概率论第二章2节

作极坐标变换x cos ， y sin ，得
1 d c R d
0 0
2
R
1 R3 c 3
3 所以， c ． 3 R
第二章 随机变量及其分布函数
例 4（续）
P ， G

x 2 y 2 r 2




f x, y dxdy d r dr
3 0 0
2
2
2 1
所以不是.
第二章 随机变量及其分布函数
例 4 设二维随机变量， 的密度函数为
c R x 2 y 2 , x 2 y 2 R 2 f x， y 0, 其它
2）二维正态分布
f x， y
设二维随机变量， 的密度函数为
1 2 1 2 1 r 2
2 2 x 1 2r x 1 y 2 y 2 1 exp 2 2 2 1 2 2 1 2 1 r
第二章 随机变量及其分布函数
例 5（续）
P 1

1
x y 1

f x， y dxdy
2
y
x=1 y=2
2 1 dx x xy dy 3 0 1 x
5 3 4 2 1 65 x x x dx 6 3 2 72 0
需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布.
一. 二维分布函数及其基本性质
定义 若随机变量 1 ( ), 2 ( ),n ( ) 定义在同一概 率空间 (, F , P)上，则称
ξ( ) (1 ( ), 2 ( ),n ( ))
构成一个n维随机变量或n维随机向量. 把它们作为一个随机向量，我们不仅能研究各个分 量的性质，而且可以考察它们之间的联系，对许多问 题来说，这是十分必要的.
则称随机变量 ， 服从参数为 1， 1； 2， 2；r
， ~ N 1，1；2， 2；r i i 1， 2 i 0 i 1， 2 1 r 1
的 二维正态分布，记作
第二章 随机变量及其分布函数
y
,
(x, y)
o
第二章 随机变量及其分布函数
联合分布函数具有以下的基本性质：
1) F (x , y )对每个变量是不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时， F ( x1 , y) F ( x2 , y); 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时， F ( x, y1 ) F ( x, y2 ); 2) 0 F ( x, y ) 1, 且 对于任意固定的 y , 对于任意固定的 x ,
1
2
1
O
1
x
x+y=1
第二章 随机变量及其分布函数
两种常见的二维连续型分布：
1 ）二维均匀分布
设 D 是平面上的有界区域，其面积为 A.
如果二维随机变量， 的密度函数为
1 , f x， y A 0,
x， y D x， y D
则称， 服从区域 D上的 二维均匀分布.

第二章 随机变量及其分布函数
连续型的二维随机变量 对于二维随机变量 ( , )的联合分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使对于 任意实数 x，y有：
则称 ( , ) 是连续型的二维随机变量，函数
f (x , y )称为 ( , )的联合（概率）密度函数.
r
第二章 随机变量及其分布函数
例5
设二维随机变量 ， 的密 度函数为
2 1 x xy, 0 x 1，0 y 2 f x， y 3 0, 其它
2
y
x=1 y=2
试求概率 P + 1 ．
解：
积分区域如图所示，
1
O
1
x
x+y=1
第二章 随机变量及其分布函数
二维均匀分布几何意义
如果二维随机变量 ， 服从区域 D上的 均匀分布，我们可以认为随机点 ， 只 落在区域 D内；并且落在 D内任一个子区 域 D1 内的概率与该子区域的面积成正比， 而与 D1 的形状以及 D1 在 D 中的位置无关．
第二章 随机变量及其分布函数
性质 2 ：
p
i，j
ij
1
第二章 随机变量及其分布函数
例 2 设随机变量 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个 随机变量 在1~ 中等可能地取一整数值.试求 ( , ) 的 分布列.
1 1 解： P{ i, j} P{ j | i}P{ i} , i 4 其中 i 1, 2,3, 4, j i.
1 8 1 8 0 0
3
4
第二章 随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量的联合分布函数
设， 是二维离散型随机变量，
其联合分布列为
pij P xi ， y j
i，j 1， 2，
pij
则， 的联合分布函数为，
F x， y
xi x， y j y
第二章 随机变量及其分布函数
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10
2
0
f ( x, y ) 0 ;


+
+

f ( x, y)dxdy 1.
以上两个是基本性质.
30 若f ( x, y )在点( x, y )连续，则有 2 F ( x, y ) f ( x, y ). xy
x1
x2

y1 p11
p21

y2
p12 p22

… … … …
yj
p1 j
… … … …
p2 j

xi

pi1

pi 2

pij

第二章 随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量联合分布列的性质
性质 1 ：
对任意的i， j ， i，j 1 ， 2，
有 pij P xi ， y j 0
第二章 随机变量及其分布函数
例 2（续）
1 1 P{ i, j} P{ j | i}P{ i} , i 4 其中 i 1, 2,3, 4, j i.


1 1 2 2 3
1 12 1 12 1 12 0
4
1 16 1 16 1 16 1 16
1 4 0 0 0
⑴．求常数c； ⑵．求 ， 落入圆 x2 y 2 r 2 0 r R 内


的概率．
解：
⑴．由密度函数的性质 ，得
第二章 随机变量及其分布函数
例 4（续） 由

1


f x， y dxdy
x2 y2 R2

c R x 2 y 2 dxdy
1 1 1 0 1 0 故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
第二章 随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量 若二维随机变量 ， 的所有可能的取值是有限对或
可列无穷多对，则称 ， 为二维离散型随机变量．
设 ， ~ N 0， ;0， ; 0
解：
，求P( )
P( )

x y
f (x,y)dxdy
1
2
x y
5 4
2
1
e
x2 y2 2 2
dxdy
x y
4

2
0 4
2
e
-
r2 2 2
1 rdrd 2
第二章 随机变量及其分布函数
§2.2
多维随机变量及其分布函数
二维分布函数及其基本性质
边缘分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就
对于任意的n个实数 x1 , x2 , xn ,
定义 称 n 元函数 F ( x1 , x2 , xn ) P{1 ( ) x1 , 2 ( ) x2 ,, n ( ) xn } 为随机向量 1 ( ), 2 ( ),n ( ) 的（联合）分布函数.
f x， y dxdy
x2 y 2 r 2

3 2 2 R x y dxdy 3 R


作极坐标变换x cos ， y sin ，得
P ， G
3 R3
2
3r 2 2r d R d 2 1 R 3R 0 0
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( , )落在 G 内的概率为：P{( , ) G}
f ( x, y)dxdy.
G
例3 说明下列函数不是一个概率密度函数.
x y , x y 2 f x, y 0, 其他
2 2 2 2
解：因为


, 所有可能的取值为 xi , y j ,
pij P xi ， y j
则称
i，j 1， 2，
为二维离散型随机变量， 的联合分布列．
第二章 随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量的联合分布列
， 的联合分布列也可以由下表表示