学士论文线性方程组理论的有关应用
数学专业论文—线性方程组的求解及其应用
齐次：
• 若 rankR n，则齐次线性方程组（1.2）只有零解 0,0,,0．
T
• 若 • 若
1 0 0 2 1 0 1 2 1 1 3 1 0 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 4 3 . 2 1 4
3.线性方程组的求解
• 高斯消元法
2 x1 4 x2 2 x3 6, 例3 解线性方程组 x x 5 x 0, 1 2 3 4 x x 2 x 2. 3 1 2
3.线性方程组的求解
• 高斯消元法
2 x1 4 x2 2 x3 6, 例3 解线性方程组 x x 5 x 0, 1 2 3 4 x x 2 x 2. 3 1 2 7 类似的，我们将(3.3)中的第三个方程减去第二个方程的 3 倍，又可以 消去第三个方程中的变量 ，最后得到与(3.2)等价的方程组
• 通解表示形式
例1 求线性方程组的通解
3 x1 x2 x3 2 x4 2, x 5 x 2 x x 1, 1 2 3 4 2 x1 6 x2 3 x3 3 x4 3, x1 11x2 5 x3 4 x4 4.
2 Ax 1 4
4 2 x1 6 1 5 x2 0 B, 1 2 x3 2
其增广矩阵为
2 4 2 6 2 4 2 6 2 4 2 6 A A 1 1 5 0 0 3 6 3 0 3 6 3 4 1 2 2 0 7 2 10 0 0 12 3 量的个数，即当（1.1）中m=n时，即：
数学专业论文—线性方程组的求解及其应用
嘉兴学院南湖学院（2011届）本科毕业论文（设计）题目：线性方程组的求解及其应用专业：数学与应用数学班级学号：姓名：指导教师：完成日期： 2011.5.5诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日线性方程组的求解及其应用***（**学院）摘要：线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用．本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解．另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用．通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷．关键词：线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；LU分解；应用The Solution of Linear System of Equations and It’s Application***（** University）Abstract：Linear system of equations is one of the most basic content in linearalgebra. It plays an important role in many areas, for example in science and engineering calculation. This article discusses the basic structure solution of linear equations, and use Cramer's rule, Gauss-elimination and chase way to find solutions. In addition, it also examines it’s in analytic geometry, higher algebra, operations research, as well as other areas of some simple applications. By the solution of linear system of equations and it’s application, we can make a lot of complicated problems becoming more convenient.Key words：Linear equations; Cramer's rule; Gauss-elimination; LU-decomposition;Application目录1 引言 (1)2 线性方程组求解 (2)2.1 概念 (2)2.2 解的情况及其通解 (3)2.3 克拉默法则 (5)2.4 高斯消元法 (7)2.5 追赶法 (9)2.5.1 LU分解 (9)2.5.2 追赶法 (10)3 线性方程组的应用 (13)3.1 在解析几何中的应用 (13)3.2 在高等代数中的应用 (13)3.3 在运筹学中的应用 (14)3.4 在化学中的应用 (15)3.5 在经济学中的应用 (16)3.6 在控制科学中的应用 (18)4 结束语 (21)致谢 (22)参考文献 (23)1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中．线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等．而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义．因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要[]1．本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式．其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是：1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法．另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用．2 线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么．本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式．另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法．线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等．对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法．而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法．2.1 概念错误!未找到引用源。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。
线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。
本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。
一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。
通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。
举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。
然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。
2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。
通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。
仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。
3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。
通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。
考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。
通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。
二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。
线性方程组的解法及其应用开题报告
[12]张明淳.工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.
[13]赵树嫄.线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.
2.其次，找出解的几何意义并找出应用范围
3.最后，通过实践分析，总结出线性方程组在应用方面的作用
五、主要参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.
[2]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.
第1－2周：完成英文文献翻译工作。撰写开题报告。了解自己论文的背景，目的方案及预期达到的目标。
第3－4周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究,获得一些研究成果。接受指导老师的检验，开题答辩。
2.中期（5-8周）
第5－8周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究；获得一些研究成果；争取有一些理论创新；论文初步完成。
3.全部完成与整理（9-14、15-16周）
第9－14、15－16周：完善论文。写出较高质量的研究报告；接受指导老师的检验。申请结题。
4.答辩（第17周）
第17周：上交论文。接受教师组审查鉴定，进行毕业答辩。
四、预期达到的目标
1.首先，通过对齐次与非齐次线性方程组的求解，找出齐次与非齐次线性方程组解的判定方法
[7]首都师范大学数学系组编.数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.
[8]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147.
线性方程组的解法与实际应用
线性方程组的解法与实际应用线性方程组是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
本文将探讨线性方程组的解法以及其在实际应用中的重要性。
一、线性方程组的解法线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数。
解线性方程组的方法有很多种，常见的有高斯消元法、矩阵法和克莱姆法则。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组解法，它通过消元和回代的方式求解未知数的值。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，然后利用初等行变换将矩阵化为上三角矩阵，最后通过回代求解得到未知数的值。
2. 矩阵法矩阵法是一种简洁高效的线性方程组解法。
将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行运算，得到增广矩阵。
然后利用矩阵的性质进行求解，如行列式的计算、逆矩阵的求解等。
最后得到未知数的值。
3. 克莱姆法则克莱姆法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
根据克莱姆法则，线性方程组的解可以通过系数矩阵的行列式和常数矩阵的行列式之间的关系求得。
具体操作是将系数矩阵的每一列替换为常数矩阵，然后求解行列式的值，最后得到未知数的值。
二、线性方程组的实际应用线性方程组在实际应用中扮演着重要的角色，下面将介绍一些典型的应用场景。
1. 物理学中的应用线性方程组在物理学中有广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用线性方程组表示。
当我们需要求解物体在受力作用下的加速度、速度和位移时，可以通过解线性方程组得到这些物理量的值。
2. 经济学中的应用经济学中的供求关系、成本与收益等问题也可以用线性方程组进行建模和求解。
例如，当我们需要确定某种商品的市场均衡价格和数量时，可以通过解线性方程组得到这些值。
线性方程组的应用
线性方程组的应用一、引言线性方程组是高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨线性方程组的应用，并介绍其中一些常见的应用案例。
二、经济学中的线性方程组应用1. 定价模型在经济学中，定价模型是一种常见的应用线性方程组的方法。
通过分析市场需求、成本和利润等因素，可以建立一个包含多个变量的线性方程组，以决定最优价格。
2. 生产计划线性方程组在生产计划中也有广泛应用。
通过建立产品产量、原材料使用和生产成本之间的关系，可以使用线性方程组来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
三、物理学中的线性方程组应用1. 物体的运动在物理学中，线性方程组可以用于描述物体的运动。
通过考虑物体所受的力和其运动状态之间的关系，可以建立包含时间、加速度、速度和位移等变量的线性方程组，从而预测其运动轨迹。
2. 电路分析电路分析是另一个物理学中常见的线性方程组应用。
通过考虑电流、电压和电阻之间的关系，可以建立描述电路中各个元件的线性方程组，以分析电路的运行状况和性能。
四、工程学中的线性方程组应用1. 结构力学在工程学中，线性方程组在结构力学中的应用尤为重要。
通过考虑结构物体所受的外力和内力之间的平衡关系，可以建立一个包含应力、应变和变形等变量的线性方程组，以确定结构物体的稳定性和安全性。
2. 电力系统分析电力系统分析是工程学中广泛应用线性方程组的领域之一。
通过建立供电网中各个节点之间的电流平衡关系，可以使用线性方程组来分析电力系统的稳定性、电压调节和功率分配等问题。
五、计算机科学中的线性方程组应用1. 图像处理在计算机科学中，线性方程组在图像处理中的应用非常常见。
通过建立图像的颜色和像素之间的关系，可以使用线性方程组来处理图像的变换、增强和恢复等任务。
2. 数据挖掘线性方程组在数据挖掘中也有着广泛的应用。
通过建立数据集中的变量之间的线性关系，可以使用线性方程组来挖掘数据集中隐藏的模式和规律。
六、总结线性方程组作为一个重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从线性方程组的定义、求解方法以及应用方面进行探讨。
一、线性方程组的定义与特点线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b为常数。
线性方程组的特点是未知数的最高次数为一次，且各个未知数之间没有乘积项。
二、线性方程组的求解方法1. 列主元消元法列主元消元法是线性方程组求解的一种常用方法。
它的基本思想是通过消元将线性方程组转化为上三角形方程组，然后通过回代求解未知数。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数项列向量合并在一起。
（2）选取第一列的主元素，即系数矩阵第一列中绝对值最大的元素，如果为零则选取下一列的主元素。
（3）通过初等行变换将主元素所在列的其他元素消为零。
（4）重复步骤2和步骤3，直到系数矩阵变成上三角形矩阵。
（5）通过回代求解未知数，即从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种线性方程组求解的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，然后与常数矩阵相乘得到未知数的解。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成矩阵的形式，即AX = B。
其中，A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
（2）判断系数矩阵A是否可逆，如果可逆则存在唯一解，否则可能存在无解或无穷解。
（3）如果A可逆，则求解A的逆矩阵A⁻¹。
（4）将未知数矩阵X表示为X = A⁻¹B。
三、线性方程组的应用线性方程组在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的应用为例进行介绍。
1. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有着重要的应用。
例如，经济学家可以通过建立线性方程组来描述供求关系、市场均衡等经济现象，进而预测市场的变化趋势。
线性方程组的应用
线性方程组的应用线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
它是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程都是变量的一次函数，并且满足线性性质。
线性方程组的解对于解决实际问题具有重要的意义。
本文将探讨线性方程组在不同领域中的应用。
第一节：物理学中的应用在物理学中，线性方程组被广泛应用于描述各种物理系统的行为。
例如，运动方程可以表示为一个线性方程组，其中每个方程描述一个物体在不同维度上的运动状态。
通过解这个线性方程组，可以得到物体的位置、速度和加速度等信息。
第二节：经济学中的应用线性方程组在经济学中有着重要的应用。
经济学家经常使用线性方程组来建立经济模型，预测市场供求关系、价格变动等。
线性方程组还可以用于优化经济资源的分配，解决供应链管理、生产计划等问题。
第三节：工程学中的应用在工程学中，线性方程组的应用尤其重要。
工程师们利用线性方程组来描绘和解决各种实际工程问题。
例如，在电路设计中，可以通过线性方程组来计算电流、电压和电阻之间的关系。
在结构力学中，可以使用线性方程组分析建筑物承受的力和应力等。
第四节：计算机科学中的应用线性方程组在计算机科学领域也有广泛的应用。
矩阵运算和线性方程组求解是计算机图形学中常用的技术，用于实现三维模型变换、光照计算、碰撞检测等功能。
此外，在机器学习和数据分析中，线性方程组被广泛用于回归分析、分类问题等。
结论：线性方程组是数学中重要的工具之一，其应用范围广泛，不仅在理论研究中有着重要地位，也在各个实际领域中发挥着重要作用。
从物理学、经济学到工程学和计算机科学，线性方程组的应用贯穿各个领域。
通过解线性方程组，我们可以获得有关变量之间关系的重要信息，从而解决实际问题，为各行各业的发展做出贡献。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用一、引言线性方程组是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种经典方法，其基本思想是通过一系列变换将线性方程组化简为简化行阶梯形式，从而得到方程组的解。
1. 列主元素消去高斯消元法的第一步是选取列主元素，并进行消去操作。
选择列主元素的方法有多种，常用的是选取列中绝对值最大的元素作为主元素。
通过逐行操作，将其他行的对应元素通过消去或替换操作，将当前列的主元素下方的元素全部变为零。
2. 回代求解经过列主元素消去之后，线性方程组会被转化为简化行阶梯形式。
接下来通过回代求解方法，即从最后一行开始，逐行求解未知数的值。
将解代入上一行的方程中，逐步回代，直至求得所有未知数的值。
三、矩阵运算法除了高斯消元法外，矩阵运算法也是解决线性方程组的一种常见方法。
通过将系数矩阵与未知数矩阵进行运算，可以直接求解线性方程组。
1. 逆矩阵法若方程组的系数矩阵可逆，即其行列式不为零，则可以通过求解逆矩阵的方法来得到方程组的解。
将方程组转化为矩阵形式，即AX=B 的形式，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
通过求解逆矩阵，即X=A^(-1)B，可以得到未知数矩阵的值。
2. 克拉默法则当方程组的系数矩阵为非奇异矩阵时，可以利用克拉默法则求解线性方程组。
该方法通过求解系数矩阵的各个子式的值，进而得到方程组的解。
具体步骤是将系数矩阵的各列依次替换为常数矩阵，求解出各个子式的值，然后将得到的解代入方程组中即可得到未知数的值。
四、线性方程组的应用线性方程组不仅仅在数学中具有重要意义，其在实际问题中的应用也非常广泛。
1. 物理问题中的应用线性方程组在描述物理问题中经常扮演着重要的角色。
例如，力学中的受力平衡问题、电路中的电流分布问题、热传导中的温度分布问题等，都可以通过建立线性方程组来求解。
2. 经济学问题中的应用线性方程组在经济学中也有广泛的应用。
线性方程组理论的若干应用
编号:0900511101066南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目: 线性方程组理论的若干应用完成人: 李欢班级: 2009-01学制: 4 年专业: 数学与应用数学指导教师: 徐少贤完成日期: 2013-04-12目录摘要 (1)0 引言 (1)1 在初等数学中的应用 (2)1.1 在初等代数中的应用 (2)1.1.1 在证明不等式中的应用 (2)1.1.2 在证明三角恒等式中的应用 (4)1.1.3 在等差数列问题上的应用 (5)1.2 在平面解析几何中的应用 (5)2 在高等数学中的应用 (7)2.1 在判断向量组线性相关性中的应用 (7)2.2 在证明关于矩阵的秩的问题上的应用 (9)3 小结 (10)参考文献 (11)Abstract (12)线性方程组理论的若干应用作 者：李 欢 指导教师：徐少贤摘 要：本文列举了线性方程组理论在初高等数学中的若干应用，在有关文献的定理和习题的基础上进行系统的研究，运用对比和构造的方法，归纳得出了几个常用的新命题，并给出了证明．关键词：线性方程组；线性相关性；不等式; 数列；矩阵的秩0 引言在相当一部分诸如文献[1]的教材中，都把矩阵作为研究的重要工具．然而事实上，线性方程组理论在应用方面也有着举足轻重的地位．并且新的中学教材也已初步渗透了高等数学的一些知识理论．恰当地运用这些知识理论来解决初等数学问题，有助于问题得以迅速地转化和解决；处理高等数学的复杂问题，能使之显得既简洁又优美．本文分初、高等数学两个大的知识板块分别介绍了线性方程组理论在初等数学中的不等式、三角恒等式、数列、几何等，以及在高等数学中的向量组线性相关性、矩阵的秩等各方面的应用．下面先给出线性方程组的四个基本定理及其推论[1]：定理l 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数n ．推论1 含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零．推论2 若在一个齐次线性方程中，方程的个数m 小于未知量的个数n ，那么这个方程组必有非零解．定理2 设齐次线性方程组的系数矩阵的秩r n <，那么它一定存在有n r -个解向量组成的基础解系，并且齐次线性方程组的任意n r -个线性无关的解向量都是它的一个基础解系．定理3 线性方程组1(1,2,,)nij jij a xb i m ===∑ (01)-有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等．定理4 若线性方程组(01)-有解，且其系矩阵A 的秩为r ，那么 1) 当r n =时，方程组(01)-有唯一解； 2) 当r n <时，方程组(01)-有无穷多解．推论3 如果向量组12,,,r ααα可以经12,,,s βββ线性表出，且12,,,rααα线性无关，那么r s ≤．推论4 任意1n +个n 维向量必线性相关．1 在初等数学中的应用1.1 在初等代数中的应用 1.1.1 在证明不等式中的应用不等式的证明问题是贯穿初中高中乃至大学的数学课程的基本问题之一．在不同的阶段，不等式的证明问题也有难有易、灵活多变，以至于大多数中学生为之伤透脑筋．而应用线性方程组理论，能使一些常见的并且相对复杂的证明题简单化，且易于学生记忆和运用. 现举例如下．例 1 已知多项式2()f x x px q =++. 求证: (2)f -,(0)f ,(2)f 中至少有一个不小于2．证明 先找出(2)f -,(0)f ,(2)f 间的关系，有24(2)0,0[(0)]0,24(2)0,p q f p q f p q f -++--=⎧⎪⋅++-=⎨⎪++-=⎩此关于(,,)x y z 的齐次线性方程组2[4(2)]0,0[(0)]0,2[4(2)]0x y f z x y f zx y f z -++--=⎧⎪⋅++-=⎨⎪++-=⎩有非零解(,,1)p q ,于是由定理1的推论1得214(2)01(0)0214(2)f f f ----=-， 化简可得(2)2(0)(2)8f f f --+=．(11)-假设结论不成立，即(2)2f -<,(0)2f <,(2)2f <，易推出8(2)2(0)(2)8f f f -<--+<，这与式(11)-矛盾，故假设不成立，命题得证．例2 已知10log 13a =,22log 5b =,55log 2c =,13log 11d =．求证：()34bc ad b c ++>. 证明 因为10log 13a =，所以应用换底公式得ln2+ln5ln130a a -=，同理将其它三个式子展开得到一线性方程组：ln2+ln5ln130,ln2ln5ln110,ln2ln5ln110,ln11ln130,a ab bc cd -=⎧⎪-+=⎪⎨-++=⎪⎪-=⎩ 容易看出()ln2,ln5,ln11,ln13即是关于()x,y,z,w 的齐次线性方程组x+y w 0,x y z 0,x y z 0,w 0a ab bc c zd -=⎧⎪-+=⎪⎨-++=⎪⎪-=⎩ (12)-的一个非零解．故由定理1的推论1知(12)-系数矩阵0110010001a a b b c c d--=--， 化简得()bc c 12ad b abcd ++=-．又因为1022551322log 13log 5log 2log 11abcd =⋅⋅⋅2ln13ln 5ln 2ln11···ln 2ln 5ln 2ln11ln 5ln11ln13=+++14<= 故得3124abcd ->， 也即()34bc ad b c ++>． 注 在应用线性方程组理论解决例2时，可以发现这样一个现象：只要给出四个不同且大于1的正实数并按一定的排列结合(比如例2选取的是2,5,11,13这四个实数，,,,a b c d 的真数分别是13,5,2,11,各不相同；2510⨯=是a 的底数，21122⨯=是b 的底数，51155⨯=是c 的底数等)得到,,,a b c d 的底数和真数，就都可以得出同样的结论．这是其它解法所发现不到的． 1.1.2 在证明三角恒等式中的应用三角恒等式是高中生学习的难点之一，此类问题极其抽象且相关公式繁多．处理好此类问题，关键在于认真观察与恰当构造图形，但往往不太容易想到．而对于某些三角恒等式问题，合理应用线性方程组的有关理论，将使解题思路和步骤大为简化．例3 在ABC ∆中，已知sin sin a c B b C =+,sin sin b a C c A =+,sin sin c a B b A =+．求证：（1）2222sin c a b ab C =+-； （2）222sin sin sin 2sin sin sin 1A B C A B C +++=．证明 （1） 根据已知条件可构造线性方程组：()()()0sin sin sin 0,sin 0sin sin 0,sin sin 0sin 0,A c B b C a c A B a C b b A a B C c ⋅+⋅+⋅-=⎧⎪⋅+⋅+⋅-=⎨⎪⋅+⋅+⋅-=⎩观察知()sin ,sin ,1A B 是关于(),,x y z 的齐次线性方程组()()()0sin a 0,0sin 0,0sin 0x c y b C z c x y a C b z b x a y C c z ⋅+⋅+⋅-⋅=⎧⎪⋅+⋅+⋅-⋅=⎨⎪⋅+⋅+⋅-⋅=⎩的一组解，且显然它是一非零解，故由定理1的推论1得()()()0sin 0sin 00sin c b C a c a C b b aC c ⋅-⋅-=⋅-， 展开化简即得：2222sin c a b ab C =+-．（2） 同（1）那样先构造一个线性方程组(1)sin sin 0,sin (1)sin 0,sin sin (1)0,a b C c B a C b c A a B b A c ⋅-+⋅+⋅=⎧⎪⋅+⋅-+⋅=⎨⎪⋅+⋅+⋅-=⎩容易看出(),,a b c 是关于(),,p q r 的齐次线性方程组(1)sin sin 0,sin (1)sin 0,sin sin (1)0p q C r B p C q r A p B q A r ⋅-+⋅+⋅=⎧⎪⋅+⋅-+⋅=⎨⎪⋅+⋅+⋅-=⎩的一个非零解，所以由定理1的推论1得1sin sin sin 1sin 0sin sin 1C B C A BA--=-， 即：222sin sin sin 2sin sin sin 1A B C A B C +++=． 1.1.3 在等差数列问题上的应用数列是高考的热点和必考点之一，题目难易不等．在考试中，这类题目要求的是能够快速解决的能力，这就需要必备一些解题技巧．下面将应用线性方程组理论给出一个在处理等差数列时，会经常用到的结论．命题1 若等差数列前k 项的和为k S ，前l 项的和为l S ，则前m 项的和m S可由0222=ml kS m m S ll S k k 求出．(,,)k l m Z +∈其中证明 由等差数列的基本定义，可设前n 项和为2()n S an bn n Z +=+∈，从而bk ak S k +=2,bl al S l +=2，bm am S m +=2，考察齐次线性方程组2220,0,0k l m k x ky S z l x ly S zm x my S z ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解)1,,(-b a ，则由定理1的推论1知系数列行式为零，即：0222=ml kS m m S ll S k k ，(13)-由于k ,l ,m ,k S 及l S 均为已知，故化简(13)-即可求得m S ．例 4 等差数列{}n a 的前m 项和为50，前2m 项和为150，则它的前4m 项和为( )．()230;()70;()500;()360.A B C D解 由以上结论，直接代入(13)-有：222450421500164mm mm m m m S =， 化简即得：4500m S =，故选()C ． 1.2 在平面解析几何中的应用几何是数学的一大分支．平面解析几何的出现，使几何问题数量化，而灵活的将线性方程组理论与平面解析几何进行融合，会收到“柳暗花明又一村”的效果．例5[9] 如图1所示，AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，过点C 做一条直线AB AD 、分别于E F 、．求证：2AF AEFD EB=．图1证明 设BAD α∠=,CAD β∠=,AC b =,AB c =,AD d =,AE e =,AF f =，依面积相等关系得：sin()sin sin 0,sin()sin sin 0,sin sin 0,eb ef bf bc cd bd cd bd αβαβαβαβαβ+--=⎧⎪+--=⎨⎪-=⎩上述等式组对应的关于(x,y,z)齐次线性方程组为x y z 0,x y z 0,0x y z 0,eb ef bf bc cd bd cd bd ⋅-⋅-⋅=⎧⎪⋅-⋅-⋅=⎨⎪⋅+⋅-⋅=⎩它有非零解(sin(),sin ,sin )αβαβ+，于是由定理1的推论1得00ebefbf bc cd bd cdbd----=-， 展开整理有(2)0bcd bde bcf bef --=，化简得21d cf e=+，转化变形既得2AF AE FD EB =． 我们知道中心在坐标原点的椭圆或双曲线这两种圆锥曲线的方程可以表示为：22(0)Px Qy R R +=≠，,,,P Q R P Q ⎧⎪⎨⎪⎩①;②.为同号时表示椭圆为异号时表示双曲线 命题 2 若设曲线过点),(),,(2211y x y x ，把这两点的坐标分别代入曲线方程，可得方程组：22221122210,0,0,Px Qy R Px Qy R Px Qy R ⎧+-=⎪+-=⎨⎪+-=⎩ 这是一个以(,,)P Q R 为未知量的齐次线性方程组，且,,P Q R 不全为零，说明该齐次线性方程组必有非零解．于是系数行列式等于零，即01112222212122=---y x y x y x ． (14)-()1若这两点是关于坐标轴或原点对称的点，即22212221,y y x x ==，那么根据行列式性质知，该行式(14)-恒等于零，从而曲线的方程不能确定；()2若这两点不是关坐标轴或原点对称的点，由以上分析可知过点),(),,(2211y x y x 的曲线方程可以由行列式(14)-唯一确定，展开化简，做适当变形即为曲线的标准形式．至此我们现在就可以利用命题2，能很方便且快速地解决由给定点求椭圆或双曲线的方程问题．例 6求中心在坐标原点且通过两点的椭圆或双曲线方程．解 将条件中的两点代入(14)-，得方程22193101821x y --=-， 化简得：22936x y +=或221364x y +=，即为所求圆锥曲线方程，并且由方程知此圆锥曲线为椭圆．以上线性方程组理论与初等数学结合的几个实例，指出了如何利用所给条件与所求问题之间的关系去构造齐次线性方程组的方法，从而使问题化难为易，从中不仅可以体会到创造性解题的乐趣，也体现了高等数学理论在解决初等问题中的简明和优美．当然，线性方程组理论仅在初等数学方面还有其它的应用，这里不再一一赘述，详可参阅文献[4],[5],[8]或[9]．2 在高等数学中的应用2.1 在判断向量组线性相关性中的应用运用线性方程组理论处理向量组的线性相关性，相较于用定义证明要显得简洁许多，并能得出很多有意思的简短结论，不仅容易记忆而且便于应用，下面将举例说明．此外，本文用到的向量均为n 维向量，下面在用到时不再重复说明．在举例之前，先列出几个新的命题，并给出简单证明.命题3 设12,,,n ααα是一组线性无关的向量，1,1,2,,ni ij j j a i n βα===∑.那么12,,,n βββ线性无关⇔0A ≠，其中()ij nn A a =．证明 12,,,n βββ线性无关⇔10ni i i x β==∑只有零解，⇔110n ni ij j i j x a α===∑∑只有零解，⇔11()0nni ij j j i x a α===∑∑只有零解，⇔10nij i i a x ==∑只有零解，⇔0A ≠．命题3' α的行向量线性无关且A αβ=，则β的行向量也线性无关⇔0A ≠．(其中12(,,,)'n αααα=,12(,,,)'n ββββ=.)容易看出这是命题3的矩阵形式，是命题3的简化，便于应用和记忆． 例7[10] 设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12(,,,)'i i i ni a a a α=，其中1,2,,i n =．讨论当A 的秩()R A n =时，向量组12αα+,23αα+,,1n αα+的线性相关性．解 设12231(,,,)n B αααααα=+++，则有12(,,,)n B D ααα=，其中100001110000011000001000000110000011D ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,且11(1)n D +=+-，即有02n D n ⎧=⎨⎩当为偶数时，当为奇数时，又由0Bx =有()0A D x ⋅=，而()R A n =，故有0Dx =．()1 当n 为偶数时，因0D =,0Dx =有非零解，即0ADx Bx ==有非零解,也即向量组12αα+,23αα+,,1n αα+线性相关． ()2 当n 为奇数时，因2D =，故0Dx =只有零解，即0Bx =只有零解，也即向量组12αα+,23αα+,,1n αα+线性无关． 如果知道例7这个结论，那么我们就很容易处理文献[1]中第155页第6个课后习题，也就是3n =时的情况．此外我们仍需知道，命题3在线性变换一章时，亦是有意义的. 表述出来就是：若设线性变换T 在标准基下的矩阵是A 且0A ≠，那么线性无关的向量组在线性变换T 的作用之后仍为线性无关的向量组．命题4 如果向量组Ⅰ可以由向量组Ⅱ线性表出，那么秩Ⅰ不超过秩Ⅱ． 证明 由假设，Ⅰ的极大线性无关组也可由Ⅱ的极大线性无关组线性表示，根据推论2即可得：≤秩Ⅰ秩Ⅱ．推论5 单位坐标向量12,,,n e e e 可被一n 维向量组12,,,n ααα线性表出，则12,,,n ααα线性无关．证明 设12,,,n ααα的秩为r ，则r n ≤; 而12,,,n e e e 的秩为n ，由命题4得n r ≤，故r n =，即12,,,n ααα线性无关．例8[1] 设12,,,n ααα是一组n 维向量. 求证：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出．证明 必要性 依题意可知单位坐标向量12,,,n e e e 均可由12,,,n ααα线性表出，于是根据推论5知12,,,n ααα线性无关．充分性 设α是任意n 维向量，则12,,,,n αααα是1n +个n 维向量，由推论4知它们必线性相关，而12,,,n ααα线性无关，故α可由12,,,,n αααα线性表出．以上几个命题以及例子，基本上均是从文献[1]这本书的课后习题中转化变形出来的，并根据个人的理解和探究写下的．几个命题、例子的证明过程经过与线性方程组理论相结合，显得思路清晰、步骤简洁．从中可以看出线性方程组理论作为解题工具的强大功能．2.2 在证明关于矩阵的秩的问题上的应用矩阵是线性方程组的抽象，所以处理有关矩阵的问题大多能转化为线性方程组问题．并且在有关矩阵的秩的等式、不等式的证明中，运用线性方程组理论将会使证明过程简单明了．例9[1] 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，则()min{(),()}R AB R A R B ≤．证明 考虑齐次线性方程组：0ABx = (21)- 与0Bx =(22)- 显然(21)-的解为(22)-的解，因此()()s R AB s R B -≥-，即()()R AB R B ≤．同理()()R AB R A ≤，即结论成立，得证．例10[1] 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，且0AB =. 则()()R A R B n +≤． 证明 设V 是0AX =的解空间．若把矩阵B 分块为：12(,,,)s B ααα=，则有表达式0i A α=，则i V α∈,1,2,,i s =．由定理2得()dim ()R B V n R A ≤=-，于是()()R A R B n +≤．例11[1] 若A 是n 阶方阵，且2A A =. 则()()R A R E A n +-=．证明 因为()(())()()n R E R A E A R A R E A ==+-≤+-， (23)- 又因2A A =，也即()0A A E -=，由例10立即得 ()()R A R E A n +-≤， (24)- 由(23)-、(24)-两式得()()R A R E A n +-=．由此我们可以得到在证明一些矩阵秩的问题上可以通过建立与矩对应的齐次线性方程组，再依据齐次线性方程组理论得出关于解向量的式子，从而证明矩阵秩的问题．我们可以发现，例9是文献[1]的一个定理，例10和例11是课后习题，这三个题目看起来关系不大，但通过线性方程组理论就将其巧妙的结合了起来，优于用向量的观点的处理方法，并且大大简化了解题步骤．因此，对于矩阵秩问题的证明，齐次线性方程组理论是一个有力的手段．3 小结通过以上的论述，我们知道线性方程组理论是非常重要的一个数学工具，恰当的应用线性方程组理论有助于问题迅速得以转化和解决．在初等数学中，应用齐次线性方程组理论能够将相对有难度的问题显现出清晰的思路，让人耳目一新.它的处理方法旨在找出各个量之间的线性或非线性关系，并列出等式,联立得等式组．求得等式组后，认真观察分析选取恰当的变量或常量作为新的未知量，形成线性方程组的雏形．至此，再利用线性方程组有关理论即可求解．在高等数学中，不管是向量组还是矩阵，在本质上都可归结为线性方程组，所以思考这些问题时，要多注意与线性方程组相结合，避免用定义证明求解的麻烦．另外就是要常记一些有关线性方程组理论的小结论，再加之以恰当运用会事半功倍．本文仅针对线性方程组理论在初高等数学中部分知识层面的应用而做的简单探究．当然，线性方程组的知识在数学的许多分支及其它许多学科上都有广泛的应用，而很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性问题，我们必须认识到这一点，并且要灵活的加以应用．参考文献[1] 北京大学数学系.高等代数(第三版) [M].北京:高等教育出版社,1988.[2] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[3] 丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1996.[4] 杨成.线性方程组理论的妙用[J].中国民航飞行学院学报,2000,1:45-47.[5] 潘杰,汪泉.齐次线性方程组有非零解条件的应用[J].大学数学,2005(6):70-73.[6] 赵树嫄.线性代数(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,2006.[7] 刘祖望.有非零解的齐次线性方程组的应用[J].涪陵师范学院学报,2002(9):69-70.[8] 史明仁.线性代数600证明题详解[M].北京:北京科学技术出版社,1985.[9] 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Getting these new propositions is by making a system research on theorems and exercises of the relevant literatures.Key words:linear equations; linear correlation; inequality; sequence of number; rank of matrix。
线性方程组解法总结与应用
线性方程组解法总结与应用线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题对于理解和应用这些领域的知识至关重要。
本文将总结一些常见的线性方程组解法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。
高斯消元法的优势在于其简单直观的操作步骤，适用于各种规模的线性方程组。
在实际应用中，高斯消元法常用于解决矩阵方程组的问题。
例如，在电力系统中，通过电流和电压的关系可以建立一个矩阵方程组，通过高斯消元法可以求解出电流和电压的值，从而实现对电力系统的分析和控制。
二、矩阵的逆与克拉默法则矩阵的逆是另一种常见的线性方程组解法。
当线性方程组的系数矩阵可逆时，可以通过求解矩阵的逆来得到方程组的解。
这种方法在计算机科学和工程学中得到广泛应用，例如在图像处理中，通过求解逆矩阵可以实现图像的旋转、缩放和变换。
克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组解法。
它通过计算方程组的行列式和各个未知数的行列式来求解方程组的解。
克拉默法则的优势在于其简单的计算步骤，适用于规模较小的线性方程组。
在经济学中，克拉默法则常用于求解供求模型和投资决策模型等问题。
三、矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将线性方程组转化为矩阵乘法的解法。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和奇异值分解等。
这些方法通过将系数矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程。
LU分解是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
它的优势在于可以将线性方程组的求解过程分解为两个步骤，从而提高计算效率。
在计算机图形学中，LU分解常用于求解图像变换和光照模型等问题。
QR分解是将系数矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
它的优势在于可以将线性方程组的求解问题转化为最小二乘问题，从而提高求解的精度。
线性方程组应用
线性方程组应用线性方程组是现代数学中的一个基本概念，被广泛应用于各个领域。
线性方程组的解可以提供问题的解决方案，因此对于很多实际问题，线性方程组的应用显得尤为重要。
本文将介绍线性方程组的应用在不同领域中的一些案例，以展示它的实际用途。
一、工程领域在工程领域，线性方程组的应用非常广泛。
例如，在电力系统中，我们需要通过建立线性方程组来解决电流、电压和电阻的关系。
通过这些方程组，我们可以计算出电路中各个节点的电压和电流，从而确保电路的正常运行。
此外，在控制理论中，线性方程组也被用于描述系统的动力学行为，通过求解线性方程组可以设计出稳定的控制系统。
二、经济学线性方程组在经济学中有着广泛的应用。
例如，在市场定价中，我们可以通过构建线性方程组来确定供需关系，从而计算出平衡价格和数量。
另外，线性方程组还被用于建立投资组合模型，在给定多种不同的投资选项和预期收益率的情况下，通过求解线性方程组可以确定最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目标。
三、物理学物理学是一个需要运用数学工具解决实际问题的学科，线性方程组在物理学中也有广泛应用。
例如，在力学中，我们可以通过建立质点受力平衡的线性方程组来求解质点的运动状态。
此外，在波动和光学等领域，通过线性方程组可以描述电磁场和波动传播的过程，从而揭示出光学现象的本质。
四、计算机科学计算机科学是一个需要运用数学原理解决问题的学科，线性方程组在计算机科学领域也有着广泛的应用。
在计算机图形学中，我们可以通过线性方程组来解决三维几何变换的问题，如旋转、缩放和平移等。
另外，在机器学习中，线性方程组也被用于训练和优化模型，通过求解线性方程组可以确定模型的参数，使其最优地拟合实际数据。
综上所述，线性方程组在各个领域中都有着广泛的应用。
它不仅是数学研究的基础，还在实际问题的求解中发挥着重要的作用。
通过建立和求解线性方程组，我们可以得到问题的解决方案，推动科学技术的进步和社会的发展。
学论文线性方程组的求解及应用
学年论文题目：浅谈线性方程组的求解及应用学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学学生姓名：学号：指导教师：浅谈线性方程组解的求解及应用数学与统计学院 12级信息与计算科学专业摘要：我们已经学习过了一些关于线性方程组的一般理论，本文在我们学习的基础上总结并推广，讨论了这些理论在高等代数中的应用，并试图应用简单的数学软件来实现求解过程. 英文摘要：We have learned some common theories about system of linear equations, this article will summarize and generalize the theory on the basis of what we have known, discuss their application in high algebra and try to use a simple math software to find roots.关键词:克拉默法则消元解法MA TLAB 直接法迭代法Key Word: Cramer’s Rule Elimination Method MATLAB Direct MethodIterative Method一、引言在自然科学和工程技术中，很多问题的解决往往归结于求解线性代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程组、偏微分方程的边值问题等，最后都归结为求解线性代数方程组.在中学代数中，我们学过二元、三元线性方程组.但在生产实际中所遇到的线性方程组，它的未知量往往不止两个、三个.那我们又该如何其求解呢？本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法.具体地说就是要讨论以下几个问题：（1)线性方程组在什么情况下有解？也就是它有解的充要条件是什么？（2)假如没有解，当然不再讨论：如果有解，它究竟有多少个解？又怎么去求解？（3)假如只有一个解，那也简单；假如有多个解，解与解的关系又是怎么?（4)线性方程组有什么应用？经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，我们用该怎么求解呢？经过数值分析这一门课程的学习我们知道关于线性方程组的数值解法一般两类，一类是直接法，另一类是迭代法.本文将简略介绍直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形（这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法）和详细介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代法、超松弛迭代法以及使用MATLAB 如何进行线性方程组的快速求解.二、简单线性方程组的求解行列式按行展开定理【1】：n 阶行列式D 等于它的任一行元素与该行元素的对应代数余子式乘积之和.即11221,(1,2,).ni i i i in in ij ij i D a A a A a A a A i n ==+++==∑定理2【1】：行列式的某一行元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.1.克拉默法则（行列式）如果线性方程组11112211211222221122,,(1).n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120,n n nn nna a a a a a D a a a =≠那么线性方程组（1）有唯一解：12,,,,.(2)i n D DD Dx x x x D DD D====其中111,111,11212,122,121,12,1,1,2,.i i n i i n i n n i ni nna ab a a a a b a a D i n a a b a a -+----==即D i 是把D 中的第i 列的元素换成线性方程组的常数项而得到的行列式.证明：为证明（2）式是线性方程组（1）的解，只需把它代入方程组（1）的每个方程，如果两端相等，则说明（2）确实是方程组（1）的解.将（2）式代入方程组（1）的第i 个方程组的左端，并注意把D i 按照第i 行展开，得()()()()[]nn n in i n n in n n i i i n n i i i n in i i n in i i A b A b A b A b a A b A b A b A b a A b A b A b A b a D D a D a D a D D D a D Da D D a ++++++++++++=+++=+++22112222212121121211112211221111()()()[]nn in n i n i n n in i i n in i i A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D ++++++++++++=221122222112112211111根据行列式按行展开定理和定理2，可以看出，上式左端方括号只有b i 的系数是D ，而其他的b k (k ≠i )的系数都是零，故得()12121,1,2,,.n i i ini i D D Da a ab D b i n D DD D+++=⋅==这说明（2）式是方程组（1）的解. 再证解的唯一性. 任给方程组的一个解：x 1 = c 1, x 2 = c 2, … x n =c n , (3) 我们只要证明（3）与（2）相同即可.将（3）代入方程组（1），得()11112211211222221122,,4.n n n n n n nn n n a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩现在构造行列式nnn n nna a c a a a c a a a c a D c2112221211121111=给行列式的第2，3…，n 列分别乘以c 2,c 3,…,c n 后都加到第一列，得到.nnn nnn n n n nn n nn a a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a D c22211222222212111212121111++++++=根据（4）式，得12222211211D a a b a a b a a b D c nnn nn n ==,因D ≠0，所以,,,,2211DD c D Dc D D c n n ===这样，我们证明了（1）的任一解都是（2），所以（1）的解是唯一的.2.消元解法上面已经了解了解线性方程组的克拉默法则，但是使用克拉默法则是条件的，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，而且系数行列式不为零，可是在很多问题中，我们所遇到的线性方程组并不都是这样的，有时方程的个数虽与未知量的个数相等，但系数行列式等于零；有时甚至于方程的个数与未知量的个数都不相等，这时就无行列式可言了.那么对于一般的线性方程组，究竟该如何求解呢？定理3 [1]设线性方程组的（I ）和（II ）的增广矩阵分别为A 和B.如果A 可经过初等变换变为B ，那么线性方程组（I ）和（II ）是同解方程组.定理4（线性方程组有解的判定定理）[1]线性方程组11112211211222221122,,(5).n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件是系数矩阵A 和增广矩阵B 有相同的秩，即秩A=秩B. 当秩A=秩B=n 时，方程组（5）有唯一解；当秩A=秩B<n 时，（5）有无穷多个解. 其中11121111211212222122221212,.n n n n n n nn n n nnn a a a a a a b a a a a a a b A B a a a a a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：利用线性变换和第一种列初等变换将方程组（5）的系数矩阵A 和增广矩阵B 变为如下的矩阵,其中r 为A 的秩，1,1111,112,1222,12,1,11100100010010,.00100100000000000000000r nr n r n r n rn r r r rn r r r m c c d c c c c d c c C D c d c c c d d +++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以D 所对应的线性方程组为：112111,1112,122,11.,,(6)0,0.r n r n r r n i r i n i i r i n i i r r i rn i r r m x c x c x d x c x c x d x c x c x d d d ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎪⎪+++=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩由于初等变换不改变矩阵的秩，且根据定理3同解方程的充要条件，所以有（5）和（6）是同解方程组.所以讨论（5）的求解问题就归结为讨论（6）的求解问题 .下面我们分情况讨论（5）是否是有解及有解时该如何求解的问题.情况1：r<m,且d r+1,…d m 不全为零.不妨设d r+1不等于0，此时出现0=d r+1，矛盾，所以方程组（6）无解，因此方程组（5）也无解情况2：r=m 或虽然r<m 但d r+1,…全为零.这时方程组（6)的后m-r 个方程组或者不出现，或者全变为0=0.如果是后者，删除0=0的恒等式不影响方程组的解，所以方程组（6）的解同解于如下的方程组：112111,1112,122,1.,(7).r n r n rr n i r i n i i r i n i i r r i rn i r x c x c x d x c x c x d x c x c x d +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩这时又有两种情形：（a)当r = n 时，方程组（7）为1212,,(8).ni i i n x d x d x d =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩所以此时方程组（7）有唯一解（8），因此方程组（5）有唯一解：,,,2121n i i i d x d x d x n ===（b)当r < n 时，把方程组（7）改写为如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++.,,112111,21,2211,11n r rn r n r i rn i r r r i i n i r i i n i r i x c x c d x x c x c d x x c x c d x于是，让未知量12,,,r r n i i i x x x ++取任意一组数12,,,r r n ii i k k k ++，就可得到（7）的解：112111111,1122,12,1,,,(9),.r n r n r r n r r n n i r i n i i r i n i i r r r i rn i i i i i x d c k c k x d c k c k x d c k c k x k x k ++++++++⎧=---⎪=---⎪⎪⎪⎪=---⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩当然（9）也是（5）的一个解，反过来，由于（5）与（7）是同解方程组，所以（5）的任意一个解都必须满足（7），从而具有（9）的形式.由于12,,,r r n i i i k k k ++可以任意选取，所以用上述方法可以求出（5）的无穷多解.根据以上讨论，我们可以由情况1和情况（2）的讨论可知，或者r = m,或者r < m ，但01===++m r r d d ,方程组（5）有解，在这两种情况下都有，秩 D = r . 所以秩 A =秩C .反过来，设秩 A = 秩 C ，那么秩 D = r ，由此即得 r = m 或者r < m 但01===++m r r d d .因而由前面的情况2的讨论即知 ，方程组（5）有解.由情况2（a)知，当秩 A = 秩C = n ，方程组有唯一解.由情况2（b)知，当秩 A = 秩 C < n 时，方程组有唯一解.三、解复杂的线性方程组1.直接法直接法就是经过有限步数学计算即可求得方程组的精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）.但实际运算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只可求得线性方程组的近似解.下面将阐述这类算法中的最基本的Gauss 消去法及其某些变形.这类是解低阶稠密矩阵的有效方法.定理5（矩阵的LU 分解)【9]设A 为n 阶矩阵，如果A 的顺序主子式D i （i=1,2,…,n),则A可以分解为一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积，且这种分解是唯一的（1）Gauss 消去法 设有线性方程组11112211211222221122,,(10).n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax=b,其中1112111212222212,,.n n n n n n nn a a a x b a a a x bA x b x b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中A 为非奇异矩阵.用消去法去解方程组的基本思想是，用逐次消去未知数的方法把原来的方程组Ax = b 化为与其等价的三角方程组，而求解三角方程组就容易了.换句话说，上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式，从而求解原方程组.之前所讲的消元解法是其的特例，就不再缀述了. 下面我们来讨论一般的解n 阶方程组的Gauss 消去法. 将（10）式记为A (1) x = b (1)，其中A (1) = (a ij (1)) = (a ij ) , b (1) = b.①第一次消元.设a 11(1)不等于0，首先设行计数乘数m i1 = a i1(1)/a 11(1) (i=2,3,…,n)，用-m i1乘式（10）的第1个方程，加到i （i=2,3,…,n )个方程上，消去（10）中的第2个方程知道n 个方程的未知数x 1,得到与式（10）等价的方程组（11）),2,1(,,00)1(11)1()2()1(11)1()2(),2()22121)2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11n i b m b b a m a a b x A b b b x x x a a a a a a a i i i j i ij ij n n nn n n n =-=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛其中简记（②一般第k （1≦k ≦n-1）次消元.设第k -1步计算已经完成，即已计算好与式（10）等价的方程组(12) A (k)x = b (k)，且已消去未知数x 1 , x 2 , x 3 …，x k-1,其中A (k)具有以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()()()()1(2)2(22)1(1)1(12)1(11n nn n nk k kn k kk n n a a a a a a a a a设a (k)kk 不等于0，计算乘数m ik = a ik (k)/a kk (k)（i=k+1,…,n),用-m ik 乘式A（k)x = b (k)的第k 个方程加上第i (i=k+1,…,n)个方程，消去第k+1个方程直到第n 个方程的未知数x k ,得到与式（10）等价的方程组A（k+1)x = b (k+1).A (k+1)元素的计算公式为：),1,()()()1()()()1(n k j i b m b b a m a a k k ik k i k ik kj ik k ij k ij+=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++,显然A (k+1)的第一行直到第k 行与A (k)相同.③继续这一过程，直到完成第n-1次消元.最后得到与原方程等价的三角方程组 A (n) x=b (n). （13） 上述过程称为消元过程.求解线性方程组（11），设a ij (i)不等于0(i=1,2,…,n-1),易得求解公式()()()()()1/,(1,2,,2,1).()/.n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a k n n x b a x a =+⎧=⎪=--⎨=-⎪⎩∑上式的求解过程称为回代过程. （2）Gauss 消去法的变形Gauss 消去法有很多变形，有的是Gauss 消去法的改进、改写，有的是用于某一类特殊性质矩阵的Gauss 消去法的简化.下面介绍Gauss 主元素消去法和追赶法 ①Gauss 主元素消去法由Gauss 消去法知道，在消元过程中可能会出现0)(=k kka 的情况，这时消去法将无法进行；即使在主元素0)(≠k kka 但很小时，用其作除数，也会导致其元素的数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后会使得计算解不可靠.对于一般矩阵来说，最好每一步都选取系数矩阵（或消元后的低阶矩阵）中绝对值最大的元素作为主元素，使Gauss 消去法具有较好的数值稳定性.②追赶法在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导以及船体数学放样中建立三次样条函数等中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111.i i i i i n n n n n n n n n b c x f a b c x f a b c x f a b c x f a b x f -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭简记为Ax = f其中A 满足下列对角占优条件：)3();1,3,2(0,,)2(0)1(11111>>-=≠+≥>>n n i i a b n i c a c a b c b由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角阵的乘积，即A=LU. 其中L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵.下面说明这种分解是可能的.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11111213322111122211n n n n n n n n b a c b a c b a c b A βββαγαγαγα其中i i i γβα,,为待定未知量,比较上式两端得111111,,,,(2,3,,).(15),(1,2,,1).i i i i i i i i i b c b a i n c i n ααβαγγβαβ-====+===-由10,/,0,11111111<<=>>=ββα得b c c b b ，下面用归纳法证明0,(1,2,,)i i a c i n >≠=,01i β<<从而可以由（15）式求得i β证明：式（15）对于i = 1是成立的.现设（15）对i-1成立，求证对i 亦成立. 由归纳假设101-i <<β，又由于式（15）及A 的假设条件，有11≠≥->-≥-=--i i i i i i i i i i c b b b a αβαβα也就是10i <<β，由式（14）得到)1,,3,2(),/(),,3,2(1-=-==-=-n i a b c n i b i i i i i i i i i βββαα这就是说，由A 的假设条件完全确定了()()()i i i ,,γβα,实现了A 的LU 分解.求解A x =f 等价于解两个三角方程组L y = f 与U x = y,先后求解y 与x ，从而得到以下解三对角方程组的追赶法公式：步1：计算()i β的递推公式)1,,3,2(),/(,/1111-=-==-n i a b c b c i i i i i βββ步2：解L y = f ：()().n),2,3,(i ,a -b / y a -f y ,/b f y 1-i i i 1-i i i i 111 ===β 步3：解U x = y: .,2,1)2,-n 1,-n (i ,x -y x ,y x 1i i i i n n ===+β将计算系数n 1-n 21ββββ→→→→ 及n 1-n 21y y y y →→→→ 的过程称为追的过程，将计算方程组的解121-n n x x x x →→→→ 的过程称为赶的过程.追赶法公式实际上就是把Gauss 消去法用到求解三对角方程组上去的结果.2.迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.迭代法具有存储单较较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变的优点，但存在收敛性及收敛速度方面的问题.迭代法是解大型系数矩阵方程组（尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法.下面将介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、超松弛迭代法（SOR ）.定理6（迭代法基本原理）【9】设有方程组x = Bx + f,对于任意初始向量x (0)及任意f ，解此方程的迭代解法（即x(k+1)=Bx(k)+ f)收敛的充要条件是ρ(B)<1.(1)Jacobi 迭代法 设有方程组),2,1(,1n i b x ai nj j ij==∑=记作Ax = b （16）A 为非奇异矩阵且a ij 不等于0 (i = 1,2,3,…,n).将A 分裂为A=D-L-U ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0000,0000,,1223113121,213231212211n n n n n n n n nn a a a a a a U a a a a a a L a a a D将式（16）第i (i=1,2,…,n) 个方程组用 a ii 去除再移项，得到等价方程组（17）),,2,1(),(11n i x a b a x nij j j ij i ii i =-=∑≠=简记为 x = B 0x + f,其中B 0=I - D -1A = D -1 (L+U)，f = D -1b对于方程组（17）应用迭代法，得到（16）的Jacobi 迭代公式（18）次迭代向量为第其中（）k x x x x x a b a x x x x x T k n k k k n i j i k jij i ii k i T n ),,(,)(1),,,)()(2)(1)(1)()1()0()0(2)0(10( =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑≠=+设x (k)已经算出，由式（18）可计算下一次迭代向量x (k+1)显然迭代公式的矩阵形式为方法迭代矩阵称为其中初始向量）Jacobi B f x B x x k k 0)(0)1()0(,(⎪⎩⎪⎨⎧+=+.(2)Gauss-Seidel 迭代法由Jacobi 方法迭代公式可知，迭代的每一步计算过程，都是用x (k)的全部分量来计算x (k+1)的所有分量，显然在计算第i 个分量x i (k+1)时，已经计算出x 1(k+1), x 2(k+1),… x i-1(k+1)没有被利用.从直观上来看，最新计算出来的分量可能要比旧的分量要好一些.因此，对这些最新计算出来的第k+1次近似x (k+1)加以利用，就会得到所谓解的Gauss-Seidel 迭代法),,2,1,0(,(1(),,,(1)(11)1(1()0()0(2)0(1)0(n k x a x a b a x x x x x ni j k j ij i j k j ij i ij k in =--==∑∑+=-=++）初始向量）.或写成(1)()(1)()11,(0,1,2,;1,2,,).1(.k k i i i i nk k i i ij iij j j j ii x x x k i n x b a x a x a ++==⎧=+==⎪⎨=--⎪⎩∑∑上面第二个式子利用了最新计算出来的变量x 1(k+1),第i 个式子利用了计算出来的最新分量x j (k+1)写成矩阵形式D x (k+1) = b+L x (k+1)+U x (k+1),(D - L) x (k+1)=b + U x (k), 若设（D-L)-1存在，则x (k+1) = (D - L)-1 U x (k) + (D - L)-1 b于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为x (k+1) = G x (k) + f,其中G = (D - L)-1 U,f = (D - L)-1 b（3）逐次超松弛迭代解法逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel 方法的一种加速方法，是解大型系数矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计简单，占用计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）.设有方程组Ax = b (19)，其中nn RA ⨯∈为非奇异矩阵，且a ii 不等于0（i=1,2,…,n),分解A 为 A = D - L - U设已知第k 次迭代向量x (k+1)的分量x j (k+1）(j=1,2,…,i-1),要求计算分量x i (k+1)首先用Gauss-Seidel 迭代法定义辅助量（20）：),,2,1(,(11)(11)1()1(n i x ax a b a x ni j k j iji j k j ij i ii k i=--=∑∑+=-=++再把x i (k+1)取为x i (k) 与)1(+k ix 某一个平均值（即加权平均），得到（21）)()1()()1()()1()()1(k i k ik i k ik i k ix x x x x x -+=+-=+++ωωω用（20）式代入（21）式，就得到解方程组Ax = b 的逐次超松弛迭代公式（22）⎪⎩⎪⎨⎧===--+=∑∑-==++),,2,1;,1,0(,),,,(())(2)(1)(11)()1()()1(n i k x x x x x a x a b a x x T k n k k k i j ni j k j ij k j ij i ii k i k i（ω其中ω称为松弛因子，或写成(1)()(1)()11,(0,1,2,1,2,,).(.k k i i i i nk k i i ij iij j j j ii x x x k i n x b a x a x a ω++==⎧=+==⎪⎨=--⎪⎩∑∑显然，ω=1时，解式（19）的SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法，ω<1时，解式（22）为低松弛法，当ω>1时，称式（22）为超松弛法.四、解线性方程组的MATLAB 命令MATLAB 求解线性方程组：AX=B 或XA=B1. 在MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用除法运算符“/”和“\”.如： X=A\B 表示求矩阵方程AX ＝B 的解A\B 等效于A 的逆左乘B 矩阵，也就是inv(A)*B ；X ＝B/A 表示矩阵方程XA=B 的解，而B/A 等效于A 矩阵的逆右乘B 矩阵，也就B*inv(A). 对方程组X ＝A\B ，要求A 和B 用相同的行数，X 和B 有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X ＝B/A 同理.2.如果矩阵A 不是方阵，其维数是m ×n ，则有：m ＝ n ，恰定方程，求解精确解； m>n ，超定方程，寻求最小二乘解；m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m 个非零元素. 针对不同的情况，MATLAB 将采用不同的算法来求解.（1）恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：（1）利用Cramer公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即x=A\b；（3）利用Gauss消去法；（4）利用LU法求解.一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大.前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算.MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在LU分解的基础上进行.在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b.在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行LU分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性.如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息.注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法.因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时.另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解.（2）超定方程组对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m.则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合.对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解.左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；五、应用1.炼油厂模型某石油公司有5个炼油厂，每个炼油厂都生产5种石油产品：汽油、柴油、煤油、机油、液态石油气.已知从1桶原油中，第一个工厂生产出的汽油、柴油、煤油、机油、液态石油气分别是30、24、18、12、9L；第二、三、四、五个工厂从1桶原油中生产的这五种油分别是28、25、20、10、9；31、23、19、11、10；29、22、17、13、8；27、26、20、13、10L.现在需要104620L汽油，88010L柴油，68660L煤油，43240L机油，33690L液态石油气.本着节约资源与提高效益的原则，问给这5个工厂各安排多少桶原油来生产恰好满足这一需要？解：设分给5个炼油厂的原油桶数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 根据题意我们可以得到以下方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++336901081099,432401313111012,686602017192018,880102622232524,10462027293128305432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x方程组的系数行列式，0108010810991313111012201719201826222325242729312830≠==D所以方程组有唯一解.经计算知，D 1=864000，D 2=702000，D 3=648000，D 4=626400，D 5=1080000，所以1000580600,650,8005544332211==========D D x D Dx D D x D D x D D x ，，即给第一、二、三、四、五个工厂分别安排800,650,600，580,1000桶原油生产正好满足需要.用MA TLAB 实现如下：2.游船问题某公园在湖的周围设有甲、乙、丙三个游船出租点，游客可以在任意一处租船，也可以在任意一处还船.工作人员估计租船和还船的情况如下表示：还船处 甲乙 丙 借船处甲 乙 0.8 0.2 0.2 0 0 0.8 丙0.20.20.6即从甲处租的船中有80%的在甲处还船，有20%的在乙处还船，等等.为了游客的安全，公园同时要建立一个游船维修站.问游船修检修站建在那个点最好？显然，游船检修站应该修在拥有船只最多的那个出租点.但是，由于租船和还船的随机性，今天拥有船只最多的出租点不一定以后也经常拥有最多的船只.因此我们希望知道经过长时间的经营以后拥有船只最多的那个出租点.我们假定公园里的船只基本上每天都被人租用，设经过长时间的经营，甲、乙、丙处分别有x 1 , x 2 , x 3只船，则x 1 , x 2 , x 3应该满足以下的要求：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++33223113216.02.0,2.02.0,2.02.08.0xx x x x x x x x x整理可得，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++.04.08.0,02.02.0,02.02.02.0-32321321x x x x x x x x即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++.02,05,0-32321321x x x x x x x x这表明，经过长期的经营以后，甲、乙、丙三个出租点分别拥有游船总数的316121，，.用MA TLAB 实现如下：由此不难看出，游船检修站应设在拥有船只最多的甲处最为合适.六．总结本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法、解的结构以及应用.经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，就试图用数值分析中的直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形和迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法，以及最小二乘法，并试图应用简单的数学类软件如MATLAB来实现求解.在实际学习和解决问题时，我们会发现很多问题最后的求解过程都是求解线性方程组，因此学习线性方程组对大学生具有重要意义.参考文献[1] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988.[2] 张禾瑞, 郝鈵新．高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.[3] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[4] 许绍元, 赵礼峰. 高等师范院校数学教学改革的研究与实践[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2004), 64-68.[5] 许绍元, 陈亮. 实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2003), 53-56.[6] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006.[7] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.[8] 萧永震等. 空间解析几何解题指导[M]. 天津: 天津科学技术出版社, 1990.[9]陈辉，李文宇，张传芳数值计算方法哈尔滨哈尔滨工业大学出版社，2009.[10]李庆扬，易大义，王能超. 现代数值分析. 北京高等教育出版社，1995.[11]刘春风，何亚丽，应用数值分析北京冶金工业出版社 2005.指导教师职称成绩评语说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格.2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等.。
线性方程组理论的毕业论文(1)
线性方程组理论的毕业论文(1)线性方程组理论是代数学的一个非常重要的分支，它在各个领域都有广泛的应用，如经济、物理学、工程学等。
作为一名数学专业本科生，我在毕业设计中选择了“线性方程组理论”的研究，旨在通过分析线性方程组的各种性质和解法，深入探究线性方程组的本质。
一、线性方程组的定义线性方程组指的是一组形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的方程，其中ai和b都是已知的常数，而x1、x2、…、xn就是未知数。
这样的方程组可以写成矩阵形式Ax = b，其中A是一个m*n的矩阵，而x和b都是n*1的列向量。
二、线性方程组的解法在求解线性方程组时，可以使用几种不同的方法。
其中最为常见的是高斯消元法和矩阵求逆法。
高斯消元法的基本思想是通过逐步消元来简化方程组，直到得到最简形式的方程组。
而矩阵求逆法则是通过求解逆矩阵，将矩阵方程转化为一般的方程求解。
此外，还有克拉默法则等其他解法。
三、线性方程组的性质线性方程组有许多重要的性质，如方程解的存在唯一性、行列式的值等。
其中最为重要的是线性方程组的求解性质，即矩阵的秩和特解的存在唯一性是等价的。
此外，线性方程组还有其他一些重要的性质和定理，如Gauss-Jordan消元法和Cramer定理等。
四、线性方程组的应用线性方程组理论既有理论基础，又有广泛的应用。
在经济学中，线性方程组被广泛地用于描述供求关系，货币政策等问题。
在物理学中，线性方程组被用于求解矢量场的分布、电路网络的设计等问题。
在工程学中，线性方程组被用于求解机械系统的动力学问题等。
综上所述，线性方程组理论是代数学中的一个重要分支，通过对线性方程组的性质和解法进行深入探究，我们可以更好地理解复杂问题的本质，并将理论知识应用到实际问题的分析和解决中。
线性方程组理论的若干应用-论文开题报告
指导教师意见
指导教师（签名）
系（教研室）主任（签名）院长（签名）
年月日
学术价值和现实意义
本文在简单介绍线性方程组及其基本理论的基础上,主要讨论了线性方程组在高等代数及解析几何方面的应用.在高等代数中,首先介绍了线性方程组及其基本理论,包括线性方程组的相关定义及几种表达形式、基本结论和解线性方程组的矩阵方法.然后,讨论了线性方程组理论在多项式、矩阵、及线性空间、欧式空间这几个方面的应用.最后,在解析几何方面,通过几个命题和一个例题的证明过程,讨论了如何将空间难理解的问题转化为容易求解的线性方程组问题.由此可见,利用线性方程组理论解题,不仅可以体会到创造性解题的数学乐趣,还体现了线性方程组理论在解决空间多维问题的优势.我们可以恰当地运用线性方程组理论知识去解决较复杂数学问题,使许多数学难题得到更为简明的刻画,不仅有助于问题得以迅速地转化和解决,还能使复杂的问题显得既简明又优美,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透.
选题类型指：理论研究、应用研究、实验研究、计算机软件设计、工程设计、艺术设计等.
论
文
提
纲
或设计思路
线性方程组是线性代数研究的一个重要对象,利用矩阵、行列式及向量空间等工具,建立了完整的线性方程组理论.反过来,线性方程组理论在讨论其它问题时也有独特作用.本文主要讨论了线性方程组理论在高等代数及解析几何中的一些应用,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透.
论文主要分成四个章节,第一章为论文引言.第二章为线性方程组及其基本理论,在这一章节,主要内容为线性方程组的相关定义及几种表达形式、线性方程组的基本结论和解线性方程组的矩阵方法.第三章为线性方程组理论在高等代数中的应用,在这一章节,主要有线性方程组在多项式理论、矩阵、线性空间、欧式空间中等几个的应用.第四章为线性方程组理论在解析几何中的应用,内容主要有线性方程组在平面解析几何、空间解析几何中的应用.
浅谈线性方程组在生活中的应用
浅谈线性方程组在生活中的应用通过对课本上第二章线性方程组的研究,我认为其在生活中的应用是非常广泛和深入的，经过自己的调查,我决定通过生活中的例子来说明线性方程组的应用及其重要性.1.配平化学方程式【例】化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。
配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。
一个方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程,然后找出该方程组的最简的正整数解。
下面利用此思路来配平如下化学反应方程式其中均取正整数。
【解】上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢)，于是在中为每一种反应物和生成物构成如下向量：其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。
为了配平化学方程式，系数必须满足方程组求解该齐次线性方程组，得到通解由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取即得配平后的化学方程式：。
2。
营养食谱问题【例】一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。
其中用到3种食物,它们的质量用适当的单位计量。
这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出【解】设分别表示这三种食物的量.对每一种食物考虑一个向量,其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量：食物1:,食物2：，食物3：，需求:；则分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为解此方程组，得到，因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3。
通过生活中的两个小例子，我们可以发现,线性方程组真的很有用,而其在科学研究等很多方面的确有更广泛深入的应用。
希望同学们学好线性方程组，努力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，例如工程、经济学和物理学等。
在本文中，将介绍线性方程组的解法和其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和基本概念线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是变量的线性组合。
一般形式可表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a、x和b分别表示系数矩阵、变量矩阵和常数矩阵。
基于这个定义，我们可以通过不同的方法来解决线性方程组。
二、线性方程组的解法1. 列主元消元法列主元消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零列主元素，通常为当前行中绝对值最大的元素。
（2）将选中的列主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为上三角矩阵。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为行阶梯矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零主元素，通常为当前列中绝对值最大的元素。
（2）将选中的主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为行阶梯矩阵。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种求解线性方程组的较为高效的方法。
它通过计算系数矩阵的逆矩阵，将方程组转化为逆矩阵与常数矩阵的乘积，从而得到方程组的解。
然而，该方法要求系数矩阵可逆，即行列式不等于零。
三、线性方程组在实际问题中的应用线性方程组广泛应用于各个领域，主要体现在以下方面：1. 工程领域在线性方程组的求解过程中，常常需要对方程组进行建模。
例如，在工程领域中，可以通过建立线性方程组来描述和解决各种物理力学问题，如结构力学、电路分析和信号处理等。
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线性方程组理论的有关应用Applications on theory of linear equations 专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○○摘要本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.关键词:线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间AbstractIn this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and discuss these important theories of algebra in specific applications.Keywords:linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 关于线性方程组的一般理论 (1)2 线性方程组理论的几个应用 (2)2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 (2)2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 (5)2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 (7)参考文献 (11)0 引言目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.关于线性方程组的一般理论, 可参看文献[1-3,8-11], 一些专题研究可参看文献[4-7].1 关于线性方程组的一般理论在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵A , 我们用T A 表示A 的转置, r 表示A 的秩, n r -表示自由未知量的个数, dim A 表示A 的维数. 并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中, 有以下关于线性方程组的结果.定理 1.1[1] 含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.定理 1.2[1] 设齐次线性方程组111122112122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (1.1) 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数．2 线性方程组理论的几个应用2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用(1) 在求解二元方程组上的应用利用定理1.1可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可. 例1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为3223010xy x y xy x y ++-=⎧⎨+++=⎩解 将y 看成是常数, 则方程组可改写为(32)(23)0(1)(1)0y x y y x y ++-=⎧⎨+++=⎩, 则有3223011y y y y +-=++.求解得11y =-, 25y =-. 代入方程组求解, 得到15x =-, 21x =-. 故原方程组的全部解为1151x y =-=-⎧⎨⎩, 2215x y =-⎧⎨=-⎩ . 例2 已知一次函数()f x ax b =+, 且1(1)2f -≤-≤, 2(2)3f -≤≤, 求(3)f 的取 值范围.解 应先找出(3)f 与(1)f -, (2)f 的关系, 有(1)f a b -=-+, (2)2f a b =+, (3)3f a b =+,得(1)02(2)03(3)0a b f a b f a b f -+--=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩这是关于,,1a b -的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是11(1)21(2)031(3)f f f --= 化简为(1)4(2)3(3)0f f f --+-=, 所以14(3)(1)(2),33f f f =--+ 因此 1013(3)33f -≤≤. 例3 等差数列{}n a 的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为()A 130; ()B 170; ()C 210; ()D 260解 由等差数列知识, 可设前n 项和为2()n S an bn n N =+∈，所以2m S am bm =+,2242m S m a mb =+, 2393m S m a mb =+, 考察以,,1a b -为未知数的方程组222230420930m m m m a mb S m a mb S m a mb S +-=+-=+-=⎧⎪⎨⎪⎩ 由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是2222342093m m mm m S m m S m mS =即231142093mm mS S S = 化简, 得23330m m m S S S -+-=, 所以323()3(10030)210m m m S S S =-=-=.故选()C .例4 已知2()f x x px q =++, 求证(1)f , (2)f , (3)f 中至少有一个不小于12．证明 先找出(1)f , (2)f , (3)f 间的关系, 有1(1)024(2)039(3)0p q f p q f p q f ++-=++-=++-=⎧⎪⎨⎪⎩此关于p , q , 1的齐次线性方程组有非零解, 于是111(1)212(2)0319(3)f f f --=- 化简, (1)2(2)(3)2f f f -+=．假设结论不成立, 即1(1)2f <, 1(2)2f <, 1(3)2f <, 易推出2(1)2(2)(3)2f f f -<-+<, 产生矛盾, 命题得证.(2) 在证明一元n 次方程重根上的应用由高等代数中多项式理论容易知道, 多项式()F x 的重因式()P x 必是()F x '的因式.因此, ()F x 的重根必是()F x '的的根, 且此根是()F x 与()F x '的公共根. 由此结论我们可以推广到以下结论如果0x 是()f x 的k 重根(1)k ≥, 则0x 是()f x '的1k -重根.下面我们就这一理论: 来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根. 首先给出一个简单的结论:设α是方程010a x a +=与20120b x b x b ++=的公共根, 则α也是2010a x a x +=的根, 从而有下列齐次线性方程组012012012000a x a a x a xb x b x b ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩ 其根为2(,,1)x x , 根不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即01010120 00 a a a a b b b =.由上述结论, 我们可以获得一个判断重根的方法.例5 证明一元二次方程2a x b x c ++(0a ≠)有重根的充要条件是其判别式240b ac ∆=-=.证明 对方程两边求导有20ax b +=. 一元二次方程20ax bx c ++=有重根, 即其与20ax b +=有公共根, 由上面的结论有10 2 2 0 0a b a b a b c=. 展开运算即有240b ac -=. 推广到一元n 次方程. 设α是11100n n n n a x a x a x a --++++=的根, 从而有下列齐次线性方程组1211211111000(1)00n n n n n n nn n n n n na x a na x a x na x n a x a a x a x a x a -------+=+=+-++=++++=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩其根为11(,,...,,)nn x xx -不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即1112112210000000000(1)0n n nn n n nn n na a na a na n a a a a a a a a a -----=-.2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例6 设A 为m n ⨯矩阵, B 为n s ⨯矩阵, 且0AB =, 则()()R A R B n +≤.证明 把矩阵B 分块为: 12(,,,)s B ααα= , 则0i A α=, 1,2,,i s = . 从而i V α∈, 其中V 是0AX =的解空间. 由定理1.2得()dim ()R B V n R A ≤=-. 于是()()R A R B n +≤.例7 若A 是n 阶方阵，且2A A =, 则()()R A R I A n +-=. 证明 因为()(())()()n R I R A I A R A R I A ==+-≤+-, （2.1） 又因2A A =即()0A A I -=, 由例6知()()R A R I A n +-≤. （2.2） 由(2.1)(2.2)两式得()()R A R I A n +-=.分析以上三个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例6，由0AB =, 容易联想到把B 的列向量作为齐次线性方程组0AX =的解向量, 从而获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.例8 设A 为m n ⨯矩阵, B 为n s ⨯矩阵, 则()min{(),()}R AB R A R B ≤.证明 设12(,,,)s V L ηηη= 为齐次线性方程组0BX =的解空间, 其中我们令12(,,,C ηη= )t η. 由定理1.2知()()t R c s R B ==-. 又因0ABC =, 由例6于是我们知()()R AB R C s +≤.即()(())()R AB s s R A R A ≤--=.同理可得()()R AB R B ≤, 于是结论成立.例9 设A 为n 阶方阵, 则1()()n n R A R A +== .证明 若A 为满秩矩阵, 则结论显然成立. 现设()R A n <, 则存在自然数k 使得1()()k k R A R A += 1k n ≤≤. 设i V 为齐次线性方程组0i A x =的解空间, 则对任意ξ∈i V , 有10i i A AA ξξ+==, 于是有1k k V V +⊆, 1,2,i = ，因1()()k k R A R A +=, 故由定理1.2知,1dim()dim()k k V V +=. 又因1k k V V +⊆, 从而1k k V V +=.现设2k V ξ+∈, 则2k A ξ+10k A ξ+==. 由此得1k k A V V ξ+∈=, 故1()0k k A A A ξξ+==. 于是1k V ξ+∈. 从而21k k V V ++=, 由定理1.2得12()()0k k R A R A ++==. 同理可得 231()()()()k k n n R A R A R A R A +++===== .例10 设A 为2阶方阵，且0m A =, 则20A =.证明 不考虑0A =的情况, 则()1R A =. 设0m A =, 但10m A +≠, 则, ()1i R A =,1,2,,i = 1m -. 设i V 为齐次线性方程组0i A X =的解空间, 与例5同样证明方法得121m V V V -=== .设110ε⎛⎫= ⎪⎝⎭, 201ε⎛⎫= ⎪⎝⎭, 从而0m A =, 故211()0A A A εε==, 从而11m m A V V ε-∈=,于是222()0A A A εε==. 同理222()0A A A εε==. 故 2212(,)0A A εε==.例11 设A 为m 列矩阵, 从A 中任取出s 列, 组成矩阵B , 有()()R B R A s m ≥+-. 证明 设12(,,,)m A ααα= , 12(,,,)i i is B ααα= , 并设12(,,,)T i i is x x x ξ= 为齐次线性方程组0BX =的任意解, 即有11220i i i i is is x x x ααα+++= 121s m i i i ≤≤≤≤≤ . 于是11122000...i i i i is is m x x x ααααα+++++++= .即1200000000(,,,,,,,,,,,,,,)T i i is x x x η=是齐次线性方程组0AX =的解. 故齐次线性方程组0AX =解空间的维数不小于齐次线性方程组0BX =解空间的维数. 由定理1知()()m R A s R B -≥-, 即()()R B R A s m ≥+-.在一般教材或习题指导书中, 上面几个例题均不是以这种方法证明的, 例如, 例8常用的方法是利用向量的相互线性表出, 例9一般用到线性变换的方法, 例10则是讨论2阶矩阵的各种可能的情况, 例11用到极大无关组方面的性质. 这些方法彼此都不同, 学生难以在短时间内掌握, 而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一. 涉及知识较少, 便于掌握, 且解题范围比较全面. 因此, 对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解题技巧, 是十分有帮助的.2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用命题1 设有平面上四个点(,)i i i p x y , 1,2,3,4i =. 矩阵A , B 如下112233441111x y xy A x y x y ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2211112222222233332244441111x y x y x y x y B x y x y x y x y ⎛⎫+ ⎪+ ⎪=⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭则这四点共圆的充分必要条件是矩阵A 与矩阵B 的秩相同, 即()()R A R B =.证明 设平面上圆的一般方程为220x y ax by c ++++=, 其中,,a b c 为不全为零的常数, 考虑关于,,a b c 的方程组221111222222223333224444()0()0()0()0x y ax by c x y ax by c x y ax by c x y ax by c ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ (2.3) 则由线性方程组的理论可知: 四点(,)i i i P x y , 1,2,3,4i =共圆等价于关于a , b , c 的线性方程组(2.3)有解(,,)a b c 等价于()()R A R B =.命题2 设平面上有n 条直线0i i i a x b y c ++=, 1,2,,i n = , 且1122A=nn a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ,111222B=n nn a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(2.4) 则这条直线相交于一点的充分必要条件是()()2R A R B ==.证明 考虑方程组111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩则由线性方程组理论可知: (1)这n 条直线相交于一点(只有一个公共点）等价于方程组; (2)有唯一解(,)x y 等价于()()2R A R B ==.命题3 设有空间四个点(,,)i i i i p x y z , 1,2,3,4i =.1112223334441111x y z x y z A x y z x y z ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，` 矩阵A 的秩()R A r =, 则(i) 当4r =时, 四点异面; (ii) 当3r =时, 四点共面; (iii) 当2r =时, 四点共线; (iv) 当1r =时, 四点重合.证明 对A 施行初等变换111112,3.4210i r r i y x z A A B A -=⎛⎫−−−→==⎪⎝⎭, 从B 知12()()()1R A R A R A ==+.(i) 当4r =时,2()3R A =, 向量组12p p , 13p p , 14p p线性无关, 张成整个三维空间(2), 所以四点异面;(ii) 当3r =时, 2()2R A =不妨设2A 的前两行线性无关, 向量12p p , 13p p线性无关, 于是该组向量可以将向量14p p线性表示, 故四点共面, 但不共线．(iii) 当2r =时, 2()1R A =, 与前面类似分析可得12p p , 13p p ,14p p共线; (iv) 当1r =时, 2()0R A =, 即12p p , 13p p , 140p p =, 四点重合. 命题4 设有n 个平面0i i i i a x b y c z d +++=, 1,2,,i n =111222nnn a b c a b c A a b c ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ , 11112222nn n n a b c d a b c d B a b c d ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则(i) 这n 个平面只有一个公共点等价于()()3R A R B ==; (ii) 这n 个平面相交于一条直线等价于()()2R A R B ==;证明 (i) 考虑方程组11112222000n n n n a x b y c z d a x b y c z d a x b y c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2.5）则由方程组理论可知: 这n 个平面只有一个公共点等价于方程组(2.5)有唯一解等价于()R A R =()3B =.(ii) 充分性 若()()2R A R B ==, 则由线性方程组理论知, 方程组(2.5)有无穷多个解,其基础解系含有321-=个解向量11(0)ζζ→≠ , 全部解为1k ζ, 因此，这n 个平面相交于一条直线, 该直线的方向向量为1ζ.必要性 若这n 个平面相交于一条直线, 则方程组(2.5)有无穷多个解, 从()R A()3R B =<. 又因为这n 个平面不重合, ()1R B >, 故()()2R A R B ==.命题5 设三角形三条边所在的直线方程分别为123,1,2,3,0i i i i a x a y a =++= 已知A =()ij nn a 的代数余子式为ij A , 则三角形的面积2132333||2A S A A A ∆=±. (2.6) 其中“±”的选取使S ∆为正值.证明 将任意两条直线方程联立, 可得到三个方程组, 因三条边两两相交, 故这些方程组的系数行列式13A , 23A , 33A 均不为零且顶点分别为1111312113A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 2122322223A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 3133332333A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而12312312111x x x S y y y ∆=±*1323331||2A A A A =21323331||2A A A A =±.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988.[2] 张禾瑞, 郝鈵新．高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.[3] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[4] 许绍元, 赵礼峰. 高等师范院校数学教学改革的研究与实践[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2004), 64-68.[5] 许绍元, 陈亮. 实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2003), 53-56.[6] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006.[7] 马国贤, 蒋洪, 赵海利. 谁从高等教育补贴中受益[N]. 中国财经报, 2002-4-6.[8] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.[9] 萧永震等. 空间解析几何解题指导[M]. 天津: 天津科学技术出版社, 1990.[10] W.Greub. LinearAlgebra(FourthEdition)[M]. Springer-Verlag, 1975.[11] L.Smith. Linear Algebra (Second Edition)[M]. Springer-Verlag, 1984.。