2018年高考数学总复习第五章平面向量、复数第2讲平面向量基本定理与坐标表示学案!
2018届高考数学一轮复习课标版理科配套课件：第5章-第
)
4 3 B.5，－5 4 3 D.－5，5
[解析]
→ ＝ (4 － 1 ， － 1 － 3) ＝ (3 ， － 4) ， 则 | AB → |＝ AB
→ 1 AB → 2 2 3 ＋－4 ＝5.与AB同方向的单位向量为 ＝5(3，－4)＝ → |AB|
3 4 ，－ . 5 5
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
[解析]
解法一：若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则 e1∥e2，而
a 不能由 e1，e2 表示，排除 A；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)， －1 2 因为 5 ≠ ，所以 e1，e2 不共线，根据平面向量基本定理， －2 可以把向量 a＝(3,2)表示出来，故选 B.
[答案]
A
4．已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)且 a∥b，则 y 等于( A．5 32 C. 5
[解析] [答案]
)
B．10 D．15
∵a∥b，∴4y－40＝0 得 y＝10. B
5． (2016· 贵州调研)在下列向量组中， 可以把向量 a＝(3,2) 表示出来的是( ) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
的坐标为(4,3)， → |＝ 5，|OB → |＝5. |OA 又 tan∠AOB＝tan(∠AOy＋∠BOy) tan∠AOy＋tan∠BOy ＝ 1－tan∠AOy· tan∠BOy 4 2＋3
＝
4＝－2， 1－2×3
2 所以 sin∠AOB＝ . 5 1 → → 1 2 所以 S△AOB＝2|OA||OB|sin∠AOB＝2×5 5× ＝5. 5
(3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1 ＝μ2.( )
高考数学一轮复习第五章第二讲平面向量基本定理及坐标表示课件
(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算 都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合 起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【变式训练】
1.(2023 年佛山市二模)已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(－1，
∴S△OBC·O→A＋S△OAC·O→B＋S△OAB·O→C＝0.
【名师点睛】由于例 5 对应的图象和奔驰车的标志很相似， 因此我们把例 5 的结论称为“奔驰定理”.
[例 6]已知 O 是△ABC 内部的一点，∠A，∠B，∠C 所对的
A→C等于( )
A.－2A→D
B.2A→D
C.－3A→D
D.3A→D
解析：由题意得A→B＝(1，2)，A→C＝(－1，4)，A→D＝(0，－2)， 所以A→B＋A→C＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3A→D.故选 C.
答案：C
(2)如图 5-2-4，在梯形 ABCD 中，A→B＝2D→C，直线 AC 交 BD 于点 P，Q 为 BC 的中点，设A→B＝a，A→D＝b，则P→Q＝( )
－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为( )
A.(1，4)
B.(1，5)
C.(2，4)
D.(2，5)
解析：根据题意，设点D的坐标为(x，y)，在平行四边形ABCD
中，A→B＝(4，1)，D→C＝(5－x，6－y)，又A→B＝D→C，即(4，1)＝
(5－x，6－y)，解可得 x＝1，y＝5，即点D的坐标为(1，5).故选B.
答案：D
2.(多选题)(2023 年漳州市期中)如图 5-2-3，在四边形 ABCD
高考数学一轮复习第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示讲义含解析0513143.doc
第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破点一 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→等于________．答案：b －12a2．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：03．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3 e 1＋3 e 2[典例感悟]1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB ―→＋23 AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．解析：因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t (AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案：34[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选 D 因为AB ―→＝AN ―→＋NB ―→＝AN ―→＋CN ―→＝AN ―→＋(CA ―→＋AN ―→)＝2AN ―→＋CM ―→＋MA ―→＝2AN ―→－14AB ―→－AM ―→，所以AB ―→＝85AN ―→－45AM ―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45. 2．如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.突破点二 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力]1．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－62．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则AC―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则BC ―→＝(x ＋3，y －2)＝(2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6，即C (－1,6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0,5)， 所以BD ―→＝(0＋3,5－2)＝(3,3)． 答案：(3,3)[全析考法]考法一 平面向量的坐标运算[例1] (1)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 [解析] (1)因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．(2)因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选C.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考法二 平面向量共线的坐标表示[例2] (2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a)，求实数k ；(2)若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c |＝5，求d 的坐标． [解] (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，| d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[集训冲关]1.[考法一]如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9,8) B ．(－7，－4) C ．(7,4)D ．(－9，－8)解析：选B a －2b ＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.2.[考法二]已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( ) A ．b ＝(2，－2) B ．b ＝(－2,2) C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)解析：选A (2，－2)＝2(1，－1)，b ＝2a ，故选A.3.[考法一]已知向量a ＝(1，m)，b ＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0，则实数m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2.答案：±24.[考法二 ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若ma －nb 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则m n＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得ma －nb ＝(m ＋2n ,2m －3n)，2a ＋b ＝(0,7)，由ma －nb 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n)＝0，则m n＝－2.答案：－2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第二节 平面向量基本定理及坐标表示)
第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 1基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； 2基底给定，同一向量的分解形式唯一； 3如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b.∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b.[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB―→＋13AC ―→＝13a ＋13b.2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)，由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清] 1.变结论本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________.解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分． 考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b)∥(a －3b)，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b)∥(a －3b)得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)[课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b|＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b|＝－32＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．22 B.2 C ．2D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D.3解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以m n＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0得2|a|－|b|＝0， 所以|b|＝2|a|，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a|＝25，a ＝λb(λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a|＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb(λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4. ∴m －n ＝－6. 答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .。
高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示课件文
|=B5C.
考点突破
考点一 平面向量基本定理及其应用
典例1 (1)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB.若 C B=a, C = A b,|a|=1,|
b|=2,则C D= ( )
A. 1 a+2 b 2B. 1 a+ b 3 C.4 a+ b4 3 D. a+ b
33
33
55
55
设N(x,y),则M N=(x-5,y+6)=(-3,6),
所以
x y
即5
6
6
3,故, 点 Nxy 的 20 坐,. 标为(2,0).
4.(2016北京海淀一模)已知向量a=(1,t),b=(3,9),若a∥b,则t= ( C)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C ∵a=(1,t),b=(3,9),a∥b, ∴1×9=3t,∴t=3.故选C.
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
∴ A C=
2
( A E+
A),F∴λ=μ=
,2∴λ+μ= 4 .
3
3
3
方法指导 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该 组基底的线性组合,再进行向量的运算. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要 熟练运用线段中点的向量表达式. 注意:零向量和共线向量不能作基底.
3 4
解 x得 2
2x
y y
, ,
x+y=1 3 ,故选D.
5
所以 x
201x届高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5-2 平面向量基本定理及坐标表示 文
A．a－12b C．a＋12b
B.12a－b D.12a＋b
(2)(2018·广东珠三角调研)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB， BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实 数)，则 λ1＋λ2 的值为________．
[答案] (1)C (2)A
[拓展探究] (1)本例(1)改为：已知平行四边形三个顶点的坐 标分别为 ( －1,0) ，(3,0)，(1， － 5) ， 则第四个顶点的 坐标为 ________．
(2)在本例(2)中若点 P 在直线 AB 上，其余条件不变，则点 P 的坐标是________．
[解析]
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
[答案] (1)(2,4) (2)B (3)8
利用两向量共线解题的 2 个方法 (1)一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求 向量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量．
∴xy－ ＋15＝ ＝40， .
∴xy＝ ＝5－，5. ∴D2(5，－5)．
③若四边形 ACBD3 为平行四边形，则A→D3＝C→B. 而A→D3＝(x＋1，y)，C→B＝(2,5)，
∴xy＋＝15＝，2， ∴xy＝＝15，.
高考数学一轮复习 第5章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示课件
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(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝ 11 _____(_x_2－__x_1_，__y_2－__y_1_)_________， |A→B|＝ 12 ______x2_－__x_1_2_＋___y_2－__y_1_2_____.
4．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔ 13 ____x_1_y2_－__x_2_y_1＝__0_______.
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解析 答案
4．在△ABC 中，已知 A(2,1)，B(0,2)，B→C＝(1，－2)，则向量A→C＝( )
A．(0,0)
B．(2,2)
C．(－1，－1)
D．(－3，－3)
解析 因为 A(2,1)，B(0,2)，所以A→B＝(－2,1)．又因为B→C＝(1，－2)，
第二十六页，共六十八页。
[即时训练] 3.已知 OB 是平行四边形 OABC 的一条对角线，O 为坐标
原点，O→A＝(2,4)，O→B＝(1,3)，若点 E 满足O→C＝3E→C，则点 E 的坐标为( )
A.－23，－23 C.13，13
B.－13，－13 D.23，32
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第五章 平面 向量 (píngmiàn)
第2讲 平面向量(xiàngliàng)的基本定理及坐标 表示
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1
PART ONE
基础知识整合(zhěnɡ hé)
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1．平面向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个 01 __不__共__线___向量，那么对这一平面内 的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2 使 a＝ 02 __λ_1e_1_＋__λ_2_e2___.
2018年高考数学总复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
所以
3 ������ + ������ = 1,
4
������
+
1 2
������
=
解得 0,
������
=
-
4 5
,
������
=
8 5
,
所45 以
λ+μ=4.
5
关闭
解析 答案
-18-
考点1 考点2 考点3 考点4
对点训练 2 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若
2由0a2���0������a������+������1���5+b1���5������b������+������1���2+c1���2������c������=������0���,=则0,△得A-B2C0a的���������最���+小15角b������的������+正12弦c(值���������等��� −于������(������)=0), 关闭
考点1 考点2 考点3 考点4
-15-
思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么? 解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行 四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量 用这一组基底表示出来.
考点1 考点2 考点3 考点4
-13-பைடு நூலகம்
(2)∵������������=2e1+e2,������������=3e1-e2,
∴������������ = ������������ − ������������=(3e1-e2)-(2e1+e2)=e1-2e2.
最新高考数学总复习——第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
1＝λ， D [选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝0， 无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ－＝21＝，2λ， 无解；
考点1 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的 形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方 便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1.如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)
，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
，
λa＝(λx1，λy1)
，|a|＝ x21＋y21 .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1)
，
|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 .
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔ __x1_y_2－__x_2y_1＝__0____.
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．若G是△ABC的重心，则
G→A
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第2节 平面向量基本定理及坐标表示
,
(1)向量共线的两种表示形式
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2): ① a ∥ b⇒a=λb(b ≠ 0); ② a ∥ b⇔x1y2-
x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉
及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用
用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几
何问题转化为数量运算问题.
[针对训练]
(1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),
→
→
且 =2 ,则顶点D的坐标为(
√
A.(2, ) B.(2,-
C.(3,2) D.(1,3)
)
)
解析:(1)设 D(x,y),
→
→
→
→
又 M 是线段 AD 的中点,所以= = + ,
→
→
→
→
→
→
→
→
所以=+=-+ + =- + ,
所以 x=- ,y= ,故 x+y=- .故选 B.
(2)如图,在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,BC 的中点,连接
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.( ×
)
(2)设a,b是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+
μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √
)
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数2平面向量基本定理及坐标运算课件理
题型二 平面向量坐标的基本运算
(1)平行四边形 ABCD 中，A→C＝(2，3)，B→D＝(－1，4)， 求A→B，A→D.
【解析】 A→B＋A→D＝A→C＝(2，3)，A→B－A→D＝D→B＝(1，－4)． ∴2A→B＝(2，3)＋(1，－4)＝(3，－1)，∴A→B＝(32，－12)． ∴2A→D＝(2，3)－(1，－4)＝(1，7)．∴A→D＝(12，72)．
答案 (1)－3 (2)2 解析 (1)∵a∥b，∴－1×6＝2λ，∴λ＝－3. (2)因为 a⊥b，所以 a·b＝－2×3＋3m＝0，解得 m＝2.
第十四页，共50页。
6．已知点 A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下 面的结论：
①直线 OC 与直线 BA 平行； ②A→B＋B→C＝C→A； ③O→A＋O→C＝O→B； ④A→C＝O→B－2O→A. 其中正确的结论是________．
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题型三 平面向量平行与垂直的坐标表示 已知 a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； (2)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 垂直； (3)若A→B＝2a＋3b，B→C＝a＋mb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值．
第十五页，共50页。
答案 ①③④ 解析 由题意得O→C＝(－2，1)，B→A＝(2，－1)，故O→C∥B→A， 又O→C，B→A无公共点，故 OC∥BA，①正确； 因为A→B＋B→C＝A→C，故②错误； 因为O→A＋O→C＝(0，2)＝O→B，故③正确； 因为O→B－2O→A＝(－4，0)，A→C＝(－4，0)，故④正确．
第六页，共50页。
向量平行与垂直的条件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． (2)a，b 均不为 0 时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)若 a≠0，则与 a 平行的单位向量为±|aa|．
2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数5.2 平面向量基本定理及坐标表示教师用书1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【知识拓展】1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 答案 A2．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)答案 A解析 AB →＝(3,1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 3．(2016·宁波期末)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________. 答案 －12解析 由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n －1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12. 4．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2) 如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.12 C.65D ．2答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)C解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →.又CD →∥AG →，可设CD →＝mAG →，所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝(1＋m 3)AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45答案 D解析 因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43(2)(2016·丽江模拟)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ,4)，且a ∥b ，则2a －b 等于( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8) D ．(－4,8)答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.(2)因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ， 所以1×4＋2m ＝0，即m ＝－2，所以2a －b ＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)(2016·北京东城区模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案 (1)4 (2)A解析 (1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.(2)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.题型三 平面向量坐标的应用命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 (1)(2016·台州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________.(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a ,2)，OC →＝(b ,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．答案 (1)45° (2)3＋222解析 (1)由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.(2)由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λb ＋，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22ab ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．命题点3 利用平面向量的坐标求最值例5 (2016·浙大附中模拟)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝π3，AB ＝1，AD ＝3，P 为平行四边形内一点，AP ＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________． 答案 1解析 以点A 为原点建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，D (32，32)，所以AB →＝(1,0)，AD →＝(32，32)．设AP →，AB →的夹角为θ(0<θ<π3)，则P (32cos θ，32sin θ)，所以AP →＝(32cos θ，32sin θ)，则由题意有(32cos θ，32sin θ)＝λ(1,0)＋μ(32，32)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32cos θ＝λ＋32μ，32sin θ＝32μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12sin θ＋32cos θ，μ＝33sin θ，所以λ＋3μ＝－12sin θ＋32cos θ＋sin θ＝12sin θ＋32cos θ＝sin(θ＋π3)．因为0<θ<π3，所以π3<θ＋π3<2π3，所以sin(θ＋π3)的最大值为1，即λ＋3μ的最大值为1.(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．(2)(2016·温州二模) 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM2＋1CN2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．答案 (1)(2,4) (2)54解析 (1)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x ,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．(2)设CN ＝n ，CM ＝m ，则1m 2＋1n2＝1，设1m ＝sin α，1n ＝cos α(α∈(0，π2))． 因为AC →＝xAM →＋yAN →＝x (AB →＋BM →)＋y (AD →＋DN →) ＝x (AB →＋4－m 4AD →)＋y (AD →＋3－n 3AB →)＝[x ＋y (1－n 3)]AB →＋[x (1－m 4)＋y ]AD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y－n3＝1，x－m4＋y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4n mn －4n －3m ，y ＝－3mmn －4n －3m ，所以x ＋y ＝－4n －3m mn －4n －3m ＝1－mnmn －4n －3m＝1－11－4m －3n＝1－11－α＋3cos α＝1－11－α＋φ，其中(cos φ＝45，sin φ＝35)，所以(x ＋y )min ＝1－11－5＝54.10．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[6分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， [10分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[12分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]1．(2016·宁波六校二模)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →等于( ) A ．b －13aB ．b －23aC ．b －43aD ．b ＋13a答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →，DE →＝2EC →， 所以BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋13CD →＝BC →－13AB →＝AC →－AB →－13AB →＝AC →－43AB →＝b －43a ，故选C.2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2) D ．(－2,0) 答案 A解析 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， ∴x ＝2，y ＝0.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．(2016·余姚一模)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD交于点O ，则CO →的坐标为( )A ．(－12，5) B ．(12，5) C ．(12，－5) D ．(－12，－5) 答案 D解析 ∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC →＝12AC →＝(12，5)， ∴CO →＝(－12，－5)． 5．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43C ．－3D ．0 答案 D解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( ) A ．2B.52 C ．3D ．4 答案 C解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系(图略)，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )． ∵tan 30°＝3n m ＝33， ∴m ＝3n ，即m n＝3，故选C.7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12. 9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. *10.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．11．(2016·绍兴期末)正△ABC 的边长为1，向量AP →＝xAB →＋yAC →，且x ≥0，y ≤1，12≤x ＋y ≤32，则动点P 所形成的平面区域的面积为________．答案 338解析 如图所示，{(x ，y )|AP →＝xAB →＋yAC →，x ≥0，y ≤1}表示的区域为平行四边形ABDC ，因为当x ＋y ＝1时，AP→＝xAB →＋yAC →，此时点P 在BC 上运动；当x ＋y ＝12时，AP →＝xAB →＋yAC →，此时点P 在B 1C 1上运动，且B 1，C 1分别为AB ，AC 的中点，当x ＋y ＝32时，AP →＝xAB →＋yAC →，此时点P 在B 2C 2上运动，且AB 2＝AC 2＝32，所以{(x ，y )|12≤x ＋y ≤32}表示平行四边形ABDC 中夹在B 1C 1和B 2C 2之间的部分，其面积为12×12×32×3＝338. 12．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．*13. 如图所示，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值． (1)解 OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →.(2)证明 一方面，由(1)，得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →) ＝13OA →＋13OB →.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ －λx ＝13，λy ＝13.∴1x ＋1y＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．。
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第2讲 平面向量基本定理与坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) 解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义. (5)向量a 与b 的夹角为∠ABC 的补角. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析 2a ＋b ＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D. 答案 D3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6. 答案 －65.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1，5)6.(2017·浙江五校联考)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0.(1)用OA →，OB →表示OC →为________；(2)若点D 是OB 的中点，则四边形OCAD 的形状是________.解析 (1)因为2AC →＋CB →＝0，所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)如图，D 为OB 的中点，则DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →).故DA →＝12OC →，即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形. 答案 (1)2OA →－OB →(2)梯形考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD → C.12BC → D.BC →(2)(2017·金华调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP→＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.解析 (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →)＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R .因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.答案 (1)A (2)311规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.解析 (1)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .(2)由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案 (1)14a ＋34b (2)34考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)D.(－7，0)(2)(2017·北京西城模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝()A.1B.2C.3D.4解析 (1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.答案 (1)A (2)D规律方法 (1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)D.(5，14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5).由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.答案 (1)D (2)－3考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________. 解析 (1)由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8). (2)设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 答案 (1)(－4，－8) (2)(8，－15)规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. 解析 (1)AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案 (1)A (2)－54[思想方法]1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式. 2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[易错防范]1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标..2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.。