辽宁省大连市2021届新高考数学模拟试题含解析
数学模拟试题二含解析
A. 线段 上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与 的面积相等D. 三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；利用直线平行平面，直线上的点到面的距离相等以及椎体的体积公式可判断D。
【详解】若甲走的红门盘道徒步线路，则乙,丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路",“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路"正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直,即可求出tanα=3,再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2,所以sinα﹣3cosα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=
故选D．
点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式,本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般 ， ,这三者我们成为三姐妹，结合 ，可以知一求三.
15. 函数 的部分图象如图所示，则 __;将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 ____.
【答案】 （1）. （2）。
【解析】
【分析】
根据图象求得周期，利用周期计算公式求得 ；根据 ,即可求得 ;再求得平移后的函数解析式,根据奇偶性，列出等式,则 可得.
辽宁省大连市2021-2022学年度高考第一次模拟数学试题(理)及答案解析
辽宁省大连市高三第一次模拟数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,3-D ．()1,3 2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4.如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和8 5.函数()2tan 1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B 1033 C.3 D 8337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种.A ．24B ．36 C.48 D ．608.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．1B 3 C.2 D ．49. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4π C.5π D ．6π 10. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（ ）A ．512π B ．712π C.1924π D ．4124π 11. 已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC.2 D ．3 12.若直线()10kx y k k R --+=∈和曲线()325:03E y ax bx b =++≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，()()33123,C x y x x x <<三点时，曲线E 在点A 、C 点处的切线总是平行的，则过点(),b a 可作曲线E 的（ ）条切线.A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0405y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则25z x y =++的最大值为．14.已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接，则所得弦长介于R与之间的概率为．15.已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点，设点()2,0G ，连接AG ，BG 并延长，分别和抛物线C 交于点A ′和B ′，则直线A B ′′过定点． 16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM •+•的最小值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中，22b a =，45b a =.()Ⅰ求{}n a 和{}n b 的通项公式；()Ⅱ设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑81i ii x y =∑81i ii w y =∑46.65736.8289.8 1.6 215083.4 31280表中i w x =，8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c dx =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题： ()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ；()Ⅱ求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上.()Ⅰ求椭圆C 的方程；()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21. 已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当1m ≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos 02C πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，2:cos 3C ρθ=.()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标；()Ⅱ设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x x m =+++，m R ∈.()Ⅰ当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；()Ⅱ(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDADB 6-10:BABCC 11、12：BC 二、填空题13.14 14.1315.()4,0 16.48-三、解答题 17.解：()Ⅰ21n S n n =-+，∴当1n =时，11a =，()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥， ∴()()()11212n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. 又数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==， 又0n b >∴2q =，∴12n n b -=.()Ⅱ由()Ⅰ得：()()()()()()111112122122n n nn n c n n n n -==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-⋅≥-⋅≥⎪⎪⎩⎩设数列{}n c 的前n 项和为n T当2n ≥时，()()()23121231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()231122212n n =+⋅+⋅++-⋅，()()34121212222212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅∴()341322212n n n T n +-=++++--⋅()()32121231212n n n -+-=+--⋅-()()21382112n n n -+=+---⋅()112125n n n ++=--⋅- ()1225n n +=-⋅-∴()()15222n n T n n +=+-⋅≥.当1n =时，111T c ==， 又当1n =时，()15221n n T n +=+-⋅=，综上，()1522n n T n +=+-⋅()1n ≥.18. 解：()Ⅰ由散点图可以判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w =y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i i i i i i i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w ww ww ww w=========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+，所以y 关于x 的线性回归方程为110.6y =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知，当64x=时，年销售量y 的预报值为110.6654.6y =+=，年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知，年利润z 的预报值)20.2(110.622.12 6.868.36z x x =⨯+-=-+=-+，6.8=，即46.24x =时，年利润的预报值最大， 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19.解：()Ⅰ方法一：取PC 中点M ，连接MF DM ,，F M , 分别是PB PC ,中点,CB MF CB MF 21,//=∴，E 为DA 中点，ABCD 为正方形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形，⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面PDC .方法二：取PA 中点N ，连接NE ，NF .E 是AD 中点，N 是PA 中点，//NE DP ∴，又F 是PB 中点，N 是PA 中点，//NE AB ∴，//AB CD ，//NF CD ∴，又NE NF N =，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴平面//NEF 平面PCD . 又EF ⊂平面NEF ，//EF ∴平面PCD .方法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点//GE CD ∴又F 是PB 中点，G 是BC 中点，//GF PC ∴，又PCCD C =，,GE GEF GF GEF ⊂⊂平面平面， ,PC PCD CD PCD ⊂⊂平面平面，∴平面GEF //平面PCD . EF ⊂平面GEF//EF ∴平面PCD .方法四：⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -， 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则设平面PDC 法向量为(),,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD则00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ,取()1,0,1n =， 11022n EF ⋅=-=， 所以EF n ⊥，又EF ⊄平面PDC ，EF ∴∥平面PDC .()Ⅱ⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 设平面EFC 法向量为()1111,,n x y z =，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,21,21,21,21FC EF则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF , 即111111011022x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取()2,1,31-=n ,则设平面PDC 法向量为()2222,,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n PC n PD ,即2222200x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩,取()1,0,12=n ，()1475214120113,cos 212121=⨯⨯+⨯-+⨯=⋅⋅=n n n n n n .∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. （若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）20. 解：()Ⅰ由12c a =可得，2a c =，又因为222b a c =-，所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2222143x y c c +=，又因为3(1,)2M 在椭圆C 上，所以22223()12143c c+=.所以21c =，所以224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=.()Ⅱ方法一：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++()12234y y m -===+所以()214234S m =⨯⨯+令1t t =≥， 有224241313t S t t t==++，由 函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+，在[1,)+∞上单调递增，故134t t +≥，故2242461313t S t t t ==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法二：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++有2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t =≥， 有224241313t S t t t==++， 函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+，在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法三：①当l 的斜率不存在时，:1l x =此时，四边形APBQ 的面积为6S =.②当l 的斜率存在时，设l 为：(1)y k x =-，(0)k ≠ 则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k ∴+-+-=2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+==++，1212()12y y k x x -=-==∴四边形APBQ 的面积1214242S y y =⨯⨯-=令234(3)t k t =+> 则234t k -=6S =11(0)3t <<116)3S t =<<∴ 06S <<∴综上，四边形APBQ 面积的最大值为6.21.解：()Ⅰ()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上，()240x a f x x e '=-+≥恒成立，即：()42x a x e ≥- ∴设()()42x h x x e =-R x ∈∴()()22x h x x e '=-，∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数， ∴当(1,)x ∈+∞时()0h x '<，∴()h x 在(1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()()max 12h x h e ==()max 42x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴2a e ≥，即[)2,a e ∈+∞ .()Ⅱ方法一：因为a x x e x g x -+-=)54()(2，所以0)1()('2≥-=x e x g x ， 所以)(x g 在(),-∞+∞上为增函数，因为)(2)()(21m g x g x g =+，即)()()()(21x g m g m g x g -=-， )()()()(21x g m g m g x g --和同号，所以不妨设12x m x <<,设()(2)()2()(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥，…8分 所以222)1()12()('-+---=-x e x m e x h x x m ，因为2m x x e e -<，22(21)(1)(22)(22)0m x x m m x ----=--≤，所以'()0h x >，所以)(x h 在(,)m +∞上为增函数， 所以()()0h x h m >=，所以222()(2)()2()0h x g m x g x g m =-+->， 所以221(2)2()()()g m x g m g x g x ->-=， 所以212m x x ->，即122x x m +<.方法二：()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m +=[)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+ ∴设()()245x x x x e ϕ=-+x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴()()210x x x e ϕ'=-≥∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'= 令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞， ∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+---- 0x >∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴()0F x '>， ()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=，∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞ 令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+> 即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ-> ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<得证.22.()Ⅰ解：联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ， 20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ， 交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π. ()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ， 由已知23OQ QP =，得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052， 2=4cos 5ρθ∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解：()Ⅰ当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜, 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. ()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432mx f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜， 当302x -＜＜时，不等式化为23+≥+m x x.由22[()()]+=--+-≤-=-x x x x当且仅当2-=-x x 即=x .3m +≥-∴3m ≥--∴当32≤-x 时，不等式化为243--+≥+x m x x.253m x x ≥++∴，令253y x x=++，3(,]2x ∈-∞-. 22350,(,]2y x x '=->∈-∞-， 253y x x=++∴在3(,]2-∞-上是增函数. ∴当32=-x 时，253=++y x x 取到最大值为356-. ∴356m ≥-∴.综上3m ≥--。
解析2021届辽宁省大连市高三一模数学试卷
绝密★启用前2021届辽宁省大连市高三一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合则{}{}240|2A x x x B x x =-<=<，，则AB =（ ）A ．()02，B ．()2,4-C ．()()24-∞⋃+∞，， D ．()()20-∞+∞,-,答案：B解不等式确定集合,A B ，然后由并集定义计算． 解：由题意{|04}A x x =<<，{|22}B x x ，所以{|24}A B x x ⋃=-<<． 故选：B ． 2．已知复数21iz i=+，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．1BC ．2D ．答案：B由复数的除法运算求得1z i =+，结合复数模的运算公式，即可求解.解：由复数的除法运算，可得()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，所以z ==. 故选：B.3．已知两条不重合的直线m n 、和平面α，则//m n 的一个充分不必要条件是（ ）A ．m n αα⊄⊂，B ．//，//m n ααC ．m n αα⊥⊥，D ．//m n αα⊂，答案：C利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断.解：A. 当m n αα⊄⊂，时，//m n 或m 与n 异面或相交，故错误； B. 当//，//m n αα时，//m n 或m 与n 异面或相交，故错误；C. 当m n αα⊥⊥，时，//m n ，反之不一定成立，故正确；D. 当//m n αα⊂，时，//m n 或m 与n 异面，故错误； 故选：C4．熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．在数学中，利用熵可以解决如下问题：有n 个互不相等的数，需要比较()2log !n ⎡⎤⎣⎦次（!n 表示的n 阶乘：[]x 表示的是向上取整函数，如[]2.13=）就可以将这些数从小到大排序．现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11答案：C根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较()2log 6!⎡⎤⎣⎦次，然后进行计算即可得出结果.解：根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较()2log 6!⎡⎤⎣⎦次， 而22log 6!log 720=，且2229log 512log 720log 102410=<<=， ∴()2log 6!10=⎡⎤⎣⎦. 故选：C.5．若双曲线222:19x y C b-=的右焦点到它的一条渐近线的距离是C 的离心率为（ ）A ．2BC ．43D 答案：A根据题意先写出右焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式列出关于b 的方程，从而得出c 的值，最后利用离心率公式可得结果.解：双曲线222:19x y C b-=的右焦点坐标为)，渐近线方程为3by x =±，即30bx y ±=，∵双曲线222:19x y C b -=的右焦点到它的一条渐近线的距离是=b =∴6c ===，∴离心率623c e a ===. 故选：A.6．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则()P B A =（ ） A ．15B ．310C ．35D ．34答案：D利用古典概型分别求出()P A ，()P AB ，根据条件概率公式可求得结果.解：若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则()2113332645C C C C A P +==， ()1133263=5C C P C AB =，∴()()()335445P AB P B A P A ===.故选：D.7．已知函数()()2sin 2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，处的切310y -+=互相垂直，则函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到图象的解析式是（ ） A ．2cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2cos y x =C ．2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭答案：A利用导数的几何意义可求出ϕ，从而得到()f x 的解析式，然后再利用图象的变换法则进行求解即可得到结果.解：函数()()2sin 2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，∴()()2cos f x x ϕ'=+， ∵曲线()y f x =在点22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，处的切线与直线3310x y -+=互相垂直， ∴2cos 2sin 322f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫'=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3sin 2ϕ=， 又2πϕ<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到图象的解析式为 2sin 2sin 2cos 6363y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.8．如图所示，在三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，AB BC ⊥，24AC CB ==，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．40πC ．40103D ．6423答案：B设CD 中点为M ，连接AM ，过点M 作MN CD ⊥，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在MN 上，再设外接球的半径为R ，球心为O ，CM 中点为P ，连接BP ，再根据几何关系得2222OM R CM OB PM BP =--，进而代入数据计算即可得答案解：设CD 中点为M ，连接AM ，因为ACD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，24AC CB == 所以22AM DM CM ===，AM CD ⊥， 过点M 作MN CD ⊥，因为平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD平面BCD CD =所以MN ⊥平面ACD ，AM ⊥平面BCD ，所以三棱锥的外接球的球心在MN 上，设外接球的半径为R ，则由AB BC ⊥得23AB =，由AM BM ⊥得2BM BC ==， 又因为222BM BC CM +=， 所以BCM 为等腰直角三角形， 设球心为O ，CM 中点为P ，连接BP ，则2MP CP BP ===所以2222OM R CM OB PM BP -=-，()()22222222R R -=-10=R所以三棱锥的外接球的表面积为2440S R ππ==. 故选：B点评：本题考查几何体的外接球的相关计算，考查运算求解能力，空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于设CD 中点为M ，连接AM ，过点M 作MN CD ⊥，进而证明三棱锥的外接球的球心在MN 上，进而将空间问题转化为平面问题求解. 二、多选题9．《高中数学课程标准》（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（ ）A ．甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B ．甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C ．甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D ．乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高 答案：AC根据雷达图逐个分析判断即可解：解：对于A ，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A 正确；对于B ，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B 错误；对于C ，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C 正确；对于D ，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D 错误， 故选：AC10．已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式正确的（ ）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+．0a b -<D ．2211612a b +≥ 答案：ABD利用基本不等式证明判断． 解：因为00a b >>，，4ab a b =+≥=，当且仅当4a b =时等号成立，所以16ab ≥，A 正确； 由4a b ab +=得401ab a =>-，1a >，同理4b >，44222(1)66611a a b a a a a +=+=-++≥=--，当且仅当42(1)1a a -=-，即1a =B 正确； 5,5a b ==满足题意，但0a b -=，C 错；由4a b ab +=得141a b +=，所以2221161421a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22116a b =即4b a =时等号成立，所以2211612a b +≥．D 正确． 故选：ABD点评：易错点睛：本题考查用基本不等式证明不等式，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方本题考查的是证明不等式成立，不是求最值，因此即使等号取不到，不等式仍然成立． 11．已知抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为2y =-，焦点为F ，O 为坐标原点，()11,A x y ，()22,B x y 是C 上两点，则下列说法正确的是（ ）A ．点F 的坐标为()02，B ．若16AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为8C ．若直线AB 过点()0,4，则以AB 为直径的圆过点OD ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F 答案：AD根据抛物线的准线求得焦点坐标判断A ，设直线AB 方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，求出AB中点坐标得中点到x 轴距离，求得最小值后判断B ，计算AB 的长和AB 中点到原点的距离，比较后判断C ，由斜率之积求出m 为常数，可得直线过定点判断D ． 解：A ．抛物线准线方程是2y =-，22p=，4p =，则焦点为(0,2)，A 正确； B ．显然AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由28y kx m x y=+⎧⎨=⎩得，2880x kx m --=，264320k m ∆=+>， 121288x x k x x m+=⎧⎨=-⎩，所以16AB ==，化简得22821m k k=-+， 线段AB 中点的横坐标为1242x x k +=，纵坐标为228421k k m k k⋅+=++为中点到x 轴的距离，又22228822(1)22611k k k k +=++-≥=++，当且仅当2282(1)1k k+=+，即1k =±时等号成立，因此B 中结论最小值为8是错误的．B 错； C ．设AB 方程为4y kx =+（4m =），由上述讨论知AB ==又AB 中点为22444k m k +=+，即中点为2(4,44)k k +，中点到原点O的距离为2AB=≠，所以以AB 为直径的圆不过点O ，C 错；D ．221212121212188644OA OBx x y y x x k k x x x x ⋅=⋅===-，则1216x x =-，由上得816m -=-，2m =，AB 方程为2y kx =+，必过点(0,2)，D 正确．故选：AD ．点评：本题考查求抛物线的方程，考查直线与抛物线相交，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为y kx m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组且消元，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后把这个结论代入各个条件求解． 12．已知函数())lg 1f x x =+，()2622x x g x +=+则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()g x 的图象关于点()12，对称 C ．若函数()()()F x f x g x =+在[]1,1x m m ∈-+上的最大值、最小值分别为M 、N ，则4M N +=D ．令()()()F x f x g x =+，若()()214F a F a +-+>，则实数a 的取值范围是()1,-+∞答案：BCD利用函数的奇偶性的定义，可判定A 错误；利用图像的平移变换，可判定B 正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C 正确；利用函数的单调性，可判定D 正确. 解：由题意函数()))lg1lg(1)f x x x =+=-，(1)0x ->恒成立，即函数()f x 的定义域为R ， 又因为()01)0f =≠，所以()f x 不是奇函数，所以A 错误；将()2622x x g x +=+的图象向下平移两个单位得到262222222x xx xy +-=-=++， 再向左平移一个单位得到()1122122212x xx xh x ++--==++，此时()()12211221x x xx h x h x -----===-++，所以()h x 图象关于点(0,0)对称， 所以()g x 的图象关于()1,2对称，所以B 正确；将函数()f x 的图象向左平移一个单位得())lg m x x =，因为()()))lglglg10m x m x x x -+=+==，即()()m x m x -=-，所以函数()m x 为奇函数， 所以函数()f x 关于(1,0)点对称，所以()F x 若在1a +处 取得最大值，则()F x 在1a -处取得最小值，则(1)(1)(1)(1)(1)(1)044F a F a f a f a g a g a ++-=++-+++-=+=，所以C 正确；由()(21)4F a F a +-+>，可得()(12)()(12)4f a f a g a g a +-++->，由())lg (1)f x x =-，设())lg m x x =，t x =，可得10t '=<，所以t x =为减函数，可得函数())lgm x x =为减函数，所以函数())lg (1)f x x =-为单调递减函数，又由()26412222x x xg x +==+++为减函数，所以()F x 为减函数， 因为()F x 关于点(1,2)对称，所以()()214()(2)F a F a F a F a +-+>=+-，即(21)(2)F a F a -+>-， 即212a a -+<-，解得1a >-，所以D 正确. 故选：BCD.点评：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 三、填空题13．二项式()51x +展开式中含2x 项的系数为________． 答案：10由二项展开式通项公式易得． 解：展开通项公式为15r rr T C x +=，所以5(1)x +展开式中2x 的系数为2510C =． 故答案为：10．14．我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）．则宝塔的顶层有______盏灯． 答案：3用数列{}n a 每层塔灯的盏数，则{}n a 成等比数列，由等比数列的基本量运算可得． 解：用数列{}n a 每层塔灯的盏数，则{}n a 成等比数列，7381S =，底层灯盏数为1a ，则2q，所以717(12)38112a S -==-，解得13a =．故答案为：3．15．已知平行四边形ABCD 中，3AB =，4=AD ，3BAD π∠=，平面内有动点E ，满足2ED EC =，则()DB DA AE -⋅的取值范围为___________． 答案：[]12,24根据题意建立坐标系，求出各点的坐标，再结合2ED EC =，求出点E 的坐标满足的等式，最后结合数量积的坐标运算公式即可求出结果. 解：因为平行四边形ABCD 中，3AB =，4=AD ，3BAD π∠=，所以建立如图所示的坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，(5,23C ，()2,23D ，设(),E x y ， ∵平面内有动点E ，满足2ED EC =， ∴()(()(22222234523x y x y ⎡⎤-+-=-+-⎢⎥⎣⎦，即()(226234x y -+-=，∴()26448x x -≤⇒≤≤，∴()()()[]3,0,=312,24DB DA AE AB AE x y x -⋅=⋅=⋅∈. 故答案为：[]12,24.点评：求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用. 16．ABC 中角的A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，5()()sin 34cos sin A B A B -=-，则c 的最小值为_______．10根据两角差的正弦公式可将原等式变形为cos 3sin (1)si cos n A B B A =-，再结合正弦，余弦定理，将角全部化为边，可推出32co 2s A c b =-，由1sin 2S bc A =可得2in 5s A =22sin cos 1A A +=，将其整理成关于b 的一元二次方程，由0∆≥，得解．解：因为()()sin 34cos sin A B A B-=-，所以sin cos sin cos 3sin 4sin cos A B B A B B A -=-，即cos 3sin (1)si cos n A B B A =-，所以2222223(1)22a c b b c aa b ac bc+-+-⨯=⨯-，整理得22223b c a bc c +-=-，所以22223322o 2c s 2b c a bc c cbc A bc b +--===-，又1sin 2ABCS bc A ==，所以in s A =因为22sin cos 1A A +=，所以223(()122c bc b+-=，化简22253200424c c b b c -⋅++=，由2223520()4()0244c c c∆=--⨯⨯+≥，得4100c ≥，即c ≥c ，．点评：方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 四、解答题17．如图，AB 是底部不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点．某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度)、量角器（可测量平面角度）．（1）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度AB 的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式．（2）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际高度有误差，请你针对误差情况进行说明． 答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析．（1）AB 底部不可到达，因此可用解三角形思想求解，测量出相应的线段长和角度，然后由三角形的知识进行计算．我们选用解直角三角形，注意到测角仪的高度，构建解析中的图形，测量,C D 两点处A 的仰角，CD 长，同时测得测角仪高度，然后解直角三角形可得．（2）误差产生的原因很多，如工具误差，两次测量时位置不完全一样（每个数据都可能出现误差）．解：（1）选用测角仪和米尺，如图所示，①选择一条水平基线HG （如图），，使,,H G B 三点共线；②在,H G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为,αβ，用米尺测量得CD a =，没得测角仪的高为h ． ③经计算建筑物sin sin sin()a AB h αβαβ=+-（或者写成tan tan tan tan a h αβαβ+-）．（2）①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度．点评：关键点点睛：本题考查解三角形的应用，不可及测量问题，可通过构造三角形（最好是直角三角形），确定解此三角形所需要的元素，测了这些元素，然后求解． 18．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABED ⊥平面3BCFE BA BC BC ⊥=，，，112BE DE DA AB ====．（1）求证：AE ⊥平面BCFE ；（2）求直线DF 与平面AEF 成角的正弦值． 答案：(1)证明见解析；(2)1313(1)求出等腰梯形ABED 的对角线AE 长，由勾股定理逆定理判断AE ⊥BE ，再利用面面垂直的性质即得证；(2)由(1)可得AE ⊥BC ，进而证得EF ⊥平面ABED ，平面AEF ⊥平面ABED ，过点D 作出平面AEF 的垂线得线面角，求解即得.解：(1) 在三棱台ABC DEF -中，112BE DE DA AB ====，四边形ABED 是等腰梯形，过E 作EG ⊥BE 于G ，如图：122AB DE EG -==，1cos 2EG ABE BE ∠==，ABE △中，由余弦定理得AE===所以2224,90AE BE AB AEB+==∠=，即AE⊥BE，因平面ABED⊥平面BCFE，平面ABED⋂平面BCFE=BE，AE⊂平面ABED，所以AE⊥平面BCFE；(2)由(1)知AE⊥BC，又BA BC⊥，AB⊂平面ABED且AE⊂平面ABED，AB AE⋂=A，则BC⊥平面ABED，由已知EF//BC，则有EF⊥平面ABED，而EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABED，过D作DO⊥AE于O，平面AEF平面ABED AE=，DO⊥平面AEF，连接FO，则FO是DF在平面AEF内的射影，即DFO∠是直线DF与平面AEF所成的角，AC=DEF ABC，则12DF DEAC AB==，2DF=，等腰△ADE中，O是AE中点，则12DO=，Rt△DFO中，1sinDODFODF∠===，故直线DF与平面AEF成角的正弦值是13.点评：方法点睛：求直线与平面所成角的方法：几何法；空间向量法.19．已知正项数列{}n a前n项之和为n S，满足()241n nS a=+．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足1nnbS=，其前项和为nT，证明：6136nT<．答案：（1）21na n=-；（2）证明见解析.（1）当2n≥时，由()241n nS a=+得到()21141n nS a--=+，再两式相减，利用等差数列的定义求解；（2）由（1）得到211nnbS n==，然后由22221111...123nTn++++=()22211111...123341n n<++++⨯-⨯，利用裂项相消法求解.解：（1）当1n =时，()21141a a =+，解得11a =， 当2n ≥时，由()241n n S a =+得，()21141n n S a --=+，两式相减得()()1120n n n n a a a a --+--=， 因为0n a >，所以12n n a a --=，且212a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，以1为公差的等差数列， 所以()1121n a a n d n =+-=-.（2）由（1）知()122n n n a a S n +==，则211n n b S n ==，所以22221111...123n T n ++++=， 当1n =时，161136T =<，当2n =时，2221156112436T =+=<，当3n =时，322211149611233636T =++=<，当4n ≥时，22221111...123n T n++++=，()22211111...123341n n<++++⨯-⨯， 2221111111...123341n n =+++-++--， 222111111233n =+++-， 611613636n =-<. 所以对*n N ∈，6136n T <. 点评：方法点睛：求数列的前n 项和的方法（1）公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． （4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．20．一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．（1）若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次， ①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；②记甲乙二人向前跳的步数和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．（2）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为()*n n N ∈的概率记为n p ，求n p 的最大值． 答案：（1）①516；②答案见解析；（2）34. （1）①设甲向前跳的步数为Y ，乙向前跳的步数为Z ，由()()22P Y P Z ===，()()33P Y P Z ===，()()44P Y P Z ===，可得()P Y Z >的概率；②由①知X 所有可能取值为4，5，6，7，8，求出4P X，()5P X =，()6P X =，()7P X =，()8P X =，可得随机变量X 的分布列和()E X .（2）由题意得1213,24p p ==，当3n ≥时，121122n n n p p p --=+，利用递推关系可得n P ，可求得答案.解：（1）①设甲向前跳的步数为Y ，乙向前跳的步数为Z ， 则()()1224P Y P Z ====，()()1332P Y P Z ====， ()()1444P Y P Z ====，所以()1111152442416P Y Z ⎛⎫>=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭， 所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率516. ②由①知X 所有可能取值为4，5，6，7，8， 所以()1416P X ==，()154P X ==，()368P X ==，()174P X ==，()1816P X ==， 随机变量X 的分布列为()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意得1213,24p p ==，当3n ≥时，121122n n n p p p --=+，()()112231124n n n n n n p p p p p p ------=--=+=()2211122n np p -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21123323n n P n -⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭， 1213,24P P ==，112323nn P ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，11032n⎛⎫-< ⎪⎝⎭，23n P <； 当n 为偶数时，21113212⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2411233234P ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，6n ≥时，211233234n -⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，所以34nP <， 且数列{}n P 为递减数列，所以n p 的最大值为34. 点评：本题考查了随机变量的分布列和期望，解题的关键点是求出X 所有可能取值、概率及利用121122n n n p p p --=+求得n p ，考查了学生对数据的分析能力和计算能力.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上且221PF F F ⊥． （1）求C 的标准方程；（2）设C 的左右顶点分别为为A ，B ，O 为坐标原点，直线l 过右焦点2F 且不与坐标垂直，l 与C 交于M ，N 两点，直线AM 与直线BN 相交于点Q ，证明点Q 在定直线上．答案：（1）22143x y +=；（2）证明见解析. （1）由题意可得c ，再根据212PF PF a +=可求出a ，从而可得椭圆的标准方程；（2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，由A ，M ，Q 三点共线可得010122y y x x =++，由B ，N ，Q 三点共线可得020222y yx x =--，联立消去1y ，2y ，再根据直线与椭圆联立得到一元二次方程，利用韦达定理代入12x x +，12x x ，可得结论. 解：（1）∵221PF F F ⊥，31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1c =，∴()11,0F -，21,0F ，∴252PF ==， ∴21534222PF PF a +=+==，∴2a =，∴b = ∴C 的标准方程为22143x y +=.（2）证明：设直线():1l y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ， 由题意知，()2,0A -，()2,0B ，()()222222134********y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∴2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+， 由A ，M ，Q 三点共线可得010122y yx x =++，由B ，N ，Q 三点共线可得020222y y x x =--， ∴()()()()2220122220212222x y x x y x --=++， 代入()2211344y x =-，()2222344y x =-， ∴()()()()201212212120242422x x x x x x x x x x --++=++++， 代入2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，并化简得()()20202192x x -=+， 由题意知02x >，解得04x =，所以点Q 在定直线4x =上.点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22．已知函数()ln f x x x ax a =-+，a R ∈.（1）求()f x 的极值点；（2）若()221111ln 24x x m g x x x x x e -++=+-+，证明：对任意(],1m ∈-∞-，()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()12121g x g x x x ->-. 答案：（1）函数()f x 有极小值点1a x e -=，无极大值点；（2）证明见解析.（1）求出函数()f x 的导数，再解导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）首先根据（1）证明ln 1x x x ≥-，再证明111x x x e ---≥，即可证明11ln x x x x e --≥，当且仅当1x =时等号成立，令()()h x g x x =-，求出函数的导数，结合1m ≤-，得到()h x 在0,上为增函数，从而证明结论成立.解：（1）∵()()ln 0f x x x ax a x =-+>，∴()ln 1f x x a '=+-，由0f x ，得1a x e ->，由0f x ，得10a x e -<<，∴()f x 在()10,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增， 故函数()f x 有极小值点1a x e -=，无极大值点；（2）证明：当1a =时，()ln 1f x x x x =-+，由（1）可知()()10≥=f x f ，故ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时等号成立， 又()()1111111x x x x e x x e e--------=， 当01x <<时，10x -<，110x e --<，故()()11110x x x e e ---->，当1x =时，()()11110x x x e e ----=，当1x >时，10x ->，110x e-->，故()()11110x x x e e ---->， 故0x >时，111x x x e ---≥，当且仅当1x =时等号成立， 故11ln x x x x e --≥成立，当且仅当1x =时等号成立， 令()()h x g x x =-，则()1ln x x m h x x x e-+'=-， ∵1m ≤-，∴111x x x x m e e ---+≥，∴()1111ln 0x x x x m x x m h x x x e e e---+-+'=-≥-≥， ∵()h x 在0,的任意子区间内不恒为0， ∴()h x 在0,上为增函数，不妨设120x x >>，则()()12h x h x >，故()()1122g x x g x x ->-，故()()12121g x g x x x ->-. 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用.。
2021年辽宁省大连市高考数学二模试卷(附答案详解)
2021年辽宁省大连市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=A∪B={1,2，3，4}，A∩∁U B={1,2}，则集合B=()A. {1,2}B. {3,4}C. {1,3}D. {2,4}2.z−表示复数z的共轭复数，若z=1−i，则z⋅z−=()A. 2B. √2C. 4D. 13.已知a=log21π，b=0.20.2，c=−log2√5，则下列关系正确的是()A. b<c<aB. a<b<cC. a<c<bD. c<a<b4.若非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=3|a⃗|，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦值是()A. −13B. 13C. −19D. 195.已知函数f(x)=sinx−ax，对于任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则a的取值范围为()A. a≤−1B. a>1C. a<−1D. a≥16.在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也.”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足a2+b2=c2的正整数组(a,b，c).现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是()A. 136B. 160C. 1108D. 12167.设f(x)=sin(3x+π4)，x∈[0,3π4]，若函数y=f(x)−a恰好有三个不同的零点x1、x2、x3，且x1<x2<x3，则x1+2x2+x3的值为()A. πB. 2π3C. 4π3D. 5π48.点P为边长为1的正四面体ABCD底面BCD内一点，且直线AP与底面BCD所成角的正切值为√6，则动点P所在曲线长度为()A. π6B. π4C. π3D. π2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知三个正态分布密度函数P i(x)=1√2πσi e−(x−μi)22σi2(x∈R,i=1,2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A. σ1=σ2=σ3B. σ1=σ2<σ3C. μ1=μ2>μ3D. μ1<μ2=μ310.已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是()A. |PF1|+|PF2|=4B. 存在点P满足∠F1PF2=90°C. 直线PA1与直线PA2的斜率之积为−916D. 若△F1PF2的面积为2√7，则点P的横坐标为±43√511.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A. 直线BD1⊥平面A1C1DB. 直线AP//平面A1C1DC. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值D. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]12.已知函数f(x)=x+√12−3x2，则下列命题正确的是()A. f(x)在[−2,1]上是增函数B. f(x)的值域是[−2,4]C. 方程f[f(x)]=2有两个实数解D. 对于x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tana=2，则cos2a=______ ．14.写出一个离心率为√2的双曲线的标准方程______ ．15.若(x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a7(x+2)7，则a4=______ ．16.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在，则称数列{x n}为牛顿数航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1=x n−f(x n)f′(x n)列.如果函数f(x)=x2−4，数列{x n}为牛顿数列，设a n=ln x n+2，且a1=1，x n>2.x n−2则a2021=______ ；数列{a n}的前n项和为S n，则S2021=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，已知平面四边形ABCD，∠A=45°，∠ABC=75°，∠BDC=30°，BD=2，CD=√3．(1)求∠CBD；(2)求AB的值．+1这三个条件中任选18.在①c n=S n+b n−n2，②c n=S n−b n+n，③c n=ln S nb n一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的所有取值组成的集合A；若k不存在，说明理由．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数m，n都有a m+n=a m+a n，数列{b n}满足S n，b n，S n+1成等差数列．若数列{c n}满足____，且{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数k，使得T k>k？19.如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1体积为24，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=4．(1)证明：AB1⊥CC1；(2)求二面角B1−AC−C1的余弦值．20.我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比技术升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式，质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品，在抽取的400件产品中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级，A，B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：(表一)等级A B C频数20015050(表二)在相关政策扶持下，确保每件该医疗用品的合格品都有对口销售渠道，但按照国家对该医疗用品产品质量的要求，所有的次品必须由厂家自行销毁．(1)请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有99.9%的把握认为产品的合格率与技术升级有关？(2)在抽检的所有次品中，按甲、乙生产线的生产的次品比例进行分层抽样抽取10件该医疗用品，然后从这10件中随机抽取5件，记其中属于甲生产线生产的有X 件，求X的分布列和数学期望．(3)每件该医疗用品的生产成本为20元，A，B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.若甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元，则A等级产品的出产单价最高为多少元？，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知动点P到直线l：y+2=0的距离比到点F(0,1)的距离大1．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)点N是直线l：y+2=0上任意一点，过点N作曲线C的切线NM，其中M为切点，请判断∠MFN是锐角、直角还是钝角？并写出你的理由．22.已知函数f(x)=ax−1−lnx，其中a∈R．(1)求证：若a≥1时，f(x)≥0成立；(2)若函数g(x)=ax2−2ax+1，且关于x的方程2f(x)+g(x)=0有且只有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U=A∪B={1,2，3，4}，A∩∁U B={1,2}，∴1，2∈∁U B，∴B={3,4}．故选：B．根据条件可得出1，2∈∁U B，然后即可求出集合B．本题考查了集合的列举法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=1−i，∴z⋅z−=|z|2=(√12+(−1)2)2=2，故选：A．直接利用z⋅z−=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C=−log2π<0，【解析】解：∵a=log21πc=−log2√5<0，且π>√5，∴−log2π<−log2√5<0，又0<b=0.20.2<0.20=1，∴a<c<b．故选：C．利用有理指数幂与对数的运算性质即可比较三个数的大小．本题考查有理指数幂与对数的运算性质，考查化归与转化思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，设a⃗与b⃗ 夹角为θ，且|a⃗|=t，则|b⃗ |=3t，若(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =t2+3t2cosθ=0，变形可得cosθ=−13，故选：A．根据题意，设a⃗与b⃗ 夹角为θ，且|a⃗|=t，则|b⃗ |=3t，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =t2+3t2cosθ=0，变形可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sinx−ax，则f′(x)=cosx−a，因为对于任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，可得f(x)在R上为减函数，所以f′(x)=cosx−a≤0恒成立，即a≥cosx，因为−1≤cosx≤1，所以a≥1．故选：D．由题意可得f(x)在R上为减函数，从而可得f′(x)=cosx−a≤0恒成立，即a≥cosx，由−1≤cosx≤1，从而可得a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，基本事件总数n=63=216，三次向上的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件有：(3,4，5)，(4,3，5)，共2个，∴三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是P=2216=1108．故选：C．基本事件总数n=63=216，利用列举法求出三次向上的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件有6个，由此能求出三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵f(x)=sin(3x +π4)，x ∈[0,3π4]，∴3x +π4∈[π4,5π2].若函数y =f(x)−a 恰好有三个不同的零点x 1、x 2、x 3，且，则x 1<x 2<x 3，∴f(x)∈[√22,1)． 结合图象的对称性可得，3x 1+π4+3x 2+π4=2×π2，3x 2+π4+3x 3+π4=2×3π2，则x 1+2x 2+x 3=π， 故选：A ．由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得x 1+2x 2+x 3的值． 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意如图，AO 是正四面体的高， O 是底面的中心，正四面体的列出为1， 所以BE =√32，BO =√33，AO =√1−(√33)2=√63，OE =√36<13，直线AP 与底面BCD 所成角的正切值为√6，所以AOOF =√6，OF =13，所以cos∠FOE =OE OF=√3613=√32， 所以∠FOE =π6，所以动点P 所在曲线长度为半径为13的圆周长的一半13π． 故选：C ．画出图形，求出正四面体的高，结合直线AP 与底面BCD 所成角的正切值为√6，求出底面半径OP ，然后转化求解动点P 所在曲线长度．本题考查中心与平面所成角的求法，P 的轨迹的判断，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：因为x=μ是对称轴，观察图象可知：μ1<μ2=μ3，而y=φ1(x)与y=φ2(x)的图象可以相互平移得到，且y=φ3(x)的图象显得更“矮胖”，故σ1=σ2<σ3．故选：BD．根据正态分布曲线的性质，即对称轴为x=μ；σ表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此作出选择．本题是一个识图问题，主要考查正态分布曲线的性质．属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：由椭圆方程可得：a=4，c=√7，F1(−√7,0)，F2(√7,0)，A1(−4,0)，A2(4,0)，对于A，由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8，故A错误；对于B，若∠F1PF2=90°，则点P在圆：x2+y2=7上，联立椭圆方程可得方程组无解，故B错误；对于C，设点P的坐标为(m,n)，则m216+n29=1，直线PA1与直线PA2的斜率之积为nm−4⋅nm+4=n2m2−16=9−916m2m2−16=−916，故C正确；对于D，三角形PF1F2的面积为S=12⋅2c⋅ℎ=2√7，解得y P=±ℎ=±2，代入椭圆方程可得x=±43√5，故D正确．故选：CD．先由椭圆方程求出椭圆的左右焦点坐标以及左右顶点的坐标，利用椭圆的定义即可判断选项A；根据∠F1PF2=90°，可得点P满足的轨迹方程，再与椭圆方程联立整理求解，即可判断选项B；设出点P的坐标，代入椭圆方程，再利用斜率公式即可判断选项C；求出三角形PF1F2的面积，即可求出点P的纵坐标，从而求出点P的横坐标，即可判断选项D．本题考查了椭圆的定义以及几何性质，涉及到向量的坐标运算以及三角形的面积的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：如图，对于A，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于B，连接AC，由AA1//CC1，且AA1=CC1，得四边形AB1C1C为平行四边形，∴AC//A1C1，又A1C1⊂平面A1DC1，AC⊄平面A1DC1，∴AC//平面A1DC1，同理AB1//平面A1DC1，又AB1∩AC=A，AB1、AC⊂平面AB1C，∴平面AB1C//平面A1DC1，而AP⊂平面AB1C，∴直线AP//平面A1C1D，故B正确；对于C，∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P−A1C1D的体积为定值，故C正确；对于D，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为π3，故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3,π2]，故D错误，故选：ABC．直接证明直线B1D⊥平面A1C1D判断A；证明面AB1C//平面A1DC1判断B；证明三棱锥P−A1C1D的体积为定值判断C；求出异面直线AP与A1D所成角的最小值判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直与平行，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：f′(x)=1+12×(12−3x2)−12×(−6x)=1−6x2√12−3x2=√12−3x2−3x√12−3x2，当x∈[−2,1]时，√12−3x2−3x>0，即此时f′(x)>0，f(x)是单调增函数，所以A 正确；当x∈(0,1]时，f′(x)≥0，当x∈(1,2]时，f′(x)<0即x∈(−2,1)时，函数是增函数，x∈(1,2)函数是减函数，f(x)max=f(1)=4，最小值在x=−2或x=2时取得，f(2)=2，f(−2)=−2，所以最小值为：−2.所以B 正确；f[f(x)]=2，可得f(x)=2或f(x)=−1，如图，满足题意的x的值有3个，所以C错误；如果f(x1)=f(x2)，可知x1∈(−1,1)，x2∈(1,2)，有图可知x1+x2<2，所以G正确．故选：ABD．利用函数的对数求解函数的单调性，结合函数的图象，利用数形结合判断选项的正误即可．本题考查函数的转折点求法，考查转化思想以及计算能力，考查数形结合的应用，是难题．13.【答案】−35【解析】解：∵tana=2，∴cos2a=1−tan2α1+tan2α=1−41+4=−35．故答案为：−35．利用万能公式化简所求后代入已知即可得解．本题主要考查了万能公式的应用，属于基础题．14.【答案】x2−y2=1(答案不唯一)【解析】解：根据题意，要求双曲线的离心率e=ca=√2，则c=√2a，若双曲线的焦点在x轴，a=1，则c=√2，b=1，则要求双曲线的方程为x2−y2=1，故答案为：x2−y2=1(答案不唯一)．根据题意，由双曲线的离心率公式，即c=√2a，假设双曲线的焦点在x轴且a=1，求出双曲线的标准方程，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．15.【答案】−35【解析】解：(x+1)7=[−1+(x+2)]7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a7(x+ 2)7，则a4=C74⋅(−1)3=−35，故答案为：−35．根据[−1+(x+2)]7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a7(x+2)7，利用二项展开式的通项项公式求得a4的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】2202022021−1【解析】解：因为f(x)=x2−4，f′(x)=2x，所以x n+1=x n−f(x n)f′(x n)=x n−x n2−42x n，故x n+1+2=2+x n−x n2−42x n =(2+x n)22x n，所以x n+1−2=x n −f(x n )f′(x n)−2=x n −x n2−42x n−2=(x n −2)22x n，所以x n+1+2xn+1−2=(x n+2x n−2)2， 所以ln x n+1+2x n+1−2=ln(x n +2x n−2)2=2ln x n+2x n−2，即a n+1=2a n ，又a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列， 所以a n =2n−1，a 2021=22020，S 2021=1−220211−2=22021−1．故答案为：22020，22021−1．由已知分别表示出x n+1+2，x n+1−2，然后结合等比数列的通项公式可求． 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项及和，等比数列的应用是求解问题的关键．17.【答案】解：(1)在△BCD 中，由余弦定理BC 2=BD 2+CD 2−2BD ⋅CDcos∠BDC ， 得：BC 2=4+3−4√3⋅√32，解得：BC =1，故BC 2+CD 2=BD 2，故△BCD 是RT △，故∠CBD =60°．(2)由(1)得：∠CBD =60°，又∠ABC =75°，则∠DBC =15°， 而∠A =45°，则∠ADB =120°， 由正弦定理AB sin∠ADB =BDsinA ，得：√32=√22，解得：AB =√6．【解析】(1)根据余弦定理求出BC 的值，判断△BCD 的形状，求出∠CBD 的大小即可； (2)求出∠ADB ，根据正弦定理求出AB 的值即可．本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查解三角形问题，是基础题．18.【答案】解：由a 1=1，且对任意正整数m ，n 都有a m+n =a m +a n ，可令m =1，则a 1+n =a 1+a n =1+a n ， 则a n =1+n −1=n ，所以S n =12n(n +1)， 数列{b n }满足S n ，b n ，S n+1成等差数列，可得b n =12(S n +S n+1)=12[12n(n +1)+12(n +1)(n +2)]=12(n +1)2， 选①，c n =S n +b n −n 2=12n(n +1)+12(n +1)2−n 2=3n 2+12，则T n =12n(2+3n 2+12)=14(3n 2+5n)，由T k>k，即14(3k2+5k)>k，解得k∈N∗；选②，c n=S n−b n+n=12n(n+1)−12(n+1)2+n=12n−12，则T n=n2−n4，由T k>k，可得k2−k>4k，解得k>5，且k∈N∗；选③，c n=ln S n bn +1=ln nn+1+1，则T n=ln(12×23×34×...×nn+1)+n=ln1n+1=n−ln(n+1)，由T k>k，即k−ln(1+k)>k，解得k∈⌀．所以选①，A=N∗；选②，A={k|k>5，且k∈N∗}；选③，A=⌀．【解析】令m=1，由等差数列的通项公式可得a n，由等差数列的求和公式可得S n，再由等比数列的中项性质可得b n，分别选①②③，求得c n，T n，解不等式可得结论．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：取CC1的中点O，连接AO，AC1，B1C，B1O，由菱形的性质及∠ACC1=∠CC1B1=60°可知，△ACC1，△B1CC1为正三角形，∴AO⊥CC1，B1O⊥CC1，又AO∩B1O=O，∴CC1⊥平面AOB1，又AB1⊂平面AOB1，∴AB1⊥CC1；(2)三棱锥A−A1B1C1的体积是三棱柱ABC−A1B1C1体积的三分之一，∴四棱锥A−BCC1B1的体积是柱体体积的三分之二，即等于16，平行四边形BCC1B1的面积为S BCC1B1=4×4×sin60°=8√3，设四棱锥A−BCC1B1的高为h，则13×8√3×ℎ=16，解得ℎ=2√3，又AO=2√3=ℎ，∴AO⊥平面BCC1B1，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2√3),B 1(2√3,0,0),C(0,−2,0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3)， 设平面CAB 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0，令y =√3，则可得m ⃗⃗⃗ =(−1,√3,−1)，平面C 1CA 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√3√15=√55， ∴二面角B 1−AC −C 1的余弦值为√55．【解析】(1)先证明CC 1⊥平面AOB 1，再根据线面垂直的性质即可得证；(2)建立空间直角坐标系，求得平面CAB 1及平面C 1CA 的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线线，线面垂直关系的判定与性质，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据题意可得，2×2列联表如下：所以K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400×(190×40−160×10)2200×200×350×50=1447≈20.571>10.828，故有99.9%的把握认为产品的合格率与技术升级有关； (2)由于所有次品中，甲、乙生产线的生产的次品比例为4：1， 故抽取的10件中有8件甲生产线的，2件乙生产线的，从中随机抽取5件中属于甲生产线的数量X 的取值可能为3，4，5， 则P(X =3)=C 83C 22C 105=29， P(X =4)=C 84C 21C 105=59， P(X =5)=C 85C 105=29，所以X 的分布列为：则E(X)=3×29+4×59+5×29=4；(3)甲生产线抽检的产品中由70件A 等级，90件B 等级，40件C 等级， 乙生产线抽检的产品中有130件A 等级，60件B 等级，10件C 等级， 因为用样本的频率估计概率，所以对于甲生产线，单件产品的利润x 甲−=70m+90×40−200×20200=7m 20−2，对于乙生产线，单件产品的利润x 乙−=130m+60×40−200×20200=13m 20−8，所以x 乙−−x 甲−=13m 20−8−(7m 20−2)≤9，解得m ≤50，所以A 等级产品的出产单价最高为50元．【解析】(1)由题中给出的数据，列出2×2列联表，然后再利用已知的参考公式求出K 2的值，对照临界值表即可得到答案；(2)先确定抽取的10件中甲生产线和乙生产线的件数，确定随机抽取5件中属于甲生产线的数量X 的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；(3)分别求出甲生产线单件产品的利润和乙生产线单件产品的利润，然后x 乙−−x 甲−=13m 20−8−(7m20−2)≤9，求解即可得到m 的最大值．本题考查了独立性检验的实际应用问题，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设动点P 的坐标为(x,y)，由已知条件可知，P 到F(0,1)的距离与其到直线y =−1的距离相等，由抛物线的定义可知，P 的轨迹为以F(0,1)为焦点，以y =−1为准线的抛物线， 所以P 点轨迹C 的方程为x 2=4y ；(2)曲线C 的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，则y′=12x ， 设M(m,m 24)，则切线MN 的斜率为m2，切线MN 的方程为y −m 24=m 2(x −m)，即y =m2x −m 24，令y =−2得x =m 2−4m ，即N(m 2−4m ,−2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m 24−1)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 2−4m,−3)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(m 2−4m)−3(m 24−1)=−m 24−1<0， 所以∠MFN 是钝角．【解析】(1)设出动点P 的坐标，结合抛物线的定义可求出动点P 的轨迹方程； (2)求出切线MN 的方程，然后求出点N 的坐标，然后根据FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的符号可判定∠MFN 是锐角、直角还是钝角．本题主要考查了抛物线的定义，以及利用向量判定角的大小，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：∵f(x)=ax −1−lnx ，定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=a −1x =ax−1x ，令f′(x)=0，则x =1a ∈(0,1]，当x ∈(0,1a )时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(1a ,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min =f(1a)=a ⋅1a−1−ln 1a=lna ≥ln1=0，∴若a ≥1，f(x)≥0成立．(2)解：设ℎ(x)=2f(x)+g(x)=ax 2−2lnx −1，原问题转化为函数ℎ(x)有且只有两个零点， ℎ′(x)=2ax −2x =2(ax 2−1)x，当a ≤0时，ℎ′(x)<0恒成立，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，最多只有一个零点，与题意不符；当a >0时，令ℎ′(x)=0，则x =√a ，∴ℎ(x)在√a )上单调递减，在(√a +∞)上单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(√a )=a ⋅1a −√a−1=lna ，∵ℎ(0)→+∞，ℎ(1e )=ae 2+1>0，∴若ℎ(x)有且只有两个零点，则ℎ(x)min =lna <0，即a <1， ∴0<a <1，故实数a的取值范围为(0,1)．【解析】(1)求导f′(x)=ax−1，可得函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，再求得最小值，即x可得证；(2)设ℎ(x)=2f(x)+g(x)，原问题转化为函数ℎ(x)有且只有两个零点，分两类讨论：①当a≤0时，由ℎ′(x)<0，知ℎ(x)在(0,+∞)上最多只有一个零点；②当a>0时，可得ℎ(x)min=lna，再结合零点存在定理，列得关于a的不等式，得解．本题考查利用导数研究函数的恒成立问题和方程根的个数问题，将方程根的个数问题转化为函数的零点个数问题是解题的关键，考查转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
辽宁省大连市2021届高三第一模拟考试数学(理)试题(含答案)
2021年高三第一次模拟考试数学（理科）能力测试第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合{|13}A x x =-<<，集合1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3 D ．()1,3-2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z ⋅=A ．43i -+B ．43i -C ．34i --D ．34i -3、已知向量(2,1),(0,1)a b =-=，则2a b +=A 5．22．2 D ．44、已知函数()5log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f = A ．4 B ．14 C ．4- D ．14- 5、已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈，且7x y +=，则2x y ≥的概率为 A ．23 B ．13 C ．12 D ．566、已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为A ．5B ．4255+ C ．455+ D ．525- 7、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点P 是线段CD 中点，则三棱锥11P A B A -的左视图为8、将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A 3．12 C ．12- D ．39、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a =，则输出的结果是A ．51B ．49C ．47D ．4510、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为 圆心和双曲线C 的渐近线相切与双曲线C 在第一象限的交点为M ，且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为A 552．2 11、在ABC ∆中，D 是BC 的中点，已知90BAD C ∠+∠=，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12、已知偶函数()f x 的定义域为(1,0)(0,1)-，且1()02f =，当01x <<时，不等式()()21()ln(1)2x f x x f x x'-->恒成立，那么不等式()0f x <的解集为 A ．11{|01}22x x x -<<<<或 B ．11{|11}22x x x -<<-<<或 C ．11{|0}22x x x -<<≠且 D ．11{|10}22x x x -<<-<<或第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
辽宁省大连市2021届新高考数学第四次调研试卷含解析
辽宁省大连市2021届新高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数f(x)＝13x3＋x2－23在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)【答案】C【解析】【分析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x3＋x2－23＝－23，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，3050aa-≤<⎧⎨+>⎩解得a∈[－3，0)，故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.2．函数3222x xxy-=+在[]6,6-的图像大致为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x xxy f x-==+，则332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，所以()f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又34424(4)0,22f-⨯=>+排除选项D；36626(6)722f-⨯=≈+，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数，则所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B【解析】【分析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题5．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C 6D 7【答案】D【解析】【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值【详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ，设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a+x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2，所以c 2＝7a 2，则e 7c a== 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.6．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】A【解析】【分析】先化简已知得()2sin()6f x wx π=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值． 【详解】由题得()2sin()6f x wx π=-,设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6π）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴2T =1，解得T=2； ∴2πω=2，解得ω=π．故选A ．【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e + D ．21,12()e e+ 【答案】D【解析】【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】当0x >时，()xf x =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且1222e f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；当0x <时，()x f x -=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则120122e m f e ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭，故2()21,1e em +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1B ．C ．2D ．4 【答案】C【解析】【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．9．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x …时，函数()f x =若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】A【解析】【分析】 由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论.【详解】对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，因为函数()f x 关于点(1,0)对称，当1x ≥时，()f x =所以()f x 在定义域R 上是单调增函数.因为111232-<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ， b c a <<.故选:A.【点睛】 本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 10．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．264B ．264C ．624D ．622【答案】A【解析】【分析】 先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可.【详解】由图象可知A ＝1，∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1， ∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=. ∴()23f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭34344sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.11．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d .【详解】设数列的公差为,0d d ≠， 125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.12．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 【答案】A【解析】【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2.【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年辽宁省大连市育明高级中学高考数学一模试卷
2021年辽宁省大连市育明高级中学高考数学一模试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，阴影部分表示的集合为（）A．A∩（∁U B）B．B∩（∁U A）C．A∪（∁U B）D．B∪（∁U A）2．（5分）复数z1＝cos x﹣i sin x，z2＝sin x﹣i cos x，则|z1•z2|＝（）A．1B．2C．3D．43．（5分）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N （100，32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，零件内径尺寸（单位：μm）如茎叶图所示，可以判断（）A．甲、乙两台设备都需要进一步调试B．甲、乙两台设备都不需要进一步调试C．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试D．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试4．（5分）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为5：3（）A．B．C．D．15．（5分）已知向量，，其中||＝1，|，||＝2，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．（5分）面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，组织了12个优势团队进行联合攻关，其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A．14700B．16800C．27300D．504007．（5分）已知sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝ln（2|x|﹣1）+x2﹣1，则不等式xf（x﹣2）＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（2，3）B．（﹣3，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，2）∪（2，3）D．（﹣3，0）∪（0，2）∪（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知曲线y2＝m（x2﹣a2），其中m为非零常数且a＞0，则下列结论中正确的有（）A．当m＝﹣1时，曲线C是一个圆B．当m＝﹣2时，曲线C的离心率为C．当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±xD．当m＞﹣1且m≠0时，曲线C的焦点坐标分别为（﹣a，0）和（a，0）10．（5分）已知函数f（x）＝λsin x+cos x，则以下说法正确的为（）A．若函数f（x）的最小值为，则λ＝2B．若，则∃λ∈（0，1）使得f（x）＝λ成立C．若，都有|f（x）﹣m|＜1成立，则m∈（1，2）D．若函数f（x）在上存在最大值，则正实数λ的取值范围是11．（5分）已知a，b＞0且2a+b＝1，则的值不可能是（）A．7B．8C．9D．1012．（5分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，（均不含端点）上，且C1，P，Q，C在球O）上，则（）A．当点P在的中点处，三棱锥C1﹣PQC的体积为定值B．当点P在的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C．球O的表面积的取值范围为（4π，8π）D．当点Q在的三等分点处，球O的表面积为（11﹣4）π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）请写出满足条件“f（x）的周期为2，|f（x）．14．（5分）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的倍．（结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线C上一点，半径为p的圆与PF交于点Q，过点P作圆F的切线，若，且△OPQ的面积为，则p＝．16．（5分）某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源．这个特别密码与如图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及右表中第年份行（如2019年即为第2019行），第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①a＝2，②sin B＝2sin C，③b sin B＝8这三个条件中任选两个，若问题中的三角形存在，求三角形的面积，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，_____？18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝S5＝﹣20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{a n}与{b n}的公共项为a m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．（1）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值；（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面P AC内，并请证明你的结论．20．（12分）抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少．一般地，病人体内白细胞浓度低于4000个/mm3时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量．为了解病人的最终用药剂量数y（1剂量＝25μg）3）的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在0～4000个/mm3的47个病例，其首次用药时的白细胞浓度为x i（单位：百个/mm3），最终用药剂量数为y i（i＝1，2，…，47），得到数据（x i，y i）（i＝1，2，…，47），数据散点图如图所示．他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线（由线段L1和L2组成）附近，其中L1所在直线是由Ⅰ、Ⅱ区的点得到的回归直线，方程为，其中＝，；L2所在直线是由Ⅱ、Ⅲ区的点得到的回归直线，方程为y＝0.02x+14.64．以下是他们在统计中得到的部分数据：Ⅰ区：x i y i＝4721，x i2＝1706，x i＝160，y i＝480；Ⅱ区：x i y i＝4713，x i2＝5134，x i＝266，y i＝252．（1）根据上述数据求的值；（结果保留两位小数）（2）根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度（单位：个/mm3）为多少时最终用药剂量最少？（结果保留整数）（3）事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在0～40000个/mm3时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少．请从统计学的角度分析（2）（至少写出两点）参考数据：≈﹣0.745，≈﹣1.889，≈﹣1.214．30+0.745×10＝37.45，24+1.889×14.5≈51.39，24.4+1.214×14.2≈41.64．21．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线经过坐标原点；（2）当a＞0时，判断函数f（x）在x∈（0，π），并说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系中，A1，A2两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线A1M，A2M相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知动点P在（1）中曲线E上，两定点，．①求△PMN的面积的最大值；②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，求出点P的坐标；若不存在2021年辽宁省大连市育明高级中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，阴影部分表示的集合为（）A．A∩（∁U B）B．B∩（∁U A）C．A∪（∁U B）D．B∪（∁U A）【分析】直接结合图像即可求解结论．【解答】解：从图中可以看出阴影部分在∁U A内，同时也在集合B内，故选：B．【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集定义等基础知识，是基础题．2．（5分）复数z1＝cos x﹣i sin x，z2＝sin x﹣i cos x，则|z1•z2|＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z1＝cos x﹣i sin x，z2＝sin x﹣i cos x，则z3•z2＝cos x sin x﹣cos x sin x+i（﹣cos2x﹣sin5x）＝﹣i．则|z1•z2|＝3．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N （100，32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，零件内径尺寸（单位：μm）如茎叶图所示，可以判断（）A．甲、乙两台设备都需要进一步调试B．甲、乙两台设备都不需要进一步调试C．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试D．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试【分析】根据茎叶图分布计算甲，乙的平均值以及标准差，再根据已知以及正态分布曲线的性质判断即可．【解答】解：由题意可得正常状态下服从正态分布N（100，32），则平均值μ＝100，标准差σ＝7，根据茎叶图可得μ甲＝，，根据3σ的原则，Z服从正态分布N（100，22），P（μ﹣36＜Z＜μ+36）＝8.9974，即内径在（94，106）之外的概率为0.0026，，，根据3σ原则，Z服从正态分布N（98.62），P（μ﹣6＜Z＜μ+8）＝0.6826，内径在（73.76，即乙需要调试，故选：D．【点评】本题考查了正态分布的分布曲线的性质，考查了茎叶图的应用以及学生的运算能力，属于基础题．4．（5分）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为5：3（）A．B．C．D．1【分析】寻找二面角的平面角，列方程确定正脊与斜脊长度的比值．【解答】解：设正脊长为a，斜脊长为b，如图过S作SO⊥上底平面于O，过O作OE⊥AE于E，连接SE、SF，SE6＝b2﹣（）2，SF2＝b8﹣（）2，所以＝，于是a＝2t，b＝＝，所以＝，故选：B．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．5．（5分）已知向量，，其中||＝1，|，||＝2，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】将||＝4，||＝2，两边平方后联立方程组解得||＝，•＝﹣，再根据投影的概念求得：＝＝﹣1．【解答】解：|﹣2﹣2）3＝16⇒2﹣4•+3•+4||8＝15①|+2+2）3＝4⇒2+5•+42＝5⇒4•+4||6＝3②联立①②解得||＝，•，在方向上的投影为：＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，方向投影的概念，属基础题．6．（5分）面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，组织了12个优势团队进行联合攻关，其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A．14700B．16800C．27300D．50400【分析】根据题意，分2步进行分析：①将没有选择技术路线的7个团队分成5组，②将分好的五组安排到已经选择技术路线的五个团队工作，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将没有选择技术路线的7个团队分成4组，若分为3﹣1﹣5﹣1﹣1的五组，有C73＝35种分组方法，若分为2﹣6﹣1﹣1﹣7的五组，有＝105种分组方法，则有35+105＝140种分组方法，②将分好的五组安排到已经选择技术路线的五个团队工作，有A25＝120种情况，则有140×120＝16800种安排方法，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7．（5分）已知sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用诱导公式求得cos（﹣α）＝﹣，再利用二倍角公式求得cos （﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）＝﹣sin（，∴sin（，即cos（，则cos（﹣2α）＝2﹣1＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝ln（2|x|﹣1）+x2﹣1，则不等式xf（x﹣2）＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（2，3）B．（﹣3，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，2）∪（2，3）D．（﹣3，0）∪（0，2）∪（2，+∞）【分析】根据函数解析式求出其定义域，确定奇偶性及单调性，结合xf（x﹣2）＜0等价于或，解不等式即可得答案．【解答】解：函数f（x）＝ln（2|x|﹣1）+x3﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（3，f（﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时x﹣1）+x6﹣1为增函数，且f（1）＝0，∴当x∈（﹣∞，8）时，且f（﹣1）＝0，∴当x∈（﹣∞，﹣7）∪（1，f（x）＞0，6）∪（0，f（x）＜0，∴不等式xf（x﹣2）＜0，等价于或，即或，解得x＜0或7＜x＜2或2＜x＜6，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知曲线y2＝m（x2﹣a2），其中m为非零常数且a＞0，则下列结论中正确的有（）A．当m＝﹣1时，曲线C是一个圆B．当m＝﹣2时，曲线C的离心率为C．当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±xD．当m＞﹣1且m≠0时，曲线C的焦点坐标分别为（﹣a，0）和（a，0）【分析】在已知，曲线方程中分别取m＝﹣1、﹣2、2，化简切线方程判断ABC；对m分类变形，求出焦点坐标判断D．【解答】解：当m＝﹣1时，曲线y2＝m（x2﹣a2）化为x2+y2＝a2（a＞0），是一个圆；当m＝﹣4时，曲线化为，离心率为＝；当m＝2时，曲线化为，渐近线方程为y＝±＝；当﹣1＜m＜0时，曲线化为，c＝，焦点坐标为（﹣a，6）和（a；当m＞0时，曲线化为，，焦点坐标为（﹣a，2）和（a．综上所述，当m＞﹣1且m≠2时，0）和（a，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查曲线与方程，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．10．（5分）已知函数f（x）＝λsin x+cos x，则以下说法正确的为（）A．若函数f（x）的最小值为，则λ＝2B．若，则∃λ∈（0，1）使得f（x）＝λ成立C．若，都有|f（x）﹣m|＜1成立，则m∈（1，2）D．若函数f（x）在上存在最大值，则正实数λ的取值范围是【分析】A，函数f（x）＝cos x+λsin x＝sin（x+φ），由﹣＝﹣，解得λ即可；B，若函数f（x）＝cos x+λsin x＝λ，则λ＝＝＞1，即可判定；C，由f（x）＝2sin（x+），可得f（x）∈[1，2]，即可得，解得1＜m＜2即可；D，f（x）＝sin（x+φ），即可得φ＜＜φ+，即φ∈（，），结合＝tanφ∈（，+∞），即可求解．【解答】解：对于A，函数f（x）＝cos x+λsin x＝，其中tanφ＝，因为函数f（x）的最小值为﹣5，所以﹣，解得λ＝±2；对于B，若函数f（x）＝cos x+λsin x＝λ＝＞1，4）使得f（x）＝λ成立；对于C，若λ＝），因为x∈[5，]，所以x+，]，f（x）∈[6，|f（x）﹣m|＜1⇔﹣1＜f（x）﹣m＜6⇔m﹣1＜f（x）＜m+1，所以，解得1＜m＜2，7）；对于D，f（x）＝，其中tanφ＝，因为函数f（x）在（0，）上存在最大值，所以φ＜＜φ+，），所以tanφ∈（，+∞），），故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查命题真假的判断，三角恒等变换以及三角函数的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11．（5分）已知a，b＞0且2a+b＝1，则的值不可能是（）A．7B．8C．9D．10【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为a，b＞0且2a+b＝2，所以＝+＝+＝3++6+＝7++＝7+＝7+＝8+因为a＞0，b＞2，所以＞0，所以8+＞2，因为8+＝8+＜10，综上，8＜+，所以+的值不可能是7，2．故选：ABD．【点评】本题考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，（均不含端点）上，且C1，P，Q，C在球O）上，则（）A．当点P在的中点处，三棱锥C1﹣PQC的体积为定值B．当点P在的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C．球O的表面积的取值范围为（4π，8π）D．当点Q在的三等分点处，球O的表面积为（11﹣4）π【分析】取CC1的中点E，DD1的中点F，AA1的中点G，则球心O在线段EF上，设∠FGQ＝α，α∈，设OE＝x，利用边角关系结合cosα的有界性进行分析求解，即可判断选项C，点Q在的三等分点处，α＝，结合选项C中的结论，即可判断选项D，点Q在弧F A上时，判断其截面是五边形，即可判断选项B，利用等体积法即可判断选项A．【解答】解：如图1所以，取CC1的中点E，DD3的中点F，AA1的中点G，根据题意，球心O在线段EF上，α∈，则由余弦定理可得FQ2＝2﹣7cosα，设OE＝x，则OC2＝x2+3，所以OQ2＝OF2+FQ4＝（1﹣x）2+6﹣2cosα，因为OQ2＝OC4＝R2（R为球O的半径），所以x＝1﹣cosα∈[6，1），所以R2＝OC5＝x2+1∈[2，2），故球O的表面积为S＝4πR6∈[4π，8π）；当点Q在的三等分点处，则x＝1﹣cosα＝8﹣，所以，故球O的表面积，故选项D正确；当点Q在弧F A上时，连结AF，在平面ADD1A1中，过点Q作AF的平行线5，AD分别交于M，N，延长C1P与BC的相交，连结交点与点N交AB于点S，此时当点P在的中点处5，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形C1MNSP，故选项B错误；当P在的中点处4﹣PQC的体积为，为定值．故选：AD．【点评】本题考查了空间几何体的外接球，直棱柱的截面图形，几何体的条件等，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）请写出满足条件“f（x）的周期为2，|f（x）f（x）＝2sinπx（答案为不唯一）．【分析】从具有周期性和有界性的函数进行分析考虑，即可得到答案．【解答】解：具有周期性和有界性的函数，可以考虑三角函数，所以满足条件“f（x）的周期为2，|f（x）|≤2”的一个函数为f（x）＝7sinπx．故答案为：f（x）＝2sinπx（答案为不唯一）．【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了周期性与有界性的应用，解题的关键是掌握常见基本初等函数的性质，属于基础题．14．（5分）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 1.26倍．（结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）【分析】由已知“心宿二”的星等m2＝1.00，“天津四“的星等m1＝1.25，则得出lgE1﹣lgE2＝＝0.1，利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝3.5（lgE2﹣lgE8），令“心宿二”的星等m2＝1.00，“天津四“的星等m7＝1.25，则m1﹣m7＝2.5（lgE4﹣lgE2）＝1.25﹣2.00＝0.25，所以lgE1﹣lgE3＝＝0.1，则lgE5＝lgE2+0.4＝lg100.1E5，所以E1＝100.6E2，即＝1+8.3×0.5+2.7×7.1×0.3＝1.257，则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，故答案为：7.26．【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线C上一点，半径为p的圆与PF交于点Q，过点P作圆F的切线，若，且△OPQ的面积为，则p＝2．【分析】由条件可得|PF|＝2p，然后可得点Q是线段PF的中点，然后可得△OPF的面积为，然后求出点P的坐标，即可建立方程求解．【解答】解：因为|P A|＝p，|F A|＝p，所以|PF|＝2p，因为|FQ|＝p，所以Q是线段PF的中点，因为△OPQ的面积为，所以△OPF的面积为，又由|PF|＝2p＝x p+，可得x p＝，所以y p＝±p，所以S△OPF＝××＝，解得p＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的定义，解题中注意转化思想的应用，属于基础题．16．（5分）某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源．这个特别密码与如图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及右表中第年份行（如2019年即为第2019行），第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是20216．【分析】由数表归纳可得每一行的数都构成等差数列，且第n行的公差是2n﹣1，记第n 行第m个数为f（n，m）；化简可得f（n，1）＝2f（n﹣1，1）+2n﹣1，构造数列{}，可判断该数列为等差数列，化简可求得f（n，1）＝（n+1）2n﹣2，故第2021行的第一个数为2022×22019＝1011×22020，再归纳找到个位数的规律，即可求得．【解答】解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列n﹣1，记第n行第m个数为f（n，m），则f（n，1）＝f（n﹣7，2）＝2f（n﹣7n﹣1，则＝+，故{}构成一个首项为的等差数列，故＝+（n﹣1）＝，故f（n，1）＝（n+1）6n﹣2，故第2021行的第一个数为2022×22019＝1011×62020，∵21的个位数是5，22的个位数是7，23的个位数是3，24的个位数是7，25的个位数是2，……，∴2n的个位数以4为周期循环，而2020＝5×5052020的个位数是6，故第2021行的第一个数的个位数为6，故2021年的特别密码是20216，故答案为：20216．【点评】本题考查了归纳推理及数列的综合应用，同时考查了构造法及转化思想的应用，属于难题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①a＝2，②sin B＝2sin C，③b sin B＝8这三个条件中任选两个，若问题中的三角形存在，求三角形的面积，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，_____？【分析】由正弦定理化简已知等式，结合sin A sin B≠0，可得cos A＝，结合范围A∈（0，π），可求得A＝．方案一：选①和②，由正弦定理可得b＝2c，利用余弦定理可求c的值，进而可求b的值，利用三角形的面积公式即可求解；方案二：选①和③，利用正弦定理可求sin B＝，退出矛盾，可得这样的三角形不存在．方案三：选②和③，由题意利用两角和的正弦公式可得cos B＝0，可求B＝，b＝8，利用正弦定理可求c的值，利用勾股定理可求a的值，利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：因为b sin2A＝a sin B，可得2b sin A cos A＝a sin B，由正弦定理可得a sin B＝b sin A，可得4sin B sin A cos A＝sin A sin B，因为sin A sin B≠0，可得cos A＝，因为A∈（0，π），可得A＝．方案一：选①a＝3，和②sin B＝2sin C，由正弦定理可得b＝2c，由a2＝b2+c6﹣2bc cos A和a＝2，可得12＝4c2+c3﹣2c2，解得c＝7，或﹣2（舍去），则b＝4，这样的三角形存在△ABC＝bc sin A＝．方案二：选①a＝3，和③b sin B＝8，因为＝4，又b sin B＝8，解得b＝8，sin B＝与0＜sin B≤1矛盾．方案三：选②sin B＝7sin C，③b sin B＝8，因为sin C＝sin（A+B）＝sin（+B）+B）＝，所以cos B＝0，则B＝，因为，则c＝4，所以a＝＝4，其面积S△ABC＝ac＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝S5＝﹣20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{a n}与{b n}的公共项为a m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等比数列的通项公式和数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，S4＝S5＝﹣20，可得5a1+6d＝6a1+10d＝﹣20，解得a1＝﹣4，d＝2，则a n＝﹣8+5（n﹣1）＝2n﹣10；（2）数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，可得b n＝4•6n﹣1＝4n，由题意可得6m﹣10＝4n，可得m＝＝5+23n﹣1，则T n＝5n+＝5n+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．（1）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值；（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面P AC内，并请证明你的结论．【分析】（1）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值；（2）用点到平面距离判断点是否在平面内．【解答】解：（1）取AD中点O，连接OP，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以OP⊥AD，因为BC∥AD，AB⊥AD，所以四边形ABCO为边长为1的正方形，所以OC⊥AD，又因为PC＝4＝OP2+OC2，所以PO⊥OC，所以OA、OC，建立如图所示的空间直角坐标系，A（8，0，0），3，0），1，5），0，1），平面P AC的法向量为＝（3，1，＝（1，4，所以直线PB与平面P AC所成角的正弦值为＝＝．（2）连接AF，D（﹣4，0，E（﹣，0，），，），＝（﹣，，），点F到平面P AC的距离为＝＝4．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．20．（12分）抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少．一般地，病人体内白细胞浓度低于4000个/mm3时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量．为了解病人的最终用药剂量数y（1剂量＝25μg）3）的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在0～4000个/mm3的47个病例，其首次用药时的白细胞浓度为x i（单位：百个/mm3），最终用药剂量数为y i（i＝1，2，…，47），得到数据（x i，y i）（i＝1，2，…，47），数据散点图如图所示．他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线（由线段L1和L2组成）附近，其中L1所在直线是由Ⅰ、Ⅱ区的点得到的回归直线，方程为，其中＝，；L2所在直线是由Ⅱ、Ⅲ区的点得到的回归直线，方程为y＝0.02x+14.64．以下是他们在统计中得到的部分数据：Ⅰ区：x i y i＝4721，x i2＝1706，x i＝160，y i＝480；Ⅱ区：x i y i＝4713，x i2＝5134，x i＝266，y i＝252．（1）根据上述数据求的值；（结果保留两位小数）（2）根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度（单位：个/mm3）为多少时最终用药剂量最少？（结果保留整数）（3）事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在0～40000个/mm3时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少．请从统计学的角度分析（2）（至少写出两点）参考数据：≈﹣0.745，≈﹣1.889，≈﹣1.214．30+0.745×10＝37.45，24+1.889×14.5≈51.39，24.4+1.214×14.2≈41.64．【分析】（1）直接由已知数据结合公式即可求得的值；（2）写出L1的方程，与y＝0.02x+14.64联立求得x值即可；（3）该问结论开放，只需从统计学的角度作出合理分析即可．【解答】解：（1）∵＝9434，＝6840，，，∴＝＝＝，＝24.4+5.214×14.2≈41.64，即，；（2）由（1）知，，，∴L1的方程为y＝﹣1.21x+41.64．联立，解得x≈21.95．∴首次用药时白细胞浓度为2195个/mm3时，最终用药剂量最少；（3）从统计学的角度分析（2）的结论可得：①一次取样未必能客观反映总体；②样本容量过小也可能影响估计的准确性．【点评】本题考查线性回归的基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑思维能力等，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线经过坐标原点；（2）当a＞0时，判断函数f（x）在x∈（0，π），并说明理由．【分析】（1）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得a的值；（2）由f（x）＝0，可令g（x）＝x2﹣a﹣2sin x，讨论当x∈（0，），[，π）时，g （x）的单调性，可得f（x）的单调性，可得所求零点个数．【解答】解：（1）f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得曲线y＝f（x）在点（，f（）＝π，f（）＝，即切点为（，，由于切线经过原点，可得＝π﹣2；（2）因为x∈（0，π），所以f（x）＝＝02﹣a﹣8sin x＝0，设g（x）＝x2﹣a﹣6sin x，g′（x）＝2x﹣2cos x，设h（x）＝5x﹣2cos x，h′（x）＝2+3sin x＞0，可得h（x）即g′（x）在（0，π）递增，又g′（0）＝﹣3＜0，g′（，所以存在x3∈（0，），使得g′（x6）＝0，当x∈（0，x3）时，g（x）递减；当x∈（x0，）时，所以，对于连续函数g（x），x8）时，g（x）递减0，π）时，g（x）递增，又因为g（0）＝﹣a＜0，当g（π）＝π2﹣a＞0即a＜π2时，g（x）有唯一零点在（x6，π）上，当g（π）＝π2﹣a≤0即a≥π3时，g（x）在（0，综上可得，当0＜a＜π2时，函数f（x）在（0；当a≥π2时，函数f（x）在（8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和零点的个数的求法，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于难题．22．（12分）在平面直角坐标系中，A1，A2两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线A1M，A2M相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知动点P在（1）中曲线E上，两定点，．①求△PMN的面积的最大值；②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，求出点P的坐标；若不存在【分析】（1）设设M（x，y），将已知条件用坐标表示，然后化简整理即可得到答案；（2）①设P（2cosθ，sinθ），且0≤θ≤2π，求出直线MN的方程，由点到直线的距离公式求出点P到直线MN的距离d，由三角函数的有界性求出d的最大值，即可求得面积的最大值；②设P（x0，y0），表示出△PMN的面积，求出直线MP与直线PN的方程，令x＝1，求出点C，D的坐标，从而求出△PCD的面积，利用面积相等，求出x0的值，导入椭圆方程，即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）设M（x，y）1M，A2M相交于点M且它们的斜率之积是，所以，整理可得，所以曲线E的方程为（x≠±2）；。
辽宁省大连市2021届新高考数学一模考试卷含解析
辽宁省大连市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B 26C 13D 13 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为118242642213A E AFA E AF ⋅-==⨯⋅故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.2．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54 D ．45【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，2BD =，BC =115224BCD S BD BC ∆=⋅==. 故选：C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.3．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.4．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当nS 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A【解析】【分析】先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令,1p n q ==，可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.【详解】解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的*11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由10,0n n a a +⎧⎨≥⎩解得111322n ，则6n =. 解法二：由赋值法易求得212311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n S 取最小值.故选：A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.5．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤【答案】D【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20a f x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增， 当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20a f x x x x '=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=， 若242a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③联立①②③可得：25a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.6．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．5 【答案】A【解析】【分析】 根据条件将问题转化为ln 11x k x x+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值.【详解】()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c k c c+>-恒成立， ln 11x k x x+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x'∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->，，故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=，当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.000min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得： 000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-，N k +∈，且min 0()k h x x <=，3k ∴≤故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 7．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d .【详解】设数列的公差为,0d d ≠， 125113,3513a a a a d ++=∴+=①.125,,a a a 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤D ．少13斤 【答案】C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C9．二项式22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．360【答案】A【解析】 试题分析：因为22()n x x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，551021101022•()?()2r rr r r r r T C x C x x--+==，令5502r -=，则2r ，23104180T C ==. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.10．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764 【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 132 10 20 14 32 152 15所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.11．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（）A B C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果.【详解】由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a b a a b b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。
辽宁省大连市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
辽宁省大连市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣ B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,2【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，可得圆心()0,2到渐近线的距离2d ≥，由点到直线的距离公式可得a 的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围． 【详解】双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，即0x ay -=，由题意知，直线0x ay -=与圆()2222x y +-=相切或相离，则221d a=≥+，解得1a ≥，因此，双曲线的离心率(2111,2c e a a ⎛⎫⎤==+∈ ⎪⎦⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。
辽宁省大连市2021届新高考数学仿真第二次备考试题含解析
辽宁省大连市2021届新高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）A ．c c a b >B ．22ac bc ＜C ．lna lnb ＜D ．11()()22a b< 【答案】C【解析】【分析】 A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c c a b a b ∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出．对于.D 指数函数1()2x y =单调递减性质，因此不成立．故选：C ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．2．已知复数1cos23sin 23z i =+o o 和复数2cos37sin37z i =+o o ，则12z z ⋅为A ．12-B ．12i +C ．12+D 12i - 【答案】C【解析】【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝12+． 故答案为C ．【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案.【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.4．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（）A ．6-B ．6C ．5D ．5-【答案】A【解析】【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.5．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[1，2] D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r， []22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，，∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r |m r |2m r =2＝4，所以可得：2182m =r ， 配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r [0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4 【答案】C【解析】【分析】 以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈.故选：C.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.7．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件【答案】D【解析】【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】 ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e-=-=-===，解得3a =，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ） A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -= 【答案】B【解析】【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=dA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d .【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．23D ．163【答案】C【解析】【分析】 过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可. 【详解】在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =，又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ， 所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ， 当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 22543-=，所以PCE S ∆最大值为2，故P BCD V -的最大值为8223⨯162=.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.12．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512B ．13C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】 封闭图形的面积为)1331412000215||3412x x dx x x =-=⎰.选A. 【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省大连市2021届新高考数学第一次押题试卷含解析
辽宁省大连市2021届新高考数学第一次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ） A 3B ．33 C ．32 D 3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos 3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB +≤，即23AF BF AB +≤，所以3MNAB ≤，故选B ． 考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．2．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．3【答案】B【解析】【分析】画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．【详解】 作出函数1,2()21,2,1ax f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，令()f x t =，由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3，则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=故选B ．【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 3．若202031i i z i+=+，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D【解析】【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部.【详解】 由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--，所以z 的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.4．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．20【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i = 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.5．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ．【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0，∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（1）p ， 2c ＝p ，∴离心率ec a ===1， 故选：D ．【点睛】 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．6．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253 【答案】B【解析】【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算．【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ， 则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．7．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x ∈（0，1），∴a ＝lnx ＜0，b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ．故选：A ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 【答案】A【解析】【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值.【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦， 所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.9．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112πB ．512πC ．712πD ．11π12【答案】B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 10．若[]1,6a ∈，则函数2x a y x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】Q 函数2x a y x+=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立，2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴Q 函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B. 11．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A【解析】【分析】 先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 12．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )A ．43πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =,因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱,所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为 2232=16=333V V ππ=⨯圆柱. 故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年辽宁省大连市高考数学一模试卷(附答案详解).d
2021年辽宁省大连市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x||x|<2}，则A∪B=()A. (0,2)B. (−2,4)C. (−∞,2)∪(4,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)2.(2021·安徽省·模拟题)已知z=2i1+i，i是虚数单位，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知两条不重合的直线m、n和平面α，则m//n的一个充分不必要条件是()A. m⊄α，n⊂αB. m//α，n//αC. m⊥α，n⊥αD. m//α，n⊂α4.(2021·辽宁省大连市·模拟题)熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用.在数学中，利用熵可以解决如下问题：有n个互不相等的数，需要比较[(log2n！)]次(n!表示n的阶乘；[x]表示的是向上取整函数，如[2.1]=3)就可以将这些数从小到大排序.现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为()A. 8B. 9C. 10D. 115.(2021·辽宁省大连市·模拟题)若双曲线C：x29−y2b2=1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3√3，则C的离心率为()A. 2B. √3C. 43D. 2√336.(2021·辽宁省大连市·模拟题)我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中至少有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则P(B|A)=()A. 15B. 310C. 35D. 347.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知函数f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<π2)，曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线与直线√3x−3y+1=0互相垂直，则函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到图象的解析式是()A. y=2cos(x−π3) B. y=2cosxC. y=2cos(x+π6) D. y=2cos(x+π3)8.(2021·辽宁省大连市·模拟题)如图所示，在三棱锥A−BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=2CB=4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 32πB. 40πC. 40√103π D. 64√23π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.(2021·辽宁省大连市·模拟题)《高中数学课程标准》(2017版)给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是()A. 甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B. 甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C. 甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D. 乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高10.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知a>0，b>0，且4a+b=ab，则()A. ab ≥16B. 2a +b ≥6+4√2C. a −b <0D. 1a 2+16b 2≥1211. (2021·辽宁省大连市·模拟题)已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−2，焦点为F ，O 为坐标原点，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是C 上两点，则下列说法正确的是( )A. 点F 的坐标为(0,2)B. 若|AB|=16，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为8C. 若直线AB 过点(0,4)，则以AB 为直径的圆过点OD. 若直线OA 与OB 的斜率之积为−14，则直线AB 过点F12. (2021·重庆市市辖区·模拟题)已知函数f(x)=lg(√x 2−2x +2−x +1),g(x)=2x +62x +2，则下列说法正确的是( )A. f(x)是奇函数B. g(x)的图象关于点(1,2)对称C. 若函数F(x)=f(x)+g(x)在x ∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N =4D. 令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a +1)>4，则实数a 的取值范围是(−1,+∞)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·辽宁省大连市·模拟题)二项式(1+x)5展开式中含x 2项的系数为______ ． 14. (2021·辽宁省大连市·模拟题)我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”是指从塔的顶层到底层).则宝塔的顶层有______ 盏灯．15. (2021·辽宁省大连市·模拟题)已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，∠BAD =π3，平面内有动点E ，满足|ED|=2|EC|，则(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______ ． 16. (2021·辽宁省大连市·模拟题)△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若该三角形的面积为√5，且sin(A −B)=(3−4cosA)sinB ，则c 的最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (2021·辽宁省大连市·模拟题)如图，AB 是底部不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)(Ⅰ)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB 的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式．(Ⅱ)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差情况进行说明．18.(2021·辽宁省大连市·模拟题)如图，在三棱台ABC−DEF中，平面ABED⊥平面BCFE，AB=1．BA⊥BC，BC=3，BE=DE=DA=12(Ⅰ)求证：AE⊥平面BCFE；(Ⅱ)求直线DF与平面AEF所成角的正弦值．19.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知正项数列{a n}前n项之和为S n，满足4S n=(a n+1)2．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(Ⅱ)若数列{b n}满足b n=1S n ，其前n项和为T n，证明：T n<6136．20.(2021·辽宁省大连市·模拟题)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．(Ⅰ)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．(Ⅱ)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N∗)的概率记为p n，求p n的最大值．21.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,32)在C上，且PF2⊥F2F1．(Ⅰ)求C的标准方程；(Ⅱ)设C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与坐标轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明：点Q在定直线上．22.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=xlnx−ax+a，a∈R．(Ⅰ)求f(x)的极值点；(Ⅱ)若g(x)=12x2lnx+x+m+1e x−1−14x2+x，证明：对任意m∈(−∞,−1]，x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有g(x1)−g(x2)x1−x2>1．答案和解析1.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】解：集合A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={x||x|<2}={x|−2<x<2}，∴A∪B={x|−2<x<4}=(−2,4)．故选：B．求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】B【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：∵已知z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，∴|z|=√2，故选：B．利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1+i，由此求得|z|．本题主要考查复数的模的定义和求法，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断、空间中直线与平面的位置关系【解析】解：A：由m⊄α，n⊂α，得m与n可能平行，相交，异面，∴A错误，B：由m//α，n//α，得m与n可能平行，相交，异面，∴B错误，C：由m⊥α，n⊥α，根据垂直同一平面的两直线平行，得m//n，反之不一定成立，∴C 正确，D：由m//α，n⊂α，得m与n可能平行，相交，异面，∴D错误，故选：C．直接利用线面垂直的判定和性质，线面平行的判定和性质得出结果．本题考查线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的空间想象能力的应用，属于基础题型．4.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：根据题意有6个互不相等的数，需要比较[(log 26！)]次， ∵log 26！=log 2720，且9=log 2512<log 2720<log 21024=10， ∴[(log 26！)]=10， 故选：C ．根据题意得出有6个互不相等的数，需要比较[(log 26！)]次，然后进行计算得出结论． 本题考查归纳推理，属于基础题．5.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义 【解析】解：根据题意，设双曲线C ：x 29−y 2b 2=1的一个焦点为(c,0)，其中一条渐近线的方程为y =b3x ，即bx −3y =0， 若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为3√3， 则有√a 2+b 2=b =3√3， 则c =√a 2+b 2=6，则双曲线的离心率e =ca =63=2； 故选：A ．根据题意，设双曲线的焦点为(c,0)，由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得√a 2+b 2=b =√3，可得b 的值，由双曲线的几何性质计算求出c 的值，由离心率公式即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．6.【答案】D【知识点】条件概率【解析】解：某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方， 则P(A)=C 32+C 31C 31C 62=45，P(AB)=C31C31C62=35，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=3545=34．故选：D．利用古典概型分别求出P(A)，P(AB)，由此能求出P(B|A)．本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】A【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<π2)，则f′(x)=2cos(x+φ)，因为曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线与直线√3x−3y+1=0互相垂直，故f′(π2)=2cos(π2+φ)=−2sinφ=−√3，所以sinφ=√32，又|φ|<π2，所以φ=π3，故f(x)=2sin(x+π3)，则函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到图象的解析式为y=2sin(x−π6+π3)=2sin(x+π6)=2cos(x−π3)．故选：A．利用导数的几何意义求出φ的值，从而得到f(x)的解析式，然后再利用图象的变换法则进行求解即可．本题考查了曲线的切线的应用，主要考查了导数几何意义的理解和应用，特殊角的三角函数的应用，三角函数的图象变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【知识点】球的表面积和体积【解析】解：设CD的中点为M，因为三角形ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，所以AM=DM=CM=2√2，且AM⊥CD，过M作MN⊥CD，又平面ACD⊥平面BCD，且平面ACD与平面BCD的交线为CD，所以MN⊥平面ACD，AM⊥平面BCD，则三棱锥的外接球球心在MN上，设外接球的半径为R，由AB⊥BC，则AB=2√3，AM⊥BM，则BM=√(2√3)2−(2√2)2=2=BC，又CM2=BM2+BC2，所以三角形BCM为等腰直角三角形，设球心为O，CM的中点为P，则MP=CP=BP=√2，则OM=√R2−CM2=√OB2−PM2−BP，即√R2−(2√2)2=√R2−(√2)2−√2，解得R=√10，所以三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×10=40π，故选：B．根据三棱锥的图形的特征找到球心的位置，然后根据勾股定理求出半径，进而可以求解．本题考查了求解三棱锥的外接球的表面积问题，考查了数形结合思想以及学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AC【知识点】总体密度曲线、频率分布直方图【解析】解：根据雷达图可看出，甲的数学运算素养为5分，乙的为4分，∴A正确；甲的逻辑推理素养为4分，乙的为5分，∴B错误；甲的六个核心素养中只有数学运算素养为5分，∴C正确；乙的六个核心素养中，有3个为5分，∴D错误．故选：AC．根据雷达图即可判断每个选项的正误，从而得出正确的说法．本题考查了对雷达图的理解及看图能力，属于基础题．10.【答案】ABD【知识点】基本不等式【解析】解：a>0，b>0，ab=4a+b≥2√4ab，当且仅当a=b时取等号，解得ab≥16，即ab的最小值为16，A正确；由已知得4b +1a=1，所以2a+b=(2a+b)(4b +1a)=6+8ab+ba≥6+2√8ab⋅ba=6+4√2，当且仅当8a b =ba 时取等号，B 正确；由已知无法判断a ，b 的大小，故a −b <0无法判断，C 错误； 因为4b +1a =1， 所以1a =1−4b ，所以1a 2+16b 2=1−8b +32b 2，结合二次函数的性质可知1b =18，即b =8时取等号，此时取得最小值12， 故以1a 2+16b 2≥12，D 正确． 故选：ABD ．由已知结合基本不等式及相关结论，二次函数的性质分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．11.【答案】AD【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：∵抛物线C ：x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−2， ∴C 的解析式为：x 2=8y ，对于A ：准线方程为y =−2，故焦点F(0,2)，故A 正确； 对于B ：设l AB ：y =kx +b(k ≠0)，则{y =kx +b x 2=8y，整理得：x 2−8kx −8b =0，故x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−8b ，故AB 中点为(4k,4k 2+b)， ∵|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k 2+32b =16， ∴b =81+k2−2k 2，∴d =4k 2+b =81+k2+2k 2=81+k 2+2(k 2+1)−2≥2√16−2=6，当且仅当81+k 2=2(k 2+1)时“=”成立，当k =0时，距离是8，6<8，所以最小值为6，故B 错误；对于C ：设l AB ：y =kx +4，则b =4，则|AB|=√1+k 2⋅√64k 2+32b =8√1+k 2⋅√k 2+2，AB 的中点(4k,4k 2+4)到O 的距离d =4√k 4+3k 2+1≠|AB|2，故以AB 为直径的圆不过点O ，故C 错误； 对于D ：K OA ⋅K OB =y 1x 1⋅y 2x 2=x 128⋅x 228x1⋅x 2=x 1x 264=−14，∴x 1x 2=−16=−8b ，故b =2，即l AB ：y =kx +2，过F(0,2)，故D 正确．故选：AD ．根据准线方程求出焦点，判断A ，设出直线AB 的方程，联立方程组，求出AB ，结合基本不等式的性质判断B ，根据弦长公式判断C ，根据斜率之积为−14，求出b ，判断D ． 本题考查了抛物线的方程及性质，考查弦长公式以及中点坐标公式，考查转化思想，是中档题．12.【答案】BCD【知识点】函数的奇偶性、函数的最值、命题及其关系【解析】解：A ：∵√x 2−2x +2−x +1=√(x −1)2+1−(x −1)>0恒成立，∴函数f(x)的定义域为R ，∵f(0)=lg(√2+1)≠0，∴f(x)不是奇函数，∴A 错误， B ：将g(x)的图象向下平移两个单位得y =2x +62x +2−2=2−2x2+2x ， 向左平移一个单位得ℎ(x)=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，∵ℎ(−x)=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x)，∴ℎ(x)图象关于(0,0)对称， ∴g(x)的图象关于(1,2)对称，∴B 正确，C ：将f(x)的图象向左平移一个单位得m(x)=lg(√x 2+1−x)，∵m(−x)+m(x)=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0，∴m(x)为奇函数， f(x)关于(1,0)对称，∴F(x)若在1+a 处取得最大值，则F(x)在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，∴C 正确，D ：F(a)+F(−2a +1)>4⇔f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， f(x)=lg(√(x −1)2+1−x +1)=−lg[√(x −1)2+1+(x −1)]， 设m(x)=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， ∵t′=√x 2+11=√x 2+1+x √x 2+1>0，∴t =√x 2+1−x 为增函数，∴m(x)=lg(√x 2+1−x)为增函数，∴f(x)=lg(√(x −1)2+1−x +1)=−lg[√(x −1)2+1+(x −1)]为减函数， 又g(x)=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，∴F(x)为减函数，∵F(x)的图象关于(1,2)对称，∴F(a)+F(−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)∴F(−2a +1)>F(2−a)则−2a+1<2−a，∴a>−1，∴D正确．故选：BCD．利用奇偶性的定义可得A错误，利用图象的平移可得B正确，利用平移和奇偶性可得C 正确，利用单调性可得D正确．本题综合考查了函数的奇偶性、对称性，单调性，用好定义是解题的关键．13.【答案】10【知识点】二项式定理【解析】解：由于二项式(1+x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅x r，r=0，1， (5)故展开式中含x2的项的系数是C52=10，故答案为：10．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中含x2的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】3【知识点】等比数列的求和、数列的综合应用【解析】解：根据题意，设从上到下，每层的灯的数目组成数列{a n}，则数列{a n}是公比为2的等比数列，=127a1=381，则有S7=a1(1−27)1−2解可得a1=3，即宝塔的顶层有3盏灯，故答案为：3．根据题意，设从上到下，每层的灯的数目组成数列{a n}，由等比数列的定义可得数列{a n}是公比为2的等比数列，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．15.【答案】[12,24]【知识点】向量的数量积，【解析】解：因为平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BAD=π3建立如图所示坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5,2√3)，D(2,2√3)， 设E(x,y)，∵平面内有动点E ，满足|ED|=2|EC|，∴(x −2)2+(y −2)2=4[(x −5)2+(y −2√3)2]， 即：(x −6)2+(y −2√3)2=4， 故(x −6)2≤4⇒4≤x ≤8，∵(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)⋅(x,y)=3x ∈[12，24]． 故答案为：[12,24]．建立坐标系，求出各点的坐标，再结合|ED|=2|EC|，求出点E 的坐标满足的等式，最后结合数量积即可求解结论．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】√10【知识点】正弦定理【解析】解：因为sin(A −B)=(3−4cosA)sinB ， 所以sinAcosB −sinBcosA =3sinB −4sinBcosA ， 即sinAcosB =3sinB(1−cosA)， 故a ×a 2+c 2−b 22ac=3b ×(1−b 2+c 2−a 22bc)，整理得b 2+c 2−a 2=3bc −c 2， 所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =3bc−c 22bc=32−c 2b，因为S △ABC =12bcsinA =√5，所以sinA =2√5bc，因为sin 2A +cos 2A =1，所以(2√5bc)2+(32−c2b )2=1，化简得，54b 2−3c 2⋅b +c 24+20c 2=0，由△=(−3c2)2−4⋅54⋅(c24+20c2)≥0，得c4≥100，所以c≥√10，所以c的最小值为√10．故答案为：√10．根据两角差的正弦公式可将原等式变形为sinAcosB=3sinB(1−cosA)，再结合正弦、余弦定理，将角全部化为边，可推出cosA=32−c2b；由S=12bcsinA，可得sinA=2√5bc，然后代入sin2A+cos2A=1，并将其整理成关于b的一元二次方程，由△≥0，得解．本题考查解三角形的应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和两角差的正弦公式，将问题转化为一元二次方程根的问题是解题的关键，考查转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)选用测角仪与米尺即可，如图所示：①选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上；②在H、G两点用测角仪测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测得测角仪的高度是h；③经计算得建筑物AB=asinαsinβsin(α−β)+ℎ(或atanαtanβtanα−tanβ+ℎ)；(Ⅱ)①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差；③用身高代替测角仪的高度．(注：如果有其它的合理测量方法，相应给分；第二问中，写出以上三种原因中之一即可)．【知识点】解三角形的实际应用【解析】(Ⅰ)选用测角仪与米尺，画出图形，利用测角仪测得角度，利用米尺测得测角仪的高度和基线的长，利用解三角形的知识求出建筑物的高度；(Ⅱ)从测量工具、两次测量时位置的间距差和用身高代替测角仪的高度等方面考虑． 本题考查了解三角形的应用问题，也考查了实践操作能力，是中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：取AB 中点M ，连接ME 、MD ，因为BE =DE =DA =12AB =1，所以四边形ADEM 和四边形BEDM 都是菱形，△MBE 为正三角形，所以AE ⊥MD ，因为BE//MD ，所以AE ⊥BE ，因为平面ABED ⊥平面BCFE ，平面ABED ∩平面BCFE =BE ， 所以AE ⊥平面BCFE ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AE ⊥平面BCFE ，所以AE ⊥EF ，因为BA ⊥BC ，所以EF ⊥ED ，又因为AE ∩ED =E ，所以EF ⊥平面ADE ， 因为EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AED ， 因为DN ⊥AE ，所以DN ⊥平面AEF ， DN =12MD =12，在三棱台ABC −DEF 中，因为ED =12AB ，所以DF =12AC =√AB 2+BC 2=√132，所以直线DF 与平面AEF 成角的正弦值为DNDF =12√132=√1313．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(Ⅰ)只须证明AE 垂直于平面ABED 和平面BCFE 的交线BE 即可；(Ⅱ)根据直线与平面成角定义计算．本题考查了直线与平面垂直的判定问题，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)正项数列{a n }前n 项之和为S n ，满足4S n =(a n +1)2.①当n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2.②①−②得：a n −a n−1=2或a n +a n−1=0(舍去)， 故a n −a n−1=2， 当n =1时，解得a 1=1，所以a n =2n −1． 证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：S n =n(1+2n−1)2=n 2，所以b n =1n 2，所以T n =1+122+132+⋯+1n 2， 当n =1时，T 1=1<6136， 当n =2时，T 2=1+14=54<6136， 当n =3时，T 3=1+14+19=4936<6136，当n ≥4时，由于1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ≥2)，则T n <1+14+19+13−14+14−15+⋯+1n−1−1n =6136−1n <6136． 故T n <6136．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式的应用和等差数列的定义求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用求和公式和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等差数列的求和，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)①设甲向前跳的频数为Y ，乙向前跳的频数为Z ，则P(Y =2)=P(Z =2)=14， P(Y =3)=P(Z =3)=12，P(Y =4)=P(Z =4)=14，∴P(Y >Z)=12×14+14×(12+14)=516．②由①知X 的所有可能取值为4，5，6，7，8， ∴P(X =4)=116，P(X =5)=14，P(X =6)=38， P(X =7)=14，P(X =8)=116， ∴X 的分布列为：∴E(X)=4×116+5×14+6×38+7×14+8×116=6．(Ⅱ)由题意知p 1=12，p 2=34， 当n ≥3时，p n =12p n−1+12p n−2，p n −p n−1=−12(p n−1−p n−2)=14(p n−2−p n−3)=⋯=(−12)n−2(p 2−p 1)=(−12)n ，∴p n =13(−12)n +23，(n ≥3)， ∵p 1=12，p 2=34，∴p n =13(−12)n +23， 当n 为奇数时，p n <23，当n 为偶数时，P n >23，且数列{P n }为递减数列， ∴p n 的最大值为34．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)①设甲向前跳的频数为Y ，乙向前跳的频数为Z ，则P(Y =2)=P(Z =2)=14，P(Y =3)=P(Z =3)=12，P(Y =4)=P(Z =4)=14，由此能求出P(Y >Z)． ②由①知X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．(Ⅱ)由p 1=12，p 2=34，当n ≥3时，p n =12p n−1+12p n−2，推导出p n =13(−12)n +23，(n ≥3)，从而p n =13(−12)n +23，当n 为奇数时，p n <23，当n 为偶数时，P n >23，且数列{P n }为递减数列，由此能求出p n 的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵PF 2⊥F 2F 1；∴c =1，则F 1(−1,0)，F 1(−1,0)， ∴|PF 2|+|PF 1|=52+32=4=2a ， ∴a =2，b 2=3，∴C 的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)证明设直线y =k(x −1)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x 0,y 0)， 由题意知A(−2,0)，B(2,0)，联立直线和椭圆得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，由A ，M ，Q 三点共线得y 0x 0+2=y 1x 1+2， 由B ，N ，Q 三点共线得y 0x 0−2=y 2x 2−2， 所以(x 0−2)2(x0+2)2=y 12(x 2−2)2y 22(x1+2)2，代入y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)， 所以(x 0−2)2(x 0+2)2=4−2(x 1+x 2)+x 1x24+2(x 1+x 2)+x 1x 2，代入x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，化简得(x 0−2)2(x+2)2=19， 由题意知x 0>2， 解得x 0=4，所以点Q 在直线x =4上．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由题意知c ，然后根据|PF 2|+|PF 1|=2a 可求出a ，可得方程， (Ⅱ)由A ，M ，Q 三点共线得y 0x 0+2=y 1x 1+2，由B ，N ，Q 三点共线得y 0x 0−2=y 2x 2−2，联立，消去y ，再消去x ，可得．本题考查直线与椭圆的综合应用，计算比较复杂，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=xlnx −ax +a(x >0)，∴f′(x)=lnx +1−a ， 由f′(x)>0，解得：x >e a−1， 由f′(x)<0，解得：0<x <e a−1， 故f(x)在(0,e a−1)递减，在(e a−1,+∞)递增， 故函数f(x)有极小值点x =e a−1，无极大值点； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知当a =1时，f(x)≥0， 故xlnx ≥x −1，当且仅当x =1时“=”成立，又x−1−x−1e x−1=(x−1)(e x−1−1)e x−1，当0<x<1时，x−1<0，e x−1−1<0，故(x−1)(e x−1−1)e x−1>0，当x=1时，(x−1)(e x−1−1)e x−1=0，当x>1时，x−1>0，e x−1−1<0，故(x−1)(e x−1−1)e x−1>0，故x>0时，x−1≥x−1e x−1，当且仅当x=1时“=”成立，故xlnx≥x−1e x−1成立，当且仅当x=1时“=”成立，令ℎ(x)=g(x)−x，则ℎ′(x)=xlnx−x+me x−1，∵m≤−1，∴x−1e x−1≥x+me x−1，∴ℎ′(x)≥0，∵函数ℎ(x)在(0,+∞)的任意子区间内不恒为0，故ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，不妨设x1>x2>0，则ℎ(x1)>ℎ(x2)，故g(x1)−x1>g(x2)−x2，故g(x1)−g(x2)x1−x2>1．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；(Ⅱ)求出xlnx≥x−1，得到xlnx≥x−1e x−1成立，当且仅当x=1时“=”成立，令ℎ(x)= g(x)−x，求出函数的导数，结合m≤−1，得到ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．。
辽宁省大连市2021届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理
辽宁省大连市2021届高三数学下学期第二次模拟考试试题理第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)已知集合2{|430},{|24}A x x xB x x=-+<=<<则()A B=()()()()()()()()1,42,32,41,3A B C D(2)已知,,ia b∈R为虚数单位，若a-i与2+bi互为共轭复数，则(a+bi)2为( )(A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i(3)双曲线2214xy-=的渐近线方程是( )1()()()2()4421A y xB y xC y xD y x=±=±=±=±(4)瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cos sin(ixe x i x i=+为虚数单位)”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限(5)设函数()()21log2,1,1xx xf xxe⎧+-<⎪=⎨⎪⎩则()()2ln6f f-+=( )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(6)已知各项均为正数的数列{a n}为等比数列153416,12,a a a a⋅=+=则7()a=(A)16 (B)32 (C)64 (D)256(7)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是( )()()()sin()sinx x x xA y e eB y e e--=+=-()()()cos()cosx x x xC y e eD y e e--=-=+(8)已知关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：由上表可得线性回归方程0.08,y bx=+，若规定当维修费用12y>时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为( )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10(9)已知点P 在抛物线C ：24,y x =上过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1，则点P 坐标为( )())()(1,2)()1-2()2,22()(2,22)A B C D -，(10)下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④ (11)已知函数()()sin 0,||2f x x πϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,,243x ππ∀⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不等式()21f x >恒成立，则φ的取值范围是()()()()3[,],,12612362[,]6A B C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭(12)已知三棱锥,P ABC -面,4,,3PAB ABC PA PB AB ===⊥面，120,ACB ︒=∠则三棱锥P-ABC 外接球的表面积( )(A)20π (B)32π (C)64π (D)80π本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)设向量()2,4=a 与向量(),6x =b 共线，则实数x= ▲(14)已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 3的项的系数为30，则a 的值为 ▲(15)数列()1{},1,nn n n a a a n ++-=则{}n a 的前8项和为 ▲ (16)已知函数()ln2exf x x=-，则()()2f x f x +-值为 ▲ ; 若∑k ＝119f ⎝⎛⎭⎪⎫k 10=19(a+b)，则22a b +的最小值为 ▲ .三解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos .a c a b c abc C --+=(1)求角B 的大小；（Ⅱ）1,3a b ==若求ABC ∆的面积。
辽宁省大连市2021届新高考数学四月模拟试卷含解析
辽宁省大连市2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S =，3421a a +=， 所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =， 则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．2．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B．y = C．y = D ．y x =±【答案】B【解析】【分析】 先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=， 故渐近线方程为3y x =，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题.3．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．132 【答案】B【解析】【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=， 所以9315366a a a =±⋅==±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.4．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种， 所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ）A B ．3 C D ．4【答案】B【解析】由正弦定理及条件可得()2sin cos sin cos sin B A A B c C +=，即()2sin 2sin sin A B C c C +==. sin 0C >，∴2c =， 由余弦定理得2222212cos 2322393a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=。
辽宁省大连市2021届新高考数学一模试卷含解析
辽宁省大连市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=【答案】A 【解析】设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ， 由椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，即2212314e e +=. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】所以333a b a b +=+=≥， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．215【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221P =. 故选：B. 【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.6．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B I 的真子集的个数是（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】转化条件得{}0,1A B =I ，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<，∴{}0,1A B =I ，∴集合A B I 的真子集的个数为2213-=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数()2y f x =+为偶函数， 所以函数()f x 的图象关于2x =对称，因为()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-， 解得：1324a -≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．9．已知0.21a ⎛⎫=，1-，1log 2c =，则( )【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.201101 22⎛⎫⎛⎫<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2515-==，1133log2log10<=故b a c>>.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A．22S，且23S B．22S，且3SC．22S，且23S D．22S，且3S【答案】D【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：2AB BC CD AD DE=====，. 【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题. 11．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．12．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =2AB =O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省大连市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
辽宁省大连市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ， ()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.2．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ） A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]【答案】B【解析】作出可行域，1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤． 故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x +表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．3．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ）A ．－23B ．17C ．20D ．63 【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数.【详解】 5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-；②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-；③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=； 综上所述：合并后的5x 项的系数为17.【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.4．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．120【答案】C【解析】【分析】【详解】 试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．5．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 13B ．4 C ．2 D 3【答案】A【解析】【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率．2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q .又2245BF AF =Q ，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13c e a ==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．6．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( )A ．34B ．43C ．-43D ．-34【答案】A【解析】分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解.详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,2z a i =-.所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数，所以4a 30-=，即3a 4=. 故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.7．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯9≥，此时2BF AF =所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．8．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】B设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =，所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+，所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得sin θ=（负值舍去），所以椭圆Г的离心率e =B ． 9．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.10．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D【解析】【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,3CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯， 因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=. 由正弦定理可得1322sin 3DO π==，故11DO =，又因为3AD =23DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ，因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ，所以四边形21OO DO 为平行四边形，所以1232OO DO ==，所以OD ==2，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D.【点睛】 本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.11．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ）A ．5-BC ．D 【答案】D【解析】【分析】倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，tan 2θ=.又θ为直线倾斜角，解得sin =5θ. 故选：D.【点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 12．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A ．24B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省大连市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
辽宁省大连市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．22B ．21-C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】 如图，MN 为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ， ∴OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22， ∴MH 22OM OH -22212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22，∴MN ＝22MH =故选：C ． 【点睛】2．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．3．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 1x πω⎛⎫-≤+≤Q ，即x πω⎛⎫-≤+≤，∴有且仅有232312-⨯=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，223sin 363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误； 对于C ，当76x π=时，77223sin 23sin 6333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，由223sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.4．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.5．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B．3C．3D ．23【答案】C 【解析】试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a，则1,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅2221)())a +-==，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y-=．考点：双曲线方程.7．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A 种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A 种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 22A 34(A +1224)576C A =种.故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.8．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132 B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B 【解析】 【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可 【详解】如图，由几何概型公式可知：22451 3.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B 【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题9．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断．【详解】Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=，∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-，当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k =+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 11．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） Ab a <Bb a >【分析】利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【详解】已知0a b >>，赋值法讨论0a b >>的情况：（1）当1a b >≥时，令2a =，1b =b a <，a b e b e a ->-，排除B 、C 选项；（2）当01b a <<≤时，令12a =，13b =b a >，排除A 选项.故选：D. 【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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辽宁省大连市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.2．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可.由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.3．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列， 若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立， 即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件， 故选C ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．32【答案】B根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 5．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+C ．())4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则A =()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.6．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（ ）A ．BC ．6D ．【答案】D先根据向量坐标运算求出(u v +=r r和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解. 【详解】由题意()(v u u v =--=r r r r，则(u v +=r r，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ，故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 7．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数求得()f x 的单调区间，由此判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意，得ln 33a ==，1ln e b e e -==，3ln 2ln888c ==.令ln ()x f x x=，所以21ln '()x f x x -=.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.所以max 1[()]()f x f e b e===，且(3)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.8．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()212212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合， 终边经过点()1,2P，则||OP θ==23cos 212sin 5θθ∴=-=-.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.10．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n=，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m=，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366mpn===本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11．已知i是虚数单位，若1zii=-，则||z=（）A B．2 C D．3 【答案】A【解析】【分析】直接将1zii=-两边同时乘以1i-求出复数z，再求其模即可.【详解】解：将1zii=-两边同时乘以1i-，得()11z i i i=-=+z=故选：A【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.12．在复平面内，复数2iiz-=（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：复数222(2)(2)12i i iz ii i i i--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。