(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章 特征值和特征向量

一、特征值与特征向量

定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，

)(λf =0E A λ-=，

称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵

齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α

是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为

0E A λ-=的

根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：

（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.

计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，

()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全

部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.

性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量

21,ξξ……ξ线性无关

性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：

（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.

性质4：如果λ是A 的特征值，则

（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.

(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).

（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，

A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .

性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则

（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；

（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

1122

,.m m A k kA

a b aA bE

A

A A A A

λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量，则α也是上述多项式的特征向量。

推论：（1）对于数量矩阵λE ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是λ.

（2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.

（3）n 阶矩阵A 与他的转置矩阵T

A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.

例 题

一、特征值、特征向量

1.设⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031141,201034011B A 且A 的特征值为2和1(二重), 那么B 特征值。

解：T

A A ,具有相同的特征值.T A

B =, 所以B 和A 具有相同的特征值，B 的特征值为: 2和1(二重)。

2.设A 是n 阶方阵, *

A 为A 的伴随矩阵, |A | = 5, 则方阵*

AA B =的特征值是___, 特征向量是______.

解：因为 E A A A AA ||**==, 所以对于任意n 维向量αααα||||*

A E A AA ==有 所以|A | = 5是*

AA B =的特征值, 任意n 维向量α 为对应的特征向量。 3.三阶方阵A 的特征值为1, －1, 2, 则2

332A A B -=的特征值为_______. 解：42322,5)1(3)1(2,113122

32323=⋅-⋅-=-⋅--⋅-=⋅-⋅，

3.设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*

A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2

()A E +必有特征值

解：因为A

A A =

•

，•

A 的特征值为

λA

，所以上式的特征值为：1)(

2+λ

A

4.设n 阶矩阵A 的特征值为1, 2, …, n , 试求|2|E A +.

解：因为A 的特征值为1, 2, …, n , 所以2A + E 的特征值为

),,2,1(12n i i =+. 所以∏=+=+n

i i E A 1

)12(|2|。

5. 零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的

(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件 解：假设n λλλ,,,21 为A 的所有特征值, 则n A λλλ 21||=. 所以 0为A 的特征值⇔A 可逆 (C)为答案.

6. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, βα与是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则有βα与是

(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量 7. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, ηξ,是A 的分别属于21,λλ的特征向量,

则(A) 对任意0,021≠≠k k , ηξ21k k +都是A 的特征向量. (B) 存在常数0,021≠≠k k , ηξ21k k +是A 的特征向量. (C) 当0,021≠≠k k 时, ηξ21k k +不可能是A 的特征向量.

(D) 存在惟一的一组常数0,021≠≠k k , 使ηξ21k k +是A 的特征向量. 解：21λλ≠为A 的二个相异的特征值, 所以存在非零向量ηξ,, 满足

ηληξλξ21,==A A . 而且ηξ,线性无关.

假设存在 λ 满足: )()(2121ηξληξk k k k A +=+ 所以 ηλξληλξλ212211k k k k +=+, 即

0)()(222111=-+-ηλλξλλk k k k

因为 ηξ,线性无关, 所以 111k k λλ-= 0, 1λλ=; 221k k λλ-= 0,

2λλ=. 和21λλ≠矛盾. 所以(C)为答案.