华夏精英教育----用向量法解立体几何问题(理科)
向量法解决立体几何问题总结(一)
向量法解决立体几何问题总结(一)向量法解决立体几何问题前言立体几何问题在数学中起到重要的作用，理解和解决立体几何问题对于提升数学思维和解决实际问题都有着积极的影响。
传统的解决方法包括使用平面几何、几何画法等，但这些方法在处理复杂的立体几何问题时可能面临一些困难。
向量法作为一种新的解决方法，在解决立体几何问题方面具有独特的优势和应用空间。
正文1. 什么是向量法向量法是一种几何运算方法，通过定义和运算向量的方式，对立体几何问题进行求解。
向量法帮助我们将几何问题转换为向量问题，进而使用向量的性质和运算来解决。
在向量法中，我们可以通过坐标表示向量，进行向量加减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
2. 向量法解决立体几何问题的优势•空间直观：向量法将立体几何问题转化为向量问题，使得问题的空间特性更加直观可见。
通过绘制向量图形，我们可以更好地理解问题，有助于从几何角度进行分析。
•简化问题：通过向量法，我们可以将复杂的立体几何问题简化为向量运算问题，减少了繁琐的计算步骤和猜测过程，提高了问题解决的效率。
•统一性：向量法具有统一的运算法则和性质，使得不同类型的立体几何问题可以采用相似的解决思路和方法。
这为解决立体几何问题提供了一种通用的框架，提升了问题解决的一致性和可重复性。
3. 向量法解决立体几何问题的应用案例•平面与直线交点：通过将平面和直线的方程转化为向量形式，可以求得它们的交点。
这样的应用可以用于计算平面与光线的交点，进而用于光线追踪、计算机图形学等领域。
•空间线段位置关系：通过向量的数量乘法和点乘运算，可以判断两个空间线段之间的位置关系，如重叠、相交、平行等。
这样的应用可以用于计算机辅助设计、机器人运动规划等领域。
•图形投影：通过向量的点乘运算，可以求得一个图形在另一个图形上的投影。
这样的应用可以用于计算机图形学、建筑设计等领域。
结尾向量法作为一种新的解决立体几何问题的方法，在数学和工程领域都有着广泛的应用。
妙用向量法，巧解立体几何题
解题宝典立体几何知识是高中数学中的重要内容，也是高考的重点考查对象.有些立体几何问题采用常规方法求解较为困难，此时我们不妨转换解题的思路，将“形”转化为“数”，将向量作为它们转化的桥梁，运用向量法将立体几何问题转化为向量问题来求解.利用向量的性质、运算的几何意义可以轻松证明线线垂直（平行）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直），以及解答线线夹角、线面夹角、面面所成的角等问题.一、运用向量法证明线面平行与垂直运用向量法证明线面平行与垂直的关键是求得所证直线的方向向量和所证平面的法向量.直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个.若直线l ⊥平面α，直线l 的方向向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，且它们是共线向量.求平面的法向量的方法是在平面内找到两个与法向量垂直的向量，运用向量积公式建立关系式即可.在运用向量法证明线面平行与垂直时，只需要证明直线与平面的法向量平行或者垂直即可.例1.已知线段PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 与PC 的中点，求证：MN //平面APD .分析：要证明MN //平面APD ，只需证明MN 的方向向量垂直平面APD 的法向量.证明：如图1，设E 为AC 的中点，连接ME 、NE ，设AP = e 1、 AD = e 2、AB = e 3，n 为平面APD 的法向量.∵ MN = ME + EN = e 12+e 22=12( e 1+ e 2)，且n ∙ MN =( e 1× e 2)∙12( e 1+ e 2)=0，∴n ⊥ MN ，∴MN //平面APD .图1本题若采用常规的方法来求解，需要连接NE ，ME ，利用三角形中位线的性质证明NE //PA ，ME //AD ，由面面平行的性质定理得到MN //平面PAD .而向量法是利用两向量的内积为零来证明两向量垂直，从而推出线面平行.相比较而言，运用向量法解题的思路更加简单.例2.在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且AC ⊥DC ，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点.证明：PD ⊥平面ABE .分析：要证明PD ⊥平面ABE ，只需证明PD 垂直于与平面APD 平行的任意向量即可.证明：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两垂直.以A 为坐标原点，以 AB , AD ,AP 为坐标向量建立空间直角坐标系，如图2所示，设PA =AB =BC =k ，则B (k ,0,0)，A (0,0,0)，P (0,0,k )（其中k ≠0），∵AB =BC ，∠ABC =60°，∴AC =AB =k .又∵∠DAC =30°，且DC ⊥AC ，E 是PC 的中点，∴C (k 2，D ，∴E 为(k 4,k 2).∴AB =()k ,0,0， AE =æèçöø÷k 4,k 2， PD =æèçöø÷-k .设λ1,λ2为两不全为零的任意实数，∴r =λ1 AB +λ2 AE =æèççöø÷÷λ1k +λ2k 4,3λ2k 4,λ2k 2，且r//平面ABE.∵ PD ∙r =0，∴ PD ⊥r ，∴PD ⊥平面ABE .图2用向量法证明直线与平面垂直，可以根据已知条件建立空间直角坐标系，得出相关向量的坐标，利用向量内积的几何意义证明垂直关系.同时也可验算过程，一举两得.43解题宝典二、运用向量法求二面角求二面角的大小即求二面角平面角的大小.两平面的法向量间的夹角即为二面角的平面角（或其补角）.若平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉=θ，则二面角α-l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|=|cos θ|=|n 1⋅n 2||n 1||n 2|.例3.设四棱锥S -ABCD 底面是直角梯形，其中∠ABC =90°，SA =AB =BC =1，AD =12，并且SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，求平面SCD 与平面SAB 与所成的二面角的平面角α的正切值.分析：两平面的法向量间的夹角即为二面角的平面角（或其补角），所以解答本题，只需求得平面SCD 与平面SAB 的法向量间夹角的正切值即可.解：∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AD 、AB 、AS 两两垂直.以A 为坐标原点，以 AD , AB ,AS 为坐标向量建立空间直角坐标系.如图3，其中A (0，0，0)，D (12,0,0)，B (0,1,0)，S (0,0,1)，C (1,1,0)，则 AD =æèöø12,0,0， SC =()0,1,-1，SD =æèöø12,0,-1.又∵AD ⊥平面SAB ， SD × SC =æèöø-1,-12,-12，∴所以可设平面SAB 的法向量为n 1=(1,0,0)，平面SCD 的法向量为n 2=)2,1,1.∴cos α=|| n 1∙ n2|| n 1|| n 2=(0<α<π)，∴sin α=，∴tan α.图3解答本题的主要思路是，根据已知条件建立空间直角坐标系，利用向量的内、外积性质计算平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的平面角α的正弦值，再利用三角函数的关系求出α的正切值.本题若用几何方法求解，需要用垂面法构造出二面角的平面角，要求我们具备很强的观察能力和敏锐的思维能力.可见运用向量法解题更简单、便捷，计算量更小.三、运用向量法求异面直线所成的角向量法是求空间角的通用方法.在运用向量法求异面直线所成的角时，需要结合图形建立合适的空间直角坐标系，然后确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量，再利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.两异面直线所成角的余弦就等于两向量夹角余弦值的绝对值．例4.在棱锥P -ABCD 中，ABCD 为梯形，AB //CD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB =PA =PD =DA =2，∠BCD =π4,∠DAB =π2，求BC 与PD 所成角α的大小.分析：要求两异面直线BC 与PD 所成角，只需要计算两向量PD 与 BC 的夹角余弦值的绝对值即可.解：如图4，过P 点作PO ⊥平面ABCD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB =PA =PD =DA ，∴O 为AD 的中点.以O 为坐标原点，以 OA , OM ,OP 为坐标向量建立空间直角坐标系，由题设易得，P (0，0，3)，D (-1，0，0)，C (-1，4，0)，B(1，2，0)，∴ PD =()-1,0,-3，BC =()-2,2,0.∴cos α=|| PD ∙BC || PD |BC =22×22(0≤α≤π2)，∴α=arc .图4值得注意的是，运用向量法求得两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.夹角余弦值的符号需要根据夹角的范围来确定.向量法是解答高中立体几何证明题和计算题的重要方法.运用向量法可以把空间中的点、线、面的位置关系用向量表示出来，使几何问题代数化.这样不仅能拓展我们的解题思路，还能提高解题的效率.本文系基金项目：四川省级大学生创新训练项目（S202010646124，S202010646088），阿坝师范学院质量工程项目（201907018，202004041），阿坝师范学院创新训练项目（202021100，202021109）.（作者单位：阿坝师范学院）44。
高考数学如何利用向量解决几何问题
高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。
在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。
本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。
一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。
向量可以表示位移、速度、力等概念。
向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。
在几何中，常用向量表示线段。
例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。
二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。
3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。
三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。
利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。
2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。
利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。
3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。
对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。
对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。
求解立体几何问题的向量方法
求解立体几何问题的向量方法向量方法在立体几何问题中的应用十分广泛，可以用于求解点、线、面的性质和相互关系，以及计算距离、角度和体积等问题。
以下将从点、线、面以及相关性质等方面详细介绍向量方法在立体几何中的应用。
一、点与向量的关系及性质：1.点P的坐标表示：设点P在空间中的坐标为(x,y,z)，则向量OP的坐标表示为(x,y,z)，其中O为坐标原点。
2.点的向量表示：点P与原点O的连线可表示为向量OP。
3.向量的模：向量OP的模记作，OP，或，OP，表示以点O为起点，点P为终点的有向线段OP的长度。
4.两点之间的向量：设点P(x1,y1,z1)、点Q(x2,y2,z2)，则向量PQ 的坐标表示为(Q-P)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
5.向量的方向：向量OP的方向是从点O指向点P的，可以用单位向量来表示，即方向与模相等的向量。
二、线的性质及向量表示：1.直线方程的向量表示：对于直线L，设点P在直线L上，向量n为直线的方向向量，则直线L上的任意一点P的坐标表示为P=P₀+t·n，其中t为实数，P₀为直线L上一点的坐标。
2.直线的方向向量：对于直线L，若直线L的方向向量u的坐标分量为(a,b,c)，则直线L的方向向量u=(a,b,c)。
3.直线的垂直性判定：若向量u和v互相垂直，则u·v=0。
4.直线的共面性判定：设直线L₁上有两点A和B，直线L₂上有一点P，则L₁和L₂共面当且仅当向量AB和AP共面，即[AB,AP]=0，其中[AB,AP]表示向量AB和AP的叉乘。
三、平面的性质及向量表示：1.平面的方程：平面上任意一点P(x,y,z)满足Ax+By+Cz+D=0称为平面的方程，其中(A,B,C)为平面的法向量。
2.平面的法向量：平面的法向量表示平面垂直于该向量的方向，可表示为n=(A,B,C)。
3.平面的一般方程：Ax+By+Cz+D=0。
若平面上有一点P₀(x₀,y₀,z₀)，则平面的一般方程可表示为A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0。
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题在数学中，向量是一种重要的数学工具，能够用来描述和解决许多与几何相关的问题。
利用向量解决几何问题是一种简洁、直观且有效的方法。
本文将介绍如何利用向量解决几何问题，并提供一些例子来说明。
一、向量及其运算在开始讨论如何利用向量解决几何问题之前，先对向量及其运算进行简要介绍。
向量由大小和方向两个要素构成，通常用箭头表示。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的减法：将第二个向量取负，再进行向量的加法。
数量乘法：将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
点乘：将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加，得到一个实数。
二、向量解决几何问题的基本方法1. 向量共线与相关问题向量a、b共线的充要条件是它们与一个非零向量c的关系式ka+lb=c成立，其中k、l为实数。
利用这一性质，可以判断两个向量是否共线，并求解系数k、l。
例题1：已知向量a=(2,3)和向量b=(4,6)，判断两个向量是否共线，并求解k、l的值。
解答：由向量共线的性质可知，两个向量共线时，它们满足ka+lb=c。
代入已知向量，得到2k+4l=2×2+4×3=16。
解这个方程组，可以得到k=2，l=3。
因此，向量a和b共线，并且k=2，l=3。
2. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，用数值表示，记作|a|。
单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模得到。
例题2：已知向量a=(3,4)，求向量a的模和单位向量。
解答：向量a的模可以通过求解平方和再开平方的方式得到，即|a|=√(3^2+4^2)=5。
单位向量可以通过将向量a除以模得到，即a/|a|=(3/5,4/5)。
3. 向量的投影和垂直向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过向量的点乘计算得到。
两个向量垂直时，它们的点乘为零。
例题3：已知向量a=(3,4)和向量b=(4,3)，求向量a在向量b上的投影和判断两个向量是否垂直。
用向量法解决立体几何问题MicrosoftOfficeWord文档
用向量法解决立体几何问题.空间向量（4）模长公式:a bx/2y 』2 乙 Z 2a,b222222 0X 1 y 1乙,X 2 y 2 Z 2则向量a 叫做平面 的法向量。
（注意：一个平面的法向量有无数个）a 的有向线段所在直线平行于直线 a ，则称a 为直线a 的方向向例1：已知平面 内有三点0 0,0,0 , A 2,2,1 , B 4,5,2，求平面的一个法向量。
1.空间向量的概念：空间中把具有大 小和方向的量叫做空间向量。
2.空间向量的坐标表示：设i , j, k 为两两垂直的单位向量，若OP xi y j zk ，则x,y,z 叫做向量OP的坐标，也叫 P 点的坐标。
3.两个向量的数量积：a b a b coS a, b4.设aX i ,y i ,乙，bX 2, y 2, Z 2则(1) a b x 1X 2,y 1丫2,乙 乙， (2) a bx 2, y 1 y 2,乙 Z 2 （对应相加或减）x 1x 2yy乙z 2（对应相乘再相加）。
特殊地: 2 X 1 2y 1a //b (共线)X iX 2, y 1y 2，乙x 1x 2 y y 2乙 Z 2A X i , Y i ，乙，B X 2,y 2,Z 2 ,则 AB X 2X 1,y 2Y 1,Z 2 （终点减始点） (8)A X 1, y 1，乙，B X 2,y 2,Z 2两点的中点坐标这PX 1『22乙 Z 2。
26.平面的法向量：若表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，记作：a 丄。
2 2y 1 乙 5.两向量a 、b 的夹角：cos7.直线的方向向量：若表示向量练习：已知O A 、B 、C 、D E 均在平面 内，根据下列条件求平面 的一个法向量⑴ 0 0,0,0，A1, 1,0，B0,1, 1(2) OA 1,2,0 , OB 2,5,0 (3) CD 1, 2,1 , CE 1,2,0二、立体几何问题的转化策略1. 平行问题的转化内不共线的两向量)2. 垂直问题的转化3. 空间角的转化(1)证两直线AB// CDAB CD(2)证直线AB//平面 AB0(n 平面的一个法向量。
利用向量解立体几何题
利用向量解立体几何题解立体几何题是中学数学学习中的重要环节之一，而向量在解决这类问题中也有着重要的作用。
本文将介绍如何利用向量解立体几何题。
一、向量基本概念向量是一种有大小和方向的量，它常用箭头表示。
向量的大小叫做模，方向表示向量的方向。
通常用加粗的小写字母表示向量，如a、b、c等。
二、向量的运算1.加法：假设a、b是两个向量，可以将它们的起点放在同一点，然后再将它们的终点连接起来构成一个新的向量c。
即c=a+b。
2.减法：向量的减法等同于加上它的负向量。
即c=a-b。
3.数乘：将向量乘以一个实数k，得到的新向量大小和原向量大小之比是k，方向和原向量相同(如果k>0)，或者相反(如果k<0)。
三、向量在立体几何中的应用1.向量的共面与共线：如果两个向量共面，则它们张成一个平面，如果三个向量共面，则它们张成一个共面体。
如果两个向量共线，则它们的交点位于两向量所在的直线上，如果三个向量共线，则它们张成一个共线体。
2.向量表示线段：设P、Q两点坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，则PQ向量可以表示为向量a=b-a=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
3.向量表示平面：设平面上有三点A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)和C(c1,c2,c3)，则法向量n=AB×AC=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)×(c1-a1,c2-a2,c3-a3)。
四、通过向量解立体几何题的步骤1.通过向量求出线段：利用向量表示线段的方法求出线段的坐标，再进行相关的计算。
2.通过向量求出平面：利用向量表示平面的方法求出平面的法向量，然后再进行计算。
3.求出垂线：利用平面上的点和一个向量坐标求出平面的方程式，再利用正交关系求出垂线的方程式。
4.求出角度：利用两个向量之间的夹角公式求出角度。
5.求出体积等参数：通过向量求出棱长，然后再求出面积和体积等参数。
通过使用向量解立体几何题，可以大大缩短计算时间，提高计算精度和准确度。
利用向量法解立体几何问题
利用向量法解立体几何立体几何在每年的高考中都占有一定的分量，一般来说，用几何法和空间向量法都可以求解，但用几何法需要有较强的空间想象力和逻辑推理能力，学生往往由于这些能力的不足导致解题困难．而利用空间向量解决立体几何问题，可使空间结构问题代数化，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，用空间向量解立体几何问题主要表现在三个方面：一、 运用法向量求空间角1、运用法向量求两条异面直线所成角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB和，则角<','AA BB>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=''''AA BB AA BB ⋅⋅ , 不需要用法向量。
2、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n=（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos(2π-θ) = |cos<AB , n >| = AB AB n n∙∙3、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n>是所求角。
这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n>是所求角。
二、运用法向量求空间距离1、求点到面的距离求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =||||AB n n ∙，n的坐标由n与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =，下同）。
2、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离d = ||||AB n n ∙ 3、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离d = ||||AB n n ∙ 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n，则 1a//a n α⇔⊥ 1a a//n α⊥⇔12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥。
例谈用向量法解立体几何问题
例谈用向量法解立体几何问题向量法是传统的一门研究几何性质的数学方法，能够用来解决各种各样的立体几何问题。
在本文中，我们将深入探讨向量法在解决立体几何问题时的应用，并以具体例子说明它在解决此类问题时的优势。
首先，让我们从简单的几何图形开始。
比如，在三维空间中给定两个向量 $vec{a}$ $vec{b}$，我们可以使用向量法来计算它们之间的距离，即 $|vec{a}-vec{b}|$。
在这种情况下，我们可以使用一种叫做三角测量的方法，它利用向量的基础概念来计算两点在三维空间中的距离。
这种方法的一个优点是，即使两个点的位置相对比较难分辨，也可以很容易地使用它来计算它们之间的距离。
向量法还可以用来解决更复杂的立体几何问题。
比如，给定三个三维空间中的点 $vec{a}$、$vec{b}$ $vec{c}$，可以使用向量法来计算它们所组成的三角形的面积，即$S=frac{1}{2}|vec{a}-vec{b}| cdot |vec{b}-vec{c}| cdot |vec{c}-vec{a}|$。
这种方法的另一个优势是，对于更复杂的几何形状，向量法可以用来计算更加准确的值。
比如，给定一个三维空间中的四边形，可以使用向量法来计算它所代表的平面上四边形的面积，即$S=frac{1}{2}|vec{a}-vec{b}| cdot |vec{b}-vec{c}| cdot |vec{c}-vec{d}| cdot |vec{d}-vec{a}|$。
这使得在更复杂的立体几何问题中，向量法比传统的三角测量法更具优势。
另外，在立体几何中，向量法还可以用来计算各种其他几何关系。
比如，给定两个三维空间中的向量 $vec{a}$ $vec{b}$，可以使用向量法来计算它们之间的夹角，即 $theta=arccos left (frac{(vec{a} cdot vec{b})}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} right )$。
利用空间向量解立体几何(完整版)培训资料
利用空间向量解立体几何（完整版）向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。
一、基本工具1. 数量积：a b a b cos2. 射影公式：向量a在b上的射影为a bl b3. 直线Ax By C 0的法向量为A,B，方向向量为B, A4. 平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直（共面与异面） 两线的方向向量垂直 线面垂直 线与面的法向量平行面面垂直 两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离 1•点点距离点P 为占仆乙与Q Xzyz 的 距离为 PQ 7（X 2 X\） （y Y i ） （Z 2 Z i ） 2•点线距离求点P X o ,y 。
到直线l : Ax By C 0的距离: 方法：在直线上取一点Q x, y ，即为点P 到l 的距离.3. 点面距离求点P X o ,y o 到平面的距离：方法：在平面 上去一点Q X,y ，得向量PQ计算平面的法向量n ，计算PQ 在 上的射影，即为点P 到面 的距离.四、用向量法解空间角 1. 线线夹角（共面与异面）线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2. 线面夹角求线面夹角的步骤:则向量PQ 在法向量nA,B 上的射影① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可, 若为钝角，则取其补角；② 再求其余角，即是线面的夹角. 3. 面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角； 法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 .实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角B,只要在两条异面直uuur uuurUJLT LULT线a, b 上各任取一个向量AA 和BB'，则角V AA',BB'>=B 或n - B,因为B 是锐角，所以uuur AA' uuurBB'LuurBB'1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a 的法向量为n = (X, y, 1)，则 直线AB 和平面a 所成的角0的正弦值为uuu rsin 0 = cos( -- 0 ) = |cos< AB , n >| 二tutuT AB ? n2、运用法向量求二面角 COS 0 = 不需要用法向量uuu rABuu uuu 一 r ,,亠、eAE, BF )，及n 的定乂得解方程组可得n2、求点到面的距离设二面角的两个面的法向量为n ,n 2，则＜□,n 2 ＞或兀-＜ 0|,门2 ＞是所 求角。
利用向量解立体几何题
利用向量解立体几何题在学习高中数学时，立体几何作为一门基础学科占据着非常重要的地位。
其中，解决立体几何题目涉及到的向量知识也是不可或缺的重要部分。
在数学学习过程中，利用向量解决立体几何问题可以让我们更加快捷地得到正确的答案。
一、向量的几何意义向量是具备大小和方向的量，用箭头表示。
在解决立体几何问题中，我们可以将向量看作是连接任意两点的线段。
这样，在计算空间中的任意两点之间的距离时，可以将其转化为求出这两个点对应的向量的大小。
另外，在求解两个平面的关系时，我们也可以使用平面上的向量来进行计算。
例如：在求解两个平面是否相交时，可以通过求出两个平面对应的法向量，如果两个法向量共线/平行，那么这两个平面就不相交。
二、点与向量的关系在空间直角坐标系中，一个点可以表示为(x,y,z)的坐标形式，而一个向量可以表示为(i,j,k)的形式。
我们可以将两个点之间的向量记做AB，其中A为起点，B为终点。
另外，在空间中，如果知道一个点的坐标，也可以根据两个点之间的向量求得第二个点的坐标。
例如：如何求解点B，当我们已知的条件是A(1,2,3)和向量AB(2,1,1)时。
那么，我们可以将B表示为(1+2,2+1,3+1)，也就是B（3,3,4）。
三、向量的运算在立体几何中，向量并不仅仅只是表示点之间的距离了。
向量之间还可以进行加、减、数乘等运算。
在解决有些特殊立体几何问题时，运用向量的特性可以大大提高解题效率。
例如：如何求解初始点P(0,0,0)向平面x-2y+z=1的垂线L的方程，以及初始点为(1,2,3)的法向量呢？这个问题其实可以用向量的叉积来求解。
首先，通过向量公式求得平面上的点A(2,1,0)。
那么，向量PA就可以表示为 P = ⟨0,0,0⟩-⟨2,1,0⟩=⟨-2,-1,0⟩，接着，求得平面对应的法向量为(x,y,z)，那么根据叉积的公式得到(x,y,z) = ⟨-2,-1,0⟩×⟨1,-2,1⟩= ⟨1,-2,-3⟩。
例谈用向量法解立体几何问题
例谈用向量法解立体几何问题向量法是解决立体几何问题的一种有效方法，它在空间的方向和长度上具有良好的可视化效果。
下面我们将介绍如何用向量法解决立体几何问题。
一、向量的表示方法在空间中，向量可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
其中，x、y、z分别表示向量在x、y、z三个轴向上的分量。
例如，三维空间中的一个向量A可以表示为A=(x1,y1,z1)，另一个向量B可以表示为B=(x2,y2,z2)。
这两个向量之间的距离可以用以下公式计算：$$ AB = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} $$二、向量的运算方法向量之间可以进行四则运算，它们的定义如下：•向量加法：当两个向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)相加时，结果为A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
•向量减法：当两个向量A和B相减时，结果为A−B=(x1−x2,y1−y2,z1−z2)。
•向量数乘：当一个向量A与一个标量k相乘时，结果为kA= (kx,ky,kz)。
•点乘：当两个向量A和B进行点乘时，结果为$A·B=|A||B|\\cos\\theta$，其中 $\\theta$ 表示两个向量之间的夹角。
三、向量在立体几何中的应用在立体几何中，向量法可以解决很多难题。
例如：1. 点到直线的距离在三维空间中，过已知点A0的直线l可以表示为 $l:\\frac{x-x_0}{l_1}=\\frac{y-y_0}{l_2}=\\frac{z-z_0}{l_3}$。
要求点B到直线l的距离，可以用以下公式：$$ d_{AB}=\\frac{|(B-A_0)×l|}{|l|} $$其中，×表示向量叉乘。
2. 点到平面的距离在三维空间中，已知一个平面p的法向量n=(n1,n2,n3)和一个过点A0的直线l，该点不在平面上。
要求点B到平面p的距离，可以用以下公式：$$ d_{AB}=\\frac{|n(B-A_0)|}{|n|} $$3. 直线间的距离在三维空间中，已知两个直线l1和l2，要求它们的最短距离。
向量法解立体几何
❖ 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
❖ SC (1,1,1), CD (1,1,0) 得
❖
x y z 0
x
y
0
,
解得
x y
z
2 z
,
取z
2得
n1=(1,1,2).
2
❖ 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). ❖ 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
❖
cos cos n1,n2
❖ 求B1到面A1BC的距离.
z
C1
A1
B1
C A x
B y
❖ 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则
C(0,0,0),A1(1,0, 2),B(0,1,0),B1(0,1, 2). 设面A1BC的
法向量n=(x,y,z),由 CA1 (1,0, 2), CB (0,1,0), 得
❖x 2z 0,得x 2z,取z 1,得n=(- 2 ,0,1).
专题提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。
二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;
2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中, 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方 向向量是
❖ 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的 法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大 小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖 坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐 标z异号时互补），于是求二面角的大小可转 化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.
如何以向量为工具解答立体几何问题
.如何以向量为工具解答立体几何问题任长林2AA 1,点D 是A 1B 1中点，求直线AD 和平面ABC1所成角的余弦值.图3解：设点O 为AC 的中点，连接OB ，过点O 作OE //CC 1交A 1C 1于E ，根据正三棱柱的性质可建立如图4所示的空间直角坐标系，设AA 1=2，则AB =()3,1,0， AC 1=()0,2,2， AD =èöø÷12,2,设n=()x ,y ,z 为平面ABC 1的一个法向量，可得ìíîn ∙ AB =3x +y =0，n ∙ AC 1=2y +2z =0，令x =1，则y =-3，z =6，可得平面ABC 1的一个法向量n =()1,-3,6，因为sin α=|| AD ∙n||n=，所以直线AD 和平面ABC 1所成角的余弦值为.图4先根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系，然后求得直线AD 的方向向量和平面ABC 1的法向量，根据数量积公式即可解题.值得注意的是，直线与平面所成的角的范围为[0°,90°].若求得的余弦值为负值，则该角的补角即为所求的角.三、求点到平面的距离运用向量法求点到平面的距离，需先求得平面的法向量n ，然后在平面外找到一条过已知点的斜线，并求得该斜线的方向向量m ，根据直角三角形中的边角关系，可得点到平面的距离为d =||mcos <m ,n >=||m ∙n ||n .例3.如图5，在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB =BC=12PA =1，点O 是AC 中点，OP ⊥底面ABC ，则点A 到平面ABC 的距离为_____.图5图6解：连接OB ，易知直线OB ,OC ,OP 两两互相垂直，如图6所示构建空间直角坐标系，因为PA =2，AB =BC =1，AB ⊥BC ，所以AC =2,OA =OB =OC,则 CB =èöø÷， PB=èø，AP =æèçø，设n=()x ,y ,z为平面ABC 的一个法向量，可得ìíîïïïïn ∙ CB ==0，n ∙ PB =2=0，令x=7，可得n =()7，7,1，故点A 到平面ABC 的距离d =|| AP ∙n ||n 根据题意，以AP 为平面ABC 的斜线，求得AP 的方向向量和平面ABC 的一个法向量，便可根据公式来求得点A 到平面ABC 的距离.运用向量法求解立体几何问题，关键是建立合适的空间直角坐标系.而建立空间直角坐标系的原则是三条坐标轴互相垂直，因此在建立空间直角坐标系时，可根据几何图形的特征，寻找垂直关系，在必要时可作出其中一条垂线.运用向量法解题，仍需根据空间立体几何中的定义、性质、判定定理来建立关系式，因而同学们需熟练掌握立体几何中的定义、性质、判定定理，这样才能顺利解题.（作者单位：甘肃省静宁县第一中学）46。
向量方法解决立体几何讲稿
向量方法解决立体几何讲稿用空间向量解决立体几何的有关问题可以解决：1，求两点之间的距离〔即线段之间的长度〕 2，证明线平行于面 3，证明面面平行 4，证明线面垂直 5，证明面面垂直6，求异面直线所成夹角θ 7，求点到面的距离h 8，求二面角一直以来，立体几何在很多同学之中都是一个难点，重点，通常传统的做法，很多人学习了很久的根本知识，等到真的要解决问题时，由于立体感和推理能力的缺乏，还是一筹莫展，鉴于此，我们引入向量的方法来解决立体几何的有关问题，这里谈到的向量，不同于原来所学的二维向量，而是基于空间的三维向量，虽然多了一个维度，但是根本原理却是大同小异，这个我们接下来马上会谈到，正如上面提到的八个问题，可以负责任的说，学好这一方法后，我们只需要用一些简单的几何知识，加上单纯的计算，完全的可以很好地解决这些问题，在正式学习之前，我们需要补充一些根底知识。
这些根底知识我划分了三大局部：分别是几何的知识、向量的知识、三维坐标的建立。
第一局部、几何的知识1，线面平行定理，性质 2，面面平行定理，性质 3，线面垂直定理，性质第二局部、向量的知识〔注：加粗字母读作XX向量〕1、平面向量? 向量的来源假设A(x1,y1) B(x2,y2) 那么AB=〔x2-x1,y2-y1〕那么两点之间的距离〔也叫模长〕|AB|=根号下﹛〔x1-x2〕的平方+〔y1-y2〕的平方﹜看到了吧，AB向量的求法就是用平面两点的坐标相减得到的，都是后面减前面。
其实所谓的向量，就是一条有方向的线段。
? 向量的计算假设a(x1,y1) b(x2,y2)长度〔模〕：|a|=根号下〔x1的平方加上y1的平方〕 |b|=根号下〔x2的平方加上y2的平方〕与实数相乘：λa=〔λx1,λy1〕加：a+b=〔x1+x2,y1+y2〕减：a-b =〔x1-x2,y1-y2〕点乘：a·b=x1x2+y1y2总结：向量相加减得到的是一个坐标，而向量的点乘是一个数值。
利用向量法求解立体几何
利用向量法求解立体几何摘要:本文主要探讨了如何灵活运用平面法向量去求解某些常见的立几问题。
利用向量求解立体几何,思路流畅、自然而简捷。
关键词:向量法立体几何一、利用法向量求直线与平面所成的角。
定理1:直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角,即。
例1:已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角。
解:以D为原点,建立如图1示空间直角坐标系,∵正方体棱长为1 ∴=(0,1,0),=(-1,0,1), =(0, ,1)设平面ABC1D1的法向量为=(x,y,z),由得可取得=(1,0,1), 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则, 所以直线AE与平面ABC1D1所成的角为arcsin 。
评注:利用法向量求直线与平面所成的角,首先要建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标、求出平面的法向量和直线(线段)的方向向量,然后利用定理1即可求出直线与平面所成的角。
这里关键是求出平面ABC1D1的法向量。
法向量的求解有多种,可直接利用数量积,在平面内找两个不共线的向量,例如和,那么有,设=(x,y,z),通过建立方程组求出一组特解。
二、利用法向量求二面角的大小。
定理2:如图2,已知二面角α-l-β,点A是空间内一点(不在α、β上),过点A作α、β的垂线,垂足分别为C、B,则AC、AB确定的平面ABC,交直线l于点D,根据二面角的平面角的定义,易知∠CDB就是二面角α-l-β的平面角。
且∠CDB=180°-∠CAB,而∠CAB可看成α、β的法向量、所成的角(或其补角)。
那么,二面角α-l-β的大小为。
(如图3)例2:在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面V AD是正三角形,平面V AD⊥底面ABCD.(如图3)求面V AD与面VDB所成的二面角的大小。
(2005年全国高考题四川卷,略去了①问)解:作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD.建立如图示空间直角坐标系,并设正方形边长为1,则A( ,0,0),B( ,1,0),D(- ,0,0),V(0,0, ),可知是面V AD的法向量,设是面VDB的法向量,则∴,又由题意知,面V AD与面VDB所成锐二面角,所以其大小为评注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。
高考数学讲义立体几何.03用向量法解立体几何理科
2014年高考解决方案向量法解立体几何用向量法解立体几何内容基本要求略高要求空间角与距离空间角度C1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理． 4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．空间距离B一、 空间角的计算1． 两条异面直线所成角的求法设两异面直线a b ，的方向向量为a b r r，其夹角为θ，则cos cos a b a b ϕθ==⋅r r u u u u u r r r ，（其中φ为异面直线a ，b 所成的角）．2． 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e r ，平面α的法向量为n r ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e r与n r的夹角为θ，则有sin cos e n e nϕθ⋅==r r r r ．3． 二面角的求法（1）利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m ，n 〉即为所求二面角的平面角．知识讲解EOC 1D 1CB 1A 1AD（2）对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角法来求．如图所示，二面角l αβ--，平面α的法向量为1n u u r ，平面β的法向量为2n u u r， 12=n n θu u r u u u u r ，，则二面角l αβ--—的大小为θ或πθ-．【例1】 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 是1B B 上一点，且112B E =． （1）求证：1B D ⊥平面1D AC ；（2）求异面直线1D O 与1A D 所成角的余弦值； （3）求直线1D O 与平面AEC 所成角的正弦值．PGFE DCBA【例2】 如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点．（1）求证：BD FG ⊥；（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由． （3）当二面角B PC D --的大小为2π3时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．【例3】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD ． 若12PA AB BC AD ===． （1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）侧棱PA 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ．若存在，指出点E 的位置并证明，若不在，请说明理由；（3）求二面角A PD C --的余弦值．【例4】 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2,PA E =是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明：PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小．D【例5】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB ＝，60BAD ∠︒＝．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB ＝，求PB 与AC 所成角的余弦值； （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．PDCBA。
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华夏精英教育----用向量法解立体几何问题（理科） 一、高考要求向量作为高中教材新增内容，以其独特的数形结合和坐标运算，使之成为广泛应用工具，但今后几年将有淡化的趋势． 二、两点解读重点：1．求异面直线的夹角；2．求直线与平面所成的角；3．求二面角的大小； 4．求点到面的距离．难点：求二面角时，对二面角是锐角或钝角的判断． 三、课前训练1．在正方体1111D C B A ABCD -中，下列各式中运算结果为向量1C A 的共有（ C ） ①（1)CC +- ②D D A 1111)(++ ③111)(C B BB ++ ④11111)(C B B A ++（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2．已知C B A ,,三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则下列各条件中，能得到点M 与C B A ,,一定共面的条件为（D ）（A ）OC OB OA OM 212121++=（B ）OC OB OA OM --=2 （C ）OC OB OA OM ++= （D ）OM +-=31313．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则直线D 1E ，BC 1所成角的大小为 1010arccos． 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是上底面ABCD 中心，若棱长为a ，则三棱锥O —AB 1D 1的体积为361a ． 四、典型例题例1 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，则异面直线AC 与BC 1的夹角为 （ C ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°例2已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为１，点M 在棱AB 上，且31=AM ,点P 是ABCD 面内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为１，则点P 的轨迹是 （ A ）（A ）抛物线 （B ）双曲线 （C ）直线 （D ）以上都不是例3 过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD ，若P A = AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是 045 ．例4 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出三个结论：（1）四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱；（2）底面ABCD 为菱形；CA BPFE D （3）AC 1⊥B 1D 1． 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数为 1 ．例5 如图，在三棱椎P-ABC 中，P A ⊥平面ABC ，90,BAC ∠= D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB=AC=1，P A =2．（Ⅰ）求直线P A 与平面DEF 所成角的大小； （Ⅱ）求点P 到平面DEF 的距离．解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 易知：A （0，0，0），B （1，0，0），P （0，0，2），1(,0,0),2D 11(,,0),22E 1(0,,1)2F ，(0,0,2),AP ∴=1(0,,0),2DE = 11(,,1)22DF =- ，设(,,)n x y z = 是平面DEF 的一个法向量，则 00n DE n DF ⎧=⎨=⎩ 即10211022y x y z ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ， 取x =1, 则 1(1,0,)2n = ， 设P A 与平面 DEF 所成的角为θ，则||sin arcsin55||||PA n PA n θθ===∴= 例6 如图，在正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E 分别是棱BC 、1CC 的中点，AB=AA 1=2． (Ⅰ)证明：1BE AB ⊥；(Ⅱ）求二面角1B AB D --的大小；(Ⅲ）求异面直线1AB 与BE 的距离．A (0,0,0),B (，B 1E (0,2,1),则1,2),(,1)AB BE ==， 1,2)(,1)3120AB BE ==-++= 1A B B E ∴⊥即 11AB BE ⊥ （Ⅱ）易知：3(,0)22D ，1,0),,2)AB AB == ，设1111(,,)n x y z = 是平面1BAB 的一个法向量，则1111120y y z +=++=，令1x =则13,0),n =-3(,0)22AD =，1,2)AB = ，设2222(,,)n x y z = 是平面1DAB一个法向量，则2222230220x y y z ⎧+=⎪++=⎪⎩，令2x =则21,1),n =-- 设二面角1B AB D --为θ，则1212||cos ||||n n n n θ===（Ⅲ）设(,,)n x y z =是1AB 与BE 的法向量,则200y z y z +=++=，可得：3,2y z =-取 y =3, 可知2)n =- ，1(0,0,2)BB = ．1|(0,0,2)|||5||BB n d n -∴====用向量法解立体几何问题 过关练习1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒，其中正确的两个命题的序号是（ ）（A ） ①与② （B ） ③与④（C ）②与④（D ）①与③2．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为 （ ）（A ）336 （B ）318a （C ）324a （D ）无法确定3．空间四边形ABCD 每边及对角线长均为2，G F E ,,分别是DC AD AB ,,的中点，则=⋅ （ ）（A ）21B ． 1 （C ） 2 （D ）224．在正三棱锥P -ABC 中，已知底面边长为4，侧棱长为6，则侧棱与底面所成角的大小为______________．5．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长是1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ． 6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是上底面ABCD 中心，若棱长为a ，则三棱锥O —AB 1D 1的体积为 ．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，G 、H 分别为BC 、B 1D 1的中点．（1）求异面直线GH 与DF 的所成角的大小；（2）指出直线GH 与平面EFDB 的位置关系．8．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB = a ．(Ⅰ) 求截画EAC 的面积；(Ⅱ)求证：直线DB 1⊥平面EAC ； (Ⅲ)求三棱锥B 1—EAC 的体积．用向量法解立体几何问题答案 课前训练1．C 2．D 3 ． 1010arccos 4． 361a典型例题例1． C 例2． A 例3 045 例4 1例5解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A （0，0，0），B （1，0，0），P （0，0，2），1(,0,0),2D 11(,,0),22E 1(0,,1)2F ，(0,0,2),AP ∴= 1(0,,0),2DE = 11(,,1)22DF =- ，设(,,)n x y z = 是平面DEF 的一个法向量，则 00n DE n DF ⎧=⎨=⎩ 即10211022y x y z ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ， 取x =1, 则 1(1,0,)2n = ， 设P A 与平面 DEF 所成的角为θ，则||sin ||||PA n PA n θθ===∴= 例6证明：（Ⅰ）以AA (0,0,0),B (，B 1E (0,2,1),则1,2),(,1)AB BE ==， 1,2)(,1)3120AB BE ==-++=1AB BE ∴⊥即 11AB BE ⊥（Ⅱ）易知：3(,0)22D，1,0),,2)AB AB == ，设1111(,,)n x y z = 是平面1BAB的一个法向量，则11111020y y z +=++=，令1x = 则13,0),n =-3,0)2AD =，1,2)AB = ，设2222(,,)n x y z = 是平面1DAB一个法向量，则2222230220x y y z +=++=⎪⎩，令2x =则21,1),n =-- 设二面角1B AB D --为θ，则1212||cos 5||||n n n n θ===（Ⅲ）设(,,)n x y z =是1AB 与BE 的法向量,则200y z y z +=++=，可得：3,2y z =-取 y =3, 可知2)n =- ，1(0,0,2)BB = ．1|(0,0,2)|||||BB n d n -∴==== 五、过关练习1．D 2．A 3 ．A 4．932arccos5．圆弧，π636 ．361a 7．(1)arccos 45；(2)平行 8．2；(2)略；3。