数学：2.4 证明(2)同步练习(湘教版九年级上)
湘教版九年级数学上册第二章 命题与证明练习(全章)
第二章 命题与证明2.1 定义 一、填空题1.对于一个概念的特征性质的描述叫做这个概念的2.如果两个角的度数之和等于90°，则这两个角叫做3.有一组邻边相等的平行四边形叫做4.三条线段首尾顺次连接而成的图形叫做5.有公共端点的两条射线所组成的图形叫做6.无限不循环小数叫做 二、叙述下列概念的定义 1.数轴2.三角形的中位线3平行四边形4矩形平行线 整式三、当n 为正整数时，数132++n n 一定是质数吗？2.2 命题 一、填空题1.如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题我们称为 其中一个叫做另一个的2.命题：“如果a ＞b ，那么2a ＞2b ”的条件是 ，结论是 3. 命题：“如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数”的逆命题是 二、选择题1．下列语句中，不是命题的是 （ ） A.对顶角相等B.你是九年级的学生吗？C.负数小于正数D.两点确定一条直线2下列命题中，真命题是（ ）A.有一组对边平行且相等的四边形是矩形B.每一个命题都有逆命题C.如果b a =，那么b a =D. 同位角相等3.下列命题中，假命题是（ ） A.对角线相等且平分的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.等腰梯形的对角线不一定相等D.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三、解答题1.指出命题“对顶角相等”的条件与结论，并写出它的逆命题。
2.3若a ＞b,则ac ＞bc ”是真命题吗？为什么？如果它不是真命题，请你添加适当的条件把它改成一个真命题四、写出与四边形知识有关的两个真命题和两个假命题2.3 公理与定理一、填空题1.定理就是2.等腰三角形的性质定理是3.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是4.如图，已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB，只需增加一个条件是，或C是不二、选择题1.下列命题中，假命题是（）A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.一个命题正确，它的逆命题不一定正确D.公理是不需要推理论证的真命题2.下列定理中，没有逆定理的是（）A.全等三角形的三条对应边相等B.在角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.平行四边形的对角线互相平分D.全等三角形的面积相等三、解答题1.下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来，如果没有，说明理由⑴直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.4 证明 第3课时湘教版九年级上册
A O B
D
C
∴∠ODA=∠OAD=
180 120 30. 2 你认为例1还可以怎
么去解？
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
1.正方形的四个角都是直角吗?
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, B C 分析:利用同旁内角互补, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. 两直线平行来证明四边 ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 形是平行四边形,可使问 ∴四边形ABCD是矩形.
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执 “果”索“因”);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写
出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
2.4
证明
第3课时
Байду номын сангаас
1、进一步了解证明的基本步骤和书写格式. 2、能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发， 证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论， 并能简单应用这些结论.
3、继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有
理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．
证明命题的一般步骤:
B C A D
分析:要证明□ ABCD是矩 形,只要证明有一个角是直 角即可.
∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
5.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边 的一半,那么这个三角形是直角三角形.
2.4 证明1湘教版九年级上册
A
2
C
1 D
练 习
３．利用平行线的性质定理Ⅰ（即．两直线平行， 同位角相等），证明：两条平行线被第三条直线 所截，内错角相等． M 3 1 7 5 4 2 8 6
已知：直线 AB，CD被直线MN所截， ∠1= ∠2 ． A 求证：∠7= ∠2， ∠5= ∠4， C
B D
已知:DE∥BA，DF∥CA， 求证：∠FDE=∠A；
（等量减等量，差相等）
（对顶角相等） （已知） （等量代换）
同理可证
∠5 =∠6．
∵ ∠1 =∠7 ， ∠1 =∠2， ∴ ∠7 = ∠2． 同理可证 ∠5 =∠4．
（对顶角相等） （已知）
（等量代换）
∵ ∠1+∠5 =180º ， ∠1=∠2， ∴ ∠2+∠5 =180º ． 同理可证∠7+∠4 =180º ． （等量代换）
2 C
1 D
（平角的定义） （三角形的内角和定理） （等量减等量，差相等） （等量减等量，差相等） （等量代换）
练 习
２．证明：三角形的外角大于任何一个和它不相 邻的内角．
已知： ∠1是△ABC 的一个外角，∠A 和∠B是和它不相邻的内角， ∠2是和它 相邻的内角． B 求证：∠1＞ ∠A ， ∠1＞∠B ．
2.如图，已知：AB∥CD，∠B=∠C， 求证：∠E=∠F
如图，AB∥CD，则 ∠A、∠C、∠E的大小 有什么关系？并说明理由
如图，AB∥DE，则 ∠B、∠C、∠E的大 小有什么关系？并说明理由
链接中考（2007福州）如图，直线AC∥BD，连接AB,直线
AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定： 线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA、 PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有共同端点 的两条重合的射线所组成的角是0°） (1 ) 当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD。 （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否还 成立（直接回答成立或不成立）？ （3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、 ∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结 论，选择其中一种结论加以证明。
湘教版九年级数学上册《2.4 一元二次方程根与系数的关系》同步练习(附答案)
湘教版九年级数学上册《2.4 一元二次方程根与系数的关系》同步练习(附答案)一、选择题1.已知x 1、x 2是方程x 2﹣5x ＋10＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝( ) A.﹣5，﹣10 B.﹣5，10 C.5，﹣10 D.5，102.已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是( ) A.x 1≠x 2 B.x 1＋x 2＞0 C.x 1•x 2＞0 D.x 1＜0，x 2＜03.若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为( ) A.1 B.－3 C.3 D.44.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( )A.4B.－4C.3D.－35.已知一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的两个根为x 1，x 2，下列结论正确的是( ) A.x 1＋x 2＝－52 B.x 1·x 2＝1C.x 1，x 2都是有理数D.x 1，x 2都是正数6.若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2的值为( ) A.12 B.10 C.4 D.﹣47.已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m ＋n 的值是( )A.－10B.10C.－6D.2 8.若m ，n 是方程2x 2﹣4x ﹣7=0的两个根，则2m 2﹣3m+n 的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.59.方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2=x 1x 2，则m 的值是( ) A.－2或3 B.3 C.﹣2 D.﹣3或210.已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ﹣2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( ) A.6 B.5 C.4 D.3二、填空题11.若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值为.12.设一元二次方程x2﹣5x＋2＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x12x2＋x1x22＝.13.请写出一个以3和﹣2为根的一元二次方程：．14.方程x2＋2kx＋k2﹣2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为.15.设x1，x2是方程5x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则的值为 .16.已知关于x的方程 x2﹣(2k＋1)x＋4(k﹣12)＝0.若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为.三、解答题17.关于x的一元二次方程x2＋3x＋m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＋m﹣1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值.19.设方程4x2﹣7x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值.(1)(x1﹣3)(x2﹣3)； (2)x2x1＋1＋x1x2＋1； (3)x1﹣x2.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.21.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a﹣2＝0的两个实数根，当a为何值时，x 12＋x22有最小值？最小值是多少？答案1.D.2.A.3.C.4.A5.D.6.A.7.A8.A9.C10.B.11.答案为：3.12.答案为：10.13.答案为：x2﹣x﹣6＝0．14.答案为：1.15.答案为：﹣3.16.答案为：10.17.解：(1)∵方程有两个实数根∴△≥0∴9﹣4×1×(m﹣1)≥0解得m≤13 4；(2)∵x1＋x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1又∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0∴2×(﹣3)＋m﹣1＋10＝0∴m＝﹣3．18.解：(1)∵原方程有两个实数根∴△＝(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0整理得：4﹣4m＋4≥0，解得：m≤2；(2)∵x1＋x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12＋x22＝6x1x2∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1•x 2＝6x 1•x 2即4＝8(m ﹣1)， 解得：m ＝32.∵m ＝32＜2∴符合条件的m 的值为32.19.解：根据一元二次方程根与系数的关系 有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝﹣34.(1)(x 1﹣3)(x 2﹣3)＝x 1x 2﹣3(x 1＋x 2)＋9＝﹣34﹣3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝10132. (3)∵(x 1﹣x 2)2＝(x 1＋x 2)2﹣4x 1x 2＝(74)2﹣4×(﹣34)＝9716∴x 1﹣x 2＝±9716＝±1497. 20.解：(1)根据题意得△＝(2k ＋1)2﹣4(k 2＋2k)≥0 解得k ≤14；(2)根据题意得x 1＋x 2＝2k ＋1，x 1x 2＝k 2＋2k ∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣16.∴x 1x 2﹣[(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2]＝﹣16 即﹣(x 1＋x 2)2＋3x 1•x 2＝﹣16 ∴﹣(2k ＋1)2＋3(k 2＋2k)＝﹣16整理得k 2﹣2k ﹣15＝0，解得k 1＝5(舍去)，k 2＝﹣3. ∴k ＝﹣3.21.解：∵方程有两个实数根∴Δ＝(2a)2﹣4(a 2＋4a ﹣2)≥0，∴a ≤12.又∵x1＋x2＝﹣2a，x1x2＝a2＋4a﹣2∴x12＋x22＝(x1＋x2)2﹣2x1x2＝2(a﹣2)2﹣4.∵a≤12，且2(a﹣2)2≥0∴当a＝12时，x12＋x22的值最小.此时x12＋x22＝2(12-2)2﹣4＝12，即最小值为12.。
湘教版数学九年级上册 全册复习练习题 含答案-精选教学文档
湘教版数学九年级上册 全册复习练习题1. 已知直角三角形一锐角是60°，斜边长是1，那么这个三角形的周长是( D )A.52 B ．3 C.3＋22 D.3＋322．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1 B. 2 C ．1和 2 D ．－1和 23．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( C )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．在反比例函数y ＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y 1)，(－14，y 2)，则y 1－y 2的值是( A )A ．负数B ．非正数C ．正数D ．不能确定5. A ，B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x ＋a ，y ＋b)，B(x ，y)，下列结论正确的是( B )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．b ＝0D ．ab ＜06．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3.其中正确的有( C )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( B )A ．2.8小时B ．2.3小时C ．1.7小时D ．0.8小时8．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( D )A ．∠B ＝60° B ．a ＝5C ．b ＝5 3D ．tanB ＝3310．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( D ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶111．如图，AB ∥CD ，AC ，BD ，EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对12．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或213．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( C )A ．AD ＝BC ′B ．∠EBD ＝∠EDBC ．△ABE ∽△CBD D ．sin ∠ABE ＝AE ED14．若代数式(x －4)2与代数式9(4－x)的值相等，则x ＝__4或－5__．15．若a a －b ＝12，则a b＝__－1__． 16．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件__∠ACD ＝∠ABC 或∠ADC ＝∠ACB 或AC ∶AB ＝AD ∶AC 等__，使△ABC ∽△ACD.(只填一个即可)17．某学校为了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子”的学生有__200__人．18．如图，以O 为位似中心，把五边形ABCDE 的面积扩大为原来的4倍，得五边形A 1B 1C 1D 1E 1，则OD ∶OD 1＝__1∶2__．19．如图，点A 是反比例函数y ＝6x的图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y ＝2x的图象于点C ，则△OAC 的面积为__2__．20．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于海里．21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△ECF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF.其中正确结论是__②③__．(填序号)22. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点(－1，－2)，“馬”位于点(2，－2)，则“兵”位于点_(－3，1)__.23. 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__13__．24．解方程或计算：(1)x 2－2x ＝5;(2)|－1|－128－(5－π)0＋4cos45°. 解：(1)x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6(2) 225．已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k 的值．解：(1)∵b 2－4ac ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2＋8>0，即b 2－4ac>0.∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根(2)令原方程的另一个根为x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1·x 2＝－12，－1＋x 2＝－k 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，k ＝1.即另一个根为12，k 的值是1 1=26．游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2019名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：(1)这次抽样调查中，共调查了__400__名学生；(2)补全两个统计图；(3)根据抽样调查的结果，估算该校2019名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？解：(2)“一定不会”的人数为400×25%＝100(名)，“家长陪同时会”的百分率为1－25%－12.5%－5%＝57.5%，图略(3)根据题意得：2019×5%＝100(人)．答：该校2019名学生中大约有100人“一定会下河游泳”27．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)解：过A 作AG ⊥CD 交CD 于点G ，在Rt △ACG 中，tan30°＝CG AG，∴CG ＝AG ·tan30°＝6×33＝23米，CD ＝CG ＋DG ＝(23＋1.5)米，在Rt △CDE中，sin60°＝CD CE ，∴CE ＝CD sin60°＝23＋1.532＝(4＋3)米，即拉线CE 的长为(4＋3)米28．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF ＝14DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G. (1)求证：△ABE ∽△DEF ； (2)若正方形的边长为4，求BG 的长．解：(1)∵DF DE ＝AE AB ＝12，即AB DE ＝AE DF，又∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEF (2)∵∠D ＝∠FCG ＝90°，∠DFE ＝∠CFG ，∴△DEF ∽△CGF ，∴DE CG ＝DF CF ＝13，∴CG ＝3DE ＝3×42＝6，∴BG ＝BC ＋CG ＝4＋6＝10 29．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22019平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设原计划每天完成x 米2，则有46000－22000x －46000－220001.5x ＝4，解得x ＝2019，经检验x ＝2019是原方程的解，即：原计划每天完成2019平方米(2)设人行通道宽度是y 米，则有(20－3y)(8－2y)＝56，解得y 1＝2，y 2＝263.当y ＝263时，8－2y<0，所以舍去，∴y ＝2，即人行通道的宽度是2米30．如图，一次函数y ＝－x ＋2的图象与反比例函数y ＝－3x的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于D 点，且C ，D 两点关于y 轴对称．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积．解：(1)把y ＝－x ＋2与y ＝－3x 联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝－3x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，∴A(－1，3)，B(3，－1)(2)D(2，0)，∴C(－2，0)，S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×4×3＋12×4×1＝8。
24证明3湘教版九年级上册2
• 性质定理1：平行四边形的对角相等 • 性质定理2：平行四边形的对边相等 • 性质定理3：平行四边形对角线互相平分 • 性质定理4：平行四边形是中心对称图形，
对角线的交点是它的对称中心。
三角形的中位线定理是什么？
• 三角形的中位线平行于第三边，且等于第 三边的一半。
平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O ，过点O
（2） 由于平行四边形的对边相等
因此四边形BEFD的周长等于 2（DF+FE）=
（平行四边形的定义
A
D
F
2 （½BC+½AB）=BC+AB.
B
E
C
已知：如图，在△ABC中，D,E,F分别是边
AB,AC,BC的中点，连结DE,AF.
A
求证：AF与DE互相平分。
D
E
巩固 练习
BF C
证明：连结 DF,EF ，
• （3）证明：因为ABCD为平行四边形，
• 所以AD=BC,AD∥BC, 所以∠DAE=∠BCF.
在△BCF和△DAE中，
因为 CB=AD, ∠DAE=∠BCF CF=AE,
A E
D
F
B
C
所以△BCF≌△DAE, 所以BF=DE.
• （1）连结 DF
• （2）猜想＿DF＿=＿BE＿
• （3）证明：因为ABCD为平行四边形，
• 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线
AC上，且AE=CF.请你以F为一个端点，和图中已标明
字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中
已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即
可）。
A
D
九年级上册数学第2章命题与证明试题(含13中考题湘教版)
九年级上册数学第2章命题与证明试题(含13中考题湘教版)第2章命题与证明检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2013•湖南湘潭中考）下列命题正确的是（）A.三角形的中位线平行且等于第三边B.对角线相等的四边形是等腰梯形C.四条边都相等的四边形是菱形D.相等的角是对顶角2.有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l或0．其中错误的个数是（）A.1B.2C.3D.43.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直4.（2013•四川攀枝花中考）下列命题错误的是（）A.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半B.矩形的对角线相等C.有两个角相等的梯形是等腰梯形D.对角线相等的菱形是正方形5.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形6.如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交的延长线于点，已知则四边形的面积是（）A.B.C.D.7.(2013•四川遂宁中考)如图，在中，∠90°，∠30°，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（）①是∠的平分线；②∠60°；③点在的中垂线上；④.A.1B.2C.3D.48.用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设（）A.B.C.D.9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的面积为（）A.B．C．D．10.如图，是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点.若，则（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图，在四边形中，已知，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)12.命题：“如果那么”的逆命题是________________，该命题是_____命题（填真或假）．13.如图，在菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是．（只填一个条件即可）14.如图，在中,，分别是和的角平分线，且，，则的周长是_______.15.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______．16.如图，在等腰梯形中，，，，，，则上底的长是_______.17.（2013•山东莱芜中考改编）下列命题是真命题的是.①与互为倒数；②若，则；③梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半.18.写一个与直角三角形有关的定理.三、解答题（共66分）19.(6分)如图，在中，两点分别在和上，求证：不可能互相平分．20.(8分)已知是整数，能被3整除，求证：和都能被3整除．(用反证法证明)21.（8分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点且分别交于点.求证：.22.（10分）如图，在中，,的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且．⑴求证：四边形是平行四边形.⑵当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．23.（10分）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且.求证:.24.（12分）如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：是等腰三角形．25.（12分）如图，在中，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为. （1）求证：四边形为矩形.（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．第2章命题与证明检测题参考答案1.C解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误；因为对角线相等的四边形还有矩形等，所以选项B错误；因为相等的角有很多，不一定都是对顶角，所以选项D错误.故选C.2.D解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如，故①错误；②一个实数的立方根不光是正数、负数，还可能是0，故②错误；③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0或，故④错误.故选D．3.B解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.4.C解析：直角梯形有两个角相等，都是90°，但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.5.C解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.6.A解析：∵是的垂直平分线，是的中点，∴，∴，∴四边形是矩形．∵，，，∴，∴，∴，∴四边形的面积为．7.D解析：①根据作图的过程可知，是∠的平分线，故①正确.②因为在△中，∠90°，∠30°，所以∠60°.又因为是∠的平分线，所以∠∠∠30°，所以∠90°－∠60°，故②正确.③因为∠∠30°，所以，所以点在的中垂线上，故③正确.④因为在中，∠30°,所以，所以，所以.因为，所以，所以，故④正确.综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故选D.8.D解析：与60°的大小关系有，，三种情况，因而的反面是．因此用反证法证明“”时，应先假设．故选D．9.A解析：由题意知，，10.A解析：由折叠的性质知，则四边形为正方形，∴.11.或或(答案不唯一)12.如果，那么假解析：根据题意知，命题“如果，那么”的条件是“”，结论是“”，故逆命题是“如果，那么”，该命题是假命题．13.（或，等）14.5解析：∵分别是和的角平分线，∴，.∵，，∴，，∴，，∴，∴的周长．15.28解析：由勾股定理得，又，所以，所以五个小矩形的周长之和为.16.2解析：.∵在等腰梯形中，，∴.∵,∴.∴.17.①②解析：对于③，因为，其中分别是梯形上底的长、下底的长及高，而梯形中位线，所以，即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积．18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可．19.证明：假设可以互相平分，如图，连接，则四边形是平行四边形，∴，这与相矛盾.∴不可能互相平分．20.证明：如果不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）两数中恰有一个能被3整除，不妨设能被3整除，不能被3整除，令（都是整数），于是，不能被3整除，与已知矛盾.（2）两数都不能被3整除，令（都是整数），则，不能被3整除，与已知矛盾.由此可知，都是3的倍数．21.证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴∴，故.22.（1）证明：由题意知，∴，∴.∵，∴.又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：当时，四边形是菱形．理由如下：∵，∴.∵垂直平分，∴.又∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．23.证明:∵四边形是平行四边形,∴∴.在和中，，∴，∴.24.证明：∵，∴∠∠．∵于点，∴∠∠，∴∠∠∠∠．∴∠∠．∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.25.（1）证明：在△中，，，∴∠∠.∵是△外角∠的平分线，∴∠∠，∴∠∠.又∵，，∴，∴四边形为矩形．（2）解：给出正确条件即可．例如，当时，四边形是正方形．∵，于点，∴.又∵，∴.由（1）知四边形为矩形，∴矩形是正方形．。
数学：2.4证明(4)同步练(湘教版九年级上)
2.4 证明（4） 同步练习考标要求1 体会反正法的含义，掌握三角形外心的性质。
2巩固综合法证题的能力，重点：培养演绎推理的能力 ；难点：利用反证法的证题思想。
一 选择题（每小题5分共25分） 1 直角三角形斜边上的中点是（ ） A 三条边中线的交点 B 三边高线的交点， C 三个角平分线的交点D 三边中垂线的交点2（2007长沙）如图，已知等腰梯形中，，，，则此等腰梯形的周长为（ ） Ａ．19 Ｂ．20Ｃ．21Ｄ．223 Rt △中，∠C=90°，AB 垂直平分线交直线BC 于D ,若 ∠DAB=2∠DAC ，则∠B 的度数是（ ） A 18° B 36° C 54° D 30°4 如图，平行四边形ABCD 中，AB=3,BC=5,AC 的垂直平分线交 AD 于E ，则△CDE 的周长为（ ） A 6 B 8 C 9 D 105在等边三角形ABC 所在的平面内，存在着点P ,使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 共有（ ）个A 1 个B 6个C 7个D 10个ABCD AD BC ∥60B ∠=28AD BC ==，3题图DCBA4题图EADCB二填空题（每小题5分，共25分）6 三角形三边垂直平分线交于一点，这点到_____________________________的距离相等。
7（2007泰州）如图，直角梯形中，，，，，，将腰以点为中心逆时针旋转至，连结，则的面积是 ．8 如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，EF 为AB 的垂直平分线交AB 于E,交BC 于F,DG 为AC 的垂直平分线，交AC 于G ，交BC 于D,若BC=15cm,则DF 长为_____9如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB=_______. 10 用反证法证明：“一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设_____________________________________ 三 解答题（每小题10分，共50分）11 党和政府十分关心四川灾后重建工作，准备为三个村庄A 、B 、C （其位置如图所示）修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？ （写出作法，并保留作图痕迹）ABCD AD BC ∥AB BC ⊥2AD =3BC =45BCD ∠=CD D 90ED AE CE ，ADE△11题图CB A8题图D FG ECBA9题图EDCBAEDCAB7题图12 已知：等腰三角形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，相交于点O ,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S13（2007嘉兴）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE ＝BC ． （1）求证：∠E ＝∠DBC ；（2）判断△ACE 的形状（不需要说明理由）．14 用反证法证明：一条线段只有一个中点15（2007北京）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD ，∠C=60°，AE ⊥BD 于点E ，AE=1，ABCDE13题图12题图ODCBA求梯形ABCD 的高。
湘教版数学九上24证明同步测试1一
证明（1） 同步练习考标要求1了解证明的含义，明白得证明的必要性； 2 了解证明的大体步骤和书写格式。
重点难点：重点：用平行线的性质、判定定理、三角形的性质定理证明有关几何问题 难点：正确填写理由和寻觅证明思路 一 填空题（每小题5分，共25分）1（2007北京）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，DE 过点C 且平行于AB ，若∠BCE=35°，则∠A 的度数为（ ） A 35° B 55° C 45° D 60°2（ 2007 江西）如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落 在C '处，BC ' 交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助 线的情形下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个3(2007 资阳) 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则 ∠1+∠2等于（ ）A 90°B 135°C 270°D 315° 4 如图，正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（ ）A 165°B 150°C 210°D 225°21543αBACO5题图4题图6题图 1题图2题图EC'DCBACB A213题图5把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=( ) A 75° B 105° C 135° D 150° 二 填空题（每小题5分，共25分）6 （2006 扬州）如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC 是对称轴，∠A=35°∠ACO=30°那么∠BOC=______.7 等腰三角形的两边长别离是10cm,21cm,那个等腰三角形的周长等于_______cm.8 已知三角形三边长a 、b 、c 知足(a+b+c)(a+b-c)=2ab,则此三角形是________三角形。
湘教版九年级数学证明 同步练习3
证明同步练习3（满分100分）一、选择题（每小题2分，共20分）1．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判定它是矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AB=BC，AO=COC．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AO=CO=BO=DO2．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，它的高是（）A．65cm B．125cm C．245cm D．485cm3．如图1，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠BAE=（）A．30° B．45° C．50° D．35°B CAEDB CA E DOF BCA ED F(1) (2) (3)4．如图2矩形ABCD的边AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．7.5 B．6 C．10 D．55．在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连AE与CD交于F，•则∠AFC等于（）° B．120° C．135° D．150°6．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形7．如图3，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（）A．22．5° B．45° C．30° D．135°8．下面有三种说法，其中说法错误的有（）①平行四边形两组对角分别相等 •②一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．如图4，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，•能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（）A．3 B．C．DBC A P 'PBC AEDONM(4) (5) (6)10．如图5所示，正方形ABCD 的边长为3，AE=1，E 是边AB 上的点，O 是DE 的中点，• 过O 作直线分别交AD 、BC 于M 、N ，且，则（ ）A ．∠MOD=∠DEB B ．∠MOD=∠AED;C ．∠MOD=90°D ．∠MOD ≠90° 二、填空题（每小题2分，共10分）11．已知梯形的两底分别为16cm 和18cm ，两底角分别为30°和60°，•则该梯形的较短的腰长为_______． 12．已知菱形的周长为20cm ，两个相邻内角的度数比为1：2，则较短对角线的长为________． 13．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是________；顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是_________；顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是________；•顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是________．14．如图6所示，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC ，垂足为D ，M•为BC•的中点，•AB=10cm ，则MD 的长为_______． 15．如图7，E 为ABCD 的边AD 延长线一点，且D 点为AE 的黄金分割点，•即．BE 交DC 于点F，已知，则CF 的长是________． 三、计算及证明题（共70分）16．（10分）如图所示，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别交于E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形？并证明你的结论．B CAEDOF17．（10分）如图所示，在正方形ABCD 中，AE=BF=CG=DH ．求证：四边形EFGH 是正方形．BCAED H GF18．（10分）如图所示，以△ABC 的BC 为一边向同侧作正△BCD ，以AB 、AC•为边向形外作△AFB 、△ACE ，求证：AD 、EF 互相平分．BCAEDF19．（10分）如图所示，正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE•并交MN 于N ，求证：MD=MN ．BCA 1ED2NM20．（10分）如图，ABCD 中，AQ ，BN ，，DQ 分别∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA•的平分线，AQ 与BN交于P ，与DQ 交于M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）BCA QDP N M21．（10分）如图所示，菱形ABCD 中，AB=4，E 为BC 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD•于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求∠CHA 的度数．BCAEDHGF22．（10分）某市经济开发区建有B 、C 、D 三个食品加工厂，•这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，如图所示，它们之间有公路相通，且AB=CD=900m ，AD=BC=1700m ．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN ，B 、C•两厂之间的公路与自来水管道交于E 处，EC=500m ．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出； （2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？B CAED N答案:一、选择题 1．D2．C 菱形面积等于对角线乘积的一半，应用勾股定理，计算即可． 3．C ∵DB=DC ，∴∠DBC=∠C=70°，∴∠ABE=180°-70°-70°=40°，∠BAE=•90°-∠ABE=90°-40°=50°． 4．A 设BF=x ，则FC=8-x ，，∴OA=5．在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2，即62+x 2=（8-x ）2，解得x=74． 在Rt △AFO 中，AF 2-OA 2=OF 2． 又AF=FC ，∴OF 2=FC 2-O A 2=（8-74）2-52=22516BC A EDF∴OF=154，EF=2OF=2×154=152． 5．A 如图所示：∵AC=CE ，∴∠CAE=∠AEC ．又∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CAE+∠AEC=2∠CAE=45° ∴∠°∠AFC=180°-∠CAE-∠ACD=180°°-45°° 6．D 7．A 8．A9．B 由题意知△ABP ≌△ACP ′， ∴∠BAP=∠CAP ′，AP ′=AP=3，∴∠PAP•′=•∠PAC+∠CAP ′=∠PAC+∠BAP=90°． ∴PP ′=．10．D ∵DE 2，MN 2，∴DE>MN 二、填空题11．1cm 提示：可作腰的平行线，应用特殊度数的角．12．5cm 提示：菱形相邻两个角分别是60°，120°，利用等边三角形即可得出对角线为5cm ． 13．平行四边形 菱形 矩形 正方形 提示：利用三角形的中位线定理． 14．5cm 提示：把△ABC 特殊化为Rt △ABC 且∠B=2∠C=60°， 则∠C=∠BAD=30°．BM=2BC =AB=10cm ，BD=2AB=5cm ， 故MD=BM-BD=10cm-5cm=5cm ． 15．2 提示：∵DF ∥AB ，有结论DE DFAE AB=．由AD=12AE可得32DE AE -=， 设DF=x32=，，所以CF=CD-x=2． 三、计算及证明题16．证明：（1）∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠E=∠F ，∠EBO=∠FDO ，又BO=DO ，∴△BOE ≌△DOF （2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO=FO 又AO=CO ，∴四边形AECF 为平行四边形 又EF ⊥AC ，∴四边形AECF 为菱形． 17．先证△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG ，得HE=EF=FG=GH ，而∠AEH+∠FEA=90°，•即∠HEF=90°． 18．证明：∵△BCD 、△ACE 、△ABF 都是正三角形 ∴AC=EC ，BC=DC ，∠ACB=60°-∠ACD=∠ECD ∴△ABC ≌△EDC ，∴AB=DE又AB=AF ，∴DE=AF ，同理可证：AE=DF ．BCAED OHGFBCAE DHGBCAED21PNM∴四边形AEDF 为平行四边形，故AD 、EF 互相平分 19．证明：如图所示，取AD 的中点P ，连PM 则DP=PA=12AD ∵四边形ABCD 为正方形∴AD=AB ，∠A=∠DMN=90°，∴∠1=∠2 又∵M 为AB 中点 ∴AM=MB=12AB ∴DP=MB ，AP=AM ∴∠APM=∠AMP=45° ∴∠DPM=135° ∵BN 平分∠CBE ∴∠CBN=45°∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=135°即∠DPM=∠MBN ，∴△DPM ≌△MBN ，∴DM=MN 20．结论：∠APB=90°证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ∴∠DAB+∠CBA=180°又∵AP 、BP 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线， ∴∠DAP=∠PAB ，∠ABP=∠CBP∴2（∠PAB+∠ABP ）=180°，即∠PAB+∠ABP=90° ∴∠APB=90°说明：本题为开放性题目，还可证明另外一些简单结论：（1）△APB ≌△CMD ；（2）△ADQ ≌△CBN ；（3）四边形PQMN 是矩形等． 21．解：（1）如图所示，连结AC 、BD ，并且AC 和BD 相交于点O ，因为AE ⊥BC ，且AE 平分BC ， 所以△ABC 和△ADC 都是正三角形， 所以AB=AC=4，因为△ABO•是直角三角形，• 所以ABCD 的面积是（2）因为△ADC 是正三角形，AF ⊥CD ，所以∠DAF=30°， 又因为CG ∥AE ，AE ⊥BC ，• 所以四边形AECG 是矩形，所以∠AGH=90°，所以∠AHC=∠DAF+∠AGH=120°．22．解：（1）过B 、C 、D 分别作AN 的垂线段BH 、CF 、DG ，交AN 于H 、F 、G ，BH 、CF 、•DG 即为所求的造价最低的管道路线，图形如图所示． （2）BE=BC-CE=1700-500=1200（m ）（m ）因为△ABE∽△CFE，得到AB AE CF CE=所以CF=5009001500CE ABAE⨯==300（m）因为△CFE≌△BHE，得到CF CE BH BE=所以BH=1200300500BE CFCE⨯==720（m）因为△ABE∽△DGA，所以AB AE DG DA=所以DG=90017001500AB ADAE⨯==1020（m）所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800=576000（元） 800=576000（元）300×800=240000（元）1020×800=816000（元）．说明：要造价最低即是点到直线AN距离最短．。
湘教版九年级数学上册2.4 证明(3) 同步练习
2.4 证明（3）同步练习考标要求1 能有综合法证明与平行四边形的性质、判定以及三角形中位线有关的问题，体会严谨证明的必要性。
2 进一步培养表达能力。
一 填空题一 填空题（每小题5分，共25分）1 （2007乐山）如图（1），在平面四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则BCE =∠ （ ） Ａ．55Ｂ．35Ｃ．25Ｄ．302（2007嘉兴）如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的是（ ）（A ）四边形ABCD 是平行四边形（B ）AC ⊥BD （C ）△ABD 是等边三角形 （D ）∠CAB ＝∠CAD 3（2007日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为(A)4c m (B)6cm(C)8cm (D)10cm4．（2007连云港）如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边 AB ，BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA 。
下列四个判断中， 不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果∠BAC =90°，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD ⊥BC 且AB=AC ，那么四边形AEDF 是菱形5 在△ABC 中，DE 是中位线，∠B 的平分线交DE 于F,则△ABF 一定是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 直角三角形 或钝角三角形A EB CD1题图C2题图FED CB A4题图二 填空题（每小题5分，共25分）6 △ABC 与平行四边形ABCD 如图放置，点D 、G 分别在边AB 、AC 上，点E 、F 在边BC 上，已知BE=DE ，CF=FG,则∠A 的度数是_____7如图，平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F,若△FDE 的周长为10,△FCB 的周长为24，则FC 的长为_______8如图，在菱形A BCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,E 为BC 中， 则与OE 相等的线段有____________________9 如图，矩形ABCD 中，，将∠D 与∠C 分别沿着过A 和B 的直线AE 、AF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且∠EGF=∠AGB ，则AD=________.10 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，A 点，两直角边分别与CD 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，则四边形___________三 解答题（12×3+14=50）11（2007年哈尔滨）已知：如图，点E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，连接BE ，过点AH ⊥BE,垂足为H ，延长AH 交CD 于点F 。
湘教版九年级上册数学第2章复习2同步练习
第2章 一元二次方程(时间40分钟 满分120分)一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。
2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。
3、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42+=+-x x ，所以_______,21==x x 。
4、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。
5、当 ≥0时，一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式为 。
6、如果21x x 、是方程06322=--x x 的两个根，那么21x x += ，21x x ⋅= 。
7、若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根分别为 。
8、若方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k = ，另一个根为 。
9、以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 。
10、关于x 的一元二次方程0322=+++m m x mx 有一个根为零，那m 的值等于 。
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、下列方程中，一元二次方程是（ ）（A ） 221xx +（B ） bx ax +2（C ） ()()121=+-x x （D ） 052322=--y xy x 2、方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）没有实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根3、如果一元二次方程()012=+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么有（ ） （A ）m =0 （B ）m =－1 （C ）m =1 （D ）以上结论都不对4、已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（ ） （A ）21- （B ）2 （C ）21 （D ）-2 5、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（ ）（A ）同号 （B ）异号 （C ）两根都为正 （D ）不能确定6、已知一元二次方程()002≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ） A 、0=n B 、同号mn C 、的整数倍是m n D 、异号mn7、若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ） A 、12 B 、6 C 、9 D 、168、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）A 、%10B 、%15C 、%20D 、%25三、解下列方程（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1、0152=+-x x （用配方法）2、()()2232-=-x x x3、052222=--x x4、()()22132-=+y y四、（8分）当m 为何值时，一元二次方程()()033222=-+-+m x m x 有两个不相等的实数根?五、（10分）不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程272=-x x 的两根的2倍。
湘教版九年级上册数学(XJ) 同步练习一元二次方程根的判别式2
2.3 一元二次方程根的判别式●拓展提高1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-=2、如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.3、用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.4、求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．5、若关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．提示：不等式30ax +>中含有字母系数a ，要想求30ax +>的解集，首先就要判定a 的值是正、负或0．利用条件一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根可以求出a 的取值范围．●体验中考1、（河南）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠ 注意:一元二次方程22(21)10k x k x -++=的二次项系数含有字母k .2、（湖南株洲）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==。
【湘教版】八年级数学上2.4证明(1)同步训练(含答案)
课时评价13 2.4 证明（1）考标要求：1. 了解证明的含义，理解证明的必要性；2. 了解证明的基本步骤和书写格式。
重点难点：重点：用平行线的性质.判定定理.三角形的性质定理证明有关几何问题; 难点：正确填写理由以及寻找证明思路。
一.填空题：（每小题5分，共25分）1.如图1 , Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , DE 过点C 且平行于 AB ，若/ BCE=35，则/ A 的度 数为（ ） A. 35B. 55C. 45D. 60C'■B如图2，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C 处,BC 交AD 于E , 22.5°则在不添加任何辅助线的情况下，图中 2. 若 DBC的边）有（A . 6个3.如图3,已知△45 的角（虚线也视为角 ）B . 5个C . 4个ABC 为直角三角形，/ C=90°,若沿图中虚线剪去/ D. 3个 C,则/ 1+Z 2等于()A. 90 °B. 135° C.270 °4.如图4，正方形网格中，/1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5等于(D. 315 A.165 ° B.150° C.210---------------- (7/Z纟--------------- i55.如图5，把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角a=（） A.75 °B.105°C.135°D.150°：EO图4)如图6，这是小亮制作的风筝， 为了平衡做成轴对称图形， 已知OC 是对称轴，/ A=35°/ ACO=30 那么/ BOC= ______ .证明：如图，EG// AF ,请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个作为 结论，推出一个正确的命题.（只写出一种情况）14.分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连接 PA.PB,构成/PAC.Z APB.Z PBD 三个角。
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2.4 证明（2）同步练习
考标要求1能用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定解有关几何问题
2 继续了解证明的基本步骤和书写格式，培养推理意识和表达能力。
重点：用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定证明有关几何问题证明有关几何问题
难点：用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定解决实际问题
一选择题（每小题5分，共25分）
1如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4，则PD等于（）
A 4
B 3 D 2
C 1
2 如图，在下列三角形中，若AB=AC,则能被
一条直线分成两个小等腰三角
形的是（）
A ①②③
B ①②④
C ②③④
D ①③④
3 △ABC为等腰三角形，
∠ABC、∠ACB的平分线相交于O,OE∥AB交BC于E，
OF∥AC,交BC于F,则图中等腰三角
形有（）
A 6
B 5
C 4
D 3
4 同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，
是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面
垂直，OA=OB,当跷跷板的一头着地时，
∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时
∠AOA’等于（）
A 2 5°
B 50 °
C 60°
D 130°
5如图，AC平分∠BAD,CM⊥AB,且AB+AD=2AM,那么∠ADC与∠ABC（）A 相等 B 互补 C 和为150° D 和为165°④
③
C
B
A
C
B
A
108°90°
第2题图
O A
M B
D
C P
B
O A
②
C
B
A
45°
①
C
B
A
36°
第1题图
二填空题（每小题5分，共25分） 6 如图，已知：AB ∥CD,
∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O,OE ⊥AC 于E,且OE=2cm,则AB 、CD 间的距离是________.
7 如图，已知，∠C=90°，AD 平分∠BAC,点D 到AB 的距离是3cm,则DC=_____cm 8 （2007年杭州）一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该是 _____________________________________ 9 如图，已知△ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线的交点P 恰好在BC 边
的高AD 上，那么△ABC 一定是__________三角形 10 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AD=DE=EB ， BD=BC ，那么∠A=___°.
三 解答题（每小题10分，共50分）
C
O
B'
A'
B
A
第4题图
第7题图 D
C
B
A
第6题图 E
O D
C B
A
P
D C
B
A
9题图 E
D
C
B A 10题图
11已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA=OC ，OB=OD 。
求证：AB=CD 。
12 如图 AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF ，交AF 的延长线于D ，DE ∥AC 交AB 于E ，，求证：AE=BE
13 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积为332
cm ， AB=10cm,AC=12cm,求DF 的长。
E
F
D
C
B
A
11题
12题图
F
E
D
C
B
A 13题图
D
B C
A P
14 如图，现在给出两个三角形，请你把图1分割成两个等腰三角形，把图2分割成三个等腰三角形。
15 （2007年乐山）如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边上，且BD AE =，AD 与
CE 交于点F ．
（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数．
14题图
75°
70°35°图1
72°72°36°
图2
D
A E
F
B
C
15题图（11）
2.4证明（2）参考答案
1 D
2 D
3 B
4 D
5 B
6 4
7 3
8 70° 40° 40°或70°70°40°
9等腰三角形10 45 11∵OP平分∠AOC和∠BOD，∴∠BOP=∠DOP, ∠AOP=COP,∴∠AOB=∠COD,又∵OA=OC,OB=OD,∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD
12 ∵AF平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC, ∴∠EDA=∠CAD=∠BAD,∴AE=ED∵∠EDB+∠ADE=90°∴∠BDE+∠BAD=90°∵∠EBD+∠BAD=90°∴∠BDE=∠EBD
∴BE=ED∴AE=BE
133cm
14如图
15(1)易证△ABD≌△CAE
∴AD=CE
（2）由（1）知，∠BAD=∠ACE ∴∠DFC=∠DAC+∠ACE
=∠DAC+∠BAD=60°图1
图2
36°
72°
72°
36°35°
75°
70°
35°。