手试试练 1. 如图，已知a r 、b r，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做出a b+ r r.练 2. 在静水中划船速度是每分钟 20m ，水流速度 是每分钟 20m ，如果船从岸边出发径直沿垂直于水 流方向行走，那么船实际行进速度应是多少？实际 行进方向与水流方向的夹角为多少？三、总结提升 ※ 学习小结1. 向量求和的三角形法则和平行四边形法则；2. 向量加法满足的两个运算律：交换律和结合律.※ 知识拓展向量在引入运算之后，向量的工具作用才能得 到充分发挥. 实际上，引入一个新的量后，考察它 的运算及运算律是数学研究的基本问题. 另外，向 量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背 景和几何意义，因此在引入一种运算后，总是要考 察一下它的几何意义，也使得向量在解决几何问题 时可以发挥很好的作用.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平行四边形 ABCD 中， AB a = uuu r r ， AD b = uuu r r ，则 AC BA + uuu r uu u r等于（ ）.A.a rB.b rC.0 rD.a b + r r 2. 下列等式不正确的是（ ）. A. 0 a a += r r r B.a b b a +=+ r r r r C. ( ) ( )a b c a b c ++¹++ r r r r r r D. AC DC AB BD=++ uuu r uuu r uuu r uuu r 3.在 ABCD Y 中，BC DC BA ++ uuu r uuur uu u r等于（ ）.A.BC uuu rB.DA uuu rC.AB uuu rD.AC uuu r4. AB BC CD ++ uuu r uuu r uuu r = ； OA OC BO CO +++ uuu r uuu r uuu r uuu r = .5. 已知向量 a r 、 b r 满足 a b b += r r r且 1 b = r ，则a ab ++ r r r=. 课后作业1. 已知正六边形 ABCDEF ，O 是它的中心，若 BA a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，试用a r 、b r 表示向量OE uuu r .2. 在菱形 ABCD 中， 60 DAB Ð= o ， 1 AB = uuu r，求 BC DC + uuu r uuu r的值.a rbr中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进7§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何 意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 学习过程（预习教材 94 P ～ 96 P ，找出疑惑之处） 一、课前准备复习：⑴设AB a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，则 叫做a r与 b r的和，记作 . ⑵a + r =0+ r =a r ⑶向量加法运算的交换律： ； 结合律 . ⑷求作两个向量和的方法有 法则和法则.二、新课导学 ※ 学习探究问题： 我们知道，在数的运算中，减去一个数等 于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似 的法则？如何理解向量的减法呢？规定 1： 与a r 长度相等， 方向相反的向量， 叫做a r的相反向量，记作 a - r.由于方向反转两次仍然回到原来的方向，因此a r 和 a - r 互为相反向量，即 ( )a a =-- r r .规定 1：零向量的相反向量仍是零向量. 思考：任一向量a r 与其相反向量 a - r的和是什么？如果a r 、b r 是互为相反的向量， 那么a = r ， b = r ，a b += r r .请同学们利用相反向量的概念， 思考 ( )a b+- r r的作图方法.如下图，已知a r 、b r，在平面内任取一点O ， 做OA a = uuu r r ，OB b = uuu r r ，则BA a b =- uuu r r r . 即a b - r r可以表示为从向量b r的终点指向向量a r的终点的向量， 这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以 归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向 被减数”.※ 典型例题例 1 如下图，已知向量a r 、b r 、c r 、d u r ，求作向量a b - r r ，c d - r u r .变式：作出向量a b c d +-- r r r u r.例 2 在 ABC V 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、 AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ uuu r uuu r uuu r ；⑵OE OA EA -+ uuu r uuu r uuu r.变式：化简AB FE DC ++ uuu r uuu r uuu r.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量8※ 动手试试练 1. 已知a r 、b r ，求作a b - r r.练 2. 设AB a = uuu r r ，AD b = uuu r r ，BC c = uuu r r ，试用 ,, a b c r r r 表示DC uuur .三、总结提升※ 学习小结1. 相反向量的概念；2. 向量减法的三角形法则，要注意“起点相接，连 接两向量的终点，箭头指向被减数”. ※ 知识拓展以向量 AB a = uuu r r 、 AD b = uuu r r为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为 AC a b =+ uuu r r r， BD b a =- uuu r r r ，DB a b =- uuu r r r，这一结论在以后应用还 是非常广泛的，应该加强理解并记住.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式中正确的个数是（ ）.①a o a -= r r r ；②b a a b +=+ r r r r；③ ( )a a --= r r ； ④ ( ) 0 a a +-= r r ；⑤ ( )a b a b+-=- r r r r A.2 B.3 C.4 D.52. 在 ABC V 中，, BC a CA b == uuu r r uuu r r ， 则 AB uuu r等于 （ ） . A.a b + r r B. ( )a b -+- r r C.a b - r r D. a b-+ r r3. 化简OP QP PS SP -++ uuu r uuu r uuu r uur的结果等于（ ）.A.QP uuu rB.OQ uuu rC.SP uurD.SQuuu r 4. 在正六边形 ABCDEF 中，AE m = uuu r u r ， AD n = uuu r r， 则BA uuu r= .5. 已知a r 、b r 是非零向量，则 a b a b -=+ r r r r 时， 应满足条件 .课后作业1. 化简下列各式：①AB AC DB -- uuu r uuu r uuu r ； ②AB BC AD DB +-- uuu r uuu r uuu r uuu r .2. 已知O 是 ABCD Y 的对角线AC 与BD 的交点， 若 AB a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，OD c = uuu r r，试证明：c a b OB +-= r r r uuu r.中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进9§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义⑴学习目标1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.学习过程一、课前准备 复习： ⑴向量a r 的相反向量是指与a r的向量， 记作 . 零向量的相反向量是 .⑵ ( )a -- r = ， ( )a a +- r r = .⑶若a b =- r r ，则a r 、b r 是 ，且a b + r r = .⑷向量a r 加上b r的相反向量，叫做 ，即：a b a -=+ r r r .二、新课导学 ※ 学习探究问题：已知非零向量a r，作出：①a a a ++ r r r；②( ) ( ) ( )a a a -+-+- r r r .通过图形，同学们能否说明它们的几何意义？新知：我们规定实数l 与向量a r的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vectorby scalar ）,记作： a l r，它的长度和方向规定如下：⑴ a a l l = r r ；⑵当 0 l > 时， a l r 的方向与a r的方向相同；当 0 l < 时， a l r 的方向与a r的方向相反. 思考：当 0 l = 时， a l r的值是一个向量还是一个实 数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运 算律：⑴ ( )( ) a a l m lm = r r ； ⑵( )a a a l m l m +=+ r r r ；⑶ ( )a b a b l l l +=+ r r r r .根据以上的运算律，填空： ⑴( )a l -=- r=l ；⑵ ( )a b l -= r r - .※ 典型例题 例 1 计算：⑴( ) 76a -´ r； ⑵ () ( )438 a b a b a +--- r r r r r ； ⑶() ()54232 a b c a b c -+--+ r r r r r r. 思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与 原向量之间的位置关系吗？新知：向量 ( )0 a a ¹ r r r 与b r共线，当且仅当有唯一一个实数l ，使b a l = r r.例 2 已知两个两个向量 1 e u r 和 2 e u u r不共线 ， 12 AB e e =- uuu r u r u u r ， 12 28 BC e e =- uuu r u r u u r ， 12 33 CD e e =+ uuu r u r u u r ，求 证：A 、B 、D 三点共线.变式 ： 在四边形 ABCD 中 ， 2 AB a b =+ uuu r r r，4 BC a b =-- uuu r r r ， 53 CD a b =-- uuu r r r，证明： ABCD 是梯形.ar2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量※ 动手试试 练 1. 计算：⑴ () () ( )64222 a b c a b c b c -+--+--+ r r r r r r r r ；⑵( )( ) ( )( )m n a b m n a b +--++ r r r r.练 2. 已知向量 a r ， b r 不共线，问 2 c a b =- r r r与 32 d a b =- u r r r 是否共线？三、总结提升※ 学习小结1. 向量数乘的定义；2. 实数与向量的积满足的运算律；3. 两向量共线所满足的条件.※ 知识拓展1.实数与向量的积的特殊情况：当 0 l = 时， 0 a l = r r ；而 0 l ¹ ，若 0 a = r r 时，也有 0 a l = r r .2.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如 a l + r ， a l - r无法运算.3.数乘向量还是一个向量.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列各式中不表示向量的是（ ）A.0 a × rB. 3 a b+ r r C. 3a r D. 1 e x y- r （ , x y R Î ，且x y ¹ ）2. 在 ABC D 中，E 、F 分别是AB 、 AC 的中点，若 AB a = uuu r r ，AC b = uuu r r，则EF uuu r 等于（ ）A. ( ) 1 2 a b + r rB. ( )1 2 a b - r r C. ( ) 1 2 b a - r r D. ( )1 2 a b-+ r r 3. 12 2 a e e =+ r u r u u r ， 12 34 b e e =- r u r u u r ，且 1 e u r 、 2 e u u r共线，则 a r 与b r（ ） A.共线 B.不共线 C.不确定 D.可能共线也可能不共线4. 若 3 a = r ，b r 与a r的方向相反，且 5 b = r ，则 a r = b r .5. 已知 12 2 a e e =- r u r u u r ， 12 2 b e e =+ r u r u u r ， 12 62 c e e =- r u r u u r， 则a b + r r 与c r （填共线、不共线）.课后作业1. 已知 ABCD 的三边BC a = uuu r r ，CA b = uuu r r ， AB c = uuu r r， 三边中点分别为D 、E 、F ，求证： 0 AD BE CF ++= uuu r uuu r uuu r r.2. 用向量的方法证明： 对角线互相平分的四边形是 平行四边形.中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案编写：王艳艳 校审：赵进§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义⑵学习目标1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.学习过程一、课前准备复习： ⑴实数l 与向量a r的积是一个 ， 记作 .⑵ R l Î ， a l r= .⑶当 0 l > 时， a l r 的方向与a r的方向 ；当 0 l < 时， a l r 的方向与a r的方向 ；当 0 l = 时， a l r= ；⑷ , R l m Î ， ( )a l m r= ；( )a l m + r=； ( )a b l + r r = .⑸判断正误：向量b r 与向量a r共线，当且仅当只有一个实数l ，使得b a l = r r.二、新课导学 ※ 学习探究新知：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量a r 、b r，以及任意实数l 、 1 m 、2 m ，恒有 ( )1212 a b a b l m m lm lm+=± r r r r. 请同学们解释它的几何意义.※ 典型例题例 3 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且 AB a = uuu r r ，AD b = uuu r r ，你能用a r 、b r表示 AM uuuu r 、BM uuuu r 、CM uuuu r 、DM uuuur 吗？变式：若O 为平行四边形的中心， 1 4 AB e = uuu r u r， 2 6 BC e = uuu r u u r ，则 21 32 e e - 等于多少？例 4 已知任意四边形ABCD ，E 为 AD 的中点，F为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+ uuu r uuu r uuu r uuu r.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量※ 动手试试 练 1.已知四边形 ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM MN NF == ，下底是上底的 2 倍，若AB a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，求AM uuuu r .练 2. ABC V 中， 1 3AD AB = uuu r uuu r ， // DE BC ，且与边 AC 相交于点E ， ABC D 的中线AM 与DE 相交于 点N .设AB a = uuu r r ，AC b = uuu r r ，用a r 、b r分别表示向量 ,,,,, AE CB DE CE DN NA uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r . 三、总结提升※ 学习小结1. 进一步理解向量数乘的定义；2. 熟练应用实数与向量的积满足的运算律计算；3. 应用两向量共线所满足的条件解决几个点共线 的问题. ※ 知识拓展 ⑴要证明向量a r 、b r共线，只需证明存在实数 l ，使得b a l = r r即可.⑵如果 0 a b == r r r，数l 依然存在，此时l 并不 唯一，是任意数值.⑶要特别注意向量共线定理中的向量 a r必须 是非零向量.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列各式计算正确的是（ ）A. ( ) 22 a b c a b c++=++ r r r r r r B. ( ) ()330 a b a b ++-= r r r r r C. 2 AB BA AB += uuu r uuu r uuu r D. 3544 a b a b a b++-=- r r r r r r 2. 下列向量a r 、b r共线的有（ ）① 12 2, a e b e ==- r u r r u u r ；② 1212 ,22 a e e b e e =-=-+ r u r u u r r u r u u r ； ③ 1212 21 4, 510a e eb e e =-=- r u r u u r r u r u u r ；④ 1212 ,22 a e e b e e =+=- r u r u u r r u r u u r （ 12 , e e u r u u r 不共线） A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④3. 若 8,5 AB AC == uuu r uuu r ，则 BC uuu r 的取值范围是 （ ） A.[ ] 3,8 B.( ) 3,8 C.[ ] 3,13 D.( ) 3,13 4. ( )2 a a b a éù --- ëû r r r r = ； 322 a b c b -+-=- r r r r . 5. 设 12 , e e u r u u r 是两个不共线向量， 若向量 12b e e l =+ r u r u u r ， 与向量 12 2 a e e =- r u r u u r共线，则实数l 的值为 .课后作业1. 化简：① ( ) ( )1 228442 12a b a b éù +-- ëû r r r r ；② ( ) ( )11 4346 32a b c a b c éùéù-+--- ëûëû r r r r r r 2. 在平行四边形 ABCD 中，点M 是 AB 的中点，点N 在BD 上，且 13 BN BD = ，求证：M 、N 、C三点共线.中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进§2.3.1 平面向量基本定理§2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示学习目标1. 掌握平面向量基本定理；2. 了解平面向量基本定理的意义；3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 学习过程 一、课前准备 复习 1： 向量b r 、 ( )0 a a ¹ r r r 是共线的两个向量， 则a r 、 b r之间的关系可以表示为 .复习 2：给定平面内任意两个向量1 e u r 、2 e u u r，请同学们作出向量 12 32 e e + u r u u r 、 12 2 e e - u r u u r .二、新课导学※ 学习探究问题：在复习 2 中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如 1122 e e l l + u r uur 的向量表示呢？ 如下图，设 1 e u r 、 2 e u u r 是同一平面内两个不共线的 向量，a r 是这一平面内的任一向量，通过作图，发 现任一向量a r都可以表示成 1122e e l l + u r u u r . 新知 1：平面向量基本定理平面向量基本定理： 如果 1 e u r 、 2 eu u r是同一平面内 两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a r， 有且只有一对实数 1 l 、 2 l ， 使 1122 a e e l l =+ r u r u u r . 其中，我们把不共线的向量 1 e u r 、 2 e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base). 理解此定理要注意：① 1 e u r 、 2 eu u r是同一平面内两 个不共线的向量；②该平面内的任意向量a r都可以 用 1 e u r 、 2 eu u r 线性表示，且这种表示是唯一的；③对于 基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共 线向量都可以作为基底.思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我 们怎么表示呢？新知 2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量a r和 b r . 作 OA a = uuu r r ， OB b = uuu r r，则 ( ) 0180 AOB q q Ð=££ o o 叫做向量a r 与b r的夹角.特别地，⑴当 0 q = o 时，a r 与b r 同向；⑵当 180 q = o时，a r 与b r 反向； ⑶当 90 q = o 时，a r 与b r 垂直，记作：a b ^ r r .在不共线的两个向量中， 90 q = o ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相 垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木 块所受的重力分解为向 下的力 1 F 和对斜面的压 力 2 F .思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对 有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面 内的每一个向量，如何表示呢？新知 3：向量的坐标表示如图， 根据平面向量基本定理，有且只有一对实数x 、 y 使得a xi y j =+ r r r， 我们把有 序数对( ) , x y 叫做向量 a r 的坐标，记作： ( ) , a x y = r ，其中x 叫做a r在x 轴上的坐标，y 叫做a r在 y 轴上的坐标.注意：符号( ) , x y 在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个 向量，为了加以区别，在叙述中，常说点( ) , x y ，或向量( ) , x y . ※ 典型例题 例1 已知梯形ABCD 中， // AB DC ， 且 2ABCD = ， E 、F 分别是DC 、AB 的中点， 设AD a = uuu r r ，AB b = uuu r r 试用 , a b r r 为基底表示DC uuur 、BC uuu r .2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量例 2 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， 43 OA = uuu r ， 60 xOA Ð= o ，求向量OA uuu r 的坐标.※ 动手试试练 1. 在矩形 ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，若 1 5 BC e = uuu r u r ， 2 3 DC e = uuu r u u r ，则OC uuu r 等于多少？练 2. 若 0 a ¹ r r ， 且 0 b ¹ r r ， 且 a b a b ==- r r r r ， 求a r 与 a b + r r的夹角.三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面向量基本定理；2. 两向量的夹角与垂直；3. 平面向量的坐标表示.※ 知识拓展在解具体问题时，要适当地选取基底，但其他 向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量 1 e u r 、 2 e u u r ， 平面上的任何一个向量a r 都可以用 1 e u r 、 2 e u u r 唯一表示为 1122 a e e l l =+ r u r u u r ， 这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有 1 e u r 、 2 e u u r的代数运算.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形 所在平面表示所有向量的基底是（ ） ① AD uuu r 与 AB uuu r ②DA uuu r 与BC uuu r ③CA uuu r 与DC uuur ④OD uuu r 与OB uuu r A.①② B.③④ C.①③ D.①④2. 已知向量 1 e u r 、 2 e u u r不共线，实数 x 、 y 满足( ) ( ) 1212 342363 x y e x y e e e-+-=+ u r u u r u r u u r，则x y - 的值 等于（ ）A.3B. 3- C.0 D.2 3. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中 点，则（ ）A.OC OA OB =+ uuu r uuu r uuu rB. ( )1 2 OC OA OB=+ uuu r uuu r uuu r C. 2 AB OC = uuu r uuu rD. ( )1 2OC OA OB=- uuu r uuu r uuu r 4. 若a r 、b r不共线，且 ( ) 0, a b R l m l m +=Î r r r ，则l = ，m =. 5. 已知两向量 1 e u r 、 2 e u u r 不共线， 12 2 a e e =+ r u r u u r， 12 32 b e e l =- r u r u u r ，若a r 与b r 共线，则实数l = .课后作业1. 已知向量 12 23 a e e =- r u r u u r ， 12 23 b e e =+ r u r u u r ，其中 1 e u r 、 2 e u u r 不共线，向量 12 29 c e e =- u r u u r ，问是否存在这样的实数l 、m ，使d a b l m =+ u r r r 与c r共线？2. 设OA uuu r 、OB uuu r不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内， 且 ( ) ( ) 1 OP t OA tOB t R =-+Î uuu r uuu r uuu r， 求证：A 、B 、P 三点共线.。