2020年中考专题复习：相似三角形

2.相似三角形的判定： （1）按定义判定
（2） 两角分别相等
的两个三角形相似。
（3） 两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。
（4） 三边成比例
的两个三角形相似。
（5） 平行 于三角形一边的直线与其他两边（或两边 的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3.相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 。
四、相似多边形
1.定义：如果两个边数相同的多边形的各角 相等 、各
边 成比例 ，那么这两个多边形相似。相似多边形的对应边
的比叫作 相似比 。
2.性质：
（1）对应角 相等 、对应边 成比例 。
（1）相似多边形周长的比等于 相似比
。
（2）相似多边形面积的比等于 相似比的平方 。
五、图形的位似
1.定义:如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线 相交于一点， 对应边互相平行或在同一直线上 ,像这样的两个图形叫做位似图 形, 这个交点叫做 位似中心 ，位似图形的相似比又称为 位似比 。
2.位似图形的性质： （1）对应点所在直线都经过同一点 （2）对应边互相平行（或者在同一直线上）。 （3）对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
例3：如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴
上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形
OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 1/4 ，那么点B′的坐标是( D )
法二：作CN//x轴 交DE于点N，利 用“A字型”相似，
8
4
8
可求出CN=4,再利
用“8字型”相似，
可求出PB=2,则
AP=1
比例的基本性质 黄金分割
对应边成比例 对应角相等 对应线段之比等于相似比
周长之比等于相似比
性质
面积之比等于相似比的平方
对应边成比例 对应角相等
性质 位似计算
联系三角函数 联系一次函数 联系二次函数
二、比例线段 （3）黄金分割
如图，点B把线段AC分成两部分（AB＞BC），如果 BC = AB ，
AB AC
那么称线段AC被点B 黄金分割 ，点B为线段AC的 黄金分割点 .
5 1
BC与AB（或AB与AC）的比称为黄金比，这个比值为 2 ，
约为 0.618 。
例1：如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ D ）
（2）相似三角形对应线段的比等于 相似比 。
（3）相似三角形周长的比等于 相似比
。
（4）相似三角形面积的比等于 相似比的平方 。
例2：
1:4
BE：EC
DE：AC=1:5 BE：BC=1:5
比较：（1）相似三角形的面积之比等于相似比的平方； （2）高相等，三角形面积之比等于底之比； 底相等，三角形面积之比等于高之比。
也可利用外角性质∠DP B = ∠A+∠ADP 而∠DP B=∠DPC+∠BPC
“改斜归正” “模型思想”
例5（2017无锡中考27题）：如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点 （点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两 点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．看到比例，想到相似。 （1）求点P的坐标； （2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
A.∠ABD=∠ACB
B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2 AD • AC
D. AD BD
AB BC
AB AD AC AB
三、相似三角形及其判定与性质
1.定义： （1）相似图形 ： 形状相同 的图形是相似形。 （2）相似三角形：各角对应 相等 、各边对应 成比例 的两 个三角形叫作相似三角形。
AB = DE BC EF
二、比例线段
AB = DE AC DF
BC = EF AC DF
（1）定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条
线段的比，那么这四条线段叫做 成比例线段 。
（2）基本性质：如果a:b=c:d，那么 ad=bc ；反之也成立。
特例：如果a:b=b:c，那么我们把b叫作a和c的 比例中项 。
M
E
作EH⊥x轴于H 设P（m,0）
C N
思路：连接OC,求出CP= 2 2 ， 利用“A字形”相似求出EH，AH，得E（9，6 2 ）
利用两次相似求出 m=1,则P（1,0）
AP PB D
HHH
又由A（-3,0），对称轴是直线x=1，共3个条件，必定可以
求出抛物线解析式为 y 2 x2 2 x 15 2 。
相似形
比例线段 相似三角形 相似多边形
位似图形 相似应用
平行线分线段成比例
判定 判定
定义判定 平行相似 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角角相等 三边对应成比例
对应边成比例 对应角相等
位似作图
联系特殊三角形 联系特殊四角形 联系动点问题
A．(3,2)
B．(－2，－3)
C．(2,3)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2 )
C′
A′
B′
A′
B′ C′
注意：作一个图形的位似图形时， （1）看清楚位似比，是将原图形放大还是缩小 （2）两个图形可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的异侧
“K字形”相似 “一线三等角”模型
x
y
例4：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，
图形的相似
A：了解 （1）相似多边形和相似比，相似图形的简单应用 （2）图形的位似，将一个图形放大或缩小
B：理解（1）比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；黄金分割 （2）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
C：掌握 相似三角形及其判定与性质
一、平行线分线段成比例
基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．
AD AP BP BC
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△DAP∽△PBC
∠ADP+∠APD= 90°
∠BPC+∠APD= 90°
∠ADP=∠BPC
探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当
∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
∠ADP +∠APD = 180°－ θ ∠BPC +∠APD = 180°－ θ