北京四中---高中数学高考综合复习专题二十七立体几何(Ⅱ)——角与距离

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北京四中高中数学精品全套-高一数学-5、立体几何- 30页

目录空间几何体结构及其三视图 (2)空间几何体结构及其三视图 (8)直线、平面平行的判定与性质 (13)直线、平面平行的判定与性质 (16)空间角与空间距离 (21)空间向量在立体几何中的应用 (27)空间几何体结构及其三视图北京四中一、知识要点二、基础训练凸多面体的体积为（）的中心为顶点的，则以该正方体各个面、若正方体的棱长为21的小长方体，所得几何体、一个长方体去掉一个2何体、若某空间几何体的三3视图如图所示，则该几4、正视图为一个三角形的几何体可以是（）、如图，网格纸的小正15方形的边长是，在其上、设三棱柱的侧棱垂直6与底面，所有棱的-SAABCD7=S中，，那么、已知正四棱锥328、三、典型例题空间几何体结构及其三视图北京四中一、知识要点二、典型例题直线、平面平行的判定与性质北京四中一、知识要点二、典型例题直线、平面平行的判定与性质北京四中一、知识要点二、基础练习1确的是（）、在空间，下列命题正2P、如右图，已知六凌锥ABCDEF的底面是=BCABABCD，4=2中，，、如下图，在长方形1三、典型例题题型二线面垂直【例2】如图，正方形 E空间角与空间距离北京四中一、知识要点二、典型例题题型一空间角及其求法【例1】等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C-AB-D 的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于【例2】已知三棱锥P-ABC 中，【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面空间向量在立体几何中的应用北京四中一、知识要点1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为．2. 空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．范围是(0，π2]．(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝．取值范围是[0，π2]．(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝取值范围是[0，π]．3. 点到面的距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝．4. 线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．二、典型例题例1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[变式探究1]已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，侧面P AD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：BE⊥平面PCD；(2)在PB上是否存在一点F，使AF∥平面BDE?例2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．例3如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3.求点A到平面MBC的距离．。

高考数学立体几何中与角有关的四大定理及其证明

则 cosθ = cos2β + cos2γ - 2cosαcosβcosγ sinα
证明：设 ∠HAC = θ1,∠HAB = θ2 ⇒ α = θ1 + θ2,
由三余弦定理得：
cos β cosγ
= =
cosθ cosθ
cosθ1 cosθ2
① ②
由①和②得 cosθ = cosβ = cosγ ③ cosθ1 cosθ2
α
Aβ
γ
P α : 线面角 β : 斜线角 γ : 射影角则 cosβ = cosαcosγ ⇒ β > α,β > γ
Q
B
证明：cosβ =
AB PA
,cosα =
QA PA
,cosγ =
AB QA
⇒ cosβ = cosαcosγ
·1·
3. 三夹角公式
P
θ
Aβ
γ
α
C H
B
若 θ 为 PA 与平面 ABC 的夹角
⋅
HO BO
AH AO
⋅
BH BO
= cosθ - cosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2
注：若 φ =
π 2
,
则该定理退化为三余弦定理
·3·
立体几何中与角有关的四大定理及其证明
1. 三正弦定理
β α
A
γ
B
P
α : 线面角 β : 线棱角 γ : 二面角则 sinα = sinβsinγ Q ⇒ α ≤ β,α ≤ γ
证明：sinα =
PQ PA
,sinβ =
PB PA
,sinγ =
PQ PB
⇒ sinα = sinβsinγ

北京四中网校数学高考总复习：立几结构、三视图、体积

数学高考总复习：立几结构、三视图、体积编稿：林景飞责编：严春梅一、知识网络：二、高考考点：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3. 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4. 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.5. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.三、知识要点梳理：知识点一：空间几何体的结构结构特征物例图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等.六角螺帽圆柱（1）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体；（2）两底面相互平行；（3）侧面的母线平行于圆柱的轴；（4）侧面展开图是矩形。

大厅的圆形柱知识点二：三视图与直观图1、投影：（1）平行投影与中心投影（其中的线与线的位置关系）由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。

把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。

把光由点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线是由同一点发射出来的；把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的。

（2）正投影与斜投影（其中的线与面的位置关系）在平行投影中，投影线正对着投影面（即投影线垂直于投影面）叫做正投影，否则叫做斜投影。

在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的。

2、三视图“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图，通常选择三种正投影来把握几何体的形状和大小．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图(有的书称为主视图)；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图(有的书称为左视图)；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．（4）几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。

北京四中高考数学总复习三角函数的概念知识梳理教案理

三角函数的概念【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 三角函数的概念角的概念的推广、弧度制正弦、余弦的诱导公式同角三角函数的基本关系式任意角的三角函数第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式：弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π= ；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc ryα=. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：222si ncos 1α+α=α=.2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα. 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sin cos =α+α，221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点五、诱导公式1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆. 【典型例题】类型一、角的相关概念例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角，当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角. 方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。

北京四中高三数学高考总复习定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分,利用定积分求面积。

【知识网络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅,作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑,当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰,即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑,这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 要点二、定积分的性质（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）,（2）[]1212()()()()bbbaaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰,（3）()()()bcb aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<）,（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数,则()0bb f x dx -=⎰;若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数,则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.要点三、微积分基本定理定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用如果'()()F x f x =,且)(x f 在[]b a ,上连续,则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数,其中c 为常数.一般地,原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()b aF x .因此,微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上,当0)(≥x f 时,定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积;如图（1）所示.在[]b a ,上,当0)(≤x f 时,由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方,定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在[]b a ,上,当)(x f 既取正值又取负值时,定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =,两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号,在x 轴下方的面积积分时,取负号.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰;2. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰;3. 如图,由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =,x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x dx f x f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;（2）借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; （3）写出定积分表达式; （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ,等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分,即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <,那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π)cos (sin dx x x ; （2）dx xx x ⎰+-212)1(; （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ,∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ;（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x, ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+x x x e x e ,∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰; 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。

北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座- 33页

北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座目录北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座 (1)高考冲刺第1讲集合与简易逻辑 (2)高考冲刺第2讲、不等式 (5)高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 (7)高考冲刺第4讲导数与函数综合 (9)高考冲刺第5讲三角函数概念图象性质 (11)高考冲刺第6讲三角函数公式及应用 (13)高考冲刺第7讲等差、等比数列 (15)高考冲刺第9讲解析几何综合问题 (18)高考冲刺第10讲空间直线与平面的关系 (20)高考冲刺第11讲空间几何量的计算 (22)高考冲刺第12讲概率与统计 (25)高考冲刺第13讲复数、排列组合二项式定理 (29)高考冲刺第14讲归纳与类比 (31)高考冲刺第1讲集合与简易逻辑一、知识要点与基本方法：（一）集合的概念1．集合元素的三大特征：无序、互异、确定 2．集合的表示方法：描述、区间、列举、Venn3．元素与集合的关系：元素与元素，元素与集合，集合与集合（二）集合的运算1．交集 2．并集 3. 补集4. 集合中所含元素个数及子集个数。

（三）逻辑联结词和四种命题 1. 量词2. 基本逻辑连接词3. 真值表4. 四种命题（四）充分条件与必要条件二、典型例题：例1、设A 、B 是两个集合，对于A B ⊆，下列说法正确的是（） A ．存在0x A ∈，使0x B ∈ B ．B A ⊆一定不成立 C ．B 不可能为空集 D ．0x A ∈是0x B ∈的充分条件例2．设集合{}{}021xM x x m N y y x R =-≤==-∈,,，若M N φ=，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≥－1B ．m ＞－1C ．m ≤－1D ．m ＜－1例3．集合M ＝{x ││x │＝1}，N ＝{ x │ax ＝1}，M ∪N ＝M ，则实数a 的所有可能值的集合为（） A ．{1，－1} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}例4．设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。

北京四中高三数学高考总复习24 正弦、余弦定理及解三角形知识梳理_正弦、余弦定理及解三角形_基础

正弦、余弦定理及解三角形编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：a b c +>,a c b +>,c b a +>;两边之差小于第三边：a b c -<,a c b -<,c b a -<; (2) 勾股定理：ABC ∆中,22290a b c C +=⇔=︒. 2．角的关系：ABC ∆中,A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sinsin()cos 2222A B C Cπ+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=tan tan()cot 2222A B C C π+=-=3．直角三角形中的边与角之间的关系 Rt ABC ∆中,90C =︒（如图）,有：c c C c b B c a A ====1sin ,sin ,sin , cos ,cos ,cos 0b aA B C c c===.要点二、正弦定理、余弦定理应用解三角形正弦定理余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等．即：2s i n s i ns i n abc R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 2 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

北京市第四中学高考数学总复习导数与函数的综合知识

高考冲刺：导数与函数的综合【高考展望】1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用， 5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。

【知识升华】考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '；（2）利用直线的点斜式得切线方程。

要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 【高清课堂：导数的应用（理）394572知识要点】考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当'()0f x >时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当'()0f x <时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有'()0f x =时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。

要点诠释：①在区间(a,b)内，'()0f x >是f(x)在(a ，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而f(x)在R 上递增。

②学生易误认为只要有点使'()0f x =，则f(x)在(a ，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有'()0f x =，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。

高中数学高考总复习-立体几何二面角问题

高中数学高考总复习-立体几何二面角问题定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1（Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点（II ）求二面角的大小。

练习1（）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E ，F 分别是BC ,PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．(卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4,BC=CD=2,AA =2,E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。

(1)证明：直线EE //平面FCC ；(2)求二面角B-FC-C的余弦值。

S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --60ABC ∠=︒621111111111EAB C FE A BCD D练习2（）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3（）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

北京四中高考数学总复习三角恒等变换基础知识讲解

三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m()tan tan tan()()1tan tan T αβαβαβαβ±±±=-要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。

公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简。

考点二、二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 22sin cos ααα= 2()S α； ααα22sin cos 2cos -=2()C α；22tan tan 21tan ααα=-2()T α。

要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。

北京四中高考数学总复习正弦、余弦定理及解三角形提高知识梳理

正弦、余弦定理及解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ∆中，22290a b c C +=⇔=︒. 2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sinsin()cos 2222A B C Cπ+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=tan tan()cot 2222A B C C π+=-=3．直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC ∆中，90C =︒（如图），有： c cC c b B c a A ====1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b aA B C c c===.要点二、正弦定理、余弦定理应用解三角形正弦定理余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 22. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

北京四中高考数学总复习三角函数的最值与综合应用基础知识讲解

三角函数的最值与综合应用【考纲要求】1、能求三角函数的值域与最值；2、能利用三角函数的图象与性质解题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、三角函数的最值求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：1. 涉及正、余弦函数以及sin cos )a b θθθϕ+=+，其中tan baϕ=，都可以考虑利用有界性处理.2. 22sin sin cos cos y a x b x x x C =+++型，经过降次、整理，得到sin 2cos2)y A x B x C x C ϕ=++=++，其中tan BAϕ=，再利用有界性处理. 3. 形如2sin sin y a x b x c =++或2cos sin y a x b x c =++的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解.4. 形如sin cos x x ±，sin cos x x ⋅在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sin cos t x x =+，则21sin cos 2t x x -⋅=，把三角问题化归为代数问题解决.5. 形如sin cos a x cy b x d +=+型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）.6. 形如ax x+型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解.三角函数的最值三角函数在实际三角函数的最值与综合要点诠释：三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法.考点二、sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】类型一：三角函数的最值例1．求函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值.【解析】原式1cos cos cos sin 622x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅-=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos sin cos 22x x x =+sin 24x =+11(sin 22)sin 244423x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，. 【总结升华】运用三角函数公式化简成22sin sin cos cos y a x b x x x C =+++，通过二倍角降次，整理成)y x C ϕ=++型，再利用有界性处理.举一反三：【变式1】求函数cos y x x =+[0,]x π∈的值域. 【答案】[1,2]-【解析】)6sin(2cos sin 3π+=+=x x x y∵[0,]x π∈， ∴ ]67,6[6ππ∈π+x .由正弦函数图象可知：当26π=π+x 即3π=x 时，max 2y =；当π=π+676x 即x π=时，min 1y =-. 所以函数值域为[1,2]-.【变式2】函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．1B ．12C ．32D ．【答案】C【解析】1cos 21()2sin 2262x f x x x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭。

北京市西城区第四中学立体几何多选题试题含答案

北京市西城区第四中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF平面MOF l =，则有//l AB 【答案】AD【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ；【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OMOF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误；对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确；故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（）A ．平面1MB P 1ND ⊥B ．平面1MB P ⊥平面11ND AC ．1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形【答案】BC【分析】取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：当点P 与点N 重合时，若1ND ⊥平面1MB P ，1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =， 2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点，则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且11EN B C =，1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=， 190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥，1111A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △，此时，射影图形的面积为21224MBC a a S a =⋅=△；若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈，且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，且21224MBG a a S a =⋅⋅=△.综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确；对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合，此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.3．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24 【答案】CD【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ，则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=，故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=，故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错．若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥，因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错．当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE 平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =，又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=，故此时体积为13223224⨯⨯=，故D 正确．对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =，故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ，故C 正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.4．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．AP ∥平面11AC D 【答案】BD【分析】对于A ，1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可.【详解】对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，所以1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C所以11(1,1,),(1,1,1),(1,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ，所以(,0,)CP x x =,所以1CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线，所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-，所以111AP BC x x ⋅=-+=，所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D ,所以11(1,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-，所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥，所以AP ∥平面11AC D ，D 正确，故选：BD【点睛】此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.5．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以)2Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==，设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则 3602260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==，所以(1,2,n =-，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PCn PC θ⋅===，所以cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABC V V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，所以()()()2222226323632a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以22236x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为2342434x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.6．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE【答案】AC【分析】取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．【详解】解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，∴1MF A D ∥，∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，∴MF 平面1A DE ，∵DF BE ∥且DF BE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴BF DE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，∴BF ∥平面1A DE ，又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ，∵BM ⊂平面BMF ，∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==，则112MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵2DE CE a ==，2CD AB a ==， ∴222DE CE CD +=， ∴DE CE ⊥，设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =， ∴DE ⊥平面1A CE ，∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，所以假设不成立，即B 错误.故选:AC .【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D 所成角的正弦值的最大值为63．【详解】解：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故B正确；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故C错误；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），1DA＝（1，0，1），1DC＝（0，1，1），1C P＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量(),,n x y z=，则11n DA x zn DC y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x＝1，得1,1,1n，∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：11||||||C P nC P n⋅⋅＝22(1)3a a+-⋅＝21132()22a⋅-+，∴当a＝12时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为6，故D正确．故选：ABD．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下面结论中正确结论的有（）A ．11A D C P ⊥；B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π．【答案】ABD【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D.【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，()()10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，则可解得()1,1,P λλλ--，对A ，()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则11A D C P ⊥，故A 正确；对B ，1A P PD +=== 则当23λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确；对C ，()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，则222321cos 1321321PA PC APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2111123212λλ-≤-<-+，即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以222122R R ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得34R =，故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。

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高中数学高考综合复习专题二十七立体几何（Ⅱ）——角与距离一、知识网络二、高考考点1.异面直线所成的角；异面直线间的距离.其中，异面直线所成的角是重点，也是难点。

2.直线和平面所成的角；直线与平面的距离.其中，在计算题中，直线和平面所成的角或距离问题为高考命题热点，它不但所占比例大，而且几乎年年有，次次出。

3.二面角、以二面角为载体引出的平行、垂直以及其它的角和距离问题。

三、知识要点1.异面直线所成的角异面直线间的距离（见专题26）2.直线和平面所成的角（1）斜线在平面内的射影（Ⅰ）有关概念：①过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

②一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线；斜线和平面的交点叫做斜足；从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。

③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影。

（Ⅱ）定理：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中①射影等长斜线段等长；②射影较长斜线段较长；③斜线段长大于垂线段。

（2）直线和平面所成的角（Ⅰ）定义与命题①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

特例：若直线与平面垂直，则说直线和平面所成的角是直角；若直线与平面平行或在平面内，则说直线与平面所成角是0°的角。

认知：设斜线l与平面所成角为θ，则θ∈（0°，90°）；设直线l与平面所成角为θ，则θ∈[0°，90°]。

②命题（最小角定理）：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

（3）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

3.二面角（1）二面角及其相关定义（Ⅰ）平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

（Ⅱ）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

（2）二面角的度量（Ⅰ）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

认知：二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上（可为棱上任意一点）；②两条边分别在两个面内；③两条边都和棱垂直。

二面角用它的平面角来度量。

设二面角为θ，则θ∈[0°，180°]。

（Ⅱ）二面角的平面角的构造方法一般地，解非直二面角问题，都要作出并且利用二面角的平面角。

构造二面角的平面角的主要方法有：①定义法：经过二面角的棱上某一点，分别在两个面内作棱的垂线，直接构造出二面角的平面角。

此法适于对二面角平面角的顶点以及至少一条边不作特殊要求的问题。

②三垂线法：当点A在二面角的一个面α内时，作于O，又在β内作于B，连结AB，则由三垂线定理得，故为二面角的平面角。

这种构造二面角的平面角的方法，称之为“三垂线法”。

此方法适合二面角平面角的边经过某一面内的某一点的二面角问题，是构造二面角平面角的第一重要途径。

③垂面法：经过空间某一点作棱的垂面与二面角的两个面相交，则得到的两条交（射）线构成的角即为二面角的平面角。

此方法适于借势构造棱或面的垂面的问题。

四、经典例题例1、图，在正方体中，M、N分别为棱和的中点，若是直线CM与所成的角，求的值。

分析：注意到以为边的平行四边形容易构造，故考虑通过构造平行四边形实现的平移。

解：取的中点为P，连结BP、MP、PC、MB，则由知，四边形BPD1N为平行四边形，故有①又有M、P分别为、的中点知，，∴四边形BMPC为平行四边形，且BP与CM相交②令，则由①，②知，为异面直线CM与所成角，令正方体棱长为1，，则在中，，，∴∴同理，可得于是在中，由余弦定理得注意到这里θ∈（0°，90°）∴点评：构造两条异面直线所成的角，取辅助点，作辅助线的基本策略是“投其所好”（或称之为“以其人之道还治其人之身”）。

当已知条件中给出的点为线段的中点时，考虑取有关线段的中点以对应原有线段的中点；当已知条件中给出的点为线段的三等分点时，则考虑取有关线段的三等分点以配合原有线段的三等分点，……；其中，以人为地构造三角形的中位线或构造平行四边形实现“平移”，是构造异面直线所成角的基本手段。

因此，当已知条件中出现线段的中点时，在有关线段上取新中点以对应原有中点，通过构造三角形的中位线进行“平移”，乃是解题的第一选择。

例2、如图，正四面体ABCD中，E为AB中点，M为AC中点，N为的中心，求异面直线DE和MN所成角的大小。

分析：对于锥体中的异面直线，构造它们所成的角时，一般优先考虑构造三角形中位线或三角形中的成比例线段。

在这里，注意到正三角形中心为中线的三等分点，因此想到构造三角形中的成比例线段。

解：为建立异面直线MN与DE的联系，连结DN并延长交BC于点P，则P为BC的中点，连结PE，在平面DEP 内过N作NQ//DE且交PE于点Q，则或其补角为异面直线DE和MN所成的角连结MQ，并设正四面体的棱长为a，则，∵在中，∴①又②由正得③∴在中由余弦定理得由此解得∴所求两异面直线所成角为点评：利用正三角形中心的特性，人为地构造三角形中的成比例线段，并由此得出两条异面直线所成角，这是解答本题的关键环节。

例3、已知在长方体中，棱AB=BC=3，。

连结，过点B作的垂线交于E，交于F.（1）求证：平面BDE；（2）求DE与平面所成角的大小。

分析：注意到长方体的特性，故从寻找在侧面上的射影切入。

解：（1）证明：连结BD，AC，则∵AC是在平面AC内的射影，∴，即①注意到平面，故为在平面内的射影。

∵平面，，∴即②∴由①，②得平面BDE；（2）注意到平面即平面，连结DF、∵，，∴平面.∴即为DE与平面所成的角。

又由已知AB=BC=3，得，，，∴由∽得，由得，，∴由得，∴，∴DE与平面所成角为点评：利用直角三角形的相似寻出有关线段间的联系，是解决以长方体为载体的解答题的基本策略。

例4、如图，在直三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别为与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G.（1）求与平面ABD所成角的大小；（2）求点到平面AED的距离。

分析：（1）欲求直线与平面所成的角，往往要首先寻找或构造这一平面的垂线，这里由题设知平面ABD，关键是解（2）注意到四面体的三个顶点在侧面上，并且点D到这一侧面的距离易求，故考虑运用“体积法”求这一距离。

解：（1）由题设知平面ABD，连结BG，则BG是BE在平面ABD上的射影，∴是与平面ABD所成的角。

在平面ABD内连结DG并边长交AB于F，连结CF，DE，EF。

∵AC=BC，∴DA=DB又G为的重心，∴F为AB中点，并且四边形CDEF为矩形。

在中，∵，∴①又EF=1，∴由①得∴，②注意到，∴，∴③于是利用②，③，在得：∴即直线与平面ABD所成角的大小为（2）设点到平面AED的距离为h，注意到平面，，故平面。

∴由得④又由（1）知⑤⑥而⑦∴将⑤、⑥、⑦代入④得∴即所求点到平面AED的距离为点评：此例的解法运用了立体几何中求角、求距离的典型解法。

对于（1），关键是寻出或作出相关平面的垂线；对于（2），则是求点（或直线）到平面距离的基本解法，关键在于相关的三角形面积与点到平面的距离易求。

例5、如图，在正方体的棱AB上求一点M，使得二面角为120°的二面角。

分析：循着解决此类问题的思路，设符合条件的点M存在，并从构造二面角的平面角切入，从解突破。

解：由二面角为120°的二面角知，二面角为60°的二面角∵平面，垂足为B，∴在平面内过点B作于N，连结CN，则由三垂线定理知∴为二面角的平面角，即设正方体棱长为a，则在中，BC=a，在中，又在中，由得，∴∴在中，因此，在AB上取点M，使，则M为所求的满足要求的点。

点评：本题求解向60°的二面角的转化，以及立足于解，由远及近向BM的靠拢，值得我们品悟和借鉴。

例6、已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将折起，使点A在平面BCD上的射影E恰好落在BC上，求二面角A-BD-C的大小。

解：∵点E是点A在平面BCD上的射影，∴平面BCD在平面BCD内过点E作于H，连结AH，则（三垂线定理），∴为二面角A-BD-C的平面角在中，AB=3，AD=4，BD=5，∴，①又∽，∴，∴②于是在中，由①，②得，∴，即所求二面角大小为点评：此题为“平面图形的折叠”问题。

对此，解题的一类思路是（Ⅰ）认知平面图形：有关线段的长度，有关线段的关系：平行；垂直；平分等；（Ⅱ）考察“变”与“不变”：相对于平面图形，翻折后的空间图形中，哪些元素间的位置、数量关系发生了变化，哪些没有改变（包括两点间的距离，原有的平行、垂直关系等）；（Ⅲ）利用“不变”求解：将翻折前后的两个图形对照，并且利用“不变”的量和关系求解未知的量。

在这里，折叠前后的，，图（1）中的AH、BH、HE与图（2）中的AH、BH、HE相同。

注意到空间图形在视觉中的失真，如果需要，可在平面图形中寻求不变量，以使目标更为明朗、真实，使求解更为准确、快捷。

五、高考真题（一）选择题1.（2005·全国卷III ）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个分析：不共面的四个定点构定一个四面体，取各棱中点，则与某一面平行的截面有4个，与三组对棱平行的截面有3个，这些截面到四个定点的距离都相等，故这样的平面α共有7个，应选D。

2.（2005·福建卷）如图，长方体中，，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线与GF所成的角是（）A. B. C. D.分析：为平移连结，则由题设得∴或其补角为所求异面直线与GF所成的角连结，由已知易得，，∴∴，应选D。

3.（2005·湖南卷）如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则E到平面的距离是（）A. B. C. D.分析：注意到平面，故点E到平面的距离等于点到平面的距离。

连结，并设，则且①∵平面∴②∴由①，②得平面∴点到平面的距离为，∴应选B。

（二）填空题1.（2005·辽宁卷）如图，正方体棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD 的距离是。