(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。
线性代数第5章 特征值及特征向量
k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2 的全部特征向量.
18
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
④
23
二、填空题
１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则
|A|＝（
－６
），
Ａ－１的特征值为（ ＡＴ的特征值为（
１，-1/2, 1/3
１，－２，３．
）， ）， ）．
Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（
4, 1, 16 0
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（
）．
当
齐次线性方程组为 ( A 2E ) X O 2 3 2 时，
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 得基础解系 P2 1 , P3 0 . 1 4
( ) a0 a1 a22 am m
是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
的特征值。如果 A 可逆，则
( ) a k k a11 a0 a1 am m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
1
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
2
2
2
的非零特征值是
．
2 2 2
【答案】 4 ．
3 2 2 0 1 0
（03
年，数学一）设矩阵
A
2
3
2
，P
1
0
1 ，B P1A*P ，求 B 2E 的
2 2 3 0 0 1
特征值与特征向量，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， E 为三阶单位矩阵．
（Ⅰ） A2 ；（Ⅱ）矩阵 A 的特征值和特征向量．
【解析】（Ⅰ） A2 ( T ) T O
（Ⅱ）基础解系为：
1
b2 b1
,1,0,
,0
T
,2
b3 b1
,0,1,
,0
T
,
, n 1
bn b1
,0
,0,
,1T ，
等于 ( ) ．
（A） 4 ． 3
【答案】（B）．
（B） 3 ． 4
（C） 1 ． 2
（D） 1 ． 4
（96 年，数学五）设有 4 阶方阵 A 满足条件 3I A 0,AAT 2I , A 0 ，其中 I 是 4
阶单位阵，求方阵 A 的伴随阵 A* 的一个特征值． 【解析】 A* 有特征值 4 ． 3
题型 5.4 相似矩阵的判定及其反问题
2 0 0
2 0 0
（88
年，数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）已知矩阵
A
0
0
1
与
B
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵与二次型一、是非题〔正确打√,错误打×〕1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. <√>2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. <√>3.n 阶正交阵A 的n 个行<列>向量构成向量空间n R 的一个规X 正交基. <√>4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. <√>5.若A 是正交阵,Ax y =,则x y =. <√>6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ,则2是n n A ⨯的一个特征值. <×>7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. <×>8.n 阶矩阵A 在复数X 围内有n 个不同的特征值. <×>9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . <√>10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值<其中)(λf 是λ的多项式>.<√>11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值,1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. <×>12.T A 与A 的特征值相同. <√>13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. <×>14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足:B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. <√>15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. <√>16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. <√>17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. <√>18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. <√>19.实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵. <×>20．已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. <×>21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵. <√>22．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.<×>23.任给二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化为规X 型.<×>二、填空题1．向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交.Ans:()T 1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans:1或-13.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________.<-1,2,3>4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A ___________,=+++nn a a a 2211_____________.5.设二阶行列式A 的特征值为2,3,λ,若行列式482-=A ,则____=λ.<-1>6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,=-+*E A A 23______. Ans:-15,97. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-,则=x -1或2 .8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1,则2008A =E .9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.<-1,见教材>10.设A 为2阶矩阵,1α,2α是线性无关的二维列向量,01=αA ,2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.提示:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1.11、设A 为正交矩阵,λ为A 阵的特征值,则λA E -=_____0___.12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为_____.<2>13.<3分>二次型32312123222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为标准型216y f =,则a =_____.<a =2>14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______； 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2,则=a .15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为_____时f 为正定, a 的取值为_____时f 为负定. <1;2- a a >16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面 三、 选择题 1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,则矩阵12)21(-A 有一特征值为< C >.<A> 22a ； <B>22a - ； <C>22-a ； <D>22--a .2.若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根,则A 对应于λ的 特征向量最多有<A >个线性无关.<A> 3个； <B> 1个； <C> 2个； <D> 4个.3.特征值一定是实数的矩阵是<B ><A>正交矩阵 <B> 对称矩阵<C>退化矩阵 <D>满秩矩阵4. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量,则其对角化矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为< D >.<A>α1-P ； <B>αP ； <C>αT P ； <D>α .5. 若A 为n 阶实对称矩阵,且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定,则下列结论不正确的是< C > .(A) A 的特征值全为正；<B> A 的一切顺序主子式全为正； <C> A 的元素全为正；<D>对一切n 维列向量x ,Ax x T 全为正.6.下列各式中有<A >等于22212136x x x x ++.<A> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213421,x x x x ； <B> ()112213,23x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； <C> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213511,x x x x ； <D> ()112211,43x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 7.矩阵〔 C 〕是二次型22212136x x x x ++的矩阵. <A>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111；<B>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421；<C>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3331； <D>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151；8.设A 、B 为同阶方阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,且BX X AX X T T =,当〔 D 〕时,B A =. <A>)()(B r A r =； <B>A A =T ；<C>B B =T ； <D>A A =T 且B B =T ；9.A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是〔 D 〕. <A>0>A ； <B>存在n 阶矩阵C,使C C A T =； <C>负惯性指标为零； <D>各阶顺序主子式均为正数； 10.1)()()(),,(22221,21--++-+-=n a x a x a x x x x f n n 是< B >. <A>非正定二次型 ；<B>正定； <C>负定； <D>不定；11．正定二次型),,(,21n x x x f 的矩阵应是〔 B 〕.<A>非对称且左右对角线上元素都是正数；<B>对称且各阶顺序子式都是正数；<C> 对称且所有元素都是正数；<D> 对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x k k k k k z y x 0101),,( 正定的参数k 应该是< C >.<A>0>k ；<B>02>k ；<C>不存在； <D>0<k ；13．阶矩阵A 为正定的充分必要条件是< C >. <A>0>A ； <B> 存在n 阶矩阵,使A=C C T ；<C> A 的特征值全大于0； <D> 存在n 维列向量α≠0,有0>ααA T ；14.次型232221321)2()1()1()(x k x k x k x x x f -+-++=,当< B >时是正定的.<A>k>0； <B> k>2； <C> k>1；<D> k=1；15.设A ,B 为正定矩阵,则< C >.<A>AB 、B A +都正定； <B>AB 正定,B A +不一定正定； <C>AB 不一定正定,B A +正定； <D>AB 和B A +都不一定正定；16.设A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且都正定,那么AB 是<C> <A>实对称矩阵 <B> 正定矩阵<C>可逆矩阵 <D>正交矩阵17.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B ,则A 与B<A>合同, 且相似. <B> 合同, 但不相似 .<C>不合同, 但相似. <D> 既不合同, 又不相似.[ B ]18. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A , 则在实数域上与A 合同矩阵为〔 D 〕 <A> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <B>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <C> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112<D> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 19.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是<A> 01≠λ <B> 02≠λ <C> 01=λ <D>02=λ [ B ]20.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 < C > <A> 所有k 级子式为正),,2,1(n k = <B>A 的所有特征值非负 <C> 1-A 为正定矩阵 <D>秩<A >=n。
《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
第五章方阵的特征值与特征向量自测题答案
《线性代数》单元自测题答案第五章 方阵的特征值与特征向量一、 填空题：1．0； 2．36-； 3．6,111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 4.4-； 5.ξ1-p . 二、 单选题：1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5.D .三、计算题1．解：因A 的特征多项式22)1)(1()1)(1(0101010-+=--=---=-λλλλλλλλA E 所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000101020101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。
当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000101000101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，3k 不同时为０)。
2. 解 因A 的特征多项式)1()1()1)(1(32401022322-+=-+=+--+--=-λλλλλλλλA E所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000224000224321x x x 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征根121-==λλ的代数重数等于几何重数，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424020222321x x x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得4,,5-y 是A 的特征根，于是有 05242424254=----=--x A E ， 解得4=x . 从而有 )4()5(1242424212+-=---=-λλλλλλA E ，故可得5=y .（2）当521==λλ时，解0)5(=-X A E ，得基础解系()()T T 101,02121-=-=ξξ.当43-=λ时，解0)4(=--X A E ，得基础解系()T 2123=ξ. 取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==210102211,,321ξξξP ， 则Λ=-AP P 1。
第五章：特征值与特征向量选择题
B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
【解析】 B 2E 的特征值分别为 9, 9, 3 ．
1 1
特征值
9
（二重）的特征向量全体为
k1
1
k2
1
，其中
k1
,
k2
不同时为零；
0 1
0
特征值
3
的特征向量全体为
k3
1
，其中
k3
0
．
1
题型 5.2 抽象矩阵的特征值和特征向量
A 的属于特征值 0 的全部特征向量为 c11 c22 cn1n1 ,（ c1, c2 , , cn1 是不全
为零的任意常数．）
（02 年，数学三）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵．已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 (P1AP)T 属于特征值 的特征向量是 ( ) ．
【证明】略.
（90 年，数学四）设 A 为 n 阶矩阵，1 和 2 是 A 的两个不同的特征值，x1, x2 是分别属
于 1 和 2 的特征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
【证明】略.
（90 年，数学五）设方阵 A 满足条件 AT A E ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位 矩阵．试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
年，数学四）设矩阵
A
k
1
k
，问当
k
为何值时，存在可逆矩阵 P ，使
4 2 3
得 P1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵．
1 1 1
1 0 0
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
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1 1 a 1 1 1 a
1
A 1 a 1 1 0 a 1 1 a 0 a 1 1 2 0 1 a 1 a2 a 2
1 1
a
1
0 a 1
1 a
0
0 0 a 1a 2 a 2
＿
当 a＝1 时，则 r（A）＝1≠r（A）＝2，此时方程组无解；
＿
当 a＝－2 时，则 r（A）＝r（A）＝2＜3，此时方程组有无穷多解，所以 a＝－2。
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第五章 矩阵的特征值和特征向量
解答题
2 1 1
→
1．设矩阵
A
1 1
2 1
1 a
可逆，向量α＝（1，b，1）T
是矩阵
A*的一个特征向量，λ
是 α 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，求非零实数 a、b、λ。
→
是二重特征值，知矩阵 2E－A 的秩为 1，即 2E－A 的任意两行元素都成比例。所以有
得 x＝2，y＝－2。
1 1 1
2E
A
x 3
2 3
y 3
→→
→
→
与（2E－A）x＝0同解的方程组为 x1＋x2－x3＝0，解得ξ1＝（－1，1，0）T，ξ2＝（1，
0，1）T 为矩阵 A 的属于特征值 λ＝2 的特征向量。
3 / 20
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→
→
xn＝0 同解，其基础解系为 n－1 个 n 维列向量，ξ2＝（－1，1，0，…，0）T，ξ3＝（－1，
→
0，1，0，…，0）T，…，ξn＝（－1，0，0，…，1）T，所以属于矩阵 A 的特征值 λ2＝λ3
(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
线性代数第五章特征值
第六节 用配方法化二次型成标准形
第七节 正定二次型
常见问题
1.将线性无关向量组化为正交单位向量组 2.求方阵的特征值与特征向量
3.已知A的特征值，求A的“多项式”的特征值 和行列式
4.方阵的对角化（WHEN & HOW） 5.对称阵的正交对角化 6.二次型的矩阵、秩、标准形、规范形、正惯性 指数、正定性 7.矩阵的相似、正交阵、正定性
线性代数
孙 志 人 南京师范大学计算机学院 二Ο一二年十二月廿八日
§7 正定二次型
一、惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 四、小结、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
则 y C x 0,
故
i -1
f x f Cy ki yi2 .
n
x ki yi2 0. f
n i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量) 时,
f Ces k s 0.
. 显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾
的秩为 . 2．设 A 为 n 阶方阵, 且 det A 2, 则
2 1．二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 xx1 4 x1 x2 2 x1 x3
1 1 det ( A) A . 3 2 0 0 1 0 0 3．已知矩阵A 2 x 2 与B 0 2 0 相似, 3 1 1 0 0 y 则x ,y .
线性代数第五版第五章常见试题及解答
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B2．若A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，则|A-E|=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B3．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B4．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B5．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 答案：C6．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ） A ．121 B ．71 C ．7 D ．12 答案：A7．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（ ） A ．23- B ．32- C ．32 D ．23答案：B8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ ） A.B A =B.秩（A ）=秩（B ）C.存在可逆阵P ，使P -1AP=BD.λE-A =λE-B答案：D9.与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ ）A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101答案：A10．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ）A ．E-AB ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A 答案：D11．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41B ．21C ．2D ．4 答案：A12.若A 与B 相似，则（ ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量 C.A -λE =B -λE D.|A |=|B | 答案：D13.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D14．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4201答案：C15.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cosD.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--336102233660336122 答案：A16．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 答案：D17．已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则A 2=（ ） A ．A B ．D C ．E D ．-E答案：C18．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100，则A 的特征值为（ ）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-1答案：B19．设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2=E ，则必有（ ） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于n D ．A 的特征值均为1答案：C20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 答案：C21．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 答案：B22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T答案：A23.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 = （ ）A.4B.5C.6D.7答案：B24.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A*答案：A7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.249.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2B.0C.2D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的 两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵 实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、 使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
2 1 2 5 a 3 1 b 2
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使
线性代数第五章特征值与特征向量自测题Word版
3、（5分）设 为 阶矩阵，且存在向量 ，有 ，令： ， ,
讨论 线性相关性，并加以证明。
自测题参考答案
一、填空题
1、 ； ； 。
2、 ，其中 ， ， ，（ 为不全为零的任意常数）。
3、 。
3、（共15分）设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3，向量 ， 是齐次线性方程组 的两个解。
①（5分）求 的特征值与特征向量；
②（5分）求正交矩阵 和对角矩阵 ，使 ；
③（5分）求 及 ，其中 为三阶单位矩阵
4、（共9分）设
。
求 。
四、证明题（共15分，每小题5分）
1、（5分）设 是n阶正交矩阵，且 ，则 是 的一个特征值。
5、设三阶实对称矩阵 的特征值是1，2，3，矩阵 的属于特征值1，2的特征向量分别是 ， ，则 的属于特征值3的特征向量是（ ）。
6、设n阶方阵A有n个特征值分别为2，3，4，…，n，n+1，且方阵B与A相似，则|B-E|=______________
二、选择题（共18分，每小题3分）
1、已知三阶矩阵A的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是
，
则
。
由此得 。
于是，
又∵
∴
∴ ，即： 是 的一个特征值。
（2）证明：设有一组数 ， 使
……………………①
即： ………………②
又∵ ，
∴②式为：
…………③
由于已知
∴ 线性无关，③式成立当且仅当：
………………………………④
解齐次线性方程组④，由于其系数行列式为：
4、
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第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
1122,.m m A k kAa b aA bEAA A A Aλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量，则α也是上述多项式的特征向量。
推论：（1）对于数量矩阵λE ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是λ.（2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.（3）n 阶矩阵A 与他的转置矩阵TA 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.例 题一、特征值、特征向量1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031141,201034011B A 且A 的特征值为2和1(二重), 那么B 特征值。
解：TA A ,具有相同的特征值.T AB =, 所以B 和A 具有相同的特征值，B 的特征值为: 2和1(二重)。
2.设A 是n 阶方阵, *A 为A 的伴随矩阵, |A | = 5, 则方阵*AA B =的特征值是___, 特征向量是______.解：因为 E A A A AA ||**==, 所以对于任意n 维向量αααα||||*A E A AA ==有 所以|A | = 5是*AA B =的特征值, 任意n 维向量α 为对应的特征向量。
3.三阶方阵A 的特征值为1, －1, 2, 则2332A A B -=的特征值为_______. 解：42322,5)1(3)1(2,11312232323=⋅-⋅-=-⋅--⋅-=⋅-⋅，3.设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值解：因为AA A =•，•A 的特征值为λA，所以上式的特征值为：1)(2+λA4.设n 阶矩阵A 的特征值为1, 2, …, n , 试求|2|E A +.解：因为A 的特征值为1, 2, …, n , 所以2A + E 的特征值为),,2,1(12n i i =+. 所以∏=+=+ni i E A 1)12(|2|。
5. 零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件 解：假设n λλλ,,,21 为A 的所有特征值, 则n A λλλ 21||=. 所以 0为A 的特征值⇔A 可逆 (C)为答案.6. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, βα与是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则有βα与是(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量 7. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, ηξ,是A 的分别属于21,λλ的特征向量,则(A) 对任意0,021≠≠k k , ηξ21k k +都是A 的特征向量. (B) 存在常数0,021≠≠k k , ηξ21k k +是A 的特征向量. (C) 当0,021≠≠k k 时, ηξ21k k +不可能是A 的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数0,021≠≠k k , 使ηξ21k k +是A 的特征向量. 解：21λλ≠为A 的二个相异的特征值, 所以存在非零向量ηξ,, 满足ηληξλξ21,==A A . 而且ηξ,线性无关.假设存在 λ 满足: )()(2121ηξληξk k k k A +=+ 所以 ηλξληλξλ212211k k k k +=+, 即0)()(222111=-+-ηλλξλλk k k k因为 ηξ,线性无关, 所以 111k k λλ-= 0, 1λλ=; 221k k λλ-= 0,2λλ=. 和21λλ≠矛盾. 所以(C)为答案.8. 设0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 且齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 则A 的属于0λ的全部特征向量是(A) 21ηη和 (B) 21ηη或 (C)2211ηηC C +(21,C C 为任意常数) (D) 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数)解. 因为齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 所以方程组0)(0=-x A E λ的全部解为2211ηηC C +(21,C C 为任意常数)，但特征向量不能为零, 则A 的属于0λ的全部特征向量是: 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数), (D)为答案. 9.设1=λ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410213t A 的特征值，求：（1）t 的值；(2) 对应于1=λ的所有特征向量。
解：因为1=λ，t t E A ⇒=⋅⇒=-000为任意实数。
（2） 1,0=≠λt 时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00100021000142021000142021400420214t E A λ所以2)(=-E A r λ. 方程组0)(=-x E A λ基础解系所含解向量个数为1个相应的方程组为⎩⎨⎧==-02132x x x . 取2,123==x x 得. 所以解向量为()T 1,2,0, 对应于1=λ的全部特征向量为()Tk 1,2,0当1,0==λt 时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-000210001000210004000210214000420214E A λ所以 2)(=-E A r λ，方程组0)(=-x E A λ基础解系所含解向量个数为1个相应的方程组为⎩⎨⎧=-=020321x x x . 取2,123==x x 得. 所以解向量为()T1,2,0,对应于1=λ的全部特征向量为()Tk 1,2,0。
10.设A 是3阶矩阵，且矩阵A 的各行元素之和均为5，求矩阵A 的特征值、特征向量。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1115111A 11题答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1111112135212λb a 031=-=-=b a λ 11. 已知()T1,1,1-=α是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2135212b a 的特征向量 ，求b a ,和α的特征值。
12.设A 是n 阶矩阵，满足A 2=A ，求矩阵A 的特征值。
解：()0002=⇒=-⇒=-A E A A A A 或者1001==⇒=-λλ或者E A13.设向量()Tn αααα 21,=，()n b b b 21,=β都是非零向量，且满足条件0=βαT ，记n 阶矩阵βαT A =，求：（1）2A （2）求A 的特征值与特征向量。
解:(2) 设λ为特征值，x Ax λ= ，x 不为零，x Ax x A 22λλ==任意n 个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选n 个单位向量。
14. 设矩阵15310a c Ab ca -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)Tα=--，求a b c 、、和0λ的值 解：因为λλAAA A =⇒=••，所以A 的特征值01λλ-=αλααλααλα0001-=⇒=⇒=•A AA A ，所以α也是A 的特征向量。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1111111013510λa c b c a1,3,0=-==λb c a 又因为1-=A ，代入可得：2==c a15. 设()Ta 1,0,1-=，矩阵Taa A =，n 为正整数，则=-n A aE解：，()2,002321===⇒=-⋅=-λλλλλλλE A16. 若3维列向量βα,满足2=βαT，其中T α为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为：解：()2,,332211321321=++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβαβαβββααα，TT T βαβαβα2=⋅2222=⇒=⇒=⋅λλλA A A 二、相似矩阵定义1： 设A , B 都是n 阶矩阵, 若有n 阶可逆矩阵P , 使P -1AP =B 。