基于逆系统方法的非线性内模控制

第28卷　第5期2002年9月自　动　化　学　报A CTA AU TOM A T I CA S I N I CA V o l 128,N o 15Sep t .,2002　基于逆系统方法的非线性内模控制1)陈庆伟1 吕朝霞1 胡维礼1 吴宏鑫21(南京理工大学自动化系　南京　210094)2(北京控制工程研究所　北京　100080)(E 2m ail :qw chen @jlonline .com )摘　要　针对一类非线性连续系统,利用小波网络逼近原系统的Α阶积分逆系统,针对复合后的伪线性系统提出了基于逆系统方法的内模控制,证明了闭环系统的鲁棒稳定性,分析了系统性能.仿真结果表明所提的方法控制性能好,精度高,且控制器设计简单.关键词　非线性,逆系统方法,内模控制,鲁棒性,小波网络中图分类号　1)国家自然科学基金(60034010和60174019)资助收稿日期　2000208209 收修改稿日期　2000211229NONL INEAR INTERNAL MOD EL CONTR OL BASED ONINVERSE S Y STE M M ETHODCH EN Q ing 2W ei 1　LU Zhao 2X ia 1　HU W ei 2L i 1　W U Hong 2X in21(D ep a rt m en t of A u to m a tion ,N anj ing U n iversity of S cience and T echnology ,N anj ing 210094)2(B eij ing Institu te of Con trol E ng ineering ,B eij ing 100080)(E 2m ail :qw chen @jlonline .com )Abstract W avelet netw o rk s are used to app roxi m ate to the Α2integral inverse system of a class of nonlinear continuous system s .T hen the internal model contro l based on inverse system m ethod is p ropo sed fo r the com bined p seudo 2linear system .Stability and robustness of the clo sed 2loop system are p roved ,and its perfo rm ances are ana 2lyzed .Si m ulati on results show that the m ethod has better perfo rm ance ,h igh accuracy and si m p le design .Key words N onlinear ,inverse system m ethod ,I M C ,robustness ,w avelet netw o rk s 1　引言逆系统方法[1]作为一种直接的反馈线性化解耦控制方法,要求原系统及其逆系统的数学模型已知.由于非线性系统的复杂性,精确建模是困难的,求其逆模型则更难,这是逆系统方法在实际应用中的瓶颈之一.针对建模问题,一些学者提出了用神经网络建模的逆系统方法[2,3].但由于不可避免地存在建模误差,而逆系统方法对建模误差的鲁棒性是不尽人意的,这也在一定程度上限制了其在工程上的推广应用.本文用小波网络[4]逼近非线性系统的逆模型,较之神经网络建模有更多的优点[5],对存在非线性建模误差的伪线性系统引入内模控制[6].理论分析和仿真研究均表明,本文提出的基于逆系统方法的非线性内模控制,具有很强的鲁棒稳定性、很好的动态性能及很高的跟踪精度.2　基于逆系统方法的内模控制考虑由输入输出微分方程描述的S ISO 非线性连续系统2F (y (n ),y (n -1),…,y ,u (m ),u (m -1),…,u )=0,初值u(i )(t 0)=u (i )0,i =0,1,…,m -1y (j )(t 0)=y (j )0,j =0,1,…,n -1(1)上式中u ∈R u <R 为系统输入;y ∈R y <R 为输出;R u ,R y 为有界紧集;系统输入输出阶次分别为m 和n (m ≤n );F ( )是定义在R u ×R y 上关于各变量连续的非线性函数,且满足线性增长性条件,即存在正常数l i (1≤i ≤m +n )使下式成立F (x 1,…,x m +n ,t ) ≤∑m +ni =1l i x i(2)2.1　系统结构对式(1)描述的非线性系统,基于小波网络求得其Α阶积分逆系统,再与原系统复合成伪线性系统.对伪线性系统引入内模控制,系统结构如图1所示,其中内部模型为理想的Α阶积分环节,内模控制器为滤波器与模型逆的乘积,伪线性系统的输入为u ,输出为y 1,r 为系统的参考输入,d 为外界干扰,闭环系统的输出y =y 1+d .2.2　鲁棒稳定性研究引理1[7].对于满足假设(2)的系统(1),存在一组与输入输出及其导数相关的有界时变函数a i ,b j (1≤i ≤n ,0≤j ≤m ),使其可表示为时变线性系统A (s ,t )y =B (s ,t )u(3)这里A (s ,t )=s n +a 1(t )s n -1+…+a n -1(t )s +a n (t ),B (s ,t )=b 0s m +…+b m -1(t )s +b m (t )(4)其中a i ,b j 满足有界性条件q ≤L ,q =a i 或b j ,　L =∑m +n i =1li (5)617自 动 化 学 报　28卷在每一具体时刻,时变参数是确定的,从而系统(1)又可以等价为若干线性定常系统的组合.设图1中伪线性系统的传递函数为G (s ),内部模型为G m (s ),内模控制器为G c (s ).由于非线性建模误差的存在,G (s )可以看成是由若干线性定常系统组成的模型集合,在频域中可描述为0=G (j Ξ):G (j Ξ)2G m (j Ξ)G m (j Ξ)= l m (j Ξ) ≤l γm (6)其中l γm 为误差的上界.引理2.对于单位负反馈控制系统,具有建模误差的被控对象传递函数为G (s ),其模型为G m (s ),控制器传递函数为C (s ),则保证闭环系统稳定的充要条件为C (j Ξ)G m (j Ξ) l γm < 1+C (j Ξ)G m (j Ξ) ,ΠΞ(7)定理1.对于由图1所描述的内模控制系统,保证闭环系统稳定的充要条件为G c (j Ξ)G m (j Ξ) l γm <1,ΠΞ(8)证明.由图1可得内模控制系统的闭环传函为H (s )=G (s )G c (s )1+G c (s )(G (s )-G m (s ))(9)其等效开环传递函数为O (s )=H (s )1-H (s )=G (s )G c (s )1-G c (s )G m (s )(10)进而可得到等价的单位负反馈系统控制器的传函为C (s )=G c (s )1-G c (s )G m (s )(11)将上式代入式(7),得G c (j Ξ)G m (j Ξ)1-G c (j Ξ)G m (j Ξ)l γm <11-G c (j Ξ)G m (j Ξ),ΠΞ(12)显见可得式(8).证毕.在本文所研究的基于逆系统方法的内模控制结构中,内模控制器G c (s )=F (s )・G -1m (s ),代入式(8),有F (j Ξ)G -1m (j Ξ)G m (j Ξ) l γm = F (j Ξ) l γm <1,ΠΞ(13)由式(13)可见,对于一定的建模误差界l γm ,可以通过滤波器参数的选取,使式(13)成立,从而保证闭环系统稳定.3　逆系统方法3.1　Α阶积分逆系统设非线性系统2的动力学模型可用一个输入到输出的非线性映射算子Η表示为y =Ηu(14)若系统2满足可逆性条件,则其逆系统0可表示为u d =Ηλy d (15)7175期　陈庆伟等:基于逆系统方法的非线性内模控制式中y d 为可微函数,Ηλ为非线性逆映射算子,则称0为2的单位逆系统.单位逆系统常常是非正则的,难以工程实现.为此可构造下列Α阶积分逆系统0Α.设Υ(t )=y (Α)d(t ),算子ΗλΑ满足ΗΗλΑΥ=ΗΗλΑ(y (Α)d )=Ηu d =y d (16)则称0Α为原系统2的Α阶积分逆系统,和原系统复合后的伪线性系统为1 s Α.本文采用小波网络逼近一类非线性系统的Α阶积分逆系统.3.2　小波网络Α阶积分逆系统引理3.对H ilbert 空间任一连续平方可积函数f ,存在满足框架条件的小波函数族{Ωj ,k }j ,k ∈Z ,使得由小波函数作为隐层基函数的小波网络输出f ^=∑j ,k ∈Z w j ,k Ωj ,k 可以任意精度逼近f ,即对ΠΕ>0,有‖f -f ^‖<Ε.引理4[3].对于式(1)描述的S ISO 非线性连续系统,若在某开集D 内有9F ( )9u (m )≠0且在D 内处处连续,则该系统在D 内可逆.于是,根据隐函数定理,有u(m )=g (y (n ),y (n -1),…,y ,u (m -1),…,u )(17)其中g ( )为光滑映射,且在系统输入输出有界范围内平方可积.令Υ=y (n )d ,　zj =y (j -1)d (1≤j ≤n ),　v i =u (i -1),u =v 1(1≤i ≤m )(18)式(17)和(18)就是以Υ为输入,u 为输出的Α=n 阶积分逆系统.根据引理3,可由一个具有n +m +1个输入节点、一个输出节点的小波网络逼近该积分逆系统,如图2所示.根据小波和信号的时频特性分析,结合正交化优化方法来确定小波网络的结构[5].采用最小二乘法辨识网络权值参数,把训练好的小波网络Α阶积分逆系统与原系统串接,构成Α阶积分伪线性系统.4　系统性能分析取内部模型为G m (s )=1s Α(19)内模控制器可取为G c (s )=F (s )G -1m (s )(20)选取滤波器F (s )使G c (s )正则.817自 动 化 学 报　28卷由图1可得闭环系统的误差方程为(设扰动为d (s )=0)E (s )=(1-F (s ))1+F (s )G -1m(s )(G (s )-G m (s ))R (s )(21)1)当F (s )取一型滤波器时,F (s )=1(Κf s +1)n ,代入式(21)有E (s )=(Κf s +1)n -1(Κf s +1)n +l m (s )R (s )(22)设li m s →0l m (s )=C (常数),得①R (s )=r 0s ,e (∞)=li m s →0s (Κf s +1)n -1(Κf s +1)n +l m (s )・r 0s =0;②R (s )=r 0s 2,e (∞)=li m s →0s (Κf s +1)n -1(Κf s +1)n +l m (s )・r 0s 2=n Κf r 01+C (常数).2)当F (s )取二型滤波器时,F (s )=n Κf s +1(Κf s +1)n ,同理可推得①R (s )=r 0s 及R (s )=r 0s2时,e (∞)=0;②R (s )=r 0s3,e (∞)=n (n -1)Κ2f r 02(1+C )(常数).同理可推得系统对扰动的抑制能力.因此,对伪线性系统引入内模控制结构,采用一型滤波器,可无静差跟踪阶跃信号,并可完全抑制恒值扰动.采用二型滤波器,可无静差跟踪阶跃和斜坡信号,并可完全抑制阶跃和斜坡扰动.5　仿真研究考虑如下可逆非线性系统y α=-0.2(sin y -co s y )-y(1+y 2)+(0.4sin y co s y 2+0.8)u ,　y (0)=0,假设仅已知系统输出阶次n =1,输入阶次m =0.5.1　设计小波网络Α=1阶积分逆系统对原系统输入u (t )=sin 2t +co s t ,在t =0～10秒内均匀采样500个点,并计算输出的一阶导数,构成样本集{y ,y α},{u }.构造223521小波网络,母小波为Ω(x )=x e -x 22,小波函数的伸缩、平移参数的取值为j ∈[-3,1],k ∈[-2,2],利用RL S 方法(Κ=0.995)离线训练.训练好的小波网络为1阶积分逆系统.5.2　设计内模控制闭环系统①取内部模型为s -1,内模控制器G c (s )=F (s )G -1m(s )=sF (s ).②取二型滤波器F (s )=2Κf s +1(Κf s +1)2(Κf =0.1),跟踪阶跃r (t )=0.1、斜坡r (t )=0.1t 和正弦信号r (t )=0.1sin (2Π・0.25t ),结果如图3所示.系统可渐近无差跟踪阶跃和斜坡信号,对正弦信号的跟踪精度也很高(图略).③考察系统抑制扰动的能力假设系统跟踪阶跃信号的过程中,在t =3秒时受到外界幅值为0.05的强干扰,即9175期　陈庆伟等:基于逆系统方法的非线性内模控制027自 动 化 学 报　28卷6　结束语本文用小波网络逼近非线性系统的逆模型,将逆系统方法和内模控制方法相结合,提出了基于逆系统方法的非线性内模控制,证明了闭环系统的鲁棒稳定性.理论分析和仿真结果表明,这种基于逆系统方法的内模控制系统,不仅具有很高的跟踪精度,并且当存在非线性系统的建模误差或发生参数摄动和外界干扰时,系统仍具有很好的性能.本文所提出的方法较一般的逆系统方法的鲁棒稳定性好、设计简单、跟踪精度高,便于工程应用.参考文献1李春文,冯元琨.多变量非线性控制的逆系统方法.北京:清华大学出版社,19912戴先中,刘军,冯纯伯.连续非线性系统的神经网络Α阶逆系统控制方法.自动化学报,1998,24(4):463～4683何丹.非线性系统控制的神经网络逆系统方法[学位论文].南京:东南大学,19994Z hang Q ing hua ,A lbert B enven iste .W avelet net w orks .IEEE T rans .N eural N etwo rk s ,1992,3(6):889～8985吕朝霞.非线性系统的内模控制研究[学位论文].南京:南京理工大学,20006Ga rcia C E .In terna l m od el con trol :A un if y ing rev ie w and so m e ne w resu lts .Ind .Eng .Chem .P ro .D es .D ev .,1982,21(2):308～3237朱瑞军.非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究[博士后研究报告].南京:南京理工大学,2000陈庆伟　教授.1988年于南京理工大学自动控制系获硕士学位.目前在南京理工大学自动化系攻读博士学位.主要研究方向为智能控制系统及数字交流伺服系统的研究与设计.吕朝霞　1992年毕业于南京理工大学自动控制系,1997年获南京理工大学硕士学位,2000年获南京理工大学博士学位.主要研究方向为智能控制、神经网络控制等.胡维礼　教授,博士生导师.1965年毕业于清华大学自动控制系,1981年获南京理工大学硕士学位.长期从事高精度伺服系统控制与应用、自适应控制及智能控制等方面的研究.吴宏鑫　研究员,博士生导师.1965年毕业于清华大学自动控制系.从事自适应控制理论和智能控制研究及其在航天控制和工业过程控制领域中的应用.1275期　陈庆伟等:基于逆系统方法的非线性内模控制。