中北大学矩阵讲义1.4
线性代数课件--第一章矩阵
数与m n矩阵 A (a ij)的 乘积 仍是m n矩 阵,记 为A, 即
A
( a ij ) mn
a11 a 21
a m1
a12 a 22
am2
a1n a2n
a mn
解 析 几 何 中 定 义 的 向 量 乘 以 一 个 数 的 规 则 与 定 义1.6相 同 。
矩阵的数乘运算满足下列运算定律(设A、B为m n矩阵,1, 2是数):
例1.4设有城市x1,x2, ,xm,它们之间有高 速公路a1,a2, ,an相连(这些公路是单向道, 方向用箭头表示),如图定义
x2
a1
a2
x1
a5
x3
a4
a3
x4
1.1 矩阵的概念
定义
1
mij -1
0
若
x
i
是
a
的
j
起
点
若
x
i
是
a
的
j
终
点
若
x
i
不
是
a
的
j
端
点
矩阵M = (mij )称为该图的关联矩阵。上图的关联矩阵为
具 有 相 同 行 数 和 列 数 的 矩 阵 才 能 相 加|减 。
例如
50
45
60 35
80 62
40 50
55 42
50 63
90 95
115 77
130 125
2
1
3 1 03
2 5
3 0
0 1 13
4 1
1 1
3 1
0 2
0
4
1.2 矩阵的运算
定义1.6 矩阵的数乘
matrix theory(矩阵论)
mr
, B bij
r n
,则
r
mn
, 其中cij ai1b1 j ai 2b2 j air brj aik bkj
k 1
4、转置与共轭转置
a11 a21 设A am1 aij
mn
a12 a22 am 2
a1n a11 a2 n T a12 ,则A amn a1n
B * A*
例题
1、求方阵的逆阵
求逆矩阵的基本方法有: (1)定义法
由 AB E或BA E , 可得A1 B
(2)公式法
A* A- 1 = A
-1
但当n ³ 3时计算A 较复杂,此时一般采用:
(3)初等变换法
(A
E) 揪 揪 揪 E 揪 揪 井
初等行变换
(
A
-1
)
例1:已知n阶方阵A满足A2 + 5 A - 4 E = 0, 求( A - 3E ) - 1
解:
A* 由A- 1 = , 得A* = A A- 1 , A \
( A ) =( A A )
* -1
-1 -1
A = = A- 1 A A
轾 1 1 1 犏 = 2犏 2 1 1 犏 犏 1 3 1 臌
-1
轾 -2 -1 5 犏 = 犏2 2 0 犏 犏1 0 1 臌
四、 矩阵的块运算 1、加法,减法
(
)(
E + XY T = E + 2 XY T + XY T XY T = E + 4 XY T
)
骣1 所以,A ( A - 4 E) = - 3E,即,A 琪 ( A - 4 E ) = E 琪 桫3 1 -1 故,A可逆,且A = - ( A - 4E) . 3
中北大学线性代数(练习册)答案
中北大学线性代数作业(练习册)答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用 第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2; 2. )(a b ab -; 3. 1; 4. 1ln ln a b -二、1.18; 2.; 3. 0; 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x ===第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29,29; 2. 0; 3. 3m ; 4. 0.二、1. 2000; 2.4abcdef ;3.160;4.8;5.63;6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++- 四、1.123,1x x ==;2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法则一、1. 3,1x y ==-2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时,方程组有非零解;2. 当2-=λ或1-=λ时,方程组有非零解.三、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-; 2. 3; 3.23645()a a a a a --二、C C C C三1.-25; 2.222()()x y x y xy +--+;3.1;4.1abcd ad ab cd ++++;5.54x ; 6.(1)nkk k a =-∑.四、1.122,x x == 2.00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。
七、1.1≠λ且3≠λ; 2.3λ=或1λ=。
第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32; 2. BA AB =;3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2412498 二、DCDDC 三、1.(1)101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭;2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭;(2) ()10;(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛369246123; (4)2212131223522x x x x x x x x -+++. 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A .第二节 逆矩阵一、1.4, 4,4,14; 2. 113二、CDDC 三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12351A ; (2) 不可逆;(3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A .3. 1=B .4. X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321.5. *1()A -=) 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001k ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001001k;2.111221111--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BBC三、1.(1) 211532421⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭;(2)11240101113621610--⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭; (3)12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭2.96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.第五节 矩阵的秩一、1. ≥,< ; 2. 1; 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3;(2)秩为2;(3)秩为4(4)2x =-时,秩为2;1x =时,秩为1;1,2x x ≠≠-且时,秩为3.2. 2=a . 综合练习题二 一、1.1627-; 2. 3; 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 2.()2R AB =; 3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、(1)()15,10,13T--(2)()0,0,0.二、()()2,4,TTαβ=-=---三、()2,4,9α=-.四、1.123422βαααα=-++-;2.123400βαααα=-++⋅+⋅. 五、β可以由向量组123,,ααα线性表示,且12351114βααα=-+-.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性无关,两个向量的对应分量不成比例;2. 线性相关,包含零向量的向量组必定线性相关;3. 线性无关,2111110112--≠-; 4. 线性相关, 4个3维向量必线性相关. 二、 1.(√) 2.(√) 3.(×) 4.(√) 5.(√)6.(×)7.(√). 三、1. 283-2. 1lm ≠3. >4. 相5. 惟一. 四、证明:(略). 五、不一定线性相关, 例如:()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩, 但是1122,αβαβ++线性无关.第三节 向量组的秩一、1. 相; 无 2. 12r r = 3. =. 二、1. B 2. B 3. A . 三、1. 1234,,,αααα的秩为4;2. 0,1a a ≠≠且时,123,,ααα的秩为3;0a =时,123,,ααα的秩为2;1a =时,123,,ααα的秩为1;四、 1. 123,,ααα的秩为2,123,,ααα线性相关;2. 123,,γγγ的秩为3,123,,γγγ线性无关; 五、1. 123,,ααα本身为其一个极大线性无关组;2. 12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组,且31213510ααα=+. 六、 1. 9k =;2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组,且41233αααα=+-. 七、证明:(略).八、证明:(略).九、证明:(略).第四节 向量空间一、因为1V 满足加法和数乘的封闭性,所以1V 是向量空间;因为2V 不满足加法的封闭性,所以2V 不是向量空间. 二、(1,1,1). 三、B .四、1. 111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; 2. 1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ.五、 1. βα,化为单位向量为1(1,1,1)2T --2,2,1)T ; 2. βα,正交. 六、12,,ααα正交化为:()11,0,1,1β=-,2221,1,,333β⎛⎫=- ⎪⎝⎭,31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.(1)2-;(2)1-. 二.(1)C ;(2)A .三.(1)(0,1,0)T; (2)无解;(3)12348,3,62,x x k x k x k =-=+=+=,其中k 为任意常数.四.(1)2λ=-;(2)1-2λλ≠≠且; (3)1231212=1,(,,)(1,,)T T x x x k k k k λ=--,其中12,k k 为任意常数.第二节齐次线性方程组解的结构一. CC ADBDCB.二. (1)(2,1,1)T ξ=-;(2)1(1,1,0,0)T ξ=-,2(1,0,3,1)T ξ=--.三. 123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. C DB.二. (1)127523342133001100x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 其中12,k k 为任意常数. (2)1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中123,,k k k 为任意常数.三. 当1k =-时,方程组无解;当1k ≠-且4k ≠时,方程组有惟一解;当4k =时,方程组有无穷多组解,其通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中c 为任意常数.第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1. 3; 2. 11, ,24-1;, 2 , 4k k k -;3,6,11;8, 4 , 2-- 3.01或; 4. 23-,; 5. 6; 6. 3-;7. 0; 8. 211,, 二、CCBD三、1. 特征值:23023λλλ===1,, 对应的全部特征向量:1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 特征值:23211λλλ==-=1,, 对应的全部特征向量:12311121,1,01112k k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭四、特征值:||A (三重);任何三维非零列向量都是B 的特征向量.五、1a =- 六、提示:两边同取行列式七、提示:用反证法八、(1)12322βξξξ=-+;(2)12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1. 24; 2. 1; 3. 6 二、BBA 三、1. 不可对角化;2.123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭==,1224P AP --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭= 3.不可对角化四、题目有问题,P 不可逆,待查. 五、(1)56a ,b ==;(2)111102013C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭六、02x ,y ==*七、提示:1k =,不可对角化第三节 实对称矩阵的对角化一、1.线性相关,正交; 2. 3 二、12133412,535203P P AP -⎛ -⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭三、0,2,2 四、0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭五、(1)0,0αβ==;(2)00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝六、提示:123=4,1λλλ==,A 可对角化,设相似变换矩阵为P ,则1411kk A P P -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭*七、提示:(1)特征多项式相同⇒有相同的特征值12,,,n λλλ ⇒A ,B 都与12(,,,)n diag λλλ 相似(再利用相似的传递性)(2)一般矩阵不具有此结论,如1110,0101A I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两者特征多项式均为2(1)λ-,但两者不相似.第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、√ √ × × 二、1.112312323110110110,(,,)(,,)110000000x f x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1121221111,(,)(,)1111x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.222123112132233(,,)48223f x x x x x x x x x x x x =+++-+ 4.012103,3231-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭; 5. 2三、1.112312323120(,,)(,,)240,2001x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 11212222(,)(,),221x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 222(,,)(,,)260,3204x f x y z x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭第二节 化二次型为标准形一、1.2221232f y y y =++;1123223332x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩;2. 2221239f y y y =+-;11232233315221()2x =y y y x =y -y x y ⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ 3.2221232f =y y +5y -;11232233322x y y y x y y x y ++⎧⎪=+⎨⎪=⎩= 4.22212324f z z z =-+;112233116114001x z x z x z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、1. 11223310000x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝,22212325f y y y =++2.1122330x yx y x y ⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,213f y =三、0a b ==第三节 二次型的规范形与惯性定律 第四节 正定二次型一、1. 2;2. t 二、AACDD三、1122331030011x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222123f y y y =-++,正惯性指数为2,负惯性指数为1四、1. 负定; 2. 正定 五 1.405a -<< ; 2. 2a > 六、4t >。
矩阵分析试题中北大学33
矩阵分析试题中北⼤学33§9. 矩阵的分解矩阵分解是将⼀个矩阵分解为⽐较简单的或具有某种特性的若⼲矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应⽤中常见的⽅法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式,⼀⽅⾯反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等;另⼀⽅⾯矩阵分解⽅法与过程往往为某些有效的数值计算⽅法和理论分析提供了重要的依据,因⽽使其对分解矩阵的讨论和计算带来极⼤的⽅便,这在矩阵理论研究及其应⽤中都有⾮常重要的理论意义和应⽤价值。
这⾥我们主要研究矩阵的三⾓分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
⼀、矩阵的三⾓分解——是矩阵的⼀种有效⽽应⽤⼴泛的分解法。
将⼀个矩阵分解为⾣矩阵(或正交矩阵)与⼀个三⾓矩阵的乘积或者三⾓矩阵与三⾓矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应⽤必将带来极⼤的⽅便。
⾸先我们从满秩⽅阵的三⾓分解⼊⼿,进⽽讨论任意矩阵的三⾓分解。
定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则上三⾓矩阵11121222000??= ?n n nn a a a a a R a称为正线上三⾓复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,R 称为单位上三⾓复(实)矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则下三⾓矩阵11212212000??= ?n n nn a a a L a a a称为正线下三⾓复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,L 称为单位下三⾓复(实)矩阵。
定理1设,?∈n nn A C (下标表⽰秩)则A 可唯⼀地分解为1=A U R其中1U 是⾣矩阵,R 是正线上三⾓复矩阵;或者A 可唯⼀地分解为2=A LU其中2U 是⾣矩阵,L 是正线下三⾓复矩阵。
矩阵论简明教程(整理全)PPT课件
n 1
1
2
x n1 n
§1.3 矩阵的秩
一、 矩阵秩的定义及基本性质 1、秩的定义
1 r a n k A r
A 的 行 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 中 向 量 的 个 数
2 r a n k A r
A 的 列 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 中 向 量 的 个 数
a2, j1 a3, j1
a a n, j1 n, j1
a2n
a3n
ann
2 、 A d e tA
( 1 ) j1 j2
aa jn 1 j12 j2
a n jn
j1 j2 jn
二、块矩阵的行列式
1、 设 ACmm,BCmn,CCnm,DCnn,则
1A
0A
BA
0 AD
0 D 0 D CD
A2r
B2r
,
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 设 AA21 A22
As1 As2
3、乘法 A11 A12
设AA21 A22 As1 As2
A1r
A11 A12
A2r, 则 AA21 A22
Asr
As1 As2
A1r A2r
Asr
A1t
B11 B12
A2t ,BB21 B22
Ast
Bt1 Bt2
B1r
B2r
Btr
C11 C12 则ABC21 C22
Cs1 Cs2
C1r
C2r
, 其中Cij
t
k1
AikBkj
Csr
i 1,2, ,s; j 1,2, ,r
4、转置与共轭转置
中北大学矩阵讲义1.3PPT课件
1 2 6
例1、求矩阵 A 1 0 3 的Jordan标准形.
1 1 4
解 先求I A的初等因子.
1
I
A
1
1
2 1
6
3
4
1 0 0
0 1
0
0
0
12
因此, I A的初等因子为 1, 12,
1 0 0
矩阵A的Jordan标准形为 J 0
1
1
.
0 0 1
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§1.3 Jordan标准形
一、 基本概念和定义
i 1
i
⑴
mi
阶
Jordan
块:形如
1
i
mi
mi
的方阵
⑵Jordan标准形:由若干个Jordan块组成的分块对角阵
J1
J2
其中Ji i 1, 2, ,t 为 mi 阶Jordan块.
J
t
t
当 mi n时,称为n阶Jordan标准形. i 1
i 1
Ji ,其阶数为 mi ,对角线元素为 i ,这些 Jordan 块构成
一个 Jordan 标准形 J,经过计算可知,J 的全部初等因
子就是上式.
推论 8 . 复矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 的特征 矩阵的初等因子全为一次的.
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二、 Jordan标准形的求法
Th6. A J I A I J Th7. 每个 n 阶复矩阵 A 都与一个 Jordan 标准形 J 相似,这个 Jordan 标准形在不计其中 Jordan 块的排 列次序时,完全由 A 唯一决定.
矩阵论1-4
若V 1 V 2
{ },则称 V1 V 2
为直和 记为 V1 V2
显然有,
V1 V 2 V 2 V1 ,
(V 1 V 2 ) V 3 V 1 (V 2 V 3 )
推广
V 1 ,V 2 , ,V s
s
多个子空间的和 为线性空间V的子空间,则集合
Vi
从而 i 可被 1 , 2 , , s 线性表出;
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出.
所以, 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 等价.
反之, 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 等价.
V1 V 2 L ( x1 , x 2 , , x m , y1 , y 2 , , y s )
Department of Mathematics
V 反之: L ( x , x , 1, x , y , y , , y ) 1 2 m 1 2 s
也为V的子空间,称为 V 1 , V 2 , , V s 的交空间.
Department of Mathematics
2 和的概念
定义 设V1、V2为线性空间V的子空间,则集合
V1 V 2 { a1 a 2 | a1 V1 , a 2 V 2 }
也为V的子空间,称之为V1与V2的和空间.
因为
x1 , x 2 , , x m
为 V 1 的基,则 可由其线性表示
同理: 可由 y 1 , y 2 , , y s 线性表示,所以:
可由 x1 , x 2 , , x m y 1 , y 2 , , y s 线性表示
矩阵讲义 1-4
解
所以
三、最小多项式 1.定义与性质 定义 设 A ∈ C n×n , f (λ ) 是多项式,如果有 f ( A) = O ,则称 f (λ ) 是 A 的零
化多项式。 问题:是否存在比 A 的特征多项式次数更低的零化多项式? 定义 在矩阵 A 的零化多项式中,次数最低的首一多项式称为 A 的最小多 。 项式,记为 m(λ ) (或 m A (λ ) ) 性质 1 如果 m A (λ ) 是方阵 A 的最小多项式, f (λ ) 是 A 的任一零化多项式, 则 m A (λ ) f (λ ) ,且 m(λ ) 是唯一的。 证 利用多项式带余除法知 f (λ ) = q ( λ ) m A (λ ) + r (λ )
系数为 1 得 m A (λ ) = m B (λ ) 。证毕 利用这一性质,可先对矩阵相似化简,再求其最小多项式。 2.最小多项式的求法 性质 1 和 2 给出了求最小多项式的一种方法——试探法。 例 试求下列矩阵的最小多项式 3 −3 2 1) A = − 1 5 − 2 ; −1 3 0 解 A 的特征多项式为 ϕ (λ ) = det(λI − A) = (λ − 2) 2 (λ − 4) 。
27
g (λ ) = m1 (λ ) − m2 (λ ) ,则 g (λ ) 的次数低于 m1 (λ ) 和 m2 (λ ) 的次数。若 g (λ ) ≠ 0 , 则由 g ( A) = m1 ( A) − m2 ( A) = O 得出矛盾,故 g (λ ) ≡ 0 ,即 m1 (λ ) = m2 (λ ) 。证毕 性质 2 点。 证 充分性 必要性 由性质 1 即得。 设 λ 0 对应的特征向量为 x ,即 Ax = λ 0 x ,则 0 = m A ( A) x = m A (λ 0 ) x 由于 x ≠ 0 ,所以 m A (λ 0 ) = 0 ,即 λ 0 是 m A (λ ) 的零点。证毕 推论 若 n 阶方阵 A 的 n 个特征值互异,则 A 的最小多项式就是特征多项 式。 性质 3 相似矩阵有相同的最小多项式。 证 设 P −1 AP = B ,又设 m A (λ ) 和 m B (λ ) 分别是 A 与 B 的最小多项式,由 λ 0 是 A 的特征值的充要条件是, λ 0 是 A 的最小多项式 m A (λ ) 的零
中北大学线性代数知识点.
《 线 代 》第一章行列式一、重要公式1.AA11=- 2.1-*=n AA3.Ak kA n=4.BA AB = 5.BA BO A∙=*6.B A BOA ∙=*7.n m mnmnB A OA B O ∙-=)1(8.∏====ni iia O O O O 1**9.范德蒙行列式:∏≤<≤-----=nj i i jn nn n n n n x xx x x x x x x x x x x x 111312112232221321)(1111二、主要知识网络图nnn nn naaa a a a a a a D212222111211=行列互换,行列式值不变,即行列式与其转置行列式相等。
互换两行(列),行列式值变号。
某行(列)有公因数,可提到行列式之外。
某行(列)的k 倍加到另一行(列)上去,行列式值不变。
若行列式某行(列)的所有元素均为两项之和,则行列式可拆成两行列式之和。
若行列式有两行(列)对应成比例,则值为零。
行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。
三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法 Grame 法则奇次线性方程组有非零解的充分条件第二章 矩阵一、重要定理定理2.1 设A ,B 是n 的阶矩阵,则B A AB =。
定理2.2 如果A 是可逆矩阵,则A 的逆矩阵唯一。
定理2.3 n 阶矩阵A 可逆,)(021s P P P A n A r A =⇔=⇔≠⇔),,是初等矩阵(s i P i 1= 定理2.4 初等阵左(右)乘给定的矩阵,其结果就是对给定的矩阵作相应的行(列)变换。
定理2.5 初等矩阵可逆,且其逆同类型初等矩阵,即)()()),1(())((,111k E k E k i E k i E E E ij ij ij ij-===---。
定理2.6 如果矩阵A 与B 等价,则(1)秩r(A)=r(B) (2 )存在可逆矩阵P 与Q,使PAQ=B 。
中北大学函授高起专题库复习和答案Z经济数学(二)(1)(4)
、单选题(每题4分,共25道小题,总分值100分)1.(4分)A0BCD正确答案C您的答案是 A回答错误展开2.(4分)A3/4B0C4/3D无穷大正确答案A您的答案是 A回答正确展开3.设A是可逆矩阵,且,则()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开4.设为同阶可逆方阵,则下列说法正确的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开5.(4分)ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开6.设为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是()(4分)ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开7.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开8.线性方程组只有零解,则()(4分)A有唯一解B可能无解C有无穷多解D无解正确答案B您的答案是 B回答正确展开9.(4分)ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开10.下列定积分计算正确的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开11.(4分)ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开12.(4分)A0B1C2D3正确答案B您的答案是 B回答正确展开13.设函数在x = 0处连续,则k = ( ).(4分)A-2B-1C1D2正确答案C您的答案是 C回答正确展开14.(4分)A[0,16]B(0,16)C[0,16)D(0,16]正确答案A您的答案是 A回答正确展开15.下列各函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是()(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开16.若函数的拐点为,以下结论一定成立的是(). (4分)AB不存在C或者不存在D正确答案C您的答案是 C回答正确展开17.(4分)A-1B0C不存在D1正确答案D您的答案是 D回答正确展开18.设函数在连续,则=()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开19.函数在处的切线方程是().(4分)ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开20.设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算,那么()成立.(4分)A AB= AC,A 0,则B= CB AB= AC,A可逆,则B= CC A可逆,则AB= BAD AB= 0,则有A = 0,或B= 0正确答案B您的答案是 B回答正确展开21.下列函数在指定区间上单调增加的是()(4分)A sinxB e xC x 2D3 - x正确答案B您的答案是 B回答正确展开22.设事件A和B互斥,且,则有()(4分)ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开23.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开24.若线性方程组的增广矩阵为,则当=()时线性方程组无解.(4分)AB0C1D2正确答案B您的答案是 B回答正确展开25.设随机变量X的期望,方差D(X) = 3,则= ( )(4分)A36B30C6D9纠错正确答案C您的答案是 C回答正确展开一、单选题(每题4分,共25道小题,总分值100分)1.(4分)ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开2.(4分)A0BCD正确答案D您的答案是 A回答错误展开3.(4分)A1B0C-1D不存在正确答案A您的答案是 A回答正确展开4.设线性方程组有唯一解,则相应的齐次方程组()(4分)A无解B有非零解C只有零解D解不能确定正确答案C您的答案是 C回答正确展开5.(4分)ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开6.设函数在连续,则=()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开7.下列函数在指定区间上单调增加的是()(4分)A sinxB e xC x 2D3 - x正确答案B您的答案是 C回答错误展开8.设某商产品单价为100元时,需求价格弹性,它说明在价格100元的基础上上涨1℅,需求将下降()(4分)A0.1B10%C0.1%D10正确答案C您的答案是 C回答正确展开9.(4分)ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开10.已知可导,则()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开11.函数的定义域是( )(4分)ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开12.(4分)ABCD1正确答案A您的答案是 B回答错误展开13.(4分)A sinx+CB cosxC cosx+CD sinx正确答案D您的答案是 D回答正确展开14.设线性方程组AX=b中,若r(A, b) = 4,r(A) = 3,则该线性方程组()(4分)A有唯一解B无解C有非零解D有无穷多解正确答案B您的答案是 B回答正确展开15.(4分)A1B0CD正确答案A您的答案是 A回答正确展开16.(4分)A-1B0C不存在D1正确答案D您的答案是 D回答正确展开17.(4分)A没有极限B无意义C是无穷小量D无界正确答案C您的答案是 C回答正确展开18.若线性方程组的增广矩阵为,则当=()时线性方程组无解.(4分)AB0C1D2正确答案B您的答案是 B回答正确展开19.掷标号为1、2、3的三枚硬币,则恰好有两枚正面向上的概率是( )(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开20.下列等式中正确的是()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开21.(4分)A ABB AB TC A+BD BA T正确答案A您的答案是 C回答错误展开22.()(4分)A1B2C3D4正确答案A您的答案是 A回答正确展开23.关于函数连续与可导的关系,下列叙述正确的是()(4分)A连续必可导B可导必连续C可导不一定连续D连续与可导没有直接关系正确答案B您的答案是 B回答正确展开24.的充分必要条件是( ).(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开25.若,则=()(4分)ABCD纠错正确答案B您的答案是 B回答正确展开交卷时间2021-12-16 15:56:49一、单选题(每题4分,共25道小题,总分值100分)1.设23,25,22,35,20,24是一组数据,则这组数据的中位数是()(4分)ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开2.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 B回答错误展开3.(4分)A(-1,5)B[-1,5]C[-1,5)D(-1,5]正确答案B您的答案是 B回答正确展开4.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 B回答错误展开5.的充分必要条件是( ).(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开6.掷标号为1、2、3的三枚硬币,则恰好有两枚正面向上的概率是( )(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开7.(4分)ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开8.(4分)A sinx+CB cosxC cosx+CD sinx正确答案D您的答案是 D回答正确展开9.(4分)ABCD正确答案C您的答案是 B回答错误展开10.设随机变量X的期望,方差D(X) = 3,则= ( )(4分)A36B30C6D9正确答案C您的答案是 C回答正确展开11.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开12.()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开13.(4分)ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开14.若,则=()(4分)ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开15.设函数在连续,则=()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开16.(4分)A1B0C-1D不存在正确答案A您的答案是 D回答错误展开17.设线性方程组有唯一解,则相应的齐次方程组()(4分)A无解B有非零解C只有零解D解不能确定正确答案C您的答案是 C回答正确展开18.(4分)A1B0CD正确答案A您的答案是 B回答错误展开19.(4分)ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开20.下列等式中正确的是()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开21.若,则( ). (4分)ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开22.设均为n阶方阵,在下列情况下能推出A是单位矩阵的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开23.(4分)ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开24.下列定积分计算正确的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开25.(4分)A0B1C2D纠错正确答案B您的答案是 C回答错误展开一、单选题(每题4分,共25道小题,总分值100分)1.(4分)A0B1C-1D2正确答案D您的答案是未作答回答错误展开2.(4分)A同阶无穷小B等价无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小正确答案A您的答案是未作答回答错误展开3.已知可导,则()(4分)ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开4.下列广义积分收敛的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开5.(4分)ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开6.(4分)A0B1C2正确答案C您的答案是未作答回答错误展开7.下列定积分计算正确的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开8.的充分必要条件是( ). (4分)ABCD正确答案C您的答案是未作答回答错误展开9.(4分)B0C不存在D1正确答案D您的答案是未作答回答错误展开10.线性方程组满足结论()(4分)A无解B有无穷多解C只有解D有唯一解正确答案D您的答案是未作答回答错误展开11.设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算,那么()成立.(4分)A AB= AC,A 0,则B= CB AB= AC,A可逆,则B= CC A可逆,则AB= BAD AB= 0,则有A = 0,或B= 0正确答案B您的答案是未作答回答错误展开12.(4分)A[0,16]B(0,16)C[0,16)D(0,16]正确答案A您的答案是未作答回答错误展开(4分)A极大值-1/2B极大值1/2C极小值1/2D极小值-1/2正确答案D您的答案是未作答回答错误展开14.以下各组函数中表示同一函数的一组是()(4分)ABCD正确答案C您的答案是未作答回答错误展开15.(4分)ABCD正确答案A您的答案是未作答回答错误展开16.(4分)ABCD正确答案C您的答案是未作答回答错误展开17.(4分)ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开18.函数的定义域是( )(4分)ABCD正确答案B您的答案是未作答回答错误展开19.若函数的拐点为,以下结论一定成立的是(). (4分)AB不存在C或者不存在D正确答案C您的答案是未作答回答错误展开20.(4分)A3/4B0D无穷大正确答案A您的答案是未作答回答错误展开21.()(4分)A1B2C3D4正确答案A您的答案是未作答回答错误展开22.()(4分)ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开若在上连续,且为奇函数,则( )(4分)ABCD不确定正确答案A您的答案是未作答回答错误展开24.设某商产品单价为100元时,需求价格弹性,它说明在价格100元的基础上上涨1℅,需求将下降()(4分)A0.1B10%C0.1%D10正确答案C您的答案是未作答回答错误展开25.若,则=()(4分)ABCD纠错正确答案B您的答案是未作答回答错误展开Z经济数学(二)交卷时间2021-12-16 14:38:17一、单选题(每题4分,共25道小题,总分值100分)1.(4分)ABCD纠错正确答案A您的答案是 D回答错误展开2.(4分)A0BCD1正确答案C您的答案是 C回答正确展开3.(4分)A1B2C-2D-1正确答案D您的答案是 A回答错误展开4.设线性方程组AX=b中,若r(A, b) = 4,r(A) = 3,则该线性方程组()(4分)A有唯一解B无解C有非零解D有无穷多解正确答案B您的答案是 B回答正确展开5.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开6.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 B回答错误展开7.(4分)A同阶无穷小B等价无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小正确答案A您的答案是 B回答错误展开8.(4分)A同阶无穷小B等价无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小正确答案B您的答案是 A回答错误展开9.下列广义积分收敛的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开10.设函数在连续,则=()(4分)ABCD正确答案C您的答案是 D回答错误展开11.(4分)ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开12.线性方程组只有零解,则()(4分)A有唯一解B可能无解C有无穷多解D无解正确答案B您的答案是 A回答错误展开13.设均为n阶方阵,在下列情况下能推出A是单位矩阵的是()(4分)ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开14.可逆矩阵,则下列等式成立的是()(4分)ABC D.正确答案C您的答案是 C回答正确展开15.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开16.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开17.若,则( ).(4分)ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开18.函数在处的切线方程是().(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开19.(4分)ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开20.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开21.(4分)ABCD正确答案A您的答案是 D回答错误展开22.(4分)ABCD正确答案B您的答案是 A回答错误展开23.若在上连续,且为奇函数,则( )(4分)ABCD不确定正确答案A您的答案是 D回答错误展开24.(4分)A2BCD4正确答案D您的答案是 D回答正确展开25.设事件A和B互斥,且,则有()(4分)ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开32分00:16:5825/25题©2014-2021 弘成科技发展有限公司版权所有一、单选题(每题4分,共25道小题,总分值100分)1.(4分)A充分条件B充要条件无关条件必要条件正确答案D您的答案是C回答错误展开2.设事件A和B互斥,且,则有()(4分)ABCD正确答案A您的答案是A回答正确展开3.的充分必要条件是( ).(4分)ABCD正确答案C您的答案是C回答正确展开4.若在上连续,且为奇函数,则 ( )(4分)ABCD不确定正确答案A您的答案是A回答正确展开5.(4分)A3/4B0C4/3D无穷大正确答案A您的答案是D回答错误展开6.设函数在x = 0处连续,则k = ( ).(4分)A-2B-1C1D2正确答案C您的答案是A回答错误展开7.(4分)A sinx+CB cosxC cosx+Csinx正确答案D您的答案是A回答错误展开8.设函数在x = 0处连续,则k = ( ).(4分)A-2B-1C1D2正确答案C您的答案是B回答错误展开9.(4分)ABCD正确答案D您的答案是C回答错误展开10.下列等式中正确的是()(4分)AB。
矩阵仿真法与战斗部威力评估
矩阵仿真法与战斗部威力评估
杨小林;王震宇
【期刊名称】《火力与指挥控制》
【年(卷),期】2010(035)003
【摘要】针对子母弹战斗部威力评估中不同子弹威力覆盖范围相互叠加的问题,提出用矩阵仿真法剔除叠加效应对威力评估的影响,并探讨了矩阵仿真法在战斗部威慑面积计算中的应用,理论计算与仿真结果分析表明,矩阵仿真法完全能够达到对大型面目标区域进行仿真的要求.
【总页数】3页(P86-88)
【作者】杨小林;王震宇
【作者单位】中北大学,太原,030051;中北大学,太原,030051
【正文语种】中文
【中图分类】TJ410.6
【相关文献】
1.影响鱼雷定向战斗部威力的偏心起爆仿真与试验 [J], 曲大伟;王团盟
2.矩阵仿真法在战斗部威力评估中的应用 [J], 王震宇;冯顺山
3.基于射击线和粒子系统技术在定向战斗部威力仿真中的应用 [J], 周家胜;任华杰
4.破片战斗部威力仿真方法与仿真软件研究 [J], 杨云斌;屈明;钱立新
5.3D可视化破片战斗部威力实验仿真系统设计 [J], 何淼; 王浩; 任俊新; 沈吟青; 史律
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“矩阵运算”教学中思政元素的挖掘与设计案例
“矩阵运算”教学中思政元素的挖掘与设计案例
朱志峰;李有文
【期刊名称】《进展》
【年(卷),期】2024()2
【摘要】实施课程思政是目前高等学校教学改革的主要任务之一。
为了更好地在
高等代数课程中开展课程思政,本文在知识点“矩阵运算”(以乘法运算为例)的教学过程中结合内容特点,以系统、科学作为指导思想,以学生为中心,设计问题驱动式教学案例,从人生观、协作精神、爱国情怀等方面挖掘思政元素,引导学生思考并探索、深化德育渗透。
【总页数】3页(P157-159)
【作者】朱志峰;李有文
【作者单位】中北大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.0
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2.学习情境教学设计中思政元素的挖掘与融入
——以认知建筑抗震结构学习情境教学设计为例3.统计学课程思政元素挖掘及教
学案例设计与实施4.信号与系统课课程思政元素挖掘与教学案例设计5.“矩阵运算”教学中思政元素的挖掘与设计案例
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*Th5 若矩阵 A 的特征值互异,则它的最小多项 式就是特征多项式.
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例2、求下列方阵的特征多项式与最小多项式
3 1 0 (1) 0 3 0 0 0 3
a c1 a c2 (2) cn1 a
n 2 1 2 1
g A 0
注1:
An An2 A2 I
A的零化多项式不是唯一的, A的特 征多项式 也不一定是A的次数最低的零化多项式.
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二、最小多项式及其求法 定义:矩阵A的次数最低的首一零化多项式称
为A的最小多项式,记为 mA (or m( )).
*Th1 多项式 是 A 的零化多项式的充要条 件是 m | ,特别 m | f ,即 A 的最小 多项式为其特征多项式的因式.
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n
dn a
∴ m a
n
注1:A的最小多项式 mA 由A所唯一确定.
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*Th3 n 阶矩阵 A 的最小多项式等于它的特 征矩阵 I A 中的第 n 不变因子 d n ,因而
f det I A det I A Dn1 . m m dn
*Th4 方阵A的特征多项式的根必是其最小 多项式的根.
解 (1)
0 3 1 3 f det 0 3 0 3 法一: 0 0 3
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其最小多项式可能是 3 , 3 , 3
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*Th2 相似矩阵有相同的最小多项式.
注2: 最小多项式相同的两个矩阵不一定相似.
2 A 3 3 2 B 2 3
有相同的最小多项式,但它们不相似.
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法二:
0 0 1 I A 0 3 0 2 0 0 ( 3)
∴
m 3
2
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2
a c1 a c2 cn 1 a
§1.4. Cayley Hamilton定理, 最小多项式 一、 Cayley Hamilton 定理
设 f 为矩阵A的特征多项式,则 f A 0 . 例1、设
1 A 1 0 0 0 1 0 1 0
求证:An An2 A2 I n 3 证 A的特征多项式 f 2 1 1
2
3
,通过计算可知 中的一个,( m | f )
0 1 0 A 3I 0 0 0 0 , 0 0 0
A 3I
2
0
∴ m 3
2
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g n n2 2 1 令
n 2 2 1 2 1
2 1 1 n3 n4 1