(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章 特征值和特征向量

一、特征值与特征向量

定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，

)(λf =0E A λ-=，

称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵

齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α

是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为

0E A λ-=的

根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：

（1）λ是A 的特征值?0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量?α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.

计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，

()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全

部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.

性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλΛΛ21,所对应的特征向量

21,ξξ……ξ线性无关

性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：

（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.

性质4：如果λ是A 的特征值，则

（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.

(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).

（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，

A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .

性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则

（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；

（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

1122

,.m m A k kA

a b aA bE

A

A A A A

λλλλλλ-*??++?????

????是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量，则α也是上述多项式的特征向量。

推论：（1）对于数量矩阵λE ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是λ.

（2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.

（3）n 阶矩阵A 与他的转置矩阵T

A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.

例 题

一、特征值、特征向量

1.设??

??

?

?????--=??????????--=200031141,201034011B A 且A 的特征值为2和1(二重), 那么B 特征值。

解：T

A A ,具有相同的特征值.T A

B =, 所以B 和A 具有相同的特征值，B 的特征值为: 2和1(二重)。

2.设A 是n 阶方阵, *

A 为A 的伴随矩阵, |A | = 5, 则方阵*

AA B =的特征值是___, 特征向量是______.

解：因为 E A A A AA ||**==, 所以对于任意n 维向量αααα||||*

A E A AA ==有 所以|A | = 5是*

AA B =的特征值, 任意n 维向量α 为对应的特征向量。 3.三阶方阵A 的特征值为1, －1, 2, 则2

332A A B -=的特征值为_______. 解：42322,5)1(3)1(2,113122

32323=?-?-=-?--?-=?-?，

3.设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*

A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2

()A E +必有特征值

解：因为A

A A =

?

，?

A 的特征值为

λA

，所以上式的特征值为：1)(

2+λ

A

4.设n 阶矩阵A 的特征值为1, 2, …, n , 试求|2|E A +.

解：因为A 的特征值为1, 2, …, n , 所以2A + E 的特征值为

),,2,1(12n i i Λ=+. 所以∏=+=+n

i i E A 1

)12(|2|。

5. 零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的

(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件 解：假设n λλλ,,,21Λ为A 的所有特征值, 则n A λλλΛ21||=. 所以 0为A 的特征值?A 可逆 (C)为答案.

6. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, βα与是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则有βα与是

(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量 7. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, ηξ,是A 的分别属于21,λλ的特征向量,

则(A) 对任意0,021≠≠k k , ηξ21k k +都是A 的特征向量. (B) 存在常数0,021≠≠k k , ηξ21k k +是A 的特征向量. (C) 当0,021≠≠k k 时, ηξ21k k +不可能是A 的特征向量.

(D) 存在惟一的一组常数0,021≠≠k k , 使ηξ21k k +是A 的特征向量. 解：21λλ≠为A 的二个相异的特征值, 所以存在非零向量ηξ,, 满足

ηληξλξ21,==A A . 而且ηξ,线性无关.

假设存在 λ 满足: )()(2121ηξληξk k k k A +=+ 所以 ηλξληλξλ212211k k k k +=+, 即

0)()(222111=-+-ηλλξλλk k k k

因为 ηξ,线性无关, 所以 111k k λλ-= 0, 1λλ=; 221k k λλ-= 0,

2λλ=. 和21λλ≠矛盾. 所以(C)为答案.

8. 设0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 且齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 则A 的属于0λ的全部特征向量是

(A) 21ηη和 (B) 21ηη或 (C)2211ηηC C +(21,C C 为任意常数) (D) 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数)

解. 因为齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 所以方程组

0)(0=-x A E λ的全部解为2211ηηC C +(21,C C 为任意常数)，但特征向量不能

为零, 则A 的属于0λ的全部特征向量是: 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数), (D)为答案. 9.设1=λ是矩阵

??

?

?

?

?????---=10410213t A 的特征值，

求：（1）t 的值；(2) 对应于1=λ的所有特征向量。 解：因为1=λ，t t E A ?=??=-000为任意实数。 （2） 1,0=≠λt 时

??

??

?

?????-→??????????--→??????????---→??????????---=-00100021000142021000142021400420214t E A λ

所以2)(=-E A r λ. 方程组0)(=-x E A λ基础解系所含解向量个数为1个

相应的方程组为??

?==-0

2132x x x . 取2,123==x x 得. 所以解向量为()T 1,2,0, 对应于1=λ的全部特征向量为()T

k 1,2,0

当1,0==λt 时

????

?

?????-→??????????-→??????????--→??????????---=-000210001000210004000210214000420214E A λ

所以 2)(=-E A r λ，方程组0)(=-x E A λ基础解系所含解向量个数为1个

相应的方程组为???=-=0

20321x x x . 取2,123==x x 得. 所以解向量为()T

1,2,0,

对应于1=λ的全部特征向量为()T

k 1,2,0。

10.设A 是3阶矩阵，且矩阵A 的各行元素之和均为5，求矩阵A 的特征值、

特征向量。

[]??????????=??????????1115111A 11题答案：?????

?????-=??????????-??????????---1111112135212λb a 0

31=-=-=b a λ 11. 已知()T

1,1,1-=α是????

?

?????---2135212b a 的特征向量 ，求b a ,和α的特征值。

12.设A 是n 阶矩阵，满足A 2=A ，求矩阵A 的特征值。

解：()0002

=?=-?=-A E A A A A 或者1001==?=-λλ或者E A

13.设向量()T

n ααααΛΛ21,=，()n b b b ΛΛ21,=β都是非零向量，且满足条件

0=βαT ，记n 阶矩阵βαT A =，求：（1）2

A （2）求A 的特征值与特征向量。

解:

(2) 设λ为特征值，x Ax λ= ，x 不为零，x Ax x A 2

2λλ==

任意n 个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选n 个单位向量。 14. 设矩阵15

310

a c A

b c

a -??

??=?

???--??

，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征

值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T

α=--，求a b c 、、和0λ的值 解：因为λ

λA

A

A A =

?=

?

?

，所以A 的特征值0

1

λλ-

=

αλααλααλα0

001

-

=?=?

=?A A

A A ，所以α也是A 的特征向量。

????

?

?????---=??????????--??????????---1111111013510λa c b c a

1,3,0=-==λb c a 又因为1-=A ，代入可得：2==c a

15. 设()T

a 1,0,1-=，矩阵T

aa A =，n 为正整数，则=-n A aE

解：

，()2,002321===?=-?=-λλλλλλλE A

16. 若3维列向量βα,满足2=βαT

，其中T α为α的转置，则矩阵T

βα的非零

特征值为：

解：()2,,332211321321=++=????

?

??βαβαβαβββααα，T

T T βαβαβα2=?

2222=?=?=?λλλA A A 二、相似矩阵

定义1： 设A , B 都是n 阶矩阵, 若有n 阶可逆矩阵P , 使P -1

AP =B 。

则称B 是A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似，记作A ∽B ， 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵。

相似是矩阵之间的一种重要关系，它满足：自反性、对称性、传递性。

相似矩阵的性质： ①A B =，从而,A B 同时可逆或不可逆。

②()()r A r B = ③E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征多项式，有相同

的特征值,但特征向量不一定相同。 ④()()A B =tr tr 证明： 因为A 与B 相似, 所以有可逆矩阵P , 使P -1

AP =B . 因此

|B -λE |=|P -1AP -λE |=|P -1AP -P -1(λE )P |

=|P -1(A -λE )P |=|P -1|?|A -λE |?|P | =|A -λE |. 即A 与B 有相同的特征多项式. ⑤若A ∽B ，则)(A f ∽)(B f ，即A -1∽B -1，A T ∽B T ，A K ∽B K ⑥ 数量矩阵只与自己相似.

⑦ 因相似的矩阵有相同的秩，即相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。

三、矩阵的相似对角化

定义1：对任意n 阶矩阵A , 寻求相似变换矩阵P , 使P -1AP =Λ为对角阵, 称为矩阵A 的相似对角化。

假设已经找到可逆矩阵P , 使P -1

AP =Λ为对角阵, 我们来讨论P 应满足什么关系.

把P 用其列向量表示为P =(p 1, p 2, ? ? ?, p n ), 由P -1

AP =Λ, 得AP =P Λ, 即

?????

?

?

?

??

?????=???n n n A λλλ2

12121) , , ,() , , ,(p p p p p p =(λ1p 1, λ2p 2, ? ? ? , λn p n ), 于是有 A p i =λi p i (i =1, 2, ? ? ?, n ).

可见λi 是A 的特征值, 而P 的列向量p i 就是A 的对应于特征值λi 的特征向量. 反之, 由上节知A 恰好有n 个特征值, 并可对应地求得n 个特征向量, 这n 个特征向量即可构成矩阵P , 使AP =P Λ(因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P 也不是唯一的, 并且P 可能是复矩阵).

由上面讨论可知，A 能否与对角阵相似，取决于P 是否可逆，即n p p p Λ21,是否线性无关，当n p p p Λ21,线性无关时（此时P 可逆），则由AP=P Λ，得P -1

AP =Λ，

即A 与对角阵相似。综上所述，有：

定理1：n 阶矩阵A 与对角阵相似(即A 能对角化)的充分必要条件是A 有n 个

线性无关的特征向量.

推论：如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等, 则A 与对角阵相似. 且

Λ=??????

?

???

??n λλλ2

1

当A 的特征方程有重根时, 就不一定有n 个线性无关的特征向量, 从而不一定能对角化.

定理2：设m λλλΛΛ21,是n 阶矩阵A 的互异特征值，其重数分别为

m r r r Λ21,且n r m

i i =∑=1，则A 与对角阵相似的充要条件为:

i i r n E A r -=-)(λ（i=1，2，……m ）

即i r 重特征值i λ有i r 个线性无关的特征向量，则n 阶矩阵A 与对角阵相似

1.已知矩阵????

?

?????-=??????????=1000000210100002y B x A 与相似, 则x = _____, y = ______.

解：因为A , B 相似, 所以1,21

00000

02||210100002||=-=-==-==y y y

B x

A .

相似矩阵的迹相等: 212)(2)(=-+==+=y B tr x A tr . 于是0=x . 1.设βα,为3维列向量，T

β为β的转置，若矩阵T

αβ相似于???

?

????

??000000002，则=αβT

解：[]??

??

?

?????=??????????=332211321321ββββββαβa a a a a a T ，相似矩阵的迹相等。 ()2,,332211321321=++=???

?

?

??=βαβαβαβββαααβa T

1. 设()()T

T

k a ,0,1,1,1,1==β，若矩阵T

αβ相似于??

??

??????000000003，则K=

解：2301=?=++k k

2.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是

(A) 数量矩阵)1(≠k kE (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1) (C) 单位矩阵E (D) 任意n 阶矩阵A 解：令E P

E P ==-1

,则. 所以E EEE EP P ==-1. 所以(C)是答案.

3.设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，

则A 的非零特征值为 .

解：()()()()??

?

???=+==1020,2,0,,21212121αααααααa A A A

B Ap p pB Ap =?=-1，所以A 和B 相似，有相同的特征值，

1,0021==?=-λλλE B

4.B A ,是n 阶方阵, 且A ∽B ，则

(A) B A ,的特征矩阵相同 (B) B A ,的特征方程相同

(C) B A ,相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得B AT T =-1

解：B A ~, 则存在可逆方阵P , 使得B AP P =-1

. 所以

||||||||||||1

1

A E P A E P

AP P E B E -=-=-=---λλλλ

所以B A ,的有相同的特征方程, (B)是答案.

5.设三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα，其中列向量T

)2,2,1(1=α，

T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求矩阵A 。

解：()321,,ααα=p ，()3213,2,ααα=AP

因为()3,2,1是特征值，??????????=-3211AP P ，

1321-????

?

?????=P P A ????

?

?????---=212122221P ???

???????---=-2121222219

11P

????

??????---????????????????????---=??????????=-21

2

12222

130

02000

121

2

122

22

1

9130

020

00

1

1P P A ???

?

???

?????????----=??????????----=??????????---??????????---23232

3235032037

1866615060219163624422121212222191

6.设矩阵A 与B 相似，其中??????????--=x A 00010221， ??

??

?

?????=10001000y B ，

(1) 求x 和y 的值； (2)求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1

。

解：因为A 相似于B , 所以|A | = |B |, 所以y x =-; 且)()(B tr A tr =, 所以

2+=y x . 得 1,1-==y x 。

由B 的表达式知: A 的二个特征值为 1±=λ

（1）当1-=λ

020*******,0)(=????

?

?????-=+x x E A 即,

????

??????→??????????-100010000200020220 2)(=+E A r ，方程组0)(=+x E A 的基础解系只有一个解向量.

相应的方程组为???==0

032x x , 取11=x ，得特征向量: ()T

0,0,1=ε

(2)1=λ

0000000222,0)(=??

??

?

?????--=-x x E A 即, 1)(=+E A r , 方程组0)(=+x E A 的基

础解系有二个解向量, 相应的方程组为 0321=-+x x x , 取 1,0,1321===x x x 得, 取 1,1,0321===x x x 得 得二个线性无关的特征向量: ()()T T

1,1,0,

1,0,121==εε 所以矩阵

???

?

?

?????=110010101P

7.矩阵A=????

??????----52134131a 的特征值有重根，判断矩阵A 能否相似化，并说明理由。 解：()()

010822=++--=-a E A λλλλ

（1） 若2=λ是重根，2=λ代入(

)

01082

=++-a λλ，得2=a （2） 若()

01082

=++-a λλ是重根，()6042

=?=-a λ

当2=λ

，2=a 时 ()????

?

?????--=-000000321E A λ ，()1=-E A r λ

有2个线性无关的特征向量，可对角化。

当6=a ，4=λ时，()????

?

?????----=-000301363E A λ，()2=-E A r λ，不能对角化。

8.已知A=??

??

?

?????--1630310104判断A 能否对角化，若能对角化则求可逆矩阵P ， 化A 为相似标准形。

解：()()0122

=-+-=-λλλE A

12

1==λλ时，????

?

?????--=-0630210105E A ()1=A r

有2个线性无关的特征向量，可对角化，()()T

T

0,1,2,01,021-==αα

2-=λ时，????

?

?????--=+363051

01022E A ，()T

3,1,53

-=α

[]?????

?????--==301110520,32,1αααP ??

??

?

?????-=-2111

AP P 9. 设????

?

?????----=3241223k k A (1)问k 为何值时A 可对角化? (2)此时作可逆矩阵U ,使得

U -1AU 是对角矩阵.

解：()()0112

=-+=-λλλE A

12

1-==λλ ????

?

?????--=+0000112k k E A ，当()1,0==A r k ，所以0=k

，可对角化

[]??????????==121001110,,321αααU ????

??????--=-1111AU U 10. 已知3阶矩阵A 的第一行元素全是1，且（1，1，1，）T ，（1，0，-1）T ， （1，-1，0）T 是A 的3个特征向量，求A

解：??

??

?

?????=????????????????????111111111

3332

31

232221

λa a a a a a ，0,0,33

21===λλλ

??

??

?

?????=-0031AP P ，??????????=??????????=-1111111110031P P A 11.设A 为3阶矩阵, 321,,ααα是线性无关的3维列向量组,满足

3211αααα++=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A

(1)求作矩阵B,使得B A ),,(),,(321321αααααα= (2)求A 的特征值。 (3)求作可逆矩阵P ,使得P -1AP 为对角矩阵。 解：)32,2,

(),,(3232321321ααααααααα++++=a A

设),,(321ααα=C ，因为α1,α2,α3是线性无关的，所以C 可逆，所以1

-=CBC A

所以A 和B 相似，相似的矩阵有相同的特征值。

因为????

?

?????=-4111BQ Q ，又因为AC C B CB AC 1

-=?=

??

??

?

?????=--41111ACQ C Q ==CQ P )

,,(321ααα????

?

?????--110101021

12. 设矩阵????

??????=a A 11121112可逆，向量()T

b 1,,1=α是矩阵?A 的一个特征向量，λ是

α对应的特征值，其中?A 是矩阵A 的伴随矩阵，试求λb a ,的值。

解：由于矩阵A 可逆，故?A 可逆，于是0≠λ，0≠A ，且λαα=?

A ，

αλ

ααλααλαA

A A A A AA =

?=?=?

，

，

13设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()

T

Ap p 1-属于特征值λ的特征向量是

解：()()()

()

()

1

1

11----===T

T T

T T T

T T

p A P P A P P AP Ap

p

又因为(

)

αλαλαT

T

p A P a A =?=

()()=?-αT

T

T p p A P 1

()

αλαT T

p A P

=

同理可求：()αλαα1111----==?p A p p Ap p

14 设矩阵??????????=322232223A ，?????

?????=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与

特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.

解：设A 特征值为λ，特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以

.0≠λ又因 E A A A =*，?=

A

A A *λ

λ

λ7

=

=

*

A

所以B 的特征值为*

λ，B+2E 的特征值为2+*

λ。

ληη=A ηληλ

ηληηληη*****==

?=?=?A

A A A A A A

ηλη1

1

-*

*

-=P A P ，)(*1

1η--P P A P ηλ1

-*

=P

所以： .)2()2(1

1ηλη-*-+=+P P E B

因此B+2E 的特征值为2+*

λ，对应的特征向量为.1

η-P

由于 )7()1(3

222322

232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为

.7,1321===λλλ，*

A 的特征值是

λ

A

，7=A ，所以*

A 的特征值是

7，7，1。因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.

当121==λλ时，A 对应的线性无关特征向量可取为()0,1,11-=η，

()1,0,12-=η当73=λ时，A 对应的一个特征向量为()1,1,13=η

由 ??

??

?

?????-=-1000011101

P ，得??????????-=-01111ηP ，??????????--=-11121ηP ，??????????=-11031ηP . B+2E 对应于特征值9的全部特征向量为()0,1,1111

1-=-k p k η ()1,1,1221

2--=-k p k η，其中21,k k 是不全为零的任意常数

B+2E 对应特征值3全部特征向量为()1,1,0331

3k p k =-η，3k 是不为零的任意常数.

或者用另一种方法：

由A *3225222

32252,223225--???? ? ?==-- ? ? ? ?--?

???可得A A 又由P 可得1011100,

001--??

?= ? ???

P 于是1*700254,225-??

?==-- ?

?

--??

B P A P 9002274.225?? ?+=-- ? ?--??B E

根据9

00|(2)|274225λλλλ-?? ?-=- ?

?-??E B +E 2(9)(3),λλ=-- 可知B +2E 的特征值为1239, 3.λλλ===同样方法求特征向量。 15 已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得X 、AX 、A 2X 线性无关，且满足

3232A x Ax A x =-，（1）记2(,,)P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使1

A PBP -=；

（2）计算行列式A E + 解：PB AP PBP

A =?=-1

()()()

.23,,,,,,22322x A Ax x A Ax x A x A Ax x A Ax x A AP -===

2(,,)(,,)(,,32)

000(,,)103012A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x x Ax A x ==-????=????-??

，000103012AP P PB ??

??==????-?? （2）由（1）知，A 与B 相似，故A+E 与B+E 也相似，于是有

10

011

34011

A E

B E +=+==--

四、实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的性质：

（1）特征值全是实数,特征向量是实向量； （2）不同特征值的特征向量必定正交；

（3）k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量； （4）必存在n 阶正交矩阵Q ，使AQ Q

AQ Q T

=-1

=Λ=?????

?

????

?

?n λλλO

2

1

n λλλΛ21,，为矩阵A 的特征值。

于是，我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化. 设A 是实对称矩阵,构造正交矩阵Q (使得Q -1

AQ 是对角矩阵)的步骤:

（1）求出A 的全部互不相等的特征值λ1, λ2, ? ? ?, λs , 它们的重数依次为k 1, k 2, ? ? ?,

k s (k 1+k 2+ ? ? ? +k s =n )。

（2）对每个k i 重特征值λi , 求方程(A -λE )x =0基础解系, 得k i 个线性无关特征向量。 （3）利用施密特正交化方法，把对应于每一个λi ,的线性无关的特征向量先正交化再单位化, 得k i 个两两正交的单位特征向量，他们仍为矩阵A 的对应于λi ,的特征向量。

（4）把这n 个两两正交的单位特征向量作为列向量，排成一个n 阶方阵Q ，便有

AQ Q AQ Q T =-1=Λ，注意Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对

应。

五、矩阵的合同

定义：设A ，B 为两个n 阶方阵，若有n 阶可逆阵P 使得B AP P T =，则称

矩阵A 与B 合同 ，记为A ≌B 。

合同也是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质：自反性、对称性、传递性。

定理1：若A 为实对称矩阵，则A 一定与对角阵合同。

性质1：合同的矩阵有相同的秩，即合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同。

三、实对称矩阵的对角化

1. 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1、2、3，（1,1,-1)T 和(-1,2,1)T 分别是属于1和

2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A 。

解：根据不同特征值的的特征向量相互正交，设3的特征向量为()c b a ,,

???=++-=-+0

20c b a c b a ()T

1,0,13=α ????

??????=-3211

AP P

，=P ),,(321ααα

????

?

??

???--=??????????=-132521025213613211P P A 2. 三阶实对称矩阵A 的特征值为,11-=λ132==λλ，对应于1λ的特征向量为

()T 1,1,01=ε，求A 。

解：设132==λλ对应的特征向量为：()T

x x x 321,,=ε，032=+x x

()()T T 0,0,1,1,1,032=-=εε，123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=

有

1

1122331231

(,,)(,,)01

001

01001011

1001101101010A λξλξλξξξξ--=????????????=-=-????????????----??????

3. 3阶实对称矩阵A 的秩为2，又6是它的二重特征值，向量(1,1,0)T 和(2,1,1)T 和(-1,2,-3)T 都是属于6的特征向量。

(1) 求A 的另一个特征值与相应的特征向量. (2) 求A . 解：因为()002=?=?=λA A r 是它的一个特征值。

6的3个向量中，任意2个都是线性无关的，可选向量(1,1,0)T 和(2,1,1)T

4. 设3阶对称矩阵A 的特征值,2,2,1321-===λλλ T

)1,1,1(1-=α是A 的属于

1λ的一个特征向量，记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵(I) 验证1α是矩

阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ． 解：B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ， 因为111αλα=A ，所以15

115

αλα=A ，13

113

αλα=A

()

13

15113514)4(αλλα+-=+-E A A ，所以1α是B 的特征向量，

设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量，因为不同特征值的

特征向量相互正交，所以：0,03121==ααααT T

0)1,1,1(321=????

?

??-x x x ，可取2α=?

???? ??011, 3

α=??

??? ??-101. B 的全部特征值的特征向量为: ????? ??-1111k , ???

?

? ??-+????? ??10101132k k , 其中01≠k ,是不为零

的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.

1112-?????

??-=P P B =????? ??--101011111?????

??-112????? ??--21112111131????

? ??--=011101110 5. 设实对称矩阵

??

??

?

?????--=a a a A 111111，求可逆矩阵P ，使Ap p 1-为对角型矩阵，并计算

行列式E A -的值。

解：=

-a E

λ

6. 设3阶实对称矩阵???

?

??--=011101110A ,（1）求可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵

（2）求正交阵Q ，使AQ Q AQ Q T

=-1

为对角阵。

解：()

()1,20213212==-=?=+--=-λλλλλλE A

[]??

??

?

?????-==111011101,,321αααP （2）设：()T

1,1,111-==αβ ，()

()

()T 1,1,0,,21111222==-

=αββββααβ

()()()()T

?

?

?

??--=--=21,21,1,,,,222231111333ββββαββββααβ

()T 1,1,13

11-=

η ()T 1,1,02

12=

η ()T 1,1,26

13-=

η，()321,,ηηη=Q

7.设3阶实对称矩阵A=???

?

????

??----242422221（1）求可逆阵P ，使AP P 1

-为对角阵 （2）求正交阵Q ，使AQ Q AQ Q T

=-1

为对角阵

解：()()2,70273212

==-=?=-+-=-λλλλλλE A

()??

???

?????--==102012221,,321αααP ()???????

???

??

??

??--

==53503

25345

1325325

231,,321ηηηQ 8. 设B 是秩为2的45?矩阵，()()()T

T

T

a a a 9,8,1,5,1,4,1,1,3,2,1,1321--=--==

是齐次方程组0=Bx 的解向量，求0=Bx 的解空间的一个标准正交基。

解：()2=B r ，所以基础解系含有2个向量。3个向量中任意2个都是线性无关的，我们可以取21,αα

9.设??

? ??--=2112A , 求A n .

解：P P P P P PP P A P P A AP P n

n

Λ=ΛΛΛ=?Λ=?Λ=------1

1

1

1

1

1

ΛΛ

??

?

???+--+=??????-????????????-=Λ=-n n n n P P A

3131313121111121311111100100

1

100

10.设A=??

??

?

?????---112020021，求A 100 解：()()()1,2,10211321-===?=-+-=-λλλλλλλE A ???????

?????????---=011

05300561P ()

?????

???????--=???????

???=-1213

5

0200221121100100

101

1100100P P A

11.设矩阵????

?

?????=101020101A , 矩阵2

)(A kE B +=, 其中k 为实数, E 为单位矩阵, 求

对角矩阵Λ, 使得B 与Λ相似, 并求k 为何值时, B 为正定矩阵. 解:()2,

00203212

===?=-?=-λλλλλλE A

所以B 的特征值为：

23,221)2(,+==k k λλ. 其中23,2)2(+=k λ为二重根.

因为A 为实对称矩阵，所以B 为实矩阵。

()

[

]()[]

()2

2

2A kE A kE A kE B T T

T

+=+=+=

实对称矩阵必与对角阵相似：????

?

??

???++222

000)2(000)2(k k k 0,2≠≠k k 时, B 的特征值都为正, 此时, B 为正定阵.

12.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T

T

αα=--=- 是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q

和对角矩阵Λ,使得Λ=AQ Q T

（3）求A 及6

23??? ?

?

-E A ，E 为3阶单位矩阵。

解: A 的各行元素之和均为3，0=A ，必有特征值为0，

，

向量()()121,2,1,0,1,1T

T

αα=--=-,是线性方程组A x =0的两个解, 所以21αα和是属于矩阵A 的特征值0的特征向量。

故0是A 的2重特征值，其对应的特征向量为11k α，22k α+（12,k k 为不全为零的任意实数）；3是A 的1重特征值，其对应的特征向量为33k α（3k 为任意非零实数） （2）将21,αα正交化 令21112213311(,)11

,(,0,),(,)22T αββαβαββαββ==-

=-=

11221233311(,(1111(

,

3

T T

T ηβηββ

βηββ=

====

=1121

2

33311211

(,,),6

6

61T T ηβηββηββ==--=

==

123[,,]0Q ηηη????

???==?

????

， 003????Λ=??????，??

??

?

?????=300AQ Q T （3）T

T

Q Q A AQ Q Λ=?Λ=

13.设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足

323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1

P AP -.

证法一：假设123,,ααα线性相关，因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量， 故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，

其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而 特征向量都是非0向量，矛盾)。

因为12,a a A 的分别属于特征值1,1-特征向量，所以11,A αα=-22A αα=

∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+

∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+= 则12,αα线性相关，矛

盾. 所以，123,,ααα线性无关.

证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)

用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (1)—(2)得 113220k k αα-= (3)

因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而

130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性

无关.

(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，

123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+

123100(,,)011001ααα-?? ?= ? ???100011001P -?? ?= ? ??? 所以 1100011001P AP --?? ?

= ? ???

14. 设A 为三阶矩阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应特征向量为

123,,ααα，令123=++βααα。(1)证明2β,Aβ,A β线性无关；

(2)若3

=A βAβ，求秩r (A -E )及行列式|A +2E |.

解：(1) 设123k k k 2

++=βAβA β0， ①

由题设(1,2,3)i i i ιλ==Aαα，

于是123123λλλ=++=++AβAαAαAαααα，

22112233λλλ22=++A βααα，

代入①整理得

222121311122322123333()()(++)k k k k k k k k k λλλλλλ++++++=0ααα.

因为123,,ααα是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有

2121312

122322123330,0,0.k k k k k k k k k λλλλλλ?++=?++=??++=?

其系数行列式2

112222

331101λλλλλλ≠， 必有1230k k k ===，故2

β,Aβ,A β线性无关.

(2)由3

=A βAβ有=2

3

2

()()=()2

A β,Aβ,A βAβ,A β,A βAβ,A β,Aβ

=2000??

?()101 ? ?010??

β,Aβ,A β，

令P =2

()β,Aβ,A β，则P 可逆，因为AP=PB ，P -1AP =000101010?

?

? ?

???

=B . 即A ~B ，于是A -E ~B -E ，A +2E ~B +2E .

从而有

r (A -E )=r (B -E )=r 1

01

11011-??

?- ? ?-??

=2, |A +2E |=|B +2E |=

200121012

=6.

本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩

阵的性质等多个重要知识点.

四、综合性题型

1.

解：把任意一列都加到第一列，然后第一行()1-?依次加到其他任意一行，

第二行第一列中的1为0，

2.

解：把任意一列都加到第一列，然后第一行()1-?依次加到其他任意一行，

()[]()

[

]1

111--+-=n a a n

因为()n a a A n A r -==?=?-=11

101或者，当()11=?=A r a 3. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的个特征值是

-1

1

1111111111

1111

111

0000n n n E A n n n λλλλλλλλλλλλλ

λ

---------=---=-L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L －－－－＝－－－－－＝（－）111

111

111111

00

00n

n

E A n

n n λλλλλλλλλλλ

-------=

---=-L L L L L L L L L L L L L L L L L L

L －

－＝

－－－＝（－）

()1

--=n n λλ，所以矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）。 4.设齐次线性方程组

解：

()()()T n T T 1.0,0,0,100,01,1,0.0.1,1121ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-=-=-=-ααα

2变化是把最后一行()1-?加到其余各行，也可把把第一行()1-?加到其余各行。

，

，

5.已知齐次线性方程组

112233112233112233112233()0,()0,

()0,()0.

n n n n n n n n

a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x +++++=??+++++=??

+++++=???+++++=??L L L L L L L L L L L 其中10.n

i i a =≠∑试讨论12,,,n a a a b

L 和满足何种关系时,(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 解：方程组的系数行列式

123

123

123123

||n n n

n a b a a a a a b a a a a a b

a a a a a b

++=++L

L L M M M M L

A 23123

1231

2

3

1

n

i n i n

i n i n

i n i n

i n i a b

a a a a b

a b a a a b

a a

b a a b

a a a b

====+++=++++∑∑∑∑L L

L M

M M M

L

2323

231

23

11()11n n

n

i n i n a a a a b a a a b a a b a a a a b

=+=+++∑L

L L M M M M L

231

1000()

0000n n

i i a a a b a b b b

==+∑L L L

M M M M L

1

1

().n

n i i b

a b -==+∑

(1)当1

00||.0,n

i i b a b =≠+≠≠∑且

时,方程组仅有零解A ；

(2)当b =0时，原方程组的同解方程组为：11220.n n a x a x a x +++=L

由

1

0n

i

i a

=≠∑可知a i (i =1,2,…,n )不全为零，不妨设10a ≠.因为秩r (A )=1，取

23,,,n x x x L 为自由未知量，可得方程组基础解系为

当1

1

00n n

i i

i i b a a

b ===-

≠≠∑∑时,由知,系数矩阵可化为

可得Ax =0的基础解系为T

(1,1,1,,1).=L α 6. 设有齐次线性方程组

2≥n

2(,

0)(,02)2(2,

0)1(212121≥??

????

?=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ试问a 取何值时，方程组有非零解，并求出其通解. 【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有

.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a

A =?????

?

??????--+→???????

??

???+++=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

当a=0时， r(A)=1

基础解系为：,)0,,0,1,1(1T

Λ-=η,)0,,1,0,1(2T Λ-=η,)1,,0,0,1(1T n Λ-=-η

于是方程组的通解为：,1111--++=n n k k x ηηΛ 其中11,,-n k k Λ为任意常数. 当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有 .

10

000

120002)1(10

00121111?????

?

????

???

?--++→?

??????

??

???--+→Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛn n n a n a B 2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ??????

?=+-=+-=+-,

0,

03,

0213

121n x nx x x x x ΛΛΛ由此得基础解系为：T n ),,2,1(Λ=η 于是方程组的通解为： ηk x =，（其中k 为任意常数）。 【详解2】 方程组的系数行列式为 1)2)1((22221

111-++=+++=n a n n a a

n n n n a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ. 当0=A ，即a=0或2

)

1(+-

=n n a 时，方程组有非零解.

当a=0时，方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x Λ结果同解法1. 当2

)

1(+-

=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ???

??

?

??????--+→???????

??

???+++=a na a a a a n n n n

a a

A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ00002111122221111?

?

???

?

?

??

???--→????????????--+→10000120000

10000121111ΛΛΛΛΛΛ

ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

n

n a

故方程组的同解方程组为：同上

【详解3】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算：

?

?

????

?

?????+++=a n n n n a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ22221111=aE +?????

???????n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛ22221

111， 矩阵??

?

??

?

??????n n

n

n

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ2222

1111的特征值为2)1(,0,,0+n n Λ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a Λ, 故行列式.)2

)1((1

-++=n a n n a A

7. 设有齐次线性方程组

解：

，

8.设n 阶矩阵?????

?????

??=111Λ

M M M ΛΛb b

b b

b b A （1）求A 的特征值和特征向量 （2）求可逆矩阵P ，使得AP P 1

-为角矩阵。

解：

9. 设n元线性方程组b

Ax=，

2

2

2

2

21

21

21

21

2

a

a a

a a

A

a a

a a

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

??

O O O

，

1

2

n

x

x

x

x

??

?

?

=

?

?

??

M

，

1

2

n

b

b

b

b

??

?

?

=

?

?

??

M

．（I）证明行列式

||(1)n

A n a

=+；

（II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求1

x

．（III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．解：证法一

2

2

2

21

2

2

21213210

1221221122a a a a a a a a a A r ar a

a

a a

=

-=O O L

O

O O O

O O O

O O

O

32

22

22130

1

24

123

3

21

212n

a a a r ar a a a a a a -O O

O 21

213

12

2110

111

n n n a

a a a

n r ar n

n a n n a n ----+O

O O

34(1)2(1)231(1)n a a n a

a n a n

n a n +=?

??=++K

证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n

n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a

==，结论成立．

假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得

22

12

10

2121212n n a a a a D aD a a

-=-

O

O O O

O

21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+

故 ||(1)n

A n a =+

证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2

122n n n D aD a D --=-，

211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L

12122

()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+?=+

(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为

22

2

1

12

2

(1)(1)

11

2102121221122n n n n

n n a a a a

a a a a D na a a a a --?-?-=

==O O O

O O O

O O O

O O

O

11(1)n n D n

x D n a

-=

=+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为