数学：《等差数列》课件(苏教版必修5)

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高中数学必修五苏教版课件：2.2.2 等差数列的通项公式

关系是_______
3.已知数列an是等差数列，bn
1 an 2
, b1
b2
b3
21 8 , b1b2b3
1 8
,
求an
课堂小结
1.等差数列的几个重要性质.
(1) an am (m n)d , n N
d an am nm
(2)等差数列 an 满足：当 m n p q (m, n, p, q N )
4．等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d , n N
建构教学已知等差数列an中， am是, d常数，试求出的an值.
am an
a1 (m 1)d a1 (n 1)d
an
am
(n
m)d
an am (n m)d
公式推ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ： an am (m n)d , n N
是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
若将数列 an 中项数成等差数列的项按
原来的顺序组成新的数列是等差数列吗？如果是，它的公差是多少？
巩固练习
1.若数列an满足：3an1 3an 1，则an的通项公式为____________
2.在等差数列an中an
2n2 n pn q
(其中p, q是非零常数)，则p, q满足的
数学应用
例2 梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级.计算中间各级的宽.
数学应用
例3 已知等差数列 an的首项为 a1 ，公差为 d
（1）将数列an中的每一项都乘以 a ，所得的新数列仍是等差
数列吗？如果是，公差是多少？
（2）将数列an中所有的奇数项按原来的顺序组成新的数列 cn
时， am an ap aq ．

苏教版高中数学必修五课件2.2.1-2《等差数列(2)》.pptx

#43;a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
2．在等差数列{an }中，a2 a8 10，
log2 a3 log2 a7 4，求an.
拓展提高：
已知
f
(x)
3x x3
，数列 an
满足 1
an
f
( 1 )(n 2) an 1
，且
a1
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复习回顾
①等差数列定义：即 an an1 d (n≥2)
②等差数列通项公式：an a1 (n 1)d (n≥1)
推导出公式： an am (n m)d
d an am
nm
还有其他性质吗？
探究
1，3，5，7，9，11，13，15，……
取出数列中的奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？
2an ank ank (n k 0)
探究
1，3，5，7，9，11，13，15，……
a1 a5 a2 a4 ? a2 a5 a3 a4 ? 猜想若m n p q,则am an ap aq
在等差数列an中，若m n p q,
则am an ap aq 即下标和相等，对应项之和相等
例题分析例1 .在等差数列{an}中: (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 (2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
例题分析
例2.三个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.
例 3：已知数列{bn }和{an }是正数项等差数列，
满足bn aan (n N * )，又 b2 b6 38，b3 15，求a2007 .

必修五等差数列课件

等差数列在几何中也有广泛的应用。例如，在计算一些几何图形的面积或体积时，常常需要使用等差数列的求和公式。
等差数列的图像也可以与一些几何图形相结合，例如三角形、矩形等。通过这些结合，可以更深入地理解等差数列的性质和特点。
谢谢
THANKS
在物理中的应用
物理学中的周期性现象
等差数列可以用于描述物理中的周期性现象，例如振动、波动和周期运动等。
物理学中的序列问题
等差数列可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究原子能级、光谱线和天体运动等问题时，常常需要使用等差数列的概念和性质。
在经济中的应用
金融领域
等差数列在金融领域中有着广泛的应用，例如在计算复利、评估投资风险和制定财务计划等方面，常常需要使用等差数列的概念和性质。
综合习题3
题目内容涉及数学建模和解决实际问题的能力，要求建立数学模
型并解决实际问题。
05 等差数列与其他数学知识的联系
CHAPTER
与等比数列的联系
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定的联系。在某些情况下，等差数列可以通过一定的变换转化为等比数列，反之亦然。
等差数列和等比数列的通项公式有一定的相似性，可以通过对方的相关公式进行推导。
等差数列中，任意一项与它的前一项或后一项的差等于一个常数，这个常数被称为公差。在数学符号表示中，如果一个数列是等差数列，则可以表示为{ a_n }，其中a_n表示第n项，a_1表示第一项，d表示公差。
等差数列的性质
总结词
等差数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用等差数列。
详细描述
等差数列的性质包括对称性、等差中项、等差级数和等差数列的项数性质。对称性是指等差数列是关于中项对称的；等差中项是指任意两项的算术平均值等于它们中间项的值；等差级数是指等差数列各项的和等于首项和末项的和乘以项数；等差数列的项数性质是指任意两项之间的距离等于公差与项数的乘积。

2014届高二数学同步配套课件第2章《等差数列》(苏教版必修5)

练一练·当堂检测、目标达成落实处
1 3．等差数列{an}中，S10＝4S5，则ad1＝____2____.
解析由题意得：10a1＋12×10×9d＝4(5a1＋12×5×4d)，∴10a1＋45d ＝20a1＋40d， ∴10a1＝5d，∴ad1＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
4．已知等差数列{an}的公差 d 不等于 0，Sn 是其前 n 项和，给出下列命题： ①给定 n(n≥2，且 n∈N*)，对于一切 k∈N*(k<n)，都有 an－k＋ an＋k＝2an 成立； ②存在 k∈N*，使得 ak－ak＋1 与 a2k＋1－a2k－3 同号； ③若 d>0，且 S3＝S8，则 S5 与 S6 都是数列{Sn}中的最小项； ④点1，S11，2，S22，3，S33，…，n，Snn(n∈N*)，…，在同一条直线上．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
(2)写出 aij 的计算公式．
研一研·题型解法、解题更高效
解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为 4，公差为 3；第二行首项为 7，公差为 5.归纳总结出：第一列(每行的首项) 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列，即 3i＋1，各行的公差是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 2i＋1.所以 a45 在第 4 行，首项应为 13，公差为 9，进而得出 a45＝49. (2)该“等差数阵”的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： a2j＝7＋5(j－1)； ……
解析该数阵的第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，…，第 n 行有 n 个数，则第 n－1 (n≥3)行的最后一个数为n－112＋n－1 ＝n22－n2，则第 n 行从左至右的第 3 个数为n22－n2＋3.

苏教版高中数学必修五等差数列张PPT课件

an=-401。
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
练习二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得：（2）由题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
a1=2,d=9-2=16-9=7 ∴这个数列的通项公式是：
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7
an=a1+(n-1)d=4n-1
=7n-5(n≥1)
∴a4=4×4-1=15,
令100=7n-5,得 n=15
d=am-an /(m-n)
可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
四个实例我们经常从这样第数二数项，起从，0开后始一，项每与隔前5数一一项次的，可差以是得5到。数列：
0，5，，，，…
①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥从运第会二上项，起女子，举后重一被项正与式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别前，一其项中的较差轻的是45个。级别体重
aa =、a +a(n、-1n)d、d知 •所 aaaaaa…a234n234----===以aaaaa设123naaa===-21有=ddd-一123,,,ad+++：1个ddd==,d等=（,a差(3aa-数1a1++2列2=ddd){）,a+an4}d+-(+∴即的aad…2a-=31=an+首=-1na()aaa+1d=项n通以的1(-1,(a+a+n3n…-是--3过用系a11)122)d=)da+(d观数an(1a-1,n14-与)察有公ad3) 差d：什是表么a2d示，特,则出点a有来3？：，；a4a都1与可d an=a1+(n-1)d 三求一当n=1时，上式也成立。

苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件

aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏目
链
故选 B.
接
方法二设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏目链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说，据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目链接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．

高中数学必修5《等差数列》PPT课件

做等差数列.
代数式： an-an-1=d (n=2,3,4 ……）或者为： an+1 -an=d （n=1,2,3 ……）
问题三
你能用递推公式证明下面两个数列是等差数列吗？
（1）数列{an}的通项公式是ann=22n+1
（2）数列{an}的通项公式是an=
等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项a1，公差d,推导等差数列的通项公式an.
(2) 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74…
d=0
(3) 0，0，0，0，0，0，…;
不是
(4) 1，2，3，2，3，4，…;
不是
(5) 1，0，1，0，1，…
等差数列的定义：
{an} n=2,3,4 …… an
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它
an-1
d
的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫
由等差数列的定义：
迭代法
aaaa2345====aaaa12+43 +++ddd1===daaa111+++
2d 3d 4d
……
an=a1+(n-1)d
n=1时亦成立
由等差数列的定义：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
累加法
a4 - a3 =d a5 - a4 =d ……
an - an-1=d
六
1 国庆节
8 寒露 15 十五 22 廿二 29 廿九
生活中的数列
从27界奥运会到32奥运会举行的时间为
2000,2004,2008,2012,2016，2020
生活中的数列
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

高中数学：等差数列( 第二课时)课件苏教版必修5

答 : 所求通项公式为an 1892 4n(n N*),2008年北京奥运会是第29届奥运会,2050年不举行奥运会.
例2.在等差数列an中,已知a3 10, a9 28,求a12.
解:由题意得:
aa11
2d 8d
10 28
解得
:
ad1
4 3
所以, a12 4 (12 1) 3 37 说明: 常转化为求基本量 a1和d
2.2等差数列(2)
授课人:罗松青
观察等差数列an 4,7,10,13,16,,
如何写出它的第100项a100呢?
我们有a1 4,
a2 7 4 3, a3 10 4 3 2, a4 13 4 3 3,
从而 a100 4 3 99 301
设an 是一个首项为a1, 公差为d的等差数列, 你能
an an1 (n 1)d 所以, an a1 (n 1)d
an an1 d.
当n 1时,上面的等式也成立 .
例1第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2)2008年北京奥运会是第几届?2050年举行奥运会吗?
3.
a20 10 (20 1)(2)
求等差数列2，9，16，…的第n项；
28, an
a1
(n
1)d
an 2 (n 1) 7 7n 5a,n a1 (n 1)d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 求等差数列0，-7/2，-7…的第n+1项；
an1
0
[(n
1)
1]
7 2
7 2
n,
等差数列的作业

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解：a1=1,
a2 1 1 1 2
a3 1 1 2 3 2
a4 1
2 3

5 3
a
a1=4
a2=5=a1+1
a3=6=a2+1 …………
an=an-1+1 （2≤n≤7）
定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几项），
且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式
试求 a p q .
解：设公差为 d , 则因为 a p a q ( p q ) d ,
所以 d
a p aq pq

q p pq
1.
从而 a p q a p qd q q ( 1 ) 0 .
所以 a p q 0 .
Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即
已知数列
a n 中，
a1 3,
1 an

1 a n 1
5 ( n 2 ),
则 a n ____ .
已知数列 a n1
a n 满足，

a 1 1,
2a n an 2
( n N ), 则 a n ____ .
设数列
a n 是等差数列，
a p q , a q p ( p q ),
5. 在等差数列{an}中a1+an
=
a2+ an-1 = a3+ an-2
=…
数列 a n 是等差数列，
m ,n,p,q N ,且 m n p q,
求证： a m a n a p a q .
证明：设
a n 的首项是
a 1 , 公差是 d ,
则 a m a 1 ( m 1) d ,
?
0 3 6 9
… …
200
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？若是，是第几面旗子？
?
2 5 8 11
…
80
1
2
3
4

n ↓ ↓
↓ ↓
2
3 1
↓ ↓
5
↓ ↓
8
↓ ↓
3 3 1
11
3 2 1
3 4 1 3n 1
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
2 3
已知{an}为等差数列且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.
例 .已知 a 1 1 , a n 1 数列的前 5 项
1 a n 1
( n 2 ), 写出这个
a n 3n 2.
令 3 n 1 80 ，得 n 27
答：应该插第27面旗子
思考题：如何求下列和？
①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=
5050 ；
②前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=
n(n+1) .
0 an 2n
=2n 当n=1时，a1=0
( n 1)
(n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
0 ( n 1) an 2n 1 ( n 2)
an＝4n 5
在某个活动中，学校为烘托节日气氛，在200米长的校园主干道一侧，从起点开始，每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列，迎风飘扬。问最后一面旗子会插在终点处吗？一共应插多少面旗子？
等差数列的性质
1.
2.
3.
【说明】 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
，d=
an am nm
m,n,p,q∈N★
注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；
am+an=ap+aq
②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3 成立吗？
1.{an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数）
2.a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项

b
ac 2

2b= a+c
数列{an}是公差为d 的等差数列。数列a1,a3,a5,a7,……是公差为 2d 等差数列数列a2,a4,a6,a8,……是公差为 2d 等差数列数列ma2,ma4,ma6,ma8,……是公差为2md 等差数列数列a1+a2, a2+a3, a3+a4, a3+a4,……是公差为 2d 等差数列
a n a 1 ( n 1) d ,
a p a 1 ( p 1) d ,
a q a 1 ( q 1) d ,
a m a n 2 a1 ( m n 2 ) d ,
a p a q 2 a1 ( p q 2 ) d , m n p q , a m a n a p a q .
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

Sn-1
∴当n≥2时，有an=Sn－Sn-1
( n 1) S1 即 an S n S n 1 ( n 2 )
例.已知｛an｝的前 n项和Sn=n2＋n－2 ,求an.
解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1 =n2＋n－2－(n－1)2－(n－1) ＋2
例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，