三角形 菱形
扇形、三角形、弓形、菱形公式[整理版]
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常用面积公式面积公式扇形面积公式00在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：00S=nπR²÷360 00比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：00C=2R+nπR÷180 00=2×1+135×3.14×1÷180 00=2+2.355 00=4.355(cm)=43.55(mm) 00扇形的面积：00S=nπR²÷360 00=135×3.14×1×1÷360 00=1.1775(cm²)=117.75(mm²) 00扇形还有另一个面积公式00S=1/2lR 00其中l为弧长，R为半径00扇环面积00圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径)) 0圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)) 00用字母表示：00S内+S外（∏R方）00S外—S内=∏(R方-r方）00还有第二种方法：00S=π[(R-r)×(R+r)] 00R=大圆半径00r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径00还有一种方法：00已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。
00d=R-r，00D-d=2R-（R-r）=R+r，00可由第一、二种方法推得S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，0圆环面积S=π(D-d)×d 00这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。
这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。
三角形面积公式00海伦公式00任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧展开全文三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7. 高线、中线、角平分线的意义和做法8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
11. 三角形外角的性质（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；（4）三角形的外角和是360°。
四边形（含多边形）知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。
2. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行（2）平行四边形的对角相等，邻角互补（3）平行四边形的对角线互相平分3. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
三角形倒角8个基本型
三角形倒角8个基本型
三角形倒角8个基本型
一、直角三角形型
指三角形的三条边均为直线，作工时采ユ直角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正直角三角形和倒直角三角形两种型型。
二、锐角三角形型
指三角形的三条边均为直线，作工时采ユ锐角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正锐角三角形和倒锐角三角形两种型型。
三、圆角三角形型
指三角形的三条边均为弧线，作工时采ユ圆角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正圆角三角形和倒圆角三角形两种型型。
四、菱形型
指四条边均为直线的多边形，作工时采ユ菱形的两个外角倒角。
该型可分为正菱形和倒菱形两种型型。
五、六边形型
指六条边均为直线的多边形，作工时采ユ六边形的四个外角倒角。
该型可分为正六边形和倒六边形两种型型。
六、椭圆型
指四条边均为椭圆的多边形，作工时采ユ椭圆的两个外角倒角。
该型可分为正椭圆和倒椭圆两种型型。
七、不规则四边形型
指由不同正方形、长方形或多边形组成的不规则四边形，作工时
采ユ不规则四边形的四个外角倒角。
该型可分为正不规则四边形和倒不规则四边形两种型型。
八、五角形型
指五条边均为直线的多边形，作工时采ユ五角形的五个外角倒角。
该型可分为正五角形和倒五角形两种型型。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
菱形的性质及判定
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．菱形的性质及判定图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为E FDBCA【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【例14】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为DB【例19】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE AF EF AB===，求C∠的度数．FEDCBA【例20】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且60B EAF∠=∠=︒，18BAE∠=︒．求：CEF∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．H F DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDC BA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGHGFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR =．SR QPH GOEFDCB A。
菱形的边长与面积的关系
菱形的边长与面积的关系
菱形是一种特殊的四边形，其特点是四条边长度相等，对角线相交且垂直。
菱形的面积计算公式为A = d1 d2 / 2，其中d1和d2分别表示菱形的两条对角线的长度。
菱形的边长与面积之间存在着一定的关系。
首先，我们可以通过菱形的对角线长度和边长之间的关系来探讨菱形的面积与边长的关系。
设菱形的边长为a，则菱形的对角线长度为2a。
根据菱形面积的计算公式，代入对角线长度，可以得到A = 2a 2a / 2 = 2a^2。
因此，菱形的面积与边长的平方成正比，即菱形的面积随着边长的增加而增加。
另外，我们也可以从几何性质的角度来探讨菱形的边长与面积的关系。
菱形可以看作是由两个相互垂直的三角形组成，而三角形的面积与底边长和高的乘积有关。
因此，菱形的面积可以看作是两个相互垂直的三角形的面积之和。
当菱形的边长增加时，其内部的两个三角形的面积也会增加，从而导致整个菱形的面积增加。
此外，我们还可以通过数学推导来探讨菱形的边长与面积的关系。
通过代入不同的边长值，我们可以得到一系列菱形的面积，并
观察其变化规律。
这样可以得出结论，菱形的面积与边长之间存在着一定的函数关系，通过数学方法可以进一步研究这种关系。
综上所述，菱形的边长与面积之间存在着较为明显的关系，可以通过数学推导、几何性质以及对角线长度和边长的关系来全面地探讨这一关系。
菱形的面积随着边长的增加而增加，这是菱形几何性质的重要特征之一。
菱形证明方法
菱形证明方法菱形证明方法是一种几何证明方法，通常用于证明平行四边形的性质。
利用菱形证明方法可以简洁地证明平行四边形的对角线相等、对角线互相垂直等性质，下面我们将详细介绍这种证明方法的步骤和应用。
首先，我们来看一下菱形的性质。
菱形是一种特殊的平行四边形，其四条边相等，对角线互相垂直且相等。
在证明平行四边形的性质时，我们可以利用菱形的性质来简化证明过程。
接下来，我们将介绍菱形证明方法的步骤。
首先，我们需要画出一个菱形，然后根据需要证明的性质，构造出一个与菱形相关的平行四边形。
接着，我们可以利用菱形的性质来简化证明过程，例如利用对角线相等的性质来证明平行四边形的对角线相等，利用对角线互相垂直的性质来证明平行四边形的对角线互相垂直等。
在实际应用中，菱形证明方法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力。
例如，在解决几何问题时，我们经常会遇到需要证明平行四边形性质的情况，这时可以考虑是否可以利用菱形证明方法来简化证明过程。
除了证明平行四边形的性质外，菱形证明方法还可以应用于其他几何问题的证明。
例如，证明三角形的内角和为180度时，可以利用菱形证明方法来构造出一个与三角形相关的菱形，从而简化证明过程。
总之，菱形证明方法是一种简洁有效的几何证明方法，可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力。
在解决几何问题时，我们可以考虑是否可以利用菱形证明方法来简化证明过程，从而更快地得到问题的解答。
通过本文的介绍，相信读者对菱形证明方法有了更深入的了解，希望本文对您有所帮助。
在今后的学习和工作中，我们可以灵活运用菱形证明方法，提高证明问题的效率，更好地解决实际问题。
《菱形的性质》课件
四边相等的平行 四边形是菱形
菱形的对角线互 相垂直且平分
菱形的对角线相 等且互相垂直
根据邻边垂直判定菱形
菱形定义：四边相等的四边形 邻边垂直：对角线互相垂直的四边形 判定方法：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是菱形 证明：利用三角形全等和相似性进行证明
建筑中的应用
菱形对角线互相垂直平分 菱形对角线互相平分 菱形对角线长度相等 菱形对角线长度的平方和等于边长的平方和
菱形对角线的角度性质
菱形对角线互相垂直，且平分 菱形对角线相交于菱形中心，且平分 菱形对角线长度相等，且平分 菱形对角线夹角为90度，且平分
菱形对角线的垂直平分性质
菱形对角线互 相垂直平分
菱形的周长等于 其边长的4倍
菱形的边长等于 其对角线的一半
菱形的对角线互 相垂直且平分
菱形的面积等于 其对角线乘积的 一半
特殊菱形的面积和周长计算
特殊菱形：等 边菱形、直角 菱形、等腰菱
形等
面积计算：等边 菱形面积=边长 ^2/2，直角菱形 面积=对角线乘 积/2，等腰菱形 面积=底边乘以
高
周长计算：等边 菱形周长=4*边 长，直角菱形周 长=2*对角线， 等腰菱形周长 =2*底边+2*高
菱形的边长性质
菱形具有四条边，且四条边长 度相等
菱形的对角线互相垂直，且平 分
菱形的对角线长度相等，且等 于边长的2倍
菱形的面积等于对角线乘积的 一半
菱形的角度性质
菱形是四边相等的四边形 菱形的对角线互相垂直且平分 菱形的四个角都是直角 菱形的对角线互相平分且相等
菱形对角线的长度性质
特殊菱形的性 质：对称性、 稳定性、对角 线互相垂直等
什么叫菱形
什么叫菱形什么是菱形呢？菱形，顾名思义，就是一个由菱形的四个顶点，连接起来的线段所构成的图形，叫做菱形。
这样说大家可能还不太明白，我给大家举几个例子吧！菱形是有一个角等于直角的平行四边形，它与矩形都属于平行四边形，但是两者之间又存在着区别：菱形的四个角都是90度，矩形的四个角都是直角；菱形只有一条对称轴，矩形有两条对称轴；菱形的面积是矩形的四倍。
其实菱形的面积计算方法也很简单，与长方形的面积计算方法相同。
如果想求出菱形的面积是多少，那么先用长方形的面积减去四个角的面积，再除以四就可以了。
菱形有什么特点呢？我们可以试着写一个字：这个字的一笔写成。
如果我们把这个字分成四个部分，每一个部分都是菱形的一条边，那么就是一个菱形。
“一”字在字典里的解释为“四”字中间的竖，而在“数学课本”上的解释则是“从上到下分成四个部分，每个部分都是菱形的一条边。
这样一个‘一’字就变成了四个菱形。
还有，我们把菱形按照底和高分成四个三角形，把每一个三角形再分成五个小三角形，那么，每一个三角形都可以分成一个菱形。
我们把菱形上底、下底、高和三角形的底、高和长方形的宽、长加起来，可以得到菱形的面积。
如果把菱形分成两个完全一样的三角形，那么这两个三角形可以拼成一个正方形，所以，正方形的面积是菱形的二倍。
菱形的面积公式和它的特点告诉我们，菱形的每一个角都是90度，这样的角叫做直角，没有一个钝角，钝角是平角，所以，菱形的每一个角都是直角，所以它们都是直角三角形。
另外，菱形也是有对称轴的，如果菱形按照原来的样子画出来，它们的四条边和四个角都一模一样，这样的图形叫做正方形，那么菱形也是正方形，因为菱形的四条边和四个角都是一模一样的。
菱形在生活中很常见，因为他们无处不在，但我们一般看见的菱形都是平行四边形，平行四边形不是菱形，那是因为菱形是由四个完全一样的平行四边形拼成的。
菱形有什么优点呢？菱形的每一个角都是直角，这些直角正好是做标记的“材料”。
三角形折成菱形的证明
三角形折成菱形的证明
证明：将一个三角形折成菱形，只需要进行两次折叠即可完成。
首先，将三角形沿着其中一条边进行折叠，使得三角形的两个顶点重合，并将另外一条边与之平行。
这时，三角形的底边就变成了菱形的一条对角线，另一条边变成了菱形的另一条对角线的一部分。
接下来，将三角形按照另一条边进行对折，使得三角形的另一条边与菱形的另一条对角线重合，此时，可以发现三角形的第三条边与菱形的另一条对角线重合，形成了一个完整的菱形。
证明完成。
注意事项：
1. 在进行折叠的过程中，需要保持三角形的各个顶点位置不变，否则可能会得到不正确的结果。
2. 此证明仅适用于凸三角形，对于凹多边形或非平面几何体，则需要按照不同的方法进行证明。
数学教案认识三角形和菱形
数学教案认识三角形和菱形为确保学生能够充分掌握三角形和菱形的概念，这份数学教案旨在提供一系列的教学活动和评估方法，帮助学生有效地理解和应用相关知识点。
本教案适用于初中阶段的数学课程。
第一部分：认识三角形三角形是指由三条线段相连组成的图形。
学生应该能够识别三角形的基本属性，比如三个角度、三个边长等。
教学活动：1. 观察三角形：让学生在课堂上观察不同形状的三角形并标记每个角度和边长的信息。
2. 组装三角形：给定三个线段，让学生尝试组装成不同形状的三角形并记录下每组边长和角度信息。
3. 三角形的分类：让学生自行发现三角形的分类规律并识别等腰三角形和等边三角形。
评估方法：1. 给出三个角度的数值，让学生构造一个三角形并计算出第三条线段的长度。
2. 展示一个三角形的角度和边长信息并让学生推断出其对应的三角形形状。
3. 提供一些图片，让学生判断哪些是不可能存在的三角形，并解释原因。
第二部分：认识菱形菱形是指由四个相等线段连接成的形状图案，也是一种特殊的平行四边形。
学生应该能够识别菱形的基本属性，比如四个角度、两条对角线等。
教学活动：1. 菱形的拼装：给学生一个带有一个缺口的菱形，让学生尝试用四个相等的于连接拼合起来。
2. 观察菱形：让学生观察不同形状的菱形，并记录下每个角度和边长的信息。
3. 菱形的分类：让学生自行发现菱形的分类规律并识别正方形。
评估方法：1. 呈现一个菱形的对角线长度，让学生计算其周长和面积。
2. 给出一个菱形的四个角度值，让学生推断其是否为正方形。
3. 提供图片和菱形的对角线长度，让学生判断哪些可能是正方形。
结语：通过本教案的学习，学生将能够充分理解并掌握三角形和菱形的基本属性及其分类规律，进一步加强对几何形状概念的认知。
同时，教师可以根据学生反馈的表现和学习笔记等评估数据，及时调整和改善教学策略，为学生提供更加有效的学习体验。
菱形的知识点总结
菱形的知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来好好聊聊菱形这个有趣的图形。
哎呀呀，菱形啊，你可别小瞧它，那可是有好多特别的地方呢！
你看啊，菱形首先它四条边都相等，就好像四个小伙伴一样，手牵手长度都一样嘞！比如说那个窗户上的菱形格子，每一条边是不是看起来都一样长呀！
还有哦，菱形的对角线互相垂直平分，哇塞，这多神奇啊！就跟两个好兄弟互相支持一样。
想想看，操场上画的那些菱形区域，那对角线不就是直直地把菱形分成了几个部分嘛！
对角线还把菱形分成了四个全等的直角三角形呢，这可真是太有意思了！就像一个大拼图被分成了几块一模一样的小拼图。
有一次我看到一个菱形的地毯，我就在想，这对角线分出来的小三角形要是能拆下来就好了，哈哈！
而且菱形可是轴对称图形呢，对称轴就是它的对角线。
这不就像是人有了对称轴一样，两边都对称得很完美呀！就说那些漂亮的菱形饰品，沿着对称轴看过去，是不是特别美呀！
哎呀，说了这么多菱形的特点，它真的是一个很特别的图形啊！你在生活中一定要多多留意它哦，说不定啥时候就看到它的身影啦！我觉得菱形就像是图形世界里的一颗闪亮星星，独特又迷人！朋友们，可别忘记菱形的这些有趣知识点呀！。
发现菱形与三角形的联系
发现菱形与三角形的联系菱形和三角形是几何形状中常见的两种形式，它们在形状和特性上有一些共同之处，下面将详细解释菱形与三角形之间的联系。
1. 基本定义菱形是一个四边形，有两对边相等。
相邻边相交于垂直的角，同时也是相等的，所有的角都是直角的。
另一方面，三角形是一个有三个边和三个角的多边形，其中每个角都小于180度。
2. 共同特性菱形和三角形都是平面图形，由直线组成。
虽然它们在形状上有所不同，但存在一些共同的特性：a. 内角之和：菱形的内角之和为360度，三角形的内角之和为180度。
b. 对角线长度关系：菱形的对角线互相垂直且相等，通过对角线的交点将菱形分成四个全等的三角形；三角形没有对角线，只有三个边。
c. 中线长关系：菱形的两条对角线互相平分，并且每条对角线与菱形的内角度数相等；三角形没有对角线，但具有三条中线，每条中线将三角形的两个顶点与中点连接起来。
d. 是否规则：菱形有规则和非规则之分，规则菱形的四个边和四个角都相等；三角形没有规则与非规则之分，可以根据边长和角度分为不同类型，如等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
3. 作图示例为了更好地理解菱形与三角形的联系，下面举例来进行作图示范： (作图步骤略)从上面的示例中可以看出，菱形和三角形在形状和角度上有所不同，但也存在一些相似之处。
它们都是基本的几何形状，通过直线的连接构成。
菱形通常用于计算面积和周长，而三角形则是解决三角函数和相关定理的基础。
通过上述的解释和示范，我们可以清晰地看到菱形和三角形之间的联系。
无论是在形状还是特性上，它们都有一些共同点。
这些共同点为我们在解决几何问题时提供了一些思考和分析的依据。
在学习和运用几何学时，我们应该了解这些联系，并能够灵活运用它们。
综上所述，菱形和三角形之间存在着一些联系，虽然它们在形状和特性上有所不同，但在几何学的基础理论和实际应用中，它们具有共同的特点。
通过深入理解菱形和三角形的联系，我们能够更好地应用它们解决实际问题，提高我们的数学几何水平。
菱形中的常见辅助线
菱形中的常见辅助线菱形是一个常见的几何形状，在许多数学问题和图形中都起着重要的作用。
为了更好地理解和分析菱形，常常会使用一些辅助线。
下面将介绍一些常见的菱形中的辅助线。
对角线菱形的两个对角线是最常见和最重要的辅助线之一。
对角线是连接菱形两个顶点的线段。
菱形的性质之一是对角线相等，即两个对角线的长度相同。
利用对角线的性质，我们可以在菱形中进行一些有趣的推理和计算。
高线高线是从菱形的一个顶点到对角线上的垂直线段。
高线可以将菱形分成两个完全相等的三角形，且每个三角形的底边就是菱形的一条边。
利用高线和对角线的性质，我们可以计算出菱形的面积。
菱形的面积等于对角线的乘积的一半。
中线中线是连接菱形的两条相对边中点的线段。
中线通过菱形的两个对角线的交点。
中线还具有一些有趣的性质。
例如，如果在菱形中画一条中线，则这条中线将分成两个完全相等的部分。
另外，菱形的中线还垂直于菱形的两条相对边。
垂直平分线垂直平分线是连接菱形一条边上的中点和对边上的顶点的线段。
垂直平分线垂直于菱形的一边，并且将菱形分成两个完全相等的三角形。
利用垂直平分线的性质，我们可以得到菱形的一些推论，如角平分线和三角形的全等性质等。
利用这些常见的辅助线，我们可以更好地理解菱形的性质和特点，从而应用到解决各种数学问题中。
总结：菱形中的常见辅助线包括对角线、高线、中线和垂直平分线。
这些辅助线有助于分析菱形的性质和特点，进行各种计算和推理。
两个同样的三角形可以拼成什么图形
两个同样的三角形可以拼成什么图形
两个同样的三角形可以拼成图形有：长方形、正方形、平行四边形、等腰三角形。
1、两个等腰直角三角形拼出的是正方形；
2、两个相同的锐角三角形可以拼成一个平行四边形；
3、两个相同的钝角三角形可以拼成一个平行四边形；
4、两个一样的正三角形可以拼成菱形。
根据三角形和平行四边形性质可知，平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对角分别相等，菱形是四条边长度相等的特殊四边形；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点这些性质可知，不同性质的三角形拼凑出的形状也会有所不同。
三角形的性质：在平面上三角形的内角和等于180°；在平面上三角形的外角和等于360° ；在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和；一个三角形的三个内角中最少有两个锐角；在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
方框三角圆形菱形除法推算
方框三角圆形菱形除法推算
方框三角形菱形除法推算指的是对特定图形进行等分计算的一种方法。
具体推算过程如下：
1. 方框推算：以一个方框为例，假设该方框的边长为n。
要将
该方框等分为m份，可以将方框的边长n除以m，得到每份
的长度，记为l。
将方框从左上角开始，每隔l的距离绘制一
条竖线或横线，将方框等分为m份。
2. 三角形推算：以一个直角三角形为例，假设该三角形的一边长n。
要将该三角形等分为m份，可以将三角形的边长n除以m，得到每份的长度，记为l。
从三角形的右边开始，每隔l
的距离绘制一条水平线，与三角形的斜边相交，将三角形等分为m份。
3. 圆形推算：以一个圆形为例，假设该圆形的半径为r。
要将
该圆形等分为m份，可以将圆形的周长（2πr）除以m，得到
每份的弧长，记为l。
从圆形的起点开始，每隔l的距离绘制
一条弧线，将圆形等分为m份。
4. 菱形推算：以一个菱形为例，假设该菱形的对角线长度为d。
要将该菱形等分为m份，可以将菱形的对角线长度d除以m，得到每份的长度，记为l。
从菱形的顶点开始，沿着两条对角
线的延长线上分别绘制一条长度为l的直线，将菱形等分为m 份。
根据以上推算方法，可以对方框、三角形、圆形和菱形进行等分计算。
具体的等分数和大小可以根据实际情况进行变化。
菱形三角形的知识点总结
菱形三角形的知识点总结一、菱形三角形的定义菱形三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
换句话说，如果一个三角形的两条边相等，那么它就是菱形三角形。
菱形三角形的定义可以用数学符号来表示，假设三角形ABC是一个菱形三角形，那么有以下等式成立：AB = ACBC = ACBC = AB其中，AB、AC和BC分别表示三角形ABC的三条边。
二、菱形三角形的性质1. 对角线相等菱形三角形的两条对角线相等，即对角线AC和BD相等，记为AC = BD。
2. 对角线垂直平分菱形三角形的对角线互相垂直平分，即对角线AC和BD互相垂直平分。
这意味着对角线的交点O将菱形三角形分成四个全等的直角三角形AOB、BOC、COD和DOA。
3. 内角相等菱形三角形的内角相等，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D。
4. 对边相等菱形三角形的对边相等，即AB = BC = CD = DA。
5. 直角三角形菱形三角形的两个对角线互相垂直，因此菱形三角形必定是直角三角形。
三、菱形三角形的相关定理1. 对角线长度的关系对于菱形三角形ABCD，假设AC = a，BD = b，则有以下定理成立：a² + b² = 4S其中S表示菱形三角形的面积。
2. 菱形三角形的周长由于菱形三角形的四条边相等，因此菱形三角形的周长等于四倍其中一条边的长度，即P = 4s。
3. 高度的关系菱形三角形的高度是对角线的一半，即h = AC/2 = BD/2。
4. 内角的关系菱形三角形的内角之和等于360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
5. 面积的计算菱形三角形的面积可以通过以下公式计算：S = 1/2 × AC × BD四、菱形三角形的应用1. 几何问题菱形三角形在解决几何问题时经常会用到，比如计算菱形三角形的周长、面积或者判断一个三角形是否为菱形三角形等。
2. 工程应用在工程领域，菱形三角形经常用于设计建筑结构或者计算相关参数。
菱形面积怎么求
菱形面积怎么求菱形是一种具有特殊形状的四边形，其特点是四条边长度相等且相邻两条边之间夹角为直角。
在几何学中，我们经常需要计算菱形的面积，以便解决各种问题。
那么，菱形的面积是怎样求解的呢？要求菱形的面积，首先需要了解菱形的特征。
根据菱形的定义，我们知道其对角线相等且交于垂直的交点。
我们将菱形的两条对角线分别记为d1和d2，并将其垂直交点记为O。
同时，我们假设菱形的边长为a。
根据菱形的特征，我们可以得到一些重要的结论。
首先，菱形可以被切割成两个相等的直角三角形，且每个直角三角形的底边等于菱形的边长的一半。
其次，由于菱形的对角线相等且交于垂直的交点，我们可以得到两个关于菱形的重要公式。
根据勾股定理，我们可以得到菱形的两个直角三角形的斜边长度（即对角线d1和d2的长度）的平方和等于菱形的边长的平方。
换句话说，我们有以下等式：d1^2 + d2^2 = a^2另外，根据两个直角三角形的性质，我们可以得到每个直角三角形的面积公式。
设底边为b，高为h，则直角三角形的面积为：S = (b * h) / 2由于直角三角形是菱形的一半，因此两个直角三角形的面积之和即为菱形的面积。
换句话说，菱形的面积可以表示为：S = (b * h)那么，我们如何根据已知的边长a来计算菱形的面积呢？我们可以利用菱形的特点和上述公式进行计算。
首先，可以通过已知菱形的边长a来计算对角线d1和d2的长度。
由于菱形的两条对角线相等，我们只需要计算其中一条对角线即可。
根据上述公式，我们可以得到d1和d2的长度。
d1^2 + d2^2 = a^2在已知菱形的边长的情况下，我们可以通过上述公式来计算出d1和d2的长度。
在得到了对角线d1和d2的长度后，我们可以利用这些长度来计算菱形的面积。
根据上面提到的面积公式，我们可以得到：S = (d1 * d2) / 2根据这个公式，我们可以根据已知的菱形的边长a来计算菱形的面积。
将已知的边长a带入公式，我们可以得到菱形的面积。
菱形的三种证明方法
菱形的三种证明方法引言菱形是几何学中一种常见的形状，具有四条相等的边和两对相等的内角。
在数学证明中，经常需要证明一个图形是菱形，本文将探讨三种常见的证明菱形的方法。
方法一：使用边长和角度证明要证明一个图形是菱形，最直接的方法是使用其边长和角度。
以下是一个详细的步骤：1.给定图形ABCD，证明AB = BC = CD = DA。
2.证明∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB。
3.利用三角形内角和公式，证明四个角的和为360度。
4.结合步骤1和步骤2，得出结论：ABCD是一个菱形。
方法二：使用对角线证明对角线是菱形的特征之一。
以下是证明菱形的方法：1.给定图形ABCD，证明对角线AC和BD相等。
2.使用距离公式计算两条对角线的长度。
3.若AC = BD，则得出结论：ABCD是一个菱形。
方法三：使用平行线证明菱形是一个具有平行四边形性质的图形。
以下是证明菱形的方法：1.给定图形ABCD，证明AB与CD平行且相等，BC与DA平行且相等。
2.比较两对边的长度，证明AB = CD且BC = DA。
3.若ABCD是一个平行四边形，且满足AB = CD和BC = DA，则得出结论：ABCD是一个菱形。
总结通过使用边长和角度、对角线以及平行线的方法，我们可以证明一个图形是菱形。
这些方法在数学证明中经常被使用，能够帮助我们确定图形的特征和性质。
当我们遇到需要证明一个图形是菱形的问题时，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
为了更好地理解和掌握这些证明方法，建议多进行练习和实践，对各种不同类型的图形进行证明。
通过不断地锻炼和思考，我们能够提高数学推理和证明的能力，更加深入地理解菱形这一几何概念。
菱形的面积计算公式是什么
菱形的⾯积计算公式是什么 公式是数学题⽬解题的关键，那么菱形的⾯积计算公式是什么呢?快来和⼩编⼀起看看吧。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“菱形的⾯积计算公式是什么”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
菱形的⾯积计算公式 菱形常⽤⾯积公式有两个，⼀是知道底和⾼，按照平⾏四边形的⾯积公式计算，公式为S=ah;⼆是知道两条对⾓线的长a 和b，公式为S=ab÷2。
菱形与平⾏四边形相似，是⼀种平⾯图形，有四个相等的直边. 菱形的各边长度相等，对边平⾏, 相对的⾓度相等。
菱形的另⼀个名称是等边四边形, 表⽰所有边的长度相等. 菱形呈斜⽅形. 菱形的⾯积的对⾓线乘积的⼀半。
菱形⾯积有多种算法，分别是： 1.菱形⾯积公式就是由三⾓形⾯积公式得来的。
菱形⾯积=两个三⾓形⾯积的和 2.对⾓线乘积的⼀半，即S=(两对⾓线相乘)X1/2(只要是对⾓线互相垂直的四边形都可⽤，如正⽅形，菱形，记为：⼆分之⼀对⾓线相乘)。
3.S菱形=底×⾼(跟平⾏四边形⾯积公式⼀样，菱形是特殊的平⾏四边形)。
4.边长的平⽅减去对⾓线差⼀半的平⽅。
拓展阅读：菱形的判定定理 在同⼀平⾯内， 1.⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。
2.四边相等的四边形是菱形。
3.对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。
4.对⾓线互相垂直平分的四边形是菱形。
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平⾏四边形。
菱形的中点四边形是矩形。
菱形是在平⾏四边形的前提下定义的，⾸先它是平⾏四边形，但它是特殊的平⾏四边形。
菱形的特殊性质 菱形是特殊的平⾏四边形，它具备平⾏四边形的⼀切性质，同时也有⾃⼰的特点。
1.对⾓线互相垂直且平分，并且每条对⾓线平分⼀组对⾓; 2.四条边都相等; 3.对⾓相等，邻⾓互补; 4.菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对⾓线所在直线，也是中⼼对称图形, 5.在60°的菱形中，短对⾓线等于边长，长对⾓线是短对⾓线的根号三倍。
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