3 条件概率
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第3节条件概率讲解
第 3 节.条件概率
本节重点是条件概率定义及计算,有些事件虽然它的概率不 易直接计算,但容易求出它在各种情况下条件概率,于是设法由这 事件的诸条件概率求这事件概率.
一. 条件概率: 引例 1(古典概型分析):
投掷一枚骰子,设 A={出奇数点},B={出质数点},求 PB, PB | A.
解: 1,2,3,4,5,6, B 2,3,5, A 1,3,5
所以 P A P A1 P A2 | A1
P An | A1A2
An1
1 2
2 3
n 1.
n 1 n 1
2.全概率公式(将无条件概率条件化) 定理:设 B1, B2, Bn 是样本空间 的一个划分
(即 BiBj (i j),i, j 1,
P
i1
Bi
|
A
i1
P Bi
|
A.
其它性质仍满足如:
P | A 0;
PB | A 1 PB | A;
P B1 B2 | A PB1 | A PB2 | A PB1B2 | A等.
例:有 100 张彩票,其中有 3 张可中奖,有两人各买一张 (1) 已知第一人中奖,求第二人中奖的概率; (2) 不知第一人是否中奖,分别求第一人与第二人中奖的概率.
P A1 P H1 P A1 | H1 PH2 P A1 | H2
1 40 1 30 7 2 50 2 50 10
P A1A2 P H1 P A1A2 | H1 P H2 P A1A2 | H2
P
A1A2 | H1
40 10 A520
8 49
P
A1A2 | H2
P B 3 1 , P B | A nAB 2
62
nA 3
本节重点是条件概率定义及计算,有些事件虽然它的概率不 易直接计算,但容易求出它在各种情况下条件概率,于是设法由这 事件的诸条件概率求这事件概率.
一. 条件概率: 引例 1(古典概型分析):
投掷一枚骰子,设 A={出奇数点},B={出质数点},求 PB, PB | A.
解: 1,2,3,4,5,6, B 2,3,5, A 1,3,5
所以 P A P A1 P A2 | A1
P An | A1A2
An1
1 2
2 3
n 1.
n 1 n 1
2.全概率公式(将无条件概率条件化) 定理:设 B1, B2, Bn 是样本空间 的一个划分
(即 BiBj (i j),i, j 1,
P
i1
Bi
|
A
i1
P Bi
|
A.
其它性质仍满足如:
P | A 0;
PB | A 1 PB | A;
P B1 B2 | A PB1 | A PB2 | A PB1B2 | A等.
例:有 100 张彩票,其中有 3 张可中奖,有两人各买一张 (1) 已知第一人中奖,求第二人中奖的概率; (2) 不知第一人是否中奖,分别求第一人与第二人中奖的概率.
P A1 P H1 P A1 | H1 PH2 P A1 | H2
1 40 1 30 7 2 50 2 50 10
P A1A2 P H1 P A1A2 | H1 P H2 P A1A2 | H2
P
A1A2 | H1
40 10 A520
8 49
P
A1A2 | H2
P B 3 1 , P B | A nAB 2
62
nA 3
第3次课--条件概率全概率公式
解： 设 A 表示“患有癌症”， A 表示“没有癌症”，B表示“实
验反应为阳性”，则由条件得
概率论与数理统计
2013
练习：某工厂生产的产品中９６％是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为 是次品的概率为０.０２，一个次品被认为是合格品的概率为０.０５，求在被检 查后认为是合格品产品确是合格品的概率． 解：设A={产品确为合格品} ， B={产品被认为是合格品}
分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取 到正品”，则问题转化为求条件概率P(B|A).
〖解〗：由条件可得：
P(A) 3 4 12 , P(AB) 3 2 6 ,
5 4 20
5 4 20
故有
P(B | A) P(AB) 1 . P(A) 2
概率论与数理统计
3
2013
【例2】 : 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率.
解 ：设A={下雨}，B={下雪}.
（1） P(B | A) P( AB) 0.1 0.2
P( A) 0.5
（2）P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7
概率论与数理统计
2013
二、条件概率的性质
1、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。
P（A|B）
Байду номын сангаас
概率论与数理统计
2013
显然，P(A|B)≠P(A)=1/2。
此外,在样本空间 中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=
1/4,且有
P(A | B) P(AB) . P(B)
验反应为阳性”，则由条件得
概率论与数理统计
2013
练习：某工厂生产的产品中９６％是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为 是次品的概率为０.０２，一个次品被认为是合格品的概率为０.０５，求在被检 查后认为是合格品产品确是合格品的概率． 解：设A={产品确为合格品} ， B={产品被认为是合格品}
分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取 到正品”，则问题转化为求条件概率P(B|A).
〖解〗：由条件可得：
P(A) 3 4 12 , P(AB) 3 2 6 ,
5 4 20
5 4 20
故有
P(B | A) P(AB) 1 . P(A) 2
概率论与数理统计
3
2013
【例2】 : 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率.
解 ：设A={下雨}，B={下雪}.
（1） P(B | A) P( AB) 0.1 0.2
P( A) 0.5
（2）P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7
概率论与数理统计
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二、条件概率的性质
1、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。
P（A|B）
Байду номын сангаас
概率论与数理统计
2013
显然，P(A|B)≠P(A)=1/2。
此外,在样本空间 中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=
1/4,且有
P(A | B) P(AB) . P(B)
概率1-3条件概率与乘法公式
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
这两个事件, A表示“该支股票上涨”，B1 , B2 是导致A发生的原因，且
B1 B2
B1 B2
故由全概率公式
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 ) 80% 80% 40% 40% 64%
于是
P( A) 1 P( A) 0.2304
三、全概率公式与贝叶斯公式
下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法 定理建立两个计算概率的公式。先引入一个例子 例7 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据 以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品 率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库 里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为 2:3。 (1)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率 (2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次 品，问该此次品分别是由第1、2车间生产的概率为多 少？
A为E的事件, B1 , B2 ,, Bn 是的一个划分，
P( Bi ) 0
( i 1, 2, , n )
且P( Bi ) 0，（i 1,2,, n）。
则
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A Bn ) P( Bn ) P( A Bi ) P( Bi )
（1）由全概率公式
4 12 a P( A) P( A Bi ) P( Bi ) 0.8 1 0.1 ＋0.1 0.94 5 19 i 0
这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
概率论3
P AB PB | AP A
5.3
例3 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6, P( B / A) 0.8.
求 P( AB)与P( A B )
例4 设袋中有r只红求,t只白球.每次自袋中任 取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只 与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取 球四次,试求第一、二次取到红球且求第三、 四次取到白球的概率.
PBi | A PA | Bi PBi
j j
5.6
5 .7
PA | B PB
j 1
n
i 1,2,,n
P A P A | B 1 P B 1 P A | B 2 P B 2 P A | B n P B n
P( A) P( B) P( A / B) P( B ) P( A / B )
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的.根据以往的记录有以下数据:
元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件, 求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品,分析此次品出自何厂,需求出 由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.
二 乘法定理
乘法定理 其意义是… (5.3)式容易推广到多个事件的情况.
P A1 A2 An PAn A1 A2 An 1 PAn 1 A1 A2 An 2 PA2 A1 P A1 其 中 P A1 A2 An 1 0
设P(A)>0，则有
注 对 任 一 事 件 A, A与 A 构 成 样 本 空 间 Ω 的一个分划。
3条件概率
例1、某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为
0.8,
能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小
时的灯泡能用到1500小时的概率. 例2、某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已 知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意的 抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。
例3、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽
出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.
求2 张都是假钞的概率.
解: 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. B A B表示“2 张中至少有1张假钞” 则所求概率是 P ( A B ) （而不是 P ( A) ）.
所以 P A B P( AB) / P( B)
P AB P(A) C / C 2 1 PB (C 5 C 5C ) / C
2、B1 , B2 ,, Bn 两两互斥；
3、 Bi S
i 1
n
B1
B5
则称事件组 B1 , B2 , , Bn为
基本空间的一个分割.也称
完备事件组。
B2 B3
B4
定理 设 B1 , B2 , , Bn 是基本空间S 的一个分割, 则对 S 中任一事件 A，有
P( A) P( A Bi ) P( Bi )
例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝 炎病毒的概率.
1 (1 0.004)100 0.33
8.4 Bernoulli概型
随机实验E只有两个可能结果： 及A，则称E为贝 A
努里试验。设 P( A) p(0 p 1) ，将E独立重复地进 行n次，称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验. 贝努里公式
概率论1-3
9 8 1 1 1 10 9 2 10
注：抽签模型抽中签的概率与次序无关
6
三、全概率公式和贝叶斯公式
B1 , B2 ,, Bn 为E的一组 定义：设S为E的样本空间，
事件，若
⑴ Bi Bj
i j i, j 1, 2,, n
⑵ B1 B2 Bn S
P( AB) 0 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 )P( An | A1 A2 An1 )
当 当
P( A1 A2 An1 ) 0
5
乘法定理给出了事件乘积的概率与条件概率间的关系
例题：一袋中有10个球，其中9个是白球1个是红球。 10个人依次从袋中任意取球，求第一、第二、第十个 人取到红球的概率。 解：记第i 个人取到红球为 Ai , i 1, 2,,10
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
武汉科技大学理学院
20
P( AB) 1/ 2 2 P( B | A) P( A) 3/ 4 3
4
二、乘法定理
将条件概率的定义式变形，就成为乘法定理： 乘法定理：P( AB) P( A) P( B | A) P( B) P( A | B) 当
P( A) 0
P( B) 0
推广： P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
则称B1 , B2 ,, Bn来自S的一个划分。71.全概率公式：
注：抽签模型抽中签的概率与次序无关
6
三、全概率公式和贝叶斯公式
B1 , B2 ,, Bn 为E的一组 定义：设S为E的样本空间，
事件，若
⑴ Bi Bj
i j i, j 1, 2,, n
⑵ B1 B2 Bn S
P( AB) 0 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 )P( An | A1 A2 An1 )
当 当
P( A1 A2 An1 ) 0
5
乘法定理给出了事件乘积的概率与条件概率间的关系
例题：一袋中有10个球，其中9个是白球1个是红球。 10个人依次从袋中任意取球，求第一、第二、第十个 人取到红球的概率。 解：记第i 个人取到红球为 Ai , i 1, 2,,10
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
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20
P( AB) 1/ 2 2 P( B | A) P( A) 3/ 4 3
4
二、乘法定理
将条件概率的定义式变形，就成为乘法定理： 乘法定理：P( AB) P( A) P( B | A) P( B) P( A | B) 当
P( A) 0
P( B) 0
推广： P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
则称B1 , B2 ,, Bn来自S的一个划分。71.全概率公式：
北师大版高中数学选修2-3课件2.3条件概率与独立事件
(3)甲、乙各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” 不可能同时发生,二者是互斥事件;
(4)甲、乙各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,但乙没 有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相互独立事 件.
弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能
§3 条件概率与独立事件
-1-
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
1.了解条件概率的概念,理解互斥事件,会用条件概率公式求解简单的实际 问题. 2.理解相互独立事件的意义,理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
=1 4 1Fra bibliotek=12.
2
答案:A
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
12345
2 在 10 支铅笔中,有 8 支正品,2 支次品,从中任取 2 支,则在第一次抽的
是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是( )
A.15
B.485
C.89
D.45
解析:记事件 A,B 分别表示“第一次、第二次抽得正品”,
【例 2】 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件. (1)运动员甲射击 1 次,“射中 9 环”与“射中 8 环”; (2)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”; (3)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有
射中目标”; (4)甲、乙两运动员各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,
则
P(A2)=P(������1 A2)+P(A1A2)=25
(4)甲、乙各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,但乙没 有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相互独立事 件.
弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能
§3 条件概率与独立事件
-1-
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1.了解条件概率的概念,理解互斥事件,会用条件概率公式求解简单的实际 问题. 2.理解相互独立事件的意义,理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
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=1 4 1Fra bibliotek=12.
2
答案:A
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2 在 10 支铅笔中,有 8 支正品,2 支次品,从中任取 2 支,则在第一次抽的
是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是( )
A.15
B.485
C.89
D.45
解析:记事件 A,B 分别表示“第一次、第二次抽得正品”,
【例 2】 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件. (1)运动员甲射击 1 次,“射中 9 环”与“射中 8 环”; (2)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”; (3)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有
射中目标”; (4)甲、乙两运动员各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,
则
P(A2)=P(������1 A2)+P(A1A2)=25
《概率论》第3章§3条件分布
G
第三章 多维随机变量及其分布
§3
条件分布
12/17 12/17
设 ( X ,Y) 服从圆域 G : x2 + y 2 ≤ 1 上的均匀分布. 服从圆域 上的均匀分布. 求条件概率密度 f X|Y (x | y) f X |Y (x | y)表示固定 Y = y时 ( X ,Y)的密度及 Y的边缘密度分别为 y 2 , 1 y 2 ) ~ y 2 X y 2 U( 1 1/ π, x + ≤1 1 f (x, y) = y 其它 0,
p13 P{X =1| Y = 3 = p. = 0 = 0 } 3 7/ 48 p23 P{X = 2| Y = 3 = p. = 0 = 0 } 3 7/ 48 即在 Y = 3的条件下 ,Y = 3} = p33 = 1/12 = 4 P{ X = 3| X的条件分布律为 p.3 7/ 48 7 X=k 1 p43 2 3 4 1/163/ 73 P{{X=k | YY 3}3 = p.0 =4/ 7 = PX = 4| = = } 0 第三章 48 7 3 7/ 多维随机变量及其分布
P(B)
在形式上很相似! 在形式上很相似!
f (x, y) fY| X ( y | x) = f X (x)
(∞ < y < ∞)
F | X ( y | x) = ∫∞ fY| X (v | x)dv (∞< y < ∞) Y
x
第三章 多维随机变量及其分布
§3
f X |Y (x | y) ≥ 0
y
y=x
y {x>0.5,0.5<0.5 x y<
∫∫ f (x, y)dxdy
∫∫
x 1dxdy
三元条件概率密度
三元条件概率密度三元条件概率密度是概率论中的一个重要概念，它描述了在给定两个事件发生的条件下，第三个事件发生的概率密度。
下面我们将详细介绍三元条件概率密度的概念、性质和应用。
一、概念三元条件概率密度可以用于描述三个随机变量之间的关系。
设X、Y 和Z是三个随机变量，它们的联合概率密度函数为f(x, y, z)，则在给定Y=y和Z=z的条件下，X=x的概率密度函数为f(x|y, z)。
这里的“|”表示给定的条件，即在Y=y和Z=z的条件下。
二、性质三元条件概率密度具有以下性质：1. 非负性：对于任意的x、y和z，有f(x|y, z) ≥ 0。
2. 规范性：对于任意的y和z，有∫f(x|y, z)dx = 1。
3. 可积性：对于任意的Borel可测集A，有P(X∈A|Y=y, Z=z) = ∫A f(x|y, z)dx。
4. 乘法法则：对于任意的x、y和z，有f(x, y, z) = f(x|y, z)f(y, z)。
三、应用三元条件概率密度在实际应用中具有广泛的应用，特别是在统计学和机器学习领域。
以下是三元条件概率密度的几个应用案例：1. 图像识别在图像识别中，我们可以将图像的像素值看作随机变量，通过学习三元条件概率密度来建立图像的模型。
在给定一部分像素值的条件下，可以利用三元条件概率密度来预测其他像素值的分布，从而实现图像的识别和重建。
2. 自然语言处理在自然语言处理中，我们可以将词语的出现频率看作随机变量，通过学习三元条件概率密度来建立语言模型。
在给定前两个词的条件下，可以利用三元条件概率密度来预测下一个词的分布，从而实现文本的自动补全和语义分析。
3. 金融风险管理在金融风险管理中，我们可以将资产收益率看作随机变量，通过学习三元条件概率密度来建立风险模型。
在给定过去的收益率和市场指标的条件下，可以利用三元条件概率密度来预测未来的收益率分布，从而实现风险的度量和控制。
总结起来，三元条件概率密度是概率论中的一个重要概念，它描述了在给定两个事件发生的条件下，第三个事件发生的概率密度。
第10讲 条件概率 (III) 全概率公式 贝叶斯公式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。
现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。
如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。
由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。
四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。
使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。
何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。
新课程新教材高中数学选择性必修3：条件概率
2
5
5 2 10
【变式练习】
掷两颗均匀骰子,问:
⑴“第一颗掷出6点”的概率是多少？
⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?
⑶ “已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
n(AB) 6
3
所以P(AB)
n(Ω) 20 10
(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件
3
3
P(AB) 10 1
B发生的概率.显然 P( A) .利用条件概率公式，得
5
P(B | A)
PA
3
5
2
条件概率、乘法公式的应用
例1：在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不
则事件“不超过2次就按对密码”等价于“第一次按对，或者第一次按错但第
ഥ A2).
二次按对”可表示为A=A1U(
事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
P(A)=P(A1)+P( A2)= P(A1)+P()P(A2|)=
+
× =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 .
“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条
5
5 2 10
【变式练习】
掷两颗均匀骰子,问:
⑴“第一颗掷出6点”的概率是多少？
⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?
⑶ “已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
n(AB) 6
3
所以P(AB)
n(Ω) 20 10
(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件
3
3
P(AB) 10 1
B发生的概率.显然 P( A) .利用条件概率公式，得
5
P(B | A)
PA
3
5
2
条件概率、乘法公式的应用
例1：在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不
则事件“不超过2次就按对密码”等价于“第一次按对，或者第一次按错但第
ഥ A2).
二次按对”可表示为A=A1U(
事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
P(A)=P(A1)+P( A2)= P(A1)+P()P(A2|)=
+
× =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 .
“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条
概率论基础3——条件概率
一、条件概率生活中很多概率都是在某些特殊条件下的概率。
比如你想知道你在家感染新冠的概率，这是取决于很多方面的，比如，政策有没有放开、是否位于高风险区等等。
只有在这些条件的限制下，我们才能较为准确的求出你想知道的概率。
基本概念：设A，B是随机试验E的两个随机试验，且P(B)>0，称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
韦恩图：上面A、B分别有两个椭圆，代表了他们的事件范围。
我们想要求在B的条件下A发生的概率，那么直观上分母应该是P(B)，因为条件是事件B就相当于要以事件B作为基础；而由于事件B的限制，事件A中不属于B的部分应该被舍去，它们不在B的控制之下。
所以也很容易理解，分子是A和B的和事件（交集）的概率。
性质条件概率也属于概率，所以它也满足概率的基本性质，只不过会有所改变。
（1）对于每一事件A，0≤P(A|B)≤1（2） P(\Omega|B)=1（3）若A_1,A_2,……,A_n 互不相容，则P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i|B)=\sum_{i=1}^mP(A_i|B) （4） P(A|B)+P(\overlineA|B)=1（5）容斥原理： P(A\bigcup B|B)=P(A|B)+P(B|B)-P(AB|B)二、乘法公式在上文我们知道条件概率的公式为： P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 。
那如果我们此时知道P(B)和P(A|B)，相求P(AB)，可以通过移项转化成下列公式： P(A|B)P(B)=P(AB)同理，我们也可以得到： P(B|A)P(A)=P(AB) 这两个公式我们称其为乘法公式。
上面两个式子在实际计算中要根据问题灵活选择。
我们也可以将其拓展到n个事件中：P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_n…A_2A_1) 我们可以这样理解：$P(A_1)$是假设A1正确，$P(A_2|A_1)$是假设A1正确的情况下A2正确，以此类推三、全概率公式有限划分基本概念：设 \Omega 为随机试验E的样本空间，B1，B2 ，…，Bn为E的一组事件，若(1) Bi∩Bj =f ,i ≠ j(2) B_1∪B_2 ∪…∪B_n=\Omega则称B1，B2，…，Bn 为 \emptyset 的一个有限划分，或称完备事件组。
概率1-3
P(A1A2)=P(A1)P(A2)=p2 , P(A3A4)=P(A3)P(A4)=p2 P(A5A6)=P(A5)P(A6)=p2 P(A)=P(A1A2∪A3A4∪A5A6 )= 1-P(A1A2∪A3A4∪A5A6 )
1 P( A1A2 A3 A4 A5 A6 ) 1 P( A1A2 )P( A3 A4 )P( A5 A6 )
注：１．在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不
是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断。 2、若事件A1,A2,…,An 是相互独立的，则将 A1,A2,…,An中的任意k(1≤k≤n)个事件换为各自的对 立事件后的n个事件仍然是相互独立的。
例如：
A1 , A 2 , A 3 ，A4,… ,An 相互独立的．
A
P(AS) P(A) P(A) P( A S ) P(A) P(S) P(S) 1
AB
B
3、关于概率的一切性质对于条件概率均成立，例如： （1） P(S|A)=1, P(A)=0; （2）若B1,B2,…Bn两两互不相容，P(A)>0,则
P(B1 B2 … Bn|A)=P(B1 | A)+P(B2 | A)+ … +P(Bn | A)
一个常用公式
设A1,A2,A3,……,An相互独立，则有 P(A1 A2 A3 ……An)= 1 P( A1 A 2 A n )
1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
例6：假设每个人带有感冒病毒的概率为0.002，求在有1500
人看电影的剧场中存在感冒病毒的概率。
解：假设每个人是否带有感冒病毒是相互独立的。 “第i个人带有感冒病毒”， 1,2,,1500 i 设 Ai 则 A1 , A 2 , , A1500 是相互独立的。P( A i ) 0.002 , i 1,2 , ,1500.
1 P( A1A2 A3 A4 A5 A6 ) 1 P( A1A2 )P( A3 A4 )P( A5 A6 )
注：１．在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不
是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断。 2、若事件A1,A2,…,An 是相互独立的，则将 A1,A2,…,An中的任意k(1≤k≤n)个事件换为各自的对 立事件后的n个事件仍然是相互独立的。
例如：
A1 , A 2 , A 3 ，A4,… ,An 相互独立的．
A
P(AS) P(A) P(A) P( A S ) P(A) P(S) P(S) 1
AB
B
3、关于概率的一切性质对于条件概率均成立，例如： （1） P(S|A)=1, P(A)=0; （2）若B1,B2,…Bn两两互不相容，P(A)>0,则
P(B1 B2 … Bn|A)=P(B1 | A)+P(B2 | A)+ … +P(Bn | A)
一个常用公式
设A1,A2,A3,……,An相互独立，则有 P(A1 A2 A3 ……An)= 1 P( A1 A 2 A n )
1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
例6：假设每个人带有感冒病毒的概率为0.002，求在有1500
人看电影的剧场中存在感冒病毒的概率。
解：假设每个人是否带有感冒病毒是相互独立的。 “第i个人带有感冒病毒”， 1,2,,1500 i 设 Ai 则 A1 , A 2 , , A1500 是相互独立的。P( A i ) 0.002 , i 1,2 , ,1500.
1-3 条件概率及有关公式
(3) (4)
2 1 3 1 P ( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 5 4 3 10
P ( A1 A2 ) P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P A1 A2 P ( A2 ) P ( A2 )
3 10 1 0.5 35
P ( A) P ( A | B1 ) P ( B1 ) P ( A | B2 ) P ( B2 ) P ( A | B3 ) P ( B3 )
0.02 0.15 0.01 0.80 0.03 0.05 0.0125
2、贝叶斯公式
设 B1,B2,…,Bn是两两互不相容的事件，
新 40 旧 20
30 10
nA 60
nAB 40
n AB 2 P( B | A) nA 3
例3 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意 抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假 钞. 求2 张都是假钞的概率.
解 令 A={2 张中至少有1张假钞} B A B ={抽到2 张都是假钞} 则所求概率是 P ( B | A) （而不是 P ( B ) ！）.
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 2 3 3 2 3 5 4 5 4 5
例4 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求： （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次 取得的是二等品的概率. 提问：第三次才取得一等品的概率, 是
( P ( A1 A2 An1 ) 0)
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
例4 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求： （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次 取得的是二等品的概率. 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品 3 2 3 （1） P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) 5 4 10 （2） P ( A2 ) P ( A1 A2 A1 A2 )
2 1 3 1 P ( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 5 4 3 10
P ( A1 A2 ) P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P A1 A2 P ( A2 ) P ( A2 )
3 10 1 0.5 35
P ( A) P ( A | B1 ) P ( B1 ) P ( A | B2 ) P ( B2 ) P ( A | B3 ) P ( B3 )
0.02 0.15 0.01 0.80 0.03 0.05 0.0125
2、贝叶斯公式
设 B1,B2,…,Bn是两两互不相容的事件，
新 40 旧 20
30 10
nA 60
nAB 40
n AB 2 P( B | A) nA 3
例3 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意 抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假 钞. 求2 张都是假钞的概率.
解 令 A={2 张中至少有1张假钞} B A B ={抽到2 张都是假钞} 则所求概率是 P ( B | A) （而不是 P ( B ) ！）.
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 2 3 3 2 3 5 4 5 4 5
例4 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求： （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次 取得的是二等品的概率. 提问：第三次才取得一等品的概率, 是
( P ( A1 A2 An1 ) 0)
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
例4 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求： （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次 取得的是二等品的概率. 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品 3 2 3 （1） P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) 5 4 10 （2） P ( A2 ) P ( A1 A2 A1 A2 )
1-3条件概率与独立性
三、事件的独立性
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次， 设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 显然 P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发 生的概率,这时称事件A、B独立.
定义2 设事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. [注] 1. 由乘法公式知，当事件A、B独立时， 有 P(AB)=P(A) P(B)
B =“甲机被击落” A =“乙机被击落”
A A1 A2 , 且A1 A2
B A1 A2 A1 B
已知 P ( A1 ) 0.2, P ( B A1 ) 0.3, P ( A2 A1 B) 0.4
P ( B ) P ( A1 B ) P ( A1 ) P ( B A1 ) 0.8 0.3 0.24
P ( A2 ) P ( A2 A1 B ) P ( A1 B A2 )
P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A2 A1 B )
0.8 0.7 0.4 0.224
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
0.2 0.224 0.424
P(AC)= P(A)P(C)
P(BC)= P(B)P(C)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
推广到n个事件的独立性定义,可类似写出： 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k (1<k n),任意1 i1<i2< …<i k n,具有等式
B
AB A
2. 条件概率的定义 定义1 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
第3节 条件概率与独立性
B)P(C
),
P( AC ) P( A)P(C ),
则称事件 A, B, C 两两独立 .
注意 相互独立
两两独立
23
例 一个袋内装有4个球,其中全红、全黑、全白色的 球各一个，另一个是涂有红、黑、白三色的彩球. 从
中任取一个, 记事件A、B、C分别表示取到的球上涂 有红色、黑色、白色. 试判断事件A、B、C两两独立
5
例2 设袋中有7个黑球,3个白球, 不放回摸取两次， 如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的 概率. 若改为放回摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
不放回: P(B | A) 2 . 9
放回: P(B | A) 3 . 10
6
例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄 段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可 知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718， 存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人， 能够活到51岁的概率是多少？
25
四个推论
。
1
若事件
A1 ,
A2, ,
An
(n
2)
相互独立,
则
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
2。 若事件 A1, A2, , An (n 2) 相互独立, 则
其中任意k个事件也相互独立.
。
3
若事件A1
,
A2
,,
An
(n
2)相互独立,
则
将A1
例如, 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
概率论之条件概率
解 以Ai (i 1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，
以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。
因为B A1 A2 A3，故有
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
7 9 3 1 1 1 1 . 2 10 10 200
P ( AB ) P ( B ) 0.4 0 .5 P( B) P ( A) 0.8
P( B | A)
二、乘法公式
定理1 设 P( A) 0, 则有 P( AB) P( A)P(B A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )P( An A1 A2 An1 )
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型） b个白球, r个红球 一个罐子中包含t个白球和r个红球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率.
P( B )P( A B )
j 1 j j
n
, i 1, 2, , n.
作业
P33-34 15,16,17(1), 19(1),21
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的）
以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。
因为B A1 A2 A3，故有
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
7 9 3 1 1 1 1 . 2 10 10 200
P ( AB ) P ( B ) 0.4 0 .5 P( B) P ( A) 0.8
P( B | A)
二、乘法公式
定理1 设 P( A) 0, 则有 P( AB) P( A)P(B A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )P( An A1 A2 An1 )
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型） b个白球, r个红球 一个罐子中包含t个白球和r个红球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率.
P( B )P( A B )
j 1 j j
n
, i 1, 2, , n.
作业
P33-34 15,16,17(1), 19(1),21
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的）
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n
P( A) P(Bi )P( A Bi ) (1) i 1
P(Bi A)
P(Bi )P( A Bi )
n
P(Bi )P( A Bi )
i 1
(2)
(1)式称为全概率公式， (2)式称为贝叶斯公式。
(1) 全概率公式 证明：由于 B1B2 … Bn =S 所以 A=AS=A(B1B2 … Bn)
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例1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、 乙、丙 击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。
令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.55 0.45 =0.1485
§3 条件概率
主要内容
• 一、条件概率 • 二、事件的独立性 • 三、乘法公式 • 四、全概率公式与贝叶斯公式
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一、条件概率 已知实验结果的部分信息
定义 已知事件A发生的条件下, 求另一事件B的 概率, 此概率称为条件概率, 记为P(B|A)
引例
女
男
山东 3
5
8
非山东 7
21
28
10
为导致A发生的原因(条件) (2)贝叶斯(bayes)公式: 已经知道结果A 发生了,再回 过头来考察是哪种原因导致A发生
P(Bi ) 叫先验概率 P(Bi / A)叫后验概率
如医生看病
例1：设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个 厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据：
厂家 甲厂 乙厂 丙厂
提供的份额 0.15 0.80 0.05
独立
P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( An )
例1：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下 列事件的概率。
（1）第3 次拨号才接通电话的概率
（2）拨号不超过3次而接通电话的概率。
解：令Ai ={第i次拨号时接通电话}, i=1,2,3 __ __ （1）第3 次拨号才接通电话可表示为：A1 A2 A3
B=“剧场含有感冒病毒”
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P( Ak ) 0.002, 且A1 , A2 , , A1500
相 互 独 立， 故
P(B) P( A1 A2 A1500 )
1 P ( A1 A2 A1500 )
__ __
__
1 P ( A1 A2 A1500 )
__
__
__
P(B A) 0.8, P(B A) 0.1
__
(1)P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
0.48 0.04 0.52
(2)P(A B) P(A)P(B A) 0.48 12 P(B) 0.52 13
例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色 盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰 好是色盲，求此人是男人的概率。
(2)贝叶斯公式
证明：
P ( Bi
A)
P( ABi ) P ( A)
P(Bi )P( A Bi )
P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 ) P(Bn )P( A Bn )
说明: (1)应用全概率公式,关键是寻找与A有关的互
不相容的完备事件组B1, B2, , Bn , 我们B称1, B2, , Bn
r【1 - (1 r 2 )2 ]
思路：
对于串联电路，系统正常工作当且仅当每个元件 正常工作。
对于并联电路，系统正常工作当且仅当至少有1 个元件正常工作。
解 ：(1) r 2 (2) r r r 2 (3) r(r r 2 r 3 ) (4) r(r 2 r 2 r 4 )
三、概率乘法公式
解：A={任选的一人是男人}，
__
A={任选的一人是女人}；
B={任选的一人是色盲}，
__
显然 A， A 是样本空间的一个划分,于是
P( A) 0.5, P( A) 0.5;
P(B A) 5%, P(B A) 0.25%;
__
P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A) 2.625%
（１）求收报台收到信号“＋”的概率。
（２）若收报台收到信号“＋” ，求是由信号“＋” 发出的概率。
__
解：A={发出信号“＋”}， A ={发出信号“－”}； __ B={收到信号“＋”}，B ={收到信号“－”}； __ 显然 A，A 是样本空间的一个划分,于是 P( A) 0.6 , P( A) 0.4;
上页 下页 返回
_________________
(2) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A 3 )
__ __ __
__
__
__
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
1 0.40.450.55 0.901
例2 假设每个人携带感冒病毒的概率为0.002, 求 一个能容纳1500人的剧场含有感冒病毒的概率是 多少？ 解：设Ak=“第k人携带感冒病毒”，k=1,2,…,1500
1 P( A1 ) P( A2 ) P( A1500 )
1 (1 0.002)1500 0.95
例3： （系统可靠性问题）
电子元件正常工作的概率称为该元件的可靠性。 设每个电子元件正常工作的概率为r,且是否正常工 作相互独立，考察下列系统的可靠性。
r2
1-（1 r（) 1 r) r【1- (1 r)(1 r 2 )]
P(A)>0时， P(B A) 1 P(B A)
P(B C A) P(B A) P(C A) P(BC A)
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例1 6个球中有4个白球2个黑球, 无放回取2个 球, 已知第一次取到白球, 问第二次取到白球 的概率? 解 A=“第一次取到白球” , B=“第二次取到白球”
P(B A) 3 5
__
__
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
9 81 1 10 9 8 10
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：
__
__ __
A1 A1 A2 A1 A2 A3
__
__
__
__
P( A1 A1 A2 A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
1. 样本空间S的一个划分
设B1,B2,…Bn为样本空间S的一组事件，且满足： BiBj= ,ij, i,j=1,2,…..n；(互不相容) B1B2 … Bn=S (完备) 这样的一组事件B1,B2,…Bn 称为样本空间S的一
个划分。
也称互不相 容的完备事 件组
2、全概率公式与贝叶斯公式
设B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分，则对S中 任意事件A，有
P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, 由全概率公式:
P(B3)=0.05； P(A|B3)=0.03
P(A)= P(B1) P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)
P(A)=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125
次品率 0.02 0.01 0.03
设三个厂家的产品在仓库中是均匀混合的。 (1)在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它 最有可能是何厂生产的？
解：(1) 设 A=“取到的一只晶体管是次品” Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3. 则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且
Cnn 个等式
如，A,B,C 相互独立需要验证4个等式
（2）两两独立（弱）
k2
相互独立（强)
k 2, , n
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(3) A1 An 相互独立， 则有
P( A1 An ) P( A1 ) P( An )
性质 A1 An 相互独立，则将任意的m (1 m n)
个事件改写成对立事件后仍然独立 注：实际应用中，对于事件的独立性我们往往 要根据描述性定义来判断，而不是数学定义来 判断。
P( A)P(B )
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3. 定义 A1 , A2 , , An (n 2)相互独立:
任意取出 k(2 k n) 个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik 都有
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik )
注
（1）一共要验证
C
2 n
Cn3
(2) 由贝叶斯公式
P(B1|A)=
P(B1 )P( A B1) 0.15 0.02 0.24
P( A)
0.0125
同理 P(B2|A)=0.64 , P(B3|A)=0.12 . 所以乙厂生产的可能性最大。
例2：某发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＋” 与“－”。由于通信受到干扰，当发出信号“＋” 时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号“＋”与 “－”；当发出信号“－”时，收报台分别以概率 0.9和0.1收到信号“－”与“＋”。
P(AB)=Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ/Ａ) P(A)>0 P( ABC) P( AB)P(C / AB)
P(AB)>0 P( A)P(B / A)P(C / AB)
更一般地
P( A1 A2 A3 An1 An ) P( A1 A2 An1 )P( An / A1 A2 An1 )
P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 )P( A4 / A1 A2 A3 ) P( An / A1 A2 An1 )
P( A) P(Bi )P( A Bi ) (1) i 1
P(Bi A)
P(Bi )P( A Bi )
n
P(Bi )P( A Bi )
i 1
(2)
(1)式称为全概率公式， (2)式称为贝叶斯公式。
(1) 全概率公式 证明：由于 B1B2 … Bn =S 所以 A=AS=A(B1B2 … Bn)
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例1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、 乙、丙 击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。
令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.55 0.45 =0.1485
§3 条件概率
主要内容
• 一、条件概率 • 二、事件的独立性 • 三、乘法公式 • 四、全概率公式与贝叶斯公式
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一、条件概率 已知实验结果的部分信息
定义 已知事件A发生的条件下, 求另一事件B的 概率, 此概率称为条件概率, 记为P(B|A)
引例
女
男
山东 3
5
8
非山东 7
21
28
10
为导致A发生的原因(条件) (2)贝叶斯(bayes)公式: 已经知道结果A 发生了,再回 过头来考察是哪种原因导致A发生
P(Bi ) 叫先验概率 P(Bi / A)叫后验概率
如医生看病
例1：设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个 厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据：
厂家 甲厂 乙厂 丙厂
提供的份额 0.15 0.80 0.05
独立
P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( An )
例1：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下 列事件的概率。
（1）第3 次拨号才接通电话的概率
（2）拨号不超过3次而接通电话的概率。
解：令Ai ={第i次拨号时接通电话}, i=1,2,3 __ __ （1）第3 次拨号才接通电话可表示为：A1 A2 A3
B=“剧场含有感冒病毒”
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P( Ak ) 0.002, 且A1 , A2 , , A1500
相 互 独 立， 故
P(B) P( A1 A2 A1500 )
1 P ( A1 A2 A1500 )
__ __
__
1 P ( A1 A2 A1500 )
__
__
__
P(B A) 0.8, P(B A) 0.1
__
(1)P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
0.48 0.04 0.52
(2)P(A B) P(A)P(B A) 0.48 12 P(B) 0.52 13
例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色 盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰 好是色盲，求此人是男人的概率。
(2)贝叶斯公式
证明：
P ( Bi
A)
P( ABi ) P ( A)
P(Bi )P( A Bi )
P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 ) P(Bn )P( A Bn )
说明: (1)应用全概率公式,关键是寻找与A有关的互
不相容的完备事件组B1, B2, , Bn , 我们B称1, B2, , Bn
r【1 - (1 r 2 )2 ]
思路：
对于串联电路，系统正常工作当且仅当每个元件 正常工作。
对于并联电路，系统正常工作当且仅当至少有1 个元件正常工作。
解 ：(1) r 2 (2) r r r 2 (3) r(r r 2 r 3 ) (4) r(r 2 r 2 r 4 )
三、概率乘法公式
解：A={任选的一人是男人}，
__
A={任选的一人是女人}；
B={任选的一人是色盲}，
__
显然 A， A 是样本空间的一个划分,于是
P( A) 0.5, P( A) 0.5;
P(B A) 5%, P(B A) 0.25%;
__
P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A) 2.625%
（１）求收报台收到信号“＋”的概率。
（２）若收报台收到信号“＋” ，求是由信号“＋” 发出的概率。
__
解：A={发出信号“＋”}， A ={发出信号“－”}； __ B={收到信号“＋”}，B ={收到信号“－”}； __ 显然 A，A 是样本空间的一个划分,于是 P( A) 0.6 , P( A) 0.4;
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_________________
(2) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A 3 )
__ __ __
__
__
__
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
1 0.40.450.55 0.901
例2 假设每个人携带感冒病毒的概率为0.002, 求 一个能容纳1500人的剧场含有感冒病毒的概率是 多少？ 解：设Ak=“第k人携带感冒病毒”，k=1,2,…,1500
1 P( A1 ) P( A2 ) P( A1500 )
1 (1 0.002)1500 0.95
例3： （系统可靠性问题）
电子元件正常工作的概率称为该元件的可靠性。 设每个电子元件正常工作的概率为r,且是否正常工 作相互独立，考察下列系统的可靠性。
r2
1-（1 r（) 1 r) r【1- (1 r)(1 r 2 )]
P(A)>0时， P(B A) 1 P(B A)
P(B C A) P(B A) P(C A) P(BC A)
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例1 6个球中有4个白球2个黑球, 无放回取2个 球, 已知第一次取到白球, 问第二次取到白球 的概率? 解 A=“第一次取到白球” , B=“第二次取到白球”
P(B A) 3 5
__
__
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
9 81 1 10 9 8 10
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：
__
__ __
A1 A1 A2 A1 A2 A3
__
__
__
__
P( A1 A1 A2 A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
1. 样本空间S的一个划分
设B1,B2,…Bn为样本空间S的一组事件，且满足： BiBj= ,ij, i,j=1,2,…..n；(互不相容) B1B2 … Bn=S (完备) 这样的一组事件B1,B2,…Bn 称为样本空间S的一
个划分。
也称互不相 容的完备事 件组
2、全概率公式与贝叶斯公式
设B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分，则对S中 任意事件A，有
P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, 由全概率公式:
P(B3)=0.05； P(A|B3)=0.03
P(A)= P(B1) P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)
P(A)=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125
次品率 0.02 0.01 0.03
设三个厂家的产品在仓库中是均匀混合的。 (1)在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它 最有可能是何厂生产的？
解：(1) 设 A=“取到的一只晶体管是次品” Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3. 则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且
Cnn 个等式
如，A,B,C 相互独立需要验证4个等式
（2）两两独立（弱）
k2
相互独立（强)
k 2, , n
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(3) A1 An 相互独立， 则有
P( A1 An ) P( A1 ) P( An )
性质 A1 An 相互独立，则将任意的m (1 m n)
个事件改写成对立事件后仍然独立 注：实际应用中，对于事件的独立性我们往往 要根据描述性定义来判断，而不是数学定义来 判断。
P( A)P(B )
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3. 定义 A1 , A2 , , An (n 2)相互独立:
任意取出 k(2 k n) 个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik 都有
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik )
注
（1）一共要验证
C
2 n
Cn3
(2) 由贝叶斯公式
P(B1|A)=
P(B1 )P( A B1) 0.15 0.02 0.24
P( A)
0.0125
同理 P(B2|A)=0.64 , P(B3|A)=0.12 . 所以乙厂生产的可能性最大。
例2：某发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＋” 与“－”。由于通信受到干扰，当发出信号“＋” 时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号“＋”与 “－”；当发出信号“－”时，收报台分别以概率 0.9和0.1收到信号“－”与“＋”。
P(AB)=Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ/Ａ) P(A)>0 P( ABC) P( AB)P(C / AB)
P(AB)>0 P( A)P(B / A)P(C / AB)
更一般地
P( A1 A2 A3 An1 An ) P( A1 A2 An1 )P( An / A1 A2 An1 )
P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 )P( A4 / A1 A2 A3 ) P( An / A1 A2 An1 )