2013届人教A版文科数学课时试题及解析(6)函数的奇偶性与周期性B

1 2
(a
x＋
a－
x
)
D ．f (x)＝ sinx
6．设偶函数 f(x) 满足 f(x)＝ 2x－ 4(x≥ 0)，则 { x|f(x－2) ＞0} ＝ (
)
A ． { x|x＜－ 2 或 x＞ 4} B． { x|x＜ 0 或 x＞ 4}
C．{ x|x＜ 0 或 x＞ 6} D ．{ x|x＜－ 2 或 x＞ 2} 7． 已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 则 f(2011)＋ f(2013) 的值为 ( )
④在区间 (－∞， 0)上， f (x)是增函数．
其中正确的是 ( )
A ．①② B．②④ C．①③ D ．③
9． 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 y＝ f(x)的图象关于直线
x＝ 13对称，则 f
－2 3
＝(
)
A．0 B．1
C．－ 1 D． 2 10．设 a 为常数， f(x)＝ x2－ 4x＋ 3，若函数 f(x＋a)为偶函数，则 ＝________.
图 K6 － 1 4． 设函数 f(x) ＝x(ex＋ ae－x)(x∈ R )是偶函数，则实数 a 的值为 ________．
能力提升
5． 下列函数中既是奇函数，又在区间 [－ 1,1]上单调递减的是 ( )
2－ x A ． f(x)＝ ln2＋ x B． f(x)＝－ |x＋ 1|
C．
f
(x
)＝
＝
e－
x
.又因为
f(x)＋ g(x)＝ ex，所以
ex－ e－x g(x)＝ 2 .
f(－ x)＋ g(－ x)＝ f(x)－ g(x)
2．B [解析 ] 令 g( x)＝ f(x)－ 1＝ x3＋ sinx，则 g(x)为奇函数，所以 g(x)的图象关于原点 (0,0)
对称，当 x＝0 时，有 f (0)－ 1＝ 0，此时 f(0)＝ 1，所以对称中心为 (0,1)．
∴f (|x－ 2|)＞ 0，∴ |x－ 2|＞ 2，解得 x＞ 4 或 x＜ 0，∴ { x|x＜ 0 或 x＞ 4} ．
7． C [ 解析 ] 由题意得 g(－ x)＝ f(－ x－ 1)，又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是 定义在 R 上的奇函数，所以 g(－ x)＝－ g( x)，f( － x)＝f(x)，∴ f(x－ 1)＝－ f(x＋ 1)，∴ f(x)＝－
函数 h(x)＝ ex＋ ae－x 为奇函数．又函数 f(x)的定义域为 R，∴ h(0) ＝ 0，解得 a＝－ 1.
【能力提升】
5．A
[ 解析 ]
y＝ sin x 与
y＝
ln
2－ 2＋
x为奇函数，而 x
y＝
1 2
(a
x＋
a
－
x
)为偶函数，
y＝－ |x＋ 1|是
非奇非偶函数． y＝ sinx 在 [ － 1,1] 上为增函数．故选 A. 6．B [解析 ] ∵f(x)＝ 2x－4(x≥ 0)，∴令 f(x)＞ 0，得 x＞ 2.又 f (x)为偶函数且 f(x－ 2)＞ 0，
在(1 ，＋∞ )上单调递增．
(1)求 a， b， c 的值；
(2)当 x<0 时， f(x)的单调性如何？证明你的结论． 难点突破
13． (12 分 )已知定义在 (－∞， 0) ∪(0，＋∞ )上的函数 f (x)满足：① ? x， y∈ (－∞， 0) ∪(0 ，＋∞ )， f(xy) ＝f(x)＋ f(y)；②当 x>1 时， f(x)>0 ，且 f (2)＝ 1.
f(x＋ 2)，∴ f(x)＝ f(x＋ 4)，∴ f(x) 的周期为 4，∴ f(2011) ＝f(3)＝ f(－ 1)，f(2013) ＝ f(1) ．又∵ f(1) ＝f (－ 1)＝ g(0)＝ 0，∴ f(2011) ＋ f(2013) ＝ 0.
8． C [ 解析 ] 由函数 f(x)的定义域为 (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )，且 f(－ x)＝ f(x)，所以 f(x)
D.
12(ex－
e－
x
)
2．函数 f(x)＝ x3＋ sinx＋ 1 的图象 (
)
A ．关于点 (1,0)对称 B．关于点 (0,1)对称
C．关于点 (－ 1,0)对称 D．关于点 (0，－ 1)对称
3． 设函数 f(x)( x∈R )满足 f(－ x)＝ f(x)， f(x＋ 2)＝ f(x)，则 y＝ f(x)的图象可能是 ( )
(1)试判断函数 f(x)的奇偶性； (2)判断函数 f(x)在 (0，＋∞ )上的单调性；
(3)求函数 f(x)在区间 [－ 4,0)∪(0,4] 上的最大值； (4)求不等式 f(3x－ 2)＋ f(x)≥ 4 的解集．
2
【基础热身】
课时作业 (六 )B
1． D [ 解析 ] 因为函数 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以
g(x)＝f (x－ 1)，
A ．－ 1 B． 1
C．0 D．无法计算 x2 ＋ 1
8．关于函数 f(x) ＝lg |x| ( x∈R ， x≠0)，有下列命题：
①函数 y＝ f(x)的图象关于 y 轴对称；

②在区间 (－∞， 0)上， f (x)是减函数；
③函数 y＝ f(x)的最小值是 lg2；
a＝________； f[ f(a)]
11． 设 f (x)是偶函数，且当 x>0 时是单调函数，则满足
f(2x)＝ f
x＋ 1 x＋ 4
的所有
x 之和为
________ ．
1
12． (13 分)设函数
f
(x)
＝
ax2＋
1 是奇函数
bx＋ c
(a， b， c
都是整数 )，且
f (1)＝ 2， f(2)<3 ， f(x)
课时作业 (六 )B [第 6 讲 函数的奇偶性与周期性 ]
[ 时间： 35 分钟 分值： 80 分 ]
基础热身
1． 若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x) 满足 f(x)＋ g(x)＝ ex，则 g(x)＝ ( )
A ． ex－ e－x
B.
1 2
(ex＋
e－
x
)
1 C.2(e
－
x－
ex)
3． B [ 解析 ] 由 f(－x)＝ f (x)可知函数为偶函数，其图象关于 y 轴对称，可以结合选项 排除 A 、C，再利用 f (x＋ 2)＝ f(x)，可知函数为周期函数，且 T＝ 2，必满足 f(4)＝ f(2)，排除
D，故只能选 B. 4．－ 1 [ 解析 ] 设 g(x)＝ x， h(x)＝ ex＋ae－ x，因为函数 g(x)＝ x 是奇函数，则由题意知，