2014-05-26 第3课时_二次函数y=ax2+k_的图象与性质_导学案
九年级数学下册26.2二次函数的图象与性质《二次函数y=ax2+k的图象与性质》导学案(新版)华东师大版
《二次函数y＝ax2＋k的图象与性质》【学习目标】1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系，掌握y＝ax2上、下平移规律．2．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．【学习重点】抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．【学习难点】理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．情景导入生成问题二次函数y＝ax2的图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点为原点，当a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，且|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．自学互研生成能力知识模块一抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移阅读教材P7～P9，完成下列问题：问题：y＝ax2＋k与y＝ax2之间有何关系？答：二次函数y＝ax2＋k是由y＝ax2平移|k|个单位得到的，k>0，向上平移，k<0，向下平移．范例：(郴州中考)将抛物线y＝x2＋1向下平移2个单位，则此时抛物线的表达式为y＝x2－1．仿例：下列各组抛物线中，能够通过互相平移而彼此得到对方的是(D)A．y＝2x2与y＝3x2B．y＝12x2＋2与y＝2x2＋12C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2＋2与y＝x2－2知识模块二二次函数y＝ax2＋k的图象与性质问题：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质是怎样的？答：一般地，抛物线y＝ax2＋k的对称轴是y轴，顶点是(0，k)，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．范例1：抛物线y ＝14x 2－9的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，－9)，它可以看做是由抛物线y ＝14x 2－1向下平移8个单位得到的．仿例：抛物线y ＝－12x 2＋1与抛物线y ＝ax 2＋c 关于x 轴对称，则a ＝12，c ＝－1. 范例2：一抛物线的顶点坐标为(0，5)，形状与抛物线y ＝2x 2相同，在对称轴右侧，y 随x 增大而减小，则该函数关系式为( A )A ．y ＝－2x 2＋5B ．y ＝－5x 2＋ 2C ．y ＝－5x 2－ 2D ．y ＝2x 2－5仿例：抛物线y ＝－12x 2＋4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△AB C 的面积为( B ) A ．8 B ．8 2 C ．4 D ．4 2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。
26.1.3 二次函数y=ax2+k的图像及性质(教案)
4、抛物线y= x2，y= 3x2，y=2x2中开口最大的是。
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】课堂导学
1、在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2，y＝x2+1，y＝x2-1的图象
x
…
…
y=x2
y＝x2+1
y＝x2-1
解：
列表
描点、连线
（1）抛物线y＝x2+1的开口方向，对称轴是，
课题：26.1.3二次函数y=ax2+k的图像及性质
课型
新授课
备课时间
2014-9-8
使用教师姓名
使用时间
主备
审核教师
尹丽娟
参与教师姓名
张娜俊芳明宝凌云永鑫巩建英
教学目标：能做出二次函数y=ax2和y=ax2+k的图像，并能够比较它们的异同，理解a与k对二次函数图像的影响，能说出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
6、填表
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
y=ax2
Y=ax2+k
【五】板书设计
【六】教后札记
顶点坐标是，顶点是最点，当x=时，函
数有最小值是。当x时，y随x的增大而增大，
当x时，y随x的增大而减小。
（2）抛物线y＝x2-1的开口方向，对称轴是，
顶点坐标是，顶点是最点，当x=时，
函数有最小值是。当x时，y随x
的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小。
【三】课堂小结
3、观察二次函数y=x2，y＝x2+1，y＝x2-1的图象的形状、对称轴、顶点、位置有何关系，你能得出什么规律？
华师版数学九年级下册26 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质导学案精品
26.2二次函数的图象与性质祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》原创不容易，【关注】，不迷路！2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质学习目标：1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.（难点）自主学习一、知识链接1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.开口方向对称轴顶点坐标最值y=-x2y=2x2+31y=-2(x+2)22.将抛物线y=x2向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为;将抛物线y=x2向右平移2个单位得到抛物线的表达式为.思考：将抛物线y=x2向下平移2个单位,再向右平移2个单位得到的抛物线有怎样的表达式？二、新知预习1.在图①所示的坐标系中画出二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象.图①2.结合图象，填空：(1)抛物线y=(x-2)2-2的开口向__________，对称轴为______________，顶点坐标为_____________；(2)抛物线y=(x-2)2-2，当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小；(3)抛物线y=(x-2)2-2的可看作由抛物线y=x2-2向____平移_______个单位得到，也可以看作由抛物线y=(x-2)2向____平移_______个单位得到.练习：.1.抛物线y=2（x+1）2-2的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=-1C．直线x=2D．直线x=-22.抛物线y=-3（x-1）2+3的顶坐标是（）A．（-1，-3）B．（-1，3）C．（1，-3）D．（1，3）合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质画一画在图②所示的坐标系中画出二次函数()2=-+-的图象.212y x问题1说一说二次函数()2=-+-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐212y x标.问题2观察图象，当x满足什么条件时，y随x的增大而增大？议一议观察图①和图②，说一说二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质.要点归纳】二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的性质当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x 的增大而增大.当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x 的增大而减小.【例精析】y＝﹣2(x-1)2﹣4，下列说法正确的是()A．开口向上B．对称轴为直线x＝-1C．顶点坐标为(1，4)D．当x＜1时，y随x的增大而增大【针对训练】已知抛物线y=（x+2）2-1．（1）求它的顶点坐标和对称轴；（2）在给出的坐标系中，画出函数y=（x+2）2-1的图象；（3）结合图象回答：当x在什么范围时，y随x的增大而减小？例2如图，抛物线y =-（x-1）2+4与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（2）求△OCD的面积．探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系观察与思考（1）观察图中画出的二次函数y=x2，y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象，填空：(2)说一说如何由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x-2)2-2？【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x－h)2+k的关系上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数a不变.例3将抛物线y=2x2向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的表达式为（）A．y=2（x-4）2-1B．y=2（x+4）2+1C．y=2（x-4）2+1D．y=2（x+4）2-1【针对训练】将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4二、课堂小结二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质图象的特点a>0开口向_____，对称轴是_________，顶点坐标是当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小_________.a <0开口向_____，对称轴是_________，顶点坐标是_________.当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ______时，y 随x 的增大而减小平移规律左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.当堂检测1.二次函数y =-（x +3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．向下，直线x =3，（3，2）B ．向下，直线x =-3，（3，2） C ．向上，直线x =-3，（3，2）D ．向下，直线x =-3，（-3，2）2.已知二次函数y =2（x -1）2+3的图象经过平移以后得到新的二次函数为y =2（x +1）2-1，则原图象经过了怎样的平移（ ）A ．向左平移2个单位；向下平移2个单位B ．向右平移2个单位；向下平移2个单位C ．向左平移2个单位；向下平移4个单位D ．向右平移2个单位；向上平移2个单位3.已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标__________； （2）对称轴为__________；（3）当x =_______时，y 有最大值是______； （4）当_______时，y 随着x 的增大而减小．5. 4.已知二次函数y =23145⎪⎭⎫⎝⎛-x +1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x =-31；③其图象顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-131，；④当x ＜31时，y 随x 的增大而减小，其中说法正确的有_______(填序号）.6. 已知二次函数y =-（x -1）2+1．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；7.若（x1，m），(x2，n)是抛物线上的两点，且x1＜x2＜0，则m____n(填“＞”“＜”或“＝”);（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．8.如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A．（1）求点M、A的坐标；（2）连结AM、OM，求∠AOM的正切值．参考答案自主学习一、知识链接1.填表如下：2.y=x2-2y=（x-2）2二、新知预习1.解：二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象如图①所示.图①图②2.（1）上直线x =2(2,-2)(2)x ＞2＜2（3）右2下2练习：1.B2.D 合作探究 一、要点探究探究点1：二次函数y =a (x －（1，-3），令x =0，则y =（0-1）2-3=-2，∴点A （0，-2）.（2）∵M （1，-3），∴tan ∠AOM =31．【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
二次函数y=ax2+k的图像及性质导学案
二次函数k ax y +=2的图象性质导学案 一、知识链接：1.直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2.若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：3.由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象有何关系吗？猜想 。
二、自主学习（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y .3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：（一）抛物线k ax y +=2特点： 1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是 。
（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y a x =平移得到的。
（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a决定开口的 ，即a不变，则抛物线的形状 。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
（四）归纳 抛物线y ＝ax2＋k 的性质三、跟踪练习：1.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；x抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
3．由抛物线352-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．5. 抛物线142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 6.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴求该函数的表达式；⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值 当堂检测1、二次函数24y x =+的最小值是 ． 2、抛物线y=－6＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教案、教学设计、导学案、同步练习
《第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．【教学过程】一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y 1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( )A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④解析：∵－b2a＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(32，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－b2a；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO ＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x －h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质《第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》教案【教学目标】：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
27.2.1《二次函数y=ax2的图象与性质》学案
27.2.1《二次函数y=ax 2的图象与性质》导学案学习目标：1、会用描点法画出二次函数y=ax 2 的图象；2、根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax 2的性质；3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；4、领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力； 学习重点：根据特殊二次函数图象，观察、分析、归纳出二次函数的性质； 学习难点：用数形结合的方法归纳二次函数的性质。
学习过程：一、尝试题一：（学生尝试自主完成以下题目：）1. 请回忆正比例函数、一次函数和反比例函数的图象，它们分别是什么形状？（ 、 ）我们是用怎样的方法得出这些图象的？用描点法画图象有哪些步骤？（ 、 、 ）2.下面是一次函数2y x =-的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？3.我们已经知道了二次函数的一般形式 是 ，接下来我们仿照前面研究函数图象的方法来研究二次函数的图象。
请仿照前面画函数图象的方法画出函数22122y x y x ==与的图象.①自变量x 的取值范围是什么？②要画这个图，你认为x 取整数还是取其他数较好？ ③若选7个点画图，你准备怎样选？(1)212y x =(2)22y x =4(问题详见课本)5.总结y ＝ax 2﹙a ＞0﹚的图像及性质：二、尝试题二：1..画出函数2y x =-的图象 列表：2.从函数图象入手，再次总结二次函数y ＝ax 2﹙a ＜0﹚的性质 2填空题:1.抛物线y =2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x = 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方(除顶点外).2.抛物线223y x =-位置在x 轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x 的 ；在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0. 3.已知二次函数①y=-x 2; ②y=15x 2;③y=-4x 2;④y=- x 2;⑤y=4x 2. (1)其中开口向上的有_______(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________ 五、学后反思:1.通过本节课学习，我的收获是： ;2.我感到疑惑的是： ; 作业：P 7练习第1，2题。
《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计
二次函数y=ax2图象的描绘和图像特征的归纳
学习难点
选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像.
学习方法
合作——探究、讨论——交流．
学具准备
投影片、单页网格纸
学习内容及过程
备注
一、学习准备
问题：1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么？
2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？
《二次函数的性质》导学设计
（鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节）
课题
二次函数y=ax2的图像性质
课型
新授课
备课人
内容分析
二次函数y=ax2的图像和性质，是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质，前面有一次函数、正（反）比例函数性质的基础，学生有了储备知识，它是一类最特殊的二次函数，为后续学习奠定基础，从某种意义上说起着承上启下的作用。教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。同学们应注意学习和运用。本节学习中最难理解的是增减性，这一点同学们学习时要特别注意。
画函数y=x2,y= -x2,图象。
生列表，描点，连线，得到函数的图像，抽2生到黑板完成。
师通过订正黑板上两同学的图象，指出图象的正确做法。
探究二：观察图象，探索性质。
(完成教材P46)函数 的图像、顶点坐标、对称轴有关概念
通过填写下表二次函数y=x2图象来概括归纳性质。
（一）列表
x
…
-3
-2
-1
0
例1已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(1,-9).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
27.2.2《二次函数y=ax2+k的图像与性质》学案
27.2.2《二次函数k ax y +=2的图像与性质》学案 教学目标：1、理解并记忆k ax y +=2（a ≠0）类型函数的图像特点及性质。
2、能说出二次函数k ax y +=2（a ≠0的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性。
3、能用运动变化的观点理解k ax y +=2（a ≠0）与()02≠=a ax y 图像之间的关系。
重点难点：教学重点：理解k ax y +=2（a ≠0）类型函数的图像特点及性质。
教学难点：灵活运用k ax y +=2（a ≠0）类型函数的性质解决问题。
教学过程：一、复习旧知：1、二次函数()02≠=a ax y 的图像是 。
2、二次函数()023、完成下面各题：（1）258x y =的图像与258x y -=的图像关于 对称。
（2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
二、导入新课：本节课我们研究k ax y +=2（a ≠0）类型函数的图像与性质。
三、新知探究：（一）在同一坐标系中画出函数221,2122+==x y x y 的图像。
探索与发现：上面的两个函数有哪些相同点和不同点？相同点：不同点：思考：当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图像上相应的两个点之间的位置又有什么关系？你能得到什么结论？（二）在同一直角坐标系中，画出函数1,122--=+-=x y x y 的图像，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y 。
（三）探究与归纳：k ax y +=2（a ≠0）的图像可看作是由()02≠=a ax y 的图像经过怎样的变换得到的？k ax y +=2（a ≠0）有哪些性质？k ax y +=（a ≠0）可看作是由0≠=a ax y 的图像 （k ＞0）或 （k ＜0）平移︱k ︱个单位得到的。
四、课堂练习：1、抛物线3212-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是由抛物线221x y =向 平移 个单位得到的。
第3课时二次函数导学案刘
第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【学习目标】1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．重点：掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；难点：二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．【自主探究】在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．解：先列表x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2y＝x2＋1 ……y＝x2－1 ……描点并画图【师生合作】观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．【精讲点拨】理一理知识点1．2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．【巩固训练一】1．填表2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 【巩固训练二】2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的． 3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．【展示提升】若y=x 2+(2k-1)的顶点位于轴上方，则K 的范围是_____________. 反思：课后小测1.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
数学人教版九年级上册2.1.3二次函数y=ax2 k图像与性质教学设计.1.3二次函数y=ax2 k图像与性质教学设计
22.1.3二次函数y＝ax2＋k的图象性质的教学设计柯坪县第二中学马热艳木·吐尔洪22.1.3二次函数y＝ax2＋k的图像性质的教学设计一、教学目标知识与技能目标1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。
2、理解并掌握二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。
过程与方法目标经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体会尝试去发现二次函数的图象特征及其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2二、教学重点、难点：教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解二次函数y＝ax2＋k与二次函数y＝ax2的相互关系。
教学难点:正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质及抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。
三，课型，课时：新课，一课时四，教学手段：多媒体课件，三角板，课本五，教学方法：讲授法，观察法，作图法六、课堂教学过程设计（一）复习引入上节课我们学习了二次函数y＝ax2，大家来看一下下面的填空题。
填一填：二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x2当x＝______时，取最______值，其最______值是______。
二次函数y＝-x2呢？（二）引入新课今天我们进一步学习二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质。
二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?你将采取什么方法加以研究?(学生画出函数y＝x2+1和函数y＝x2的图象，并加以比较)探究二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系活动1画二次函数y=x2与y＝x2＋1的图象教学要点1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y ＝x2的图象同学们能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋1的图象吗?画一画。
二次函数的图象和性质3学案
22.1.3二次函数k ax y +=2的图象和性质导学案1. 二次函数y ＝x 2的图象是一条 ______，开口向____，对称轴是______,顶点坐标是______；当 x ＝____时，取得最____值，是______;在对称轴的左侧（x ＜0 时），y 随x 的增大而____，在对称轴的右侧 (x ＞0时)，y 随x 的增大而______.2. 直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
由此你能推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间有何关系吗？猜想:_____________________.二、自主探究1.在同一直角坐标系中，画出二次函数 12+=x y ，12-=x y 的图象．步骤：（1）列表（2） 描点（3） 连线2. 观察以上三个图象后填表.x3. 提问：抛物线12+=x y ，12-=x y 与2x y = 有什么关系?4.（1）试说出抛物线y =－x 2+1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和函数增减性. （2）抛物线y =－x 2+1可以看成是由抛物线y=－x 2如何平移得到的？ 三、知识梳理（一）抛物线k ax y +=2特点：（1）当0a >时，1. 开口向 ；2. 对称轴是 ；3. 顶点坐标是 ;4.最____值是______;5. 增减性：当x ＜0时, y 随x 的增大而_________, 当x ＞0时, y 随x 的增大而________. （2）当0a <时，1. 开口向 ；2. 对称轴是 ；3. 顶点坐标是 ;4.最____值是______;5. 增减性：当x ＜0时, y 随x 的增大而_________, 当x ＞0时, y 随x 的增大而________.（二）抛物线k ax y +=2与2y ax = 的关系： 形状相同，位置不同；k ax y +=2是由2y ax =_________（填上下或左右）平移______个单位长度得到的。
二次函数y=ax2的图像与性质导学案
二次函数y=ax 2的图像及性质班级__________________姓名_________________学号__________学习目标：1.会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，观察二次函数y=ax 2的图象，归纳出二次函数y=ax 2的性质。
2.灵活运用二次函数y ＝ax 2的性质解决问题. 活动一，温故知新1. 一般地，形如y =___________（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数。
2、一次函数的图像是_________。
3、画函数图象的主要步骤是①________②_________③________. 活动二，探究新知探究（一）画二次函数y=x 2与y=-x 2的图象问题：观察两个函数图像，请你谈谈你的发现。
归纳：1.二次函数的图像是_______________; 2.函数2x y =___________________________ ______________________________________________________________________________________________________________3.函数2y x =-_________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ 4.函数2x y =的图像与函数2y x =-的图像关 于_______轴__________。
归纳：抛物线y ＝ax 2的性质 ：活动三，运用新知1、函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，最 值是 。
2、函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，最 值是 ．3.若二次函数y ＝ax 2的图象过点(1,－2),则a 的值是___________. 4.二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下,则m____________. 5.如图,①y ＝ax 2②y ＝bx 2③y ＝cx 2④y ＝dx 2比较a.b.c.d 的大小, 用“＞”连接.__________抛物线y ＝ax 2(a>0)y ＝ax 2(a<0)图像顶点坐标 对称轴 开口方向增减性当x<0时，y 随x 的增大而_______ 当x>0时，y 随x 的增大而_______当x<0时,y 随x 的增大而_______ 当x>0时，y 随x 的增大而________最值（及值）开口大小活动四，巩固练习 已知抛物线22y x =.（1）当1x =-时，求y 的值； （2）当8y =时，求x 的值.（3）若点C 的坐标为（0,8），过C 作x 轴的平行线，交抛物线与A ，B 两点（A 在B 的左边），求AB 的长，并求出△ABO 的面积S △ABO活动五，拓展延伸已知抛物线2ax y =经过A (1,1)-. (1)求抛物线的解析式(2)若点B （1，n ）也在抛物线上，试求n 的值并说明△ABO 的形状. *（3）除O 点外，抛物线上是否还存在一点P ，使△PAB 为等腰 三角形？若存在求出点P 坐标，若不存在，请说明理由.活动六，当堂测试1．函数y=x 2的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ．2．函数y=x 2与y=－x 2的图象关于 对称，3．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 4．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（ ）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=365、抛物线23y x =-上有三点1(3,)A y -，2(2,)B y -，37(,)3C y ， 则123,,y y y 的大小关系是______________.6、抛物线2212a y x +=上有三点1(5,)A y -，2(3,)B y ，35(,)7C y ，则123,,y y y 的大小关系是______________.7、.求出函数y=x ＋2与函数y=x 2的图象的交点坐标．8、已知函数 42)2(-++=m m x m y是关于x 的二次函数。
《5.2-二次函数的图像和性质》第3课时导学案
word 格式-可编辑-感谢下载支持《5.2 二次函数的图像和性质》第3课时导学案日期：______ 班级_____ 姓名：_________ 组别：______ 评价：_________【学习目标】1．会用描点法画函数y ＝ax 2＋k （a ≠0）的图像；2．能用平移变换解释二次函数y ＝ax 2＋k 和二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的位置关系；3．能根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2＋k （a ≠0）的性质；【学习重点】从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y ＝ax 2＋k 的图像和二次函数y ＝ax 2的（a ≠0）位置关系．【自主学习】请同学们仔细阅读课本P14-15页内容，认真完成下面的预习作业，相信你一定行的！1、二次函数y ＝x 2+1的图象与二次函数y ＝x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?2、将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 ． 将y=2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象．抛物线y=-3x 2+2的顶点是 ;对称轴是 ;当x 时, y 随着x 的增大而 ;当x 时, y 随着x 的增大而 .当x= 时,函数y 有最 值,最 值是 . 【课中交流】1．填表： 画函数y ＝x 2和y ＝x 2＋1的图像．2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x 2＋1的图像和y ＝x 2的图像；3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y ＝x 2＋1的图像和y＝x 2的图像的位置有什么关系？（3）根据图像，你能得出函数y ＝x 2＋1的图像的性质吗？4．猜想：函数y ＝x 2－2的图像和y ＝x 2的图像的位置有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2 … …y ＝x 2＋1 … …x y O何关系？函数y ＝x 2－2的图像有哪些性质？5．（1）由上面的例子，你发现函数y ＝ax 2＋k 的图像与函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像有什么关系？（2）二次函数y ＝ax 2＋k （a ≠0）有什么性质？6．函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到； y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到． 【目标检测】1．在同一直角坐标系中，画出下列两个二次函数的图象．(1)y ＝2x 2与y ＝2x 2－1解：（1） ： （2） ； （3） 。
数学人教版九年级上册二次函数y=ax^2 k图象与性质教案
22.1.3 二次函数k ax y +=2的图象与性质（学案）初二（ ）班 姓名____________一．温故知新 问题1：（1）二次函数 y = ax 2 的图象是什么？ （2）它具有怎样的图象特征和性质？ （3）你是怎么研究的？二、新知探究问题2：在同一直角坐标系中,画出二次函数12+=x y 和12-=x y 的图象 解：探究：1、二次函数12+=x y 和12-=x y 有什么图象特征与性质？有什么相同点与不同点？2、抛物线12+=x y 、12-=x y 与抛物线2x y =有什么关系？【小结】1、抛物线kax=2与2y=之间的关系：y+ax2、二次函数k=2的图象与性质axy+三、巩固新知 A 组：1、（画草图解答）抛物线y= −2x 2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ， 当x __ _ 时，y 随着x 的增大而减小，当x _____ 时，函数y 的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= −2x 2线怎样平移得到的________________________.2、将抛物线32+=x y 的图象向下平移4个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________________3、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数图象的草图： （1）22x y -= ；（2）122+-=x y ；（3）122--=x y ．观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出k x y +-=22抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线22x y -=有什么联系？B 组：4、若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10）. （1） 求a 的值，并写出该函数解析式．（2） 这个函数有最大还是最小值？这个最值是多少？5、在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )四、小结（1）本节课学了哪些主要内容？研究方法是什么？（2）抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 的区别与联系是什么？五、作业：作业小测卷。
2213二次函数y=ax^2k的图象和性质(导学案)九年级数学上册(人教版)
22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质导学案1）用描点法画二次函数y=ax2+k的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=ax²+k的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=ax2+k的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
【问题】用描点法画二次函数y=2x2+1 和y=2x21的图象。
【问题】抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？1）抛物线y=2x2+1的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________，函数的最___值为_________2）抛物线y=2x2−1的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________，函数的最___值为_________【提问】观察抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的图象，讨论增减性？从抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的图象可以看出：两者的增减性__________在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____.【提问】你能说出二次函数y＝ax2＋k(a＞0)的图象特征和性质吗？【问题】描点法画抛物线y=−12x2、y=−12x2+1、y=−12x2−1的图象？并回答下面问题？1）三条抛物线的开口方向：________ 2）三条抛物线的对称轴：________ 3）从上而下顶点坐标分别为：________4）顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最_____值 分别为____________________________5）函数的增减性都______:即当x ＜0时，y 随x 的增大而_____； 当x ＞0时，y 随x 的增大而_____.【提问】你能说出二次函数y ＝ax 2＋k(a<0)的图象特征和性质吗？ 【思考】1)抛物线y =2x 2+1和y =2x 2−1与y =2x 2有什么关系？ 2抛物线y =2x 2+1与y =2x 2−1有什么关系？3)抛物线y =ax 2+k 与y =ax 2有什么关系？【总结】二次函数y=ax ²+k 的图象特征和性质:例1．抛物线y=−2x2−3的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当x _____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．【针对训练】x2+5有最_________值为__________．1．二次函数y=−122．二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．3．抛物线y＝﹣x2＋3的对称轴是_________，顶点坐标是_________．4．已知二次函数y=2x2−1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是__________．5. 下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（）．A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是(2,3)C．当x<1时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是3例2．如果抛物线y=(2−a)x2+2开口向下，那么a的取值范围是______．例3．已知二次函数y=ax2−2的图象经过点(1,−3)，那么a的值为_____．【针对训练】1．已知点M（1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，则m的值为__________．2．二次函数y＝(k−1)x k2+3的图象开口向上，则k＝___．3．如果抛物线y=ax23的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ．x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：例4．已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣13m _____ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）【针对训练】1．若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2+m上，则y1，y2的大小关系为：y1_________y2（填“>”，“=”或“<”）．2．已知点A(1,y1)，点B(2,y2)在二次函数y=ax2−2(a≠0)的图象上，且y1<y2，那么a的取值范围是__________．3．已知(−2,y1)，(−1,y2)，(3,y3)是二次函数y=x2+m上的点，则y1，y2，y3从小到大用“<”排列是_____________．4．已知点(x1,y1)，(x2,y2)均在抛物线y=x2−1上，下列说法正确的是（）A．若x1=−x2，则y1=−y2B．若y1=y2，则x1=x2C．若x1<x2<0，则y1<y2D．若0<x1<x2，则y1<y2例5．抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线的函数解析式是_____．【针对训练】1．抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为 _____．2．写出顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线y=−x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．3．已知抛物线y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．例6．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（）A．y=2x2与y=3x2 B．y=2x2与y=x2+2C．y=2x2+3与y=3x2+2 D．y=2x2与y=2x2−1【针对训练】1 填空1）抛物线y＝3x2＋8可以由抛物线y＝3x2向平移个单位得到．2）抛物线y＝3x2+2向平移个单位后会得到抛物线y=3x2．2．二次函数y=5x2−3与二次函数y=5x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向､对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数y=−5x2−2的图象与二次函数y=−5x2+3的图象呢？例7．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C ．D ．）能力提升．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线13x22．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=32x2−32，则图中CD的长为__________．3．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）（1）点A的坐标是；（2）求该抛物线的解析式；（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．．B．．．D．1．（2022·湖北荆门真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对2．（2023·安徽真题）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y=x2+1 B．y=−x2+1 C．y=2x+1D．y=−2x+13．（2023·广东·统考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．1 B．−2C．−3D．−44．（2019·山东真题）已知抛物线y=x2+1，下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与x轴交于点（1，0）和点（1，0）；③抛物线的对称轴是y轴；④抛物线的顶点坐标是（0，1）；⑤抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2向上平移1个单位得到的．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个 D．2个1.本节课学了哪些主要内容？2.抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的区别与联系是什么？3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？【参考答案】新知探究【问题】用描点法画二次函数y=2x2+1 和y=2x21的图象。
人教版九年级上数学教案 第3课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质一、基本目标【知识与技能】1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象，并通过图象认识其性质．2．理解a、k对二次函数图象的影响，能正确说出两次函数y＝ax2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【过程与方法】经历类比y＝ax2的图象与性质学习y＝ax2＋k的图象与性质的过程，理解类比的学习方法的重要性．【情感态度与价值观】经历类比学习的过程，获得成功的体验，进一步体会二次函数的数学模型．二、重难点目标【教学重点】1．会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象．2．理解二次函数y＝ax2＋k的性质．3．理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的关系．【教学难点】1．正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质．2．理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P32～P33的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)把抛物线y＝2x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝2x2＋1.(2)把抛物线y＝2x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝2x2－1.同理，把抛物线y＝－2x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝－2x2＋1.(3)函数y＝－x2＋1，当__x_＞0__时，y随x的增大而减小；当__x＝0__时，函数y有最大值，最大值y 是__1__ ，其图象与y 轴的交点坐标是__(0,1)__，与x 轴的交点坐标是__(1,0)，(－1,0)__.2．二次函数y ＝2x 2＋1的图象与二次函数y ＝2x 2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？解：二次函数y ＝2x 2＋1的图象与二次函数y ＝2x 2的图象开口方向、对称轴相同；顶点坐标不相同，二次函数y ＝2x 2＋1的图象的顶点坐标为(0,1)，二次函数y ＝2x 2的图象的顶点坐标为(0,0)．环节2 合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数y ＝(a －2)x 2＋a 2－2的最高点为(0,2)，求a 的值．【互动探索】(引发学生思考)二次函数的最高点为(0,2)，那么它的二次项系数、常数分别应该满足什么条件？【解答】∵二次函数y ＝(a －2)x 2＋a 2－2的最高点为(0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a 2－2＝2.解得a ＝－2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)若二次函数y ＝ax 2＋k 的图象有最高点，则a ＜0；最高点的纵坐标为k ，即最高的坐标为(0，k )．【例2】已知抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2，试求a 、k 的值．【互动探索】(引发学生思考)两个抛物线通过平移能够互相得到，那么这两个抛物线的解析式有怎么的关系？抛物线的平移规律是怎样的？【解答】根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，k －2＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝4. 【互动总结】(学生总结，老师点评)两个抛物线通过平移能够互相得到，那么这两个抛物线的解析式中的二次项系数相等．抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移n 个单位(n ＞0)得到的抛物线为y ＝ax 2＋k －n .【活动2】 巩固练习(学生独学)1．若二次函数y 1＝a 1x 2－1与二次函数y 2＝a 2x 2＋3图象的形状完全相同，则a 1与a 2的关系为( A )A ．a 1＝a 2B ．a 1＝－a 2C ．a 1＝±a 2D ．无法判断2．将二次函数y ＝－2x 2－1的图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为( A )A ．(0，－6)B ．(0,4)C ．(5，－1)D ．(－2，－6)3．求符合下列条件的抛物线y ＝ax 2－1的函数关系式：(1)通过点(－3,2)；(2)与y ＝12x 2的开口大小相同，方向相反． 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－1通过点(－3,2)，∴2＝9a －1，解得a ＝13.故解析式为y ＝13x 2－1.(2)由题意易得解析式为y ＝－12x 2－1. 【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2，x 1、x 2分别是A 、B 两点的横坐标)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c【互动探索】(引发学生思考)分析二次函数y ＝a x 2＋c 的图象与性质．【分析】二次函数y ＝ax 2＋c 的图象关于y 轴对称．∵当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2，x 1、x 2分别是A 、B 两点的横坐标)时，函数值相等，∴x 1＋x 2＝0.由于当x ＝0时，函数值为c ，故选项D 正确．【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋c 的图象关于y 轴对称，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，那么x 1与x 2互为相反数．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！1、最困难的事就是认识自己。
22二次函数y=ax2的图象和性质(导学案)
22.1.2二次函数y=a x2的图象和性质一、新课导入1.导入课题：问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=a x2的图象.板书课题：二次函数y=a x2（a≠0）的图象.2.学习目标：（1）用描点法画二次函数y=a x2的图象,知道抛物线y=a x2是轴对称图形，知道抛物线y=a x2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=a x2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.3.学习重、难点：重点：画二次函数y=a x2的图象，理解抛物线的相关概念.难点：画二次函数y=a x2的图象.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：数形结合.（4）自学参考提纲：①画出函数y=x2的图象.②二次函数y=a x2+b x+c的图象是抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.③函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0），顶点是图象的最低点.④在①中的坐标系中画出函数y=12x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.⑤由④，说明二次函数y=a x2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.二次函数y=a x2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是y轴，开口向上，顶点是（0,0）.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否熟练地用描点法画出函数的图象，能否观察图象得到所需的结论.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导,对列表取值进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化：(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=a x2的图象的相关性质.(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=a x2+b x+c的图象就叫做抛物线y=a x2+b x+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.②抛物线y=a x2关于y轴对称，抛物线y=a x2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).③a>0时，抛物线y=a x2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.1.自学指导：（1）自学内容：探究y=a x2(a<0)的图象特点.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.（4）探究提纲：①完成探究，回答这些抛物线异同点：共同点：开口都向下，对称轴是y轴，顶点是（0,0）.不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.②总结a<0时，抛物线y=a x2的性质.当a＜0时，抛物线a x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=a x2与y=-a x2有何关系吗？抛物线y=a x2与y=-a x2关于x轴对称.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生画图和识图的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化:（1）交流：a<0时二次函数y=a x2的图象的性质.（2）强调a的符号对二次函数y=a x2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=a x2的图象的开口大小的影响.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性，小组交流与回答问题的情况，学习效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是让学生在经历动手操作、探究归纳的过程中，逐步获取图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（15分）抛物线y=2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）.2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=35x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.(1)其中开口向上的是②③⑤(填序号)；(2)其中开口向下且开口最大的是①(填序号)；(3)有最高点的是①④(填序号).3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=-14x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.解：抛物线y=4x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.抛物线y=-14x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.4.（20分）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=13x2；y=-13x2.解：列表：作图如图所示.二、综合应用（20分）5.（20分）已知一次函数y=a x +b 和二次函数y=a x 2，其中a≠0,b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（C ）三、拓展延伸（10分）6.（10分）m 为何值时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线？解：由题意得，，m m m ⎧-=⎨<⎩220解得m=-1∴当m=-1时，函数－m my mx =2的图象是开口向下的抛物线.。
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第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质(MP27-28)
姓名__________
一、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的联系——了解y＝ax2的上下平移规律
二、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
观察图象得：
1．
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；
把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
三、理一理知识点
1．
2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．
四、课堂巩固训练
2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式____________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－
3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
4.写出一个形状与y=-2x 2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
5.抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.已知抛物线y=ax 2+c 经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。
五、目标检测
2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单
位得到的．
3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．
2
6.（2011•金东区一模）如图，已知抛物线y=x 2-1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 作AP ∥BC 交抛物线于点P ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标以及直线BC 的解析式；
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积。
7. 画出在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c （a c≠0）的图象可能情形（草图）——分情况讨论。