高一数学期末模拟题(三)
陕西省黄陵中学新部2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
∴ ，
.
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2、D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径可得
【详解】由题意圆标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为1，
所以 ，解得
故选：D
3、C
【解析】由已知利用任意角的三角函数求得 ，再由二倍角的余弦公式求解即可
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2 2）（a+2 2），
故当0＜a＜2 2时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当2 2≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
【详解】（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，
∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，
在区间 上的最大值为0；
（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，
①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上 增函数，
故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；
②当0＜a＜1时，
【详解】当 时，恒有 ，此时无零点，则 ，
∴要使 上 有2个零点，只需 即可，
故 有2个零点有 ；
当 时，存在 ，此时有1个零点，则 ，
∴要使 上 有1个零点，只需 即可，
故 有2个零点有 ；
综上，要使 有2个零点，m的取值范围是 .
故答案为： .
15、1；
2022-2023学年河北省石家庄二中雄安校区安新中学高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析
A. a b c
B. c b a
C. a c b
D. b c a
11．函数 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间是
A. 2, 1
B. 3, 4
C. 1,0
D. 1,2
12．下列命题中正确的是（）
A.若 ac bc ，则 a b
B.若 a2 b2 ，则 a b
C.若 a b ，则 a b
x
4x x2
1
,
x
，若关于
0
x
方程 f 2 x m 3 f x m 0 恰好有 6 个不相等的实数解，
的 则实数m 的取值范围为__________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．已知函数 g x x2 3a 1 x 2a2 a ， IB；
故和命题 A B 等价的有①③， 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了 Venn 图的应用，属于基础题 4、A
【解析】由于两个向量垂直，故有 2x 1 0, x 1 . 2
故选：A
5、C
所以角 的终边在第二象限.
故选：B
10、D
【解析】根据题意可知，
y
1
x2
,
y
log 1
2
x,
y
(1)x 2
的图象与
y
x
1 的图象的交点的横坐标依次为
a, b,
c
，作图可
求解.
【详解】依题意可得，
y
1
x2
,
y
log 1
2
x,
y
(1)x 2
的图象与
y
x
1 的图象交点的横坐标为
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
高一数学期末模拟试题(三)
2012-2013班级___________ 姓名一、选择题（每小题5分，共101. 已知全集R U =，集合2{≤-=x A 则=⋂)(B C A U （ ） .A }42{<≤-x x .B .C }12{-<≤-x x D 2. 计算：+-12)(cos 12sin 12(cos πππ .A 23- .B 21- C 3．为了得到函数)62sin(π-=x y .A 向右平移6π .B 4．函数245x x y --= .A ]2,(--∞ .B ]2,5[-- 5．若⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈=]1,0[,)31()0,1[,3)(x x x f x x ，则f .A 12- .B 2- 6．已知3tan =α，则α2sin 4sin 2+ .A 301 .B 31 .C 7．函数y=log 2(2cosx-1)的定义域为 A.)3,3(ππ-C.{x|-3π+2k π<x<3π+2k π,k ∈8．已知奇函数)(x f ，当0>x 时x f )(个数为（ ）。
A.2个B.4 个；17.（本小题满分12分）设集合{|A x =求能使A ⊆ A ∩B 成立的a 18．（本小题满分12分）设函数()f x =（1）求 a b ，的值；（2）当[12]x ∈，时，求()f x19．（本小题满分12分）已知函数()f x （1）当6πθ=时，求()f x （2）若()f x 在1[]2x ∈x 的值。
，存在常数0≥M ，都有M x f ≤)(成的一个上界.一、选择题（每小题5分，共101.D 2.D 3.B 4.B 二、填空题（每小题5分，共511.（1，5）12. 1 16. 原式=αααααsin )tan ()cos (cos sin --= t a n 1c o s 1,2t a n 22+==αα ∴原式=10117、解：由A ⊆ A ∩B ，得A ⊆则21352133522a a a a +-⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≥，≤，或2a +解得69a ≤≤或6a <∴使A ⊆ A ∩B 成立的a 18. 解：（1）由已知得222log (log a b a -⎧⎨-⎩22212a b a b -=⎧∴⎨-=⎩，，解得a =（2）∵42a b ==，，∴(f ∵()f x 在]2,1[19. （1）当6πθ=时，)(2=x x f )(x f ∴在]21,23[--∴当21-=x 时，函数)(x f 当21=x 时，函数)(x f 8分 12分5分7分10分12分13分1121--x ax， 1-=a ………6分)∞上单调递增， ……8分 ]1,2[--，14分。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
山东省菏泽市部分重点学校2023届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
【解析】利用辅助角公式可得 ，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.
【详解】 ；
对于A， ，A错误；
对于B，当 时， ，
由正弦函数在 上单调递增可知： 在 上单调递增，B正确；
对于C，当 时， ，则 关于 成轴对称，C错误；
对于D， 最小正周期 ，D错误.
故选：B.
所以①
或② 且 和 有同根，
由①得 ，②中两方程相减得 ，所以 ，故 ，
综上，a的取值范围是 ；
【小问3详解】
（3）设 的不动点为 ， 的不动点为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 是 的不动点，
同理， 也是 的不动点，只能 ，
假设存在 ，则 或 ，
因为 过点 ，所以 ，
否则 矛盾，
且 ，否则 ，
将点 代入直线方程 可得 ，解得
则所求直线方程为 ．故A正确
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线 平行的直线方程可设为
3、B
【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使 有意义，则 ，所以函数 的定义域是 .
故选：B
4、D
1．已知集合 ， ，若 ，则 的值为
A.4B.7
C.9D.10
2．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
3．函数 的定义域是（）
A.（-1，1）B.
C.（0，1）D.
4．条件p：|x|>x，条件q： ，则p是q的（）
高一数学期末复习题三(试题和答案)
高一数学期末复习题(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k ≤0},若M ∩N ≠∅,则k 的取值范围是（ ） A.k ≤2 B.k ≥-1 C.k>-1 D.-1≤k ≤2 解析：由图形可知k ≥-1.答案：B2．设f 是从集合A 到集合B 的映射，下列四个说法，其中正确的是（ ）①集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应 ②集合B 中的每一个元素在集合A 中也都有元素与之对应 ③集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素也不同 ④集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素也不同A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④思路解析：根据映射的定义，从集合A 到集合B 的映射f ，只要求集合A 的每一个元素在集合B 中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，也没有要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素.解：①符合映射的定义，∴正确；映射的定义不要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素，∴②不正确；集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，∴③不正确；④正确.∵如果集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，①和④正确，因此，选D. 答案：D3．函数y=(21)x -(21)-x是（ ） A.奇函数,在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数,在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,在(0,+∞)上是增函数D.偶函数,在(0,+∞)上是增函数解析：利用奇偶性定义可知为奇函数，再取特殊点验证知在（0，+∞）上单调递减. 答案：A4．若函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，则( )A.1052πθθ+=k ，k ∈Z B.552ππθ+=k ，k ∈Z C.552πθθ+=k ，k ∈Z D.55ππθ+=k ，k ∈Z 思路分析:∵函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，∴当x=0时，有5θ=kπ+2π，k ∈Z ，∴θ=105ππ+k ，k ∈Z .故B 正确. 答案:B5．下列各等式中，正确的是（ ）A.44a =|a|B.3622)2(-=-C.a 0=1 D.21105)12()12(-=-思路解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不相等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则.解：44a =|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；∵62)2(-＞0，32-＜0,∴62)2(-≠32-.因此B 不正确；如果 a=0，则a 0没有意义，因此C 也不正确；∵2＞1,∴105)12(-=21105)12()12(-=-.∴D 正确.因此，选D. 答案：D6．已知0＜α＜2π＜β＜π，又sinα=53，cos(α+β)=54-，则sinβ等于( )A.0B.0或2524C.2524D.±2524思路分析:∵0＜α＜2π＜β＜π，∴2π＜α+β＜23π.∵sinα=53.∴cosα=54.由cos(α+β)=-54＜0,得sin(α+β)=±53.∴sinβ=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα053)54(5453=∙--∙±=或2524. 又∵2π＜β＜π，∴sinβ=2524.答案:C7．函数y=122+x x的值域是（ ）A.{x|0<x<1}B.{x|0<x ≤1}C.{x|x>0}D.{x|x ≥0} 思路解析：求值域要在定义域中求，本题中函数的定义域为R ，∴要求值域就要对函数解析式进行变形，由于分子和分母的“次数”相同，因此想到部分分式法.或者根据指数函数y= 2x 的值域为正，即2x ＞0来求解. 解法一：因此y=122+x x=1-121+x. 又∵2x +1＞1,∴0＜121+x ＜1,∴0＜y ＜1. 因此，选A. 解法二：由2x =yy-1＞0， 得0＜y ＜1.因此，选A. 答案：A8．对于函数f(x)=2sin(2x+3π),给出下列结论: ①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线x=12π成轴对称;③图象可由函数y=2sin2x 的图象向左平移3π个单位得到;④图象向左平移12π个单位,即得到函数y=2cos2x 的图象.其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:∵f(x)是非奇非偶函数,∴①错误. ∵f(x)是由y=2sin2x 向左平移6π得到的, ∴③错误. 把x=12π代入f(x)中使函数取到最值, ∴②正确.f(x)=2sin(2x+3π)−−−−→−个单位左移12πf(x)=2sin ［2(x+12π)+3π］=2cos2x, ∴④正确.答案:C9．偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,下列结论中正确的是（ ） A.f(-x 1)<f(-x 2) B.f(-x 1)>f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.f(-x 1)和f(-x 2)的大小关系不能确定 解析：由条件知-x 2＜x 1，∴f(-x 2)＜f(x 1),又f(x)是偶函数， ∴f(-x 1)=f(x 1)，∴f(-x 2)＜f(-x 1). 答案：B10．设函数f(x)=sin3x+|sin3x|,则f(x)为( )A.周期函数,最小正周期为3πB.周期函数,最小正周期为32πC.周期函数,最小正周期为2πD.非周期函数 解析:f(x)=sin3x+|sin3x|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++≤≤.3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x∴B 正确. 答案:B11．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴．洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水．当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ） A. 3人洗浴 B. 4人洗浴 C. 5人洗浴 D. 6人洗浴思路解析：设经过时间t 时水箱中的水量为y,可知y=2t 2-34t+200,当t=434=217时,y 取得最小值,此时放水为172,易求出至多可供四人洗浴.12．已知函数f(x)=asin(x-φ)(a≠0,x ∈R ）在x=4π处取得最小值，则函数y=f(43π-x)是（ ）A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(23π,0)对称C.奇函数且它的图象关于点(23π,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称思路解析：f(x)=asin(x-φ)的周期为2π，函数在x=4π处取得最小值，不妨设f(x)=sin(x-43π)，则函数y=f(43π-x)=sin(43π-x-43π)=sinx ， 所以y=f(43π-x)是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)13．如果函数y=x 2+2x+m+3至多有一个零点，则m 的取值范围是_________________. 解析：Δ=4-4(m+3)≤0，解得m ≥-2. 答案：［-2，+∞） .14．在△ABC 中，若sinB·sinC=2cos 2A，则此三角形为_______.思路分析:∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C).又∵sinB·sinC=cos 22A ，∴21［cos(B-C)-cos(B+C)］=21 (1+cosA),即cos(B-C)-cos(B+C)=1+cosA.又∵cos(B+C)=-cosA ，∴cos(B-C)=1. 又∵-π＜B-C ＜π，∴B-C=0，即B=C. ∴△ABC 是等腰三角形. 答案:等腰三角形 .15．①已知函数y=21log (x 2-2x+a)定义域为R ，则a 的取值范围是_____________，②已知函数y=21log (x 2-2x+a)值域为R ，则a 的取值范围是________________.思路解析：两题乍一看似乎一样，但若仔细分析，其设问角度不同，解题方法也有区别.①对x ∈R ,x 2-2x+a ＞0恒成立，②由于当t ∈(0,+∞)时,21log t ∈R 故要求x 2-2x+a 取遍每一个正实数,换言之,若x 2-2x+a 的取值范围为D,则(0,+∞)∈D.①x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要a-1＞0则x ∈R 时,x 2-2x+a ＞0恒成立.因此，填a ＞1；②x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故x 2-2x+a 的取值范围为［a-1, +∞］，要求(0,+∞) ⊆［a-1, +∞)只要a-1≤0.因此，填a ≤1.答案：a ＞1 a ≤116．函数y=1gsinx+216x -的定义域是________________.思路解析：要使函数有意义，x 应满足下列不等式组⎩⎨⎧≥->.016.0sin 2x x 解得⎩⎨⎧≤≤-∈+<<.44),(22x Z k k x k πππ当k=0时，不等式组的解为0＜x ＜π； 当k=-1时，不等式组的解为-4≤x ＜-π； 当k 取其他整数时，无解.所以定义域为{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}. 答案：{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)17．已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|)1(22+--a x ax <0}. （1）当a=2时，求A ∩B;（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5),∴A ∩B=(4,5).（2）∵B=(2a,a 2+1) 当a<13时,A=(3a+1,2) , 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧≤++≥212132a a a ,此时a=-1；当a=31时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在； 当a>31时，A ＝（2，3a ＋1）,要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧+≤+≥131222a a a ,此时1≤a ≤3.综上,可知使B ⊆A 的实数a 的取值范围为［1，3］∪{－1}.18．（1）.求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的最大值.思路分析：sinx+cosx 与sinxcosx 有相互转化的关系，若将sinx+cosx 看成整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围.解：设sinx+cosx=t ，t ∈［2,2-］，则(sinx+cosx)2=t 2，即1+2sinxcosx=t 2，sinxcosx=212-t .1)1(2121)2(2121222-+=-+=-+=t t t t t y ，当t=2时，y max =212+（2）.已知tanα-4sinβ=3，3tanα+4sinβ=1，且α是第三象限角，β是第四象限角，求α、β.思路分析：由已知利用方程组求出tanα和sinβ，再依据α和β所在的象限，确定其具体值，注意要写出所有的角.解：由⎩⎨⎧=+=-,1sin 4tan 3,3sin 4tan βαβα得⎪⎩⎪⎨⎧-==.21sin ,1tan βα由tanα=1，α是第三象限角，∴α=2kπ+45π，k ∈Z . 由sinβ=21-且β是第四象限角，∴β=2kπ-6π，k ∈Z .19．已知函数2221()(xx a f x a+=-为常数). (1)证明:函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数; (2)若f(x)为奇函数,求a 的值.解:(1)在()-∞,+∞上任取两个值12x x ,且12x x <,12122212222121()()()()xxx x a a f x f x ++-=--- 2121211222222121(21)(21)x x x xx x x x -++++=-=, ∵2>1且12x x <,∴21220x x->.又12(21)(21)0x x++>,∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >. ∴函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数. (2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即0022210a +-=.∴a=1.20．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Aco sωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 解析:由表中数据,知周期T=12.∴ω=1222ππ=T =6π.① 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.② 由t=3,y=1.0,得b=1.0.由①②得A=0.5,b=1.0,∴振幅为21. ∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知,当y ＞1时才可对冲浪者开放.∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2kπ-2π＜6πt ＜2kπ+2π,即12k-3＜t ＜12k+3.③故可令③中k 分别为0,1,2,得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定的时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00. 21．已知函数f(x)=log 11(xa x +-其中a>0且1)a ≠.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;(3)若12[0]x ∈,时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a 的值.解:(1)由条件知110x x +->,解得-1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数f(x)为奇函数.证明:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=log 11x a x -+=-log 11()xa x f x +-=-.因此f(x)是奇函数.(3)f(x)=log 11x a x +-=log 121x a x -+- =log 1211()x a x x ---+=log 21(1)a x ---,记21()1x g x -=--,则21()1x g x -=--在12[0],上单调递增,因此当a>1时,f(x)在12[0],上单调递增, 由12()1f =,得a=3;当0<a<1时,f(x)在12[0],上单调递减, 由f(0)=1得出矛盾a ,∈;综上可知a=3。
高一数学《必修二》期末综合复习题(三)(答案)
高一数学《必修二》期末综合复习题(三)1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D ．45答案 D2．在一组样本数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的25，且样本容量为280，则中间一组的频数为( ) A ．56 B ．80 C ．112 D ．120 答案 B3．(多选)直线m ，n 均不在平面α，β内，下列命题正确的有( )A ．若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；B ．若m ∥β，α∥β，则m ∥α；C ．若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α；D ．若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α. 答案 ABCD4．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 C5．已知三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝2，BC ⊥AD ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．6πB ．6πC ．5πD ．8π 答案 B6．△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝____．答案 17．如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 788．已知：向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝ (5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．答案 (－34，12)∪(12，＋∞)9．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为______． 答案 (2，3)10．如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，M 是线段PC 上动点，若AC ⊥BM ，则PMMC＝______．答案 1311．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B ，2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解： (1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ，∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.12．如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AD ＝EF ＝AF ＝1，AB ＝2. (1)求证：平面AFC ⊥平面CBF ；(2)在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面DAF ？并说明理由．解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ， ∵AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ， ∵CB ∩BF ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面CBF .(2)取CF 中点记作M ，设DF 的中点为N ，连接AN ，MN ，则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， ∴OM ∥平面DAF .即存在一点M 为CF 的中点，使得OM ∥平面DAF .13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2．(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ．所以－cos 2B ＝sin 2C ．①又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝－cos2⎝⎛⎭⎫34π－C ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2．(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010， 由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3．14．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC ，FE ∥CD ，交PD 于点E . (1)证明：CF ⊥平面ADF ；(2)求二面角D －AF －E 的余弦值.(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ， AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . 又CD ⊥AD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD .∴AD ⊥PC . 又AF ⊥PC ，AD ∩AF ＝A ，∴PC ⊥平面ADF ，即CF ⊥平面ADF . (2)设AB ＝1，∵CF ⊥平面ADF ，∴CF ⊥DF . ∴在△CFD 中，DF ＝32， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ， ∴CD ⊥平面ADE .又∵EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ADE .∴EF ⊥AE ，∴在△DEF 中，DE ＝34，EF ＝34， 在△ADE 中，AE ＝194，在△ADF 中，AF ＝72.由V A －DEF ＝13·S △ADE ·EF ＝13·S △ADF ·h E －ADF ，解得h E －ADF ＝38，设△AEF 的边AF 上的高为h ，由S △AEF ＝12·EF ·AE ＝12·AF ·h ，解得h ＝34×13314，设二面角D －AF －E 的平面角为θ.则sin θ＝h E －ADF h ＝38×43×14133＝13319，∴cos θ＝25719.。
福建省部分重点高中2023届数学高一上期末检测模拟试题含解析
20、 (1) ;(2) .
【解析】（1）依题意， 则 ，将点 的坐标代入函数的解析式可得 ，故 ，函数解析式为 .
（2）由题意可得 ，结合三角函数的性质可得函数 的值域为 .
试题解析：
（1）依题意， ，
故 .
将点 的坐标代入函数的解析式可得 ，
5、D
【解析】由于 是“ 上的优越 函数”且函数在 上单调递减，由题意得 ， ，问题转化为 与 在 时有2个不同的交点，结合二次函数的性质可求
【详解】解：因为 是“ 上的优越 函数”且函数在 上单调递减，
若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，
由题意得 ， ，
所以 ， ，
即 与 在 时有2个不同的交点，
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若直线经过两点 ， ，且倾斜角为 ，则 的值为（）
A.2B.1
C. D.
2．已知 且 ，则 （）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最小值 D.有最大值
（3）函数 的最小值为
（4）已知函数 ，在 上单调递增，则
13．如果函数 仅有一个零点，则实数 的值为______
14．设函数 ，若关于x 方程 有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.
15．如果函数 满足在集合 上的值域仍是集合 ，则把函数 称为H函数．例如： 就是H函数．下列函数：① ；② ；③ ；④ 中，______是H函数（只需填写编号）（注：“ ”表示不超过x的最大整数）
第三步：求出所求函数的值域(或最值)
2023-2024学年江苏省南京高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京高一上册期末数学试题一、单选题1．已知{}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣，则()U A B ⋃=ð（）A ．(](),12,-∞-+∞B ．()[),12,-∞-⋃+∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【正确答案】C【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵{}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣∴),3(A B ⋃=-∞，则,()[)3U A B ⋃=+∞ð，故选：C.2．已知22log 3,log 5a b ==，则18log 15=（）A ．21a ba +-B ．12a b a++C ．1a b -+-D ．1a b +-【正确答案】B【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可．【详解】2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba++===++，故选：B ．3．设a b c d ,,,为实数，且c d <，则“a b <”是“”a c b d -<-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b <不能推出a c b d -<-，如2a =，3b =，0c =，1d =，满足a b <，但是a c b d -=-，故充分性不成立；当a c b d -<-时，又c d <，可得a c c b d d -+<-+，即a b <，故必要性成立；所以“a b <”是“”a c b d -<-的必要不充分条件.故选：B.4．函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,e D ．()e,3【正确答案】D【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.5．已知π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πsin()2cos ()6π3x x -+-的值是（）A ．59-B ．19C ．59D ．13+【正确答案】C 【分析】令π6t x =+，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.【详解】令π6t x =+，则π6=-x t ，1sin 3t =，则2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t -+-=-+-=+=+=.故选：C.6．将函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x 的图象向右平移π3个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 所具有的性质是（）A ．图象关于直线3x π=对称B ．图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．()g x 的一个单调递增区间为5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．曲线()g x 与直线y =π6【正确答案】D【分析】先利用题意得到()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可【详解】函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度得到ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x x ，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，对于A ，因为ππsin 2sinπ01,33⎛⎫⨯+==≠± ⎪⎝⎭所以直线3x π=不是()g x 的对称轴，故A 错误；对于B ，ππ2πsin 2sin 0,633⎛⎫⨯+=≠ ⎪⎝⎭所以图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故B 错误；对于C ，当5ππ,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则π13π5π2,366⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，因为正弦函数sin y x =在13π5π,66⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，故5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()g x 的一个单调递增区间，故C 错误；对于D ，当()g x sin 23⎛⎫+=⎪⎝⎭x π则ππ22π33+=+x k 或2π2π,Z 3+∈k k ，则πx k =或Z π6,+∈k k π，则相邻交点距离最小值为π6，故D 正确故选：D.7．函数()22cos 1x xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】利用函数的奇偶性及()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数值正负逐个选项判断即可．【详解】因为()22cos 1x xf x x =+，定义域为R ，所以()222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x ---==-=--++，所以()f x 为奇函数，又因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，所以由图象知D 选项正确，故选D ．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如.][3.64,3.63⎡⎤-=-=⎣⎦已知函数()1e 21e xxf x =-+，则函数()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦的值域是（）A ．{}1,0-B ．{}0C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【正确答案】A【分析】依题意可得()1121e xf x =-++，再根据指数函数的性质讨论0x >，0x =和0x <时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为()1e 11e 11111121e 21e 21e 21e x x x x x xf x +-⎛⎫=-=-=--=-+ ⎪++++⎝⎭，定义域为R ，因为1e x y =+在定义域上单调递增，则11e xy =+在定义域上单调递减，所以()1121e xf x =-++在定义域R 上单调递减，0x <时，()()()111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈∈∈= ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭，()00f ⎡⎤=⎣⎦0x >时，()()()111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x ∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈+∈-=- ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭；则0x >时，()()101,f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=-+=-⎣⎦⎣⎦0x <时，()()()011f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎣⎦⎣⎦，0x =时，()()000f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：A.关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究()f x 的性质来研究()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦的值域，突破难点.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若,a b n >为正整数，则n n a b >B ．若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C ．22222a ba b++≥D ．若0απ<<，则0sin 1α<<【正确答案】BC【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则22222a b a b ++≥⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．10．设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【正确答案】BCD【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误.【详解】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30mm ->，10m>，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.11．设0,0a b >>，已知22,a b M N ab +==）A ．M 有最小值B ．M 没有最大值C ．N 有最大值为2D ．N 有最小值为2【正确答案】ABD【分析】由均值不等式分别求出,M N 的最值，即可得出答案.【详解】,0a b >时()[)10,,2,AB b b a t M t a a b t∞∞=∈+=+=+∈+，正确，0,0a b >>时2a b +≤，则C 2a b ≥+错误，D 正确；故选：ABD.12．设ω为正实数，a 为实数，已知函数()()4sin f x x a ωϕ=++，则下列结论正确的是（）A ．若函数()f x 的最大值为2，则2a =-B ．若对于任意的x ∈R ，都有()()πf x f x +=成立，则2ω=C ．当π3ϕ=时，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当a =-ϕ∈R ，函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上至少有两个零点，则ω的取值范围是[)4,+∞【正确答案】ACD【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以x ωϕ+为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以x ωϕ+为整体，结合正弦函数的性质分析判断.【详解】A 选项，由题意42a +=，则2a =-，A 正确；B 选项，若()()πf x f x +=，则()f x 的周期为π，设()f x 的最小正周期为T ，则()*2π=πkT kk ωN =Î，解得()*2ωk k N =Î，B 错误；C 选项，当π3ϕ=时，∵ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，C 正确；D 选项，由题意可得()sin 2x ωϕ+=，对ϕ∀∈R ，在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少两个零点，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π,2x ωϕϕωϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若对ϕ∀∈R ，在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上至少两个零点，则π2π2ωϕϕ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解得4ω≥，D 正确；故选：ACD.方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三、填空题13．命题“21,20x x ∃≥-<”的否定是__________.【正确答案】21,20x x ∀≥-≥【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，则其否定为21,20x x ∀≥-≥.故答案为.21,20x x ∀≥-≥14．已知2212sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则tan θ=__________.【正确答案】3【分析】将已知式中分子221sin cos θθ=+，再分子分母同时除以2cos θ，解方程即可得出答案.【详解】由题意222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1θθθθθθθθθ++++==--，即tan 12tan 1θθ+=-，则tan 3θ=.故3.15．设函数21,0()3,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足3()()32f x f x +->的x 的取值范围是__________.【正确答案】()1,+∞【分析】结合函数解析式，对x 分三种情况讨论，分别计算可得.【详解】当0x ≤时，()33212141122f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭在0x ≤时无解；当302x <≤时，()3332132222x xf x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在R 单调递增，1x =时132123+⨯-=，则()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦；当32x >时，()330223333332x x f x f x -⎛⎫+-=+>+> ⎪⎝⎭，则()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭在32x >时恒成立；综上，()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.故()1,+∞．16．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x 都有()1()(1)x f x xf x -=-成立，则7(())2f f =__________.【正确答案】0【分析】根据解析式求出102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而得到若()10f x -=，则()0f x =，从而求出7(())02f f =.【详解】由()1()(1)x f x xf x -=-，令0x =可得()00f =，今12x =可得11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()f x 是偶函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,1x ≠时，若()10f x -=，则()0f x =，则135702222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则7(())(0)02f f f ==.故0.四、解答题17．设m ∈R ，已知集合(){}2321,2201x A xB x x m x m x +⎧⎫=<=+--<⎨⎬-⎩⎭∣∣.(1)当1m =时，求A B ⋃；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求m 的取值范围.【正确答案】(1)3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)[)3,+∞【分析】（1）求出集合,A B ，由并集的定义即可得出答案.（2）由“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件可得A B ⊆，则322m -≤-，解不等式即可得出答案.【详解】（1）由3211x x +<-可得2301x x +<-，即()()1230x x -+<，则3,12A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()(){210},1B x x m x m =+-<=∣时，13,1,,122B A B ⎛⎫⎛⎫=-⋃=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件可得A B ⊆，则322m -≤-，则3m ≥，实数m 的取值范围是[)3,+∞.18．设tan 2α=，计算下列各式的值：(1)2sin cos 3sin cos αααα+-；(2)22sin sin cos ααα-.【正确答案】(1)1(2)5【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以cos α，代入求解即可；（2）将分子2看成()222sin cos αα+，所求表达式分子分母同时除以2cos α，代入求解即可；【详解】（1）原式2tan 122113tan 1321αα+⨯+===-⨯-；（2）原式()22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22αααααααα++⨯+====---.19．设函数()f x 和()g x 的定义域为()1,1-，若()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()2lg(1)f x g x x -=-.(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)判断()f x 在()0,1上的单调性，并给出证明.【正确答案】(1)()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()()()lg 1lg 1g x x x =+--(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于()f x 和()g x 得方程组，进而求出它们的解析式；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）由()()2lg(1)f x g x x -=-，可得()()2lg(1)f x g x x ---=+，由()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，可得()()2lg(1)f x g x x +=+，则()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()()()lg 1lg 1g x x x =+--；（2）由（1）得()2lg(1)f x x =-()f x 在()0,1单调递减，证明如下：取任意1212,(0,1),x x x x Î<，()()22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x --=---=-由1201x x <<<，可得2212110x x ->->，则2122111x x ->-，则()()2112221lg 01x f x f x x --=>-，则()()12f x f x >，则()f x 在()0,1单调递减.20．如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条长为m l 的栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且OAB θ∠=.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求l 的长度；(2)若游客可以在河岸OA 与栈道AH 上投喂金鱼，在栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路21，求θ的取值范围.【正确答案】(1)42(2)ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）过D 作,DM DN 垂直于,OA OB ，求得2,6tan tan AM BN θθ==，从而得出养殖观赏鱼的面积11233tan 2tan OAB S OA OB θθ=⋅=+ ，利用基本不等式可求得OAB S 最小时θ的值，进而求得l 的长度；（2）由π2AOB OHA ∠=∠=，可得BOH θ∠=，则,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，由题意21BH OA AH ≥+，则tan 2111sin tan θθθ≥+，化切为弦可得12cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可求得结果.【详解】（1）过D 作,DM DN 垂直于,OA OB ，垂足分别为,M N，则2,6DM ON DN OM ====,tan tan tan DM AM BN DN θθθθ====，养殖观赏鱼的面积)11123tan 22tan OAB S OA OB θθθ=⋅==+⎭ ，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan θ=即π6θ=时取等号，则OAB S 最小时，π6θ=，此时l的长度为1sin cos 22DM DN l θθ=+=（2）由π2AOB OHA ∠=∠=，可得BOH θ∠=，则,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，由题意1BH OA AH ≥+，则tan 111sin tan θθθ≥+，而()()22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin θθθθθθθθθθθθθθ-===-++++，则1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0θ>，则cos 2θ≤，则ππ,42θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21．设a 为实数，已知函数()122x x f x =-，()()ln ln 2g x x x a =⋅-+.(1)若函数()f x 和()g x 的定义域为[)1,+∞，记()f x 的最小值为1M ，()g x 的最小值为2M .当21M M ≤时，求a 的取值范围；(2)设x 为正实数，当()0g x >恒成立时，关于x 的方程()()0f g x a +=是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出()f x 和()g x 的最小值12,M M ，然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得()g x 的最小值为1a -，由题意可得1a >，当()0g x >时,()21g x >，()112g x <，可得()()0f g x a +>，即可得出结论.【详解】（1）当1x ≥时，函数2x y =和12x y =-均单调递增，所以函数()122x x f x =-单调递增，故当1x =时，()f x 取最小值32，则132M =；当1x ≥时，ln 0x ≥，()()2ln 11g x x a =-+-，则当ln 10x -=，即e x =时，()g x 取最小值1a -，即21M a =-，由题意得312a -≤，则52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）当0x >时，ln R x ∈，()()2ln 11g x x a =-+-，则当ln 10x -=，即e x =时，()g x 取最小值为1a -，则()0g x >恒成立时，有10a ->，即1a >，当()0g x >时，()21g x >，()112g x <，则()()()()1202g x g x f g x =->，则()()0f g x a +>，故关于x 的方程()()0f g x a +=不存在实数解.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-，1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
2023-2024学年河北省石家庄市高一上学期期末数学模拟试题(含答案)
2023-2024学年河北省石家庄市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x R x =∈<，{}12B x R x =∈-<，则A B = （）A ．()0,3B ．()1,3-C ．()0,4D ．(),3-∞【正确答案】A解不等式确定集合,A B 后，由交集定义计算．【详解】由题意得：{}04A x R x =∈<<，{}13B x R x =∈-<<，即{}03A B x x ⋂=<<，故选：A.本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．2．“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =故必要性不成立因此“1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A3．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0.5,1)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．4．已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A B ．10C ．10-D ．10-【正确答案】C【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】α为锐角，故ππ2π663α<+<，而4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又πππππsin sinsin cos 1264266αααα⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦15==故选：C.5．函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是（）A ．B ．C ．D．【正确答案】C【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．【详解】当0x >时，()x f x a =，因为1a >，所以函数()x f x a =单调递增，当0x <时，()x f x a =-，因为1a >，所以函数()x f x a =-单调递减．故选：C ．6．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()20222023f f +的值为（）A ．2B ．1C ．－1D ．－2【正确答案】D【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．【详解】由()1f x +为偶函数，∴()()11f x f x +=-+，令1x t +=，则12x t -+=-，即()()2f t f t =-，因为()f x 为奇函数，有()()f t f t =--，所以()()2f t f t -=--，令x t =-，得()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，奇函数()f x 中，已知()12f =，()00f =，则()()()()()()()()20222023505425064121012f f f f f f f f +=⨯++⨯-=+-=--=-．故选：D ．7．已知0.450.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，确定12a <，1b >，10.8c >>，得到大小关系.【详解】51log 2log 2a =<，0.70.70.11log 0.1log 0.71log 0.7b ==>=，00.40.50.518.07.06040.7.70.c >=>>==，故b c a >>.故选：A8．已知函数())ln 1f x x =+，正数,a b 满足()()222f a f b +-=，则222b a a ab b ++的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．5【正确答案】B【分析】先判断函数是单调递减函数，且有对称中心，找出,a b 之间的关系可求.【详解】因为()()))ln 1ln12f x f x x x +-=-+++=，故函数()f x 关于()0,1对称；又()f x 的定义域为R ，()))ln 1ln1ln1f x x x =+==-+，所以()f x 在R 上单调递减；因为(2)(2)2f a f b +-=，所以220a b +-=，即2 2.a b +=又0,0a b >>，故()2222 2.222b a b a b aa ab b a b a b a b+=+=+≥=++当且仅当42,55a b ==时，等号成立.故选：B.二、多选题9．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b >>”是“22a b >”的充要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件【正确答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件，A 正确；当0a b >>时，22a b >成立，而当22a b >时，有可能0a b <<，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件，B 错误；当3x =时，2230x x --=成立，而当2230x x --=时，3x =或=1x -，所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，C 正确；当1a >时，11a <成立，而当11a <时，有可能a<0，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC10．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递减B ．函数()y f x =图象关于19,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】AD【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可判断C 的正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】由图象可得2A =，且37ππ3π41264T =+=，故πT =即2ω=，而7ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈，故2π2π,3k k Z ϕ=-+∈，因为ϕπ<，故2π3ϕ=-，故()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，3π2ππ2232x -≤-≤-，而sin y t =在3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故A 正确.对于B ，1919π2π2sin 21263f π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1912x π=为函数图象的对称轴，故B 错误.对于C ，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位得到函数2π2π2sin 22sin 233y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象，故C 错误.对于D ，当2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2π2π22333x a ≤-≤-，因为函数的值域为⎡-⎣，故3π2π7π2233a ≤-≤，故13π3π122a ≤≤，故D 正确.故选：AD.11．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，我们把[]y x =，x ∈R 叫做取整函数，也称之为高斯（ G aussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich G aussian ）最先提及，因此而得名“高斯（ G aussian ）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费､ E XCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导､极限､定积分､级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（）A ．R x ∀∈，[]x x ⎡⎤=⎣⎦B ．,R ∃∈x y ，[][][]x y x y -<-C ．,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<D ．N n +∃∈，[][][]lg 2lg 3lg 93n +++= 【正确答案】BC【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：不妨取0.2x =-，则[]0.20x ⎡⎤==⎣⎦，而[]11x =-=，故A 错误；对B ：不妨取3, 1.2x y ==，则[][]1.81x y -==，而[][]312x y -=-=，满足[][][]x y x y -<-，故B 正确；对C ：因为[][]x y =，故可得,x y 同号；当0x y ==时，01x y -=<，满足题意；当,x y 同为正数或负数时，设,x a b y c d =+=+，其中,a c 和,b d 分别为,x y 的整数部分和小数部分，因为[][]x y =，则a c =，故x y b d -=-，又,b d 同为小数，且符号相同，故1b d -<，即1x y -<，则,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<，故C 正确；对D ：令[]lg ,2,N y x x x +=≥∈，当210,N x x +≤<∈时，[]lg 0x =；当10100,N x x +≤<∈时，[]lg 1x =；当1001000,N x x +≤<∈时，[]lg 2x =；L当11010,N n n x x -+≤<∈时，[]lg 1x n =-.则当10100n ≤<时，[][][]lg 2lg3lg n +++ [][][][][][]lg 2lg3lg9lg10lg11lg 9n n =+++++++=- ；又9,10100,N y n n n +=-≤<∈为单调增函数，故99n =时，取得最大值90；当1001000n ≤<时，[][][]lg 2lg3lg n +++ [][][][][][]()lg 2lg3lg99lg100lg101lg 902992108n n n =++++++=+-=- ；不存在N n +∈使[][][]lg 2lg 3lg 93n +++= ,故D 错误.故选：BC.12．已知函数242()12,R f x x x x k k =--+-∈，则下列说法正确的是（）A ．R k ∃∈，使得函数()f x 有1个零点B ．R k ∃∈，使得函数()f x 有2个零点C ．R k ∃∈，使得函数()f x 有4个零点D ．R k ∃∈，使得函数()f x 有8个零点【正确答案】BCD【分析】设21x t -=，[)0,t ∈+∞，21k t t =-+，画出函数图像，讨论54k >，54k =，514k <<，1k =，1k <几种情况，计算得到答案.【详解】242()120f x x x x k =--+-=，即24212k x x x =--+，设21x t -=，[)0,t ∈+∞，则24221t x x =-+，21k t t =-+，设()2215124g t t t t ⎛⎫++=-- ⎪⎭=+-⎝，图像如图所示：当54k >时，21k t t =-+无解，此时函数没有零点；当54k =时，12t =，即2112x -=，方程有4个解，函数有4个零点；当514k <<时，方程有两解，设为12,t t 且121012t t <<<<，211x t -=有4个解，221x t -=有4个解，故函数共有8个零点；当1k =时，0=t 或1t =，当0=t 时，210x -=有2个解；当1t =时，211x -=有3个解，故函数有5个零点；当1k <时，方程有1个解1t >，此时21x t -=有2个解，函数有2个零点.综上所述：函数可能有0,2,4,5,8个零点.故选：BCD 三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2ln 23f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为______.【正确答案】(]1,1-##（-1，1）【分析】先求定义域为()1,3-，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.【详解】因为2230x x -++>，解得：13x -<<，所以()()2ln 23f x x x =-++的定义域为()1,3-.令()222314t x x x =-++=--+，则ln y t =.要求()f x 的单调增区间，只需1x ≤.所以11x -<≤，所以()f x 的单调增区间为(]1,1-.故答案为.(]1,1-15．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_________.【正确答案】04a ≤≤【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a 的范围.【详解】由题意可知，“R x ∃∈，210ax ax -+<”的否定是真命题，即“R x ∀∈，210ax ax +≥-”是真命题，当0a =时，10≥，不等式显然成立，当0a ≠时，由二次函数的图像及性质可知，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，综上，实数a 的取值范围为04a ≤≤.故答案为.04a ≤≤16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【正确答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()()4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f =，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈，由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈，则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩,只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故()6,10四、解答题17．集合1121x A xx +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<.(1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈ ，求实数a 的值；(2)若()R A B ⋂=∅ð，求实数a 的取值范围【正确答案】(1)1；(2)5(0,2【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；（2）根据分式不等式的解法，结合补集和交集的性质进行求解即可.【详解】（1）因为()0B C ∈ ，所以0C ∈，且0B ∈，由0C ∈，可得2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.由0B ∈，所以2202040a a -⨯+-<得22a -<<；∴实数a 的值为1；（2）集合12110221212x x A xx x x x x +-⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭⎩⎭∣∣∣.集合{}22240{22}B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+∣∣.由()R A B ⋂=∅⇒ð12222a a ⎧-≤⎪⎨⎪+>⎩，解得502a <≤，所以实数a 的取值范围为5(0,]2.18．已知函数()2f x ax bx =-.(1)若()f x c ≥的解集为{}32x x -≤≤，求不等式20bx ax c ++≤的解集；(2)若0a >，0b >且()12f -=，20a b mab +-≥恒成立，求m 的最小值.【正确答案】(1){}23xx -≤≤∣(2)(132+【分析】（1）根据题中条件可知0<a ，根据解集可知二次方程20ax bx c --=的两根为123,2x x =-=，再根据韦达定理找到a 、b 、c 三者之间的关系，由此解出不等式.（2）根据题意可知a 、b 之间的关系，再将20a b mab +-≥分离参数，利用基本不等式即可求出答案.【详解】（1）由题设知0<a 且20ax bx c --=的两根为123,2x x =-=所以12121,6b c x x x x a a-+==-==-，可得：,6b a c a =-=2260bx ax c ax ax a ++=-++≤可化为：260x x --≤，解得：23x -≤≤，所以不等式20bx ax c ++≤的解集为{}23xx -≤≤∣（2）0,0a b >>且()122f a b -=⇒+=，20a b mab +-≥，则12m a b≤+恒成立，()(11212133222a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b =，2a b +=，即)214a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，“=”成立，(132m ∴≤+19．已知()π1πsin cos sin 23234f x x x x ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪⎝⎭+- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，关于x 的不等式1ππ22612a x f f x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+≥⎝有解，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)π5ππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)1a ≥【分析】（1）根据三角恒等变换得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再计算πππ2π22π232k x k -≤+≤+得到答案.（2）化简得到sin cos22a x x -≥，即2cos2sin x a x +≥有解，令1sin ,,12t x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据函数的单调性计算最小值得到范围.【详解】（1）()111cos sin sin2222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos21sin2sin2424x x x x +=++1πsin2sin 223x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈所以单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1sin cos222612ππaf x f x a x x ⎛⎫⎛⎫--+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x >，即2cos2sin xa x +≥有解，只需要min2cos2sin x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可，22cos232sin 32sin sin sin sin x x x x x x +-==-，令13sin ,,1,22t x t y t t ⎡⎤=∈=-⎢⎥⎣⎦为减函数，所以当1t =时，min 1y =，所以1a ≥.20．已知函数()e e x x f x a -=+是偶函数，其中e 是自然对数的底数．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式()+e 10x f x m m ---≥在[)ln3,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由函数()f x 是偶函数,即得()()f x f x -=,可求出a ；（2）由e e e 10x x x m m --++--恒成立,可分参转化,令e 1x t -=，则e 1x t =+，11m t t≤++，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可.【详解】（1）∵函数e e x x f x a -=+（）是偶函数，∴f x f x -=（）（），即e e e e x x x x a a --+=+，()()1e e 0x x a ---=恒成立∴1a =（2）由题意，知e e e 10x x x m m --++--≥在[ln3∞+，）上恒成立，则e e 11e x x x m --+--（），即2e 1e e 1x x x m--+（），∴2e e 1e 1x x x m -+≤-令e 1x t -=，则e 1x t =+.ln3e 12x x t ≥∴=-≥ ∴22111111t t t t m t t t t+-++++≤==++（）（）.min 11m t t ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∵11t t ++在[2∞+，）上单调递增，当且仅当t =2时,取11t t ++到最小值72.∴72m ≤.∴m 的范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM V 及BMN 区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.【正确答案】(1)不符合要求(2)按照tan 218ADN ADN π⎛⎫∠=-∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为2400001200002-（平方米）【分析】(1)依题意求()tan ADN CDM ∠+∠即可判断.(2)设ADN θ∠=，用θ表示诊疗区域的面积ADN BMN CDM S S S S =++△△△即可.【详解】（1）当200AN CM ==时，2tan 3ADN ∠=，1tan 2CDM ∠=所以()21732tan 1214132ADN CDM +∠+∠==≠-⋅因此诊断区不符合要求（2）设ADN θ∠=，则4CDM πθ∠=-，1tan ,17θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11502004003002ADN BMN CDM S S S S AN CM AN CM =++=++--△△△1600002AN CM =⋅+在ADN △中，tan ANADθ=，300tan AN θ=在CDM V 中，tan 4CM CD πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，400tan 4CM πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以160000tan tan 6000060000141t S t t πθθ-⎛⎫⎛⎫=-+=⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭260000141t t ⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，其中1tan ,17t θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以240000S ≤-211t t +=+即1t =取等号故按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-米）.22．若函数()y T x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使()()121T x T x ⋅=成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数()sin,()224x x f x x g x π-==-；（1）判断函数()y f x =是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设2()log ()h x x f x =+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46xg π⎛⎫< ⎪⎝⎭.【正确答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.（1）取特殊值123x =，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数2x 能满足22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；（2）当(]0,2x ∈时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当()2,x ∈+∞时，证明()h x 在()2,∞+上没有零点，再化简0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，转化为证明不等式00156x x -<.【详解】解：（1）若()sin 4f x x π=是“圆满函数”.取123x =，存在2x R ∈，使得()()121f x f x =，即2sinsin 164x ππ⋅=，整理得2sin 24x π=，但是2sin 14x π≤，矛盾，所以()y f x =不是“圆满函数”.（2）易知函数()2log sin4h x x x π=+的图象在()0+∞，上连续不断.①当(]0,2x ∈时，因为2log y x =与sin 4y x π=在(]0,2上单调递增，所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为22222212log sin log log 0336323h π⎛⎫=+==< ⎪⎝⎭，()1sin 04h π=>，所以()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当()2,x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=，因为sin 14y x π=≥-.所以()110h x >-=，所以()h x 在()2,∞+上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x .因为()0020log sin 04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为1y x x =-在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=，所以05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭.关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，再利用020sin log 4x x π=-，化简()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式..。
2023-2024学年广东省汕头市高一上学期期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年广东省汕头市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．集合{}13A x x =<<，集合{4B x x =或2}x <，则集合()R A B = ð（）A ．RB ．[2,3)C ．(1,4]D ．∅【正确答案】C【分析】先求得{|24}R B x x =≤≤ð，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{4B x x =或2}x <，可得{|24}R B x x =≤≤ð，又由{|13}A x x =<<，所以(){|14}(1,4]R A B x x =<≤= ð.故选：C.2．设0.30.77,0.3,ln 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<b B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】由指数函数和对数函数的单调性比较大小.【详解】因为0.30771>=，所以1a >；因为0.7000.30.31<<=，所以01b <<；因为ln 0.3ln10<=，所以0c <，所以c b a <<.故选：B.3．在下列区间中，方程20x x +=的解所在的区间是（）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【正确答案】B【分析】根据函数零点存在定理求解.【详解】设()2x f x x =+，且10(1)210,(0)200f f --=-<=+>，且()f x 为增函数，根据函数零点存在定理知，方程20x x +=在区间(1,0)-内有唯一的解.故选：B.4．函数cos y x x =-的部分图像是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据函数cos y x x =-的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】∵cos y x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C 项；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0y x x =-<，∴排除B 项.故选D.本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.5．下列结论中正确的是（）A ．当02x <≤时，1x x-无最大值B ．当3x ≥时，11x x +-的最小值为3C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥D ．当0x <时，1x x+1≤-【正确答案】D【分析】利用1y x x=-在(0,2]单调递增，可判断A ；利用均值不等式可判断B ，D ；取0.1x =可判断C【详解】选项A ，由1,y x y x==-都在(0,2]单调递增，故1y x x =-在(0,2]单调递增，因此1y x x =-在(0,2]上当2x =时取得最大值32，选项A 错误；选项B ，当1x >时，10x ->，故11111311x x x x +=-++≥+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立，由于3x ≥，故最小值3取不到，选项B 错误；选项C ，令0.1,lg 1x x ==-，此时1lg 0lg x x+<，不成立，故C 错误；选项D ，当0x <时，0x ->，故11[()(2x x x x+=--+-≤-，当且仅当1x x =，即=1x -时，等号成立，故1x x+1≤-成立，选项D 正确故选：D6．将函数πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移ϕ个单位后所得图象关于原点对称，则ϕ的值可能为（）A ．π6-B ．π6C ．π3D ．5π12【正确答案】D【分析】根据图象平移结论求出平移后函数解析式，根据奇函数的性质可求出ϕ的值，检验可得结果．【详解】平移后得到函数解析式为()()3ππcos 2cos 223g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()g x 图象关于原点对称，即()g x 是奇函数，所以()00g =，故πcos 203ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以ππ2πZ 3,2k k ϕ-=+∈，所以()π5πZ 122k k ϕ=+∈，当0k ＝时，125πϕ=，当125πϕ=时，()5ππcos 2sin 263g x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，()()()sin 2sin 2x x g x g x =--=--=，所以()g x 为奇函数，满足要求，故选：D ．7．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【正确答案】A【详解】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[(36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.三角函数的图象与性质【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．8．若2233x y x y ---<-，则（）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【正确答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、多选题9．下列几种说法中，正确的是（）A ．“x y >”是“22x y >”的充分不必要条件B ．命题“Z x ∀∈，20x >”的否定是“0Z x ∃∈，200x ≤”C ．若不等式20x ax b +-<的解集是(2,3)-，则20ax x b -+>的解集是(3,2)-D ．“,0()3k ∈-”是“不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立”的充要条件【正确答案】BC【分析】利用充分必要条件的定义可判断A ；由命题的否定可判断B ；由不等式的解法可判断C ；由不等式恒成立求出k 的取值范围，再由充分必要条件的定义可判断D ．【详解】对于A ，x ＞y 不能推出x 2＞y 2，例如x ＝﹣1，y ＝﹣2，x 2＞y 2也不能推出x ＞y ，例如x ＝﹣2，y ＝﹣1，故“x ＞y ”是“x 2＞y 2”的既不充分也不必要，故A 错误；对于B ，命题“Z x ∀∈，20x >”的否定是“0Z x ∃∈，200x ≤”，故B 正确；对于C ，若不等式x 2+ax ﹣b ＜0的解集是（﹣2，3），则﹣2，3是方程x 2+ax ﹣b ＝0的两个根，由根与系数的关系可得﹣a ＝﹣2+3，﹣b ＝﹣6，可得a ＝﹣1，b ＝6，所以ax 2﹣x +b ＞0即为﹣x 2﹣x +6＞0，即x 2+x ﹣6＜0，解得﹣3＜x ＜2，可得不等式ax 2﹣x +b ＞0的解集为（﹣3，2），故C 正确；对于D ，不等式23208kx kx +-＜对一切x 都成立，当k ＝0时，不等式38-＜0恒成立，当k ≠0时，0,Δk <＝k 2﹣4×2k ×（38-）＜0，解得﹣3＜k ＜0，综上，k ∈（﹣3，0]，所以“k ∈（﹣3，0）”是“不等式23208kx kx +-＜对一切x 都成立”的充分不必要条件，故D 错误．故选：BC ．10．下列结论正确的是（）A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为32πC ．若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角【正确答案】BC【分析】A 中，由象限角的定义即可判断；B 中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C 中，根据三角函数的定义即可判断；D 中，取30α=︒即可判断.【详解】选项A 中，75266πππ-=-+，是第二象限角，故A 错误；选项B 中，设该扇形的半径为r ，则3r ππ⋅=，∴3r =，∴2133232S ππ=⨯⨯=扇形，故B 正确；选项C 中，5r ==，cos 53x r α==-，故C 正确；选项D 中，取30α=︒，则α是锐角，但260α=︒不是钝角，故D 错误．故选：BC ．11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(2)62a x <--，即求出函数()π1sin(262g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．三、单选题12．已知函数()23,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，令()()h x f x k =-，则下列说法正确的（）A ．函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+B ．当()4,3k ∈--时，()h x 有3个零点C ．当2k =-时，()h x 的所有零点之和为1-D ．当(),4k ∈-∞-时，()h x 有1个零点【正确答案】D【分析】画出()f x 的图像，然后逐一判断即可.【详解】()f x 的图像如下：由图像可知，()f x 的增区间为()1,0,0,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-+，故A 错误当()4,3k ∈--时，如图当1334k -<<-时，()y f x =与y k =有3个交点，当134k =-时，()y f x =与y k =有2个交点，当1344k -<<-时，()y f x =与y k =有1个交点，所以当()4,3k ∈--时()y f x =与y k =有3个交点或2个交点或1个交点，即()h x 有3个零点或2个零点或1个零点，故B 不正确；当2k =-时，由2232x x +-=-可得12x =-由2ln 2x -+=-可得1x =所以()h x 的所有零点之和为1212-=-故C 错误；当(),4k ∈-∞-时，由B 选项可知：()y f x =与y k =有1个交点，即()h x 有1个零点，故D 正确；故选：D 四、填空题13．函数()()311log 4,23,2x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦______.【正确答案】3首先求出()311log 32f =+=，再将2代入对应的解析式即可求解.【详解】由()()311log 4,23,2x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，所以()311log 32f =+=，所以()()211233f f f -===⎡⎤⎣⎦，故3本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.14．已知函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】2a ≤【分析】求出二次函数的对称轴，即可得()f x 的单增区间，即可求解.【详解】函数()223f x x ax =-+的对称轴是x a =，开口向上，若函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则2a ≤，故2a ≤．15．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <<时，()2f x x=，则()()944f f -+=______．【正确答案】8-【分析】根据()()2(),()(),00f x f x f x f x f +==-=-解决即可.【详解】由题知，函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以()()2(),()(),00f x f x f x f x f +==-=-因为当01x <<时，()2f x x=，所以()()()9118444f f f -=-=-=-，()()()4200f f f ===，所以()()9484f f -+=-.故8-16．已知π3sin()35x -=，则πcos()6x +=______．【正确答案】35##0.6【分析】已知角与所求角之间存在和为π2的情况，诱导公式求解即可.【详解】根据题意可得ππ2ππ3cos()cos ()sin()6335x x x ⎡⎤+=--=-=⎢⎥⎣⎦.故答案为.35五、解答题17．（1）已知π02α<<，sin α，求tan α的值；（2）若tan 4α=，求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值.【正确答案】（1）1tan 2α=；（2）43【分析】（1）根据同角三角函数的商关系，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先由诱导公式化简，然后将式子化为齐次式，即可得到结果.【详解】（1）∵π02α<<，sin α∴cos α===∴sin 1tan cos 2ααα==（2）∵tan 4α=，∴()()()πsin π2cos sin 2sin tan 42sin cos πsin cos tan 13αααααααααα⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭===--++--18．已知集合{}3A x a x a =≤≤+，集合105x B xx +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合{}26720C x x x =-+<.(1)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x C ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)4a <-或5a >(2)7132a -≤≤【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合B ，利用集合间的基本关系即可求得a 的取值范围；（2）根据必要不充分条件的定义可得C A ，由一元二次不等式的解法求出集合C ，利用集合间的基本关系即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：解不等式105x x +>-得1x <-或5x >，所以{1B x x =<-或}5x >，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆所以31a +<-或5a >，解得4a <-或5a >，所以实数a 的取值范围为4a <-或5a >.（2）解：p 是q 的必要不充分条件，所以CA ，解不等式()()267221320x x x x -+=--<，得1223x <<，所以1223C x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以12a ≤且233a +≥，解得7132a -≤≤，所以实数a 的取值范围7132a -≤≤.19．已知函数()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间：(3)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值.【正确答案】(1)π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)最大值为3，最小值为1【分析】（1）由最小正周期，求得ω，得到()f x ，再求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）整体代入法求函数的单调递减区间；（3）由x 的取值范围，得到π23x +的取值范围，可确定最值点，算出最值.【详解】（1）由最小正周期公式得：2ππω=，故2ω=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin 211663f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈，解得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，故函数()f x 的单调递减区间是π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 的最大值为3，当π4π233x +=，即π2x =时，()f x的最小值为1.20．已知幂函数()y f x =的图像经过点()4,16M .(1)求()f x 的解析式：(2)设()()1f x g x x+=，利用定义证明函数()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.【正确答案】(1)()2f x x=(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法求解即可，（2）利用定义证明即可.【详解】（1）设()a f x x =，则416a =，得2a =，所以()2f x x =.（2）由（1）得()211x g x x x x+==+设[)12,1,x x ∞∈+，且12x x <，∴()()12121211g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭121211x x x x =-+-()211212x x x x x x -=-+()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1212121x x x x x x -=-∵[)12,1,x x ∞∈+，且12x x <，∴12120,1x x x x -<>∴()()120g x g x -<即()()12g x g x <∴函数()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.21．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h 内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量()y g μ与服药后的时间t （h ）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线段AB 是函数()2,0,,t y ka t a k a =≥>是常数的图象，且()()2,8,4,2A B.(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y 关于时间t 的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于1g μ时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h ，该人每毫升血液中药物含量为多少g μ1.4≈）？【正确答案】(1)4,02132,22t t t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)13点(3)()6.35g μ【分析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可；(2)根据题意列出不等式，求解出答案即可；(3)分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.【详解】（1）当02t ≤≤时，4y t =，当2t ≥时，把()()2,8,4,2A B 代入2y ka =（2,0,,t a k a ≥>是常数）得：2482ka ka ⎧=⎨=⎩，解得：1232a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴4,02132,22t t t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）设第一次注射药物后最迟过t 小时注射第二次药物，其中2t >.则13212t⎛⎫⨯≥ ⎪⎝⎭，解得：5t ≤，∴第一次注射药物5h 后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物.（3）第二次注射药物1.5h 后每毫升血液中第一次注射药物的含量： 6.5113224y ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭每毫升血液中第二次注射药物的含量：241.56y g μ=⨯=，所以此时两次注射药物后的药物含量为：()6 6.354g μ+≈22．已知函数()41log 2x a x f x +=（0a >且1a ≠）.(1)试判断函数()f x 的奇偶性；(2)当2a =时，求函数()f x 的值域；(3)已知()g x x =-[]14,4x ∀∈-，[]20,4x ∃∈，使得()()122f x g x ->，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()f x 是偶函数(2)[)1,+∞(3)()1,2【分析】（1）根据偶函数的定义可判断出结果；（2）根据基本不等式以及对数函数的单调性可求出结果；（3）将[][]124,4,0,4x x ∀∈-∃∈，使得12()()2f x g x ->，转化为min [()]f x min [()2]g x >+，利用换元法求出min [()2]g x +，分类讨论a ，利用函数()f x 的单调性求出()f x 的最小值，代入可求出结果.【详解】（1）因为41()log 02x a xf x a +=>且1)a ≠，所以其定义域为R ，又4114()log log ()22x xa a x x f x f x --++-===，所以函数()f x 是偶函数；（2）当2a =时，241()log 2x x f x +=，因为20x >,4112222x x x x =+≥+,当且仅当21x =，即0x =时取等，所以241()log 2x x f x +=2log 21≥=,所以函数()f x 的值域为[1,)+∞.（3）1[4,4]x ∀∈-，2[0,4]x ∃∈，使得12()()2f x g x -≥，等价于min [()]f x min [()2]g x >+，令t =，[0,4]x ∈，[0,2]t ∈，令2()22h t t t =-+，则()2g x +在[0,4]上的最小值等于()h t 在[0,2]上的最小值，()h t 在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以()h t 在[0,2]上的最小值为(1)1h =，所以min [()]1f x ≥.因为()f x 为偶函数，所以()f x 在[4,4]-上的最小值等于()f x 在[0,4]上的最小值，设41()2x x v x +=，则()log ()a f x v x =，任取1204x x ≤<≤，1212124141()()22x x x x v x v x ++-=-12121(22)(1)2x x x x +=--，因为1204x x ≤<≤，所以1222x x <，12220x x -<，120x x +>，1221x x +>，121102x x +->，所以12121(22)(102x x x x +--<，12()()v x v x <，所以41()2x x v x +=在[0,4]上为单调递增函数，当01a <<时，函数()log ()a f x v x =在[0,4]上为单调递减函数，所以4min 441()(4)log 2a f x f +==257log 16a =，所以257log 116a ≥，得25716a ≥（舍）；当1a >，函数()log ()a f x v x =在[0,4]上为单调递增函数，所以m in ()f x (0)f =log 2a =，所以log 21>a ，12a <<.综上得：实数a 的取值范围为()1,2.。
高一数学第一学期期末考试模拟题3
高一数学第一学期期末考试模拟题3一、选择题：本大题共12小题。
每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关系正确的是：A ．Q ∈2B ．}2{}2|{2==x x xC ．},{},{a b b a =D ．)}2,1{(∈∅2. 函数()lg(31)f x x =-的定义域为 （ ） A ．R B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,)3+∞3．函数f(x)=(a-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围（ ） A 、0<a<1 B 、1<a<2 C 、a>1 D 、a>2 4．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）A ．x =a +3b －cB ．cab x 53=C ．53cab x =D ．x =a +b 3－c 35. 6．茎叶图0 4 9 1 1 6 6 7 94 5 2 5甲 54321019 8 38 6 364 38乙中，甲组数据的中位数是（A ）31 （B ）5.3323631=+ （C ）36 （D ）以上都不对 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16第6题7. 已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为A．13或－5 B．13C．－5 D．13或58. 一组数据的方差是2s，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差Ａ.22s；Ｂ. 22s；Ｃ．24s；Ｄ．2s9.若函数f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)=1-2f(x+3)的值域是（）A..[-5,-1]B.[-2,0]C.[-6,-2]D.[1,3]10.已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是从区间[0,4]任取的一个数，则f(1)＞0成立的概率是________．A．732B．741C．941D．93211.已知实数满足等式下列五个关系式①②③④⑤其中不可能．．．成立的关系式A．1个B．2个C．3个D．4个12. 某商店店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”酬宾促销方式，即顾客在商店内花钱满100元（可以是现金，也可以是奖券或者二者合计），就送20元奖励券；满200元就送40元奖励券；满300元就送60元奖励券…….当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040，如果按酬宾促销方式，他最多能得到优惠＿＿＿＿元。
2023-2024学年江西省高一上学期期末考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江西省高一上学期期末考试数学模拟试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}2,4,6,7A =，{}3,5,6,7,8B =，则()()U U A B ⋂=痧（）A ．{}1,9B ．{}2,3,4,5,6,7,8C ．{}1,2,3,4,5,8,9D ．{}1,6,7,9【正确答案】A利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】 全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}2,4,6,7A =，{}3,5,6,7,8B =，由补集的定义可得{}1,3,5,8,9U A =ð，{}1,2,4,9U B =ð，因此，()(){}1,9U U A B = 痧.故选：A.本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2．已知0a b <<，下列不等式成立的是（）A ．22a b <B ．2a ab <C ．33a b <D ．11a b <【正确答案】C由作差法可判断A 、B 、D ，由函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，由22a b -()()0a b a b +->=可得22a b >，故A 错误；对于B ，由2a ab -()0a a b =->可得2a ab >，故B 错误；对于C ，由函数3y x =在R 上单调递增可得33a b <，故C 正确；对于D ，由11a b -0b a ab -=>可得11a b >，故D 错误.故选：C.3．若命题“x ∃∈R ，()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题，则k 的范围是（）A ．()1,7B ．[)1,7C ．()7,1--D ．(]7,1--【正确答案】B 【分析】本题首先可根据题意得出命题“x ∀∈R ，()()2214130k x k x -+-+>”是真命题，然后分为1k =、1k =-、210k -≠三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为命题“x ∃∈R ，()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题，所以命题“x ∀∈R ，()()2214130k x k x -+-+>”是真命题，若210k -=，即1k =或1k =-，当1k =时，不等式为30>，恒成立，满足题意；当1k =-时，不等式为830x +>，不恒成立，不满足题意；当210k -≠时，则需要满足()()222101614130k k k ⎧->⎪⎨∆=--⨯-⨯<⎪⎩，即()()()()110170k k k k ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩，解得17k <<，综上所述，k 的范围是[)1,7，故选：B.关键点点睛：本题考查根据命题的真假求参数，考查特称命题的否定，考查根据二次函数性质解不等式，要注意2x 的系数可能为0，考查计算能力，是中档题.4．命题：“0x ∀>，2ln 20x x +>”的否定是（）A ．0x ∀>，2ln 20x x +<B ．0x ∀>，2ln 20x x +≤C ．0x ∃>，2ln 20x x +≤D ．0x ∃>，2ln 20x x +<【正确答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“0x ∀>，2ln 20x x +>”是全称命题，它的否定是特称命题：0x ∃>，2ln 20x x +≤，故选：C5．党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少.如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）.根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%【正确答案】D由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果.【详解】由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误.故选：D .本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.6．在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210x f x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（）A ．()11.5，B ．()1.51.625，C ．()1.6251.75，D ．()1.752，【正确答案】C【分析】根据二分法可得答案.【详解】根据已知()150f =-<，()1.50f <，()1.6250f <，()1.750f >，()230f =>，根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75．故选：C.7．已知函数()4(0)f x x x x =+<，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4-D ．()f x 有最大值4-【正确答案】D 根据基本不等式即可求出．【详解】解：0x <Q ，0x ∴->，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+⎢⎥-⎣⎦4≤-=-，当且仅当()4x x-=-，即2x =-时取等号，()f x \有最大值4-.故选：D ．8．偶函数()(1)(1)f x mx nx =--的最大值为1，则mn 的最大值为A ．-1B ．0C ．1D ．3【正确答案】B【分析】根据题意考虑二次项系数为0何不为0两种情况.【详解】偶函数()()()11f x mx nx =--的最大值为1,根据这一条件得到，当mn=0时，即m=0且n=0，此时函数为y=1,是偶函数，当0nm ≠时，函数为二次的，开口向下，才会有最大值，此时mn<0,故mn 的最大值为0.故答案为B.这个题目考查了二次函数的图像性质的问题，当二次函数的二次项系数为参数时，先考虑二次项系数等于0，此时二次变一次，再考虑二次项系数不为0.二、多选题9．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.【详解】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.10．随着人民生活水平的提高以及高新电影制作技术的研发，人们利用周末和假期去电影院感受电影的魅力．我国2010年至2018年年底电影年度票房总收入与观影总人数统计如图所示，则下列说法正确的是（）A．这九年中，票价的增加导致年度总票房收入逐年攀升B．这九年中，票房收入与观影人数两个变量之间是正相关C．这九年中，观影人数的增长率是逐年上升的D．这九年中，年度总票房收入增速最快的是2015年【正确答案】BD【分析】根据2010年至2018年年底年度票房总收入与观影总人数统计图表，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得票房收入与观影人数之间显然是正相关，无法得出与票价增加有关，可得A项错误，B项正确；由2015年到2016年观影人数的增长率是下降的，可得C项错误；由2015年的票房增长率是最高的，大约为48.7%，可得D项正确．故选：BD ．11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--【正确答案】ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值0x =即可判定A ；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得()f x 在(,0]-∞上有最大值，进而判定B ；利用奇函数的单调性性质判定C ；利用奇函数的定义根据0x >时的解析式求得0x <时的解析式，进而判定D ．【详解】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，故A 正确；当0x ≥时，()1f x ≥-，且存在00x ≥使得()01f x =-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，且当0x x =-有()01f x -=,∴()f x 在(,0]-∞上有最大值为1，故B 正确；若()f x 在[1,)+∞上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，故C 错误；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，故D 正确．故选：ABD ．本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-上的图象如下，则下列结论正确的是（）A ．方程()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有且只有6个根B ．方程()0g f x ⎡⎤=⎣⎦有且只有3个根C ．方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有且只有5个根D ．方程()0g g x ⎡⎤=⎣⎦有且只有4个根【正确答案】ACD【分析】根据函数图像逐一判断即可.【详解】对于A ，令()t g x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321012t t t -<<-=<<，，，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，()3g x t =有两个不同的解，故()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有6个不同解，故A 正确；对于B ，令()t f x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<，从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解，故()0g f x ⎡⎤=⎣⎦有4个不同解，故B 错误；对于C ，令()t f x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<，从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，()3f x t =有一个解，故()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有5个不同解，故C 正确；对于D ，令()t g x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，故()0g g x ⎡⎤=⎣⎦有4个不同解，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．计算：12023211323(1.5)488--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭___．【正确答案】12##0.5【分析】应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.【详解】原式12232927334411()14822992--⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故1214．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，则(4)f 的值为___________.【正确答案】8利用待定系数法求出()f x 的表达式即可．【详解】解：设()f x x α=，则()22f α==32α=，则32()f x x =，()32428f ==，故8本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键，属于基础题．15．对于函数()()h x g x 、，定义函数()()()()()()(),,h x h x g x f x g x h x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若()21h x x =-，()32g x x =-，则()4f =_________.【正确答案】7【分析】由题意明确()f x 的表达式，根据对应法则即可得到结果.【详解】当()()h x g x ≥时，即2132x x -≥-时，可得：()f x =21x -，1x ≥；当()()h x g x ＜时，即2132x x --＜时，可得：()f x =32x -，1x ＜；∴()21,132,1x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩∴()42417f =⨯-=故答案为7本题考查分段函数的表达式的求法，以及函数值的求法，考查计算能力，属于基础题.16．设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为________【正确答案】()()3,03,-⋃+∞．【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性，可知()0f x >和()0f x <时x 的取值范围，然后分类讨论即可的不等式()0x f x ⋅<的解集.【详解】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称，∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==，∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<，∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<，综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-⋃+∞．故()()3,03,-⋃+∞．关键点点睛：本题的关键是理解偶函数的图象关于y 轴对称且在y 轴两侧的单调性相反.四、解答题17．设全集为Z ，{}2|2150A x x x =+-=，{|10}B x ax =-=．（1）若15a =-，求()Z A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .【正确答案】（1）(){3}Z A B ⋂=ð；（2）11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）解一元二次方程，求出集合A ，当15a =-，代入求出集合B ，根据集合的补集和交集的运算，即可得出()Z A B ⋂ð的结果；（2）根据题意，可知当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆；当B ≠∅时，1B a ⎧⎫=⎨⎩⎭，由子集的含义，列式求出实数a ，从而得到集合C .【详解】解：（1）{}2|2150{5,3}A x x x =+-==-，当15a =-，则{|10}{5}B x ax =-==-，则(){3}Z A B ⋂=ð；（2）当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆，当B ≠∅时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，此时若满足B A ⊆，则15a =-或13a=，解得15a =-或13a =，综上得：11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．18．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： 1.002xy =，lg 3y x =+，12y =．（参考数据：9001.002 6.039≈）(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大，并求出最大值．【正确答案】(1)y =(2)120【分析】（1）根据符合要求的模型满足的三个条件，即可根据所给的三个函数的性质逐一判断求解，（2）根据函数的单调性即可求解.【详解】（1）由题意，符合公司要求的模型只需满足：当[10x ∈，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x≤对于 1.002x y =，易知满足①；但当900x >时，6y >，不满足公司的要求,对于lg 3y x =+，易知满足①，当(]100,1000x ∈时，lg10035y >+=，不满足公司的要求,对于1220y x =，易知满足①，当[10x ∈，1000]时，5y ≤=，∴满足②又[10x ∈，1000]时，202044xy =≤=由此可知满足③综上所述，只有奖励模型：y =能完全符合公司的要求.（2）由（1）知：符合要求的函数为12y =，故121220y x x xx -==，当[10x ∈，1000]时，y x =单调递减，故当10x =时，取最大值为120，19．已知函数23y x x m =-+．（1）当4m =-时，解不等式0y ≤；（2）若0m >时，0y <的解集为{}x a x b <<．求14a b+的最小值．【正确答案】（1）{}14x x -≤≤；（2）3（1）4m =-代入不等式，分解因式进行求解；（2）由题意知a ，b 是方程230x x m -+=的两根，根据韦达定理列出两根之和与两根之积，再利用均值不等式进行求解即可.【详解】（1）当4m =-时，234y x x =--，将其代入0y ≤得2340x x --≤，()()140x x +-≤，解得{}14x x -≤≤（2）因为0y <的解集为{}x a x b <<，所以a ，b 是方程230x x m -+=的两根，则30a b ab m +=⎧⎨=>⎩，所以0a >，0b >，故()(14114141553333ba ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b =，即22a b ==时，14a b+取得最小值3.本题考查一元二次不等式、基本不等式，属于中档题.20．当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：组数分组（单位：岁）频数频率1[20,25)50.052[25,30)200.203[30,35)a 0.354[35,40)30b 5[40,45]100.10合计n1.00(1)求出表中的,,a b n 的值，并补全频率分布直方图；(2)媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[)30,40的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[)35,40的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【正确答案】(1)100n =，35a =，0.3b =，频率分布直方图见解析；(2)分布列见解析，()1213E ξ=【分析】（1）根据频率等于频数除以总数,分别求出,,a b n ,再根据小长方形对应纵坐标等于频率除以组距补全频率分布直方图；（2）先根据分层抽样确定年龄在[)30,35和[)35,40的人数,再确定ξ的可能取值为0，1，2，利用组合计算对应概率,列出分布列,最后根据数学期望公式求期望【详解】（1）由题意知频率分布表可知：50.05100n =÷=，所以1000.3535a =⨯=，300.3100b ==，则[)35,40小组的小矩形高度为0.30.065=，补全频率分布直方图，如图所示．（2）设抽出的20名受访者年龄在[)30,35和[)35,40分别有,m p 名，由分层抽样可得20=1003530m p=，解得7,6m p ==，所以年龄在[)30,40共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2，()()()021*******67222131313C C C C C C 7750,1,2C 26C 13C 26P P P ξξξ=========所以ξ的分布列为：ξ012P726713526∴数学期望()7751201226132613E ξ=⨯+⨯+⨯=21．已知函数()221x f x a =-+为奇函数.(1)求a 的值；(2)探究()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)求满足()()22f ax f x <-的x 的范围.【正确答案】(1)1a =(2)在R 上单调递增，证明见解析(3)()(),12,-∞-+∞ 【分析】（1）根据奇函数的定义可得出()()0f x f x +-=，即可求得实数a 的值；（2）任取1x 、2x ∈R 且12x x >，作差()()12f x f x -并判断差值符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（3）由（2）中函数()f x 的单调性可得出关于x 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：对任意的x ∈R ，210x +>，即函数()f x 的定义域为R ，因为函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即22202121xx a ---=++，()12121212121221x x x x x x x a -∴=+=+=++++.（2）解：函数()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x 、2x ∈R 且12x x >，则12220x x >>，所以，()()()()()12122112122222222110212121212121x x x x xx x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，所以，()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的增函数.（3）解：因为函数()f x 为R 上的增函数，由()()22f x f x <-可得22x x ->，即220x x -->，解得1x <-或2x >.因此，满足()()22f ax f x <-的x 的范围是()(),12,-∞-+∞ .22．已知()()log 1a f x x =+，点P 是函数()y f x =图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点Q 形成函数()y g x =的图象.（1）求()y g x =的解析式；（2）当01a <<时，解不等式()()0f x g x +≥；（3）当1a >，且[)0,1x ∈时，总有()()2f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()log (1)a g x x =--，（2）(1,0]-；（3）0m ≤.【分析】（1）根据已知可得()g x 与()f x 关于原点对称，设(,)Q x y ，则(,)P x y --在()f x 图象上，即可求解；（2）根据对数函数的单调性，将不等式转化为真数关系，得到整式不等式，即可求出结论；（3）由（1）令()()2(1)2l ()og 1a x f x g x xh x ++==-，只需min ()h x m ≥，令2(1)1x u x +=-，利用换元法求出2(1),[0,1)1x u x x+=∈-单调性，进而求出min ()h x .【详解】（1）设(,)Q x y ，点,P Q 关于原点对称，(,)P x y ∴--，由点(,)P x y --在()f x 图象上，log (1),()log (1)a a y x g x x ∴-=-+∴=--，（2）()()0,log (1)log (1)a a f x g x x x +≥∴+≥- ，01,a <<∴ 不等式等价于101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+≤-⎩，解得10-<≤x ，∴不等式的解集为(1,0]-；（3）()()2(1)2l ()og 1a x f x g x x h x ++==-，令22(1)[(1)2]4(1)4111x x u x x x x+-+===-+----，令1,01,01t x x t =-≤<∴<≤ ，设4()4m t t t=+-，设12121212401,()()()(1)0t t m t m t t t t t <<≤-=-->，()m t ∴在(0,1]t ∈上单调递减，()m t ∴的最小值为1，即min min 1,1,()0u a h x =>∴= [)0,1x ∈时，总有()()()2h x f x g x m =+≥恒成立，min ()0m h x ∴≤=，m ∴的取值范围是0m ≤.本题考查函数的中心对称问题、对数不等式的解法、不等式恒成立问题、函数单调性、最值，考查等价转化思想，意在考查直观想象、逻辑推理、计算求解能力，属于较难题.。
2023-2024学年安徽省合肥高一上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．设集合{}{}1,2,3,12,A B x x x Z ==-<<∈，则A B ⋃=（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}【正确答案】C【分析】首先用列举法表示集合B ，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=故选：C 2．函数()lg f x x +的定义域为（）A ．(0,1]B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．[1,+∞)【正确答案】D【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可.【详解】要使函数有意义，则100x x -≥⎧⎨>⎩，解得1x ≥，即函数的定义域为[1,)+∞.故选：D3．“210x x x ∀∈-+>R ，”的否定是（）A ．210x x x ∃∈-+>R ，B ．210x x x ∃∈-+≤R ，C ．210x x x ∀∈-+>R ，D ．210x x x ∀∈-+≤R ，【正确答案】B【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可.【详解】由于全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为“()0,x M p x ∃∈⌝”，所以x ∀∈R ，210x x -+>的否定为x ∃∈R ，210x x -+≤．故选：B ．4．已知幂函数()f x x α=(α是常数)的图象经过点()2,4，那么()2f -=（）A ．4B ．-4C ．14D ．-14【正确答案】A【分析】首先代入函数解析式求出α，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；【详解】因为幂函数()f x x α=（α是常数）的图象经过点(2,4)，所以24α=，解得2α=，所以2()f x x =，所以()()2224f -=-=；故选：A5．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a b <D ．若0a b <<，则11a b<【正确答案】B【分析】根据0c =排除选项A ；取2,1a b =-=-计算验证，排除选项C ，D 得到答案.【详解】对于A ，若0a b >>，则22ac bc >，当0c =时不成立，故A 错误；对于B ，若0a b >>，所以()()220a b a b a b -=+->，则22a b >，故B 正确；对于C ，若0a b <<，则22a b <，取2,1a b =-=-，计算知不成立，故C 错误；对于D ，若0a b <<，则11a b <，取2,1a b =-=-，计算知不成立，故D 错误.故选：B.6．已知函数33x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α=（）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-【正确答案】B【分析】令30x +=，求得定点，然后再由角α的终边经过点P ，利用三角函数的定义求解.【详解】令30x +=，则3,4=-=x y ，所以函数33x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()3,4P -，又角α的终边经过点P ，所以cos α=35-，故选：B7．下列各角中，与425- 终边相同的是（）A ．65B ．115oC ．245D ．295【正确答案】D【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果.【详解】与425- 终边相同的角为()360425Z k k ⋅-∈，当1k =时，36042536042565k ⋅-=-=- ，当2k =时，3604252360425295k ⋅-=⨯-= ，所以，295 的终边与425- 的终边相同．故选：D.8．已知函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，则实数k 的取值范围为A ．(],40-∞B ．[)160+∞，C ．[]40,160D ．(][),40160-∞⋃+∞，【正确答案】D【分析】根据二次函数性质得对称轴与区间位置关系，解不等式得结果.【详解】因为函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，所以208k ≥或58k≤，即得以160k ≥或40k ≤，选D.本题考查二次函数单调性性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．若x a =是03x <<的充分不必要条件，则实数a 可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】BC【分析】由充分不必要条件转化为两个集合的包含关系求解.【详解】若x a =是03x <<的充分不必要条件，则()0,3a ∈.故选：BC.二、多选题10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．()12x =-B()130y y =<C．)340xx -=>D ．()32140x x ⎤=>【正确答案】CD【分析】根据指数幂的运算逐一判断可得选项.【详解】对于A ：())120x x -≤，故A 错；对于B ()130yy =-<，故B 错；对于C：)433443110xx x x-⎛⎫===> ⎪⎝⎭；故C 正确，对于D ：()3131243420x x x ⨯⨯⎤==>，故D 正确.故选：CD.11．已知(0,)θπ∈，sin cos θθ+=）A ．sin cos 0θθ<B．sin cos θθ-=C ．cos 5θ=D ．sin 5θ=【正确答案】ABD【分析】考虑角θ所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.【详解】由sin cos 5θθ+=…①，以及22sin cos 1θθ+=，对等式①两边取平方得112sin cos 5θθ+=，2sin cos 5θθ=-…②，()0,θπ∈Q ，sin 0θ∴＞，由②，cos 0θ＜，由①②sin θ，cosθ可以看作是一元二次方程2205x -=的两个根，解得sin θ=，cos θ=，故A 正确，B 正确，C 错误，D 正确；故选：ABD.12．已知函数()f x =）A ．f (x )的定义域是[]1,3-，值域是[]0,2B ．f (x )的单调减区间是(1，3)C ．f (x )的定义域是[]1,3-，值域是(],2-∞D ．f (x )的单调增区间是(-∞，1)【正确答案】AB【分析】先根据被开方数大于等于零，求出函数()f x 定义域，再结合二次函数的对称性求出函数的值域并判断函数的单调性，逐一判断各选项即可.【详解】已知函数()f x =对于A 、C ，令2230x x -++≥，则2230x x --≤，解得13x -≤≤，定义域为[]1,3-.()2f x =，又()0f x ≥，函数的值域为[]0,2，故A 正确，C错误；对于B 、D ，函数()f x 定义域为[]1,3-，函数223y x x =-++的对称轴为1x =，所以()f x 在区间()1,1-单调递增，在区间()1,3上单调递减，故B 正确，D 错误；故选：AB.三、填空题13．150°化成弧度是_________【正确答案】5π6##5π6【分析】根据弧度与角度之间的关系运算求解.【详解】∵π180︒=，∴π5π1501501806︒=⨯=.故答案为.5π614．已知函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2+x ，则f (-1)=_______【正确答案】-2【分析】利用奇偶性得出()()11f f -=-，即可代入求解.【详解】 函数()f x 为奇函数，()()11f f ∴-=-，0x ≥ 时，()2f x x x =+，()1112f ∴=+=，()12f ∴-=-，故答案为:2-.15．已知函数()21x f x =-，则函数的零点为________【正确答案】0【分析】令()0f x =，求得函数的零点.【详解】令()0f x =，得210x -=，解得0x =.故016．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林．假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．为使森林面积至少达到6a 亩，至少需要植树造林______年（精确到整数）．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【正确答案】26.【分析】先由已知求增长率，再求达到6a 所需年数.【详解】设年增长率为x ，所求年数为n ，根据已知：()1012a x a +=，解得()lg 2lg 110x +=，又()16na x a +=，所以()100.30100.477110lg 625.85lg 20.3010n ⨯+==≈，至少需要植树造林26年.故答案为:26.四、解答题17．已知集合{}{}|20,|(3)(5)0A x x B x x x =-≥=--<(1)求A B ⋃，R ()A B ð；(2)定义{|M N x x M -=∈且}x N ∉，求A B -.【正确答案】(1){}=|2A B x x ≥ ，{R ()|3A B x x ⋂=≤ð或}5x ≥(2){|23x x ≤≤或}5x ≥【分析】(1)由集合的交并补运算直接求解；(2)根据新定义的运算A B -求解.【详解】（1）{}2A x x =≥，{}|35B x x =<<，所以{}=|2A B x x ≥ ，{}35A B x x ⋂=<<，所以{R ()|3A B x x ⋂=≤ð或}5x ≥（2）因为{|M N x x M -=∈且}x N ∉，{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，A B -就是求属于集合A 但又不属于集合B 的元素构成的集合，所以{|23A B x x -=≤≤或}5x ≥.18．已知4cos 5α=-并且α是第二象限的角(1)求sin α和tan α的值：(2)求3π2sin(5π)3sin()2πcos(2π)cos()2αααα-------的值.【正确答案】(1)35，34-(2)67【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解；（2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解.【详解】（1）4cos 5α=-Q ，并且α是第二象限的角，3sin5α∴，sin3tan.cos4ααα==-（2）()()3π2sin5π3sin2sin3cos2πcos sincos2πcos2αααααααα⎛⎫---⎪+⎝⎭=-⎛⎫----⎪⎝⎭2tan31tanαα+=-33623714-+==+.19．已知关于x的不等式2320ax x-+>的解集为{1x x<或}x b>．(1)求a，b的值．(2)当Rc∈时，解关于x的不等式()20ax ac b x bc-++<．【正确答案】(1)12a b==、.(2)2c>时，不等式的解集为：()2,c；2c<时，不等式的解集为：(),2c，2c=时，不等式的解集为.∅【分析】（1）结合根与系数关系可直接求解；（2）将a，b代入不等式化简得()()20x x c--<，分类讨论参数c与2的关系即可求解.【详解】（1）因为2320ax x-+>的解集为{1x x<或}x b>，所以3121baba⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12ab=⎧⎨=⎩（2）因为2320ax x-+>的解集为{1x x<或}x b>，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩,代入得：()2220x c x c -++<，即()()20x x c --<，所以当2c >时，不等式的解集为：()2,c ，当2c <时，不等式的解集为：(),2c ，当2c =时，不等式的解集为.∅20．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入(110)x x <<万元，珍珠棉的销售量可增加101xp x =+吨，每吨的销售价格为(83p -)万元，另外生产p 吨珍珠棉还需要投入其他成本2p万元.(1)写出该公司本季度增加的利润y 万元与x 之间的函数关系：(2)当x 为多少万元时？公司在本季度增加的利润最大，最大为多少万元？【正确答案】(1)2581xy x x =--+(110)x <<(2)当4x =万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为8万元．【分析】（1）根据题目中等量关系，列出函数关系式；（2）对函数进行变形，利用基本不等式求解最值.【详解】（1）832p y p x p ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭258(110)1xx x x =--<<+（2）()2525818111x y x x x x ⎡⎤=--=-++⎢⎥++⎣⎦.110x << ，2111x ∴<+<，()251101x x ∴++≥=+，当且仅当2511x x =++，即4x =时等号成立，18108y ∴≤-=，∴当4x =万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元.21．己知221,0()log (1),0x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩.(1)作出函数()f x 的图象；(2)写出函数()f x 的单调区间；(3)若函数()y f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)作图见解析(2)()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞；无单调递减区间；(3)12m <≤【分析】（1）根据函数()f x 的表达式，作出函数的图象即可；（2）根据函数()f x 的函数图象，写出单调区间即可；（3）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，数形结合得出结果即可．【详解】（1）画出函数()f x的图象，如图所示：（2）由图象得：()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞；无单调递减区间；（3）若函数()y f x m =-有两个零点，则()y f x =与y m =有2个交点，结合图像得12m <≤.22．已知函数f （x ）=lg11axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数．（Ⅰ）求a 的值，并求出f （x ）的定义域（Ⅱ）关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解，求a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）a =-1，定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）（Ⅱ）a ∈[0，lg7]．【分析】（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出a 的值，根据对数函数的解析式，即可求出函数的定义域，（Ⅱ）关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[13,22]有实数解，转化为lg （22x -1）=a 在x ∈[13,22]有实数解，根据函数的单调性，求出y=lg （22x -1）的值域即可求出a 的范围【详解】（Ⅰ）∵函数f （x ）=lg11ax x --的图象关于原点对称，∴函数f （x ）=lg 11ax x --为奇函数，即f （-x ）+f （x ）=0，∴11011ax ax lg lg x x +-+=---，且a≠1∴lg ()()()()1111ax ax x x +--+=0，∴()()()()1111ax ax x x +--+=1，整理可得，（a2-1）x2=0恒成立，∴a=1（舍）或a=-1，f （x ）=lg 11x x +-，由11x x +-＞可得，x ＜-1或x ＞1，即函数的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞），（Ⅱ）设2x=t ，则]，∵关于x 的方程f （2x ）+21g （2x-1）=a 在x∈[12，32]有实数解，∴lg 2121x x +-+21g （2x-1）=lg （2x+1）（2x-1）=lg （22x-1）=a 在x∈[12，32]有实数解，设u=22x-1，则u （x ）为增函数，y=lgu 为增函数，∴y=lg （22x-1）在[12，32]上为增函数，∴0≤y≤lg7，∴a∈[0，lg7]．本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数函数的基本运算性质，以及复合函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和对数函数的基本运算性质和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.。
湖北省武汉市江夏区2022-2023学年高一年级(上)数学期末模拟测试(含答案及详解)
武汉市江夏区2022-2023学年高一年级（上）数学期末模拟测试一、单项选择题（（本题共8个小题，每小题5分，共（40分。
下列各题，每小题只有一个选项符合题意。
）1.（若集合{2,1,0,1},{0,1,2,3}A B =--=，则下列选项正确的是（（（（（） A.（A B B =B.（1,0,1{,2,}3A B =-C.（{0,1}AB =D.（A B A ⋃=2.（sin 45cos15cos 45sin15-=（（（（（）A.（2B.（2C.（12D.（2-3.（()sin 1080-︒=（（（（（） A.（12-B.（1C.（0D.（﹣14.（设函数()f x =22log ,2,, 2.x x x a x >⎧⎨-+≤⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（（（（（） A.（(-∞，1] B.（[1，+∞) C.（(-∞，5]D.（[5，+∞)5.（()00f =是()f x 为奇函数的（（（（（） A.（充分不必要条件 B.（必要不充分条件 C.（充分必要条件D.（既不充分也不必要条件 6.（设3log 42a =，则4a -=（（（（（） A.（116B.（19C.（18D.（167.（函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移3π单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式是（（（（（）A.（()sin2g x x =B.（()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.（()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.（()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.（已知定义在[]3,3-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，在[]0,3的函数图象如图所示，则不等式()cos 04x f x π⎛⎫⋅<⎪⎝⎭的解集为（（（（（）A.（()()0,12,3B.（()()2,12,3--C.（()()2,10,1--⋃D.（()()()2,10,12,3--二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（已知集合P ，Q 是全集U 的两个非空子集，如果P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠，那么下列说法中正确的有（（（（（） A.（P ∀∈，有x Q ∈ B.（P ∃∈，使得x Q ∉ C.（Q ∀∈，有x P ∈D.（Q ∃∈，使得x P ∉10.（已知α∈R，sin cos 2αα+=，那么tan α的可能值为（（（（（）A.（2+B.（2-C.（2D.（2-11.（下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（（（（（） A.（sin y x =B.（cos y x =C.（tan y x =D.（cos 2y x =12.（已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，当1x >时，()0f x <，且()()()f x y f x f y ⋅=+，且(2)1f =-，下列说法正确的是（（（（（）A.（()10f =B.（函数()f x 在(0,)+∞上单调递减C.（1111()()()()(2)(3)(2020)(2021)20212021202032f f f f f f f f +++++++++= D.（满足不等式1()(3)2f f x x--≥的x 的取值范围为[4,)+∞三.填空题(共4题，总计（16分)13.（不等式201x x -≥+的解集是___________. 14.（()sin 501︒+︒（的值__________. 15.（若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.16.（若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()f x f x π+=，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2sin f x x =，则13934f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________.四.解答题(共6题，总计74分)17.（设函数()lg(2)f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围; （2）若AB =∅，求实数m 的取值范围.18.（计算下列各式的值：（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯.19.（已知函数()f x =()2g x x =-.（1）求方程()()f x g x =的解集； （2）定义：{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值.20.（已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21.（已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点()9,2. （1）求a 的值.（2）若()()()22g x f x f x =-++. （i）求()g x 的定义域并判断其奇偶性； （ii）求()g x 的单调递增区间.22.（设函数()142221x x x f x +-+=-，0x >．（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数()21g x x ax =-+，若对[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，求正实数a 的取值范围．武汉市江夏区2022-2023学年高一年级（上）数学期末模拟测试参考答案及解析一.单项选择题（ 1.【答案】：C 【解析】：由{}0,1A B =，故A 错，C 正确；由}1,0,12,,2,{3AB --=，故B，D 错；故选：C 2.【答案】：C【解析】：()1sin 45cos15cos 45sin15sin 4515sin 302-=-==. 故选：C 3.【答案】：C【解析】：()sin(1080)sin 33600sin 00-︒=⨯-︒+︒=︒=⎡⎤⎣⎦． 故选：C． 4.【答案】：B【解析】：x（>（2时，y（=（log 2x（>（1∴要使函数的值域为R ，则y（=（-x 2（+（a 在x（≤（2上的最大值a 大于等于1 即，a（≥（1 故选：B 5.【答案】：D【解析】：因为奇函数的定义域关于原点对称，()00f =时()y f x =的定义域不一定关于原点对称，所以()00f =不是()f x 为奇函数的充分条件； 如果()f x 为奇函数在0x =处有定义时有()00f =， 在0x =处没有定义时没有()00f =，所以()00f =不是()f x 为奇函数的必要条件；综上，()00f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件.故选：D. 6.【答案】：B【解析】：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 7.【答案】：C【解析】：由图可知1A =；设周期为T ，则1741234T πππ=-=，所以T π=； 又2T ππω==，所以2ω=.由23k πϕπ⨯+=，k Z ∈，令0k =，得3πϕ=.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；因为将()y f x =的图象向右平移3π单位长度得到函数()y g x =的图象， 所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C. 8.【答案】：D【解析】：由函数()f x 在[]0,3的函数图象知：当0x >时， 当01x <<时，044x ππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫>< ⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭； 当12x <<时，442x πππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅>⎪⎝⎭； 当23x <<时，3244x πππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫<>⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭； 又因为函数()f x 满足()()f x f x -=-， 所以函数()f x 是[]3,3-上的奇函数，所以不等式()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭的解集为()()()2,10,12,3--，故选：D 二.（多选题（ 9.【答案】：BC【解析】：由于,P Q 是全集U 的非空子集，P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠， 所以Q 是P 的真子集，所以P ∃∈，使得x Q ∉、Q ∀∈，有x P ∈，即BC 选项正确. 故选：BC 10.【答案】：BD【解析】：因为sin cos 2αα+=①，又sin 2α+cos 2α=1②，联立①②，解得4sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或，4sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α∈R，所以tan 2α=-+2- 故选：BD 11.【答案】：CD【解析】：对于A ，sin y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上sin sin y x x ==单调递减，所以A 错误；对于B ，cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以B 错误； 对于C ，tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以C 正确； 对于D ，cos 2y x =最小正周期为22T ππ==，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 正确， 故选:CD .12.【答案】：ABD【解析】：对于A：令1x y ==，得(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，所以(1)0f =，故选项A 正确；对于B：令1y x =，得11()(1)0f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则()()()2212111x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为211x x >，所以21()0x f x <，所以21()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故选项B 正确； 对于C：1111()()()()(2)(3)(2020)(2021)2021202032f f f f f f f f +++++++++1111(2021)(2020)(3)(2)2021202032f f f f =⨯+⨯++⨯+⨯=(1)(1)(1)0f f f +++=故选项C 不正确；对于D：因为(2)1f =-，由1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得1()(2)12f f =-=，所以111()()()2422f f f =+=，所以不等式1()(3)2f f x x --≥等价于111()()()34f f f x x +≥-即11()()(3)4f f x x ≥-，因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以11(3)430x x x ⎧≤⎪-⎨⎪->⎩解得：4x ≥，所以原不等式的解集为[4,)+∞，故选项D 正确；故选：ABD 三.（填空题13.【答案】：（{|2x x ≥或}1x <-【解析】：因为201x x -≥+，所以()()21010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得2x ≥或1x <-， 所以不等式201x x -≥+的解集是{|2x x ≥或}1x <-.故答案为：{|2x x ≥或}1x <-. 14.【答案】：（1【解析】：解：（()sin501sin50︒+︒=︒⨯()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1.15.【答案】：（1m ≤-【解析】：由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减， 二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-16.【答案】：（【解析】：解：因为()()f x f x π+=， 所以函数()f x 是以π为一个周期的周期函数，所以92sin 444f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1313333f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以13934f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 四.解答题 17【答案】：（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（（（（ （2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】：【小问1详解】 解：由题知{}2A x x m =>， 2901x x ⎧-≥⎨>⎩（，解得：13x <≤， {}13B x x =<≤若B A ⊆，则21m ≤，即12m ≤， ∴实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【小问2详解】解：若A B =∅，则23m ≥，即32m ≥， ∴实数m 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 18【答案】： （1）12-；（2）0. 【解析】：（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1211234341232⨯⨯⨯⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 112322=+-=-； （2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯3325log 4log 36log 52log 2=-+⨯34lg52lg 2log 36lg 2lg5=+⨯ 31log 29=+23log 32-=+ 220=-+=19【答案】：（1）{}1,4（（（（（2）2,01()42,4x x h x x x x -≤<⎧=≤≤->⎩（（（（（3）图象见解析，单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，最小值为1【解析】：()2,0124222,4x x x h x x x x x x -≤<⎧⎧≥-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩.【小问3详解】函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.20【答案】： （1）2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（（（（（2）()min 1f x =-，()max2f x = 【解析】：【小问1详解】 令2223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈， 可得236k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈ 故()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【小问2详解】（由（1）知当1k =时，()f x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 可得()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减， 而,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 从而()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 故()min 13f x f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()max max ,12212f x f f f πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭. 21【答案】：（1）3a =； （2）（i）定义域为()2,2-，()g x 是偶函数；（ii）()2,0-.【解析】：（1）由条件知()9?log 92a f ==，即29a =，又0a >且1a ≠，所以3a =； （2）()()()()()3322 log 2log 2g x f x f x x x =-++=-++.（i）由2020x x ->⎧⎨+>⎩得22x -<<，故()g x 的定义域为()2,2-. 因为()()()()33log 2log 2g x x x g x -=++-=，故()g x 是偶函数；（ii）()()()()2222log 2log 2log 4g x x x x =-++=-，因为函数3log y u =单调递增，函数24u x =-在()2,0-上单调递增，故()g x 的单调递增区间为()2,0-.22【答案】：（1）[)2,+∞；（（（（ （2）50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【解析】：【小问1详解】∵()()21214221212121211x x x x xx x f x +-+-+===-+---，又0x >，210x ->， ∴()2f x ≥=，当且仅当12121x x -=-，即1x =时取等号， 所以()[)2,f x ∈+∞，即函数()f x 的值域为[)2,+∞． 【小问2详解】∵()12121x x f x =-+-， 设21x t =-，因为[]1,2x ∈，所以[]1,3t ∈，函数1y t t =+在[]1,3上单调递增，∴102,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()102,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 设[]1,2x ∈时，函数()g x 的值域为A ．由题意知102,3A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦， ∵函数()21g x x ax =-+，函数()g x 图象的对称轴为02a x =>，当12a ≤，即02a <≤时，函数()g x 在[]1,2上递增， 则()()121023g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即22112102213a a ⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩， ∴506a <≤， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[]1,2上的最大值为()1g ，()2g 中的较大者， 而()120g a =-<且()2521g a =-<，不合题意， 当22a >，即4a >时，函数()g x 在[]1,2上递减， 则()()101322g g ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，即22101132212a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩，满足条件的a 不存在， 综上，50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．。
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yx高一数学期末练习（三）一、选择题（每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知{1,1,2},{0,1}A B =-=，则AB 等于（ ）A 、{1,0,1,1,2}-B 、{1,0,1,2}-C 、{1,2}-D 、{1}2、如图所示为正方体，棱长为2，E 为正方体的对角线AB 的中点，则点E 的坐标为（ ）A 、(2,1,1) B.(1,2,1) C.(1,1,1)D.(1,1,0)3、若1,10a b >-<<，则函数xy a b =+的图像一定在（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、三、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、二、四象限4、若已知一个几何体的主视图如图，则此几何体（ ）A 、一定是圆台B 、可能是圆柱C 、可能是圆台或棱台D 、可能是棱柱或棱锥 5、()ln 25f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.(1,2)A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D6、圆2210x y +=上一点(2,)(0)M a a <的切线方程为（ ）.2100A x -=.2100B x -=.2100C x +±=.2100D x ±-=7、关于直线m,n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥，则m n ⊥；④若//,,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n 。
其中真命题的序号是（ ）A 、①②B 、③④C 、①④D 、②③8、下列关于函数21()21x x f x +=-的奇偶性判断正确的是（ ）A 、是奇函数但不是偶函数B 、是偶函数但不是奇函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数9、直线l 过点(1,2)P ，且点(2,3),(4,5)M N -到l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ）.460A x y +-= .460B x y +-=C ．3270x y +-=或480x y +-=D 、2370x y +-=或460x y +-=10、函数211(10)()2(0)x x x f x e x -⎧+-<<⎪=⎨⎪≥⎩若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能的值为（ ） A 、1-或B 、1 C 、1D 、1或 11、一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，则它的全面积为（）ABCD 12、设函数()()f x x R ∈为奇函数，(1)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(5)f 等于（ ）.0A.1BC.5.2C.5D二、填空题（每小题4分，共16分）13.两条直线2380x y +-=和46230x y ++=的距离为 。
14、设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且0x >时，2()1f x x =+，则(2)f -= 。
15、圆22250x y x +--=和圆222440x y x y ++--=的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 。
16、函数2log 1,1()1,01x x f x x x+≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩的值域为 。
主视图高一数学期末练习（三）二、填空题：13、 14、15、 16、 三、解答题（共74分）17、 (本小题满分12分)设函数2()(8)f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是-3和2. （1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域。
18、(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD 中，AD=AC ，BC CD ⊥，点E 、F 分别是BD 、CD 的中点。
求证：（1）直线BC//平面AEF ； （2）平面ACD ⊥平面AEF 。
19、(本小题满分12分)求过直线1:210l x y ++=和2:3230l x y -+=的交点且与点(2,1)-的距离为1的直线方程。
20、(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车60辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆将会增加1辆；每减少50元时，未租出的车辆将会减少1辆。
租出的车辆每月需要维护费200元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（收入-维护费）最大？最大月收益是多少元？BA CEFD21、(本小题满分12分)已知函数y =)21)(log 2(log 42--x x (2≤x ≤4) （1）令x t 2log =,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围. （2）求该函数的值域.22、(本小题满分14分)已知圆C 过点（1，0），圆心C 在射线3(0)y x x =>上，且直线0x y -=被圆C截得的弦长为。
（1）求圆C 的方程；（2）从圆外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PM PO =，求P 点的轨迹方程；（3）在（2）的条件下求||PM 的最小值。
高一数学期末练习（三）参考答案1、B2、C3、A4、C5、B 由(2)(3)0f f <，知选B 。
6、A 设切线方程为210x ay +=，由0a <，知选A 。
7、D8、A ()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且2112()()2112x xxxf x f x --++-===---，故()f x 为奇函数。
9、C10. D 0()2(1)21f a f e =-=-=。
当10a -<<时，2112a +=，得2a =-；当0a ≥时，11a e -=，得1a =。
故选D 。
11、B 由题意知，正三棱锥的四个面均为边长为4的等边三角形，故其全面积为1442S =⨯⨯⨯=12、D 由已知得(1)1,(12)(1)(1)(2)f f f f f -=-∴-+==-+，(2)2,(5)f f ∴=∴=(32)(3)(2)2(2)(1)2215f f f f f +=+=+=⨯+=。
13、解析：2339|8|d --===14、解析：2(2)(2)(21)5f f -=-=-+=-。
答案：5-。
15、解析：两圆的圆心分别为(1,0),(1,2),AB -的垂直平分线方程即为两圆的连心线，故其方程为(1)y x =--，即10x y +-=。
答案：10x y +-=。
16、[1,)+∞17、解：（1）由(3)93(8)0(2)42(8)0f a b a ab f a b a ab -=----=⎧⎨=+---=⎩解得08a b =⎧⎨=⎩（舍）或35a b =-⎧⎨=⎩。
2()3318f x x x ∴=--+（2）2175()3()24f x x =-++。
可知()f x 在定义域[0,1]上单调递减。
所以， 当1x =时，min ()12f x =；当0x =时，max ()18f x =。
因此，值域为[12,18]。
18、证明：（1）点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，//EF BC ∴。
又BC ⊄平面AEF ，//BC ∴平面AEF 。
（2）AD AC =，F 是CD 的中点，AF CD ∴⊥。
又,//,BC CD EF BC DC EF ⊥∴⊥。
AF EF F =，DC ∴⊥平面AEF ，又DC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面AEF 。
19.解：由方程组2103230x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得交点为(1,0)-，若直线l 斜率存在，设直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，1=，解得0k =，此时，:0l y =。
若直线l 斜率不存在，直线方程1x =-也满足题意。
故所求的直线方程为1x =-或0y =。
20、解：(1)每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为360030001250-=辆，所以这时租出了48辆车。
（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为3000()(60)(200)50x f x x -=--，整理得211()(6000)(200)(62001200000)5050f x x x x x =--=--+21(3100)16820050x =--+。
所以，当3100x =时，f ()x 最大，最大值为(3100)168200f =。
答：每辆车的月租金定为3100元时，租赁公司的月收益最大，最大为168200元。
21. 解：（1）y =（)2log 2-x （)21log 212-x =2122)(log x -23x 2log 1+ 令x t 2log =，则123212+-=t t y 81)23(212--=t42≤≤x 21≤≤∴t ………8分（2）当23=t 时，81min -=y ………10分 当1=t 或2时，0max =y ∴ 函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,81 …………12分 22、解：（1）圆心C 在射线3(0)y x x =>上，∴可设圆心为(,3)(0)a a a >，半径为r ，从而圆的方程为222()(3)x a y a r -+-=。
圆过点(1,0)，222(1)(03)a a r ∴-+-=，即221021a a r -+=，①又直线0x y -=被圆C截得的弦长为，227r ∴+=，即2227r a =+，② 将②代入①得22102127a a a -+=+，即2430a a --=。
0,1,a a >∴=从而29r =，∴圆C 的方程为22(1)(3)9x y -+-=。
（2）如图，设(,)P x y ，2222||||||PO PM PC r ==-，2222(1)(3)9x y x y ∴+=-+--整理得2610x y +-=，∴P 点的轨迹方程为2610x y +-=。
（3）欲使||PM 取最小值，只须||PO 最小。
即在直线2610x y +-=上求一点P 到O 点最短，即O 点到直线210x ty +-=的距离，即20d ==。
xy。