空间的角

空间的角【复习要点】空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=S cosθ来计算【例题】【例1】如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P 在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.(1)求证：MN分别与α、β所成角相等；(2)求MN与β所成角.解：(1)证明：作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.在Rt△MPB与Rt△NP A中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.(2)解：设∠MNB=θ,MN=2a,则PB=PN=a,MB=NA=2a sinθ，NB=2a cosθ ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ,∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBD PNPC =22222222)cos 2(3sin 6)sin 362(,aa aa a aBNDBaCN a-=-∴-=-θθθ即整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0 解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去.∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°.【例2】 在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.(1)求证：四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角； (3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角.解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG ABA ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FDG ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos 1515.(3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos 33.(4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ， 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角. 在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a ,则由面积关系得OM =1030=⋅DEOE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OMOH故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.【例3】 如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°.求：(1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222||||||))((||))((,2||,)2(.22||,22||,0,21120cos ,21120cos 90,,120,,||||,|:|222||||||))(())((||)1(:ba AB AA AD AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA BD BD BD abAD AB ABADAD AB AA AD AA AB AB AD AA AD AB BD AC ABAD AA BA AD BD ADAB AC a AC ab b a AC ab b a AC AD AB ab a b AD AA ab a b AB AA AD AB AD AA AB AA aAD AB b AA AD AB AD AA AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AC AA AC AA AC AC AC +=⋅-⋅-⋅+++=-+-+=⋅=-=⋅--+⋅+⋅+⋅=-++=⋅∴-+=+=+==-+=∴-+=∴=⋅-=︒⋅=⋅-=︒⋅=⋅∴︒>=<︒>=>=<<===⋅+⋅+⋅+++=++++=++=⋅=依题意得由已知得解2212||b a BD +=∴221124,cos b abAC BD AC BD +-=⋅>=< ∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2224bab+.【例4】 长方体1111D C B A A B C D -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 中点．（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小； （2）求二面角B AC E --1的大小； （3）求三棱锥E D C A 11-的体积．解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面E D A 11的一条垂线．不难发现，AE 正为所求．由长方体1111D C B A ABCD -知：1111A ABB A D 面⊥，又11A ABB AE 面⊂，所以，AE A D ⊥11．在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1=AB ，所以，21==E A AE ，所以，AE A 1∆为等腰直角三角形，AE EA ⊥1．所以，⊥AE 面E D A 11．所以，AE A 1∠就是直线1AA 与平面E D A 11所成的角，为︒45．（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．注意到11BCC B AB 面⊥，所以，面⊥1ABC 11BCC B 面，所以，只需在11BCC B 面内过点E 作1BC EF ⊥于F ，则⊥EF 面1ABC ．过F 作1AC FG ⊥于G ，连EG ，则EGF ∠就是二面角AC A C 1CA C 1B AC E --1的平面角．在1EBC ∆中，55211111=⋅==∆BC B C EB BC S EF EBC ，所以，5532211=-=EFEC FC ．在1ABC ∆中，1030sin 1111=⋅=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG ．在EFG Rt ∆中，36tan==∠FGEF EGF ．所以，二面角B AC E --1的平面角的大小为36arctan．（3）要求三棱锥E D C A 11-的体积，注意到（2）中已经求出了点E 到平面11D AC 的距离EF ．所以，61613111111111=⋅⋅=⋅==∆--EF CD AD EF S V V D ACD ACE ED CA ．另一方面，也可以利用等积转化．因为11//C D AB ，所以，//AB E D C 11面．所以，点A 到平E D C 11面的距离就等于点B 到平E D C 11面的距离．所以，6161311111111111111=⋅⋅=⋅===∆---C D B C EB C D S V V V EBC EBC DED CB ED CA ．【例5】 如图，已知⊥PA 面ABC ，BCAD ⊥于D ，1===AD CD BC 。

（1）令x PD=，θ=∠BPC ，试把θtan 表示为x 的函数，并求其最大值；（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使得BACBQC ∠>∠？解：（1）为寻求θtan 与x 的关系，首先可以将θ转化为PBD PCD ∠-∠。

∵ ⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ， ∴ BD PD ⊥。

∴2tan ,tan x BD PD PBD x DCPD PCD ==∠==∠。

∴ θtan ()2212tan 2+=⋅+-=∠-∠=xx x x x x PBD PCD 。

∵ AD 为PD 在面ABD 上的射影。

AB∴ 1=>AD PD ，即1>x 。

∴ θtan 422212122=≤+=+=xx x x。

即θtan 的最大值为42，等号当且仅当2=x时取得。

（2）由正切函数的单调性可知：点Q 的存在性等价于：是否存在点Q 使得t a n B A C B QC ∠>∠t an 。

()31tan tan =∠-∠=∠ABD ACD BAC 。

令θtan 22+=x x31>，解得：21<<x ，与1>x 交集非空。

∴ 满足条件的点Q 存在。

【例6】 如图所示：正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26。

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使得EF ⊥侧面的位置，并加以证明。