【高中同步检测】2018人教A版选修2-3：阶段质量检测(一) 计数原理 Word版含解析

阶段质量检测（一）计数原理(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．64C．12 D．81解析：选C根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．2．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．33 B．29C．23 D．19解析：选B∵(1＋2)4＝C04(2)0＋C14(2)1＋C24(2)2＋C34(2)3＋C44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a＋b2，∴a＋b＝17＋12＝29．3．(1－x)10展开式中x3项的系数为()A．－720 B．720C．120 D．－120解析：选D由T r＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10x r，因为r＝3，所以系数为(－1)3C310＝－120．4．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C25＝10种．5．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16，则自然数n等于()A．6 B．5C．4 D．3解析：选C令x＝1，得2n＝16，则n＝4．故选C．6．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：选C 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C 23C 12C 13A 33＝108，(2)不选“0”，共有C 23A 44＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C ．7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法，故总的排法有2×2×A 33＝24种．8．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B (2－x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r ＝C r 8·28－r ·(－1)r ·x r 2．由r 2＝4得r ＝8．∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1．又(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112．共计：3＋6＋3＋3＝15个．10．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28 解析：选C T r ＋1＝(－a )r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝0⇒r ＝4．∴T 5＝C 48(－a )4＝1 120，∴a ＝±2．当a ＝2时，各项系数的和为(1－2)8＝1；当a ＝－2时，各项系数的和为(1＋2)8＝38．11．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条解析：选B 先考虑x ≥0，y ≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C 212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax ＋by －1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．12．将二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为( )A ．A 37B ．A 66A 36C ．A 66A 37D ．A 77A 37解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 82r ·x 16－3r 4，r ＝0,1,2，…，8．当16－3r 4为整数时，r ＝0,4,8． ∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A 37种方法．∴共有A 66A 37种排法．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x 人，则C 28－x ·C 1x ＝30，即(8－x )(7－x )2·x ＝30，解得x ＝2或3． 答案：2或3 14．若⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于________． 解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r n 2n －r ·x 3n －7r 2，令3n －72r ＝0，即r ＝67n ，而r ∈N *．∴n 为7的整数倍，即最小的正数n 等于7． 答案：715．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1416．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种． 答案：90三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝{x |1<log 2x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}，试问： 从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 解：A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．从A 中取一个数作为横坐标，从B 中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．(本小题满分12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项． 解：二项式的通项为T k ＋1＝C k n (2k )x k 2由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7． ∴展开式中二项式系数最大两项是：T 4＝C 37(2x )3＝280x 32与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2． 19．(本小题满分12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)． (2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x 项的系数．解：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0． ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝⎝⎛⎭⎫12r ·C r 8·x 4－34r ，r ＝0,1，…，8． ∴第三项的二项式系数为C 28＝28．第三项的系数为⎝⎛⎭⎫122·C 28＝7． (3)令4－34r ＝1，得r ＝4， ∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫124·C 48＝358．21．(本小题满分12分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N 1＝5×4×1×4＝80．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N 2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260种．22．(本小题满分12分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)两名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法．故有不同站法有A22·A66＝1 440种．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A44种．故共有不同站法A33·A44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×A77A44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两端之一，另一端由男生站，有A12·A14·A55种站法，②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有A24·A14·A44种站法．故共有不同站法共有A12·A14·A55＋A24·A14·A44＝2 112种．。