2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论课件
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高中数学第1章立体几何初步1.2.1平面的基本性质15高一数学
符号填空．
(1)A1__∈___A1_B1_,B1_∈____A_1B_1
(2)B1__∈____, _C1 __∈_____
(3)A1_∈_____, _D1 __∈_____
(4)__∩ ___ A _1B_ 1
__∩ ____B_1B
(5)A1B1______,_B_B1 ________ A1B1 ________
内容(nèiróng)总结
平面的基本性质（1）。光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.。平面没有大小、厚薄和宽窄，平 面在空间是无限延伸的。①10个平面重叠起来，要比5个平面。②有一个平面的长是50m，宽是20m。④平面
No 是绝对(juéduì)的平，没有大小、没有。四.空间中点、线、面之间的位置关系：。直线AB与直线BC交于点B。
B
αA
符号语言：
C
或记为平面ABC
A,B,C三点不共 线 有且只有一个 使A,B,C
公理3是确定平面的依据.
第二十页，共二十五页。
有且只有一个的含义:
“有”
“只有(zhǐyǒu)一个”
说明(shuōmíng)图形是存在
的！
说明图形(túxíng)是唯一的！
第二十一页，共二十五页。
练习(lià nxí)
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
第二页，共二十五页。
三.平面的表示(biǎoshì)方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面 、平面
、平面AC
α ABCD (píngm符iàn号) 表示：通(pí常ngm用iàn希) 腊字母 , ,等来表示，
如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶
(1)A1__∈___A1_B1_,B1_∈____A_1B_1
(2)B1__∈____, _C1 __∈_____
(3)A1_∈_____, _D1 __∈_____
(4)__∩ ___ A _1B_ 1
__∩ ____B_1B
(5)A1B1______,_B_B1 ________ A1B1 ________
内容(nèiróng)总结
平面的基本性质（1）。光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.。平面没有大小、厚薄和宽窄，平 面在空间是无限延伸的。①10个平面重叠起来，要比5个平面。②有一个平面的长是50m，宽是20m。④平面
No 是绝对(juéduì)的平，没有大小、没有。四.空间中点、线、面之间的位置关系：。直线AB与直线BC交于点B。
B
αA
符号语言：
C
或记为平面ABC
A,B,C三点不共 线 有且只有一个 使A,B,C
公理3是确定平面的依据.
第二十页，共二十五页。
有且只有一个的含义:
“有”
“只有(zhǐyǒu)一个”
说明(shuōmíng)图形是存在
的！
说明图形(túxíng)是唯一的！
第二十一页，共二十五页。
练习(lià nxí)
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
第二页，共二十五页。
三.平面的表示(biǎoshì)方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面 、平面
、平面AC
α ABCD (píngm符iàn号) 表示：通(pí常ngm用iàn希) 腊字母 , ,等来表示，
如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶
2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论课件新人教B版
梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及表示
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上 A在l外 A在α内 A在α外
A∈l A∉l A∈α A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
l⊄α l∩m＝A l∩α＝A α∩β＝l
知识点三 共面与异面直线 思考 如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线 AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？
解答
(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l； 解 直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上， 如图②.
解答
(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC. 解 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC， 如图③.
解答
类型二 平面的基本性质的应用 命题角度1 点、线共面问题 例2 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证： PQ⊂α. 解 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β. 所以直线a⊂β，点P∈β. 因为P∈b，b⊂α，所以P∈α. 又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.
答案 不共线的三点可以确定一个平面.
思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面 BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？
答案 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.
梳理 (1)平面的基本性质
平面 基本性质1
内容
作用
如果一条直线上的
两点 在一个平面
内，那么这条直线 判断直线是否在平
解答
引申探究 将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条 平行直线一定在同一平面内.
高中数学第1章立体几何初步1.2.1平面的基本性质笔记省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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解析：若 m、n 都不与 l 相交，
∵m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，∴m∥l、n∥l， ∴m∥n∥l，这与 m、n 为异面直线矛盾，
故 l 与 m、n 中至少一条相交． 答案：B
35/72
用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下列 命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
如线互相平行．故①，④正确． 答案：C
39/72
空间线面的位置关系 [例 3] 设直线 m 与平面 α 相交但不．垂直，则下列说法 中正确的是( ) A．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不．可能与平面 α 平行 D．与直线 m 平行的平面不．可能与平面 α 垂直
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2．求异面直线所成角 异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它 们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是 求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径． (1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实 际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三 角形，是求异面直线所成角的途径之一；
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空间两条直线的位置关系 [例 2] (2011·新乡月考)已知 m、n 为异面直线，m⊂平 面 α，n⊂平面 β，α∩β＝l，则 l( ) A．与 m、n 都相交 B．与 m、n 中至少一条相交 C．与 m、n 都不相交 D．与 m、n 中的一条直线相交
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分析：两条直线的位置关系有相交、平行、异面，而由 条件知，l、m 都在平面 α 内，l、n 都在平面 β 内，显然 l 与 m、 n 可以相交，故只需讨论 l 与 m、n 是否平行即可，不妨从都 平行入手加以分析讨论．
解析：若 m、n 都不与 l 相交，
∵m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，∴m∥l、n∥l， ∴m∥n∥l，这与 m、n 为异面直线矛盾，
故 l 与 m、n 中至少一条相交． 答案：B
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用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下列 命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
如线互相平行．故①，④正确． 答案：C
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空间线面的位置关系 [例 3] 设直线 m 与平面 α 相交但不．垂直，则下列说法 中正确的是( ) A．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不．可能与平面 α 平行 D．与直线 m 平行的平面不．可能与平面 α 垂直
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2．求异面直线所成角 异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它 们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是 求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径． (1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实 际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三 角形，是求异面直线所成角的途径之一；
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空间两条直线的位置关系 [例 2] (2011·新乡月考)已知 m、n 为异面直线，m⊂平 面 α，n⊂平面 β，α∩β＝l，则 l( ) A．与 m、n 都相交 B．与 m、n 中至少一条相交 C．与 m、n 都不相交 D．与 m、n 中的一条直线相交
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分析：两条直线的位置关系有相交、平行、异面，而由 条件知，l、m 都在平面 α 内，l、n 都在平面 β 内，显然 l 与 m、 n 可以相交，故只需讨论 l 与 m、n 是否平行即可，不妨从都 平行入手加以分析讨论．
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直线外 2．推论1 经过一条直线和 ________的一点， 有且只有一个平面． 相交 推论2 经过两条 ________直线有且仅有一 个平面． 平行 判定直线在平面内的依据 推论3 经过两条 ________直线有且仅有一 个平面． 确定平面的依据 判定两平面相交的依据，也是证明点共 3．公理1的作用是 __________________________， 线或线共点的依据 公理2及它的三个推论的作用是 ____________________． 公理3的作用是
二、共面直线与异面直线 平行 相交 或者 1．两条直线共面，那么它们 ________ 相交 平行 ________ ． 2．既不________又不________的两条直 线叫做异面直线． 不经过交点 3．判定两条直线为异面直线的一种方法：与 一平面相交于一点的直线与这个平面内 ____________的直线是异面直线．
一、平面的基本性质 两点 ________在一 1．公理1 如果一条直线上的 个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个 平面内． 这时我们说，直线在平面内或平面经过直线． 不在同一条直线上 不共线 公理2 经过_________________ 的三个点， 一个 有且只有一个平面，也可简单地说成， ________的三点确定一个平面． 公理3 如果不重合的两个平面有________ 公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共 点的公共直线．
4．平面α∩平面β＝l，点A、B∈α，点C∈平 面β且C∉l，AB∩l＝R.设过A、B、C三点的平 面为平面γ，则β∩γ＝________. [答案] CR
[ 解析] 根据题意画出图形．如图所示．因 为点 C∈β，且点 C∈γ，所以 C∈β∩γ.因为点 R ∈AB，所以点 R∈γ.又 R∈β，所以 R∈β∩γ， 从而 β∩γ＝CR.
18版高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线
[基础· 初探] 教材整理 1 公理 4 及等角定理
阅读教材 P39～P39“例题”以上内容，完成下列问题. 1.公理 4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行 .这一性质叫做空间平行 线的 传递性 . a∥b ⇒ a∥c . 符号表述： b∥c
2.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 ， 并且方向 相同， 那么这两个角相等 .
【精彩点拨】
解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
教材整理 3
直线与平面平行的判定及性质
阅读教材 P42～P43 的内容，完成下列问题. 定理 条件 结论 图形语言 符号语言
不在一个平面内 的一 这条直线
判定 条直线和 平面内的一 和 这 个 平 条直线平行 面 平行
l⊄α， m⊂ ，⇒ l ∥m
【解析】 行.
(1)错误.若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平
(2)错误.当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2) 错. (3)错误.直线 l 也可能与平面 α 相交. (4)错误.在棱柱的上底面内， 过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行， 所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错.
l∥
一条直线和一个平 这 条 直 线 性质 面 平行 ，经过这条直 和 这 两 个 线的平面和这个平面 平面的 交线
l∥α， l⊂β ，
相交
平行
⇒l∥m
下列条件中能确定直线 a 与平面 α 平行的是( A.a⊄α，b⊂α，a∥b B.b⊂α，a∥b C.b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c
图 1215
【精彩点拨】 (1)欲证四边形 BB1M1M 是平行四边形，可证其一组对边平 行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明.
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图 125 ①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________；
②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
【精彩点拨】 判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.
① 图 121
②
3.平面的表示法 上图中图①的平面可表示为 平面α 、平面ABCD 、 平面AC 或 平面BD .
下列说法正确的是(
)
A.生活中的几何体都是由平面组成的 B.平面无厚薄，但有边界线 C.任何一个平面图形都是一个平面 D.平面多边形和圆都可以表示平面
【解析】 由平面的特性是无限延展性知，选项 A、B 错误；平面图形和平 面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项 C 错误； 选项 D 正确.
∵A、B、C 分别是 d 与 a、b、c 的交点， ∴A、B、C 三点在平面 α 内. 由公理 1 知 a、b、c 都在平面 α 内， 故 a、b、c、d 共面.
(2)若 a、b、c、d 无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A， ∴经过 a、b 有且仅有一个平面 α， ∴B、C∈α.由公理 1 知 c⊂α. 同理，d⊂α，从而有 a、b、c、d 共面. 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.
B.a、c 是异面直线 D.a、c 平行或相交或异面
【解析】 若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行， 可以相交，可以异面.
【答案】 D
[探究共研型]
点共线与线共点问题
探究 1 如图 126，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设 A1C∩ 平面 ABC1D1＝E.能否判断点 E 在平面 A1BCD1 内？
求证：直线 a，b，c，l 共面. 证明：法一 ∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α，
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故 l⊂α. 又∵a∥c，∴a，c 确定一个平面 β. 同理可证 l⊂β，∴α∩β＝a 且 α∩β＝l. ∵过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面， 故 α 与 β 重合，即直线 a，b，c，l 共面.
法二 由法一得 a、b、l 共面 α，也就是说 b 在 a、l 确定的平面 α 内. 同理可证 c 在 a、l 确定的平面 α 内. ∵过 a 和 l 只能确定一个平面，∴a，b，c，l 共面.
空间两直线位置关系的判定
如图 125，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，判断 下列直线的位置关系：
图 128 求证：E，F，G，H 四点必定共线.
【证明】
∵AB∥CD，
∴AB，CD 确定一个平面 β， 又∵AB∩α＝E，AB⊂β， ∴E∈α，E∈β， 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点. 同理可证 F，G，H 均为平面 α 与 β 的公共点， ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H 四点必定共线.
阶 段 一
阶 段 三
1.2
点、线、面之间的位置关系 平面的基本性质与推论
学 业 分 层 测 评
1.2.1
阶 段 二
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点) 2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间 的位置关系.(重点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置 关系问题.(难点)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三点可以确定一个平面.( ) )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.( (3)四边形是平面图形.( ) )
(4)两条相交直线可以确定一个平面.(
【解析】 (1)错误.不共线的三点可以确定一个平面. (2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面. (3)错误.四边形不一定是平面图形. (4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.
【精彩点拨】
四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三
条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.
【自主解答】 已知：a，b，c，d 四条直线两两相交，且不共点，求证：a， b，c，d 四线共面. 证明：(1)若 a，b，c 三线共点于 O，如图所示，∵O∉d， ∴经过 d 与点 O 有且只有一个平面 α.
A，B，C 三点不共线⇒ 存在唯一的平面 α 使 A，B，C∈α
基本性 质3
P∈α ，P∈β ⇒α∩β＝
l，且 P∈l
图 122 推论 1 推论 2 推论 3 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图 122①). 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图 122②). 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图 122③).
【解】
(1)点 P∈直线 AB；(2)点 C∉直线 AB；
(3)点 M∈平面 AC；(4)点 A1∉平面 AC； (5)直线 AB∩直线 BC＝点 B；(6)直线 AB⊂平面 AC； (7)平面 A1B∩平面 AC＝直线 AB.
点、线共面问题 XXX
已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面 内. 【导学号：45722037】
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画 出相应的图形： (1)A∈α，B∉α； (2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l； (3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.
【精彩点拨】
解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置
关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由 已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.
(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面. (3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交 直线. (4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
[小组合作型]
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【自主解答】
(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内；
(2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.
图(1)
图(2)
图(3)
【自主解答】 根据题目条件知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点 A1、B、B1 在一个平 面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C “异面”.同理， 直线 AB 与直线 B1C “异面”.所以②④都应该填“异面”；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”.
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( A.平行或异面 C.异面 B.相交或异面 D.相交
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
教材整理 3
共面与异面直线
阅读教材 P37～P38“练习”以上内容，完成下列问题. 1.异面直线 (1)定义：把不同在 任何一个 平面内的两条直线叫做异面直线. (2)画法：(通常用平面衬托)
图 123
2.空间两条直线的位置关系 共面 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点. 直线 平行直线 ：同一平面内，没有公共点. 异面直线 ：不同在任何一个平面内，没有公共点.
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断. 2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便， 故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.
[再练一题] 3.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，则( A.a∥c C.a、c 相交 )
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.( (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.( ) )
(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异 面直线.( ) )
(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(
【解析】
(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.
【自主解答】
∵MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线 MN，Q∈直线 EF， 又∵M∈直线 CD，N∈直线 AB，CD⊂平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD. ∴M、N∈平面 ABCD， ∴MN⊂平面 ABCD.∴Q∈平面 ABCD. 同理，可得 EF⊂平面 ADD1A1. ∴Q∈平面 ADD1A1， 又∵平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线.
图 126
【提示】 如图，连接 BD1，
∵A1C∩平面 ABC1D1＝E， ∴E∈A1C，E∈平面 ABC1D1. ∵A1C⊂平面 A1BCD1， ∴E∈平面 A1BCD1.
探究 2 上述问题中，你能证明 B，E，D1 三点共线吗？
【提示】 由于平面 A1BCD1 与平面 ABC1D1 交于直线 BD1，又 E∈BD1，根 据公理 3 可知 B，E，D1 三点共线.
点共线与线共点的证明思路 1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平 面的交线上. 2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.
[再练一题] 4.如图 128，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F.
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表 示. 2. 要注意符号语言的意义 . 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ∉ ”表 示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示. 3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.