周训练04-2017年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)Word版含解析

一、填空题：（每小题5分，共70分）1. 设全集U={n|1≤n≤10，n∈N*}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B= .2. 已知i为虚数单位，则2-i1i+= .【解析】因为2-i1i+=(2-i)(1-i)(1i)(1-i)+=1-3i2，所以2-i1i+=.3. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为.【解析】由4个顶点到中心的距离小于该正方形的边长，故满足条件的概率为2 5.4. 函数f(x)=(x-3)e x的单调增区间是.【解析】因为f(x)=(x-3)e x，则f'(x)=e x(x-2)，令f'(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调增区间为(2，+∞).5. 执行如图所示的流程图，如果输入的t∈，则输出的S的取值范围为.【解析】由流程图可知是求分段函数的值，且S=22-2[-20)-3[02]t t t t ∈∈⎧⎨⎩，，，，，，其值域为(-2，6]∪=. 6. 在三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则12V V = .【解析】如图，由图知V 1=D A B E V =A B D E V ，V 2=P A B C V =A P B C V ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，则12V V =1··31··3BDEPBC S hS h .又BD E PBC S S =14，所以12VV =14.7. 若命题“∀x ∈R ，ax 2-ax-2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是.8. 观察下列等式：2cos π4，2cos π8，2cos π16，…则可知第n (n ∈N *)个等式：= .【解析】2cos 1π2n +9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5tan B=2226-ac a c b +，则sin B 的值是 .【解析】因为cos B=222-2a c b ac +，所以5tan B=2226-ac a c b +=62cos ac ac B =3cos B ，所以5sin B=3，所以sin B=35.10. 已知椭圆x 2+3y 2=9的左焦点为F 1，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，若点D 是线段PF 1的中点，则△F 1OD 的周长为 . 【解析】由椭圆x 2+3y 2=9，可得a=3，.如图，连接PF 2，因为点D 是线段PF1的中点，所以OD12PF 2.由椭圆的定义可知PF 1+PF 2=2a ，所以DF 1+DO=a=3.所以△F 1OD 的周长为a+c=311. 已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足a n+2-a n=d(d为常数，且d≠0，n∈N*)，a1=1，a2=2，且a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，则S20= .12. 已知实数x，y满足202xyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，设z=max{3x-y，4x-2y}，则z的取值范围是.(max{a，b}表示a，b两数中的较大数)【解析】设z1=3x-y，z2=4x-2y，则z=max{z1，z2}，易得z1∈，z2∈，则z∈.13.设函数f(x)=(x-2)2(x+b)e x，若x=2是f(x)的一个极大值点，则实数b的取值范围为.【解析】由条件得f(x)=e x，则f'(x)=e x，易知f'(2)=0恒成立，满足题意.记g(x)=x3+(b-1)x2+(-4-2b)x+4，则g'(x)=3x2+2(b-1)x+(-4-2b)，又x=2是f(x)的一个极大值点，所以g'(2)<0，所以2b+4<0，解得b<-2.14. 若x，y，z均为正实数，且x2+y2+z2=1，则2(1)2zxyz+的最小值为.【解析】由x，y，z均为正实数，且x2+y2+z2=1，可得1-z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取得等号，则2(1)2zxyz+≥22(1)(1-)zz z+=1(1-)zz z+=123-(1)-1zz++3+2.当且仅当1+z=21z+，即z=1，3+2二、解答题15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量A B=(6，1)，B C=(x，y)，C D=(-2，-3)，且AD∥B C.(1) 求x与y之间的关系式；(2) 若A C⊥B D，求四边形ABCD的面积.(2) 由题意得A C=A B+B C=(x+6，y+1)，B D=B C+C D=(x-2，y-3)，因为A C⊥B D，所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0，即x2+y2+4x-2y-15=0. ②由①②得2-1xy=⎧⎨=⎩，或-63.xy=⎧⎨=⎩，当2-1xy=⎧⎨=⎩，时，A C=(8，0)，B D=(0，-4)，则S四边形ABCD=12|A C||B D|=16.当-63xy=⎧⎨=⎩，时，A C=(0，4)，B D=(-8，0)，则S四边形ABCD=12|A C||B D|=16.所以四边形ABCD的面积为16.16. (本小题满分14分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=2AB，且点P为DD1的中点.(1) 求证：BD1∥平面PAC；(2) 求证：平面PB1A⊥平面PAC.(2) 连接B1O，设AA1=2AB=2a，在△PB1O中，B1P2=3a2，PO2=a2+12a2=32a2，B1O2=92a2，所以PO2+B1P2=B1O2，所以PB1⊥PO.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，所以AC⊥BD，B1B⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.因为BD∩BB1=B，所以AC⊥平面BB1D1D，因为B1P⊂平面BB1D1D，所以B1P⊥AC.又PO∩AC=O，所以PB1⊥平面PAC.因为PB1⊂平面PB1A，所以平面PB1A⊥平面PAC.17．(本小题满分14分)为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2 m，内部划分为不同区域种植不同花草.如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个△OAB的顶点O为圆心，A在圆周上，B在半径OQ上，设计要求∠ABO=120°.(1) 请设置一个变量x，写出该蝶形区域的面积S关于x的函数表达式；(2) 问：当x为多少时，该蝶形区域面积S最大?所以当x=30°时，蝶形区域面积最大.18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x+2y-8=0，圆M：(x-3)2+(y-2)2=1.(1) 设A，B分别为直线l与圆M上的点，求线段AB长的取值范围；(2) 求证：存在无穷多个圆N(异于圆M)，满足对每一个圆N，过直线l上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T M，T N，且PT M=PT N.【解析】(1) 易得圆心M(3，2)到直线l：3x+2y-8=0的距离1=r，故直线l与圆M相离，从而AB≥-1，所以线段AB长的取值范围是1+⎫∞⎪⎪⎣⎭，.(2) 设圆N：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0，a≠3，b≠2，且r≠1)，由PT M=PT N，设P(x，y)，得PM2-1=PN2-r2，即(x-3)2+(y-2)2-1=(x-a)2+(y-b)2-r2，整理得2(a-3)x+2(b-2)y+r2+12-a2-b2=0.又点P在直线l上，所以3x+2y-8=0，所以2y=8-3x，从而2(a-3)x+(b-2)(8-3x)+r2+12-a2-b2=0，整理得(2a-3b)x+r2-a2-b2+8b-4=0.因为上式对任意的x∈R恒成立，所以2222-30--8-40 a br a b b=⎧⎨+=⎩，，解得22231316-40(3)93b a r a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+>≠⎪⎩，，所以圆N 的方程为(x-a )2+22-3y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=139a 2-163a+4，即证. 19.已知函数()(1)xf x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值. 【解析】①当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在R 上单调递增；………………………………6分 ②当0a >时，由()'e 0xf x a =-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增．综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． ……………………………………9分 （3）由（2）知，当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，∴()f x b ≥不可能恒成立； ………………………………………………………………10分设()()222ln 0g a a a a a =->，∴ ()()'42ln 32ln g a a a a a a a a =-+=-，由于0a >，令()'0g a =，得3ln 2a =，32e a =， 当320,e a ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递增；32e ,a ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递减．∴()3max e 2g a =，即ab 的最大值为3e 2，此时33221e ,e 2a b ==． ………………………………………………………………… 16分20.（1）设,a b均为正数，求证：1<（2）设数列{}n a 和{}n b 的各项均为正数，*n N ∀∈，两个数列同时满足下列三个条件： ①{}n b是等比数列；②1nn n a a b +=；③1n b +=.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. 【解析】（1）因为,a b 均为正数，所以222222221681281 1.44a ab b a ab a b a b +++==+>++ 而222222(4)5(4)4844()0a b a b a ab b a b +-+=-+-=--≤，所以25,≤故1<≤解：（2）因为数列{}n a 和{}n b的各项均为正数，且1n b +=所以由（1）知*11).n b n N +<≤∈因为{}n b 是等比数列，所以11n n b b q -=⋅（其中q 是公比）. 若1,q >则当11log qn >+n b > 若01,q <<则当111log q n b >+时，1n b <均与*11).n b n N +<≤∈不符，故1q =. 于是1,n b b =从而11,n n n n a a b +==即{}n a1为公比的等比数列.11,>则123,a a a <<，但由11,2,3)n b n +==即11,2,3)b n ==解得na 至多取得2个值，于是123,,,a a a 中至少有两个相等，与123,a a a <<矛盾.附加题（理）21.A 选修4-1 几何证明选讲已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切，点E 在边AB 上，且AE=AD.求证：O ，E ，C ，D 四点共圆. 【解析】因为AD=AE ，所以∠AED=12(180°-∠A ).因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180°-∠A=∠BCD.又∠BCD=2∠DCO ，所以∠AED=∠DCO ， 所以O ，E ，C ，D 四点共圆.21.B选修4-2矩阵与变换已知变换T：xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→''xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x yy+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A-1.【解析】由xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→''xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1201xy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得A=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦.设A-1=a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则AA-1=1201a bc d⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=22a cb dc d++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以21201a cb dcd+=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，解得1-21abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，所以A-1=1-201⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.C选修4-4坐标系与参数方程已知直线l：cossinx t my tαα=+⎧⎨=⎩，(t为参数)恒经过椭圆C：5cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩，(φ为参数)的右焦点F.(1) 求m的值；(2) 设直线l与椭圆C交于A，B两点，求FA·FB的最大值与最小值.当sin α=±1时，FA·FB取最小值81 25.21.D 选修4-5 不等式选讲已知关于x 的不等式x 2-ax+b<0的解集为(1，2)，其中a ，b ∈R ，求函数f (x )=(a-(b-.【解析】因为不等式x 2-ax+b<0的解集为(1，2)，所以可得a=3，b=2，又函数f (x )=(a-(b-由柯西不等式可得2≤(22+12)·=5，x=195∈时取等号.所以当x=195时，函数f (x )22. 如图，已知抛物线C ：x 2=2py (p>0)，其焦点F 到准线的距离为2，点A ，B 是抛物线C 上的定点，它们到焦点F 的距离均为2，且点A 位于第一象限.(1) 求抛物线C 的方程及点A ，B 的坐标.(2) 若点Q (x 0，y 0)是抛物线C 异于A ，B 的一动点，分别以点A ，B ，Q 为切点作抛物线C 的三条切线l 1，l 2，l 3.若l 1与l 2，l 1与l 3，l 2与l 3分别相交于点D ，E ，H ，设△ABQ ，△DEH 的面积为S △ABQ ，S △DEH ，记λ=ABQDEH S S ，问：λ是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.点Q 到直线AB 的距离QAB d =20|4-|4x ，点D 到直线l 3的距离3Dl d=2，所以S △ABQ =12·AB ·QAB d =20|4-|2x ，S △DEH =12·EH ·3Dl d =20|4-|4x ， 所以λ=ABQ DEH S S =2，为定值.23. 已知数列{a n }满足a n+1=211n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭a n +12n (n ∈N *)，且a 1=1. (1) 求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2) 利用“∀x>0，ln(1+x )<x ”证明a n <234e (其中e 是自然对数的底数).、 (2) 当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n+1=211n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭a n +12n ≤211n n ⎛+ +⎝+112n +⎫⎪⎭a n (n ≥2)， 两边取对数并利用已知不等式ln(1+x )<x 得ln a n+1≤ln211112n n n +⎛⎫++ ⎪+⎝⎭+ln a n <ln a n +21n n ++112n +，故ln a n+1-ln a n <21n n ++112n +(n ≥2)，求和可得ln a n -lna 2<123⨯+134⨯+…+1(-1)n n +312+412+…+12n =12⎛ ⎝-13⎫⎪⎭+11-34⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+11--1n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭+312×-211-211-2n =12-1n +212-12n <34.。