2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第1课时正弦及30°角的正弦值同步练习新版湘教版

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九年级数学(湘教版)上册课件：正弦和余弦

规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．

湘教版九年级数学上册解直角三角形三角函数的教案

三角函数教案4.1 正弦和余弦（1）教学设计教学内容教学分析教学重点1、理解和掌握锐角正弦的定义。

2、根据定义求锐角的正弦值。

教学难点探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学准备教具学具补充材料课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程第1 课时教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图执教者个性化调整一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。

对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。

通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。

二、师生互动探究新知[活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关让学生带着问题学习,激发探索欲望。

65°BAC⌒北东由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。

发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。

的观点,激起疑问。

算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。

(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D ＝∠D ′ ∠E ＝∠E ′ ∴△DEF ∽△D ′E ′F ′∴即：因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。

九年级数学上册第4章锐角三角函数 4.1 正弦和余弦教学课件

解：（1） sin260°+sin245° （2） 1-2sin30°sin60°
3 2
2
2 2
2
5. 4
1 2 1 3 22
1 3 2
2 3 . 2
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第二十五页，共二十九页。
四、强化训练
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5，AB=7. 求 cos A，cos B 的值．
（1）求sinA的值；（2）求sinB的值.
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第十页，共二十九页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
解：（1）∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于
是
sinA=B AC B=5 3.
（2）∠B的对边是AC，根据(gēnjù)勾股定理，得
AC2 = AB2-BC2 = 52-32 = 16.
sin角斜的边对边
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α
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二、新课讲解
(jiǎngjiě)
根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直角边
等于斜边的一半”，容易得到
sin
30°=
1 2
.
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第九页，共二十九页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=3，AB=5.
答：cosA=7 5,cosB=276.
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五、布置(bùzhì)作业
课本(kèběn)P115练习、P116习题4.1
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本课结束 (jiéshù) 第二十八页，共二十九页。

湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)

知1－练
sin 67°38′24′′；解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边角之间的数量关系，先利用勾股定理求出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的正弦、余弦值.

湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案

湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案 4.1 正弦和余弦第1课时正弦1.理解并掌握锐角正弦的定义.2.在直角三角形中求锐角的正弦值.（重点）一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A ）与水面（BC ）的高度（AB ）.斜坡与水面所成的角（∠C ）可以用量角器测出来，水管的长度（AC ）也能直接量得.你能求出它的高度（AB ）吗？二、合作探究探究点一：锐角的正弦的概念在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin B ＝（） A.AC AB B.AB BC C.AB AC D.BC AB解析：由正弦的概念可得sin B ＝ACAB，故选A.方法总结：正确理解锐角的正弦的概念，在实际解题的过程中可以借助简单的图形帮助解题.探究点二：已知直角三角形的边求锐角的正弦值在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sin A ＝Ｗ.解析：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴斜边AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴sin A＝BC AC ＝45，故填45. 方法总结：在直角三角形中，sin α＝角α的对边斜边，在解题时运用勾股定理求出斜边，即可完成解答.探究点三：构造直角三角形求锐角的正弦值如图所示，P 为∠α的边OM 上的一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin α的值是（）A.35B.45C.34D.43解析：过P 作P A ⊥x 轴，垂足为A ，则OA ＝3，P A ＝4，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝5，∴sin α＝P A OP ＝45，故选B. 方法总结：解此类题时，首先要根据已知条件构造出合适的直角三角形，然后利用正弦的定义求锐角的正弦.三、板书设计锐角的正弦⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧概念：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦. 记作sin α，sin α＝∠α的对边斜边性质：α确定的情况下，sin α为定值，与△ABC的大小无关基本题型⎩⎪⎨⎪⎧已知各条件在直角三角形中求正弦构造直角三角形求锐角的正弦值教学过程中，通过联系生活实例来引入新的知识，鼓励学生积极参与讨论，尝试发现生活中同类型的问题，在激发学习兴趣的同时快速切入主题.在合作探究环节用基础的练习帮助学生巩固基本概念，为下面的学习打下基础.4.1 正弦和余弦第1课时正弦教学目标： 1、知识与技能：（1）使学生理解锐角正弦的定义。

湘教版九年级数学上册课件：4.1 正弦和余弦 (共25张PPT)

AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
AB
2
=
3 4
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角的邻边斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
11
这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB

EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，

九年级数学上册秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦1正弦函数名师公开课省级获奖课件新版

谢谢大家
8
(2)若AB＝3，求AD的长．
9
如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架EF的长．
了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多一般的伟人总是让身边的人感到渺小昨天是张退票的支票积极人格的完善是本，财富的确立是末昨晚多几分钟的准备每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐要及时把握梦想，因为梦想一死10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
D
C
B
C
答案呈现
习题链接
B
C
1
C
2
D
3
C
4
C
【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝( )
5
B
6
B
7
在Rt△ABC中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正弦值．
【点拨】因为6，8，10为一组勾股数，易因默认斜边长为10而出错，题中并未说明6，8均为直角边长．
谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。

[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第1课时正弦及30°角的正弦

第4章锐角三角形函数4.1 正弦和余弦第1课时正弦及30 °角的正弦值知识点 1 正弦的定义1．如图4－1－1，在△ABC 中，∠C ＝90°，则∠A 的正弦值可以表示为( ) A.AC AB B.BC AB C.BC AC D.AC BC2．2017·日照在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.125图4－1－1图4－1－23．根据图4－1－2填空： (1)sin A ＝（）AC ＝BC（）；(2)sin B ＝CD（）＝（）AB.4．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，求∠B 的正弦值．知识点 2 30°角的正弦值图4－1－35．如图4－1－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，设BC ＝x ，则AB ＝2x ，sin30°＝sin A ＝（）AB ＝（）（）＝________．6．计算：3sin30°－||－5＝________．7．教材练习第2题变式如图4－1－4，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sin α＝45，则t 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5图4－1－4图4－1－58．如图4－1－5，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为________． 9．如图4－1－6，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D . (1)求证：△ACD ∽△CBD ；(2)若AD ＝2，AB ＝6，求CD 的长和sin A 的值．图4－1－610．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，请你根据正弦的定义证明：sin 2A ＋sin 2B ＝1.1．B2．B [解析] 在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC ＝AB 2－AC 2＝12，∴sin A ＝BC AB ＝1213.3．(1)CD AB (2)BC AC [解析] 根据正弦的定义求解． 4．解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4， ∴根据勾股定理可得AC ＝7， ∴sin B ＝AC AB ＝74. 5．BC x 2x 12 6.－72 7.B8.55[解析] 如图所示，延长AC 交网格于点E ，连接BE .∵AE ＝2 5，BE ＝5，AB ＝5，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴△ABE 是直角三角形且∠AEB ＝90°，∴sin A ＝BE AB ＝55.9． (1)证明：∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＝∠B . 又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD . (2)∵△ACD ∽△CBD ， ∴CD BD ＝AD CD，∴CD 2＝AD ·BD ＝2×(6－2)＝8，∴CD ＝2 2.在Rt△ACD 中，由勾股定理得AC ＝2 3，∴sin A ＝CD AC ＝2 22 3＝23＝63.10．证明：在Rt△ABC 中，设a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边．∵∠C ＝90°，∴a2＋b 2＝c 2，sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2＝1，即sin 2A ＋sin 2B ＝1.。

2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第1课时正弦及30°角的正弦

第4章锐角三角形函数4.1 正弦和余弦第1课时正弦及30 °角的正弦值知识点1 正弦的定义1.如图4—1 —1，在△ ABC中，/ C= 90°,则/ A的正弦值可以表示为（）AC BC BC ACA.ABB.A BC.ACD. B C2. 2017 •日照在Rt△ ABC中,5 12 5 12A.倍B.倍C.悝D.石3 •根据图4—1 —2填空: C= 90°, AB= 13, AC= 5，贝U si n A 的值为((1)sin A=(ACBC()(2)sin B=- CD ( )AB4. 在△ ABC中, Z 0= 90°,BC= 3, AB= 4，求Z B的正弦值.知识点2 30°角的正弦值图 4—1 — 35.如图 4— 1 — 3,在厶 ABC 中，/ C = 90°,/ A = 30°,设 BC= x ，则 AB= 2x , sin306. _________________________________ 计算：3sin30 ° — | — 5|= _________________________________________7 .教材练习第2题变式如图4— 1 — 4，点A (t , 4)在第一象限,4a , sin a =，则t 的值是( )5A .&如图4— 1 — 5, △ ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，贝U si n A 的值为9.如图 4— 1 — 6，在 Rt △ ABC 中,/ ACB= 90°, CDLAB 于点 D=sin A= ( ) AB 图 4—1 — 5OA 与 x 轴所夹的锐角为 (1) ⑵ 求证：△ ACD^A CBD若 AD= 2, AB= 6,图 4—1 — 610. 在Rt△ ABC中,/ C= 90°,请你根据正弦的定义证明：sin 2A+ sin 2B= 1.(1)如图所示，延长 AC 交网格于点 E ,连接BE ••• AE= 2 5, BE= 5 , AB2 2 2 =5, • AE + BE =AB , •△ ABE 是直角三角形且Z AEB= 90° 9.⑴证明：•••/ A +Z 又•••/ ADC=Z CDB= 90°, •••△ CBD(2) •/△ ACD^ CBDCD ADBD CD• CD = AD- BD=2X (6 — 2) = 8,• CD= 2 2.在Rt △ ACC 中，由勾股定理得 AC= 23,• sin A — CD_ 2JL 迈—逅•-曲 AC T 2 ..3_ 3 - 3 .1. B2. BC 12［解析］在 Rt △ ABC 中 ,由勾股定理得，BC T \/A B — A C = 12 , • sin A = AB =池.CD AB (2) BC AC ［解析］根据正弦的定义求解. •••在△ ABC 中 , Z C = 90° , BC T 3 , AB= 4 , AC T 7 , 3. 4. 解： •根据勾股定理可得 AC_卫 —T 亍 • sin B = AB 5. BC x 2x6. — 77.B 10.证明：在 Rt △ ABC 中,设 a , b , c 分别是Z A Z B, 2 2 a b 2 2 a 2 b 2 + b = c , sin A^ 一，sin B = -,• sin A + sin B = (一)+ (一)= c c c cZ C 的对边.•••/ 2 2 a + b 卄 2 = 1,即 sin c ， C= 90°, • a 2 2 2 A + sin B = 1. 8.f ［解析］,•sin A = Af:丄 ACD=/ B。

九年级上册数学教案第4章锐角三角函数 4.1 正弦和余弦(第一课时)

4.1 正弦和余弦（第一课时）第课时编写时间：年月日执教时间：年月日执教班级：教学目标1、知识与技能：能根据正弦概念正确进行计算，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2、过程与方法：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实3、态度、情感、价值观：发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

教具：课件、多媒体展台、小黑板教学方法：讲练结合、点拨与讨论结合学具：教学过程及教学内容设计：（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。

这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。

下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的341米10米?对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o ，由于∠A=45o ，所以Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系分析：由于∠C=∠C` =90o ，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，，即结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值。

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第4章锐角三角形函数
4.1 正弦和余弦
第1课时正弦及30 °角的正弦值
知识点 1 正弦的定义
1．如图4－1－1，在△ABC 中，∠C ＝90°，则∠A 的正弦值可以表示为( ) A.AC AB B.BC AB C.BC AC D.AC BC
2．2017·日照在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.125
图4－1－1
图4－1－2
3．根据图4－1－2填空： (1)sin A ＝（）AC ＝BC
（）；
(2)sin B ＝
CD
（）＝（）
AB
.
4．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，求∠B 的正弦值．
知识点 230°角的正弦值
图4－1－3
5．如图4－1－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，设BC ＝x ，则AB ＝2x ，sin30°＝sin A ＝（）AB ＝（）
（）
＝________．
6．计算：3sin30°－||－5＝________．
7．教材练习第2题变式如图4－1－4，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sin α＝4
5
，则t 的值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
图4－1－4
图4－1－5
8．如图4－1－5，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为________． 9．如图4－1－6，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D . (1)求证：△ACD ∽△CBD ；
(2)若AD ＝2，AB ＝6，求CD 的长和sin A 的值．
图4－1－6
10．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，请你根据正弦的定义证明：sin 2
A ＋sin 2
B ＝1.
1．B
2．B [解析] 在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC ＝AB 2－AC 2
＝12，∴sin A ＝BC AB ＝1213
.
3．(1)CDAB (2)BCAC [解析] 根据正弦的定义求解． 4．解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4， ∴根据勾股定理可得AC ＝7， ∴sin B ＝AC AB ＝
74
. 5．BCx 2x 12 6.－7
2 7.B
8.
5
5
[解析] 如图所示，延长AC 交网格于点E ，连接BE .∵AE ＝2 5，BE ＝5，AB ＝5，∴AE 2
＋BE 2
＝AB 2
，∴△ABE 是直角三角形且∠AEB ＝90°，∴sin A ＝BE AB ＝
55
.
9． (1)证明：∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＝∠B . 又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD . (2)∵△ACD ∽△CBD ， ∴CD BD ＝AD CD
，
∴CD 2
＝AD ·BD ＝2×(6－2)＝8，
∴CD ＝2 2.
在Rt△ACD 中，由勾股定理得AC ＝2 3，
∴sin A ＝CD AC ＝2 22 3＝23＝6
3
.
10．证明：在Rt△ABC 中，设a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边．∵∠C ＝90°，∴a
2
＋b 2
＝c 2
，sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c
2＝1，即sin 2A ＋sin 2
B ＝1.。