2017届高一数学北师大版选修1-1课时作业：3.2.2 导数的几何意义 Word版含解析
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念 导数的几何意义 课件(40张) (1)
图 321
2．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)，是曲线 y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的________．
【答案】 1.直线 l
2.切线的斜率
若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是－1，则过点 A 的切线方程为__________．
【解析】 ∵f′(1)＝k＝－1， ∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
【解】 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函 2 数 f(x)＝x在点(－2，－1)处的导数． f－2＋Δx－f－2 而 f′(－2)＝ lim Δx Δx→0 2 ＋1 －2＋Δx 1 1 ＝ lim ＝ lim ＝－2，故曲线在点(－2，－1)处的切线方 Δ x － 2 ＋ Δ x Δx→0 Δx→0 1 程为 y＋1＝－2(x＋2)，整理得 x＋2y＋4＝0.
8 (2)在点 P 处的切线方程是 y－3＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： 1求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数 f′x0； 2根据直线的点斜式方程，得切线方程 (x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程.
【自主解答】 当 x 从 100 变为 100＋Δx 时， 函数值 y 关于 x 的平均变化率 为 f100＋Δx－f100 Δx 100＋Δx＋ 100＋Δx＋3－100＋ 100＋3 ＝ 10Δx 1 1 ＝10＋ 10 100＋Δx＋10
当 x 趋于 100 时， 即 Δx 趋于 0 时， 平均变化率趋于 0.105， 即 f′(100)＝0.105， f′(100)＝0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的速度为 1 050 元/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每增加 1 平方米的建筑面积， 成本就要增加 1 050 元．
北师大版数学高二选修1-1 作业 3.2导数的概念及其几何意义
1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( )A ．2B ．－12C ．－2 D.12解析：由导数几何意义知，f ′(3)＝－2.答案：C2．设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．不确定解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)1＝lim Δx →0 a Δx Δx ＝lim Δx →0a ＝a ， ∴a ＝2.答案：A3．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A 、B 处切线的倾斜角分别为α、β，则π2<α<β<π. ∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.答案：C5．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx的值是________． 解析：f (2＋Δx )－f (2)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )， ∴f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12(2＋Δx )， ∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝li m Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 答案：－146．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.8．已知曲线y ＝f (x )＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：设切点为P (x 0，y 0)．由Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0＋Δx ，得f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0. 则切线的斜率为k ＝2x 0.由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过(1，a )，y 0＝x 20＋1，所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线， a 的取值范围是{a |a <2}．。
高中数学选修1-1北师大版 导数的概念及其几何意义 学案
§2 导数的概念及其几何意义1．函数在一点处的导数设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，则函数值y 关于x 的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的______，通常用符号______表示，记作：____________________________________________________________________________.预习交流1利用导数求切线方程与以前利用方程组的解求切线方程的方法有何关系？2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的____________，这是导数的几何意义．预习交流2下列说法中正确的是__________．①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在．答案：1．固定的值 导数 f ′(x 0) f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f(x 1)－f(x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx预习交流1：提示：利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法，以前的方法仍可使用，但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置，是曲线局部的性质，而切线与曲线未必只有一个公共点，并且与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线，故以前的方法要慎用．2．切线的斜率 预习交流2：③ 解析：因为函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在这一点处切线的斜率，f ′(x 0)不存在，并不能说明在这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线斜率不存在，即若在这一点处的切线斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．一、导数的概念的应用求函数y ＝－3x 2在点x ＝1处的导数．思路分析：问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从而利用定义求函数在此点处的导数．1．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．求函数y ＝x 2＋ax ＋b 在点x ＝0处的导数．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：①对x 0给出改变量Δx ，得到相应的函数值的改变量Δy ；②确定函数在x 0处的平均变化率；③利用“无限逼近”思想，即Δx 趋于0时，求得导数．二、导数的实际意义的应用已知球的体积V 是半径r 的函数：V(r )＝43πr 3，若函数在r ＝4处的导数是V ′(4)＝64π，试解释其实际意义．思路分析：利用运动变化的观点分析函数中变量之间的关系，可知随着半径r 的增大，体积V 也随之增大，所以题中的导数的实际意义可以理解为球体的膨胀率．1．若汽车行驶的里程s 与时间t 构成函数s ＝s (t )，行驶的速度v 与时间t 构成函数v ＝v (t )，且在t 0时的导数值分别为s ′(t 0)，v ′(t 0)，则其表达的意义是汽车在t 0的( )A ．平均速度，瞬时速度B ．瞬时速度，加速度C ．平均速度，加速度D ．加速度，瞬时速度2．建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．导数可以描述事物的瞬时变化率，如效率、增长率等，在应用于实际问题时，要结合实际背景，利用运动变化的观点恰当分析该点处的导数值的意义．三、导数的几何意义的应用求曲线f (x )＝1x－x 在点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程． 思路分析：利用常规方法较难解决，则可以利用导数先求得切线斜率，再求切线方程．1．若点A (1,2)是函数y ＝f (x )图像上一点，且f ′(1)＝－1，则图像在点A 处的切线方程为__________________．2．求曲线f (x )＝x 3＋x 在x ＝2处的切线方程．只有在曲线方程可看成函数解析式时才能利用导数来求切线方程，否则不能利用导数求解．求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的步骤为：①利用导数求得曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)；②利用点斜式写出直线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．答案：活动与探究1：解：当x 从1变到1＋Δx 时，函数值y 从－3变到－3(1＋Δx )2，函数值y 关于x 的平均变化率为：f(1＋Δx)－f(1)Δx ＝－3(1＋Δx)2－(－3)Δx ＝－6－3Δx ，当Δx 趋于0时，平均变化率趋于－6，所以f ′(1)＝－6.迁移与应用：1．B 解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 f(1＋Δx)－f(1)Δx ＝lim Δx →0 a(1＋Δx)－a Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ，∴a ＝2.2．解：当x 从0变到Δx 时，函数值y 从b 变到(Δx )2＋a Δx ＋b ，函数值y 关于x 的平均变化率为：f(Δx)－f(0)Δx ＝(Δx)2＋a Δx ＋b －b Δx ＝Δx ＋a ，当x 趋于0，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于a ，所以f ′(0)＝a .活动与探究2：解：V ′(4)＝64π表示球的体积在r ＝4时，其瞬时变化率即“膨胀率”为64π，也就是说保持这一膨胀率，半径每增加1个单位，球体的体积就增加64π个单位．迁移与应用：1．B 解析：路程关于时刻的导数值为该时刻处的瞬时速度，而速度关于时刻的导数值为该时刻处的加速度．2．解：Δy Δx ＝f(100＋Δx)－f(100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋100＋Δx －1010Δx＝110＋110(100＋Δx ＋10)，当Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105万元/m 2，即f ′(100)＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2时，成本增加的速度为1 050元/m 2，也就是说当建筑面积为100 m 2时，每增加1 m 2的建筑面积，成本就要增加1 050元．活动与探究3：解：∵Δy ＝14＋Δx －4＋Δx －⎝⎛⎭⎫14－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋Δx －14－(4＋Δx －2)＝－Δx 16＋4Δx －Δx4＋Δx ＋2，∴ΔyΔx ＝－Δx16＋4Δx －Δx4＋Δx ＋2Δx ＝－116＋4Δx－14＋Δx ＋2.令Δx 趋于零，可知函数在x ＝4处的导数为f ′(4)＝－516，即函数在点P 处切线的斜率为－516，因此切线的方程为y ＋74＝－516(x －4)，即5x ＋16y ＋8＝0.迁移与应用：1．x ＋y －3＝0 解析：由导数的几何意义知，函数图像在点A 处切线的斜率为－1，由点斜式写出方程即可．2．解：∵Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3＋2＋Δx －10＝(Δx)3＋6(Δx)2＋13ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋13，令Δx趋于零，可知函数f (x )＝x 3＋x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝13，即函数在点(2,10)处切线的斜率为13，因此切线的方程为y －10＝13(x －2)，即y ＝13x －16.。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念及其几何意义 课件 (37张)
1.导数的概念 (1)y′|x＝x0 表示函数 y 关于自变量 x 在 x0 处的导数． (2)在数学上，把函数在点 x0 处的变化率称为函数在点 x0 处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数 变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度 等等都需要应用导数．
(3)导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 Δy 与自变 Δy 量的改变量 Δx 之比的极限， 它是一个局部性的概念， 若 lim Δx→0 Δx 存在，则函数 y＝f(x)在点 x0 处就有导数，否则就没有导致，即 Δy lim 存在表示是一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一 Δx→0 Δx 个定数．
[答案] B
[解析] ∵y＝x3， x＋Δx3－x3 Δx3＋3x· Δx2＋3x2·Δx ∴y′＝ lim ＝ lim Δx Δx Δx→0 Δx→0
2 2 2 ＝ lim [(Δ x ) ＋ 3 x ·Δ x ＋ 3 x ] ＝ 3 x . → Δx 0
令 3x2＝3，得 x＝± 1，∴点 P 的＝2 时，Δy＝(2＋Δx)2＋
[方法规律总结]
用导数定义求函数在某一点处的导数的
第三章
变化率与导数
第三章
§2 导数的概念及其几何意义
课前自主预习
1.理解导数的概念和意义，了解导函数的概念，通过函数 图像直观地理解导数的几何意义．
2 ．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处
的切线方程.
导数的概念
Δy 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率是 lim ＝ lim Δx→0 Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 .我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数， 记作 Δx f ′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 fx0＋Δx－fx0 lim Δx _____________________. Δx→0 f ′(x0) ＝ lim →
北师大版高中数学选修1-1课件导数的几何意义
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
练习:如图已知曲线 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
4
3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2
P
x
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y16=0.
小结:
1.导数的几何意义是什么?
2.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 ，得到曲线
什么叫函数的导数?
割线的斜率
如右图,直线AB称为曲 线y=f(x)在点A处的一条 割线.则割线AB的斜率 为:
y=f(x) y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O A x2-x1=△x x1 x2 x
问题
y=f(x) 割 B 线 切 线 o A
y
x
变化过程演示
例题讲解
4 3 2 1 -2 -1
LO 12Fra bibliotek例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q
y = x +1
Dy
2
P
Dx
M
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
1 -1 O
j
x
1
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
3.2导数的概念及其几何意义(北师大版选修1-1)
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
北师大版高中数学选修1-13.2.2导数的几何意义.docx
高中数学学习材料唐玲出品2.2导数的几何意义课时目标 1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．2.2 导数的几何意义知识梳理1．斜率2．切线的斜率作业设计1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx=0lim x ∆→2(x ＋Δx )3－2x 3Δx =0lim x ∆→2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx =0lim x ∆→[2(Δx)2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.] 3．C [f′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的斜率．]4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a)＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．]6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f(3)－f(2)>f ′(3)．] 7．－1 [由偶函数的图像和性质可知应为－1.]8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx＝2.∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x. ∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a<0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x)＝0lim x ∆→a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx =0lim x ∆→(a·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b. 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。
2017-2018学年高中数学北师大选修1-1讲义：第三章 2
§2导数的概念及其几何意义[对应学生用书P36]在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v －，通过平均速度v －来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．问题1：怎么求运动员在t 0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在(t 0，t 0＋Δt )间平均速度v －，当Δt 趋于0时，平均速度就趋于运动员在t 0时刻的瞬时速度．问题2：当Δx 趋于0时，函数f (x )在(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率即为函数f (x )在x 0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？提示：当Δx 趋于0时，x 0＋Δx 就无限接近于点x 0，这样(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率就可以看作点x 0处的瞬时变化率．问题3：函数f (x )在x 0点的瞬时变化率叫什么？ 提示：函数f (x )在x 0点的导数．导数的定义函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .在函数y ＝f (x )的图像上任取两点A (x 1，f (x 1))，B (x 1＋Δx ，f (x 1＋Δx ))．问题1：f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 是函数f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数y ＝f (x )图像上A ，B 两点连线的斜率．问题2：Δx 趋于0时，函数y ＝f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率即为函数y ＝f (x )在x 1点的瞬时变化率，能否看成函数y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))处的切线斜率？提示：能．问题3：函数y ＝f (x )在x 0处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数y ＝f (x )图像上点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数y ＝f (x )在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数． 2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．[对应学生用书P37][例1] 建造一栋面积为x 平方米的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义． [思路点拨]导数的定义―→函数y ＝f (x )在x ＝100处的瞬时变化率―→解释f ′(100)的意义[精解详析] 当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋110(100＋Δx ＋10)当x 趋于100时，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f ′(100)＝0.105， f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．[一点通]利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； 第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →Δy Δx.1.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，设函数y ＝f (x )从－1到1的平均变化率为v 1，从1到2的平均变化率为v 2，则v 1与v 2的大小 关系为( )A ．v 1＞v 2B ．v 1＝v 2C ．v 1＜v 2D ．不能确定解析：记v 1＝Δy 11＝tan α1，v 2＝Δy 22＝tan α2，易知α1＜α2，所以v 1＜v 2.答案：C2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则f ′(1)＝________.解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－[12＋1]＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 答案：23．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，求物体在3 s 末的瞬时速度．解：物体在3 s 末的瞬时速度，即求物体在t ＝3时的导数． ∵Δs Δt ＝f (3＋Δt )－f (3)Δt＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝(Δt )2＋5Δt Δt ＝Δt ＋5，∴函数在t ＝3处的瞬时速度为s ′(3)＝lim Δx →ΔsΔt ＝lim Δx →0(Δt ＋5)＝5， 即物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s.[例2] 求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．[思路点拨] 函数f (x )＝2x 在x ＝－2时的导数即为点(－2，－1)处切线的斜率，故可先求f ′(－2)，再求曲线的切线方程．[精解详析] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数． 而f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[一点通]利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2－x ＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.π6 D.π2 解析：f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 [(1＋Δx )2－(1＋Δx )＋1]－(12－1＋1)Δx＝lim Δx →0Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(1＋Δx )＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1， ∴α＝π4.答案：A5．求曲线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程．解：f ′(2)＝lim Δx →0 14(2＋Δx )2－14×4＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为：y －1＝1·(x －2)，即x －y －1＝0.[例3] 直线l ：y ＝x 求a 的值及切点的坐标．[思路点拨] 由导数的几何意义，切点处的切线为l ：y ＝x ＋a ，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a .[精解详析] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意知，3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. [一点通]求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标．6．抛物线y ＝x 2上某点处的切线平行于直线y ＝4x ＋1，则切点坐标为________． 解析：设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0，∴2x 0＝4，∴x 0＝2，切点为(2,4)． 答案：(2,4)7．若曲线y ＝x 2－x ＋3的一条切线与直线y ＝x ＋1垂直，求切点坐标． 解：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)即为切线的斜率．∴f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－(x 0＋Δx )＋3－(x 20－x 0＋3)Δx＝lim Δx →0 (2x 0－1)Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →[(2x 0－1)＋Δx ]＝2x 0－1. 即切线斜率k ＝2x 0－1，又切线与直线y ＝x ＋1垂直， ∴2x 0－1＝－1，∴x 0＝0，y 0＝3. 故切点为(0,3)．8．求过点(0，－1)且与y ＝x 2相切的直线方程． 解：(0，－1)不在曲线y ＝x 2上，故(0，－1)不是切点．设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0，故切线的斜率k ＝2x 0. 又切线过点(0，－1)∴k ＝x 20＋1x 0，则2x 0＝x 20＋1x 0，解得x 0＝±1，当x 0＝1时，k ＝2，切线方程为y ＝2x －1， 即2x －y －1＝0.当x 0＝－1时，k ＝－2，切线方程为y ＝－2x －1， 即2x ＋y ＋1＝0.函数y ＝f (x )在x 0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．[对应课时跟踪训练(十二)]1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim Δx →f (1＋x )－f (1)x等于( ) A ．2 B ．1C.12D.14解析：lim Δx →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：可得f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →[a (1＋Δx )＋b ]－(a ＋b )Δx ＝lim Δx →0 a ΔxΔx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0， 所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4. 答案：C3.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2<α<β<π.∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )． 答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx ，∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2. ∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4. 答案：C5．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________. 解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12.答案：－126．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度， ∴s ′(0)＝lim Δt →s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3.答案：37．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →(Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程． 解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则 k ＝f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →03Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.。
高中数学北师大选修1-1课件：第3章 §2 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义
x x0
x0
1 x
yx1 x
【拓展提升】 1.利用定义求导数的三个步骤 (1)求自变量的改变量Δx及函数值的改变量Δy. (2)求平均变化率 (3)使Δx→0，求导数
y .
x
f
x0
lim
x0
f
x
0
x
x
f
x
0
.
2.利用定义求导数需要注意的问题 求解时不能给出自变量的改变量Δx的具体值，否则求出的 是平均变化率，而不是瞬时变化率，即不是导数值，求解的 关键是第二步对 的变形，使分子、分母能约去一个Δx.
在点A处_____，称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线.
3.几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点 x
(x0,f(x0))处的切线的_____.
相切
直线l
斜率
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在x0处可导，则必存在切线；若函数f(x)在x0 处不可导，则一定不存在切线.（ ） (2)可以利用导数求过圆上某点的切线方程.（ ） (3)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.
1.设函数y=f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0) =aΔx+b(Δx)2(a,b为常数)，则( )
A.f′(x)=a
B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a
D.f′(x0)=b
2.求函数y=x- 在x=1处的导数.
1 x
【解题探究】 1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是在哪一点的改变量？ 2.题2中函数值的改变量是什么？ 探究提示： 1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是函数f(x)在点(x0,f(x0)) 处的函数值的改变量. 2.题2中函数值的改变量为
北师大版数学选修1-1：第三章§2 导数的概念及其几何意义
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
Байду номын сангаас
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练1利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则() A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于() A ．－4B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 梳理lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理(1)点P 处 (2)li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1解∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2解(1)k ＝li m Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →04Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3解lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4解因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究解由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4解设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练 1．C2.C3.D4.2 5．解因为lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
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.
答案:-m
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2.导数的几何意义
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
典型例题 1
求函数
y=f(x)=
1在
������
x=1
处的导数.
思路分析:先计算函数值的改变量,再代入公式计算,注意 Δy 需要化简
整理.
6
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探究一
探究二
探究三
解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+1Δ������-1
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1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值
y
关于
x
的平均变化率为Δ������
������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
当 x1 趋于 x0,即 Δx 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么
2017届高一数学北师大版选修1-1课时作业：3.4.2 导数的乘法与除法法则 Word版含解析
选修1-1 第三章 §4 课时作业26一、选择题1. 函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A. －sin x ＋x sin x(1－x )2B. x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x解析：y ′＝(cos x1－x )′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.答案：C2. 已知f (1x )＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A. 11＋xB. －11＋xC. 1(1＋x )2D. －1(1＋x )2解析：令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t ＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝(11＋x )′＝－1(1＋x )2.答案：D3. 函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( ) A. ab B. －a (a －b ) C. 0D. a －b解析：y ′＝[(x －a )(x －b )]′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b 当x ＝a 时，y ′＝a －b . 答案：D4．[2014·湖南模拟]曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A. －12B. 12C. －22D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x，把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B5. 若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________． 解析：s ′＝(t sin t )′＝sin t ＋t cos t ， ∴s ′(2)＝sin2＋2cos2. 答案：sin2＋2cos26. 已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝__________. 解析：f (x )＝(x 2－4)(x －a ) ＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4，又f ′(－1)＝0， 即3×(－1)2－2a ×(－1)－4＝0， ∴a ＝12.答案：127. 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2.令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1， ∴y ′＝－t ＋4t 2＝4t 2－4t .再令1t＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1, m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0.∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.答案：[3π4，π)三、解答题8. 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ＋2cos x ； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝lg x x.解：(1)y ′＝(x 2sin x )′＋(2cos x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＋2(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)法一：y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.法二：y ＝e x ＋1e x －1＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1，y ′＝－2e x(e x －1)2.(3)y ′＝(lg xx )′＝(lg x )′x －(lg x )·(x )′x 2＝1x ln10·x －lg x x 2＝1－ln10·lg x x 2·ln10. 9. 已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式．解：由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2，由切点为M 点得f ′(－1)＝－12.∵f ′(x )＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，a (1＋b )－2(a ＋6)(1＋b )2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －4，a (1＋b )－2(a ＋6)(1＋b )2＝－12， 解得a ＝2，b ＝3或a ＝－6，b ＝－1(由b ＋1≠0，故b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
2017届高一数学北师大版选修1-1课时作业：3.2.1 导数的概念 Word版含解析
选修1-1 第三章 §2 课时作业22一、选择题1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 大于0或小于0解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C.答案：C2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析：lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x0－Δx )Δx＝－lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．答案：A3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝aΔx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则() A. f ′(x 0)＝－a B. f ′(x 0)＝－bC. f ′(x 0)＝aD. f ′(x 0)＝b解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝aΔx ＋b (Δx )2，∴f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋bΔx .∴lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 (a ＋bΔx )．∴f ′(x 0)＝a .故选C.答案：C4．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 解析：∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12aΔt ＋at 0， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝at 0. 答案：A二、填空题5．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．解析：由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 答案：16．已知f (x )＝2x ，则lim x →a f (x )－f (a )x －a＝________. 解析：令x －a ＝Δx ，则x ＝a ＋Δx ，lim x →a f (x )－f (a )x －a＝lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝lim Δx →0 2a ＋Δx －2a Δx ＝lim Δx →0 －2a (a ＋Δx )＝－2a 2. 答案：－2a 2 7．已知f (x )＝1x ，且f ′(m )＝－116，则f (m )＝________. 解析：∵f (x )＝1x， ∴f ′(m )＝lim Δx →0f (m ＋Δx )－f (m )Δx ＝lim Δx →0 1m ＋Δx －1m Δx ＝lim Δx →0 －1m (m ＋Δx )＝－1m 2. 又f ′(m )＝－116，∴－1m 2＝－116.∴m ＝±4.∴f (m )＝1m ＝±14. 答案：±14三、解答题8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥01＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值． 解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1. 由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12. 当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2. 由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1. 9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解：令t 0＝6598，Δt 为增量． 则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9(t 0＋Δt )2＋6.5(t 0＋Δt )＋10＋4.9t 20－6.5t 0－10Δt＝－4.9Δt (2t 0＋Δt )＋6.5Δt Δt＝－4.9(6549＋Δt )＋6.5. ∴lim Δt →0 h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0[－4.9(6549＋Δt )＋6.5]＝0， 即运动员在t 0＝6598s 时的瞬时速度为0 m/s. 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。
推荐-高中数学北师大版选修1-1课件3.2导数的概念及其几何意义
������
=-������12
−
1 2
������.
所以当 x=4 时,y'=-116 − 14=-156,
故曲线在点 P
4,-
7 4
处的切线方程为 y+74=-156(x-4),即
5x+16y+8=0.
探究一
探究二
思维辨析
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
(ΔΔ������������++24)2=-1.
答案:(1)C (2)-1
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2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于( )
A.0 B.2 C.4 D.6
(2)求曲线 y=1������ −
������上一点 P
4,-
7 4
处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得 图像在点A处的切线的斜率;(2)利用导数几何意义求出图像在点P 处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.
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1.导数的概念
北师大版高中数学【选修1-1】 4.2.1实际问题中导数的意义练习课时作业含答案
2015-2016学年高中数学 4.2.1实际问题中导数的意义练习 北师大版选修1-1一、选择题1．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值 B ．函数值y 在x ＝x 0时的瞬时变化率 C ．函数值y 在x ＝x 0时的平均变化率 D ．无意义 [答案] B[解析] 根据导数的几何意义知选B.2．质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( ) A ．t ＝1s 时的速度 B ．t ＝1s 时的加速度 C ．t ＝1s 时的位移 D ．t ＝1s 时的平均速度[答案] B[解析] v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．3．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则t ＝2时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6[答案] A[解析] 速度v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t .所以加速度a (t )＝v ′(t )＝12t －10，当t ＝2时，a (t )＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14.4．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示，那水瓶的形状是( )[答案] B[解析] 在曲线上任取一个横坐标为h 0的点，则注水量V 在h 0到h 0＋Δh 的平均变化率为ΔVΔh ，在h 0处的导数为V ′＝lim Δx →ΔVΔh.由图像可知，随着h 0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh 不变的前提下，平均变化率ΔVΔh ＝ΔS ，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B.5．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．a <－1 C ．a >2 D ．a <－1或a >2[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，函数有极大值和极小值，则f ′(x )＝0有两个不等实根，故Δ＝36a 2－36×(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0.所以a <－1或a >2.6．如图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是( )[答案] D[解析] 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A 表示面积的增速是常数，与实际不符； 选项B 表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符； 选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际． 二、填空题7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.[答案] 32[解析] s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，设6t ＋1＝10， 则t ＝32.8．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.则熄火后________秒后火箭速度为零(g 取10m/s 2)． [答案] 10[解析] 由已知，得火箭的运动方程为h (t )＝100t －12gt 2，∴h ′(t )＝100－gt . 令h ′(t )＝0，即100－gt ＝0，∴t ＝100g ＝10(s)． 即火箭熄火后10s 速度变为零． 三、解答题9．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．[答案] f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5[解析] 在第2h 和6h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． ∵f ′(x )＝2x －7.∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.在第2h 与第6h ，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2h 附近，原油温度大约以3℃/h 的速度下降；在第6h 附近，原油温度大约为5℃/h 的速度上升．10．修建面积为x m 2的草坪需要成本y 元，且y 是x 的函数：y ＝f (x )＝10x 2＋x .(1)求当x 从50变到60时，成本y 关于修建面积x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(50)，并解释它的实际意义．[答案] (1)平均变化率为1101元/m 2 (2)f ′(50)＝1001元/m 2 [解析] (1)当x 从50变到60时，成本关于草坪面积x 的平均变化率为f60－f 5060－50＝36000＋60－25000＋5010 ＝1101(元/m 2)．它表示在草坪面积从50m 2增加到60m 2的过程中，草坪面积每增加1m 2，成本平均增加1101元． (2)f ′(x )＝20x ＋1，∴f ′(50)＝1001(元/m 2)．f ′(50)表示当草坪面积为50m 2时，每增加1m 2，成本就要增加1001元.一、解答题1．自由落体运动的方程为s ＝12gt 2.(1)求t 从3s 变到3.1s 时，s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(3)．[答案] (1)3.05g m/s (2)3g m/s [解析] (1)Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g ， Δt ＝0.1，∴ΔsΔt＝3.05g (m/s)．它表示从t ＝3s 到t ＝3.1s 这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g (m/s)． (2)s ′＝gt ，∴s ′(3)＝3g (m/s)，它表示自由落体运动的物体在t ＝3s 时的瞬时速度为3g (m/s)． 2．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g 氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t .(1)氡气的散发速度是多少？(2)A ′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？ [解析] (1)A ′(t )＝500×0.834t ×ln0.834.(2)A ′(7)＝500×0.8347×ln0.834≈－25.5，它表示7天后氡气散发的瞬时速度．3．一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥容器，若以n cm 3/s 的速度向容器里注水，求注水t s 时水面上升的速率．[答案] 13·33nh 2πr 2·13t2cm/s [解析] 设注水t s 时，水面半径为x cm ，水面高度为y cm ，则有⎩⎨⎧y h ＝x rt ·n ＝π3·x 2·y，从而得到y 关于t 的函数关系式为：y ＝33nh 2πr 2·3t ，从而y ′＝13·33nh 2πr 2·13t 2， 故注水t 秒时水面上升的速率为： 13·33nh 2πr 2·13t2(cm/s)． 4．一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为Q (t )＝3t 2－ln t . (1)求当t 从1变到2时，电荷量Q 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求Q ′(2)，并解释它的实际意义．[答案] (1)从t ＝1s 到t ＝2s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A (2)Q ′(2)＝11.5 在t ＝2s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C ，也就是这一时刻电路的电流为11.5A[解析] (1)当t 从1变到2时，电荷量从Q (1)变到Q (2)，此时电荷量关于时间t 的平均变化率为Q 2－Q 12－1＝3×22－ln2－3×12－ln11≈8.31，它表示从t ＝1s 到t ＝2s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A.(2)Q ′(t )＝6t －1t ，Q ′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t ＝2s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C ，也就是这一时刻电路的电流为11.5A.5．将1kg 铁从0℃加热到t ℃需要的热量Q (单位：J)：Q (t )＝0.000297t 2＋0.4409t . (1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？ (2)求Q ′(100)，并解释它的实际意义．[答案] (1)0.4498 表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量0.449 8J (2)Q ′(100)＝0.5003 表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J[解析] (1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为Q 20－Q 1020－10＝0.4498，它表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量0.449 8J.(2)Q ′(t )＝0.000594t ＋0.4409，则Q ′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J.。
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选修1-1 第三章 §2 课时作业23
一、选择题
1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )＝( )A. 0 B. －3x C. 3
D. －3
解析：f ′(x )＝ lim
Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝
lim
Δx →0－3(x ＋Δx )－1＋3x ＋1
Δx
＝ (－3)＝－3.lim
Δx →0答案：D
2．已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x
A )>f ′(x
B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
解析：由图像易知，点A 、B 处的切线斜率k A 、k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．
答案：B
3．已知曲线y ＝－x 2－2上一点P (1，－)，则过点P 的切线的倾斜角为( )1
25
2A ．30°B ．45°C ．135°
D ．165°
解析：∵点P (1，－)在曲线y ＝f (x )＝－x 2－2上，则过点P 的切线斜率为f ′(1)5
212＝k ＝－1.
∴点P 的切线的倾斜角为135°.答案：C
4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子
中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图像可能是( )
解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 符合．
答案：B 二、填空题
5．曲线f (x )＝x 2在x ＝0处的切线方程为__________．解析：f ′(0)＝ ＝Δx ＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为
lim
Δx →0(0＋Δx )2－0
Δx
lim
Δx →0y ＝0.
答案：y ＝0
6．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，P 点的横坐标是4，则f (4)＋f ′(4)＝____________________________________________________________.
解析：由题意，f ′(4)＝－2.f (4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1.答案：－1
7．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为，则a ＝__________.
1
6解析：因为f ′(a )＝
＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为
lim
Δx →0(a ＋Δx )3－a 3
Δx
y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为(a,0)，由题设知三角形面积为2
3|a －a |·|a 3|＝，解得a ＝±1.
1
22
31
6答案：±1三、解答题
8．利用定义求函数f (x )＝x 3＋x －2的导数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(－1)，f ′(1)．解：由导数的定义，得f ′(x )＝ ＝
lim
Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)
Δx [(Δx )2＋3x 2＋3x ·Δx ＋1]＝3x 2＋1，lim
Δx →0∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(－1)＝4，f ′(1)＝4.
9．已知曲线y ＝上点P (2，－1)．1
t －x 求：(1)曲线在点P 处的切线的斜率；(2)曲线在点P 处的切线方程．
解：将P (2，－1)代入y ＝，得t ＝1，
1
t －x ∴y ＝.
1
1－x ∴y ′＝
lim
Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝
lim
Δx →01
1－(x ＋Δx )
－
11－x
Δx ＝ lim
Δx →0Δx
[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx ＝ ＝.lim
Δx →01(1－x －Δx )(1－x )1
(1－x )2(1)曲线在点P 处的切线斜率为
y ′|x ＝2＝＝1；1
(1－2)2(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.。