概率论与数理统计发展史

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教材:《概率论与数理统计》刘国祥等

教材:《概率论与数理统计》刘国祥等

两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1 , A 2 , , A n , 两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
6.对立关系(余关系或逆关系)
(1)定义:若A 与B 满足
AB , AB
BA A
称A 与B 相互对立的,并且把B称为A 的对立
法buffon 英Pearson 英Pearson
总次数n
4040 12000 24000
出现正面次数μ
2048 6019 12012
μ/n
0.5069 0.5016 0.5005
从上表可知,随着试验次数的不断增加,出 现正面与反面的次数差不多,即出现正面与 反面的可能性大小一样,分别是1/2.这就是“掷 硬币”这一现象的内在规律性.
2.样本点与样本空间
●样本点: 试验的每一个可能发生的
结果称为一个样本点,记为.
●样本空间:随机试验的所有可能结果所 组成的集合称为样本空间,记为。
这里要说明的是: 样本点及样本空间只是特殊的元素与集合而已.
例1.1 T1: 掷一枚质地均 匀的硬币,观察其出现 正面还是反面。
例1.2 T2: 掷一枚质地均 匀的骰子,观察其出现 的点数。
§1.1 随机事件及其运算
一、随机试验与样本空间
概率论的研究对象是随机现象,而对随机现 象是通过试验来研究的.
1.随机试验
对某事物特征进行观察, 统称试验. 定义:若试验满足 1.可在相同的条件下重复进行;(可重复性) 2.试验的可能结果不止一个, 但事先能 明确所有可能发生的结果;(可知性) 3. 试验前不能预知出现哪种结果;(随机性)
如:E2: 掷一枚质地均匀的骰子,观察其出现 的点数。

数理统计学的发展历程

数理统计学的发展历程

数理统计学的发展历程数理统计学是伴随着概率论的发展而发展起来的。

19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作,如C.F.高斯和A.M.勒让德关于观测数据误差分析和最小二乘法的研究。

到19世纪末期,经过包括K.皮尔森在内的一些学者的努力,这门学科已开始形成。

但数理统计学发展成一门成熟的学科,则是20世纪上半叶的事,它在很大程度上要归功于K.皮尔森、R.A.费希尔等学者的工作。

特别是费希尔的贡献,对这门学科的建立起了决定性的作用。

1946年H.克拉默发表的《统计学数学方法》是第一部严谨且比较系统的数理统计著作,可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志。

数理统计学的发展大致可分3个时期。

第一时期20 世纪以前。

这个时期又可分成两段,大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线,前段属萌芽时期,基本上没有超出描述性统计量的范围。

后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。

首先,强调了推断的地位,而摆脱了单纯描述的性质。

由于高斯等的工作揭示了正态分布的重要性,学者们普遍认为,在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量,都可以满意地用正态分布来刻画。

这种观点使关于正态分布的统计得到了深入的发展,但延缓了非参数统计的发展。

19世纪末,K.皮尔森给出了以他的名字命名的分布,并给出了估计参数的一种方法——矩法估计。

德国的F.赫尔梅特发现了统计上十分重要的x2 分布。

第二时期20世纪初到第二次世界大战结束。

这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。

许多重要的基本观点和方法,以及数理统计学的主要分支学科,都是在这个时期建立和发展起来的。

这个时期的成就,包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。

在其发展中,以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。

第三时期战后时期。

这一时期中,数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。

概率论与数理统计-6

概率论与数理统计-6

一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本,样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数,且不含有任何未知参数,则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性,统计量作为样本的函数也具有二重性,即对 一次具体的观测或试验,它们都是具体的数值,但当脱离开具体的某 次观测或试验,样本是随机变量,因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )

(3)样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2

(6-5)
(4)样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1,2 ,3,
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布,容量为10的样本观察值如下:
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ,1) 分布,求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ,1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p

概率论的产生与发展

概率论的产生与发展

8.2 来自保险业的推动

概率论的研究虽来源于对赌博问题的研 究,但促使它迅速发展的直接动力却是来自保 险业的需要。18世纪的欧洲,工商业迅速发展, 一门崭新的事业——保险业开始兴起。保险公 司为了获取丰厚的利润,必须预先确定火灾、 水灾、死亡等意外事件发生的概率,据此来确 定保险价格。例如,人寿保险的价格是这样确 定的,先对各种年龄死亡的人数进行统计,得 到下表(表8-1):

在七年后修改扩充为《机遇原理》发表,这是 早期概率论的专著之一。在这部著作中,他首 次定义了独立事件的乘法原理,给出二项式公 式,并讲座了许多投掷骰子和其他的赌博问题。 对概率论的了展作出了重大推进。书中提出了 概率乘法法则,以及“正态分布”、“正态分 布律”等概念,得到了现在被称为“棣莫弗— 拉普拉斯定理”的特例,这也是“中心极限定 理”的一部分。另外,他于1730年出版的概率 著作《分析杂录》中使用了概率积分

出一次4点时,梅累接到通知,要他马上 陪同国王接见外宾,君命难为,但就此收回各 自的赌注又不甘心,他们只好按照已有的成绩 分取这64个金币。这下可把他难住了。赌友说, 虽然梅累只需再碰上一次6点就赢了,但他若 再碰上两次4点,也就赢了。所以他分得的金 币应是梅累了一半,即64个金币的三分之一。 梅累不同意这样分,他说,即使下次赌友掷出 一个4点,他还可以赢得赌金的二分之一,即 32个;再加上下次他还有一半希望是6点,这 样又可分得16个金币,所以他至少应得64个金 币的四分之三。谁是谁非,争论不休,其结果 也就不得而知了。不过梅累对于此事却

明,针与其中任一直线相交的概率为p=2,当 p=2 l / a ,通过实验得到时,我们就可以用 之来确定圆周率值。蒲丰的这一方法后来发展 为著名的蒙特卡洛方法,对于解决许多繁难的 积分、线性方程和微分方程问题很有成效。 到了19世纪初,概率论的研究开始朝着 系统化的方向发展,其中贡献较大的数学家有: 法国的拉普拉斯、泊松,德国的高斯,俄国的 契比雪夫、马尔科夫等。 拉普拉斯一生写过好几本概率论专著,其 中《分析概率论》(1812年)被誉为古典概率 论系统理论的经典之作,全面总结了前一时期 概率论的研究成果,并予以亚密而又系统的。

概率论与数理统计发展史简要、主要内容概要及其主要应用

概率论与数理统计发展史简要、主要内容概要及其主要应用

概率论与数理统计是一门研究随机现象和数据分析的学科。

以下是关于概率论与数理统计发展史、主要内容概要以及其主要应用的简要介绍:发展史概率论与数理统计是数学的重要分支之一,其发展可以追溯到17世纪。

以下是一些重要的里程碑事件:- 1654年,法国贵族帕斯卡尔引入概率论的基本概念。

- 18世纪,瑞士数学家伯努利家族对概率论做出了系统的研究,并提出伯努利试验和大数定律。

- 19世纪,法国数学家拉普拉斯在概率论方面有很多重要贡献,提出了拉普拉斯公式和拉普拉斯逼近定理。

-20世纪,俄国数学家科尔莫哥洛夫发展了现代概率论的基本框架,建立起了测度论和概率测度的数学基础。

主要内容概要概率论研究随机现象的规律性和不确定性,主要包括以下几个方面的内容:1. 概率基本概念:包括样本空间、事件、随机变量等。

2. 概率分布:研究随机变量的取值及其对应的概率。

3. 大数定律:研究随机变量序列的稳定性,指出当样本容量足够大时,随机现象的长期平均值收敛于期望值的概率趋近于1。

4. 中心极限定理:研究多个相互独立的随机变量之和的分布趋近于正态分布的概率。

数理统计是利用样本数据对总体特征进行推断和决策的学科,主要内容如下:1. 抽样方法:研究如何从总体中获取代表性样本的方法。

2. 统计描述:通过统计量对总体特征进行度量和描述。

3. 参数估计:利用样本数据对总体参数进行估计。

4. 假设检验:根据样本数据对关于总体的假设进行推断和判断。

5. 方差分析和回归分析:研究多个变量之间的关系和影响。

主要应用概率论与数理统计具有广泛的应用领域,涉及自然科学、社会科学、工程技术等众多领域,包括但不限于以下方面:1. 金融和风险管理:用于分析投资组合的风险、金融市场波动性的预测和金融产品的定价。

2. 医学和生物统计学:应用于疾病概率分析、药物疗效评估和流行病学研究等。

3. 工程和质量控制:用于产品质量分析、过程改进和可靠性评估。

4. 社会科学和市场调查:用于样本调查、舆论调查和社会现象的分析。

统计学发展历程简述

统计学发展历程简述

统计学发展历程简述
统计学是一门通过搜索、整理、分析数据等手段,以达到推断所测对象的本质,甚至预测对象未来的一门综合性科学。

其中用到了大量的数学及其它学科的专业知识,它的使用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。

据权威统计学史记载,从17世纪开始就有了“政治算术”、“国势学”,即初级的社会统计学,起源于英国、德国。

几乎同时在意大利出现了“赌博数学”,即初级的概率论。

直到19世纪,由于概率论出现了大数定理和误差理论,才形成了初级的数理统计学。

也就是说,社会统计学的形成早于数理统计学两个世纪。

由于社会统计学广泛地用于经济和政治,所以得到各国历届政府的极大重视,并得到系统的发展。

而数理统计在20世纪40年代以后,由于概率论的发展,而得到飞速发展。

经过近400年的变迁,目前世界上已形成社会统计学和数理统计学两大体系。

两体系争论不休,难分伯仲。

概率论的发展历史及应用

概率论的发展历史及应用

概率论的发展历史及应用概率论是数学的一个重要分支,研究的是随机现象和不确定性的数学模型和方法。

它有着丰富的发展历史,并且在各个领域中都有广泛的应用。

下面将从概率论的起源、发展过程、重要成果以及在实际中的应用几个方面进行详细分析,回答1500字以上。

人类对于不确定性的思考可以追溯到古代。

早在古希腊时代,人们已经开始对游戏和抛硬币等随机事件进行观察和研究。

然而,现代概率论的发展始于17世纪末的欧洲。

1654年,法国贵族帕斯卡在与数学家费马的通信中讨论了赌局的分赌问题,这可以看作是概率论的起源。

而在17世纪末和18世纪初,研究概率的工具和方法的发展取得了重要的突破。

概率论的发展历程中有两个重要的里程碑。

一个是拉普拉斯在1812年出版的《关于自然哲学的概率理论》(Théorie analytique des probabilités),这是概率论中第一本系统且完整的著作,奠定了概率论的基础。

拉普拉斯提出了概率的公理系统,并建立了概率的运算法则,成为后来概率论研究的基础。

另一个是科尔莫哥洛夫在1933年出版的《概率论基础》(Foundations of the Theory of Probability),这是概率论中第一本严密的数学著作,对概率论的定理和证明进行了系统的研究。

概率论的发展至今已经取得了许多重要成果。

首先,概率论建立了完整的公理体系,包括概率的定义、运算法则、一些基本定理等。

其次,概率论有了一些重要的分支,如条件概率、独立性、随机过程等。

此外,概率论也与其他数学分支相结合,如统计学、数理逻辑等,形成了统计学、数理统计等新的学科。

最后,概率论的数学方法也被广泛应用于物理学、生物学、经济学、金融学、工程学等各个领域,推动了科学和技术的发展。

概率论在实际中的应用广泛而深远。

在物理学中,概率论应用于量子力学、统计力学等领域,解释和描述微观粒子的行为。

在生物学中,概率论应用于遗传学、生态学等领域,研究基因的变异和生物群落的演变。

第一章 事件与概率

第一章 事件与概率
概率论与数理统计
事件的和(A∪B) : 事件A和事 件B中至少有一个发生的这 一事件称为事件A和事件B 的和, 记为A∪B. 事件的积(A∩B) : 事件A和事 件B同时发生这一事件称为 事件A和事件B的积, 记为 A∩B. 如果A∩B= Φ, 则称A和B不相 容, 即事件A和B不能同时发 生.
概率论与数理统计
概率论与数理统计
样本空间的分割
设B1, B2, · · · Bn是样本空间Ω中的两两不相 容的一组事件, 即BiBj = Φ, i ≠ j, 且满足 n i =1 Bi =Ω, 则称B1, B2, · · · , Bn 是样本空间Ω 的一 个分割(又称为完备事件群,英文为partition).
Ac
对立事件: A不发生这一 事件称为事件A的对立 事件(或余事件) .
事件A和事件B的差A−B: 事件A发生而事件B不发 生这一事件称为事件A 和事件B的差, 记为A−B.
概率论与数理统计
De Morgan对偶法则
De Morgan对偶法则
上面公式可以推广到n个事件:
概率论与数理统计
什么是概率
概率论与数理统计
随机现象和随机试验
随机现象:自然界中的客观现象, 当人们观测它时, 所得结果不能预先确定, 而仅仅是多种可能结果 之一.
随机试验: 随机现象的实现和对它某特征的观测.
随机试验的要求: 结果至少有两个;每次只得到其 中一种结果且之前不能预知;在相同条件下能重复 试验. 举例说明随机现象和随机试验.
概率论与数理统计
(三)主观概率
人们常谈论种种事件出现机会的大小, 如某人有80% 的可能性办成某事. 而另一人则可能认为仅有50%的 可能性. 即我们常常会拿一个数字去估计这类事件发 生的可能性, 而心目中并不把它与频率挂钩.

概率论发展史

概率论发展史

概率论发展史1. 引言概率论是数学中的一个重要分支,研究随机现象的规律和性质。

它在科学、工程、金融等领域都有广泛应用。

本文将从概率论的起源开始,介绍概率论的发展历程,包括重要的里程碑事件和贡献者。

2. 古代概念在古代,人们对于随机现象已经有了一些基本的认识。

例如,中国古代农民通过观察天气、星象等来预测农作物的收成;希腊古代哲学家亚里士多德提出了“偶然”这个概念,认为某些事件是由于偶然而不可预测的。

3. 概率论的起源概率论的起源可以追溯到17世纪。

1654年,法国数学家帕斯卡尔和费马在一封信中讨论赌博问题时引入了概率的概念。

他们研究了掷骰子游戏中两个人分别获胜的可能性,并发现了一种计算概率的方法。

4. 初步建立在17世纪晚期和18世纪初期,概率论得到了进一步的发展。

1657年,帕斯卡尔出版了《赌徒论》,其中介绍了他的概率计算方法。

1713年,瑞士数学家伯努利发表了《大数定律》,提出了概率的频率解释。

5. 概率公理化19世纪末到20世纪初,概率论经历了一次重要的革命,即概率公理化。

1900年,法国数学家布尔巴基成立了巴黎数学学派,并推动了概率论的公理化建设。

他们将概率定义为事件发生的可能性,并引入了三个公理来描述概率的性质。

6. 随机变量与分布函数20世纪初,俄国数学家柯尔莫哥洛夫在研究随机现象时引入了随机变量的概念。

随机变量是一个函数,将样本空间中的每个样本映射到一个实数。

此后,柯尔莫哥洛夫和其他数学家进一步研究了随机变量的性质和分布函数。

7. 概率论的应用随着概率论的发展,它在各个领域的应用也越来越广泛。

在统计学中,概率论是基础;在工程领域,概率论用于可靠性分析和风险评估;在金融领域,概率论被用于衡量风险和制定投资策略。

8. 现代概率论20世纪中期以后,概率论得到了进一步的发展和完善。

1950年代,美国数学家卡尔曼提出了卡尔曼滤波器,将概率论应用于控制系统中。

此后,随机过程、马尔可夫链等新的概念和方法相继出现。

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、概率定义的发展与分析1.古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老,它源于赌博.博弈的形式多种多样,但是它们的前提是“公平”,即“机会均等”,而这正是古典定义适用的重要条件:同等可能.16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹(1501—1576)所说的“诚实的骰子”,即道明了这一点.在卡尔丹以后约三百年的时间里,帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作.直到1812年,法国数学家拉普拉斯(1749—1827)在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义:事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比.2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率,并给出了简单可行的算法.它适用的条件有二:(1)可能结果总数有限;(2)每个结果的出现有同等可能.其中第(2)条尤其重要,它是古典概率思想产生的前提.如何在更多和更复杂的情况下,体现出“同等可能”伯努利家族成员做了这项工作,他们将排列组合的理论运用到了古典概率中.用排列(组合)体现同等可能的要求,就是将总数为P(n,r)的各种排列(或总数为C(n,r)的各种组合)看成是等可能的,通常用“随意取”来表达这个意思.即使如此,古典定义的方法能应用的范围仍然很窄,而且还有数学上的问题.“应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利(1654—1705)“寻找另一条途径找到所期待的结果”,这就是他在研究古典概率时的另一重要成果:伯努利大数定律.这条定律告诉我们“频率具有稳定性”,所以可以“用频率估计概率”,而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础.“古典定义数学上的问题”在贝特朗(1822—1900)悖论中表现得淋漓尽致,它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处,这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评.3.统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观,但是适用范围有限.正如雅各布•伯努利所说:“……这种方法仅适用于极罕见的现象.”因此,他通过观察来确定结果数目的比例,并且认为“即使是没受过教育和训练的人,凭天生的直觉,也会清楚地知道,可利用的有关观测的次数越多,发生错误的风险就越小”.虽然原理简单,但是其科学证明并不简单,在古典概型下,伯努利证实了这一点,即“当试验次数愈来愈大时,频率接近概率”.事实上,这不仅对于古典概型适用,人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律.1919年,德国数学家冯•米塞斯(1883—1953)在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义:在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动,显示出一定的稳定性,把这个固定的数值定义为这一事件的概率.4.统计定义的简单分析虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率,但是却给出了一个估计概率的方法.而且,它不再需要“等可能”的条件,因此,从应用的角度来讲,它的适用范围更广.但是从数学理论上讲,统计定义是有问题的.在古典概率的场合,事件概率有一个不依赖于频率的定义——它根本不用诉诸于试验,这样才有一个频率与概率是否接近的问题,其研究导致伯努利大数定律.在统计定义的场合这是一个悖论:你如不从承认大数定律出发,概率就无法定义,因而谈不上频率与概率接近的问题;但是你如承认大数定律,以便可以定义概率,那大数定律就是你的前提,而不是一再需要证明的论断了.5.公理化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题,所以到了19世纪,无论是概率论的实际应用还是其自身发展,都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察.1900年,38岁的希尔伯特(1862—1943)在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题,这就是著名的希尔伯特23个问题中的第6个问题.这引导了一批数学家投入这方面的工作.在概率公理化的研究道路上,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(1903—1987)成绩最为卓著,1933年,他在《概率论基础》中运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论严密性.6.公理化定义的简单分析为什么直到20世纪才实现了概率论的公理化,这是因为20世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论,而这都是概率论公理化体系建立的基础.柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念,形成了概率论的公理化体系,他的公理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性,又避免了各自的局限.例如,公理中有一条,是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来,在这个前提下,大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断,这就避免了“4”中统计定义的数学理论上的问题;而公理中关于“概率存在”的规定又有其实际背景,这就是概率的古典定义和统计定义.所以,我们说,概率论公理体系的出现,是概率论发展史上的一个里程碑,至此,概率论才真正成为了严格的数学分支.二、关于概率定义教学的几点思考对于概率的定义,教科书是先给出古典定义,然后再给出统计定义.这与历史上概率定义的发展相吻合,从“简单到复杂”.在教学中,我们不仅要明了这种顺序的设计意图,而且还要抓住不同定义的特点和思想,以引导学生更好地理解概率.1.古典定义的教学定位在前面的分析中,我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征,它是古典概率思想产生的前提.正是因为“等可能”,所以才会有了“比率”.因此,“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点.“等可能”是无法确切证明的,往往是一种感觉,但是这种感觉是有其实际背景的,例如,掷一枚硬币,“呈正面”“呈反面”是等可能的,因为它质地均匀;而掷一枚图钉,“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的,因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻.因此,“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析,只需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可,以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件.2.统计定义的教学定位从直观上讲,统计定义是非常容易接受的,但是它的内涵是非常深刻的,涉及到大数定律.在初中阶段,我们不可能让学生接触其严格的形式和证明.因此,统计定义定位在其合理性和必要性是比较恰当的.如何让学生体会其合理性和必要性?罗老师的课堂教学比较好地实现了这两点.从教学顺序来看,罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子,“掷硬币”可以用古典定义求概率,所以概率值是明确的,而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较,如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实,从而感受到“用频率估计概率”的合理性;罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用,“掷图钉”不能用古典定义求概率,由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要性.从教学手段来看,罗老师主要采用了“学生试验”的方法,学生的亲自试验在这节课所起的作用是无可代替的:“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感;“亲自试验”能够让学生感受到频率的随机性和稳定性等特点.所以,像概率与统计的学习,学生应该有更多的主动权和试验权,在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法.3. 概率与统计教学的背后:专业素养的提升在课题研讨时,教师们表现出这样一些困惑:随着试验次数的增加,频率就越来越稳定频率估计概率,一定要大量试验实验次数多少合适事实上,这些问题涉及的就是概率与统计的专业素养.对于大多数教师而言,概率与统计相对而言比较陌生,这是很自然的,因为在教师自身接受的数学专业学习中,概率与统计就是一个弱项.但是,既然要向学生教授概率与统计,那么还是需要有“一桶水”的.就像上面的问题,翻阅任何一本《概率论与数理统计》,都可以给我们知识上的答案,而翻阅一下相关的科普读物或史料,就可以给我们思想方法上的答案.举个例子:伯努利大数定律:设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为p(),则对任意的,有.狄莫弗-拉普拉斯极限定理:设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为p(),则.伯努利大数定律只是告诉我们,当n趋于无穷时,频率依概率收敛于概率p.伯努利的想法是:只要n充分大,那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小.值得赞赏的是,他利用了“依概率收敛”而不是更直观的p,因为频率是随着试验结果变化的,在n次试验中,事件A出现n次也是有可能的,此时p就不成立了.伯努利不仅证明了上述大数定律,而且还想知道:若想要把一个概率通过频率而确定到一定的精确度,要做多少次观察才行.这时,伯努利大数定律无能为力,但是狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答:.(*)例如研究课中掷硬币的问题,若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内,那要抛掷多少次?根据(*)式,可以估计出.三、概率论发展简史概率论有悠久的历史,它的起源与博弈问题有关。

概率论第一章

概率论第一章
若随着试验次数的增大,事件A出现的频率在[0,1]上的某个 确定的数p附近摆动,则称p为事件A的概率,记为P(A). 频率性质:
(1) 0 f ( A) 1; (2) f () 1, f () 0; (3) 若A, B互斥, 则 f ( A B) f ( A) f ( B).
推广:(两两互斥事件组) 设 A1 , A2 ,..., An ,... 是样本空间中有限个 或可列个事件,若满足 Ai Aj ,(i j ) ,则称 A1 , A2 ,..., An ,... 是两两互斥的,或称其是两两互斥事件组。 (7) 互逆(对立)事件:若 AB 且A B ,则称A,B为互逆 事件,或称A与B互相对立。逆事件可表示为: A A (8) 完备事件组:设事件组 A1 , A2 ,..., An 为两两互斥事件组,且 A1 A2 ... An ,则称 A1 , A2 ,..., An 是一个完备事件组。 划分 剖分 分解 事件间的运算规律: 与集合运算相似 交换律 结合律 分配律
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有

E( X C) E( X ) C
3. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E (CX ) CE ( X )
例如 E ( X ) 5, 则 E ( 3 X ) 3 E ( X ) 3 5 15.
对偶律 自反律
例4 一射手连续向某个目标射击三次,事件 Ai 表示该射手第i次射 击时击中目标,使用文字叙述下列事件:
A1 A2
A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3
前两次至少有一次击中目标 第二次没有击中目标 三次射击至少有一次击中目标 三次射击都击中目标

概率论及数理统计概率历史介绍

概率论及数理统计概率历史介绍

一、概率定的展与剖析1.古典定的史脉古典定中的“古典”表示了种定发源的古老,它源于博.博弈的形式多种多,但是它的前提是“公正”,即“时机均等”,而正是古典定合用的重要条件:同样可能. 16 世意大利数学家和博家卡丹( 1501—1576)所的“ 的骰子”,即道了然一点.在卡丹此后三百年的里,帕斯卡、、伯努利等数学家都在古典概率的算、公式推和大用等方面做了重要的工作.直到1812 年,法国数学家拉普拉斯( 1749—1827)在《概率的剖析理》中出概率的古典定:事件 A 的概率等于一次中有益于事件 A 的可能果数与事件中全部可能果数之比.2.古典定的剖析古典定通了然的方式定了事件的概率,并出了可行的算法.它合用的条件有二:( 1)可能果数有限;( 2)每个果的出有同样可能.此中第( 2)条特别重要,它是古典概率思想生的前提.怎样在更多和更复的状况下,体出“同样可能”?伯努利家族成做了工作,他将摆列合的理运用到了古典概率中.用摆列(合)体同样可能的要求,就是将数 P(n,r)的各样摆列(或数 C(n,r) 的各样合)当作是等可能的,往常用“任意取”来表达个意思.即便这样,古典定的方法能用的范仍旧很窄,并且有数学上的.“ 用性的狭小性”促进雅各布 ?伯努利( 1654— 1705)“ 找另一条门路找到所期望的果”,就是他在研究古典概率的另一重要成就:伯努利大数定律.条定律告我“ 率拥有定性”,所以能够“用率估概率”,而也此后概率的定确定了思想基.“古典定数学上的”在特朗( 1822— 1900)悖中表得酣畅淋漓,它揭露出定存在的矛盾与含糊之,致了拉普拉斯的古典定遇到剧烈批.3.定的史脉概率的古典定然直,但是合用范有限.正如雅各布 ?伯努利所:“⋯⋯ 种方法合用于极罕的象.”所以,他通察来确定果数量的比率,并且“即便是没受教育和的人,凭天生的直,也会清楚地知道,可利用的有关的次数越多,生的就越小”.然原理,但是其科学明其实不,在古典概型下,伯努利了一点,即“当次数愈来愈大,率靠近概率”.事上,不于古典概型合用,人确信“从中察的率定性”的事是一个广泛律. 1919 年,德国数学家 ?米塞斯( 1883— 1953)在《概率基研究》一中提出了概率的定:在做大批重复,跟着次数的增添,某个事件出的率是在一个固定数的邻近,示出必定的定性,把个固定的数定一事件的概率.4.统计定义的简单剖析固然统计定义不可以像古典定义那样切实地算出概率,但是却给出了一个预计概率的方法.并且,它不再需要“等可能”的条件,所以,从应用的角度来讲,它的合用范围更广.但是从数学理论上讲,统计定义是有问题的.在古典概率的场合,事件概率有一个不依靠于频次的定义——它根本不用诉诸于试验,这样才有一个频次与概率能否靠近的问题,其研究致使伯努利大数定律.在统计定义的场合这是一个悖论:你如不从认可大数定律出发,概率就没法定义,因此谈不上频次与概率靠近的问题;但是你如认可大数定律,以便能够定义概率,那大数定律就是你的前提,而不是再三需要证明的论断了.5.公义化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题,所以到了 19 世纪,不论是概率论的本质应用还是其自己发展,都要求对概率论的逻辑基础作出更为严格的观察.1900 年,38 岁的希尔伯特( 1862— 1943)在世界数学家大会上提出了成立概率公义系统的问题,这就是有名的希尔伯特 23 个问题中的第 6 个问题.这指引了一批数学家投入这方面的工作.在概率公义化的研究道路上,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫( 1903—1987)成绩最为卓著, 1933 年,他在《概率论基础》中运用会合论和测度论表示概率论的方法给予了概率论严实性.6.公义化定义的简单剖析为何直到20 世纪才实现了概率论的公义化,这是因为20 世纪初才达成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论,而这都是概率论公义化系统成立的基础.柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率看法,形成了概率论的公义化系统,他的公义系统既归纳了古典定义、统计定义的基本特征,又防止了各自的限制.比如,公义中有一条,是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来,在这个前提下,大数定律就成为一个需要证明且能够获取证明的论断,这就防止了“ 4”中统计定义的数学理论上的问题;而公义中对于“概率存在”的规定又有其本质背景,这就是概率的古典定义和统计定义.所以,我们说,概率论公义系统的出现,是概率论发展史上的一个里程碑,至此,概率论才真切成为了严格的数学分支.二、对于概率定义教课的几点思虑对于概率的定义,教科书是先给出古典定义,而后再给出统计定义.这与历史上概率定义的发展相符合,从“简单到复杂”.在教课中,我们不单要了然这种次序的设计企图,并且还要抓住不一样定义的特色和思想,以指引学生更好地理解概率.1.古典定义的教课定位概率思想产生的前提.正是因为“等可能”,所以才会有了“比率”.所以,“等可能性”和“比率”是古典定义教课中的两个落脚点.“等可能”是没法切实证明的,常常是一种感觉,但是这种感觉是有其本质背景的,比如,掷一枚硬币,“呈正面”“呈反面”是等可能的,因为它质地均匀;而掷一枚图钉,“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的,因为图钉自己给我们的感觉就是帽重钉轻.所以,“等可能”其实不要多么严实的物理上或化学上的剖析,只需要经过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可,以便让学生理解古典定义的合用对象须具备的条件.2.统计定义的教课定位从直观上讲,统计定义是特别简单接受的,但是它的内涵是特别深刻的,波及到大数定律.在初中阶段,我们不行能让学生接触其严格的形式和证明.所以,统计定义定位在其合理性和必需性是比较适合的.怎样让学生领会其合理性和必需性?罗老师的讲堂教课比较好地实现了这两点.从教课次序来看,罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子,“掷硬币”可以用古典定义求概率,所以概率值是明确的,而经过试验的方法计算获取的频次即可以和这个明确的概率值对比较,这样更简单让学生领会到“频次拥有稳固性”这一事实,进而感觉到“用频次预计概率”的合理性;罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用,“掷图钉”不可以用古典定义求概率,由此能让学生领会到学习统计定义计算事件概率的必需性.从教课手段来看,罗老师主要采纳了“学生试验”的方法,学生的亲身试验在这节课所起的作用是无可取代的:“亲身试验”获取的结果能够给学生以真切感和切实感;“亲身试验”能够让学生感觉到频次的随机性和稳固性等特色.所以,像概率与统计的学习,学生应当有更多的主动权和试验权,在着手和动脑中感觉概率与统计的思想和方法.3.概率与统计教课的背后:专业修养的提高在课题商讨时,教师们表现出这样一些疑惑:跟着试验次数的增添,频次就愈来愈稳固?频次预计概率,必定要大批试验?实验次数多少适合?事实上,这些问题波及的就是概率与统计的专业修养.对于大部分教师而言,概率与统计相对而言比较陌生,这是很自然的,因为在教师自己接受的数学专业学习中,概率与统计就是一个弱项.但是,既然要向学生教授概率与统计,那么还是需要有“一桶水”的.就像上边的问题,翻阅任何一本《概率论与数理统计》,都能够给我们知识上的答案,而翻阅一下有关的科普读物或史料,就能够给我们思想方法上的答案.举个例子:伯努利大数定律:设 m是 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数,又 A 在每次试验中出现的概率为 p() ,则对任意的,有.狄莫弗 - 拉普拉斯极限制理:设 m是 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数,又 A 在..每次试验中出现的概率为p() ,则.伯努利大数定律不过告诉我们,当 n 趋于无量时,频次依概率收敛于概率 p.伯努利的想法是:只需 n 充足大,那么频次预计概率的偏差就能够如所希望的小.值得欣赏的是,他利用了“依概率收敛”而不是更直观的p,因为频次是跟着试验结果变化的,在 n 次试验中,事件 A 出现 n 次也是有可能的,此时p 就不行立了.伯努利不单证了然上述大数定律,并且还想知道:若想要把一个概率经过频次而确定到必定的精准度,要做多少次察看才行.这时,伯努利大数定律力所不及,但是狄莫弗 - 拉普拉斯极限制理给出认识答:.(* )比如研究课中掷硬币的问题,若要保证有95%的掌握使正面向上的频次与其概率之差落在 0.1 的范围内,那要投掷多少次?依据(* )式,能够预计出.三、概率论发展简史概率论有悠长的历史,它的发源与博弈问题有关。

概率统计的起源与发展课件

概率统计的起源与发展课件
行为研究
在行为科学中,概率统计被用来研究和解释人类行为和决策过程。例如,研究 人员可以利用概率模型分析人类决策过程中的不确定性和风险偏好。
05
概பைடு நூலகம்统计的未来趋 势
发展更精确的预测方法
概率模型改进
基于大数据和人工智能技术,改进现有概率模型,提高预测精度 和效率。
多元数据融合
整合多源数据,包括社会、经济、环境等多领域数据,挖掘潜在关 联和影响因素,为预测提供更多依据。
THANKS
感谢您的观看
方差描述了随机变量的离散程度,协方差描述了两个随机变量 的相关性。
04
概率统计的应用场 景
金融领域的应用
01
金融风险管理
02
精算与保险
03
投资决策分析
概率统计在金融领域的应用非常广泛, 其中最突出的是在风险管理中的应用。 概率统计可以帮助金融机构评估和降 低投资风险,保障资产安全。
精算师使用概率统计方法来评估保险 产品的价格和赔付风险。保险公司利 用概率统计模型预测赔付金额和赔付 率,以制定合理的保险费率。
统计的基本概念
数据收集
指通过调查、观察、实验等方式获取 数据的过程。
02
数据整理
指对收集到的数据进行分类、排序、 计算等处理,使其更加易于分析。
01
03
数据描述
指用图表、数值等方式对数据进行可 视化处理,以便更直观地观察数据特征。
假设检验
指根据某些假设,利用样本数据推断 总体特征的过程。
05
04
参数估计
工程设计优化案例
总结词
工程设计优化案例能够通过概率统计方法对工程设计 进行优化,提高工程的安全性和效率。
详细描述

概率论与数理统计发展及应用1

概率论与数理统计发展及应用1

概率论与数理统计发展及应用摘要:通过上半学期概率论与数理统计这门课的学习,我大概了解了基本的概率知识,意识到这门课对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。

本文将根据自己的学习心得以及在网上,图书中查找的资料,从概率论的发展历程,以及其在各重要领域中的应用两个方面来阐述我对本门课的理解。

关键词:概率论,数理统计,发展,主要应用正文一、概率论及数理统计的发展1、历史背景17、18世纪,数学获得了巨大的进步。

数学家们冲破了古希腊的演绎框架,向自然界和社会生活的多方面汲取灵感,数学领域出现了众多崭新的生长点,而后都发展成完整的数学分支。

除了分析学这一大系统之外,概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。

2、概率论的起源与发展概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。

概率论的研究始于意大利文艺复兴时期当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中,需要整理和研究大量的随机数据资料,这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学,但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题,却是来自赌博者的问题。

当时赌博盛行,而且赌法复杂,赌注量大,一些职业赌徒,为求增加获胜机会,迫切需要计算取胜的思路,研究不输的方法。

十七世纪中叶,帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起,研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题,这就是概率论的萌芽。

1657年荷兰物理学家惠更斯发表了“论赌博中的计算”的重要论文,提出了数学期望的概念,伯努利把概率论的发展向前推进了一步,于1713年出版了《猜测的艺术》,指出概率是频率的稳定值,他第一次阐明了大数定律的意义。

1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》,书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法,并在1733年发现了正态分布密度函数,但他没有把这一结果应用到实际数据上,直到1924年菜被英国统计学家K·皮尔森在一家图书馆中发现。

德国数学家高斯从测量同一物体所引起的误差这一随机现象独立的发现正态分布密度函数方程,并发展了误差理论,提出了最小二乘法。

统计学的发展历程

统计学的发展历程

统计学的发展历程统计学的发展历程统计学概述统计学是应用数学的一个分支,主要通过利用概率论建立数学模型,收集所观察系统的数据,进行量化的分析、总结,并进而进行推断和预测,为相关决策提供依据和参考。

它被广泛的应用在各门学科之上,从物理和社会科学到人文科学,甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。

统计学主要又分为描述统计学和推断统计学。

给定一组数据,统计学可以摘要并且描述这份数据,这个用法称作为描述统计学。

另外,观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型,以之来推论研究中的步骤及母体,这种用法被称做推论统计学。

这两种用法都可以被称作为应用统计学。

另外也有一个叫做数理统计学的学科专门用来讨论这门科目背后的理论基础。

统计学的发展历程统计学的英文statistics最早是源于现代拉丁文statisticum collegium (国会)以及意大利文statista (国民或政治家)。

德文Statistik,最早是由Gottfried Achenwall(1749)所使用,代表对国家的资料进行分析的学问,也就是“研究国家的科学”。

在十九世纪统计学在广泛的数据以及资料中探究其意义,并且由John Sinclair引进到英语世界。

统计学是一门很古老的科学,一般认为其学理研究始于古希腊的亚里斯多德时代,迄今已有两千三百多年的历史。

它起源于研究社会经济问题,在两千多年的发展过程中,统计学至少经历了“城邦政情”,“政治算数”和“统计分析科学”三个发展阶段。

所谓“数理统计”并非独立于统计学的新学科,确切地说它是统计学在第三个发展阶段所形成的所有收集和分析数据的新方法的一个综合性名词。

概率论是数理统计方法的理论基础,但是它不属于统计学的范畴,而属于数学的范畴。

统计学的发展过程的三个阶段第一阶段称之为“城邦政情”(Matters of state)阶段“城邦政情”阶段始于古希腊的亚里斯多德撰写“城邦政情”或“城邦纪要”。

概率论与数理统计总结笔记

概率论与数理统计总结笔记

概率论与数理统计总结笔记
以下是概率论与数理统计的总结笔记:
1 .概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门数学学科。

2 .随机现象是指在相同条件下进行多次试验或观察,结果不确定的
现象。

3 .概率论与数理统计的主要内容包括概率空间、随机变量、分布函数、
概率密度函数、边缘分布、条件概率、独立性、随机变量的函数等。

4 .概率论与数理统计的应用范围包括金融、统计、物理、化学、工程
等领域。

5 .概率论与数理统计常用的方法包括数学期望、方差、协方差、相关
系数、回归分析、假设检验等。

6 .概率论与数理统计的基本原则是公理化原则,即要满足一定的数
学条件,如非负性、规范性、可列可加性等。

7 .概率论与数理统计的主要特点是研究随机现象的不确定性和复杂
性,以及在不确定性和复杂性下的决策和推断问题。

8 .概率论与数理统计的发展历史可以追溯到17世纪,这个学科的发
展不仅推动了数学的发展,也对其他学科的发展产生了重要的影响。

9 .概率论与数理统计的学习方法包括掌握基本概念和公式,多做练
习题,结合实际例子进行理解和应用,以及进行综合性和设计性实验。

学习概率的心得体会

学习概率的心得体会

学习概率的心得体会【篇一:概率论与数理统计学习心得】《概率论与数理统计》学习心得材料01 薛飞 2010021023随着学习的深入,我们在大二下学期开了《概率论与数理统计》这一门课。

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,其理论与方法的应用非常广泛,几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。

学习这门课,不仅能培养我们的理论学习能力,也能在日后给科研及生活提供一种解决问题的工具。

说实话,这门课给我的第一印象就是它可能很难很抽象,很难用于实际生活中,并且对于这门课的安排与流程我并没有太确切的认识。

但在第一节课上听了老师的讲解我才理出了一些头绪。

这门课分为概率论与数理统计两个部分,其中概率论部分又是数理统计的基础。

我们所要课程就是围绕着这两大部分来学习的。

如今经过了一学期的学习,在收获了不少知识的同时也颇有些心得体会。

首先,它给我们提供了一种解决问题的的新方法。

我们在解决问题不一定非要从正面进行解决。

在某些情形下,我们可以进行合理的估计,然后再去解决有关的问题。

并且,概率论的思维方式不是确定的,而是随机的发生的思想。

其次,在这门课程学习中,我意识到其实概率论与数理统计才是与生活紧密相连的。

它用到高数的计算与思想,却并不像高数那样抽象。

而且老师所讲例题均与日常生产和生活相关,让我明白了日常生产中如何应用数学原理解决问题,我想假设检验便是很好的诠释。

最后,概率论与数理统计应该被视为工具学科,因为它对其他学科的学习是不可少的。

它对统计物理的学习有重要意义,同时对于学习经济学的人在探究某些经济规律也是十分重要的。

总之,通过学习这门课程,我们可以更理性的对待生活中的一些问题,更加谨慎的处理某些问题。

最后,感谢老师近半年来的辛苦教学与谆谆教导!【篇二:概率论与数理统计学习心得】概率论与数理统计学习心得摘要:通过概率论与数理统计这门课的学习,我掌握了基本的概率论的知识,当然学习中也曾遇到过很多的问题。

概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文学院:航天学院班级:1421201姓名:郭兴达学号:1142120133经过一个学期的的概率论学习,我想将我的感想和收获写在论文中,那么我就先介绍一下概率论的发展简史吧。

一、发展简史统计学是关于数字资料收集、组织、分析与解释的科学.“资料收集"是取得数量或数据的方法.正确的结论只能来源于正确的资料,来源于有代表性的资料。

“资料组织”是以适当形式表现所收集的资料,以得出符合逻辑的结论。

“资料分析”是从给定的量或数,抽出有关问题,从而得出一个简要的综合姓的结果。

达到这个日的的最重要的量(平均数、中位数、极差、标推差,等等).“资料解释"是通过资料分析来作出结论的工作,它通常是通过类似对象的小的集合提供的信息来对有关对象的大的集合形成预测的。

因此,统计学是一门科学,它处理在某种程度上可用数量信息回答的问题,而信息是通过计数和量度得到的.不论我们在生物研究中调查昆虫数、还是在工厂中调查工人数或工时数,统计工作者的职责首先是选择所裔的那类信息,其次是指导适当的有效的收集与加工信息,最后是解释结果。

在解释结果中,特别是在资料不完全的情况下,统计工作者必须运用原理与方法以得出有效的调查结果。

他常常要求面对不肯定的情况做出明智的决策.统计一词有两个显然不同的意义。

当用作如上所指的情况时,它是.一种研究和评价数量资料的科学方法。

当用作复数时,它是“数量资料:一词的同义语。

因此,如果我们说在“世界年鉴”或“美国统计摘要"中有统计,即是说在它们中有数量资料。

这是一个古老的、有普遍意义酌词。

原先,统计着重为政府首脑管理国家政务提供资料.用数字资料表现的这种信息可以上溯到亚里斯多德及他的“国家政务论”。

事实上,“statistics与“state”源于同一词根,就是一个明证.早期大多数文明国家,由于军事的与财政的原因,曾经编制大规模的统计资料,以确定国家的入力与物力.我们在基督教圣经中曾看到诸如此类的户口调查,以及罗马帝国各地普遍编制的税册。

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概率论与数理统计发展简史姓名:苗壮学号:1110810513 班级:1108105 指导教师:曹莉摘要:在这里,我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史,包括发展过程中所经历的一些大事,以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献.关键词:概率论、数理统计、发展史正文:1.概率论的发展17世纪,正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候,一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现,这就是概率论.早在16世纪,赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意.数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到,赌博输赢虽然是偶然的,但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子,书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时,在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数.据说,曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚,也曾做过类似的实验.促使概率论产生的强大动力来自社会实践.首先是保险事业.文艺复兴后,随着航海事业的发展,意大利开始出现海上保险业务.16世纪末,在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上,保险的对象都是偶然性事件.为了保证保险公司赢利,又使参加保险的人愿意参加保险,就需要根据对大量偶然现象规律性的分析,去创立保险的一般理论.于是,一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了.不过,作为数学科学之一的概率论,其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的.因为这些问题的大量随机现象,常被许多错综复杂的因素所干扰,它使难以呈“自然的随机状态”.因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性,这种材料就是所谓的“随机博弈”.在近代概率论创立之前,人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等,然后经加工提炼而形成了概率论.荷兰数学家、物理学家惠更斯(Huygens)于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》.在此期间,法国的费尔马(Fermat)与帕斯卡(Pascal)也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则.惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念,找出了它们的基本性质和演算方法,从而塑造了概率论的雏形.18世纪是概率论的正式形成和发展时期.1713年,贝努利(Bernoulli)的名著《推想的艺术》发表.在这部著作中,贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”,并且给出了证明,这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了,从此概率论从对特殊问题的求解,发展到了一般的理论概括.继贝努利之后,法国数学家棣谟佛(Abraham de Moiver)于1781年发表了《机遇原理》.书中提出了概率乘法法则,以及“正态分”和“正态分布律”的概念,为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础.1706年法国数学家蒲丰(Comte de Buffon)的《偶然性的算术试验》完成,他把概率和几何结合起来,开始了几何概率的研究,他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试.通过贝努利和棣谟佛的努力,使数学方法有效地应用于概率研究之中,这就把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来,使概率论一开始就成为数学的一个分支.概率论问世不久,就在应用方面发挥了重要的作用.牛痘在欧洲大规模接种之后,曾因副作用引起争议.这时贝努利的侄子丹尼尔·贝努利(Daniel Bernoulli)根据大量的统计资料,作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论,消除了一些人的恐惧和怀疑;欧拉(Euler)将概率论应用于人口统计和保险,写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》,《关于孤儿保险》等文章;泊松(Poisson)又将概率应用于射击的各种问题的研究,提出了《打靶概率研究报告》.总之,概率论在18世纪确立后,就充分地反映了其广泛的实践意义.19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用方向发展.其中为之作出较大贡献的有:法国数学家拉普拉斯(Laplace),德国数学家高斯(Gauss),英国物理学家、数学家麦克斯韦(Maxwell),美国数学家、物理学家吉布斯(Gibbs)等.概率论的广泛应用,使它于18和19两个世纪成为热门学科,几乎所有的科学领域,包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题,这在一定程度上造成了“滥用”的情况,因此到19世纪后半期时,人们不得不重新对概率进行检查,为它奠定牢固的逻辑基础,使它成为一门强有力的学科.1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系.1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构,从此,更现代意义上的完整的概率论臻于完成.相对于其它许多数学分支而言,数理统计是一个比较年轻的数学分支.多数人认为它的形成是在20世纪40年代克拉美(H.Carmer)的著作《统计学的数学方法》问世之时,它使得1945年以前的25年间英、美统计学家在统计学方面的工作与法、俄数学家在概率论方面的工作结合起来,从而形成数理统计这门学科.它是以对随机现象观测所取得的资料为出发点,以概率论为基础来研究随机现象的一门学科,它有很多分支,但其基本内容为采集样本和统计推断两大部分.发展到今天的现代数理统计学,又经历了各种历史变迁.2. 统计的发展统计的早期开端大约是在公元前1世纪初的人口普查计算中,这是统计性质的工作,但还不能算作是现代意义下的统计学.到了18世纪,统计才开始向一门独立的学科发展,用于描述表征一个状态的条件的一些特征,这是由于受到概率论的影响.高斯从描述天文观测的误差而引进正态分布,并使用最小二乘法作为估计方法,是近代数理统计学发展初期的重大事件,18世纪到19世纪初期的这些贡献,对社会发展有很大的影响.例如,用正态分布描述观测数据后来被广泛地用到生物学中,其应用是如此普遍,以至在19世纪相当长的时期内,包括高尔顿(Galton)在内的一些学者,认为这个分布可用于描述几乎是一切常见的数据.直到现在,有关正态分布的统计方法,仍占据着常用统计方法中很重要的一部分.最小二乘法方面的工作,在20世纪初以来,又经过了一些学者的发展,如今成了数理统计学中的主要方法.从高斯到20世纪初这一段时间,统计学理论发展不快,但仍有若干工作对后世产生了很大的影响.其中,如贝叶斯(Bayes)在1763年发表的《论有关机遇问题的求解》,提出了进行统计推断的方法论方面的一种见解,在这个时期中逐步发展成统计学中的贝叶斯学派(如今,这个学派的影响愈来愈大).现在我们所理解的统计推断程序,最早的是贝叶斯方法,高斯和拉普拉斯应用贝叶斯定理讨论了参数的估计法,那时使用的符号和术语,至今仍然沿用.再如前面提到的高尔顿在回归方面的先驱性工作,也是这个时期中的主要发展,他在遗传研究中为了弄清父子两辈特征的相关关系,揭示了统计方法在生物学研究中的应用,他引进回归直线、相关系数的概念,创始了回归分析.数理统计学发展史上极重要的一个时期是从19世纪到二次大战结束.现在,多数人倾向于把现代数理统计学的起点和达到成熟定为这个时期的始末.这确是数理统计学蓬勃发展的一个时期,许多重要的基本观点、方法,统计学中主要的分支学科,都是在这个时期建立和发展起来的.以费歇尔(R.A.Fisher)和皮尔逊(K.Pearson)为首的英国统计学派,在这个时期起了主导作用,特别是费歇尔.继高尔顿之后,皮尔逊进一步发展了回归与相关的理论,成功地创建了生物统计学,并得到了“总体”的概念,1891年之后,皮尔逊潜心研究区分物种时用的数据的分布理论,提出了“概率”和“相关”的概念.接着,又提出标准差、正态曲线、平均变差、均方根误差等一系列数理统计基本术语.皮尔逊致力于大样本理论的研究,他发现不少生物方面的数据有显著的偏态,不适合用正态分布去刻画,为此他提出了后来以他的名字命名的分布族,为估计这个分布族中的参数,他提出了“矩法”.为考察实际数据与这族分布的拟合分布优劣问题,他引进了著名“χ2检验法”,并在理论上研究了其性质.这个检验法是假设检验最早、最典型的方法,他在理论分布完全给定的情况下求出了检验统计量的极限分布.1901年,他创办了《生物统计学》,使数理统计有了自己的阵地,这是20世纪初叶数学的重大收获之一.1908年皮尔逊的学生戈赛特(Gosset)发现了Z的精确分布,创始了“精确样本理论”.他署名“Student”在《生物统计学》上发表文章,改进了皮尔逊的方法.他的发现不仅不再依靠近似计算,而且能用所谓小样本进行统计推断,并使统计学的对象由集团现象转变为随机现象.现“Student分布”已成为数理统计学中的常用工具,“Student氏”也是一个常见的术语.英国实验遗传学家兼统计学家费歇尔,是将数理统计作为一门数学学科的奠基者,他开创的试验设计法,凭借随机化的手段成功地把概率模型带进了实验领域,并建立了方差分析法来分析这种模型.费歇尔的试验设计,既把实践带入理论的视野内,又促进了实践的进展,从而大量地节省了人力、物力,试验设计这个主题,后来为众多数学家所发展.费歇尔还引进了显著性检验的概念,成为假设检验理论的先驱.他考察了估计的精度与样本所具有的信息之间的关系而得到信息量概念,他对测量数据中的信息,压缩数据而不损失信息,以及对一个模型的参数估计等贡献了完善的理论概念,他把一致性、有效性和充分性作为参数估计量应具备的基本性质.同时还在1912年提出了极大似然法,这是应用上最广的一种估计法.他在20年代的工作,奠定了参数估计的理论基础.关于χ2检验,费歇尔1924年解决了理论分布包含有限个参数情况,基于此方法的列表检验,在应用上有重要意义.费歇尔在一般的统计思想方面也作出过重要的贡献,他提出的“信任推断法”,在统计学界引起了相当大的兴趣和争论,费歇尔给出了许多现代统计学的基础概念,思考方法十分直观,他造就了一个学派,在纯粹数学和应用数学方面都建树卓越.这个时期作出重要贡献的统计学家中,还应提到奈曼(J.Neyman)和皮尔逊(E.Pearson).他们在从1928年开始的一系列重要工作中,发展了假设检验的系列理论.奈曼-皮尔逊假设检验理论提出和精确化了一些重要概念.该理论对后世也产生了巨大影响,它是现今统计教科书中不可缺少的一个组成部分,奈曼还创立了系统的置信区间估计理论,早在奈曼工作之前,区间估计就已是一种常用形式,奈曼从1934年开始的一系列工作,把区间估计理论置于柯尔莫哥洛夫概率论公理体系的基础之上,因而奠定了严格的理论基础,而且他还把求区间估计的问题表达为一种数学上的最优解问题,这个理论与奈曼-皮尔逊假设检验理论,对于数理统计形成为一门严格的数学分支起了重大作用.以费歇尔为代表人物的英国成为数理统计研究的中心时,美国在二战中发展亦快,有三个统计研究组在投弹问题上进行了9项研究,其中最有成效的哥伦比亚大学研究小组在理论和实践上都有重大建树,而最为著名的是首先系统地研究了“序贯分析”,它被称为“30年代最有威力”的统计思想.“序贯分析”系统理论的创始人是著名统计学家沃德(Wald).他是原籍罗马尼亚的英国统计学家,他于1934年系统发展了早在20年代就受到注意的序贯分析法.沃德在统计方法中引进的“停止规则”的数学描述,是序贯分析的概念基础,并已证明是现代概率论与数理统计学中最富于成果的概念之一.从二战后到现在,是统计学发展的第三个时期,这是一个在前一段发展的基础上,随着生产和科技的普遍进步,而使这个学科得到飞速发展的一个时期,同时,也出现了不少有待解决的大问题.这一时期的发展可总结如下:一是在应用上愈来愈广泛,统计学的发展一开始就是应实际的要求,并与实际密切结合的.在二战前,已在生物、农业、医学、社会、经济等方面有不少应用,在工业和科技方面也有一些应用,而后一方面在战后得到了特别引人注目的进展.例如,归纳“统计质量管理”名目下的众多的统计方法,在大规模工业生产中的应用得到了很大的成功,目前已被认为是不可缺少的.统计学应用的广泛性,也可以从下述情况得到印证:统计学已成为高等学校中许多专业必修的内容;统计学专业的毕业生的人数,以及从事统计学的应用、教学和研究工作的人数的大幅度的增长;有关统计学的著作和期刊杂志的数量的显著增长.二是统计学理论也取得重大进展.理论上的成就,综合起来大致有两个主要方面:一个方面与沃德提出的“统计决策理论”,另一方面就是大样本理论.沃德是20世纪对统计学面貌的改观有重大影响的少数几个统计学家之一.1950年,他发表了题为《统计决策函数》的著作,正式提出了“统计决策理论”.沃德本来的想法,是要把统计学的各分支都统一在“人与大自然的博奕”这个模式下,以便作出统一处理.不过,往后的发展表明,他最初的设想并未取得很大的成功,但却有着两方面的重要影响:一是沃德把统计推断的后果与经济上的得失联系起来,这使统计方法更直接用到经济性决策的领域;二是沃德理论中所引进的许多概念和问题的新提法,丰富了以往的统计理论.贝叶斯统计学派的基本思想,源出于英国学者贝叶斯的一项工作,发表于他去世后的1763年后世的学者把它发展为一整套关于统计推断的系统理论.信奉这种理论的统计学者,就组成了贝叶斯学派.这个理论在两个方面与传统理论(即基于概率的频率解释的那个理论)有根本的区别:一是否定概率的频率的解释,这涉及到与此有关的大量统计概念,而提倡给概率以“主观上的相信程度”这样的解释;二是“先验分布”的使用,先验分布被理解为在抽样前对推断对象的知识的概括.按照贝叶斯学派的观点,样本的作用在于且仅在于对先验分布作修改,而过渡到“后验分布”――其中综合了先验分布中的信息与样本中包含的信息.近几十年来其信奉者愈来愈多,二者之间的争论,是战后时期统计学的一个重要特点.在这种争论中,提出了不少问题促使人们进行研究,其中有的是很根本性的.贝叶斯学派与沃德统计决策理论的联系在于:这二者的结合,产生“贝叶斯决策理论”,它构成了统计决策理论在实际应用上的主要内容.三是电子计算机的应用对统计学的影响.这主要在以下几个方面.首先,一些需要大量计算的统计方法,过去因计算工具不行而无法使用,有了计算机,这一切都不成问题.在战后,统计学应用愈来愈广泛,这在相当程度上要归公功于计算机,特别是对高维数据的情况.计算机的使用对统计学另一方面的影响是:按传统数理统计学理论,一个统计方法效果如何,甚至一个统计方法如何付诸实施,都有赖于决定某些统计量的分布,而这常常是极困难的.有了计算机,就提供了一个新的途径:模拟.为了把一个统计方法与其它方法比较,可以选择若干组在应用上有代表性的条件,在这些条件下,通过模拟去比较两个方法的性能如何,然后作出综合分析,这避开了理论上难以解决的难题,有极大的实用意义.参考文献:(无)百度文库。

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