2015高考百强名校考前热身测试数学试题(理)

高三数学（理）
本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
第I 卷（选择题 共50分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{
}
{
32,M x x N x y M N =-<==⋂=，则
A.[)2,5
B. ()1,5
C. (]2,5
D. [)1,5
2.复数
2a i
i
+-为纯虚数，则实数a = A. 2- B. 12- C.2 D. 1
2
3.下列说法中正确的是
A.命题“若x y x y >-<-，则”的逆否命题是“若x y ->-，则x y <”
B.若命题2
2
:,10:,10p x R x p x R x ∀∈+>⌝∃∈+>，则
C.设l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,//l l αβαβ⊥⊥，则
D.设,x y R ∈，则“()2
0x y x -⋅<”是“x y <”的必要而不充分条件
4.定义在R 上的偶函数()y f x =的部分图象如图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是 A. 21y x =+
B. 1y x =+
C. 3210
10
x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩
D. 00
x
x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩
5.二项式5
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数为
A. 20-
B.20
C. 40-
D.40
6.
若过点()
2P --的直线与圆22
4x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是
A. 0,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B. 0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 0,
6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. 0,
3π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
7.向右图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为
A.
12ln 2
4+
B.
ln 2
2 C. 2ln 24
+
D. 2ln 2
4
-
8.运行右面的程序框图，若输入2015n =，则输出的a =
A.
4030
4029 B.
2015
4029
C.
4030
4031 D.
2015
4031
9.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料3千克，B 原料1千克；生产乙产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元.公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元） A.1600 B.2100 C.2800 D.4800 10.设函数()f x 的定义域为D ，若任取1x D ∈，存在唯一的()()
1222
f x f x x D C +∈=满足，
则称C 为函数()y f x =在D 上的均值.给出下列五个函数：
①y x =；②2y x =；③4sin y x =；④1y gx =；⑤2x
y =.则所有满足在其定义域上的均
值为2的函数的序号为 A .①③ B .①④ C .①④⑤ D .②③④⑤
第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：
将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________.
12.若向量a ，b 的夹角为150,42a b a b ==+=，则___________.
13.已知12,F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左，右焦点，P 为双曲线右支上的
一点，且122PF PF =.若12PF F ∆为等腰三角形，则该双曲线的离心率为_________. 14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为__________.
15.设方程4
40x ax +-=的各实根为()12,,,4k x x x k ⋅⋅⋅≤.若点()4
,
1,2,,i i
x i k x =⋅⋅⋅均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
如图，四边形ACDF 为正方形，平面ACDF ⊥平面BCDE,BC=2DE=2CD=4,DE//BC ，
90CDE ∠=，M 为AB 的中点.
（I ）证明：EM//平面ACDF ；
（II ）求二面角A BE C --的余弦值.
17.（本小题满分12分）
已知函数()2
11
cos sin cos 2,.22
f x x x x x x R =-+
+∈ （I ）求函数()42f x ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦在，上的最值； （II ）若将函数()f x 的图象向右平移
4
π
个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图象.已知()6411,,.cos 5
3626g ππαπαα⎛⎫⎛⎫
=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
求的值.
18.（本小题满分12分）
各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()
1,n n a a n N *
+∈在函数3y x =的图
象上，且326.S =
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）在1n n a a +与之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ，并求使1840
55327
n n n T -+
≤⨯成立的最大正整数.n
19.（本小题满分12分）
某机械厂生产一种产品，产品按测试指标分为：指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次.生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元.现随机抽查高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如下:
根据上表统计得到甲、乙两人生产这种产品为优，良，差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品为优，良，差等次的概率，且每次生产一件产品的等次互不受影响. （I ）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；
（II ）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X 元（利润=盈利-亏损），求随机变量X 的概率分布和数学期望.
20.（本小题满分13分）
已知焦点在y 轴上的椭圆()22
12210y x C a b a b
+=>>：经过
点2Q ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1. （I ）求椭圆1C 的方程；
（II ）过抛物线()2
2:C y x h h R =+∈上一点P 的切线与椭圆1C 交于不同两点M ，N ，点A
为椭圆1C 的右顶点，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H 点，当直线GH 与x 轴垂直时，求h 的最小值.
21.（本小题满分14分）
设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==--- （I ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；
（II ）设()()1112,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同两点，线段AB 中点为C ()00,x y ，直线AB 的斜率为k.证明：()0k f x '>； （III ）设()()
()01
b
F x f x b x =
+>+，对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有
()()
1212
1F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.。