高中数学中常见的不等式放缩方法
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
高二 数学 选修 不等式 第九讲 放缩法
知识要点
1．定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大或缩小，
典例剖析
例
1．已知 a
，b
，c
，d
R
，求证 1
a
a b
d
b
b c
a
c
c d
b
d
d a
c
2
．
分析：若把 a b c d abd bca cdb dac
不等式是很容易证明的． 所以，如果能证明 a b a b ．
1 ab 1 a b 那么原不等式就可以得到证明．
技巧传播
陷阱规避
陷阱一：利用放缩法进行放缩的时候，放缩过大或过小．事实上放缩法是高中数学的一个 难点，题目种类层出不穷，需要同学们有深厚的数学基础，同学们不但需要熟记几个放缩 的不等式，还要勤加练习．把我们碰到的每一个有关放缩的问题都进行整理归纳，分门别 类．这样才能在碰到类似的问题的时候过关．
【易错典例】已知 a，b∈R，a2＋b2≤4．求证：|3a2－8ab－3b2|≤20．
【错解】设 a＝2cosθ，b＝2sinθ， ∴|3a2－8ab－3b2|＝|12cos2θ－32sinθcosθ－12sin2θ|＝20|45sin2θ－35cos2θ|＝20|sin(2θ－φ)|≤20．
【错因】换元形式出错导致放缩出错：a＝2cosθ，b＝2sinθ，与已知 a2＋b2≤4 不相符．
直接通分相加则会使运算非常复杂，不易达到证明的 目的，分析此式的形式特点，可以通过适当放缩，使 不等式简化，从而得出证明．
例 2．已知 a ， b 是实数，求证： a b a b ． 1 ab 1 a 1 b
分析：将不等式左边用 a b 替代， 1 a b
几种常见的放缩法证明不等式的方法
几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥*111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：22n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n∴=≤+++-+-++--712104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数()(0)b f x ax c a x=++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-（1）用a 表示出,b c（2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围 （3）证明：1111...ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,21≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x xx x f a 有 且当.ln )1(21,1x xx x >->时 令)],111()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),111(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得,)1(21)13121(21)1ln(++++++<+n n n 整理得 .)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。
2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。
3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。
4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。
5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。
6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。
7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。
8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。
9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。
10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。
这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。
高考数学复习考点题型专题讲解12 数列中的不等式证明及放缩问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题12 数列中的不等式证明及放缩问题数列中的不等式证明问题的常用放缩技巧(1)对1n2的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列n∈N*)：1 n2＜1n2－n＝1n－1－1n(n≥2)；1 n2＜1n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1(n≥2)；1 n2＝44n2<44n2－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1(n≥1).(2)对12n的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况(下列n∈N*)：1 2n ＞1n＋n＋1＝n＋1－n(n≥1)；1 2n ＜1n＋n－1＝n－n－1(n≥1).类型一关于数列项的不等式证明(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.例1 设正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *).求证：(1)2<a 2n ＋1－a 2n ≤3；(2)3n －13n －2≤a n ＋1a n ≤2n2n －1. 证明 (1)因为a 1＝1及a n ＋1＝a n ＋1a n(n ≥1)，所以a n ≥1，所以0＜1a 2n≤1.因为a 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n＋1a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1－a 2n ＝1a 2n＋2∈(2，3]，即2<a 2n ＋1－a 2n ≤3.(2)由(1)得2<a 22－a 21≤3，2<a 23－a 22≤3，2<a 24－a 23≤3，⋮2<a 2n ＋1－a 2n ≤3，故2n <a 2n ＋1－a 21≤3n ，所以2n ＋1<a 2n ＋1≤3n ＋1， 即2n －1<a 2n ≤3n －2(n ≥2)，而n ＝1时，也满足2n －1≤a 2n ≤3n －2， 所以2n －1≤a 2n ≤3n －2， 所以a n ＋1a n ＝1＋1a 2n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n －13n －2，2n 2n －1.即3n －13n －2≤a n ＋1a n ≤2n 2n －1. 训练1(2022·天津模拟)已知数列{a n }满足a n ＝n n －1a n －1－13n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝12，c n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1a k·c 2n ＋c n ，其中k 为一个给定的正整数，求证：当n ≤k 时，恒有c n <1. (1)解 由已知可得：a n n ＝a n －1n －1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n(n ≥2)，即a n n －a n －1n －1＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， 由累加法可求得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n －a n －1n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1n －1－a n －2n －2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 11＋a 11 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－…－13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，即a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时也成立，故a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1(n ∈N *).(2)证明 由题意知c n ＋1＝1kc 2n ＋c n ，∴{c n }为递增数列， ∴只需证c k <1即可. 当k ＝1时，c 1＝12<1成立，当k ≥2时，c n ＋1＝1k c 2n ＋c n<1kc n c n ＋1＋c n ，即1c n ＋1－1c n>－1k，因此1c k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c k －1c k －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2－1c 1＋1c 1>－k －1k ＋2＝k ＋1k ，∴c k <k k ＋1<1，∴当n ≤k 时，恒有c n <1. 类型二 对求和结论进行放缩对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式.例2 已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＋1＝2(n ＋2)a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，求证：S n ＜2a n . (1)解 法一 由题意得a n ＋1n ＋2＝2·a nn ＋1， 又a 11＋1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n n ＋1＝2n －1，所以a n ＝(n ＋1)·2n －1(n ∈N *). 法二 由题意得a n ＋1a n ＝2（n ＋2）n ＋1， 所以a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝2（n ＋1）n ·2n n －1·2（n －1）n －2·…·2×32＝(n ＋1)·2n －2.因为a 1＝2，所以a n ＝(n ＋1)·2n －1(n ∈N *).(2)证明 因为a n ＝(n ＋1)·2n －1，所以S n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n ·2n －2＋(n ＋1)·2n －1，① 2S n ＝2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1＋(n ＋1)×2n ，② ②－①得S n ＝－2×20－(21＋22＋…＋2n －1)＋(n ＋1)×2n ＝n ·2n . 因为S n －2a n ＝n ·2n －(n ＋1)2n ＝－2n <0， ∴S n ＜2a n .训练2(2022·广州模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，－a n ＋1，a n ，a n ＋2成等差数列.等差数列{b n }满足b 1＝a 2＋1，2b 5－3b 2＝a 3－3. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1（2n ＋1）b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <16.(1)解 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 因为－a n ＋1，a n ，a n ＋2成等差数列， 所以2a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 所以2a n ＝a n ·q 2－a n ·q . 因为a n >0，所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ∈N *). 设等差数列{b n }的公差为d ， 由题意，得b 1＝a 2＋1＝5， 由2b 5－3b 2＝a 3－3＝5，得2(b 1＋4d )－3(b 1＋d )＝－b 1＋5d ＝－5＋5d ＝5，解得d ＝2， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)证明1（2n ＋1）b n ＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 则T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝16－12（2n ＋3）.因为n ∈N *，所以12（2n ＋3）>0，所以T n <16.类型三 对通项公式放缩后求和在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明.例3(2022·济南模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，2na n ＋1＝(n ＋1)·a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n16n 2－a 2n ，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <12.(1)解 由题知2na n ＋1＝(n ＋1)a n ， 所以a n ＋1n ＋1＝12×a n n ，a 11＝2， 故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，所以a n＝n·22－n(n∈N*).(2)证明由(1)可知a n＝n·22－n，所以b n＝a2n16n2－a2n＝14n－1＝12n＋1×12n－1，根据指数增长的特征知，对任意n∈N*，2n≥2n恒成立，所以22n≥(2n)2，即4n≥4n2.所以14n－1≤14n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以b n≤12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以数列{b n}的前n项和T n ≤12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1<12.训练3 已知数列{a n}的前n项和为S n，3a n＝2S n＋2n(n∈N*). (1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的前n项和S n，(2)设b n＝log3(a n＋1＋1)，证明：1b21＋1b22＋…＋1b2n<1.证明(1)∵3a n＝2S n＋2n，n∈N*，∴当n＝1时，3a1＝2S1＋2，解得a1＝2；当n≥2时，3a n－1＝2S n－1＋2(n－1)，两式相减得a n＝3a n－1＋2，∴a n＋1＝3(a n－1＋1)，即an＋1an－1＋1＝3，a1＋1＝3，∴数列{a n＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n＋1＝3n，则a n＝3n－1，∴S n＝3＋32＋…＋3n－n＝3（1－3n）1－3－n＝3n＋12－n－32.(2)b n＝log3(a n＋1＋1)＝log33n＋1＝n＋1，∵1b2n＝1（n＋1）2<1n（n＋1）＝1n－1n＋1，∴1b21＋1b22＋…＋1b2n<⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1＝1－1n＋1<1.类型四求和后利用函数的单调性证明数列不等式若所证的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的单调性来证明. 例4 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n－S n＝1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝an＋1（a n＋1－1）（a n＋2－1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：23≤T n<1.(1)解已知2a n－S n＝1，令n＝1，解得a1＝1，当n≥2时，2a n－1－S n－1＝1(n∈N*)，两式相减得a n＝2a n－1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2n－1(n∈N*).(2)证明由(1)可得b n ＝an＋1（a n＋1－1）（a n＋2－1）＝2n（2n－1）（2n＋1－1）＝12n－1－12n＋1－1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1. ∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－12n ＋1－1是单调递增的数列， ∴1－12n ＋1－1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.∴23≤T n <1. 训练4 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列. (1)求使不等式a n ≥0成立的最大自然数n ；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：－1325≤T n ≤1225.(1)解 由题意，可知a 211＝a 1·a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1·(a 1＋12d )， ∴d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，d ≠0，∴d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋27， ∴－2n ＋27≥0，∴n ≤13.5， 故满足题意的最大自然数为n ＝13. (2)证明1a n a n ＋1＝1（－2n ＋27）（－2n ＋25）＝－12⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋27－1－2n ＋25， ∴T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝－12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫125－123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－121＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋27－1－2n ＋25 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫125－1－2n ＋25 ＝－150＋150－4n .从而当n ≤12时，T n ＝－150＋150－4n单调递增，且T n >0； 当n ≥13时，T n ＝－150＋150－4n单调递增，且T n <0， ∴T 13≤T n ≤T 12，由T 12＝1225，T 13＝－1325，∴－1325≤T n ≤1225.一、基本技能练1.已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＝7，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2. (1)解 因为数列{a n }是等差数列，a 2＝3，a 4＝7， 设数列{a n } 的公差为d ， 则⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *).对于数列{b n }，S n ＝1－12b n (n ∈N *)，当n ＝1时，b 1＝1－12b 1，解得b 1＝23；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －1，整理得b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，所以b n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n (n ∈N *). (2)证明 由题意得c n ＝a n b n ＝2（2n －1）3n ＝4n －23n ， 所以数列{c n }的前n 项和T n ＝23＋632＋1033＋…＋4（n －1）－23n －1＋4n －23n ，则3T n ＝2＋63＋1032＋…＋4n －23n －1，两式相减可得2T n ＝2＋43＋432＋…＋43n －1－4n －23n ＝2＋4×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－4n －23n＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n .所以T n <2.2.(2022·石家庄模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a 2＝4，S n ＋1＋2S n －1＝3S n －2(n ≥2).(1)证明：数列{a n－2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝2n－1anan＋1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：112≤T n<13.证明(1)当n≥2时，由S n＋1＋2S n－1＝3S n－2可变形为S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)－2，即a n＋1＝2a n－2，即a n＋1－2＝2(a n－2)，所以an＋1－2an－2＝2(n≥2)，又因为a1＝3，a2＝4，可得a1－2＝1，a2－2＝2，所以a2－2a1－2＝2，所以数列{a n－2}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n－2＝2n－1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2＋2n－1(n∈N*).(2)由a n＝2＋2n－1，可得b n＝2n－1anan＋1＝2n－1（2＋2n－1）（2＋2n）＝12＋2n－1－12＋2n，所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝13－14＋14－16＋16－110＋…＋12＋2n－1－12＋2n＝13－12＋2n，因为12＋2n>0，所以13－12＋2n<13，即T n<13，又因为f(n)＝13－12＋2n，n∈N*，单调递增，所以T n≥b1＝1（2＋1）（2＋2）＝112，所以112≤T n <13.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足对任意的正整数n ，b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n a n＝(n ＋1)2恒成立，求证：b n ≥4.(1)解 因为S n ＝n 2＋n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足a n ＝n ， 所以{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *). (2)证明 因为b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n a n＝(n ＋1)2，所以当n ≥2时，b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n －1a n －1＝n 2， 所以b n a n ＝（n ＋1）2n 2(n ≥2)，又n ＝1时，b 1a 1＝22＝4，满足b n a n ＝（n ＋1）2n 2，所以对任意正整数n ，b n a n ＝（n ＋1）2n 2，由(1)得，a n ＝n ， 所以b n ＝（n ＋1）2n＝n 2＋2n ＋1n＝n ＋1n＋2≥2n ·1n＋2＝4， 当且仅当n ＝1时，等号成立. 二、创新拓展练4.(2022·湖州质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，4S n ＝a n a n ＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n4n ＋4<T n <12. (1)解∵4S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2， ∴a 2＝4，当n ≥2时，4S n －1＝a n －1a n ，得4a n ＝a n a n ＋1－a n －1a n . 由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4， ∴a 2k －1＝2＋4(k －1)＝2(2k －1)，a 2k ＝4＋4(k －1)＝2·2k ，∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2. 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明∵1a 2n ＝14n 2>14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n >14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4.又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.即得n4n ＋4<T n <12.。
【精品】高考数学不等式放缩大全
【精品】高考数学不等式放缩大全高考数学中，不等式是一个重要的考点，也是考生容易出错的地方。
在解不等式的过程中，我们经常需要进行放缩，以便更好地求解不等式。
下面是一些高考数学中常用的不等式放缩方法。
1. 加减法放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过加减法来实现。
例如，对于不等式a < b，可以加上一个正数c，得到a + c < b + c；或者减去一个正数d，得到a - d < b - d。
通过加减法放缩，可以改变不等式的形式，使其更容易求解。
2. 乘除法放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过乘除法来实现。
例如，对于不等式a < b，可以乘以一个正数c，得到ac < bc；或者除以一个正数d，得到a/d <b/d。
通过乘除法放缩，可以改变不等式的形式，使其更容易求解。
3. 平方放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过平方来实现。
例如，对于不等式a < b，可以平方两边得到a^2 < b^2。
通过平方放缩，可以将不等式中的平方项转化为一次项，使其更容易求解。
4. 开平方放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过开平方来实现。
例如，对于不等式a < b，可以开平方两边得到√a < √b。
通过开平方放缩，可以将不等式中的开方项转化为一次项，使其更容易求解。
5. 反向不等式放缩：当需要对一个不等式进行放缩时，可以通过反向不等式来实现。
例如，对于不等式a < b，可以将其改写为-b < -a。
通过反向不等式放缩，可以改变不等式的形式，使其更容易求解。
6. 绝对值不等式放缩：当需要对一个绝对值不等式进行放缩时，可以通过绝对值的性质来实现。
例如，对于绝对值不等式|a| < b，可以将其改写为-b < a < b。
通过绝对值不等式放缩，可以将不等式中的绝对值项转化为一次项，使其更容易求解。
高中数学导数常见放缩不等式
高中数学导数常见放缩不等式导数常见放缩不等式是高中数学学习中不可遗漏的一个重点内容，它通过对导函数的性质进行分析和推导，引出了许多常用的不等式。
在学习过程中，我们需要理解和掌握这些不等式的性质，以便在数学实践中灵活应用。
下面是高中数学导数常见放缩不等式的详细介绍：一、极值问题1. 定理1：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，如果在x1和x2两点处取得了极值，那么f'(x1)=f'(x2)=0。
2. 定理2：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，如果f(x)在[a,b]上有两个极值，一个是局部极大值，一个是局部极小值，那么在两个极值点之间必存在一个驻点。
二、中值定理3. 定理3：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]中至少存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、平均值不等式4. 定理4：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么f(x)在[a,b]上的平均值f(c)满足f(c)=(1/(b-a))*∫[a,b]f(x)dx，且在[a,b]的任意一点x0处有f(x0)-f(c)=[(x0-c)/(b-a)]*[f(b)-f(a)]。
四、柯西-Schwarz不等式5. 定理5：f(x)和g(x)在[a,b]上可导，那么[(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2]<=∫[a,b]f(x)^2dx * ∫[a,b]g(x)^2dx。
五、泰勒公式6. 定理6：f(x)在点x0处n+1阶可导，那么当|x-x0|<=h时，有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。
以上就是高中数学导数常见放缩不等式的详细介绍，掌握好这些重要的定理和公式，将有助于我们在数学学习和实践中有更好的应用。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
高中数学放缩法结论及例题
⑵ f (x) | x 4 | x 4 x 2 x+a
.当 x 1, 2时， x 4 x 2 x+a 4 x 2 x x+a 2 a x 2 a .
（4）
1 k2
1 k2 1
(k
1 1)( k
1)
1( 1 2 k 1
1 ) （程度小）； k 1
（5）绝对值不等式： a b ≤ a b ≤ a b ；
技巧积累:
(1)
1 n2
4 4n2
4n
4 2
1
2
1 2n
1
1 2n 1
(2) 1
1
2n
3 2n 1 3
(15)
k 2
1 1
k!(k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) !
(16) 1 n n 1(n 2)
n(n 1)
(17)
i2 1 j2 1
i2 j2
i j
1
i j
(i j)( i2 1 j2 1) i2 1 j2 1
证明 记 m = a b c d abd bca cdb dac
∵a, b, c, d 都是正数
∴m a b c d 1 abcd abca cdab dabc
m a b c d 2 ab ab cd d c
∴c>a>0，c>b>0，即 0<ac<1,0<cb<1，
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法1. AM-GM不等式：AM-GM不等式是最常用的不等式之一，它指出对于任意非负实数a和b，有a+b≥2√(ab)。
根据AM-GM不等式，可以通过对不等式中的两个或多个变量进行加权平均，然后再用AM-GM不等式进行放缩。
2. Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是一种常见的向量不等式，它可以用来放缩两个向量的内积。
对于任意向量a和b，Cauchy-Schwarz不等式表达式为∣∣∣ab∣∣∣2≤∣∣∣a∣∣∣2∣∣∣b∣∣∣2、该不等式可以通过取等条件来得到最优的放缩结果。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是一种关于凸函数的不等式，它可以用来放缩函数的平均值与函数值的关系。
对于一个凸函数f和一组满足条件的实数x1，x2，…，xn，以及对应的权重w1，w2，…，wn，Jensen 不等式表达式为f(∑(i=1)^(n)(wi*xi))≤∑(i=1)^(n)(wi*f(xi))。
该不等式可以通过选择合适的凸函数和权重，对不等式进行放缩。
4. 柯西不等式：柯西不等式是一种常见的积分不等式，它可以用来放缩两个函数的内积的模。
对于两个可积函数f(x)和g(x)，柯西不等式表达式为∣∣∫[a,b]f(x)*g(x)dx∣∣≤√(∫[a,b]∣∣f(x)∣∣^2dx)*√(∫[a, b]∣∣g(x)∣∣^2dx)。
该不等式可以通过选择合适的函数f(x)和g(x)，对不等式进行放缩。
5. Höld er不等式：Hölder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的一种推广形式，它可以用来放缩多个函数的内积的模。
对于n个可积函数f1(x)，f2(x)，…，fn(x)和相应的权重w1，w2，…，wn，Hölder不等式表达式为∣∣∫[a,b]f1(x)*f2(x)*…*fn(x)dx∣∣≤∫[a,b]∣∣f1(x)∣∣*∣∣f2(x)∣∣*…*∣∣fn(x)∣∣dx。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
不等式放缩法
不等式放缩法不等式放缩法，这可是数学里一个相当有趣的“小魔法”！咱们先来说说啥是不等式放缩法。
简单来讲，就是把一个复杂的不等式通过巧妙的手段进行变形，让它变得更容易处理和证明。
比如说，原本一个长得很吓人的不等式，咱们通过合理的放缩，把它变成一个咱们熟悉的、能轻松搞定的形式。
我给大家举个例子哈。
比如说有这么个不等式：1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋… ＋ 1/n ＞ 1/2 ×（n 1) （n ≥ 2）。
要是直接去证明，可能会让人有点头疼。
那咱们就来放缩一下。
先把每一项 1/k （k ＝2, 3, 4, …， n）都放大成 1/2 ，这样原来的式子就变成了（n 1) × 1/2 ，这不就和要证明的右边一样了嘛！而且因为我们是把每一项都放大了才得到的这个式子，所以原不等式就成立啦！是不是感觉有点神奇？我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙一脸迷糊地问我：“老师，这放缩法咋感觉像是在‘作弊’呢？”我笑着回答他：“这可不是作弊哦，这是数学的智慧！就像你走在路上，遇到一个大石头挡道了，咱们总不能硬撞上去吧，得绕个弯或者找个更简单的路过去，这放缩法就是咱们在数学道路上找的‘捷径’！”那不等式放缩法有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数列求和的问题里，如果直接求和很难算，咱们就可以用放缩法来估计和的范围。
还有在证明一些不等式的结论时，放缩法往往能起到关键作用，让看似复杂的问题一下子变得清晰起来。
不过呢，放缩法也不是随便放缩的，要是放缩得不合理，那可就得出错误的结论啦。
这就好比你修房子，尺寸要是搞错了，房子可就歪歪斜斜没法住人了。
所以在使用放缩法的时候，一定要小心谨慎，多思考多尝试。
再给大家说个我自己的经历。
有一次我在做一道数学题，用了放缩法，结果怎么都证明不出来。
我检查了好几遍，才发现是放缩的时候放得太大了，把原本成立的不等式给弄“变形”了。
从那以后，我每次用放缩法都会特别小心，反复确认放缩的合理性。
高中数学不等式放缩技巧
放缩法通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种（部分）：一、 裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n , 所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++ (3)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T r r rn r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n(5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n (12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i二、分式放缩1：分母缩放：分母增大，整体缩小；分母减小，整体放大。
常见级数不等式放缩公式
常见级数不等式放缩公式常见级数不等式放缩公式是数学中常用的一种技巧，可以用来对级数进行估计和近似计算。
在实际问题中，我们经常会遇到各种级数，通过对级数进行适当的放缩，可以更好地了解级数的性质和行为。
我们来介绍一些常见的级数不等式放缩公式。
这些公式可以帮助我们对级数进行估计，从而得到级数的一些重要性质。
下面是其中一些常见的放缩公式：1. 比较判别法：对于两个正项级数，如果它们的通项之间存在大小关系，那么级数之和也有相同的关系。
例如，如果对于所有的n，有an ≤ bn，那么an的级数之和小于等于bn的级数之和。
2. 比值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得an+1/an ≤ q，那么级数收敛；如果an+1/an ≥ q，那么级数发散。
3. 根值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≤ q，那么级数收敛；如果lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≥ q，那么级数发散。
4. 积分判别法：对于正项级数，如果存在连续函数f(x)，使得an = f(n)，那么级数与定积分∫_(1 to ∞)▒f(x)dx之间有相同的收敛性。
以上是一些常见的级数不等式放缩公式，它们在级数的研究中起着重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以得到级数的一些重要性质，比如级数的收敛性、发散性以及级数之和的估计。
接下来，我们来看一些具体的例子，展示如何应用这些级数不等式放缩公式。
以比较判别法为例，我们考虑两个级数an=1/n和bn=1/n^2。
显然，对于所有的n，an ≤ bn，根据比较判别法，我们可以得到an的级数之和小于等于bn的级数之和。
而bn的级数之和是一个著名的数学常数，即π^2/6。
因此，我们可以得到1/n 的级数之和小于等于π^2/6。
这个结果对于研究级数的性质和行为非常有用。
除了比较判别法，还有其他的级数不等式放缩公式可以应用到各种级数的研究中。
例如，比值判别法和根值判别法可以用来判断级数的收敛性，积分判别法可以用来估计级数的和。
常用不等式放缩技巧
常用不等式放缩技巧常用的不等式和放缩技巧在数学问题和证明中扮演着重要的角色。
它们可以用来解决各种类型的问题，包括代数、几何、概率和数论等领域。
在本文中，我们将介绍一些常用的不等式和放缩技巧，以及它们在解决数学问题中的应用。
一、常用不等式：1. 平均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2,\ldots, a_n$，有$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，有$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2$$等号成立当且仅当$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$。
3.三角不等式：对于任意实数$a$和$b$，有$$a+b， \leq ，a， + ，b$$等号成立当且仅当$a$和$b$同号。
4.杨辉三角不等式：对于任意正整数$n$和非负实数$x$，有$$(1+x)^n \geq 1 + nx$$等号成立当且仅当$x=0$或$n=1$。
5.马尔可夫不等式：对于任意非负实数$x$和$x$的任意递增函数$f(x)$，有$$f(ax) \geq a f(x)$$其中$a \geq 1$。
这些不等式都是常用的，并且在证明问题时经常能够发挥重要作用。
二、常用放缩技巧：1. 二次函数放缩：对于一个二次函数$f(x) = ax^2+bx+c$，我们可以通过补全平方或者配方法来将其转化为一个方便处理的形式。
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高中数学中常见的不等式放缩方法
作者：杨发莲
来源：《学习与科普》2019年第31期
摘要：在高中数学中，不等式扩展和收缩方法经常存在于各种不等式的证明中，这是证明不等式是否有效的常用方法，并且在学习过程中很难掌握这种方法。
本文重点研究了不等式的缩放方法，并以样本问题的形式详细解释了具体的缩放方法，以帮助学生更好地掌握该部分的内容。
关键词：关键词：高中数学;不等式;放缩方法
一、浅析不等式缩放方法
在高中不等式相关内容的学习过程中，缩放方法是一种常见的不等式计算方法。
它主要是扩大或缩小不等式左右两侧的项，以便找到中间项并帮助证明不等式是否正确。
例如，如果难以直接证明不等式A和B，那么我们可以找到A中间c，在不等式的左侧放大或缩小A到c，然后只需要证明A，c和B.这种证明不等式的方法称为缩放方法。
在使用此方法解决问题时，需要掌握一些技能。
例如，在简单的不等式的情况下，需要适当地丢弃一些不重要的项，而对于过于简单的不平等，应该适当地添加中间项，但必须很好地掌握程度，并且复杂性不应该是增加，只有准确把握相关内容，才能很好地运用这种方法。
二、常见的不等式缩放方法
扩缩法是证明不等式的常用且非常重要的方法。
在证明过程中，适当的缩减和收缩可以简化复杂性并使难度变得更容易，从而以一半的努力获得两倍的结果。
但是，收缩的范围很难掌握，经常出现收缩后无法得出结论或得出相反的结论现象。
因此，在使用扩缩法时，如何确定收缩目标非常重要。
为了正确确定目标，我们必须根据结论，把握主题的特点。
掌握扩张和收缩的技能，真正理解并根据不同类型的问题，采用适当的扩展和收缩方法，解决问题，从而培养和提高他们的思维和邏辑推理能力，分析和解决问题的能力。
2.1不等式缩放基于特定目标
要应用这种方法，有必要澄清问题的目标并掌握不平等缩放的程度方法主要包括添加一些项，删除一些项，使用分数的属性，还有使用不等式的属性，使用已知的不等式和使用函数的属性等。
添加一些项。
比如，求证：3/2-1/（n+1）
1+1/2²+1/3²+...+1/n²
>1+1/（2×3）+1/（3×4）+...+1/[n（n+1）]
=1+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+...+（1/n-1/（n+1））
=1+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/（n+1）
=（3/2）-1/（n+1）
1+1/2²+1/3²+...+1/n²
<1+1/（1×2）+1/（2×3）+...+1/[（n-1）n]
=1+（1-1/2）+（1/2-1/3+...+（1/（n-1）-/n）
=1++1-1/2+1/2-1/3+...+1/（n-1）-1/n
=2-1/n
2.2删除某些项
标记a，b和c是正数，而ab + bc + ca = 1。
标记a + b + c，当你看到这个问题时，如果你不使用某种缩放技术，那么这个这个题目是不可能开始的。
为了证明结论是有效的，a+b+ c可以假设a，b和c的值是相同的，并且结合设定条件ab+bc+ca = l，我们首先假设a=b=c=1，所以我们可以发现等号有效。
如果你想证明不平等是真的，你要么必须删除一些东西然后证明它。
具体的证明过程如下：
证明：因为（a+b+c）2—a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
=1/2{（a-b）2+（b-c）2 +（c-a）2} +3（ab+bc+ca）
所以，（a+b+c）2+3（ab+bc+ca）=3然后再对其进行开方，所以，a+b+c=3只有当
a=b=c= 1时等号成立。
不等式的证明.
已知a大于2，用放缩法证明不等式：log a为底，（a-1）的对数乘以log a为底，（a=1）的对数，它们的乘积小于1.
结题过程：loga （a-1）*loga（a+1）
≤{ [loga（a-1）+loga（a+1）]/2}²={[loga （a²-1）]/2}²
<{[loga （a²）]/2}²
=1
所以，原不等式成立
2.3使用分数的属性
例3已经知道a，b，c他们都是正实数，加上a+b>c证明a/（1+a）+b/（1+b）>c/
（1+c）。
显然，这个问题是一个不平等的部分。
缩放时，我们可以将分子和分母与问题集中的已知不等式条件一起缩放，然后进行计算。
因为a+b> c，所以a + b-c> 0，所以
c/（1+c）<c+（a+b-c）/1+c+（a+b-c）=a+b/1+a+b=a/（1+a+b）+b/（1+a+b）<a/（1+a）+b/（1+b）
所以c/（1+c）<a/（1+a）+b/（1+b）
即a/（1+a）+b/（1+b）>c/（1+c）
三、放缩过程的关键点
3.1基本的方式
a.常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大）
b.“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，
c.“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的
比如，要证明不等式A>B成立，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，技巧有：舍掉（或加进）一些项;在分式中放大或缩小分子或分母;应用基本不等式进行放缩。
理论依据有：不等式的传递性;等量加不等量为不等量;同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
3.2把握放缩的度
显然要保持放缩后的表达式与原式有相同的极限，这就要求在一般情形下，事先即明确所求原式极限值为多少，经放缩简化后的表达式又是多大。
四、结语
总而言之，对于一些在高中常用的利用放缩法解决不等式的方法和技巧已经做了一定的阐述。
它涉及许多解决技能，并与数学的其他方面密切相关。
要掌握这种方法，除了掌握关键技能外，还要进一步加强对其他板块的认识。
参考文献：
[1]成俊辅.高中数学中常见不等式的放缩方法[J].环渤海经济瞭望，2017（8）： 150-150.
[2]朱国宏.探析数列型不等式证明中“放缩法”的妙用[J].高中数理化， 2014（5）：12-13.
[3]董益芳.确定类型有的放缩——以2008年高考中的数列型不等式证明为例[J].中国数学教育， 2009（3）：31-35.。