昭君教学案例

教学案例

姓名：孙昭君

学科：数学

课题：《任意角的三角函数》学校：山西省祁县中学校

课题：任意角的三角函数

一、教学内容分析：

这节课是《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1.2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

三、设计理念：

本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四、教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；

3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

五、教学重点和难点：

1.教学重点：任意角三角函数的定义.

2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.

六、教学过程展示

情景引入

问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为

o h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360

秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h 为多少？过了45秒呢？过了t 秒呢？

备课过程：认为高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

复习回顾锐角三角函数

让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动30秒后到达P 点位置，由题意知030=∠AOP ，作PH 垂直地

O

A

P 图1

O

A

P

H

B N

M

图2

面交OA 于M ，又知MH ＝o h ，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM 。

要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。 问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 课堂生成：学生探究后得到

R

MP OP MP |||

|||sin ==

α⇒αsin ||R MP =⇒

α

sin ||0R h PH +=

⇒h α

sin 0R h +=

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h 为多少？”

0130sin R h h += 00245sin R h h +=

总结：0t 在锐角的范围中，00sin t R h h += 引入新课

问题3：请问t 的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想

0sin t R h h +=？

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点),(P P y x P ，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？

【教师提示下学生探究得出结论】：|

|||sin OP MP =

αR

y P =

R

x OP OM P =

=|

|||cos α，P

P x y OM MP =

=

|

|||tan α

问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？ 【回顾与反思】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。过程比较繁琐。

a

O

M

P

Y

X

O

A

P

B

M