ch5积分1

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CH5+位移计算 (1)

RA P
A
P
B C
RA b P a
b a
B
RB P
ab a

1
b c1 a
Unit load method
单位荷载法
C
b a
The assumed direction of force is opposite to the real direction of
位移的实际方向与虚设P的方向相反
2
B
A 1
河南理工大学
结构力学
Generalized forces and its corresponding generalized displacements
P
A
B
P
P 1 P 2 P 1 2 P
P --- a pair of forces一对力
1
Chapter 5
Calculation of Structural Displacement
结构的位移计算
河南理工大学
结构力学
Introduction
The concept of structural displacements
结构位移的概念 P
A C C′ B
B
CC ---
the vertical translation of middle point C
Calculation of Displacements Caused by Support Movement
Example
Find the horizontal displacement at support B and the slope of section B for the rigid frame due to the settlement of support A

运筹学课件ch5指派问题[全文]

运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。

指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。

其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。

指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。

指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。

88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。

高等数学教案ch-5-定积分

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。

2、驾驭定积分的性质及定积分中值定理，驾驭定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，驾驭牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则全部小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 详细方法是: 在区间[a , b ]中随意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:明显, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 详细做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内随意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i i i x f A 10)(limξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的详细意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中随意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 假如不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间. 定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅,[x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 假如当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 依据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)假如函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积.函数f (x )在[a , b ]上满意什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 假如我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是始终角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质两点规定:(1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 假如将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(. 这特性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得留意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b cc a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(, 于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b cc a dx x f dx x f )()(. 性质4 假如在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 假如在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 假如在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则 ⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以 ⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 假如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何说明:应留意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.§5. 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点起先作直线运动, 在t 时刻所经过的路程为S (t ), 速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0), 则在时间间隔[T 1, T 2]内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰, 即 )()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰.上式表明, 速度函数v (t )在区间[T 1, T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1, T 2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 并且设x 为[a , b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a , x ]上的定积分dx x f x a )(⎰称为积分上限的函数. 它是区间[a , b ]上的函数, 记为 Φ(x )dx x f x a )(⎰=, 或Φ(x )=dt t f x a )(⎰.定理1 假如函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数Φ(x )dx x f xa )(⎰=在[a , b ]上具有导数, 并且它的导数为Φ'(x ))()(x f dt t f dx d x a ==⎰(a ≤x <b ). 简要证明若x ∈(a , b ), 取∆x 使x +∆x ∈(a , b ).∆Φ=Φ(x +∆x )-Φ(x )dt t f dt t f x a x x a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ,应用积分中值定理, 有∆Φ=f (ξ)∆x ,其中ξ在x 与x +∆x 之间, ∆x →0时, ξ→x . 于是Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ. 若x =a , 取∆x >0, 则同理可证Φ+'(x )= f (a ); 若x =b , 取∆x <0, 则同理可证Φ-'(x )= f (b ).定理2 假如函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数Φ(x )dx x f x a )(⎰=就是f (x )在[a , b ]上的一个原函数.定理的重要意义: 一方面确定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3 假如函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式.这是因为F (x )和Φ(x )=dt t f x a )(⎰都是f (x )的原函数,所以存在常数C , 使F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数).由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0, 得C =F (a ), F (x )-Φ(x )=F (a ).由F (b )-Φ(b )=F (a ), 得Φ(b )=F (b )-F (a ), 即)()()(a F b F dx x f b a -=⎰.证明: 已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数, 又依据定理2, 积分上限函数 Φ(x )=dt t f x a )(⎰也是f (x )的一个原函数. 于是有一常数C , 使F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ).当x =a 时, 有F (a )-Φ(a )=C , 而Φ(a )=0, 所以C =F (a ); 当x =b 时, F (b )-Φ(b )=F (a ),所以Φ(b )=F (b )-F (a ), 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰. 为了便利起见, 可把F (b )-F (a )记成b a x F )]([, 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1. 计算⎰102dx x .解: 由于331x 是2x 的一个原函数, 所以 31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x . 例2 计算2311xdx +⎰-.解由于arctan x 是211x+的一个原函数, 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx )1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=. 例3. 计算⎰--121dx x. 解: 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x =ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0, π]上与x 轴所围成的平面图形的面积.解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰=-(-1)-(-1)=2.例5. 汽车以每小时36km 速度行驶, 到某处须要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车. 问从起先刹车到停车, 汽车走了多少距离？解从起先刹车到停车所需的时间:当t =0时, 汽车速度v 0=36km/h 3600100036⨯=m/s =10m/s .刹车后t 时刻汽车的速度为v (t )=v 0+at =10-5t .当汽车停止时, 速度v (t )=0, 从v (t )=10-5t =0得, t =2(s ).于是从起先刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t (m ), 即在刹车后, 汽车需走过10m 才能停住.例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0. 证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在(0, +∞)内为单调增加函数.证明: )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰, )()(0x f dt t f dx d x =⎰. 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='x x x dt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=x x dt t f dt t f t x x f . 按假设, 当0<t <x 时f (t )>0, (x -t )f (t )> 0 , 所以 0)(0>⎰dt t f x , 0)()(0>-⎰dt t f t x x ,从而F '(x )>0 (x >0), 这就证明白F (x ) 在(0, +∞)内为单调增加函数. 例7. 求21cos 02lim x dt e x t x ⎰-→.解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则,e x xe x dt e x dte x x x t x x t x 212sin lim lim lim 222cos 02cos 1021cos 0==--→-→-→⎰⎰. 提示: 设⎰-=Φx t dt e x 12)(, 则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cos .x u x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰.§5. 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 函数x =ϕ(t )满意条件:(1)ϕ(α )=a , ϕ(β)=b ;(2)ϕ(t )在[α, β](或[β, α])上具有连续导数, 且其值域不越出[a , b ],则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.这个公式叫做定积分的换元公式.证明由假设知, f (x )在区间[a , b ]上是连续, 因而是可积的; f [ϕ(t )]ϕ'(t )在区间[α, β](或[β, α])上也是连续的, 因而是可积的.假设F (x )是f (x )的一个原函数, 则 dx x f ba )(⎰=F (b )-F (a ).另一方面, 因为{F [ϕ(t )]}'=F '[ϕ(t )]ϕ'(t )= f [ϕ(t )]ϕ'(t ), 所以F [ϕ(t )]是f [ϕ(t )]ϕ'(t )的一个原函数, 从而 dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰=F [ϕ(β )]-F [ϕ(α )]=F (b )-F (a ).因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.例1 计算⎰-a dx x a 022(a >0).解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cosπtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t atdt a 220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=. 提示: t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t . 当x =0时t =0, 当x =a 时2π=t . 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π.解令t =cos x , 则x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令. 提示: 当x =0时t =1, 当2π=x 时t =0. 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ 610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx .例3 计算⎰-π053sin sin dx x x . 解dx x x dx x x |cos |sin sin sin 23053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x . 提示: |cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-.在]2,0[π上|cos x |=cos x , 在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x .例4 计算dx x x ⎰++4122.解⎰⎰⎰+=⋅+-++=+312312124)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t .提示: 212-=t x , dx =tdt ; 当x =0时t =1, 当x =4时t =3. 例5 证明: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为偶函数, 则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)(.证明因为dx x f dx x f dx x f aa aa )()()(00⎰⎰⎰+=--, 而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-aa a tx a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令,所以⎰⎰⎰+-=-aaaa dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-aaa adx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([. 探讨:若f (x )在[-a , a ]上连续且为奇函数, 问=⎰-aa dx x f )(？提示: 若f (x )为奇函数, 则f (-x )+f (x ) =0, 从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f .例6 若f (x )在[0, 1]上连续, 证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ;(2)⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .证明 (1)令t x -=2π, 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f .(2)令x =π-t , 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f , 所以⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x , 计算⎰-41)2(dx x f .解设x -2=t , 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t .提示: 设x -2=t , 则dx =dt ; 当x =1时t =-1, 当x =4时t =2. 二、分部积分法设函数u (x )、v (x )在区间[a , b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ), 由(uv )'=u 'v +u v '得u v '=u v -u 'v , 式两端在区间[a , b ]上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][, 或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][. 这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba . 例1 计算xdx arcsin 21⎰.解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[210210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π )1(11211222210x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π. 例2 计算⎰10dx e x . 解令t x =, 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde⎰-=101 0 2 ][2dt e te t t 2 ][2210 =-=t e e . 例3 设⎰=20sin πxdx I n n , 证明(1)当n 为正偶数时, 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n ;(2)当n 为大于1的正奇数时, 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n .证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin [cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdxx n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得21--=n n I nn I .02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+,而2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I ,因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .例3 设⎰=20sin πxdx I n n (n 为正整数), 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=20222 01sin cos )1(]sin[cos ππxdx x n x x n n⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n ,由此得 21--=n n I nn I .02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+.特殊地 2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I .因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .§5. 4 反常积分一、无穷限的反常积分定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 假如极限dx x f bab )(lim⎰+∞→存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分, 记作dx x f a )(⎰+∞, 即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=. 这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛.假如上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义, 此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ]上连续, 假如极限dx x f baa )(lim⎰-∞→(a <b )存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞, b ]上的反常积分, 记作dx x f b)(⎰∞-, 即dx x f dx x f baa b )(lim )(⎰⎰-∞→∞-=. 这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛. 假如上述极限不存在, 则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞, +∞)上连续, 假如反常积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞, +∞)上的反常积分, 记作dx x f )(⎰+∞∞-, 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=.这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛.假如上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散. 定义1' 连续函数f (x )在区间[a , +∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.在反常积分的定义式中, 假如极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.类似地, 连续函数f (x )在区间(-∞, b ]上和在区间(-∞, +∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=.反常积分的计算: 假如F (x )是f (x )的原函数, 则b a b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰ )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.可采纳如下简记形式: )()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰. 例1 计算反常积分dx x 211+⎰+∞∞-. 解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2 .例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt (p 是常数, 且p >0). 解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞→. 提示: 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te . 例3 探讨反常积分dx x pa 1⎰+∞(a >0)的敛散性.解当p =1时, dx x pa1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x .当p <1时, dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p .当p >1时,1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa.因此, 当p >1时, 此反常积分收敛, 其值为11--p a p; 当p ≤1时, 此反常积分发散.二、无界函数的反常积分定义2 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 而在点a 的右邻域内无界. 取ε>0, 假如极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在, 则称此极限为函数f (x )在(a , b ]上的反常积分, 仍旧记作dx x f ba )(⎰, 即dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.假如上述极限不存在, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.类似地, 设函数f (x )在区间[a , b )上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取ε>0, 假如极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在, 则称此极限为函数f (x )在[a , b )上的反常积分, 仍旧记作dx x f ba )(⎰, 即dx x f dx x f tab t b a )(lim )(⎰⎰-→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛. 假如上述极限不存在, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.设函数f (x )在区间[a , b ]上除点c (a <c <b )外连续, 而在点c 的邻域内无界. 假如两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛, 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=.否则, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点: 假如函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界, 那么点a 称为函数f (x )的瑕点, 也称为无界定义2' 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 点a 为f (x )的瑕点. 函数f (x )在(a , b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.在反常积分的定义式中, 假如极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f (x )在[a , b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.函数f (x )在[a , c )⋃(c , b ] (c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f bt ct t a ct b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.反常积分的计算:假如F (x )为f (x )的原函数, 则有b t at bta tb a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰)(lim )()(lim )(x F b F t F b F ax at ++→→-=-=.可采纳如下简记形式:)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰. 类似地, 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx ba ba -==-→⎰, 当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax b a ba +→-==⎰;当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx b a ba -==-→⎰.当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx c x bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰. 例4 计算反常积分⎰-adx xa 0221.解因为+∞=--→221lim x a ax , 所以点a 为被积函数的瑕点.a aa x dx x a 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x .例5 探讨反常积分⎰-1121dx x的收敛性.解函数21x在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim x x .由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[1001012x x dx xx , 即反常积分⎰-0121dx x 发散, 所以反常积分⎰-1121dx x发散.例6 探讨反常积分⎰-ba qa x dx )(的敛散性.解当q =1时, +∞=-=-=-⎰⎰b a ba ba q a x ax dx a x dx )][ln()(.当q >1时, +∞=--=--⎰b a q ba q a x q a x dx 1])(11[)(. 当q <1时,q b a q ba q ab q a x qa x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(. 因此, 当q <1时, 此反常积分收敛, 其值为q ab q ---1)(11; 当q ≥1时, 此反常积分发散.。

ch5 switch(1)测试

2.NE2的UDC的FE1与smartbits的端口2相连
测试过程：
1．网元被测端口的MAC地址老化时间设置为300秒。
2．SmartBit端口1、2的源MAC地址分别为00-00-00-00-00-01、00-00-00-00-00-02，1->2发送目的地址为00-00-00-00-00-02的帧，发送1帧。
2.设置NE2的FE2, NE1的FE2,3同属于VLAN 800
3.从NE1发送目的地址为FF-FF-FF-FF-FF-FF广播包
通过标准：
只有Smartbit的5，6端口收到广播包。
1.1.9
测试目的：测试对以太网单播帧的支持
1、组网图示：
2、连接情况说明：
1.NE1的UDC的FE1与smartbits的端口1相连
通过标准：
支持对接收帧总数，接收crc错包数，接收超长包数的统计计数功能。
1.1.8
1、组网图示：
2、连接情况说明：
1.NE1的UDC的FE1-3与smartbits的端口1-3相连
2.NE2的UDC的FE1-3与smartbits的端口4-6相连
测试过程：
1.设置NE1的FE1, NE2的FE2, 3同属于VLAN 1000
Photonic Bridges Shanghai Telecom MSTP Test
上海电信MSTP测试与实验项目
1.
1.1
1.1.1
测试编号：1.1.1
测试项目：最小帧长度
测试目的：测试设备所能够处理的最小的帧长度
1、组网图示：
2、连接情况说明：
1.NE1的UDC的FE1与smartbits的端口1相连
通过标准：
在端口流量控制能力为disable时，丢包率为40%；当端口流量控制能力为enable时，丢包率为0%。

飞机供电系统CH5 配电—1

双线制
三相电网
目前飞机上应用最多的一种电网。三种接线形式：以飞机壳体为中线的三相四线制。中线不接地的三相电网以飞机壳体作为第三相的双线电网应用：现代飞机采用以飞机壳体为中线的三相四线制电网。现代飞机大量采用复合材料作为飞机构件后，飞机壳体的局部（或较大部分）将不再是金属结构，飞机壳体将不能替代导线来起到输送电能的作用。
电网保护类型（根据工作原理划分）
最大电流保护——当电网路中电流超过规定值时，保护装置动作；又分具有延时特性和不具有延时特性(即快速)保护两类。
差动电流保护——以两个电流的差值超过规定值时，保护装置动作；又分纵向与横向差动保护两类。 (a)纵向差动保护——以电网路始端和末端电流的差值来确定保护装置是否动作。 (b)横向差动保护——以两个具有相同参数并联电路各自电流的差值来确定保护装置是否动作。
配电控制方式及其特点
3、固态配电控制是采用了多路传输和微处理机技术的遥控配电控制，功率开关采用固态功率控制器。进一步减小馈电线和信号线的长度与质量；具有重新配置供电系统的功能；具有监控功能，有效提高了配电系统的效率与可靠性；显示、控制装置简化，缓和了驾驶舱控制板上设备的拥挤程度。
配电控制方式及其特点
配电控制方式及其特点
1、常规配电控制配电中心设置于驾驶舱，由空勤人员直接操纵控制配电设备。馈电线需引入驾驶舱，馈电线路长而重，又占较大空间；用电设备汇流条设有(一般)用电设备汇流条和重要用电设备汇流条，(一般) 用电设备汇流条往往由开式电网供电；而重要设备汇流条，则由闭式电网供电。
配电控制方式及其特点
电网线制
直流系统电网线制——单线制和双线制。交流系统电网线制 ①单相系统——单线制和双线制； ②三相系统——三相四线制、三相三线制、三相二线制。

高等数学教案ch-5-定积分

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿一莱布尼茨公式。

教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5, 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1 .曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y=f(x)在区间［a . b］上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形.每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替.每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积.则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间［a b］中任意插入若干个分点a=X0 ::：X i ::：x2 ：：：…r：Xn 4 ::：X n =b把［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ . ［x2 .X3］Jx nd .X n ］.它们的长度依次为二X i = X i-X o -X2= X2% X n = Xn ~Xn 4 .经过每一个分点作平行于y轴的直线段.把曲边梯形分成n个窄曲边梯形•在每个小区间［Xi4.Xi］上任取一点匕.以［Xi4.Xi］为底、f (©)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(=1. 2.•…‘n).把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值.即nA s f (巴1)&1 +f (巴2) &2+* …+f ('n )A x n =迟f GQx -im求曲边梯形的面积的精确值：显然.分点越多、每个小曲边梯形越窄.所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值.因此.要求曲边梯形面积A的精确值.只需无限地增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零•记-二max{ .lx i . .-xn}.于是.上述增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于令0，所以曲边梯形的面积为nA = lim ' f ( J. ：X i一-0y '2.变速直线运动的路程设物体作直线运动.已知速度v印(t)是时间间隔［T i T 2］上t的连续函数.且v(t)_O.计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程：我们把时间间隔［T i .T 2］分成n个小的时间间隔.址i .在每个小的时间间隔At i内.物体运动看成是均速的.其速度近似为物体在时间间隔.先内某点i的速度V(.i).物体在时间间隔.址i内运动的距离近似为AS= v(苗)孩.把物体在每一小的时间间隔i ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔［T i T 2］内所经过的路程S的近似值，具体做法是：在时间间隔［T i .T 2］内任意插入若干个分点T 1 =t 0 ::：t i ::：t 2 …t n」t n =T 2 .把［T i T 2］分成n个小段［t 0 .t i］ . ［t i .t 2］. ' ' '.［t n」.t n］.各小段时间的长依次为L t i =t i -t 0 L t 2 ~t 2 -t i ….■:t n "t n —t n」相应地.在各段时间内物体经过的路程依次为L S i L S2 L S n .在时间间隔［t i」.t i］上任取一个时刻.i(t i J：： j：：t i).以.i时刻的速度v(，i)来代替［t i/.t i］上各个时刻的速度.得到部分路程「S i的近似值.即心Si= v(E i) 0i (i=1 . 2 .…，n),于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值.即nS・：二v( i). ：t ii A求精确值：记•二max{ 't 1 ,t 2 t n}.当.-0时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的路程nS =lim、v(.j) ：tj ,0 i d设函数y斗(x)在区间［a b］上非负、连续，求直线x=a、x=b、y=0及曲线y寸(x)所围成的曲边梯形的面积.(1) 用分点a次o ：：xi ：：：x2 ：：：…• ：：xn ,：：xn =b把区间［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ .［x2 决3］,….［x n4 .X n ］'记血mn (i =1 . 2 厂…* n).(2) 任取i ［X i 4 X i］以［X i 4刈为底的小曲边梯形的面积可近似为f (£)细(i=. 2 •…,n) 所求曲边梯形面积A的近似值为nA 八f ( i) ：X i .(3)记■ -max{二x i二X2 二x n}.所以曲边梯形面积的精确值为nA=lim「f ( ) x ,FT y设物体作直线运动.已知速度v二v(t)是时间间隔［T 1 T 2］上t的连续函数. 且v(t) _0 .计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T i4o：：tv：：t^ ■ ：：tnd ：：t^T2把时间间隔［T 1 T 2］分成n个小时间段［t o .t l］」t l 问，…F［t n」.t n］.记A t i =t i—t i_J (i=1 . 2 * n).⑵任取.i ［t iJ t i］在时间段［t i」t i］内物体所经过的路程可近似为v( .i)-：t i(iH . 2、…、n) 所求路程S的近似值为nS 八v( i) ：t ii生(3)记-=max{.毛..屯，人t n}.所求路程的精确值为nS =li叫' v( J ：t i ,二、定积分定义抛开上述问题的具体意义.抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括.就抽象出下述定积分的定义，定义设函数f(x)在［a b］上有界.在［a b］中任意插入若干个分点a 之0 ：：：X1 ::：x2 ：：：•…::：X n 4 ::：X n =b把区间［a b］分成n个小区间［X0.X1］ .［X1 .x2］.….［X n J .X n］.各小段区间的长依次为L X1 次1—X o =X2%—X1 L X n * —X nM .在每个小区间［X i J X i］上任取一个点i (X iJ< i ::: X i).作函数值f ( 1)与小区间长度.乂的乘积f (匕)& (i= . 2y n).并作出和ns，f( i/'Xi .i d记，=max{ ■：X^ . ：X2 ■x n}.如果不论对［a b］怎样分法.也不论在小区间［X iT .X i］上点i怎样取法.只要当■》0时.和S总趋于确定的极限I .这时我们称这个极限I为函数f (X)在区间［a . b］上的定积分.记作j f(x)dx .即jf(x)dx =lim 瓦 f (耳)纠，■■■ —0 i 4其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限.［a b］叫做积分区间,定义设函数f(x)在［a b］上有界.用分点aa o：：：x i ：：：X2：：:x n_j ：：：x n=b把［a.b］分成n个小区间［x0 .X i］ .［X i 凶］.….［X n」.X n］.记&i 承i—X i」(i=1 . 2 ,n).任：［X i」.X i］ (i=1 . 2n) 作和nf( i，Xi .i 4记--max^x i L X2 L X n}.如果当，j 0时上述和式的极限存在且极限值与区间［a b］的分法和1的取法无关b则称这个极限为函数f(x)在区间［a b］上的定积分.记作f(x)dx .nbf(x)dx = lim 'a J—0 i 吕根据定积分的定义.曲边梯形的面积为A=a f(x)dx .变速直线运动的路程为S二；2v(t)dt .T1说明(1) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关.而与积分变量的记法无关.即：f(x)dx 二：f(t)dt 二：f(u)du，n(2) 和‘二f ( i)「：X i通常称为f (x)的积分和.⑶如果函数f (x)在［a b］上的定积分存在.我们就说f (x)在区间［a b］上可积函数f(x)在［a b］上满足什么条件时 f (x)在［a b］上可积呢？定理1 设f (x)在区间［a b］上连续.则f (x)在［a b］上可积定理2 设f (x)在区间［a b］上有界.且只有有限个间断点.则f (x)在［a b］上可积定积分的几何意义：在区间［a b］上.当f(x)_0时.积分：f(x)dx在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b与X轴所围成的曲边梯形的面积-当f(x) J0时.由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方•定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值n nf (x)dx =lim ' f ( J X - -lim 7 [ - f ( J] =x =J0i 1■ 9 #-：[-f (x)]dx当f (x)既取得正值又取得负值时.函数f(x)的图形某些部分在X轴的上方.而其它部分在X轴的下方，如果我们对面积赋以正负号 .在x 轴上方的图形面积赋以正号 .在x 轴下方的图形面积赋以负号.则在一般情形下.定积分［b f (x)dx 的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线X£、x=b 之间的各部分面积的代数和，用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分0x 2dx ,解把区间［0 .1］分成n 等份.分点为和小区间长度为 x =^(^1 .2*…,n —1). »=1(i=1. 2,…,n).取4 =討=1 . 2 .…,n).作积分和因为’计0x 2dx TimJ f ( i ) % =li利定积分的几何意义求积分例2 •用定积分的几何意义求(1 -x)dx ,解：函数y=1v 在区间［0 . 1］上的定积分是以y=1-X 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形的面积,因为以y=1 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形是一直角三角形 .其底边长及高均为1 .所以0(1-x)d^lxV<^l2 ,三、定积分的性质两点规定：(1)当 a =b 时.f f (x)dx =0 . ⑵当 a 法时.f f (x)dx =-( f (x)dx .性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即f ［f (x) _g(x)］dx 二 f f(x)dx —f g(x)dx .n n n瓦«)纠咗¥纠迈G )21i 1i =1』nn讣］2活1 n(n 1)(2n 14(1n)(24).nimi (1 i )(2 存1.bn 证明:a [f (x)-g(x)]dx r lim j [f( J_g( i )]，x/. J ° i 4n n=lim '•二 f ( J L X 二lim '•二 g( d^x jD i 4： •■- —0 i A二：f(x)dx_ ：g(x)dx .性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面b b［kf(x)dx=k J f(x)dx .这是因为 f kf (x)dx =ljm 瓦 kf (U )^x i =k[im 》f G)Ax i =k [f (x)dx “ 性质' 如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即：f(x)dx 二：f(x)dx ：f(x)dx .这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性•值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式：f(x)dx = a f(x)dx ：f(x)dx成立，例如.当a<b<c 时.由于a f(x)dx = ：f(x)dx ：f(x)dx .于是有£ f (x)dx = a f (x)dx —j f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dx ,4如果在区间[a b]上f (x)三1则 fldx = f dx =b -a ,f(x)dx _0(a :b).1 如果在区间[a .b]上f (x) _g(x)则：f(x)dx E ：g(x)dx(a ：：b).这是因为g (x) -f (x) _0 .从而：g(x)dx-：f(x)dx =〕g(x)-f(x)]dx_O .性质性质 5 如果在区间［a b ］上f (x) -0 .则推论b ba f(x)dx z a g(x)dx ,推论 2 | :f(x)dx|/|f(x)|dx(a ：：：b), 这是因为 _|f (x)| <f (x) < |f (x)| .所以—j|f(x)|dxwff(x)dx 訂|f(x)|dx . bb|a f(x)dx^ a |f(x)|dx| .性质6设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a b ］上的最大值及最小值.则m(b —a)乞 a f (x)dx 兰M (b —a) (a<b),证明因为m_f (x)_M .所以 ,mdx 兰 j f (x)dx 兰 fM d x. 从而m(b -a)兰 f f (x)dx EM (b —a),性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a b ］上连续.则在积分区间［a.b ］上至少存在一个点'.使下式成立：：f(x)dx =f( )(b-a).这个公式叫做积分中值公式证明由性质6各项除以b£得m 兰-^ f f(x)dxEM . b -a a再由连续函数的介值定理 .在［a b ］上至少存在一点•.使 f ( )— ?f(x)dx . b —a a于是两端乘以b£得中值公式积分中值公式的几何解释：应注意：不论a<b 还是a>b .积分中值公式都成立所以 m(b -a门：f(x)dxEM (b -a).§5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动.在t时刻所经过的路程为S(t).速度为v=v(t)=S(t)(v(t)_O).则在时间间隔［「T2］内物体所经过的路程S可表示为S(T2) -S(T I)及；2v(t)dt .即Jv(t)dt =S(T2)-S(T I).T1上式表明.速度函数v(t)在区间［T1 T2］上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间［T i T2］上的增量，这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间［a.b］上连续.并且设x为［a . b］上的一点■我们把函数f(x)在部分区间［a.x］上的定积分:f(x)dx称为积分上限的函数，它是区间［a b］上的函数.记为G(x)二：f (x)dx . 或:」(x)=：f(t)dt .定理1如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数G(x) = ：f(x)dx在［a b］上具有导数.并且它的导数为①(x)=亠f f (t)dt =f (x)(a致<b).dx a简要证明若x：=(a .b).取L X使x7x：=(a.b),=(x±ix) -(x) = f 址f (t)dt -ff (t)dt=ff (t)dt +『也f (t)dt _『f(t)dtx f(t)dt =f( ).x应用积分中值定理.有f()「x其中在x与x：=x之间..x—0时―x，于是)"(x)，⑴巳叫亍二叭"T m x f(若x=a .取二x>0 .则同理可证「(x)=f(a) •若x=b .取匚x<0 .则同理可证_(x) = f(b),定理2如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数"(X)=：f(x)dx就是f (x)在［a b］上的一个原函数，定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的.另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间［a b］上的一个原函数.则:f(x)dx=F(b)-F (a).此公式称为牛顿--莱布尼茨公式.也称为微积分基本公式，这是因为F(x)和①(x)=『f(t)dt都是f(x)的原函数.所以存在常数C .使F(x) -：：(x) V (C 为某一常数).由F(a)-「(a)=C 及::平a)=0 .得C=F(a) F(x)—G(x)二F(a).由F(b)—「(b)二F(a).得::」(b)丰(b)—F(a).即f(x)dx=F(b)-F(a),证明：已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数.又根据定理2 .积分上限函数G(x) = ：f(t)dt也是f(x)的一个原函数，于是有一常数 C.使F(x) -：：(x)£ (a^xJD).当x=a 时.有F(a)_G(a)=C. 而:」(a)=0 .所以C=F(a) .当x=b 时.F(b)_G(b) =F(a). 所以:•：」(b)扌(b)_F(a).即:f(x)dx=F(b)-F (a).为了方便起见.可把F(b) -F(a)记成[F(x)]b .于是:f(x)dx=[F(x)]b,=F(b)-F(a).进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1.计算0x2dx .解：由于1x3是x2的一个原函数.所以3fx2dx =[-x3]0=113-103=-,0 3 0 3 3 3#3 dx例2计算.d -d?，解由于arctan x是的一个原函数.所以％ =[arctanx]< =arctani 3—arctan(-1) =-3 -(例3.计算gdx .解：1dx =[ln | x|] ：2 斗n 1 Tn 2 =Tn 2 .■^x例4.计算正弦曲线y=sin x在[0 .二]上与x轴所围成的平面图形的面积解：这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积A = 0 sin xdx =[ -cosx]旷亠(一1) -(一1) =2 “例5.汽车以每小时36km速度行驶.到某处需要减速停车设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车问从开始刹车到停车.汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间：1当t=0时.汽车速度v o -36km/h m/s=10m/s , 3600刹车后t 时刻汽车的速度为v(t)二v o at =10-5t .当汽车停止时.速度v(t) =0 .从v(t)二10-5t £得.t =2(s),于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为s 二:v(t)dt = ：(10 -5t)dt 半0t -5 lt 2]0=10(m).即在刹车后.汽车需走过10m 才能停住.例6.设f(x)在［0,-：)内连续且f(x)>0，证明函数F(x)二在(0 .；)内为单调增加函数证明：dx 0X tf(t)dt =xf(x )堆 0X f(t)dt =f(x ).故, xf(x )0 f(t)dt —f(x )0tf(t)dt f(x )0(x —t)f(t)dt F (x)=按假设.当 0do 时 f(t)>0.(x-t)f (t)>0 .所以；f(t)dt 0 • ；(x —t)f(t)dt 0 .从而F (x)>0 (x>0).这就证明了 F (x)在(0 .：：)内为单调增加函数叢广丹琵％0sx)吧①(u)裳4 (-si nx)7nx"：tf (t)dt :f(t)dt (0x f(t)dt)2 (: f(t)dt)2 例7.求lime x "dt osx解：这是一个零比零型未定式由罗必达法则.lim x )0 dt os ^ lim x 2 x 「0 cosx 2 2 -1 e dt sin xe "os x —1 ----------- =lim x 0 x 2 2x _2e提示设①(x)=fe*dt 则①(cosx)=『^e 4-2 dt§5,3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间［a b］上连续.函数x=「(t)满足条件：⑴(:)a .(2) ：(t)在［:•.-］(或［「:］)上具有连续导数.且其值域不越出［a b］.则有:f(x)dx 二「f［「⑴］：(t)dt .这个公式叫做定积分的换元公式，证明由假设知f(x)在区间［a b］上是连续.因而是可积的f ［「⑴］「(t)在区间［:•「］(或「.:］)上也是连续的.因而是可积的.假设F(x)是f (x)的一个原函数.则:f(x)dx 二F(b)-F(a).另-方面.因为｛F[ (t)]｝丰[(t)] (t)二 f [ (t)] (t).所以F[ (t)]是 f [ ：(t)] (t)的一个原函数.一从而...f[ (t)b (t)dt =F[ f-)] -F[ G )]二F(b)-F(a).因此:f(x)dx=「f[ (t)]「(t)dt .例 1 计算l^a2-x2dx (a>0),解0、a2 _x2dx " ”叭 jacost acostdt二a202 cos2tdt =号02(1 cos2t)dta2“ 1 2 1 2^[t in 2t]o =4「a提示、、a2 _x2 = , a2 _a2sin2t =acost dx=a cos t 当x=0 时t=0当x=a时例 2 计算02 cos5xsinxdx ,解令t =cos x .则2 5252 cos5 xsin xdx - - 02 cos5 xd cosx令cosxzz t提示或当xn时t"当x=2时H5 52 cos5xsin xdx 2 cos5 xd cosx--[—cos6x]|? - -Icos6-cos6^-,6 0 6 2 6 6例 3 计算0 lsin3x -sin5xdx ,3T f ------------------------解0in3x -sin5 xdx =3'sin2 x|cosx|dx •二 3 -■ 3=02 sin2 xcosxdx - .二sin2 xcosxdx2二2 sin2 xdsin x- -sin2 xd sinx22 5' 2 5-n 2二[fsin2x]0 卡sin2x]?£*-(-2)5 0 5 2 5 5提示、、sin3x -sin5x psin3x(1 -sin2 x)二sin。

Ch 5- 1 名词性从句的翻译

Subject Clause
• Type 1: that, what, when, where, who, whose, which, whether + subject + predicate ——顺序译出
• Ex.1. What the students find
most difficult in English is its idiomatic usage. 学生感到英语最困难的地方是它的习惯用法。
•26.Raw
what we are badly in need of. • 我们急需的是原料。
material
is
Appositive Clause
• Technique 1: translate according to the original order ——顺序译出 • Technique 2: in inverted order, ie. Put it ahead of the main clause. ——提前主句用复指 • Technique 3: add some words or punctuation. ——加词或标点符号 • Technique 4: translate it as an attribute——译为定语
• 为什么爱因斯坦的学说最后震撼了整个科学界和思想界，这对大多数人是难以解释清楚的。
• 12. She was never satisfied with what she had achieved. • 她从不满足于她取得的成就。 • 13. I have not made up my mind as to what elective course I am to take net term. • 我还有决定下学期上哪些选修课。

Ch5常微分方程的数值解法

Ch5. 常微分方程数值解法§1. 引言1. 问题的提出假设一阶微分方程初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 中的(),f x y 关于y 满足Lipschitz条件，即存在常数L ，使得()()1212,,f x y f x y L y y -≤-，则由常微分方程理论知，初值问题有唯一解。

除了一些特殊类型的方程外，许多微分方程都没有解析解。

2. 数值解法的基本思想——离散化计算解)(x y 在离散点 ,,,,10n x x x 上值)(i x y 的近似值i y ，ih x x i +=0。

3. 几个基本概念(1) 单步法与多步法若计算1i y +时只用到i y ，则称这种方法为单步法，如()1,i i i i y y hf x y +=+；若计算1i y +时需用到()1,,,1i i i k y y y k --≥，则称这种方法为多步法。

(2) 显式与隐式若1i y +可以直接用1,,,i i i k y y y --表示，则称此计算公式为显式，否则称之为隐式。

§2. Euler 方法1. Euler 公式将),(y x f y ='在[]1,+n n x x 上积分，⎰+=-+1))(,()()(1n nx x n n dx x y x f x y x y ，得⎰+=≈-+1))(,(1n nx x n n I dx x y x f y y ，用数值积分法求I 。

(1) ()n n y x hf I ,=，得()n n n n y x hf y y ,1+=+。

Euler 公式(2) ()11,++=n n y x hf I ，得()111,++++=n n n n y x hf y y 。

后退的Euler 公式 (3) ()()[]11,,2+++=n n n n y x f y x f hI ，得()()[]111,,2+++++=n n n n n n y x f y x f hy y 。

板壳力学ch5-大挠度理论

Mar.2012
板壳结构
68-23
TONGJI University
平板理论
E E Ez 2 w 2w ( ( yz ) yz ) x( z ) x 2 2 2 y 2 2 1 1 1 y x Ez 2 w 2w y 2 2 2 1 y x Ez y K Kx 2 y 1
§5.1 基本假定
1) 板单元的荷载与内力平板理论
Mar.2012
板壳结构
68-2
2) 基本假定平板理论尺寸相比较，仍为小量；
TONGJI University
(1) 板的挠度 w 与板厚 t 为同一数量级，但与板的平面
(2) 与挠度 w 相比较，中面位移 u、v 是很小的量；
(3) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂
2
由此长度变化产生的应变为
ds3 dx 1 w x dx 2 x
2
Mar.2012
板壳结构
68-12
TONGJI University ② 微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4 平板理论
1 w 2 w 2 ds4 A2C2 dy dy 1 dy y 2 y
板壳结构
68-11
TONGJI University ① 微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3 平板理论
1 w 2 w 2 ds3 A2 B2 dx dx 1 dx x 2 x

2
dx 2 w dx x

北邮随机信号答案ch5

怎样的条件才能使
Z (t ) =
∑A e ω
j k =1 k
n
kt
是一个复平稳随机过程。 5.7 设有复随机过程
Z (t ) = ∑ (α i cos ω i t + jβ sin ω i t )
i =1
n
其中 α i 与 β k 是相互独立的随机变量， α i 与 α k 、 β i 与 β k (i ≠ k ) 是相互正交的，数学期望和方差分别为 E[α i ] = E[ β i ] =0, 解：
πτ
= R0 (τ ) cos ω0τ
ˆ (τ ) = R (τ ) sin ω τ 是一个低频信号，所以 R n 0 0 πτ ˆ (τ ) sin ω τ = R (τ ) 所以 Rn (τ ) = Rn (τ ) = Rn (τ ) cos ω0τ + R n 0 0
由于 R0 (τ ) =
c s
=
1 2π
∫
∞
−∞
[2 X (ω − ω ′)U (ω − ω ′)][2 X (ω ′)U (ω ′)]d ω ′
Ω Ω ⎧ ω0 − ≤ ω ′ ≤ ω0 + ⎪ Ω Ω ⎪ 2 2 时亦不由于有 ω0 − ≤ ω ≤ ω0 + 时 X (ω ) 不为零，因此有 ⎨ 2 2 ⎪ω − Ω ≤ ω − ω ′ ≤ ω + Ω 0 0 ⎪ 2 2 ⎩
5.2 设 A(t ) 与 ϕ(t ) 为低频信号，证明 (1) H [ A(t ) cos[ω 0 t + ϕ (t )] = A(t ) sin[ω 0 t + ϕ (t )] (2) H [ A(t ) sin[ω 0 t + ϕ (t )] = − A(t ) cos[ω 0 t + ϕ (t )]

Ch5常微分方程数值解法

除了一些特殊类型的方程外，许多微分方程都没有解析解。

2. 数值解法的基本思想——离散化计算解)(x y 在离散点 ,,,,10n x x x 上值)(i x y 的近似值i y ，ih x x i +=0。

(2) 显式与隐式若1i y +可以直接用1,,,i i i k y y y --表示，则称此计算公式为显式，否则称之为隐式。

(1) ()n n y x hf I ,=，得()n n n n y x hf y y ,1+=+。

Euler 公式(2) ()11,++=n n y x hf I ，得()111,++++=n n n n y x hf y y 。

后退的Euler 公式 (3) ()()[]11,,2+++=n n n n y x f y x f hI ，得()()[]111,,2+++++=n n n n n n y x f y x f hy y 。

ch5-1-1依概率收敛与大数定律

某种意义下
⃪
(1 + 2 + ⋯ + )
=

() = ()
依概率收敛与大数定律
大数定律的定义
一类收敛现象
1，2， ⋯ ， ⋯为一随机变量序列，常常有

1
෍

→ ∞ 在某种意义下收敛
=1
随机变量序列在某些意义下的收敛规律，习惯称之为大数定律
依概率收敛与大数定律

⋯
1

普通数列收敛时，当项数充分大，必然落入小区间，依概率收敛
时，无论项数多大，都有落到小区间以外的可能性.
依概率收敛与大数定律
伯努利(Bernoulli)大数定律
为重伯努利试验中发生的次数，且() = ，则对∀ > 0，有
→∞

−| <

ε) = 1
(1 + 2 + ⋯ + )
Lim (|ത −E(ത )| < ε) = 1
→∞1来自.ത = ෍
⃪
=1
或
依概率收敛与大数定律
几个著名的大数定律
名称
结论

1
(෍ ) = 0
→∞ 2
ഥn-E(X
ഥn)|﹤ Ɛ )=1
Lim P (|X
n ∞
Cov(Xi, Xj)=0，i≠j，
且D(Xn)<C（有界）
=

概率的频率解释：频率

或

⃪
Lim (|
() = ( )
依概率收敛于真实概率.
依概率收敛与大数定律
切比雪夫大数定律
若随机变量序列1, 2 , ⋯ , , ⋯相互独立，且() = , () = 2

ch5-图灵机1教程

图灵机接受的语言
L(M) = {ω │ω ∈T*且q0ω ├* α
1
p α
2
,p∈F, α 1α 2∈∑*}
图灵机接受的语言是输入字母表中这样一些字符串的集合，初始时，这些字符串放在M的带上，M处于状态q0，且M的带头处在最左单元上，这些字符串将使M进入某个终止状态。假定：
当输入被接受时，图灵机将停止，没有下一个动作。
（1）当在搜寻b时，M找到了空白符B，则M停止，不接受该串。
（此时，a的个数大于b的个数）（2）当将b改为y后，左边再也找不到a，此时,若右边再无b，接受；若仍有b，则b的个数大于a的个数，不接受。
School of Computer Science & Technology, BUPT 10
School of Computer Science & Technology, BUPT
L 0/1 1/1 q2 B/B q4 B/0 L 0/0,1/B
16
1/1 R
例4：L= 0

m
m=2n, n 0
设计思路：对输入串w 1. 从左到右扫描带，隔一个消一个0； 2．若带上只剩唯一一个0,接受； 3．若带上不止一个0,且个数为奇数，拒绝； 4．让读写头返回带的最左端； 5. 转第一步。
School of Computer Science & Technology, BUPT 9
图灵机举例
例1：设语言 L={an bn│n>=1}，设计图灵机接受L 。
思路：最初带上为
a a … a
n个a
b b… b B B B ……
n个b
首先用x替换M最左边的a，再右移至最左边的b用y替换之，左移寻找最右的x，然后右移一单元到最左的a，重复循环。如果

ch5习题

1、有6个方案的数据如下，设定资金限额为30万元，基准折现率为10%，寿命为5年，现已知A1A2互斥，B1B2互斥，C1C2互斥，B1B2从属于A1，C1从属于A2，C2从属于B1，试选择最优的投资组合方案。

单位：万元
2、有四个独立方案，数据如下，预算资金为30万元，寿命均为8年，折现率为12%，应
单位：万元
选择那些方案？
3、为修建某河大桥，经考虑有A、B两处可供选点，在A地建桥投资为1200万元，年维修费2万元，水泥桥面每10年翻修一次需5万元，在B地建桥投资为1100万元，年维修费8万元，该桥每3年粉刷一次需3万元，每10年翻修一次需4万元，若利率10%，试比较哪个方案较优？
4、某施工机械有两种不同型号，其有关数据如下，利率为10%，购买那种型号的机械比
单位：元
较经济？
5、已知方案A、B、C的有关资料如下，基准折现率为15%，分别用净现值法和内部收益率法对三个方案择优。

单位：万元
6、建一个临时仓库需8000元，一旦拆除即毫无价值，假定仓库每年净收益为1360元：
（1）使用8年时的IRR？
（2）若希望得到10%的收益率，则该仓库至少使用多少年才值得投资？。

Ch5[1].3微生物降解速率

（2））
假定酶促反映体系处于动态平衡（稳态平衡）假定酶促反映体系处于动态平衡（稳态平衡）
{[E]0 − [ES]}⋅ [S] = (k2 + k3 )[ES] / k1
令 K = (k + k ) / k m 2 3 1
{[E]0 −[ES]}⋅[S] = Km[ES]
(Km + [S])[ES] = [E]0 ⋅ [S]
dL − = kL ⇒ dt
dL ∫ L = ∫ − kdt ⇒ 0 L0
Lt t
dL = − kdt ⇒ L
Lt = L0 e
− kt
其中：瞬时耗氧有机物质在水中的浓度（其中：Lt——t瞬时耗氧有机物质在水中的浓度（BOD) 瞬时耗氧有机物质在水中的浓度 L0——耗氧有机物质在水中的起始浓度（BOD) 耗氧有机物质在水中的起始浓度（耗氧有机物质在水中的起始浓度 K——耗氧有机物质的微生物降解速率常数日-1) 耗氧有机物质的微生物降解速率常数(日耗氧有机物质的微生物降解速率常数
2)影响酶促反应速率的因素影响酶促反应速率的因素 •pH值值
最适pH值：5-8 最适值
•温度温度
最适温度：最适温度：35-50℃ ℃
• 抑制剂
能减小或消除酶活性，能减小或消除酶活性，而使酶的反应速率变慢或停止的物质 1）不可逆抑制剂：以比较牢固的共价键同酶结合，不能）不可逆抑制剂：以比较牢固的共价键同酶结合，用渗析、超滤等物理方法来恢复酶活性的抑制剂。用渗析、超滤等物理方法来恢复酶活性的抑制剂。所起的作用称为不可逆抑制作用
e) 1/v的表达式：的表达式：的表达式有抑制无抑制：
斜率增加,截距不变。斜率增加截距不变。截距不变

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第五章积分§5.1. 可测函数的积分5.1.1．非负简单函数的积分定义5.1.1．设X (, A , )μ 是测度空间，∑==n1i )()(i E x x fi χα 是X 上的非负简单函数，n E E , ,1 两两不交，n1i E ==i X ．定义f 在∈E A 上的积分为∑⎰==n1i )(i i EE E d f μαμ．若+∞<⎰Ed f μ ，称f 在E 上可积．例：Dirichlet 函数 ⎩⎨⎧== ]1 ,0[ x ,0 ]1 ,0[ x,1)()(]1 ,0[中无理数为中有理数为x x D Q χ，则0) ]1 ,0[(1D(x)d ]1 ,0[=⨯=⎰Q m m ．定理5.1.1．设g f 、均为X (, A , )μ上的非负简单函数，∈E A ． (1) 若 ) E (x ),()(∈=x g x f ，则 ⎰⎰=EEd g d f μμ ；(2) ) ) ,0[,( , ) (∞+∈+=+⎰⎰⎰βαμβμαμβαEEEd g d f d g f ；(3)⎰⎰⋅=XE Ed f d f μχμ ．证：(1)设∑==n1i i A if χα，∑==m1j j B jgχβ．n A A ,,1 两两不交，m B B , ,1 两两不交，X j i ==== m1jn 1iBA ．j i j i x g B A E x βαφ=⇒=≠∈ )(f(x) ), ( )( )( )( j i i j j i A B E B A E μβμα=⇒；而当φ= j i B A E 上式显然成立．于是∑∑∑⎰=====n 1 1i n 1i )( )( i mj j i i i EB A E A E d f μαμαμ⎰∑∑∑======Emj j j ni i j d g B E A B E μμβμβ )()( 1j m1 1j ．(2) 略． (3) 记E i A E E i A E f h i c i χχαχχα⋅==⋅+=∑∑==n1i n 1i 0 ，于是⎰⎰=⋅XXE hd d f μμχ ∑⎰∑====⋅+=n1i n1i )( )(0)(i Ei c i i d f A E E A E μμαμμα ．5.1.2．非负可测函数的积分定义5.1.2．设X (, A , )μ 是测度空间，f 是X 上的非负可测函数．记ϕϕϕ ,0 {f f ≤≤=Φ为简单函数}．定义f 在∈E A 上的积分为{}f sup Φ∈=⎰⎰ϕμϕμEEd d f ．若 +∞<⎰Ed f μ ，称f 在E 上可积．注：01．00≥⇒≥⎰Ed f f μ；02．若0)(=E μ，则0 ⎰=Ed f μ；03．若 )( ,)(E x x f ∈+∞=，则)()( E d f Eμμ⋅+∞=⎰．定理5.1. 2．设g f 、均为X (, A , )μ上的非负可测函数． (1) 积分单调性：g f ≤ ⎰⎰≤⇒EEd g d f μμ； (2) ⎰⎰≤⇒⊂BAd f d f B A μμ ；(3) f 在E 上可积 f ⇒在E 上a.e. 有限．证：(1) g g f Φ⊂Φ∴≤f ,，故 ⎰⎰⎰⎰=≤=Φ∈Φ∈EEEE d g d d d f g f μμϕμϕμϕϕ sup sup．(2) B A ⊂，若0n1 i ≥=∑=i E iχαϕ，有 ⎰Ad μϕ ∑⎰∑===≤=n1i n1 i )( )(i B i i i d E B E A μϕμαμα ．于是⎰⎰⎰⎰=≤=Φ∈Φ∈BBAAd f d d d f ffμμϕμϕμϕϕ sup sup．(3) 记 ) (0+∞==f E E ，0c 0E E )(0h χχ⋅+∞+⋅=，则f h ≤≤0，有)()()(0)()(000E E E E cμμμ⋅+∞+⋅=⋅+∞+∞<≤=⎰⎰EE d f d h μμ ．所以 0)(0=E μ， f 在E 上a.e. 有限． (63P 书上错)定理5.1.3．(Levi 定理) 设}{n f 为 X (, A , )μ上的非负可测函数列， ) 3, 2, 1,n ( ,1 =≤+n n f f ，则⎰⎰∈=∞+→∞+→En En d f d f E ( , )lim ( lim n n μμA )．证：记) X (x ),(lim f (x)n ∈=+∞→x f n ，则 f(x)是X 上的非负可测函数，且) N n ( f,1∈≤≤+n n f f ．于是⎰⎰⎰≤≤+E E n En d f d f d f μμμ 1． ⎰⎰≤=∴+∞→∆EE n d f d f μμα lim n ．另一方面，) N (n ),(E 1), (0,c n f ∈≥=∈Φ∈∀ϕϕc f E n 令及．注意到 )(E ϕc f E ≥=，于是 n E ↗E ．记∑==m1k k Akχαϕ，n A A , ,1 两两不交，则有⎰⎰⎰≥≥nnEE n E n d d f d f μϕμμ c ∑==m1k )( k k n A E c μα．上式两边令+∞→n ，由 )(k n A E ↗) m k (1 ),(≤≤k A E ，得 0 )( m1k k ≥=≥⎰∑=Ek d c A E c μϕμαα ．由 )1 ,0(∈c 的任意性知 ⎰≥E d μϕα ；又由 f Φ∈ϕ 的任意性得 ⎰≥Ed f μα ．故 ⎰=E d f μα ．注：若0≥f 在X 上可测，则存在非减的非负简单函数列n n ϕϕ },{↗) X x ( ,∈f ．由Levi 定理，有∈=⎰⎰+∞→E ( , lim En n Ed d f μϕμA )．推论．设g f 、均为X 上的非负可测函数，∈E A ．则： (1) ⎰⎰⎰+=+E EEd g d f d g f μμμ )(； (2)) ) ,0[ ( , c ∞+∈=⎰⎰c d f c d f EEμμ；(3)⎰⎰⋅=XE Ed f d f μχμ ． (利用非减的非负简单函数列逼近g f 、，证略)．定理5.1.4．(Lebesgue 逐项积分定理) 设}{n f 为X (, A , )μ上的非负可测函数列，则∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰⎰∑+∞=+∞=E ( , 1 n 1 n E n E n d f d f μμA )．证：记 ) N (k ,)((x)g 1k ∈=∑=kn nx f，则}{g k 是X 上非减的非负可测函数列．由Levi 定理，有μμμμμμd f d f d f d g d g d f E n k E n k E k n k E k k E k k E n ∑⎰∑⎰⎰∑⎰⎰⎰∑+∞==+∞→=+∞→+∞→+∞→+∞===⎪⎭⎫⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛1 n 1 n 1 n 1 n lim lim lim )lim ( ．推论1．设f 为X 上的非负可测函数，}{n E 两两不交、可测，记 +∞==1n n E E ，则μμd f d f nE E∑⎰⎰+∞==1n ．证：∑+∞==1 n E E n χχ，故 μμχμχμχμd f d f d f d f d f n n n E E X X E X E E ∑⎰∑⎰⎰∑⎰⎰+∞=+∞=+∞===⎪⎭⎫⎝⎛==1 n 1 n 1 n ．推论2．设g f 、在X 上非负可测，)( .. )(x g e a x f 于E ，则 ⎰⎰=EEd g d f μμ ．证：记 0)(E .\E ), g (0010==≠=μ　则E E f E E ．由推论1得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+===+=EE E E E E E Ed g d g d g d g d f d f d f d f μμμμμμμμ 1111．推论3．设f 为X 上的非负可测函数，则0 a.e. f (x) 0 ⇔=⎰Ed f μ 于E ．证：由推论2得充分性．下证必要性．令 ) 3, 2, 1,n ( , n 1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛>=f E E n ．据Th5.1.2 (1), (2)，得) N n ( ,0 1)(10∈=≤≤=⋅≤⎰⎰⎰E E E n d f d f d n E nn n μμμμ．于是 0)(=n E μ．而 +∞==>=≠1 n E )0()0(n f E f E 知 0)]0([ =>f E μ．定理5.1.5．(Fatou 引理) 设}{n f 为 X (, A , )μ上的非负可测函数列，则∈≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰+∞→+∞→(E , lim lim n n E nE n d f d f μμA )．证：令 }{g ), N n ( ,inf n 则∈=≥k nk n f g 是X 上非减的非负可测函数列，且 ) 3, 2, 1,n ( ),()(0 =≤≤x f x g n n ，) X x ( ),(lim )(lim ∈=+∞→+∞→x f x g n n n n ．由Levi 定理得：μμμμμd f d g d g d g d f E n n E n n E n n E n n E n n ⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→≤===⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim lim )lim (lim ．注：取Lebesgue 测度空间1] [0,X ), , ,(=m L X ．令 1] [0, x ),()(]n1 ,0[∈⋅=x n x f n χ．则dm x f dm dm x fXn n XXnn ⎰⎰⎰+∞→+∞→=<==)(lim 10 0 )](lim [． (说明Fatou 引理中不等式不能改成等式)5.1.3．一般可测函数的积分定义5.1.3．设X (, A , )μ 是测度空间，f 在∈E A 上可测，-+-=f f f ．若 μd f E+⎰与μd f E-⎰ 中至少有一个有限，定义f 在E 上的积分为μμμd f d f d f EEE-+⎰⎰⎰-=，（积分存在）．当μd f E+⎰与μd f E-⎰同时有限，称f 在E 上可积．关于∈E A 可积的函数全体记为 )(E L ．性质5.1.6．以下函数都是X (, A , )μ上的可测函数． (1) 若μd f E ⎰存在，则⎰⎰=XE Ed f d f μχμ ；(2) 若μd f E⎰存在，则对 R c ∈∀ 有 ⎰⎰=EEd f c d f c μμ ；(3) 若0)(=E μ，则0 =⎰Ed f μ；(4) 若μd f X⎰存在（或有限），则 ∈∀E A ，积分 ⎰Ed f μ 存在（或有限）；(5) 设μd f E⎰存在，}{E ,E n 1n +∞==n E 两两不交，则∑⎰⎰+∞==1n E End f d f μμ；(6) 若 E a.e. ),()(于　x g x f ≤，μd f E⎰ 与μd g E ⎰ 均存在，则⎰⎰≤EEgd d f μμ ；(7) 若 E )( a.e. )(于x g x f ，μd f E ⎰ 存在，则⎰⎰EEd f gd μμ 存在；(8) )( )(E L f E L f ∈⇔∈，且μμd f d f EE⎰⎰≤；(9) 若 E a.e. ,)()(于　x g x f ≤，且 )(f )(E L E L g ∈⇒∈； (10) E a.e. , )(于+∞<⇒∈f E L f ；(11) )() ( , ),(E L g f R E L g f ∈+⇒∈∈βαβα、，且 μβμαμβαd g d f d g f EEE⎰⎰⎰+=+) (；(12) ∈∀E A 有X 0, .. f (x) 0于e a d f E⇒=⎰μ；(13) （积分的绝对连续性）若)(E L f ∈，则 0 0, >∃>∀δε，对任一可测子集E E ⊂0，只要 δμ<)(0E ，就有εμμ⎰⎰<≤0E E d f d f ．选证：(5)．-+-=f f f ．据Lebesgue 逐项积分定理之推论1，∑⎰⎰+∞=++=1n E End f d f μμ，∑⎰⎰+∞=--=1n E End f d f μμ．因⎰Ed f μ 存在，故上述两式右端的正项级数至少有一个有限，得⎰⎰⎰-+-=EEEd f d f d f μμμ ∑⎰∑⎰⎰∑⎰∑⎰+∞=+∞=-++∞=-+∞=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1 1 11n E n E E n E n E n nn nnd f d f d f d f d f μμμμμ．(8) f f ⇒可测可测．且)(E L f ∈+∞<+∞<⇔⎰⎰-+μμd f d f E E ,μμμd f f d f d f EEE⎰⎰⎰-+-++=+⇔)( )(f E L d f E∈⇔+∞<=⎰μ．此外，) X (x ,)()()(∈≤≤-x f x f x f ，得 μμμμd f d f d f d f EEEE⎰⎰⎰⎰≤≤-=-)(，即μμd f d f EE⎰⎰≤．(12) 取X E =，得L(X)f L(X)f 0∈⇒∈=⎰知μd f X．记 ∈∞+=-c 1E E, ), ] ,0((则f E A ，从而0)(=-=-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰μμμμμμμd f d f d f d f d f d f d f c c c EE E E E E XX 0, .. f(x) 于e a ⇒．(Th5.1.4 推论3 ) (13) 首先)(f E L ∈，即f 0, .Φ∈∃>∀+∞<⎰ϕεμd f E，使2εμϕμμϕ+<≤⎰⎰⎰d d f d EEE．ϕ是X 上的非负简单函数，有界：+∞<≤≤c x )(0ϕ．取∀= ,2则cεδ可测集E E ⊂0，只要δμ<)(0E ，就有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=≤0000000)( E E E E E E E d d f d d d f d f d f μϕμϕμϕμϕμμμεεεμεμϕμϕ=+=⋅+<+-≤⎰⎰22)(2)(00E c d d f E E．定理5.1.7．(Lebesgue 控制收敛定理) 设}{n f 是∈E A 上的可测函数列，若存在E 上的可积函数g （称为}{n f 的控制函数），使得 ) N (n E, a.e. ),()(∈≤于x g x f n ．则 E)(lim E),(lim n n L f L f n n ∈∈+∞→+∞→，且()μμμμd f d f d f d f E n n E n n E n n E n n lim lim lim lim ⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞→+∞→≤≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛． (*) 特别地，若 E ..于f f e a n −→− 或E 于f f n −→−μ，则 E)(L f ∈，且0 lim =-⎰+∞→μd f f En n ．从而，μμd f d f EEn n ⎰⎰=+∞→lim ．证：所有函数均可测，且E a.e. ),()(lim ),()(lim n n 于x g x f x g x f n n ≤≤+∞→+∞→E)(lim E),(lim n n L f L f n n ∈∈⇒+∞→+∞→，E)(L f n ∈．)f (n ±g 在E 上非负可测，由Fatou 引理得μμd f g d f g En n E n n ⎰⎰±≤±+∞→+∞→)(lim )(lim ，即()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞→+∞→μμμμμμμμd f d g d f d g d f d g d f d g E n n E E n n EE n n E E n n Elim lim lim lim ，移项后即得(*)式．若 L(E)f ),()( ),()(lim ∈≤=+∞→x g x f x f x f n n 则．注意到 g f 2f n ≤-，0)()(lim =-+∞→x f x f n n ，由(*)式得： 0lim lim0=-≤-≤⎰⎰+∞→+∞→E n n En n d f f d f f μμ．得 0 lim=-⎰+∞→μd f f En n ．若ff n −→−μ，记μαd f f En n ⎰-=+∞→∆lim ，存在子列}{kn f 使 αμ=-⎰+∞→d f f En k k lim．而 f f k n −→−μ，由Riesz 定理，存在}{k n f 的子列（不妨仍记为）ff kn →．由已证结论有0 lim =-=⎰+∞→μαd f f En k k．例．设 ) 3, 2, 1,n ( ,21 ,21x ,)(1n n =⎥⎦⎤ ⎝⎛∈=-n x f ，求⎰]1 ,0()(dm x f ．解：+∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛11n n 21 ,21是(0, 1] 的一个分划，由66P 推论1，有∑∑⎰⎰+∞=+∞=⎥⎦⎤⎝⎛==-11 21 ,21]1 ,0(2)()(1n n n n n dm x f dm x f n2)1(1 1 221 1 1 21 11 21 1 =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====∞+==-∞+==∞+=∑∑∑x x x n n x n n x n n x x x x x x x x n x x n ．§5.2. Lebesgue 积分与Riemann 积分本节中，)(R L 表示R 上Lebesgue 可积函数全体；] ,[b a R 表示] ,[b a 上Riemann 可积函数全体．定理5.2.1．若0 ),(>∀∈ε则R L f ，存在具有紧支集的 )(R C g ∈(R 上连续函数全体)，满足 ε<-⎰dm g f R．证：分三步逼近．0 >∀ε．f R L f →∈-n) n,( f ),( χ ，由Lebesgue 控制收敛定理，) ,(E n n n -=∃，使 3εχ<⋅-⎰dm f f RE n ．对于n E f χ⋅，根据积分的定义，存在简单函数ϕ使3εϕχ<-⋅⎰dm f RE n ，+∞<≤⊂c (x) ,E }supp{n ϕϕ．对于ϕ，根据58P 鲁金定理及其推论、Lebesgue 控制收敛定理，存在具有紧支集的)(R C g ∈，1+⋅≤n E c g χ，使3εϕ<-⎰dm g R．这样，εεεεϕϕχχ=++<-+-⋅+⋅-≤-⎰⎰⎰⎰333dm g dm f dm f f dm g f RRE RE Rn n ．推论．设)(R L f ∈，则存在R 上具有紧支集的连续函数列}{n g ，使0lim =-⎰+∞→dm g f Rn n ．定理5.2.2．设)(R L f ∈，则存在R 上具有紧支集的阶梯函数列}{n ϕ，满足： (1) R a.e. ),()(lim 于x f x n n =+∞→ϕ； (2)0lim =-⎰+∞→dm f Rn n ϕ．证：据前一定理，0 >∀ε，存在R 上具有紧支集 ] ,[}{sup b a g p ⊂ 的连续函数g ，使2ε<-⎰dm g f R．g 在] ,[b a 上一致连续，存在R 上的阶梯函数ϕ，使 R)(x ,)(2(x)g(x) ] ,[}{sup ∈-<-⊂a b b a p εϕϕ且，．从而，εϕϕϕ<-+-=-+-≤-⎰⎰⎰⎰⎰dm g dm g f dm g dm g f dm f b a RRRR],[．得(2)．现0 >∀σ，令 ()}{ ). N n ( , n ϕσϕ∈≥-=n n f R E 满足(2)．由于0)(11→-≤-≤⎰⎰--dm f dm f E m R n E n n nϕσϕσ，)(n +∞→．得 0)(lim =+∞→n n E m ，即R n 于f −→−μϕ．再由Riesz 定理，存在子列}{k n ϕ，使fkn →ϕ，a.e. 于R ．显然，}{k n ϕ同时满足(1)和(2)． (7776P ,P 书上错误)*定理5.2.3．(1) ] ,[ ] ,[b a L f b a R f ∈⇒∈，且⎰⎰=bab a dx x f dm f )( ],[；(2) 若] ,[b a B f ∈，则 a.e.m b] [a, f ] ,[-⇔∈上在b a R f 连续． (] ,[b a B 为] ,[b a 上有界函数全体)．证：设] ,[b a B f ∈，b] [a, x ,f(x) 0,M ∈+∞<≤>∃M 使．由R 积分中的Darboux 定理知，存在] ,[b a 上的一列分划}{k π，b k =<<<=(k)k (k)1(k)0n x x x a : π，) 3, 2, 1,k (=．1+k π是k π的加细，k nkj k 1}x {x max )((k)1j (k)j 1<-=-≤≤πλ,且 ⎰⎰==∞+→∞+→bak ak dx x f f L dx x f f U )() ;(lim , )() ;(lim k k ππ　． (这里) ;() ;(k k ππf L f U 与分别是Darboux 上和与小和)．记]} x ,[x x f(x){sup M (k)j (k)1j (k)j -∈=，]} x ,[x x f(x){inf m (k)j (k)1j (k)j -∈=．令 (k)j k M (x)=ψ，(k)j k m (x)=ϕ，] x ,(x x (k)j (k)1j -∈，) 3, ,2 ,1( ),k , ,2 ,1(n==k j ．于是， dm f U b a ⎰=],[k k ) ;(ψπ， dm f L b a ⎰=],[k k ) ;(ϕπ．1+k π是k π的加细，故 b] [a, x ,)()()()()(1221∈≤≤≤≤≤≤≤≤-M x x x f x x M ψψϕϕ ．记(x)lim (x)k ψψ+∞→=k ，b] [a, x (x),lim (x)k ∈=+∞→ϕϕk ．显然 b)x (a ),()()(≤≤≤≤x x f x ψϕ；且 ϕψ 与均为R上的有界可测函数，在] ,[b a 上L 可积．由Lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰===+∞→+∞→ab a k k k b a dx x f f U )() ;( lim dm lim dm ],[k ],[πψψ，⎰⎰⎰===+∞→+∞→bab a k k k b a dx x f f L )() ;( lim dm lim dm ],[k ],[πϕϕ．从而，⎰⎰=⇔∈ba b a dx x f dx x f b a R f )()( ] ,[ 0 dm )( dm dm ],[ ] ,[ ] ,[ ⎰⎰⎰=-⇔=⇔b a b a b a ϕψϕψb] [a, 0 a.e. )( 于ϕψ-⇔b] [a, a.e. 于ϕψ⇔．由此知，b] [a, a.e. 于ϕf ，而m 是完备测度，f 为] ,[b a 上有界L 可测函数，从而L 可积，且⎰⎰⎰⎰===bab ab a a dx x f dx x f dm dm f )()( ],[]b ,[ϕ．因f 有界是R 可积的必要条件，故 (1)得证．记 } 3, 2, 1,k ;k , ,1 ,0{n )( ===j x E k j ，则E 为零测集．若 )\] ,[ (E b a x ∈，则f 在点x 连续 )()( x x ψϕ=⇔．事实上，}k , 2, ,1{k N,k n j ∈∃∈∀唯一的，使 )(1k )(k )(1k j j j x ), x ,(x x k k k --∈且↗x ，)(k j x k ↘x ，)(k k jm (x)k =ϕ，)(k k jM (x)k =ψ．故 )()(lim lim )()(lim k k k k k k x t jjM m x f t f +∞→+∞→→=⇔= )(lim )(lim x x k k k k ψϕ+∞→+∞→=⇔)()( x x ψϕ=⇔．综上可推得：有界函数b] [a, 在f 上a.e.连续b] [a, )( a.e.)( 于x x ψϕ⇔ ] ,[ b a R f ∈⇔．Lebesgue 积分与Riemann 广义积分的关系： (1) 若0≥f ，则⎰⎰∞++∞=),[ )(a adm f dx x f ．事实上，⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞+++∞→++∞→++∞→+∞====),[ ),[ ]n a ,[],[ lim lim )(lim )(a a a n n a a n na an adm f dm f dm f dx x f dx x f χ(Levi 定理)． (2) 若⎰+∞adx x f )( 绝对收敛，则⎰⎰∞++∞=),[ )(a adm f dx x f ．事实上，必有+∞<⎰+∞±adx x f )(，于是⎰⎰⎰⎰∞+-∞+++∞-++∞-=-=),[) ,[ )]()([)(a a aadm f dm f dx x f x f dx x f⎰∞+=),[ a dm f ．(3) 若⎰+∞adx x f )( 条件收敛，则) [a, ∞+在f 上的L 积分不存在．事实上，⎰∞+±),[ a dm f +∞==⎰+∞±adx x f )(（至少有一个）．(4) 由于R 广义重积分收敛就是绝对收敛，从而若R 广义重积分收敛，则此积分必与相应的L 积分相等．例1．设P 是]1 ,0[中的Cantor 集(25P )，考虑 P χ．当 +∞==∈1 n G )\]1 ,0[ (n P x （开集），P P x χχ ,0)(=在x 点连续． P χ在]1 ,0[上的不连续点全体即为P ，而0)(=P m ，故P χ在]1 ,0[上R 可积，且0)()\]1 ,0([0)(1)(]1 ,0[P 1==⋅+⋅==⎰⎰P m P m P m dm dx x Pχχ．例2．设] ,[b a L f ∈，求证：dy dy dxda a ⎰⎰+=+]b ,[]b ,[y)f (y)cos(x y)f (y)sin(x （关于y 的L 积分）．证明：首先，] ,[)()sin(,)()()sin(b a L y f y x y f y f y x ∈+≤+．取定R x ∈，令 ) 3, 2, 1,n ( ,1)()sin(1sin )( =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫⎝⎛++=ny f y x n y x y f n ．由于 )()cos()( ,)()(y f y x y f y f y f n n +→≤，) n (+∞→，据Lebesgue 控制收敛定理知左边=+==⎰⎰+∞→dy y f y x dy y f b a b a n n ],[],[)()cos()(lim右边．第五章习题101P ，28．求极限： (1)dx ex n n ⎰-+∞→12lim ； (2) dx n x x nnn ⎰+∞+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+0 1 1lim ．解：(1) 记2)(x n n ex f -=．1] [0, x ,0)(f ), m 1], [0, L(1 ,1)(..n ∈−→−∈≤e a n x x f 且．据Lebesgue 控制收敛定理得dx ex n n ⎰-+∞→12lim 00d x 1==⎰．(2) 记 nnnn x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 1 1)(．当 ) 2n ( ,x 11x 1)(f ],1 ,0[n n ≥≤⋅=∈x x ；当 ) ,1(∞+∈x ，n⎪⎭⎫⎝⎛+≥n x 1 ,1 x n↗) n ( ,+∞→xe ．故 N ∈∃0n ，当 0n n ≥， x ne 21n x 1≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+．令 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∞+≤<=--1 x ,20x , 1x 0 ,)(1x e x x g ，则 ) m ), [0, L(∞+∈g ， ⎩⎨⎧=∞+>=→-0 x ,0 x ,)()(x n e x f x f ，) m ), [0, L(∞+∈f ． ) 2n ,n n (),()(0≥≥≤x g x f n ．据Lebesgue 控制收敛定理得：原式＝[]1)( )(lim 0=-===+∞-+∞-+∞+∞+∞→⎰⎰⎰x xnn edx e dx x f dx x f ．。